Tuyển tập đề thi cao học toán đại học khoa học tự nhiên đại học quốc gia hà nội

Trần Tuấn Việt Tuyển tập đề thi Cao học từ năm 2011 đến 2019 Ngành Toán học, Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội - 2019 Trần Tuấn Việt Bộ mơn Tốn, Khoa KHCB, Học viện PK - KQ Địa chỉ: Kim Sơn, Sơn Tây, Hà Nội —–o0o— TUYỂN TẬP ĐỀ THI CAO HỌC TOÁN TỪ NĂM 2011 - 2019 Ngành Toán học, Đại học Khoa học Tự nhiên HÀ NỘI - 2019 Mục lục I II ĐỀ THI MƠN CƠ SỞ GIẢI TÍCH Năm 2019 - Đợt Năm 2018 - Đợt Năm 2018 - Đợt Năm 2017 - Đợt Năm 2017 - Đợt 10 Năm 2016 11 Năm 2015 12 Năm 2014 13 Năm 2013 14 Năm 2012 - Đề số 15 Năm 2012 - Đề số 16 Năm 2011 17 ĐỀ THI MÔN CƠ BẢN ĐẠI SỐ 18 Năm 2019 - Đợt 19 Năm 2018 - Đợt 21 Năm 2017 - Đợt 23 Năm 2017 - Đợt 25 Năm 2016 27 Năm 2015 - Đợt 29 Năm 2015 - Đợt 31 Năm 2014 33 Năm 2012 - Đề số 35 Năm 2012 - Đề số 37 Năm 2011 39 LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu nhỏ đề thi tuyển sinh đầu vào cao học chuyên ngành toán trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN năm từ 2011 đến 2018 Cuốn sách biên soạn lại chương trình soạn thảo LATEX dựa đề thi cung cấp đồng nghiệp tôi, thầy Phạm Hồng Quân Xuất phát từ thực trạng việc tìm đề thi mạng khó, tài liệu đời nhằm mục đích cung cấp nguồn ôn thi hiệu cho bạn đồng nghiệp, bạn sinh viên tốt nghiệp có nhu cầu học cao học Toán Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Xin kính chúc thầy, bạn đồng nghiệp ôn thi đạt hiệu cao Trong trình sử dụng phát có sai sót có đề thi năm tiếp theo, vui lòng gửi cho chúng tơi để tài liệu cập nhật giúp ích nhiều người khác nữa! Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 4, năm 2019 Trần Tuấn Việt.1 Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học bản, Học viện PK - KQ Phần I ĐỀ THI MÔN CƠ SỞ GIẢI TÍCH ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2019 MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 1) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Phát biểu chứng minh định lý tồn giới hạn hữu hạn dãy số đơn điệu Khảo sát hội tụ dãy số {an }n≥1 xác định sau: a1 = 2018, an+1 = 2019 an − a 2020 2020 n n ≥ Câu Nêu định nghĩa tập compact không gian Rn Chứng minh A tập compact Rn hàm f : A −→ R liên tục A f bị chặn đạt GTLN, GTNN A Cho hàm số f : R2 → R xác định     − x + y2 f (x; y) = e   0 (x; y) = (0; 0) (x; y) = (0; 0) Hãy xét tính khả vi hàm f điểm (0; 0) Câu Phát biểu chứng minh tiêu chuẩn Cauchy hội tụ chuỗi hàm tập hợp Cho chuỗi hàm ∞ n=1 n2 |x| + x2 a) Hãy tìm miền hội tụ chuỗi hàm b) Xét tính liên tục hàm tổng chuỗi hàm miền hội tụ Câu Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ cos(x) − cos(3x) dx, xα α tham số thực dương ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2018 MƠN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 2) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Phát biểu chứng minh nguyên lý Cantor dãy đoạn lồng thắt lại Khảo sát hội tụ dãy số {an }n≥1 xác định sau: a1 = , an+1 = a2n − an + n ≥ Câu Nêu định nghĩa tập compact Rn Chứng minh A tập compact Rn hàm f : A −→ Rm liên tục A tập f (A) = {f (x) : x ∈ A} tập compact Rm Cho hàm số f : R2 → R xác định  sin(x3 + y )    x2 + y f (x; y) =   0 (x; y) = (0; 0) (x; y) = (0; 0) Hãy xét tính khả vi hàm f điểm (0; 0) Câu Phát biểu chứng minh định lý Weierstrass hội tụ chuỗi hàm tập hợp Cho chuỗi hàm ∞ n=1 (−1)n ln(nx) + n2 