De HSG Toan 12Bang B 0809QNinh co Dan

,lËp luËn chÆt chÏ,tÝnh to¸n chÝnh x¸c míi ®îc ®iÓm tèi ®a.Trong c¸c phÇn cã liªn quan víi. nhau ,nÕu häc sinh lµm sai phÇn tríc th× phÇn sau liªn quan víi nã dï lµm ®óng còng kh«ng[r]

Sở giáo dục đào tạo quảng ninh

-§Ị chÝnh thøc

kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 THPT năm học 2008-2009

Môn : Toán (Bảng B)

Ngµy thi : 24/11/2008

Thêi gian lµm bµi : 180 phót

(khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang)

Bµi 1:

Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm phân biệt:

2 32

( 1) ( )

99

x y m

y x xy m x

  

 

   





Bµi 2: Cho hµm sè :

19 248 ( )

( 24)( 11)( 8)

x f x

x x x

 

  

1) Hãy xác định hệ số A; B; C cho ( ) 24 11

A B C

f x

x x x

  

  

và tính đạo hàm cấp hai f x''( )

2) CMR: f(2008)( )x  f(2009)( )x với x24 (Trong

( )n ( )

f x là đạo hàm cấp thứ n hàm số f x( ))

Bài 3: Trong không gian cho tam giác vuông ABC cố định (B = 1v); AB a ;AC3a.

Điểm S di động đờng thẳng d qua A vng góc vi (ABC); (S A)

Các điểm M; N lần lợt thuộc cạnh AB AC cho

1

;

2

AM  AB AN AC

; P hình chiếu vuông góc M SC

1) Chứng minh tam giác AMN tam giác vuông

2) Chứng minh rằng: Khi S di động d,(S A)) mặt phẳng (MNP) (SBC) ln vng góc với tích SC.CP khơng đổi

3) Víi vÞ trÝ cđa S tháa m·n SA3a , gọi Q giao điểm SB với (NMP). Tính thĨ tÝch cđa khèi SAMNPQ theo a

Bµi 4: Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x tháa m·n x   

ta cã: 6cos 2x 8sin cosx x16sinx 0

-Hết -Họ tên thí sinh.Số b¸o danh………

Sở giáo dục đào tạo quảng ninh lời giải chi tiết đề thức bảng b

kú thi chän häc sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2008-2009

(Lời giải gồm 04 trang)

Bài 1:

2 32 32

( 1) ( ) ( ) 0;(*)

99 99

x y m y m x

m

y x xy m x f x x mx

   

 

 



 

       

 

 

Ta cã : Sè nghiƯm cđa hƯ lµ sè nghiệm phơng trình (*)

Phơng trình (*) phơng trình bậc nên có không nghiƯm ph©n biƯt VËy hƯ cã nghiƯm  (*) có nghiệm phân biệt Hàm số f(x) có cực trị trái dấu

2

0

'( ) 2

3

x

f x x mx m

x

  

   

  

Với giá trị m khác hàm số f(x) có cực đại cực tiểu đạt

2 ;

3

m

x x

Ta cã:

2

3

24

2 32 32 4.32 11

(0) ( ) ( ) ( )

3 99 27 99 99.9 11 24

11

m

m m m m m m m

f f

m

  

 

       

   

Vậy với giá trị m thỏa m·n

24 11

m

hc

24 11

m 

hệ cho có nghiệm phân biệt

( Thí sinh đa bảng biến thiên kết luận điều kiện để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt, nhiên phải tính giới hạn:

3

3 32

lim ( ) lim (1 )

99

x x

m m

f x x

x x

       )

19 248 ( )

( 24)( 11)( 8) 24 11

19 248 ( 11)( 8) ( 24)( 8) ( 11)( 24)

( 24)( 11)( 8) ( 24)( 11)( 8)

( 11)( 8) ( 24)( 8) ( 11)( 24) 19 248

x A B C

f x

x x x x x x

x A x x B x x C x x

x x x x x x

A x x B x x C x x x

                                      

