Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E... Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của[r]
(1)đề thi Ô-lim -pic huyện M«n To¸n Líp N¨m häc 2006-2007 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: n 16 2 n ; a) b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chøng minh: AE = BC QuËn t©n phó - Năm học 2003 – 2004 (90 phút) Bài (3đ): 1, Tính: 1 2003 2004 2005 5 P = 2003 2004 2005 2 2002 2003 2004 3 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 x x 0, 25 xy x2 y 3, Cho: A = x ; y Tính giá trị A biết là số nguyên âm lớn (2) Bài (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + + 3x + = 117 Bài (1đ): Một thỏ chạy trên đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy trên đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ trên đoạn đường nào lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ trên hai đoạn đường ? Bài (2đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 120 Bài (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB thị xã hà đông – hà tây Năm học 2003 – 2004 (120 phút) Bài (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + (3) C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 16 2, Tính giá trị M(x) x = 0, 25 3, Có giá trị nào x để M(x) = không ? Bài (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x x x Bài (4đ): Tìm giá trị nguyên m và n để biểu thức 1, P = m có giá trị lớn 8 n 2, Q = n có giá trị nguyên nhỏ Bài (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A, cắt các đường thẳng AB, AC D, E 1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD và BD theo b, c Bài (3đ): Cho ∆ABC cân A, BAC 100 D là điểm thuộc miền ∆ABC cho DBC 10 , DCB 20 Tính góc ADB ? Tp Năm học 2004 – 2005 (90 phút) Bài (3đ): Tính: (4) 3 1 1 1 1, 2, (63 + 62 + 33) : 13 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 Bài (3đ): a b c 1, Cho b c a và a + b + c ≠ 0; a = 2005 Tính b, c a b c d 2, Chứng minh từ hệ thức a b c d ta có hệ thức: a c b d Bài (4đ): Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: x ; x 0 y = x ; x Bài (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 60 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác đó cắt I Chứng minh: ID = IE (5) quÕ vâ – bn Năm 2007 – 2008: (120 phút) Bài (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : A= − − 0,( 4)+ − − | | (√ ) | + − Bài (3đ): Cho a,b,c | thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: R và a,b,c a c = a+2007 b ¿ ¿ b+ 2007 c ¿ ¿ ¿ ¿ Bài (4đ): Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hoàn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ là 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ là người và suất công nhân là Hỏi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu (6đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE 1, Chứng minh: BE = DC 2, Gọi H là giao điểm BE và CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ): Cho m, n p N và p là số nguyên tố thoả mãn: m−1 = Chứng minh : p2 = n + m+n p (6) §Ò sè Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Cho A=(0,8 7+0 82).(1 ,25 − 1, 25)+31 ,64 B= (11, 81+8 , 19) , 02 : 11, 25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A=10 1998 − cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: Tính quãng đờng ngời tới lúc gặp ? C©u 3: a) Cho f ( x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (−2) f (3)≤ BiÕt r»ng 13 a+b+ 2c =0 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A= cã gi¸ trÞ lín nhÊt 6−x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AC Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 90 F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AB a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB EC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 89 A=19 +2 96 (7) §Ò sè C©u 1: (2 ®iÓm) 3 , 375− 0,3+ + 1,5+1 −0 , 75 11 12 1890 a) TÝnh A= + : +115 5 2005 2,5+ −1 , 25 − ,625+ 0,5− − 11 12 1 1 1 b) Cho B= + + + + + 2004 + 2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B< ( ) C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu a = c th× a+3 b = c +3 d b d a − b c −3 d (giả thiết các tỉ số có nghĩa) b) T×m x biÕt: x −1 + x − − x − = x − 2004 2003 2002 2001 C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D vµ E c¾t AB, AC lÇn lît ë M, N Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN c) Đờng thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trên cạnh BC C©u 5: (1 ®iÓm) Tìm số tự nhiên n để phân số n− có giá trị lớn 2n − (8) §Ò sè C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: A= B= (0 , 75 −0,6+ 37 +133 ): (117 + 1113 +2 ,75 − 2,2) (10 √17 , 21 +22 √30 ,25 ) :( √549 + √225 ) b) Tìm các giá trị x để: |x +3|+|x +1|=3 x C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M = a + b + c kh«ng lµ sè a+b b+c c+ a nguyªn b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab+ bc+ ca ≤ C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m hai sè d¬ng kh¸c x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn lît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12 b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; vµ Thêi gian máy bay bay từ A đến B ít thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B bao lâu ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các ®iÓm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: + + + + < 15 25 1985 20 (9) §Ò sè Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh với số n nguyên dơng có: A= 5n (5n +1)− 6n (3 n+ 2) ⋮ 91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P cho P2+ 14 lµ sè nguyªn tè Bµi 2: ( ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n cho n2 +3 ⋮ n− b) BiÕt bz −cy =cx − az =ay − bx a b Chøng minh r»ng: c a b c = = x y z Bµi 3: (2 ®iÓm) An và Bách có số bu ảnh, số bu ảnh ngời cha đến 100 Số bu ¶nh hoa cña An b»ng sè bu ¶nh thó rõng cña B¸ch + B¸ch nãi víi An NÕu t«i cho b¹n c¸c bu ¶nh thó rõng cña t«i th× sè bu ¶nh cña b¹n gÊp lÇn sè bu ¶nh cña t«i + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c bu ¶nh hoa cña t«i th× sè bu ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè bu ¶nh cña b¹n TÝnh sè bu ¶nh cña mçi ngêi Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC có góc A 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 52 p +1997=5 p + q2 (10) §Ò sè Bµi 1: (2 ®iÓm) TÝnh: (13 14 −2 275 −10 56 ) 230 251 + 46 34 (1103 +103 ): (12 13 −14 27 ) Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A=36 38+ 4133 chia hÕt cho 77 b) Tìm các số nguyên x để B=|x −1|+|x −2| đạt giá trị nhỏ c) Chøng minh r»ng: P(x) ¿ ax + bx +cx+ d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn vµ chØ 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho tØ lÖ thøc a = c b d ab a −b = cd c − d Chøng minh r»ng: vµ 2 a+b a +b = 2 c+ d c +d ( ) b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n cho: 2n − chia hÕt cho Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các ®iÓm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: a+2 b ⋮ 17 ⇔10 a+b ⋮ 17 (a, b Z ) (11) §Ò sè 10 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn d¬ng a lín nhÊt cho 2004! chia hÕt cho 7a b) TÝnh 1 1 + + + .+ 2005 P= 2004 2003 2002 + + + + 2004 Bµi 2: (2 ®iÓm) x y z t = = = Cho y + z +t z +t + x t + x+ y x + y + z chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn P= x+ y y + z z +t t + x + + + z +t t+ x x+ y y+ z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11 km để đến C VËn tèc cña ngêi ®i tõ A lµ 20 km/h VËn tèc cña ngêi ®i tõ B lµ 24 km/h Tính quãng đờng ngời đã Biết họ đến C cùng lúc và A, B, C th¼ng hµng Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC KÎ AH BC (H BC) VÏ AE AB vµ AE = AB (E và C khác phía AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng th¼ng AH (M, N AH) EF c¾t AH ë O Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579 (12) §Ò sè 11 C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh : 1 − + 39 51 A= 1 − + 52 68 ; B=512 − C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = x y z = = b) T×m x, y, z biÕt: z + y +1 x+ z +1 512 512 512 512 − − − − 10 2 2 x+ y − =x + y + z (x, y, z ) C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d¬ng ta cã: chia hÕt cho 10 S=3 n+2 − 2n+2 +3 n −2 n 2 b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: x − 2004 ¿ =23 − y 7¿ C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M cho AM = AC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay cho AN = AB LÊy ®iÓm P trªn tia AK cho AK = KP Chøng minh: a) AC // BP b) AK MN C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn Chøng minh r»ng: 2n 2n 2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n a +b ≤ c (13) §Ò sè 12 C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh: 16 +3 19 A= : 24 14 −2 34 17 34 1 1 1 B= − − − − − − 54 108 180 270 378 ( ) C©u 2: ( 2, ®iÓm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + b) |3 m− 1|<3 2) Chøng minh r»ng: 3n+ −2n +4 +3 n+ 2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d¬ng C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: x y y z = = ; vµ x − y =−16 b) Cho f (x)=ax2 + bx+ c Biết f(0), f(1), f(2) là các số nguyên Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền ngoài tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF nhận A làm đỉnh góc vu«ng KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH) a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2n +1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n − lµ hîp sè (14) §Ò sè 13 C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: (1+ 2+ 3+ +99+100) A= B= ( ( 12 − 13 − 17 − 19 )( 63 1,2 −21 3,6) −2+3 − 4+ + 99− 100 √2 √2 − + (− ) 14 35 15 ) (101 +253 √ − √52 ) 57 C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A=3 x − x +1 víi b) Tìm x nguyên để √ x+1 chia hết cho √ x −3 |x|= C©u 3: ( ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt x = y = z vµ x +2 y − z 2=1 64 216 b) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 15 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đờng thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đờng thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC Chøng minh r»ng: a) FB = EC b) EF = AM c) AM EF C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng tá r»ng: 1− + − + .