x a) Hãy tìm miền hội tụ chuỗi hàm b) Xét tính liên tục hàm tổng chuỗi hàm miền hội tụ Câu Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ eβx − dx, xα α tham số thực ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2018 MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 1) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Phát biểu chứng minh định lý tồn giới hạn hữu hạn dãy số đơn điệu Xét tính liên tục hàm số g(x) = ln(cos x) khoảng [0; 1] Câu Phát biểu chứng minh định lý Fermat cho hàm biến điều kiện cần cực trị địa phương Cho hàm số f : R2 → R xác định  sin(y )    x2 + y f (x; y) =   0 (x; y) = (0; 0) (x; y) = (0; 0) Hãy xét tính khả vi hàm f điểm (0; 0) Câu Phát biểu chứng minh tiêu chuẩn Cauchy hội tụ chuỗi hàm tập hợp Cho chuỗi hàm ∞ n=1 e−nx n a) Hãy tìm miền hội tụ chuỗi hàm b) Xét tính liên tục hàm tổng chuỗi hàm miền hội tụ Câu Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ cos(x) − cos(2x) dx, xα α tham số thực dương ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2017 MƠN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 2) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Phát biểu chứng minh nguyên lý Bolzano-Weierstrass dãy số bị chặn Xét tính liên tục hàm số g(x) = ln + x khoảng (0; 1) Câu Cho A ⊂ Rm f : A → Rm , f (x) = (f1 (x), f2 (x), , fm (x)) với x ∈ A Chứng minh hàm f liên tục điểm a ∈ A hàm thành phần f1 (x), f2 (x), , fm (x) liên tục điểm a Cho hàm số f : R2 → R xác định f (x; y) = x2 − y Hãy xét tính khả vi f điểm (0; 0) Câu Hãy phát biểu chứng minh định lý tính liên tục hàm giới hạn dãy hàm Cho chuỗi hàm ∞ n=1 sin x n(1 + nx2 ) a) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm b) Xét tính liên tục hàm tổng chuỗi hàm miền hội tụ Câu Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ e−ax − e−bx dx, x a > 0, b > tham số thực ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2017 MƠN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 1) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Phát biểu chứng minh nguyên lý Bolzano-Weierstrass dãy số bị chặn Xét hội tụ dãy số {an } cho a1 = √ 2, an+1 = 2+ √ an n ≥ Câu Nêu định nghĩa tập Compact Rn Chứng minh A tập hợp Compact Rn hàm f : A → Rm liên tục A f liên tục A Cho hàm số f : R2 → R xác định  xy(x + y)   x2 + y f (x; y) =   (x; y) = (0; 0) (x; y) = (0; 0) Hãy xét tính liên tục f điểm (0; 0) Câu Hãy phát biểu chứng minh định lý việc chuyển qua giới hạn số hạng chuỗi hàm Cho chuỗi hàm ∞ n=1 sin2 (nx) n2 + a) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm b) Xét tính liên tục hàm tổng chuỗi hàm miền hội tụ Câu Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ x2 sin(2x) dx, xλ + λ tham số thực dương 10 a) Tìm ma trận f sở tắc R3 b) Tìm số chiều sở cho không gian ảnh hạt nhân tương ứng ánh xạ tuyến tính f nói Câu Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ xác định sở tắc R3 ma trận sau   −2    A= −2   −1 a) Tìm giá trị riêng ϕ b) Với giá trị riêng ϕ, tìm sở trực chuẩn không gian tương ứng c) Tìm ma trận trực giao Q cho Q−1 AQ ma trận chéo Tìm ma trận chéo 26 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2016 MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Câu Kiểm tra tính Abel hai nhóm sau: Nhóm (nZ, +) nhóm (Q, +) Giải thích chi tiết Câu Phân tích đa thức P (x) = 2x4 − 3x3 + 8x − 12 thành nhân tử bất khả quy