Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn C B, C là hai tiếp điểm sao cho tam giác ABC vuông.. Tìm m để trên đờng thẳng d có d[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 193) I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 ®iÓm) x +1 C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè y= có đồ thị là (C) x+2 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ C©u II (2 ®iÓm) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 2.Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh √ log 22 x − log x − 3> √5 (log x − 3) dx C©u III (1 ®iÓm) T×m nguyªn hµm I =∫ sin x cos x C©u IV (1 ®iÓm) Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a, gãc t¹o bëi c¹nh bªn vµ mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính khoảng cách hai đờng thẳng AA1 và B1C1 theo a 2 C©u V (1 ®iÓm) Cho a, b, c 0 và a b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a3 b2 b3 c2 c3 a2 II.PhÇn riªng (3 ®iÓm) 1.Theo ch¬ng tr×nh chuÈn C©u VIa (2 ®iÓm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = và đờng thẳng d: x + y + m = Tìm m để trên đờng thẳng d có điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình ¿ x=1+2 t y=t LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ z=1+3 t ¿{{ ¿ lín nhÊt C©u VIIa (1 ®iÓm) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã ch÷ sè kh¸c vµ kh¸c mµ mçi sè lu«n lu«n cã mÆt hai ch÷ sè ch½n vµ hai ch÷ sè lÎ 2.Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao (3 ®iÓm) C©u VIb (2 ®iÓm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = và đờng thẳng d có phơng trình x + y + m = Tìm m để trên đờng thẳng d có điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình x −1 y z −1 LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi = = (P) lµ lín nhÊt C©u VIIb (1 ®iÓm) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã ch÷ sè kh¸c mµ mçi sè lu«n lu«n cã mÆt hai ch÷ sè ch½n vµ ba ch÷ sè lÎ -HÕt- (2) đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 193) I.PhÇn dµnh cho tÊt c¶ c¸c thÝ sÝnh C©u (1,25 ®iÓm) I a.TX§: D = R\{-2} (2 b.ChiÒu biÕn thiªn ®iÓm) §¸p ¸n §iÓm 0,5 x → −2+¿ =− ∞; lim y =+ ∞ +Giíi h¹n: x → −2− lim y =lim y =2 ; lim y x →− ∞ x →+∞ ¿ Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2 và tiệm cận ngang là y=2 x+ 2¿ ¿ + ¿ y '= ¿ 0,25 Suy hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞; −2) và (−2 ;+ ∞) +B¶ng biÕn thiªn x y’ −∞ -2 + +∞ + 0,25 +∞ y c.§å thÞ: §å thÞ c¾t c¸c trôc Oy t¹i ®iÓm (0; −∞ 1 ) vµ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm( − ;0) 2 0,25 Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng (0,75 ®iÓm) Hoành độ giao điểm đồ thị (C ) và đờng thẳng d là nghiệm phơng x +1 =− x +m ⇔ x +2 tr×nh x ≠ −2 x +(4 −m) x +1− 2m=0(1) ¿{ −2 ¿ +(4 − m).(−2)+ 1− 2m=− ≠ ∀ m Do (1) cã Δ=m2 +1>0 va ¿ II (2 ®iÓm) 0,25 nên đờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta cã yA = m – xA; yB = m – xB nªn AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 0,5 12) suy AB ngắn AB2 nhỏ m = Khi đó AB=√ 24 (1 ®iÓm) Phơng trình đã cho tơng đơng với 0,5 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + – 2sin2x = 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0,25 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = (3) 1− sin x=0 ¿ cos x +2 sin x −7=0(VN) ¿ ¿ ¿ ¿ π x= +k π 0,25 (1 ®iÓm) ¿ x >0 §K: log 22 x − log x − ≥0 ¿{ ¿ 0,5 Bất phơng trình đã cho tơng đơng với √ log 22 x − log x − 3> √5 (log x −3)(1) đặt t = log2x, BPT (1) √ t −2 t −3> √5( t −3)⇔ √(t −3)(t+1)> √ 5(t − 3) III ®iÓm ⇔ ¿ t >3 t −3 ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ t ≤− ¿ 3<t <4 ¿ ⇔ ¿ t ≤− ¿ ¿ ¿{ ¿ (t+1)(t − 3)> 5¿ ⇔ 0< x ≤ ¿ 8< x <16 Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là: ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ dx dx I =∫ =8 ∫ 3 sin x cos x cos x sin x cos2 x đặt tanx = t 0,25 ¿ ∪(8 ; 16) 0,5 (4) ⇒ dt= dx 2t ; sin2 x= cos x 1+ t 2t ¿ 1+t ¿ t 2+ 1¿ ¿ ¿ t3 ¿ ¿ ¿ ¿ dt ¿ ⇒ I =8 ∫ ¿ t + t + 3t +1 dt t 3 ∫ (t3 +3 t+ t +t −3 )dt= tan x + tan2 x +3 ln|tan x|− tan2 x +C ¿∫ C©u IV ®iÓm 0,5 Do AH ⊥( A B1 C1 ) nªn gãc ∠ AA H lµ gãc gi÷a AA1 vµ (A1B1C1), theo gi¶ thiÕt th× gãc ∠ AA H b»ng 300 XÐt tam gi¸c vu«ng AHA1 cã AA1 = a, a √ Do tam giác A B C là tam giác 1 c¹nh a, H thuéc B1C1 vµ A H = a √ nªn A1H vu«ng gãc víi B1C1 MÆt kh¸c AH ⊥ B1 C nªn B C ⊥( AA H ) gãc ∠ AA H =300 ⇒ A1 H= A B C K A1 H C B1 Kẻ đờng cao HK tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách AA1 vµ B1C1 Ta cã AA1.HK = A1H.AH ⇒ HK= 0,5 A1 H AH a √ = AA 0,25 0,25 (5) C©u V ®iÓm a3 b3 c3 2 +b + +c + +a Ta có: P + = 2 √1+b √ 1+ c √1+a 2 2 a a 1+b +b b 1+c ⇔ P+ = + + + + 2 √2 √1+b 2 √ 1+b2 √ 2 √ 1+c √1+c √ 2 0,5 +c c 1+a a6 b6 c6 3 + + +3 + 2 √ 1+a √ 1+ a √2 16 √2 16 √ 16 √ 9 3 3 2 ⇒P≥ − = − = ⇒ P+ ≥ (a + b + c )= √ 2 √ √2 √8 √2 √ 2 √ 2 √2 √ √ √ √ Để PMin a = b = c = PhÇn riªng 1.Ban c¬ b¶n C©u 1.( ®iÓm) VIa Từ phơng trình chính tắc đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và AB ⊥ AC => tứ giác ABIC là hình vuông ®iÓm c¹nh b»ng ⇒ IA=3 √ ⇔ 0,5 0,5 |m− 1| √2 =3 √ 2⇔ |m− 1|=6 ⇔ (1 ®iÓm) m=− ¿ m=7 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Gọi H là hình chiếu A trên d, mặt phẳng (P) qua A và (P)//d, đó khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH ≥ HI => HI lín nhÊt 0,5 0,5 A ≡I VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn ⃗ AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn H ∈ d ⇒ H (1+2 t ; t ; 1+3 t) v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn u⃗ =(2 ; 1; 3) 0,5 lµ vÐc t¬ chØ ph¬ng cña d) AH ⊥ d ⇒ ⃗ AH u⃗ =0 ¿ ⇒ H (3 ; ; 4)⇒ ⃗ AH(−7 ;− 1; 5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = C©u VIIa ®iÓm C©u VIa 7x + y -5z -77 = Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta thÊy cã C24=6 c¸ch chän ch÷ sè ch½n (v× kh«ng cã 0,5 sè 0)vµ C25 =10 c¸ch chän ch÷ sè lÏ => cã C25 C25 = 60 bé sè tháa m·n bµi to¸n 0,5 Mỗi số nh có 4! số đợc thành lập Vậy có tất C24 C25 4! = 1440 sè 2.Ban n©ng cao 1.( ®iÓm) Từ phơng trình chính tắc đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc tiếp (6) ®iÓm tuyến AB, AC tới đờng tròn và AB ⊥ AC => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh b»ng ⇒ IA=3 √ |m− 1| ⇔ =3 √ 2⇔ |m− 1|=6 ⇔ √2 m=− ¿ m=7 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (1 ®iÓm) Gọi H là hình chiếu A trên d, mặt phẳng (P) qua A và (P)//d, đó khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH ≥ HI => HI lín nhÊt 0,5 0,5 0,5 A ≡I VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn ⃗ AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn H ∈ d ⇒ H (1+2 t ; t ; 1+3 t) v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn u⃗ =(2 ; 1; 3) lµ vÐc t¬ chØ ph¬ng cña d) AH ⊥ d ⇒ ⃗ AH u⃗ =0 ¿ ⇒ H (3 ; ; 4)⇒ ⃗ AH(−7 ;− 1; 5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = C©u VIIa ®iÓm 0,5 7x + y -5z -77 = 0,5 Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta thÊy cã C25 =10 c¸ch chän ch÷ sè ch½n (kÓ c¶ sè cã chữ số đứng đầu) và C35 =10 cách chọn chữ số lẽ => có C25 C35 = 100 số đợc chọn 0,5 Mỗi số nh có 5! số đợc thành lập => có tất C25 C35 5! = 12000 sè Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số đứng đầu là C14 C 35 !=960 VËy cã tÊt c¶ 12000 – 960 = 11040 sè tháa m·n bµi to¸n (7)