Phần I. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN I. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương: a) Sơ đồ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức Tập xác định: Tính Cho để tìm các nghiệm (nếu có). Tính hai giới hạn: Vẽ bảng biến thiên của hàm số. Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số. Lập bảng giá trị:Tìm điểm đối xứng (đối với hàm số bậc ba), cho thêm điểm ở hai nhánh vô cực. Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét về tính đối xứng, giao của đồ thị với các trục toạ độ b) Vài lưu ý: ** Đối với hàm bậc ba: Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm Đặc biệt: Khi hàm số có 2 cực trị thì tìm tâm đối xứng bằng công thức: - Tìm thêm toạ độ các điểm ở nhánh vô cực bằng công thức: (khi h/số có cực trị) hoặc (khi h/số không có cực trị) ** Đối với hàm bậc bốn: - Khi a, b cùng dấu thì hàm số luôn có một cực trị x = 0, - Khi a, b trái dấu h/số có 3 cực trị: Số nghiệm của phương trình Số nghiệm của phương trình có 2 nghiệm phân biệt Hàm số có 2 cực trị có 3 nghiệm phân biệt Hàm số có 3 cực trị có nghiệm kép Hàm số không có cực trị có 1 nghiệm duy nhất Hàm số có 1 cực trị vô nghiệm Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ: Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4 trùng phương Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số GIẢI * TXĐ: D = R * Đạo hàm: Cho * Giới hạn: * Bảng biến thiên: * Nhận xét: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên khoảng + Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại * Đồ thị: + Bảng giá trị: + Vẽ đồ thị (như hình bên) + Đồ thị nhận điểm (-1;-2) làm tâm đối xứng. Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số GIẢI * TXĐ: D = R * Đạo hàm: Cho * Giới hạn: * Bảng biến thiên: * Nhận xét: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên khoảng + Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại * Đồ thị: + Bảng giá trị: + Vẽ đồ thị (như hình bên) + Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng. Hàm số bậc 3 không có cực trị) Hàm số bậc 4 không có cực trị Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số GIẢI * TXĐ: D = R * Đạo hàm: Cho * Giới hạn: * Bảng biến thiên: * Nhận xét: + Hàm số đồng biến trên khoảng + Hàm số không có cực trị * Đồ thị: + Bảng giá trị: + Vẽ đồ thị (như hình bên) + Đồ thị nhận điểm (1; 0) làm tâm đối xứng. Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số GIẢI * TXĐ: D = R * Đạo hàm: Cho * Giới hạn: * Bảng biến thiên: * Nhận xét: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên khoảng + Hàm số đạt cực đại tại , không có cực tiểu. * Đồ thị: + Bảng giá trị: + Vẽ đồ thị (như hình bên) + Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng. 2. Hàm số nhất biến: Sơ đồ khảo sát hàm số Ví dụ TXĐ: Đạo hàm: Nhận xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số: + Nếu thì hàm số đồng biến ……. + Nếu thì hàm số đồng biến ……. Giới hạn: + ; Tiệm cận + Đường thẳng là tiệm cận ngang + Đường thẳng là tiệm cận đứng Bảng biến thiên Nhận xét tính ĐB, NB VD1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số GIẢI • TXĐ: • Đạo hàm: • Giới hạn: + + • Tiệm cận: là TCN; là TCĐ; • Bảng biến thiên: • Đồ thị: + Bảng giá trị: • Vẽ đồ thị: Đồ thị nhận điểm (1; 1) làm tâm đối xứng. ad – bc > 0 Nhận xét tính ĐB, NB CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ BÀI TOÁN 1: XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Phương pháp Ví dụ Kết luận: hàm số ĐB trên các khoảng: , ; NB trên khoảng (-1; 2). BÀI TOÁN 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định.
