Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn 1 ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%.. Hỏi nếu vẫn tiếp tụ[r]
(1)Chương III I KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Phương trình biến x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x) x0 gọi là nghiệm PT f(x) = g(x) f(x0) = g(x0) Giải PT là tìm tất các nghiệm PT (hay tập nghiệm nó) PT không có nghiệm ta nói PT vô nghiệm Điều kiện phương trình Là điều kiện biến x để hai vế phương trình có nghĩa PT chứa tham số Là PT ngoài ẩn x còn có các chữ cái khác xem các số tham gia vào PT và gọi là tham số Ví dụ: x2 + 2x – m = là PT với tham số m PT tương đương Hai PT đgl tương đương với chúng có cùng tập nghiệm (kể tập rỗng) Ký hiệu: ta dùng ký hiệu “” để nêu quan hệ tương đương PT Phép biến đổi tương đương Phép cộng (trừ): f(x) = g(x) f(x) ± h(x) = g(x) ± h(x) Phép nhân (chia): f(x) = g(x) f(x).h(x) = g(x).h(x) f (x) g(x) f (x) = g(x) Û = h(x) h(x) , với h(x) ¹ Chú ý: Phép chuyển vế: f(x) + h(x) = g(x) Û f(x) = g(x) – h(x) PT hệ PT f1(x) = g1(x) (1) gọi là phương trình hệ PT f(x) = g(x) (2) nghiệm PT (2) là nghiệm PT (1) Ký hiệu: f(x) = g(x) f1(x) = g1(x) Lưu ý: i) Khi bình phương hai vế PT thì ta PT hệ ii) Khi giải PT mà dẫn đến PT hệ thì phải thử lại nghiệm PT tìm vào PT ban đầu để loại nghiệm ngoại lai (2) II PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PT BẬC NHẤT, BẬC HAI Giải và biện luận PT dạng ax + b = (1) Bước 1: Đưa PT (1) dạng ax = –b Bước 2: Biện luận theo a + Nếu a ¹ thì PT (1) có nghiệm x = – b/a + Nếu a = ta tiếp tục biện luận theo b b ¹ thì PTVN b = thì PT nghiệm đúng với x Giải và biện luận PT dạng ax2 + bx + c = Bước 1: Biện luận theo a + Nếu a = thì ta PT bx + c = (biện luận tiếp) + Nếu a ta thực bước Bước 2: Tính biệt thức = b2 – 4ac (hoặc D ¢) Bước 3: Biện luận phương trình theo dấu + Nếu > thì PT có hai nghiệm phân biệt x1,2 = - b± D 2a x1 = x2 = - b 2a + Nếu = thì PT có nghiệm kép + Nếu < thì PTVN Định lí Viét Cho PT ax2 + bx + c = (a 0) có hai nghiệm x1, x2 Khi đó, ìï ïï S = x + x = - b ïí a ïï c ïï P = x1x2 = a ïî Ngược lại, u và v có tổng S và tích P thì u và v là các nghiệm pt X2 – SX + P = Phương trình trùng phương Dạng: ax4 + bx2 + c = (a 0) Cách giải: đặt t = x2 ( t ³ ) đưa PT bậc theo t Giải tìm t, đối chiếu với điều kiện t 0, tìm x Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Các dạng bản: |A| = |B| ; |A| = B ; |A| + |B| = C Cách Giải 1: Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối số để khử dấu | | (3) ìï A neá uA ³ A = ïí ïï - A neá u A <0 î Cách Giải 2: Bình phương hai vế để khử dấu | | (dẫn đến PT hệ quả) Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai Cách Giải 3: Dùng công thức biến đổi tương đương ìï B ³ ïï ï éA = B éA = B A = B Û íê ïï ê A =B Û ê êA = - B ïï êA = - B ê ë îë Phương trình chứa ẩn dấu Các dạng bản: A= B ; A =B ; A + B =C Cách Giải 1: Bình phương hai vế để khử dấu (dẫn đến PT hệ quả) Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai Cách giải 2: Dùng công thức biến đổi tương ìï B ³ ìï A ³ ï A =B Û í A = B Û ïí ïï A = B ïï A = B ïî î III PT VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN PT bậc hai ẩn: Dạng: ax + by + c = (2) (a,b,c là số, a2 + b2 0) Cặp (x0;y0) gọi là nghiệm (2) chúng nghiệm đúng PT (2) Biểu diễn tập nghiệm: tập nghiệm (2) là đ.thẳng ax + by + c = ìï a x + by = c ï 1 í ïï a2x + b2y = c2 Hệ hai PT bậc hai ẩn î Cách Giải: (cũ) Dùng PP cộng PP đã học lớp PP định thức: (mới) a b D = 1 = a1b2 - a2b1 a2 b2 + Tính (4) Dx = c1 b1 c2 b2 x= ; Dy = Dx a1 c1 a2 c2 vaø y = Dy D D + Nếu D thì + Nếu D = và Dx = Dy = thì PT có vô số nghiệm thoả mãn a1x + by = c1 + TH còn lại: hệ PT vô nghiệm ìï a x + by + c z = d ïï 1 1 ï a x +b y + c z = d í 2 2 ïï ï a x + b3y + c3z = d3 Hệ ba PT bậc ba ẩn ïî Cách Giải: Dùng PP cộng để khử dần ẩn số nhằm đưa ìï a x = d ïï 1 ï a x +b y = d í 2 ïï ïï a3x + b3y + c3z = d3 hệ PT trình dạng tam giác: î (PP Gausse) BÀI TẬP §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Tìm điều kiện xác định các PT sau đây x +1 = a x - 2 c x - e = x+4 d x +1 3x + = 2x + 3x + 6x + 11 g 1.2 Giải các PT sau đây a = x +2 b x - x+3 - 3x + = x +4 x- 3- x + x = 3- x + x- = 1- x - x2 = f h x - b x 2- x 2x - = + 1- x x + x - = 2- x + (5) x2 c = x- 3x + e - x + 2 d x - x- = x- f x - - x = + - x g x + + x = + x + 3x + i x- = x2 + 3x + x- = x+3 2- x + = x ( x ) x x- a c 3x = x- x- 2x - x - e 2x - 2x2 = = 2x - x +4 j 3x - 3x - k 1.3 Giải các PT sau đây 2x + h x - - x = + x - 3x2 - x - 1- x = x - + l 2x + + b x + 1+ = x +4 x2 + = x- x- x +5 = x+3 x+3 x2 - 4x - d x- 2x + f x - = = x- x +2 x- x +1 g x + 1.4 Cho phương trình (x + 1)2 = (1) và phương trình chứa tham số ax2 – (2a + 1)x + a = (2) Tìm giá trị a cho PT (1) tương đương PT (2) 1.5 Xác định m để cặp PT sau tương đương a.3x – = và (m + 3)x – m + = b.x + = và m(x2 + 3x + 2) + m2x + = c.2x – = và d.x2 –4 = và e.x2 –1 = và 2mx + 2m + = x- 3x2 + (m + 3)x + 7m + = 2mx2 + (m2 – 4)x – m2 = 3mx + + 2m - = x- f.3x –1 = và g.x2 + 3x – = và mx2 – 4x – m + = (6) §2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI 2.1 Giải các phương trình sau đây a x+ 2x - = 1- x x- b e x - g x - 2+ = x- x- 2x - =x +1 x +1 3x i x + 2x + 4- x - x - 3x + = = 5x - x + 2x + 2 x - 3x + x2 + 3x + 2x - = k 2x + 2x - = x- x- 2 d x + 1(x - x - 2) = c x - 3(x - 3x + 2) = x x+ x2 - f x + h x + 3- = x +3 x +1 + x +1 2x x- = x- x- +1 j +1 2x + 24 = +2 x x + x - l 2.2 Giải và biện luận các phương trình sau đây theo tham số m a.(m + 1)2x = (2x + 1)m +5x + b.(m 1)(x + 2) + = m2 c.(m2 1)x = m3 + d.(m2 + m)x = m2 2 e.m x + 3mx + = m 2x f.m2(x + 1) = x + m g.(2m + 3)x 4m = x + h.m2(1 x) = x + 3m i.m2(x 1) + 3mx = (m2 + 3)x j.2mx + = m x 2.3 Giải và biện luận các phương trình sau đây theo tham số m mx - m + 2(m + 4) =3 m - 2=0 x +2 x- a b =m c x - m 1- m = d x - x + x- m x- + =2 e x - x - m x +m x + + =2 x f x - (7) x - m x +2 = x +1 g x - mx + m - =2 h x - m x +m x +3 x- m x- = + =2 x- x i x - j x - 2.4 Giải và biện luận các phương trình sau đây theo tham số m a.x + m = x m + 2 b.x m = x + 1 c.mx + 1 = x 1 d.1 mx = x + m 2.5 Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm a.m(2x 1) + + x = b.m2x 2m2x = m5 + 3m4 + 8mx x +2 x +1 = c x - m x - 2.6 Tìm m để phương trình sau đây vô nghiệm a.m2(x 1) + 2mx = 3(m + x) b.