Cho x24 A(24 11)(24 8) 19.24 248     A1

Cho x11 B(11 24)(11 8) 19.11 248     B1

Cho x 8 C(8 11)(8 24) 19.8 248     C2 ( Häc sinh cã thĨ gi¶i hƯ Èn A;B;C tõ :

( 11)( 8) ( 24)( 8) ( 11)( 24) 19 248 ;(*)

A x x B x x C x x  x )

VËy :

19 248 1

( )

( 24)( 11)( 8) 24 11

x f x

x x x x x x

 

   

     

Ta cã:

2 2

1 2( 1)

'( )

( 24) ( 11) ( 8)

f x

x x x

   

  

   ; 3

1.( 2) 1.( 2) 2( 1).( 2) ''( )

( 24) ( 11) ( 8)

f x

x x x

      

  



2. Với số nguyên dơng n , ta sÏ chøng minh: ( )

1 1

( 1) ! ( 1) ! 2( 1) ! ( )

( 24) ( 11) ( 8)

n n n

n

n n n

n n n

f x

x  x  x 

   

  

  

(1) ThËt vËy !

- Với n = ; n = theo tính đạo hàm bậc bậc 2, công thức (1)

- Gi¶ sư: ( )

1 1

( 1) ! ( 1) ! 2( 1) !

( ) ; *

( 24) ( 11) ( 8)

k k k

k

k k k

k k k

f x k N

x  x  x 

   

   

  

- Đạo hàm vế có:











( 1)

2 2

( 1) ! ( 1) ( 1) ! ( 1) 2( 1) ! ( 1) ( )

( 24) ( 11) ( 8)

k k k

k

k k k

k k k k k k

f x

x x x

                   

1 1

( 1)

2 2

( 1) !( 1) ( 1) !( 1) 2( 1) !( 1) ( )

( 24) ( 11) ( 8)

k k k

k

k k k

k k k k k k

f x

x x x

                   

1 1

( 1)

2 2

( 1) ( 1)! ( 1) ( 1)! 2( 1) ( 1)! ( )

( 24) ( 11) ( 8)

k k k

k

k k k

k k k

f x

x x x

                   

Theo (1) ta cã: (2008)

2009 2009 2009

1

( ) 2008!

( 24) ( 11) ( 8)

f x

x x x

  

    

  

 

(2009)

2010 2010 2010

1

( ) 2009!

( 24) ( 11) ( 8)

f x

x x x

   

    

  

 

Víi mäi x24 th×:

1

( 8) ( 24) ( 8) ( 24)

( 8) ( 24)

1

( 8) ( 11) ( 8) ( 11)

( 8) ( 11)

n n

n n

n n

n n

x x x x

x x

x x x x

x x

          

 

          

 

(2008) (2009) (2008) (2009)

2 1

( 8) ( 24) ( 11)

( ) 0; ( ) ( ) ( ); 24

n n n

x x x

f x f x f x f x x

  

  

      

Bµi 3:

Q d

N

P

M

B

C A

S

1.

Do AB a ;AC3 ;a B1V  BC a

3 ;

2

1

;

2

2

a

AB a AC a AM

a

AM AB AN AC

AN

 

   

    

   

  



VËy cã:

1

AM AN

Mà hai tam giác ANM ABC có chung góc A,nên tam giác ANM đồng dạng (theo thứ tự đó) với tam giác vuông ABC

VËy MN AC Hay tam giác AMN vuông N

*) Khi S di động đờng thẳng d ( S khác A), theo ta ln có MN AC, Mặt khác SA(ABC) MN (SAC) MN SC

Mµ MPSC VËy SC(MNP) (MNP)(SBC) *) Theo chøng minh trªn; SC(MNP) NPSC

Mà SA vng góc với AC ( SA vng góc với (ABCD)) ; Vậy (SAC), tứ giác SANP tứ giác nội tiếp đờng tròn ; SP AN cắt C