TRƯỜNG THPT KHÁNH LÂM TỔ TỐN - TIN Ôn tập Tốt nghiệp Môn Toán GV: Dương Bảo Quốc http://mahtsthptkhanhlam.tk Phần I KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN I Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương: a) Sơ đồ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số đa thức Tập xác định: D = � Tính y� Cho y�= để tìm nghiệm x0 (nếu có) lim y ; lim y Tính hai giới hạn: x�� x�+� Vẽ bảng biến thiên hàm số Nêu đồng biến, nghịch biến cực trị (nếu có) hàm số Lập bảng giá trị:Tìm điểm đối xứng (đối với hàm số bậc ba), cho thêm điểm hai nhánh vô cực Vẽ đồ thị hàm số nêu nhận xét tính đối xứng, giao đồ thị với trục toạ độ b) Vài lưu ý: ** Đối với hàm bậc ba: Đồ thị hàm số bậc ba đối xứng qua điểm (- b b ; f ()) 3a 3a Đặc biệt: Khi hàm số có cực trị tìm tâm đối xứng công thức: x�/x = xC� + xCT y + yCT ; y�/x = C� 2 - Tìm thêm toạ độ điểm nhánh vô cực cơng thức: xt = 2.xc.tr�- x�/x (khi h/số có cực trị) xt = xc.tri �1 (khi h/số khơng có cực trị) ** Đối với hàm bậc bốn: - Khi a, b dấu hàm số ln có cực trị x = 0, - Khi a, b trái dấu h/số có cực trị: x = � - b ;x = 2a y = ax3 + bx2 + cx + d (a �0) Số nghiệm phương =0 trình y� a>0 a0 a (khơng có dấu “=”) Hàm số y = ax + b nghịch biến cx + d khoảng xác định � y� < 0, " x �D � ad - cb < (khơng có dấu “=”) BÀI TẬP: Bài :Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định a) y = x3 -3mx2 + (m + 2)x – ĐS: m 1 b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m -1 ĐS: m = 3 c) y = (m - 1)x + (m- 1)x - 2x + Bài 2: Tìm m để hàm số sau nghịch biến tập xác định y = - x3 (m 2) x (m 8) x ĐS: m 4 Bài : Chứng minh 0947 7.80.80.7 dbq807@gmail.com b) e x 1 �x 2,x �R a) x > sinx, x (-π/2,π/2) c) x �e ln x x>1 d) phương trình sau có nghiệm : x x x CÁC BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1/ Điều kiện để hàm số có cực trị x = x0 : y'(x0 ) 0 dấu quax0 y' đổi y ' ( x0 ) 0 y ' ' ( x0 ) 0 2/ Điều kiện để hàm số có cực đại x0: y '(x0 ) = � � hoaëc � � y '� o� i da� u + � - qua x0 � Quy tắc tìm cực trị y = f(x) Quy tắc 1: Tìm TXĐ Tính f’(x) Tìm điểm f’(x) = f’(x) khơng xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Quy tắc 1.Tìm TXĐ y'(x0 ) 0 Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = kí y''(x0 ) hiệu xi ( i = 1, 2, 3…n) nghiệm Tính f ”(x) f ”(xi) 3/ Điều kiện để hàm số coù 4, Dựa vào dấu f ”(xi) suy tính chất cực trị cực tịểu x0: x i �y'(x ) 0 � o� i da� u - � qua x0 �y'(x) � y'(x0 ) � � y''(x0 ) � hoaëc MỘT SỐ LÝ LUẬN MỞ RỘNG + y f x có cực trị nằm phía trục hồnh � yCD yCT + y f x có hai cực trị nằm phía trục tung � xCD xCT �yCD yCT �yCD yCT + y f x có hai cực trị nằm trục hoành � � �yCD yCT �yCD yCT + y f x có hai cực trị nằm trục hồnh � � + y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành � yCD yCT BÀI TỐN 3: Tìm cực trị hàm số Ví dụ minh hoạ VD1: Tìm cực trị hàm số y = x3 - 3x2 + 2, GIẢI * TXĐ: D = R � x=0 � x =2 � * y ' = 3x2 - 6x, y ' = � � * Bảng biến thiên: x - y' + y - CÑ y ' = � cos x = - + + -2 CT + Hàm số đạt cực đại x = 0;yC� = 2, + Hàm số đạt cực tiểu x = 2;yCT = - Cách 2: Tài liệu tham khảo VD2: Tìm cực trị hàm số y = sin x - x, GIẢI * TXĐ: D = R * y ' = cos x - 1, + * y " =- p � x = � +k.2p, k �Z 2sin x p p sin( +k.2p) =- 1< p Suy ra, hàm số đạt cực đại x = +k.2p + y "( +k.2p) =- -6- Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn http://mahtsthptkhanhlam.tk * TXĐ: D = R yCĐ = 1- � x=0 * y ' = 3x2 - 6x, y ' = � � � x =2 � * y " = 6x - + y"(0) =- 6< 0� Hàm số đạt CĐ x = 0;yC� = 2, + y"(2) = 6> � Hàm số đạt CT x = 2;yCT = - p +k.2p, k �Z p +k.2p) = 1> p Suy ra, hàm số đạt cực đại x =- +k.2p + y "(- p +k.2p) =4 yCT =- 1+ sin(- p +k.2p, k �Z BÀI TỐN 4: Tìm giá trị m để hàm số đạt cực trị điểm cho trước Phương pháp Ví dụ 1: Tìm điều kiện m để hàm số � y '(x0 ) = � y "(x0 ) < � Hàm số đạt cực đại x0 � � � y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + đạt cực đại x0 = Bài giải y '(x0 ) = � Hàm số đạt cực tiểu x0 � � � � y "(x0 ) > � y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + (*) Tập xác định: D = Đạo hàm: y� = f� (x) = 3x2 - 6mx + (m2 - 1) � � y� = f� (x) = 6x - 6m CÁC BƯỚC: + Tìm TXĐ + Tính y’ y’’ + Dùng điều kiện để lý luận giải hệ tìm m Hàm số (*) đạt cực đại x0 = f� (2) = � � m2 - 12m + 11 = � � � �� � � � 12 - 6m < f� (2) < � � � � � � � m=1 � � � � m = 11 � m = 11 �� � � � � � m>2 � � Vậy với m = 11 hàm số (*) đạt CĐ x0 = BÀI TOÁN 5: Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu Phương pháp: + Điều kiện để h/số bậc y = ax3 +bx2 +cx +d, (a �0) có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= có hai nghiệm phân biệt a �0 � � y' � + Điều kiện để hàm bậc y = ax4 +bx2 +c, (a �0) có cực trị :