Từ một điểm M trên AH AM = x, vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC tại P và Q.Vẽ PS và QR vuông góc với BC.. b Xác định vị trí M trên AH để diện tích này lớn nhất?[r]
(1)Chuyên đề Tứ giác - Diện tích tứ giác Cho hình vuông ABCD Trên tia đối BA lấy điểm E, trên tia đối CB lấy điểm F cho EA = FC a) Chứng minh tam giác FED vuông cân b)Gọi O là giao điểm đường chéo AC và BD, gọi I là trung điểm FE Chứng minh rằng: O, C, I thẳng hàng Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ có chứa AH, vẽ hình vuông AHKE a) Chứng minh rằng: B 45 b)Gọi P là giao điểm AC và KE Chứng minh tam giác ABP là tam giác vuông cân c) Gọi Q là đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm BP và AQ Chứng minh rằng: H, I, E thẳng hàng d)Chứng minh rằng: HE // QK Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC, lấy điểm tùy ý Đường thẳng vuông góc với AM M cắt CD E và AB F Chứng minh rằng: MA = FE Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC Biết FAE 450 Chứng minh chu vi tam giác CFE nửa chu vi hình vuông ABCD Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC cho chu vi tam giác CFE nửa chu vi hình vuông ABCD Chứng minh rằng: FAE 450 Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD) có CD = cm, AB = cm và cạnh bên BC = 13 cm Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = BA Đường thẳng vuông góc với BC M cắt AD N a) Chứng minh : điểm N nằm trên tia phân giác góc ABM b)Chứng minh : BC2 = BN2 + ND2 + DC2 c) Tính diện tích hình thang ABCD Cho các điểm E và F nằm trên các cạnh AB và BC hình bình hành ABCD cho FA = EC Gọi I là giao điểm FA và EC Chứng minh ID là phân giác góc AIC Cho hình thoi ABCD có góc B tù Kẻ BM và BN vuông góc với các MN DB cạnh AD và CD M và N Biết Tính các góc hình thoi Cho hình thang ABCD có độ dài đáy là AB = cm và CD = 15 cm, độ dài đường chéo là AC = 16 cm, BD = 12 cm Từ A vẽ đường thẳng song song với BD cắt CD E a) Chứng minh tam giác ACE là tam giác vuông A b)Tính diện tích hình thang ABCD 10 Ở bên ngoài hình bình hành ABCD vẽ hình vuông ABEF và ADGH Chứng minh rằng: a) AC = FH và AC FH (2) b)Tam giác CEG là tam giác vuông cân 11 Cho tam giác ABC có BC = a và đường cao AH = h Từ điểm M trên AH (AM = x), vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC P và Q.Vẽ PS và QR vuông góc với BC a) Tính diện tích PQRS theo a, h, x b) Xác định vị trí M trên AH để diện tích này lớn nhất? 12 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Kí hiệu S là diện tích Cho SAOB = a2,SCOD = b2 (với a , b là số cho trước) Hãy tìm giá trị nhỏ SABCD? 13 Cho tam giác ABC cân A với góc A là góc nhọn, CD là đường phân giác góc ACB Qua D, kẻ đường thẳng vuông góc với CD, đường thẳng này cắt BD EC đường thẳng CB E Chứng minh rằng: 14 Cho hình vuông ABCD cạnh a điểm M di động trên cạnh AB, N di động trên cạnh AD cho chu vi tam giác AMN không đổi và 2a Xác định vị trí MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn và tính giá trị lớn đó 15 Cho tam giác ABC vuông cân A Lấy điểm M tùy ý trên cạnh AC Kẻ tia Ax vuông góc với BM Gọi H là giao điểm Ax với BC và K là điểm đối xứng với C qua H Kẻ tia Ky vuông góc với BM Gọi I là giao điểm Ky với AB Tính số đo góc AIM 16 Cho hình vuông ABCD Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N cho DN = BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt F Chứng minh rằng: a) Tứ giác ANFM là hình vuông b) Điểm F nằm trên tia phân giác góc MCN và góc FCA 900 c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang (O là trung điểm FA) 17 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh CD, lấy M bất kì Các tia phân giác các góc BAM và DAM cắt các cạnh BC E và CD F Chứng minh rằng: MA FE 18 Cho tam giác ABC có góc A 30 Dựng bên ngoài tam giác BCD Chứng minh rằng: AD2 = AB2 + AC2 19 Cho tam giác ABC cân A có H là trung điểm cạnh BC Gọi I là hình chiếu vuông góc H trên cạnh AC và O là trung điểm HI Chứng minh rằng: AO BI 20 Cho tam giác ABC cân A, lấy các điểm E và K trên các tia AB và AC cho: AE + AK = AB + AC Chứng minh EK > BC 21 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC = cm, BDC 45 Gọi O là giao điểm đường chéo Tính diện tích hình thang ABCD 22 Cho tứ giác ABCD Qua trung điểm đường chéo BD, dựng đường thẳng song song với đường chéo AC, đường thẳng này cắt đoạn thẳng AD E Chứng minh CE chia tứ giác thành phần có diện tích 23 Các đường chéo tứ giác ABCD vuông góc với Qua trung điểm các cạnh AB và AD, kẻ các đường vuông góc theo thứ tự với các cạnh CD và CB Chứng minh