Q [x] Từ giải phương trình P (x) = Q, R C Câu Cho V W không gian không gian R4 sinh hệ véc-tơ α1 , α2 , α3 β1 , β2 , β3 sau đây: α1 = (1, 2, 1, 0), α2 = (0, 2, 2, 0), α3 = (0, 0, 1, 1) β1 = (1, 2, 2, 1), β2 = (1, 4, 2, 3), β3 = (1, 2, 1, 2) a) Tìm sở số chiều tổng hai khơng gian V W b) Tìm số chiều giao hai không gian V W Câu Giả sử ϕ : R3 → R3 ánh xạ tuyến tính có  −1 −5  A=  −2 −1 −1 ma trận sở tắc     a) Tìm số chiều sở cho không gian hạt nhân ker(ϕ − 2id) ảnh Im(ϕ − 2id), id : R3 → R3 ánh xạ đồng chuyển véc-tơ v ∈ R3 vào b) Tìm sở R3 cho sở     0 ma trận ϕ có dạng     Câu Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ xác định sở tắc R3 ma trận sau   2    A=  2  2 a) Tìm giá trị riêng ϕ khơng gian tương ứng 27 b) Tìm ma trận trực giao Q cho Q−1 AQ ma trận chéo Tìm ma trận chéo Câu Dùng phương pháp Largrange đưa dạng toàn phương sau trường số thực dạng tắc x21 − 4x22 − 2x24 + 2x1 x3 − 4x1 x4 − 4x2 x4 − 8x3 x4 Tìm số qn tính dương, số qn tính âm dạng tồn phương 28 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2015 MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (Đợt 2) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Phân tích đa thức X − 5X − 7X + 35 thành nhân tử bất khả quy vành sau đây: a) Z [z]; b) R [z]; c) C [z] Câu Nhắc lại nhóm thay phiên A5 nhóm nhóm S5 gồm tất phép đối xứng Hỏi nhóm A5 có tất phần tử có cấp bằng: a) b) Câu Tính định thức cấp n sau a1 b a1 b a1 b a b n a1 b a2 b a2 b a b n a1 b a2 b a3 b a b n a1 bn a2 bn a3 bn an bn Câu Ký hiệu M (n × n, R) R− không gian véc-tơ ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc vào trường R Với A ∈ M (n × n, R), ta ký hiệu At chuyển vị A, tức ma trận thu từ A cách đổi hàng thành cột ngược lại Cho f : M (n × n, R) → M (n × n, R) ánh xạ xác định f (A) = A − At a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm sở số chiều ker f c) Chứng minh Imf không gian véc-tơ bao gồm ma trận phản đối xứng (ma trận A gọi phản đối xứng At = −A) Từ chứng minh M (n × n, R) = ker f ⊕ Imf 29 Câu Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ xác định đối  −2  A=  −2 với sở tắc R3 ma trận sau     a) Tìm giá trị riêng ϕ b) Với giá trị riêng ϕ, tìm sở trực chuẩn khơng gian tương ứng c) Tìm ma trận trực giao Q cho Q−1 AQ ma trận chéo Tìm ma trận chéo Câu Dùng phương pháp Largrange đưa dạng toàn phương sau trường số thực dạng tắc x21 + 6x22 + x23 − 9x24 − 4x1 x2 + 2x1 x4 − 4x2 x3 − 10x3 x4 Tìm số quán tính dương, số quán tính âm dạng tồn phương 30 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2015 MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho p q hai số nguyên tố khác a) Tìm tất đồng cấu nhóm Z/pq → Z/p b) Tìm ảnh hạt nhân đồng cấu Câu Phân tích đa thức X − X + 2X − thành nhân tử bất khả quy vành sau đây: a) Z [z]; b) R [z]; c) C [z] Câu Tìm số chiều sở không gian véc-tơ Rn xác định phương trình sau 1 x1 + x2 + x3 + + xn = n Câu Cho ánh xạ tuyến tính f : C5 → C3 xác định ma trận sau sở tắc C5 C3  10   A=   −1   −2 1 a) Tìm sở hạt nhân f b) Tìm số chiều ảnh f Câu Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ xác định sở tắc R3 ma trận sau   −4 −1    A= −1 −4 −2   −2 −1 a) Tìm giá trị riêng ϕ b) Với giá trị riêng ϕ, tìm sở trực chuẩn khơng gian tương ứng 31 c) Tìm ma trận trực giao Q cho Q−1 AQ ma trận chéo Tìm ma trận chéo Câu Dùng phương pháp Largrange đưa dạng toàn