+ − = + + + + 99 200 101 102 199 200 (15) §Ò sè 14 C©u 1: (2 ®iÓm) 2 1 0,4 − + −0 ,25+ 11 − a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M = 7 1,4 − + − , 875+0,7 11 1 1 1 b) TÝnh tæng: P=1 − − − − − − 10 15 28 21 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: |2 x+3|− 2|4 − x|=5 2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ so víi ngêi thø hai b»ng 3: §Õn lóc gÆp vËn tèc ngêi thø nhÊt ®i so víi ngêi thø hai ®i lµ 2: Hái gÆp th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)=ax2 + bx+ c (a, b, c nguyªn) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x thì a, b, c chia hÕt cho a c = b d b) CMR: nÕu nghÜa) th× a2 +5 ac b 2+5 bd = 2 a − ac b −5 bd (Giả sử các tỉ số có C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia này N, cắt tia AB E vµ c¾t tia AC t¹i F Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE= AB+ AC C©u 5: (1 ®iÓm) Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn đó có bạn nam, bạn nữ Để chµo mõng ngµy 30/4 cÇn tiÕt môc v¨n nghÖ cã b¹n nam, b¹n n÷ tham gia Hỏi có nhiều bao nhiêu cách lựa chọn để có bạn nh trên tham gia (16) §Ò sè 15 C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= [ 11 − 15 −6 31 19 ] ( ) −1 14 31 ( 93 ) 50 1 + ( 12−5 ) 6 1 1 > b) Chøng tá r»ng: B=1 − − − − .− 2 3 2004 2004 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph©n sè: C= 3|x|+2 4|x|−5 (x Z) a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó b) Tìm x Z để C là số tự nhiên C©u 3: (2 ®iÓm) Cho a = c b d Chøng minh r»ng: a+b ¿2 ¿ c +d ¿2 ¿ ¿ ab =¿ cd C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn lît t¹i E vµ D a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c MAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n c) Từ A và D vẽ các đờng thẳng vuông góc với BE, các đờng thẳng này cắt BC lÇn lît ë K vµ H Chøng minh r»ng KH = KC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p cho: 2 p +1 ; 24 p +1 lµ c¸c sè nguyªn tè (17) §Ò sè 16 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 , 75− 0,6+ + 13 A= ; 11 11 , 75− 2,2+ + B=(−251 3+281)+3 251 −(1− 281) b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y cho: 51x + 26y = 2000 C©u 2: ( ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c ⋮ c Z) b) BiÕt bz −cy =cx − az =ay − bx a b Chøng minh r»ng: 17 nÕu a - 11b + 3c ⋮ 17 (a, b, c a b c = = x y z C©u 3: ( ®iÓm) Bây là 10 phút Hỏi sau ít bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng C©u 4: (2 ®iÓm) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c ABD, đờng cao IM BID cắt đờng vuông góc với AC kẻ từ C N TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Số 2100 viết hệ thập phân tạo thành số Hỏi số đó có bao nhiêu ch÷ sè ? (18) §Ò sè 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 + 2,5+ −1 , 25 11 12 P=2005 : 5 1,5+ 1− ,75 − ,625+ 0,5 − − 11 12 ( , 375− 0,3+ ) b) Chøng minh r»ng: 19 + 2 + 2 + .+ 2 <1 2 3 10 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn d¬ng n th×: chia hÕt cho 3n+ 3+3 n+1 +2n+ 3+2 n+2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D=|2004 − x|+|2003 − x| C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D cho AD = AB Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B cã bê AC vÏ tia Ay vu«ng gãc víi AC Trên tia đó lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh rằng: a) DE = AM b) AM DE C©u 5: (1 ®iÓm) Cho n sè x1, x2, …, xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ hoÆc -1 Chøng minh r»ng nÕu x1 x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = th× n chia hÕt cho (19) §Ò sè 18 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: ,75 ¿2 11 25 [( ) ] :0 , 88+3 , 53 −¿ : 13 25 ¿ 81 ,624 : − , 505 +125 A= ¿ ( ) b) Chøng minh r»ng tæng: S= 1 1 1 − + − + n − − n + + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n 2005=| x − 4|+|x −10|+|x +101|+|x +990|+| x+1000| b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm mét sè ngµy Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian giảm 1/3 Điều đó đúng hay sai ? vì ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d = = = a b c d a+b b+c c +d d +a M= + + + c+ d d +a a+b