DeDa HSG Toan 11Vinh Phuc

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau.. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A.[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I (4 điểm)  Giải phương trình:   cos x     sin x.cos x  sin x  cos x   x  y 1  2  y  z 1  xy  yz  zx 1 Giải hệ phương trình:  0  x, y , z    Câu II (2 điểm)     Giả sử A, B, C , D là số đo các góc DAB, ABC , BCD, CDA tứ giác lồi ABCD bất kì A B C Chứng minh A P  sin  sin B  sin C  sin D Tìm giá trị lớn biểu thức sin A  sin B  sin C 3sin Câu III (1 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A và số đó chia hết cho Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Phân giác các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC các điểm A1 , B1 , C1 Đường thẳng AA1 cắt đường thẳng CC1 điểm I ; đường thẳng AA1 cắt đường thẳng BC điểm N ; đường thẳng BB1 cắt đường thẳng A1C1 điểm P Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC1 Đường thẳng OP cắt   đường thẳng BC điểm M Biết BM MN và BAC 2 ABC Tính các góc tam giác ABC Câu V (1 điểm) Cho hàm số f :  0;     0;   1  f  3x   f  f  x    x 2  thỏa mãn điều kiện với x  Chứng minh f  x   x với x  -Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT chuyên) Đáp án gồm trang Câu Nội dung I I.1 (2 điểm) 4điểm  cos x        sin x.cos x  sin x  cos x  Điểm 0 cos x   sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x 0   0,5   sin x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x 0   sin x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x   sin x  cos x 0   sin x  cos x    sin x  cos x  0    sin  x   0   sin x  cos x 0 4     sin x  cos x 1  sin  x        6        x   k x   k        x    k 2   x k 2  k    6  2     x   k 2  x    k 2   6 I.2 (2 điểm) +) Nếu x 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm +) Nếu x 0 ta đặt y ax; z bx thay vào hệ ta  x  2a 1     x 2a  3b 1    x  a  ab  b  1     0,5 2 1  2a 2a  3b   1  2a a  ab  b 2 4a  3b 1  2a  a   b  a  1 0 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5  a   4a  3b 1 4a  3b 1 b 1     b 1  2a  a  1  2a  1  b  a  1 0  a  1  2a   b  0   2a  3a  0  a   +) Nếu b 1 thay vào (1) không thỏa mãn +) Nếu 2  a 1   b  b 1  2a     a  2a  3a  0    b 0 0,25  a 1  thay b  vào (1) không thỏa mãn, thay  a   b 0 vào (1) ta có x  Do đó nghiệm hệ là 1      x; y; z   2; ;0  ,   2;  ;0      II II.1 (1 điểm) x y 2điểm  x,  y;  Nhận xét Nếu thì sin x  sin y 2sin 0,5 x y x y x y cos 2sin 2 Dấu xảy x  y 0,25 0,25 Sử dụng nhận xét trên ta có A B C A B A  B  4C 2sin  2sin A  B A  B  4C  A B C 4sin 4sin A  B C sin A  sin B  sin C 3sin Dấu xảy A B C sin A  sin B  sin C  sin 0,5 0,25 II.2 (1 điểm) t B C  D  2 , A 2  3t;  t  3 ta có Đặt Khi đó theo phần II.1 ta có  1  2  3t  P  sin  cos t  sin t   3sin t  2   0,25 0,25 2  3  5  2  P         sin t  cos t          Khi đó Đẳng thức xảy cos t   ; sin t  28 28  2 0,25 0,25 Vậy max P   B C D t , A 2  3t (với t xác định (1) và (2)) III +) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đôi khác 1điểm thì chữ số đầu tiên có cách chọn và có A9 cho vị trí còn lại Vậy n  A  9 A97 0,25 B  0;1; 2; ;9 +) Giả sử ta thấy tổng các phần tử B 459 nên số có chín chữ số đôi khác và chia hết cho tạo thành từ chữ số đôi khác các tập B \  0; 9 ; B \  1; 8 ; B \  2; 7 ; B \  3; 6 ; B \  4; 5 nên số các số loại này là A8  4.7 A7 A88  4.7 A77  A 9 Vậy xác suất cần tìm là 0,25  IV IPC 90 , đó O là trung điểm IC1 * Dễ thấy 2điểm     * IOP 2 IC1 P CAB CC1 B  BC1 // OP * Do BM=MN; OI OC1  IN // C1 B   CIA BAC  ACB CIA BAC   Do đó , mà    BAC  BAC  ACB  BAC  ACB Vậy      Cùng với BAC 2 ABC ta BAC  ACB 72 ; ABC 36    0,5 0,5 0,5  0,5 0,5 C A1 N B1 I M P B A O C1 V 1điểm 1  f (3x )  f  f (2 x )   x (1) 2    2x   2x 2x f ( x)  f  f      f ( x)  , x     Từ (1) suy (2) Khi đó   2x   2x f ( x)  f  f         3  2x  2x  2x  2x   f    f     x   3    27  Xét dãy (an ) , (n=1,2,…) xác định sau: a1  0,25 0,25 2 an1  an2  và 3 * Ta chứng minh quy nạp theo n với n   luôn có f ( x)  an x với x  (3) Thật vậy, n 1 thì theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k Khi đó   2x   2x 2x 2x  2x  2x f ( x)  f  f      a f     a a     k   k k a2   k x ak 1.x Vậy (3) đúng với n k  * Tiếp theo ta chứng minh lim an 1 Thật vậy, ta thấy an  n   Do đó: 0,25 0,25 an 1  an  (an  1)( an  2)  , suy dãy (an ) tăng ngặt l  l2  3 với l 1 , Dãy ( an ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ Đặt lim an l thì suy l 1 Vậy lim an 1 Do đó từ (3) suy f ( x ) x với x  (đpcm)