Do

2

5 15

6

a

CP CS CA CN  AC 

( không đổi)

( Học sinh hai tam giác vng SAC NPC đồng dạng có tỷ lệ ; suy điều phải CM)

Víi SA3a

Chia khèi ®a diƯn SAMNPQ thµnh khèi chãp: M.ANPS vµ M.SPQ

SAMNPQ M ANPS M SPQ

V V V

Chó ý r»ng SA = 3a th× :

- Tam giác SAC vng cân đỉnh A nên

5

2

a a

NC NP PC PC

và tam giác SAB vuông A vµ cã B = 600;S = 300

2 9 3 2 3

SB SA AB  a  a  a

-Theo CM ta có MQ vuông góc với SC; dễ thấy MQ vu«ng gãc víi BC VËy MQ vu«ng gãc víi QP vµ SB vµ (SBC)

-Trong tam giác vuông MQB có:

0 sin 60

4

a

MQ MB 

vµ

0

.cos 60

a

BQ MB 

-

3

2

4

a a

SQ SB BQ   a  

5

3

4

a a

-Do MN vuông góc (SAC) nên khối chóp M.ANPS có chiỊu cao lµ 2

2

4

a a a

MN  AM  AN   

Ta cã : diƯn tÝch ANPS lµ

2 2

1 25 47

2 2 16 16

ANPS SAC NPC

a a a

S S  S  SA AC NP PC   

2

1 47 47

3 16 96

M ANPS ANPS

a a a

V  S MN

*)Theo ta có MQ vuông gãc víi (SBC) nªn khèi chãp M.SPQ cã chiỊu cao lµ

4

a

MQ

Diện tích tam giác vuông SPQ (vuông P)

2 2

2

1 1 147 98 7 49

2 2 16 16 4 32

SPQ

a a a a a a

S  SP PQ SP SQ  SP    

VËy :

2

1 49 49

3 32 128

M SPQ SPQ

a a a

V  S MQ 

Do VSAMNPQ VM ANPS VM SPQ

3 3

47 49 335

96 128 384

a a a

  

Bµi 4: Ta cã:

2

3

6cos 8sin cos 16sin 6(1 2sin ) 16sin (1 sin ) 16 sin 16sin 12sin

x x x x x x x x

x x

        

Đặt: sinx t Do x 0; t (0;1) 

    

 

Ta cã

6cos 8sin cos 16sin 0; 0;

x x x x    x   

   f t( ) 16 t312t2 1 ; t (0;1)

XÐt hµm sè vÕ tr¸i : f t( ) 16 t312t21 cã:

2

0

'( ) 48 24 1

2

t

f t t t

t

  

   

  

Hàm số f(t) xác định liên tục đoạn 0;

2     

0;1

1

(0) 1; ( ) 0; (1) ( ) ( ) ( ) 0; (0;1)

2

f  f  f   f t f   f t   t

VËy: 6cos 2x 8sin cosx x16sinx 0 ; 0 x   

-Sở giáo dục đào tạo quảng ninh H

ớng dẫn chấm môn toán bảng b (§Ị chÝnh thøc)

kú thi chän häc sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2008-2009

(Hớng dẫn gồm 04 trang)

Bài Sơ lợc cách giải Điểm Tổng

Bài 1

2 32 32

( 1) ( ) ( ) 0;(*)

99 99

x y m y m x

m

y x xy m x f x x mx

   

 

 



 

       

 

 

0,5 đ

4,0 đ Với nghiệm x phơng trình (*) ta có giá trị y t-¬ng øng

VËy : Sè nghiƯm cđa hƯ số nghiệm phơng trình (*)

0,25 đ

0,25 đ

4,0 đ

Phơng trình (*) phơng trình bậc nên có không nghiƯm ph©n biƯt.VËy hƯ cã nghiƯm  (*) cã nghiệm phân biệt