b+c Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t t¹i I a) TÝnh c¸c gãc cña DIE nÕu gãc A = 600 b) Gọi giao điểm BD và CE với đờng cao AH ABC lần lợt là M vµ N Chøng minh BM > MN + NC Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z lµ c¸c sè d¬ng x Chøng minh r»ng: y z + ≤ x + y + z y + z + x z+ x + y + (20) §Ò sè 19 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: |x 2+|6 x − 2||=x +4 b) Tìm tổng các hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc 2005 biÓu thøc: A(x) = 3+4 x+ x ¿ 2004 −4 x+ x ¿ ¿ ¿ Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x là sè tù nhiªn T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) x y z t = = = Cho y + z +t z +t + x t + x+ y x + y + z CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: P= x+ y y + z z +t t + x + + + z +t t+ x x+ y y+ z Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B = α Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cho góc EBA= α Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d¬ng tho¶ m·n : b c a +3 a +5=5 vµ a+3=5 (21) §Ò sè 20 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh A=3 − 32+ 33 − 34 + .+ 32003 −32004 b) T×m x biÕt |x − 1|+|x +3|=4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: x NÕu Th× y z = = a+2 b+c a+b −c a −4 b+c a b c = = x +2 y + z x+ y − z x − y + z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C cùng trên đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A là 20 km/h VËn tèc cña ngêi ®i tõ B lµ 24 km/h Tính quãng đờng ngời đã Biết họ đến C cùng lúc Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B và C nhọn, đờng cao AH Vẽ c¸c ®iÓm D, E cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE Gäi I, K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2005 − 2006 x 2004 +2006 x 2003 −2006 x 2002 + − 2006 x +2006 x − đề thi học sinh giỏi M«n To¸n líp ( Thêi gian 120 phót) đề bài: a b c = = C©u ( 2®) Cho: b Chøng minh: ( c d a+ b+c a = b+c +d d ) C©u (1®) T×m A biÕt r»ng: (22) A= a = c = b b+c a+b c +a Câu (2đ) Tìm x ∈ Z để A Z và tìm giá trị đó a) A = x+ b) A = −2 x x −2 x+3 C©u (2®) T×m x: a) b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 |x − 3| = C©u (3®) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM E BC, BH,CK AE, (H,K AE) Chøng minh MHK vu«ng c©n §Ò thi häc sinh giái to¸n líp C©u 1: (2®) x x Rót gän A= x x 20 C©u (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y Mçi häc sinh líp 7A trång đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh Biết số cây lớp trồng đợc nh C©u 3: (1,5®) 102006 53 Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn C©u : (3®) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc đó Từ điểm B trên Ax vẽ đờng thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chøng minh r»ng a, K lµ trung ®iÓm cña AC AC b, BH = c, KMC (23) C©u (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới đây đúng nửa và sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hãy xác định thứ tự đúng giải cho các bạn ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THỊ Xà NĂM HỌC 2008 -2009 Môn: Toán Thời gian: 120 phút Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3 18 (0, 06 : 0,38) : 19 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho c b chứng minh rằng: a2 c2 a b2 a2 b a 2 2 a a) b c b b) a c Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x b) 15 x x 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên (24) cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM = BC 2 Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2009) - đề thi Ô-lim -pic huyện M«n To¸n Líp Bµi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1 1 96.101 TÝnh 1.6 6.11 11.16 1 x y Bµi T×m gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x vµ y, cho: Bµi T×m hai sè d¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, 140 vµ Bµi T×m x, y tho¶ m·n: x x y x = Bµi Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 50 ; gãc BAC = 700 Ph©n gi¸c gãc ACB c¾t AB t¹i M Trªn MC lÊy ®iÓm N cho gãc MBN = 40 Chøng minh: BN = MC (25) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆNHỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THỊ Xà MÔN TOÁN NĂM HỌC 2008 - 2009 Thời gian : 120’ (Không kể thời gian phát đề) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.9 3 510.73 255.492 125.7 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n2 2n2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x a 3, 5 (26) x 7 b x 1 x 7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) : : a) Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a c2 a 2 b) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC c) Từ E kẻ EH BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD là phân giác góc BAC d) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… (27)