đường thẳng vuông góc này và đường thẳng AC đồng quy 24 Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm a) Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC (3) b) Gọi CD là dường phân giác tam giác ACH Chứng minh tam giác BCD cân.Chứng minh rằng: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 +DH2 25 Cho tam giác ABC có góc nhọn và M là điểm nằm trên cạnh BC Gọi E và F là hình chiếu B và C xuống đường thẳng AM Xác định vị trí điểm M trên BC để tống BE + CF là lớn 26 Cho tam giác ABC Trên AB lấy điểm D cho BD = 3DA Trên CB lấy điểm E cho BE = 4EC Gọi F là giao điểm AE và CD Chứng minh rằng: FD = FC 27 Trong tất các hình chữ nhật có chiều dài đường chéo không đổi d, hãy tìm hình có diện tích lớn nhất? 28 Trên cạnh AB hình vuông ABCD, lấy điểm E tùy ý Tia phân giác góc CDE cắt BC K Chứng minh rằng: AE + KC = DE 29 Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH AC H Gọi M và K là trung điểm AH và CD Chứng minh rằng: BM MK Chuyên đề (4) Định lí Talet - Tam giác đồng dạng 30 Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Vẽ CE AB và FC AD Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC 31 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a Gọi M, N là trung điểm AB và BC Các đường thẳng DN và CM cắt I Chứng minh rằng: a) Tam giác CIN vuông b)Tính diện tích tam giác CIN theo a c) Tam giác AID cân 32 Cho hình thang ABCD (BC // AD) với ABC ACD Tính độ dài đường chéo AC, biết đáy BC và AD theo thứ tự có độ dài 12 m và 27 m 33 Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC Từ điểm E trên cạnh BC ta kẻ Ex // AM, Ex cắt tia CA F và tia BA G Chứng minh rằng: FE + EG = 2AM 34 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm I, tia DI cắt đường thẳng AB M, cắt đường thẳng BC N Chứng minh rằng: AM DM CB AB DN CN a) b) ID2 = IM.IN 35 Cho tam giác ABC, đường phân giác góc C cắt cạnh AB D Chứng minh rằng: CD2 < CA.CB 36 Cho tam giác ABC, BD và CE là đường cao tam giác ABC, DF và EG là đường cao tam giác ADE Chứng minh rằng: a) Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng b)FG // BC 37 Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC > BD Gọi E và F là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD, gọi G là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC a) Chứng minh hai tam giác CBG và ACF đồng dạng với b)Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2 38 Cho tam giác ABC (AB < AC) Hai Đường cao BD và CE cắt H a) So sánh góc BAH và góc CAH b)So sánh đoạn thẳng BD và CE c) Chứng minh hai tam giác ADE và ABC đồng dạng với 39 Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD M và cắt CD I Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh CD K Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC P Chứng minh MP // DC 40 Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM K là điểm trên AM cho: AK AM , BK cắt AC N a) Tính diện tích tam giác AKN, biết diện tích tam giác ABC là S b)Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC I và J Chứng AB AC 6 minh rằng: AI AJ (5) 41 Lấy điểm O tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB lần OA OB OC 2 AP BQ CR lượt P, Q, R Chứng minh rằng: 42 Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm AB Vẽ phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB Lấy C trên Ax, D trên By cho góc COD 90 a) Chứng minh tam giác ACO đồng dạng với tam giác BDO b)Chứng minh rằng: CD = AC + BD c) Kẻ OM vuông góc CD M, gọi N là giao điểm AD với BC Chứng minh rằng: MN // AC 43 Cho tam giác ABC với AB = cm, AC = cm, BC = cm Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, O là giao điểm hai tia phân giác tam giác ABC Chứng minh rằng: GO // AC 44 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = Trên tia đối tia CD lấy N cho CN = I là giao điểm tia AM và BN Chứng minh điểm A, B, I, C, D cùng cách điểm 45 Cho tam giác ABC, trung tuyến CM Qua điểm Q trên AB vẽ đường thẳng d song song với CM, đường thẳng d cắt BC R và cắt AC P Chứng minh rằng: Nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông C 46 Trên các cạnh AB, BC, CA ABC cố định lấy ba điểm M, N, P cho: = = = k (k > 0) a) Tính SMNP theo S ABC và theo k b) Tính giá trị k cho SMNP đạt giá trị nhỏ nhất? 47 Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc đỉnh 20 0, cạnh đáy là a, cạnh bên là b Chứng minh rằng: a3 + b3 = 3ab2 48 Cho điểm A, E, F, B theo thứ tự trên đường thẳng Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD và FGHE a) Gọi O là giao điểm AG và BH Chứng minh các tam giác