0,25 đ

Theo tớnh chất đồ thị hàm số đa thức bậc ta có: 32

( ) 0;(*)

99

m

f x x  mx  

có nghiệm phân biệt  đồ thị hàm số vế trái có Cực đại cc tiu trỏi du

0,5 đ

Xét hàm sè

3 32 ( )

99

m f x x  mx 

;

2

0

'( ) 2

3

x

f x x mx m

x

  

   

  

0,25 ®

0,25 ®

Với giá trị m khác hàm số f(x) có đạo hàm đổi dấu lần

khi hàm số có cực đại cực tiểu đạt

2 ;

3

m

x x

0,5 ®

Ta cã:

3

32 32

(0) ; ( )

99 27 99

m m m m m

f  f   

3

2 32 32

(0) ( ) ( )

3 99 27 99

m m m m m

f f     

2

24

4.32 11

.( )

99.9 11 24

11

m

m m

m

  

 

   

    

0,25 ®

0,25 ®

0,25 đ

Kết hợp với điều kiện m khác 0 , ta có với giá trị m tháa m·n 24

11

m

hc

24 11

m 

hệ cho có nghiệm phân biệt

0,5 ®

Bài 2.1

1,5 đ

2 2

1 2( 1)

'( )

( 24) ( 11) ( 8)

f x

x x x

   

  

  

0,25 ®

3 3

1.( 2) 1.( 2) 2( 1).( 2) ''( )

( 24) ( 11) ( 8)

f x

x x x

      

 

0,25 đ

Bài

2.2 Đa công thức (cần chứng minh):

( )

1 1

( 1) ! ( 1) ! 2( 1) ! ( )

( 24) ( 11) ( 8)

n n n

n

n n n

n n n

f x

x  x  x 

   

  

  

(*)

0,5 ® 4,0 ®

2,5 ®

Chứng minh đợc(bằng quy nạp) công thức (*) 0,5 đ

(2008)

2009 2009 2009

1

( ) 2008!

( 24) ( 11) ( 8)

f x

x x x

  

    

  

 

0,25 ®

(2009)

2010 2010 2010

1

( ) 2009!

( 24) ( 11) ( 8)

f x

x x x

   

    

  

 

0,25 ®

1

( 8) ( 24) ( 8) ( 24)

( 8) ( 24)

1

( 8) ( 11) ( 8) ( 11)

( 8) ( 11)

n n

n n

n n

n n

x x x x

x x

x x x x

x x

         

 

         

 

0,5 ®

(2008)( ) 0; (2009)( ) 0; 24

f x  f x   x 0,25 ®

KÕt luËn:

(2008)( ) (2009)( ); 24

Bài 3.1

2,0 đ

Q d

N

P

M

B

C A

S

0,25 ®

8,0 ®

3 ;

2

1

;

2 2

a

AB a AC a AM

a

AM AB AN AC AN

 

   

    

   

  



VËy cã:

1

AM AN

AC AB 

0,25 ®

0,5 ®

Mà hai tam giác ANM ABC có chung góc A,nên tam giác ANM đồng dạng

0,5 ®

Do ABC ANM đồng dạng (theo thứ tự đó) góc B góc vng ,nên góc N phải vuông ,Hay tam giác AMN vuông N

0,5 đ

Bài 3.2

Do

( ) ( )

SA ABC  MN  SAC MN SC 0,5 đ

mà MPSC ,nên SC(MNP) 0,25 ®

2,5 đ Mà (SBC) chứa đờng thẳng SC nên (MNP) ( SBC)

Theo chøng minh trªn;

( )

SC MNP NPSC 0,25 đ

Mà SA vuông góc với AC ( SA vu«ng gãc víi (ABCD))

Vậy (SAC), tứ giác SANP tứ giác nội tiếp

0,5 đ

SP AN cắt t¹i C

Do

2

5 15

6

a

CP CS CA CN  AC 

( khụng i)

0,5 đ

Bài 3.3

Chia khối đa diện SAMNPQ thành khối chóp: M.ANPS vµ M.SPQ

SAMNPQ M ANPS M SPQ

V V V

0,25 ®

3,5 ®

Chó ý r»ng SA = 3a th× :

- Tam giác SAC vuông cân đỉnh A nên

5

2

a a

NC NP PC  PC

7 2

4

a

SCAC  a  SP SC PC

-Tam giác SAB vuông A cã gãc B = 600;gãc S = 300

2 9 3 2 3

SB SA AB  a  a  a

0,25 ®

0,25 ®

Theo CM trªn SC(MNP) nªn có MQ vuông góc với SC 0,25 đ Dễ thấy MQ vuông góc với BC nên MQ vuông góc với SB 0,25 đ

Tam giác MQB có:

0 sin 60

4

a

MQ MB 

;

0

.cos 60

a

BQ MB 

0,25 ®

3 3

4

a a

SQ SB BQ   a  

0,25 ®

Do MN vuông góc (SAC) nên khối chóp M.ANPS có chiều cao lµ 2

2

4

a a a

MN  AM  AN   

0,25 ®

Ta cã : diƯn tÝch ANPS lµ

2 2

1 25 47

2 2 16 16

ANPS SAC NPC

a a a

S S  S  SA AC NP PC  

2

1 47 47

3 16 96

M ANPS ANPS

a a a

V  S MN  

0,25 ®

*)Theo ta có MQ vuông góc với (SBC) nên với khèi chãp

M.SPQ cã chiỊu cao lµ

3

a

MQ

;

DiÖn tích tam giác vuông SPQ (vuông P) 2

1

2

SPQ

S  SP PQ SP SQ  SP 

2 2

1 147 98 7 49

2 16 16 4 32

a a a a a a

  

0,25 ®

0,25 ®

VËy :

2

1 49 49

3 32 128

M SPQ SPQ

a a a

V  S MQ 

0,25 ®

Do

SAMNPQ M ANPS M SPQ

V V V

3 3

47 49 335

96 128 384

a a a



0,25 đ

Bài 4

2

3

6cos 8sin cos 16sin 6(1 2sin ) 16sin (1 sin ) 16 sin 16sin 12sin

x x x x x x x x

x x

        

0,5 đ 4,0 đ

Đặt:

sinx t ;

0; sin ; (0;1)

x   x t t   

0,5 ®

Ta cã

6cos 8sin cos 16sin 0; 0;

x x x x    x   

 

3

( ) 16 12 ; (0;1)

f t t t t

      

0,5 đ

Xét hàm số vế trái :

3

( ) 16 12

f t  t  t  cã:

2

0

'( ) 48 24 1

2

t

f t t t

t

  

   

  

0,5 ®

Hàm số f(t) xác định liên tục đoạn

0;     

  vµ cã:

0;1

1

(0) 1; ( ) 0; (1) ( ) ( )

2

f  f  f   f t f 

0,5 ®

0,5 ®

( ) 0; (0;1)

f t t

VËy:

6cos 2x8sin cosx x16sinx 0 ; 0 x

0,5 đ

Các ý chấm:

1 Hớng dẫn chấm trình bày sơ lợc cách giải.Bài làm học sinh ph¶i chi tiÕt

,lập luận chặt chẽ,tính tốn xác đợc điểm tối đa.Trong phần có liên quan với

nhau ,nếu học sinh làm sai phần trớc phần sau liên quan với dù làm khơng

cho điểm.Trờng hợp có sai sót nhỏ cho điểm nhn phải trừ điểm chỗ sai Khơng cho điểm hình khơng vẽ hình ; cho điểm phần hình ó

trình bày

ỳng vi hỡnh ó vẽ tơng ứng với phần

3 Với cách giải nhng khác đáp án ,tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết

nhng không đợc vợt số điểm dành cho câu phần

4 Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải đợc trao đổi tổ chấm cho

®iĨm theo sù thèng nhÊt cđa c¶ tỉ