(m2 m)x = 12(x + 2) + m2 10 c.(m + 1)2x + m = (7m 5)x x +m x - + =2 x d x + 2.7 Tìm m để các phương trình sau có tập hợp nghiệm là a.m2(x 1) 4mx = 5m + b.3m2(x 1) 2mx = 5x 11m + 10 c.m2x = 9x + m2 4m + d.m3x = mx + m2 m 2.8 Giải các phương trình sau đây a x - = x + b x + = x - c x - = x + l 3x - = 2x + m 2x - = - 5x - e x - = 2x - f x - = 2x + n 2x + = x + 5x + 2.9 Giải các phương trình sau đây a 5x + = x - b 2x + = x + c x - = x d 2x + = x - (8) e 2x - = x - 2 f x - 7x + 10 = 3x - g - x - x + = h 4x + 2x + 10 = 3x + x- x- x x = = x- 2- x i x - j - x x- 1- x x x = = x- x- k x - l x - 2.10 Cho PT 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – = Tìm m để PT có nghiệm gấp lần nghiệm Tính các nghiệm trường hợp đó 2.11 Cho PT bậc hai x2 + (2m – 3)x + m2 – 2m = a.Xác định m để PT có hai nghiệm phân biệt b.Với m nào thì PT có hai nghiệm và tích chúng Tìm các nghiệm trường hợp đó 2.12 Cho PT mx2 + (m2 – 3)x + m = a.Xác định m để PT có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó 13 x1 + x2 = b.Với m nào thì PT có hai nghiệm x1, x2 thoả: 2.13 Cho PT (m + 2)x + (2m + 1)x + = a.Tìm m để PT có nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm –3 b.Với m nào thì PT có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó 2.14 Cho PT 9x2 + 2(m2 – 1)x + = a.Chứng tỏ với m > thì PT có nghiệm âm phân biệt x + x2 = - b.Với m nào thì PT có hai nghiệm x1, x2 thoả 2.15 Cho PT (m + 1)x2 – (m – 1)x + m = a.Xác định m để PT có nghiệm –3 Tính nghiệm b.Với m nào PT có nghiệm gấp đôi nghiệm Tính các nghiệm trường hợp đó 2.16 Cho PT 3x2 + 5x + 2m + = a.Với m nào thì PT có hai nghiệm trái dấu b.Với m nào thì PT có hai nghiệm âm phân biệt (9) c.Với m nào thì PT có hai nghiệm dương phân biệt x3 + x23 = 10 c.Với m nào thì PT có hai nghiệm x1, x2 thoả Tính các nghiệm trường hợp đó 2.17 Cho PT 3x2 + 2(3m – 1)x + 3m2 – m + = a.Với giá trị nào m thì PT vô nghiệm b.Giải PT m = –1 2.18 Cho PT (m + 1)x2 + (3m – 1)x + 2m – = Xác định x + x2 = m để PT có hai nghiệm x1, x2 mà Khi đó, tìm các nghiệm x1, x2 2.19 Hai bạn Vân và Lan mua trái cây Vân mua 10 quýt, cam với giá tiền là 17800 Lan mua 12 quýt, cam hết 18000 Hỏi giá tiền quýt, cam là bao nhiêu? 2.20 Có hai dây chuyền may áo sơ mi Ngày thứ hai dây chuyền may 930 áo Ngày thứ hai dây chuyền thứ tăng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng suất 15% nên hai dây chuyền may 1083 áo Hỏi ngày thứ dây chuyền may bao nhiêu áo? 2.21 Hai công nhân giao việc sơn tường Sau người thứ làm và người thứ hai làm thì họ sơn 5/9 tường Sau đó họ cùng làm việc với thì còn lại 1/18 tường chưa sơn Hỏi người làm riêng thì sau bao nhiêu người sơn xong tường 2.22 Ba phân số có tử số là và tổng ba phân số đó Hiệu phân số thứ và phân số thứ hai phân số thứ ba Còn tổng phân số thứ và phân số thứ hai lần phân số thứ ba Tìm các phân số đó? 2.23 Một phân xưởng giao sản xuất 360 sản phẩm số ngày định Vì phân xưởng tăng suất, ngày làm thêm sản phẩm so với định mức, nên trước hết hạn ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm giao là 5% Hỏi tiếp tục làm việc với suất đó thì đến hạn phân xưởng làm tất bao nhiêu sản phẩm? (10) 2.24 Hai người quét sân Cả hai người cùng quét sân hết 20 phút, quét mình thì người thứ quét hết nhiều so với người thứ hai Hỏi người quét sân mình thì hết giờ? 2.25 Tìm cạnh mảnh vườn hình chữ nhật biết a.Chu vi là 94,4m và diện tích là 494,55m2 b.Hiệu hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089m §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 3.1 Giải các hệ phương trình sau đây ìï 3x + 2y = 17 ìï 4x - 2y = ï ï í í ïï 5x - y = - ï 3x + 4y = î a b ïî ìï 3x - y = ìï ( + 1)x + y = - ïï ïï í í ïï 5x + 2y = ïï 2x - ( - 1)y = 2 c ïî d ïî ìï 2x - 3y = ìï 3x + 4y = ï ï í í ïï x + 2y = ï 4x - 2y = î e f ïî ìï ïï x + y = ï3 í ïï ïï x - y = g ïî 3.2 Giải các hệ phương trình sau đây ìï x + 3y - 2z = - ìï 2x + 4y + 4z = ïï ïï ï 8y + 6z = ï 2x + 3y + 5z = - í í ïï ïï ïï 2z = ï - 4x - 7y + z = - d î e ïî f ìï x + 3y + 2z = ïï ï 2x + 2y + z = í ïï ïï 3x + y + z = î (11) ìï x - 3y + 2z = - ïï ï 2x - 4y - 3z = - í ïï ï 3x + y - z = g ïî ìï x + 4y - 2z = ìï x + y + z = ïï ï ï - 2x + 3y + z = - ïï 2x - y + z = í í ïï ïï ïï 3x + 8y - z = 12 ï - x + 2y - z = î i ïî h BÀI TẬP NÂNG CAO 3.3 Giải các hệ phương trình sau đây ìï x - y = ìï 8x2 + 3y2 = ïï ïï í í ïï x + y = 11 ïï 2x + y = a ïî b ïî ìï ïï + = ïï x y ìï x + - y = í ï ïï í =3 ïï ïï x + + y = 11 c ïî d ïî x y 3.4 Giải và biện luận các hệ phương trình sau đây ìï x + my = 3m ìï (m - 2)x + my = 2m ï ï í í ïï mx + y = 2m + ï (m + 1)x - my = m + î a b ïî ìï (m + 1)x + my = ìï (m + 1)x + (m + 1)y = ï ï í í ïï 2mx + y = m + ï 3x + (m + 1)y = m c î d ïî ìï mx - 2y = m + ìï mx - y = m + ï ï í í ïï 2x + y = m ï mx + y = m î e f ïî ìï (m + 1)x + 8y = 4m ìï mx - y = m - ï ï í í ïï mx + (m + 3)y = 3m - ï x - my = - m î g h ïî ìï mx + y = - ìï x + my = ï ï í í ïï x + my - = ï mx - 3my = 2m + i î j ïî 3.5 Giải và biện luận hệ phương trình sau đây (12) ìï ax + by = a2 + b2 ìï ax + by = a + ï ï í í ïï bx + ay = 2ab ïï bx + ay = b + a î b ïî ìï ax - y = a2 ìï ax - by = a2 - b ïï ïï í í ïï bx - y = b2 ïï bx - b2y = 4b ï î c d ïî 3.6 Định m để hệ phương trình có nghiệm ìï mx + y = m + ìï mx + (m - 5)y + m + = ï ï í í ïï x + my = ï 2mx - my = - 3m + î a b ïî ìï (m + 1)x + 8y = 4m ìï 6mx + (2 - m)y = ï ï í í ïï mx + (m + 3)y = 3m - ï (m - 1)x - my = î c d ïî 3.7 Định m để hệ phương trình vô nghiệm ìï 2m2x + 3(m - 1)y = ìï 3x + 2my = ï ï í í ïï m(x + y) - 2y - = ï 3(m - 1)x - my = ï î a b ïî ìï (m + 1)x + my = 2m ìï mx + 4y = 2m + ï ï í í ïï (3m + 3)x + (m - 1)y = 3m - ï (m + 1)x = 6y î c d ïî 3.8 Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm ìï mx + 2y = m2 ïìï - 4x + my = 1+ m ïí í ïï 2x + my = ïï (m + 6)x + 2y = m + a î b ïî ìï 2x + my = m + ìï 3x + my = ï ï í í ïï (m + 1)x + 2my = 2m + ï mx + 3y = î c d îï 3.9 Định m để hệ có nghiệm là nghiệm nguyên ìï (m + 1)x - 2y = m - ìï mx + y - = ï ï í í ïï m x - y = m2 + 2m ï x + my - 2m - = ï î a b ïî ìï mx - 2y = m - ìï x + y = ï ï í í ïï (m - 1)2x - y = m2 - ï mx - y = m ï î c d ïî (13) (14)