OHE và OBC đồng dạng b)Chứng minh các đường thẳng CE và FD cùng qua O 49 Cho tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, CA = Các đường phân giác AD và BE cắt I a Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD b Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: IG // BC Từ đó suy độ dài đoạn thẳng IG 50 Cho ABC có A 30 Dựng bên ngoài tam giác BCD Chứng minh rằng: AD2 = AB2 + AC2 (Giống bài 18 giải theo cách khác).S 51 Cho hình vuông ABCD Trên BC lấy M cho: CN BC BM BC Trên tia đối tia CD lấy điểm N cho Cạnh AM cắt BN I và CI cắt AB K Gọi H là hình chiếu M trên AC Chứng minh K, M, H thẳng hàng 52 Cho hình thang ABCD có đáy là AB = 2a, CD = a Hãy xác định vị trí điểm M trên đường thẳng CD cho đường thẳng AM chia hình thang thành hai phần có diện tích 53 Cho tam giác ABC (BC < AB) Từ C vẽ dường vuông góc với phân giác BE F và cắt AB K, vẽ trung tuyến BD cắt CK G Chứng minh DF qua trung điểm GE (6) 54 Cho hình thoi ABCD có góc 600 Gọi M là điểm thuộc cạnh AD Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB N a) Chứng minh rằng: AB2 = DM.BN b)BM cắt DN P Tính số đo góc BPD 55 Cho ABC, điểm M nằm trên cạnh BC Chứng minh rằng: MA.BC < MC.AB + MB.AC 56 Cho tam giác nhọn ABC cân A Từ B kẻ BM vuông góc với AC Chứng AM AB 2 1 AC BC minh rằng: 57 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi M, N là trung điểm BO, AO lấy điểm F trên cạnh AB cho tia FM cắt cạnh BC E và tia FN cắt cạnh AD K Chứng minh rằng: BA BC 4 BF BE a) b) BE AK BC 58 Cho tam giác ABC (AB = BC) Trên cạnh AC chọn điểm K nằm A và C Trên tia đối tia CA lấy E cho: CE = AK Chứng minh rằng: BK + BE > BA + BC 59 Cho tam giác ABC Gọi M là điểm nằm tam giác Chứng minh tống các khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác có giá trị không đổi M thay đổi vị trí tam giác 60 Cho tam giác ABC Qua điểm O tùy ý tam giác, ta kẻ các đường AO, BO, CO cắt BC, CN, AB M, N và P Chứng minh rằng: OM ON OP 1 AM BN CP 61 Cho ABC có đường cao BD và CE Chứng minh rằng: AED ACB 62 Cho ABC có đường phân giác AD Chứng minh rằng: AD2= AB.AC – DB.DC 90 A Bên ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE, 63 Cho tam giác ABC ACFG và hình bình hành AEIG Chứng minh rằng: a) ABC = GIA và CI = BF b) Ba đường thẳng AI, BF, CD đồng quy 64 Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = 2EC Gọi O là giao điểm CD và BE Chứng minh rằng: a) Diện tích tam giác BOC diện tích tam giác AOC b)BO = 3EO 65 Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AC E và cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C F Gọi S là giao điểm AC và BF Chứng minh rằng: SC2 = SE.SA 66 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB và CD lấy các điểm M và K cho AM = CK Trên AD lấy điểm P tùy ý, đoạn thẳng MK cắt PB và PC E và F Chứng minh rằng: SFEP = SBME + SCKF 67 Cho đoạn thẳng AC = m Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC Tia Bx AC Trên tia Bx lấy các điểm D và E cho BD = BA và BE = BC a) Chứng minh rằng: CD = AE và CD AE (7) b)Gọi M, N là trung điểm AE, CD Gọi I là trung điểm MN Chứng minh khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi B di chuyển trên đoạn AC c) Tìm vị trí điểm B trên đoạn AC cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn Tìm giá trị lớn này theo m 68 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy M.Vẽ BH vuông góc với CM Vẽ HN DH Chứng minh rằng: a) DHC NHB b)AM.NB = NC.MB 69 Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N là trung điểm BC, AD Gọi K là điểm nằm C và D Gọi P, Q theo thứ tự là các điểm đổi xứng K qua tâm M và N a) Chứng minh Q, P, A, B thẳng hàng b)Gọi G là giao điểm PN và QM Chứng minh GK luôn qua điểm I cố định K thay đổi trên đoạn CD 70 Cho tam giác ABC vuông A Về phía ngoài tam giác vẽ các hình vuông ABDE và ACGH a) Chứng minh rằng: BCHE là hình thang cân b)Kẻ đường cao AK tam giác ABC Chứng minh các đường thẳng AK, DE, GH đồng quy 71 Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC Q.Chứng minh: PQ // CD 72 Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CN lấy các điểm M, N, P Gọi diện tích các tam giác ANP, MBP, MNC, ABC là S 1,S2,S3,S Chứng minh rằng: S1 AN.AP a) S AC.AB S 64 b)S1.S2.S3 73 Cho tứ giác ABCD có AC = 10 cm, BD = 12 cm Hai đường chéo AC và BD cắt O, biết AOB 30 Tính diện tích tứ giác ABCD 74 Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD cắt đường cao AH I a) Chứng minh rằng: Tam giác ADI cân b)Chứng minh rằng: AD.BD = BI.DC c) Từ D kẻ DK BC K Tứ giác ADKI là hình gì? Vì sao? (8)