phương sau trường số thực dạng tắc 4x21 + 14x22 + 2x23 + 8x1 x2 + 4x1 x3 − 4x2 x3 Tìm số qn tính dương, số qn tính âm hạng dạng tồn phương 32 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2014 MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho ba phép nhóm đối xứng S7       7 ,β =  ,γ =   α= 6 7 a) Viết α, β, γ dạng xích tìm cấp chúng b) Tìm phép δ thỏa mãn αδβ = γ  Câu Cho R tập hợp tất ma trận có dạng  a b b a  , a, b số nguyên a) Chứng minh R với phép cộng phép nhân ma trận thông thường lập thành vành  b) Chứng minh f :  a b b a   → a − b xác định đồng cấu vành từ R vào vành số nguyên Z Tìm ảnh hạt nhân f Câu Giải biện luận hệ phương trình sau trường số thực (a tham số)   x − 2y − z =    2x + 5y + (a − 1)z =     x + ay + 17z = Câu Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R5 xác định sau (x, y, z, t)T → (x+2y+3z−t, 3x+7y+14z+3t, x+2y+4z+t, 4x+9y+18z+4t, 8x+18y+35z+6t)T (Ký hiệu v T chuyển vị véc-tơ v) a) Tìm ma trận f cặp sở tắc R4 R5 b) Hãy xác định số chiều tìm sở cho hạt nhân f c) Hãy xác định số chiều tìm sở cho ảnh f 33 Câu Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ xác định sở tắc R3 ma trận sau   −1 1    A= −1   1 −1 a) Tìm giá trị riêng ϕ b) Với giá trị riêng ϕ, tìm sở trực chuẩn khơng gian tương ứng c) Tìm ma trận trực giao Q cho Q−1 AQ ma trận chéo Tìm ma trận chéo Câu Dùng phương pháp Largrange đưa dạng tồn phương sau khơng gian Euclid chiều dạng tắc 12x2 + 9y − z + 14t2 + 12xy + 12xz + 6yz − 12yt − 16zt Tìm số qn tính dương, số qn tính âm dạng tồn phương 34 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012 MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (Đề số 1) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho G = x nhóm xyclic cấp n Chứng minh với số tự nhiên m, ≤ n , (m, n) ký hiệu ước số chung lớn m < n, nhóm sinh xm có cấp (m, n) m n Câu Chứng minh iđêan sinh đa thức (x2 + 1) iđêan nguyên tố vành đa thức Z [x], iđêan cực đại Thay vành Z [x] vành Q [x] kết luận có thay đổi khơng? Giải thích Câu Tự đồng cấu f khơng gian véc-tơ phức C3 có ma trận sở tắc (e1 , e2 , e3 )  −1  M =  −1 1   −1   a) Tìm hạt nhân f b) Chứng minh tự đồng cấu f chéo hóa c) Hãy xây dựng sở gồm toàn véc-tơ riêng cho f   1  Câu Cho ma trận A =  −1 a) Chứng minh A2 = A − E2 , E2 ma trận đơn vị cấp b) Chứng minh với số nguyên dương k, A3k = (−1)k E2 , A3k+1 = (−1)k A A3k+2 = (−1)k (A − E2 ) c) Xét hai dãy số thực (un ) (vn ) cho công thức un+1 = un + vn+1 = −un Hãy tìm cơng thức tính un , theo u1 , v1 n Áp dụng để tính số hạng thức 2012 dãy số (xn ) xác định x1 = 23, x2 = xn+2 = xn+1 − xn Câu Cho H dạng toàn phương không gian R4 : H(x) = 2λ(x1 x2 + x3 x4 ) − 2µ(x1 x3 + x2 x4 ), λ, µ hai tham số thực Hãy xác định hạng số quán tính (p, q) H theo hai tham số λ µ 35 Câu Cho dãy khớp không gian véc-tơ hữu hạn chiều f0 f1 f2 fn−1 fn → V1 → V2 → → Vn → 0, (nghĩa f0 , f1 , , fn đồng cấu Im(fi ) = ker(fi+1 ) với i = 0, 1, , n − 1) Chứng minh dim V1 − dim V2 + + (−1)n−1 dim Vn = 36 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012 MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (Đề số 2) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho p số nguyên tố Fb trường có p phần tử Ký hiệu GL(n, Fp ) nhóm nhân gồm tất ma trận khả nghịch cấp n với phần tử Fp a) Chứng minh tương ứng A → det(A) xác định đồng cấu nhóm từ GL(n, Fp ) tới nhóm nhân gồm phần tử khác Fp b) Cho SL(n, Fp ) = {A ∈ GL(n, Fp ) |det(A) = } Chứng minh SL(n, Fp ) nhóm chuẩn tắc GL(n, Fp ) nhóm thương GL(n, Fp )/SL(n, Fp ) nhóm xyclic cấp p − Câu Cho I = (X, 2) iđêan sinh tập hợp gồm hai phần tử X vành Z [X] Chứng minh rằng: a) I khơng iđêan chính; b) Vành thương Z/I đẳng cấu với vành số nguyên modulo 2, Z/2Z Câu Cho V, W hai không gian véc-tơ R ϕ :  λ −1  A=  −1 λ 10 −6 V → W ánh xạ tuyến tính có ma trận     cặp sở (α1 , α2 , α3 , α4 ) (β1 , β2 , β3 ) a) Với λ = 3, tìm sở số chiều cho ker(ϕ) Im(ϕ) b) Tìm tất giá trị λ cho ϕ đơn cấu; ϕ tồn cấu Câu Cho V khơng gian véc-tơ n chiều trường số phức C, f g hai tự đồng cấu V , id ánh xạ đồng V a) Giả sử f ◦ g nhận làm giá trị riêng, chứng minh giá trị riêng g ◦ f b) Hãy tìm điều kiện cần đủ cho tập giá trị riêng f cho id − f tự đẳng cấu 37 c) Giả sử λ1 , , λn giá trị riêng f Hãy tìm số phức α cho id − αf khả nghịch Câu Cho H : R3 → R dạng tồn phương có biểu thức tọa độ 2x21 + 5x22 + 5x23 + 4x1 x2 − 4x1 x3 − 8x2 x3 sở tắc Tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng tồn phương H dạng tắc tìm dạng tắc Câu Chứng minh A ma trận đường chéo với giá trị riêng khơng âm tồn ma trận B để B = A Ứng dụng để tìm   C2 =   0 ma trận C cho     16 38 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2011 MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho A nhóm có số nhóm hữu hạn G (Nói khác, số phần tử A nửa số phần tử G) a) Chứng tỏ xA ∩ A = ∅, Ax ∩ A = ∅ với x ∈ G \ A b) Chứng tỏ A nhóm chuẩn tắc G Xác định nhóm thương G \ A Câu Chứng minh tập hợp ma trận dạng   a −b  , b a a, b ∈ Z/3 lập nên trường với phép cộng nhân ma trận thông thường Ở Z/3 trường mod Câu Cho E = R3 [x] không gian véc-tơ đa thức hệ số thực có bậc khơng q Định nghĩa tích vơ hướng E sau: f, g = f (x)g(x) dx −1 a) Trực giao hóa Schmidt sở (1, x, x2 , x3 ) E b) Chuẩn hóa sở thu q trình trực giao hóa nói (để có sở trực chuẩn) Câu Cho f g hai tự đồng cấu không gian véc-tơ hữu hạn chiều V Chứng minh tồn tự đẳng cấu ϕ : V → V cho f = ϕ ◦ g hạt nhân f g Câu Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ xác định  −1 −1  M =  −1 −1 −1 −1 sở tắc R3 ma trận sau     a) Tìm giá trị riêng ϕ b) Với giá trị riêng ϕ, tìm sở trực chuẩn khơng gian tương ứng 39 c) Tìm ma trận trực giao Q cho Q−1 M Q ma trận chéo Tìm ma trận chéo Câu Cho V không gian véc-tơ với ma trận thực vuông cấp Vết ma trận A ∈ V , ký hiệu tr(A), tổng phần tử đường chéo A Đặt η : V × V → R ánh xạ xác định công thức η(A, B)tr(AB) a) Chứng minh η dạng song tuyến tính V b) Tìm ma trận η sở tắc V gồm ma trận sau:         0 0 0  , E2 =   , E3 =   , E4 =   E1 =  0 0 0 c) Tìm hạng η Nó có xác định dương hay không? 40 ... Khoa KHCB, Học viện PK - KQ Địa chỉ: Kim Sơn, Sơn Tây, Hà Nội —–o0o— TUYỂN TẬP ĐỀ THI CAO HỌC TOÁN TỪ NĂM 2011 - 2019 Ngành Toán học, Đại học Khoa học Tự nhiên HÀ NỘI - 2019 Mục lục I II ĐỀ THI. .. 17 n→∞ Phần II ĐỀ THI MÔN CƠ BẢN ĐẠI SỐ 18 Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2019 MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (Đợt 1) Thời gian làm bài: 180... thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 4, năm 2019 Trần Tuấn Việt.1 Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học bản, Học viện PK - KQ Phần I ĐỀ THI MƠN CƠ SỞ GIẢI TÍCH ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC