b Bài toán 2: Dùng đồ thị C biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm một vế là phương trình của hàm số đã có [r]
(1)Ôn tập Toán 12 Hoàng Chủ đề Hồ Văn ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Vấn đề TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu hàm số B1: Tìm tập xác định hàm số B2: Tính đạo hàm hàm số Tìm các điểm xi (i = 1; 2; …; n) mà đó đạo hàm không xác định B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên B4: Nêu kết luận các khoảng đồng biến; nghịch biến Loại 1: Xét biến thiên hàm số Xét đồng biến và nghịch biến hàm số: x 1 y 3 x ; d) y x e) y = x – ex a) y = x – 3x + ; b) y = − x + 4x – c) Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng xác định Chứng minh hàm số y x x2 nghịch biến trên đoạn [1; 2] Chứng minh hàm số y x đồng biến trên nửa khoảng [3; + ) Dạng Tìm giá trị tham số để hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp: Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu hàm số Sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai f'(x) 0 f(x) đồng biến trên K f’(x) ≥ 0; x K ( xK ) max f'(x) 0 f(x) nghịch biến trên K f’(x) ≤ 0; x K ( xK ) Hàm số bậc Tập xác định Đạo hàm y/ ( y’ = ax2 + bx + c = 0) a 0 Hàm số tăng trên (từng khoảng xác định): y/ 0; x Giải Tìm m a 0 Hàm số giảm trên (từng khoảng xác định): y/ ≤ 0; x Giải Tìm m / Chú ý: Nếu hệ số a y có tham số thì phải xét a = ax b y cx d Hàm số biến : Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số tăng (giảm) trên (∞; d/c) và (d/c; +∞) : y/ > ( y/ < ), x D ad − bc (tử) > (<0) Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = (2) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x; m) đồng biến trên K” (nâng cao) B1 Tính đạo hàm f’(x; m) B2 Hàm số đồng biến trên K f’(x; m) 0; x K m g(x); xK (m g(x)) B3 Lập BBT hàm số g(x) trên K Từ đó suy giá trị cần tìm tham số m f ( x ) x ax x 3 Tìm giá trị tham số a để hàm số đồng biến trên 1 m y x 2 m x 2 m x Cho hàm số a Định m để hàm số luôn đồng biến; Định m để hàm số Tìm m để hàm số y y b Định m để hàm số luôn nghịch biến 2mx 3m x 2m đồng biến các khoảng xác định mx m 1 x m x 3 luôn đồng biến trên m x đồng biến trên khoảng xác định nó Định m để hàm số: 2x m y mx đồng biến các khoảng xác định Định m để hàm số y 2 Vấn đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng Tìm cực trị hàm số Phương pháp: Dựa vào qui tắc để tìm cực trị hàm số y = f(x) Qui tắc I Qui tắc II B1: Tìm tập xác định B1: Tìm tập xác định B2: Tính f’(x) Tìm các điểm đó B2: Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = và f’(x) = f’(x) không xác định kí hiệu là xi là các nghiệm nó B3 Lập bảng biến thiên B3: Tính f ”(xi) B4: Từ bảng biến thiên suy các cực trị B4: Dựa vào dấu f ” (xi) suy cực trị f ”(xi) > thì hàm số có cực tiểu xi; f ”(xi) < thì hàm số có cực đại xi Chú ý: Qui tắc thường dùng với hàm số lượng giác việc giải phương trình f’(x) = phức tạp Ví dụ Tìm cực trị hàm số y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10 (3) Ôn tập Toán 12 Hoàng Qui tắc I y ' 6 x x 36 D = ; x 2 y ' 0 x x 36 0 x BBT Hồ Văn Qui tắc II y ' 6 x2 x 36 D = ; x 2 y ' 0 x x 36 0 x y”= 12x + y’’(2) = 30 > nên hàm số đạt cực tiểu x = và yct = − 54 y’’(−3) = −30 < nên hàm số đạt cực đại x = −3 và ycđ =71 Vậy điểm cực đại M(3; 71) điểm cực tiểu N(2; − 54) Tìm cực trị các hàm số sau: a y = 10 + 15x + 6x x b y = x x 432 d y = x 5x + a y = x - x b y = c y = x 3x 24 x e y = 5x + 3x 4x + x+1 - 3x d y = x e y = x - x x 1 1-x 10 - x Dạng Xác lập hàm số biết cực trị Để tìm điều kiện cho hàm số y = f(x) đạt cực trị x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = tìm m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị a thì f’(a) = không kể CĐ hay CT) Nhớ : y’’(xo) ≠ cực trị ; y’’(xo) < cực đại y’’(xo) > cực tiểu ; Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m − 1)x + đạt cực tiểu x = y ' 3x 6mx m Ta có Hàm số đạt cực trị x = thì y’(2) = 3.(2) 6m.2 m 0 m 1 c y = f y = x 5x x 0 y ' 3 x x y ' 0 x 2 Với m = ta hàm số: y = x3 – 3x2 + có : Dùng QT I II ta có x = hàm số đạt giá trị cực tiểu Vậy m = là giá trị cần tìm Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + đạt cực đại x = 2 y x mx ( m ) x Tìm m để hàm số có cực trị x =1 Đó là CĐ hay CT 2 Tìm m để hàm số y = x – 2mx + m x – đạt cực tiểu x = Tìm các hệ số a; b; c cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu điểm x = 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ Dạng Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Hàm sô y = f(x) có y’ = ax2 + bx + c; đồ thị (C) (4) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng a 0 0 hàm số có cực trị y ' hai cực trị nằm phía trục Ox yCĐ yCT < hai cực trị nằm phía trục Oy xCĐ xCT < yCĐ yCT y y hai cực trị nằm phía trên trục Ox CĐ CT yCĐ yCT y y hai cực trị nằm phía trục Ox CĐ CT đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành yCĐ yCT = Tìm m để các hàm số sau có cực trị : y x m 1 x m 7m x 2m m a) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m; b) Tìm m để hàm số sau không có cực trị y = (m − 3)x3 − 2mx2 + Vấn đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Cách B1: Tính đạo hàm hàm số y’ = f’(x) B2: Xét dấu đạo hàm f’(x); lập bảng biến thiên Trong đó x0 thì f’(x0) không xác định Cách 2: Để tìm GTLN; GTNN hàm số y = f(x) trên [a; b] B1: Tìm xi [a; b](i = 1; 2; ; n) làm cho đạo hàm = không xác định B2: Tính f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b) B3: GTLN = Max{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)} GTNN = Min{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)} y x x trên khoảng (0; ) Ví dụ Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số Hướng dẫn: hàm số xác định nên liên tục trên (0; ) x 1 x2 y ' 1 , y ' 0 x x x (0; ) Lập BBT f ( x ) KL: (0;) = x = và hàm số không có giá trị lớn x3 y x 3x Ví dụ Tính GTLN; GTNN hàm số trên đoạn [−4; 0] Hướng dẫn Hàm số xác định nên liên tục trên [−4; 0] f’(x) = x2 + 4x +3; x 16 16 , f ( 3) 4, f ( 1) , f (0) x f ( 4) 3 f’(x)=0 (5) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Vậy: Max x[-4;0] 16 f(x) = f(−3) = f(0) = − 4; x[-4;0] f(x) = f(−4) = f(−1) = Min Luyện tập Tìm GTLN; GTNN hàm số (nếu có): a) y = x3 + 3x2 – 9x + trên [−4; 4]; b) y = x3 + 5x – trên [−3; 1] c) y = x – 8x + 16 trên [−1; 3]; d) y = x3 + 3x2 – 9x – trên [−4; 3] 3 x 1 ; a) y = x + / (−2; 4]; b) y = x + + x trên (1; +∞); c) y= cosx trên 2 ; x 2 x x ln x / [e; e3]; g) y= ln(x2 +x−2) / [ 3; 6] d) y = x ; e) y = x e / [−1; 1]; f) y = 3 f(x)=2sin x sin x 0; M f ( ) f ( ) ; m f (0) f ( ) 0 4 a / ( ) 0; M f ( ) 2 2; m f (0) b trên ( ) 1 M f ( 2) 4 ln 5; m f ( ) ln 2 c f(x) = x ln(1−2 x) trên đoạn [−2; 0] ( ) 23 d f(x) = sin3x − cos2x + sinx + ( M = 5; m = 27 ) e f(x) = cos3x − 6cos2x + 9cosx + ( M = 9; m = −11) f(x)= cos x 4sin x Vấn đề Khảo sát hàm số Tìm tập xác định hàm số Tính đạo hàm y’; tìm nghiệm phương trình y’= Tìm các giới hạn vô cực; các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) Lập bảng biến thiên Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng đồ thị Vẽ đồ thị Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) − Xét y’ = : ≤ luôn đồng biến ( a > 0) nghịch biến (a < 0) trên > có điểm cực trị − Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(xo; yo) với xo là nghiệm phương trình y 0 Hàm số trùng phương: y = ax + bx + c (a ≠ 0) − Có cực trị ( a.b ≥ 0) có cực trị (a b < 0) − Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ax b cx Hàm biến: y = d (c ≠ 0; ad – bc ≠ 0) d d − Luôn đồng biến nghịch biến trên (−∞; − c ) và (− c ; +∞) d a c − Tiệm cận đứng: x = − ; tiệm cận ngang y = c (6) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng − Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Vấn đề CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Sự tương giao đồ thị: C1 : y f x và C2 : y g x C1 và C2 : f x g x a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm hai đường Lập phương trình hoành độ giao điểm Số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm hai đường b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình Biến đổi phương trình đã cho phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương trình hàm số đã có đồ thị (C); vế là phần còn lại) Lập luận: Số nghiệm phương trình chính là số giao điểm (C) và (d) Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm (C) và (d) Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) Phương trình có dạng: y – yo = k (x – xo) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) ) a) Tại Mo(xo; yo): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) b) Biết hệ số góc k tiếp tuyến: sử dụng k f ( x0 ) tìm x ; tìm y 0 Tiếp tuyến // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a f’(x0 ) = a; giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào (C) tìm y0 1 Tiếp tuyến d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a f’(x0 ) = a ; giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào (C) tìm y0 Dạng 3: Điểm cố định họ đường (Cm): y=f(x, m) A(x0, y0) là điểm cố định (Cm) A(x0, y0) (Cm), m A 0 A 0 B 0 B 0 C 0 y0 = f(x0, m), m Am2 + Bm + C = 0, m Am + B = 0, m Giải hệ phương trình trên để tìm điểm cố định (dồn m, rút m, khử m) Dạng 4: Tập hợp điểm M(x; y) Tính x và y theo tham số Khử tham số để tìm hệ thức x và y Giới hạn quỹ tích (nếu có) Dạng 5: CMR điểm I(x0; y0) là tâm đối xứng (C):y=f(x) OI x0 ; y0 Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo (7) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng x X x0 y Y y0 Công thức đổi trục: Thế vào y = f(x) ta Y = f(X) Cminh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ Suy I(x0; y0) là tâm đối xứng (C) Dạng 6: CMR đường thẳng x = x0 là trục đối xứng (C) x X x0 OI x0 ;0 y Y Dời trục phép tịnh tiến Công thức đổi trục Thế vào y = f(x) ta Y= f(X) C minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn Suy đường thẳng x = x0 là trục đối xứng (C) CÁC BÀI TOÁN THI VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài Cho hàm số y = f(x) = x(3 –x)2 có đồ thị (C) , 1.Khảo sát hàm số 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và trục hoành 3.Một đường thẳng (d) qua O có hệ số góc m Với giá trị nào m thì (d) cắt (C) ba điểm phân biệt O; A; B Bài Cho hàm số y = – x có đồ thị (C) Khảo sát hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và đường thẳng y = –x Bài Cho hàm số y = f(x) = – 2x2 – x4 Khảo sát hàm số Gọi (C) là đồ thị câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và Ox 2x Bài Cho hàm số y = x có đồ thị (C) , Khảo sát hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (D) (C) điểm A(3; –2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) ; (D) ; Oy x4 y 2x2 Bài Cho hàm số , có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết PT tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm nó với trục hoành Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , trục Ox, trục Oy và đường thẳng x = 2x Bài Cho hàm số y = f(x) = x có đồ thị (C) Khảo sát hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) ; trục hoành và đường thẳng x = –2 Chứng minh với k đường thẳng y = kx cắ (C) điểm phân biệt Bài Cho hàm số y = –x3 + 3x2 có đồ thị (C) Khảo sát hàm số Gọi A là điểm uốn (C), B là điểm thuộc (C) có hoành độ x = Viết các phương trinh tiếp tuyến (C) A và B Tìm toạ độ giao điểm hai tiếp tuyến (8) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng Tính diện tích hình phẳng giới hạn cung AB và các đoạn thẳng AD ; BD x Bài Cho hàm số y = x có đồ thị là (C) Khảo sát hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và đường thẳng x – y + = Bài Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương tình tiếp tuyến (C) điểm uốn Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : x3 –6x2 +9x –m =0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , trục Ox , các đường thẳng x =1 , x =2 Bài 10 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương tình tiếp tuyến (C) điểm uốn Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 –6x2 +9x –m =0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), Ox , và các đường thẳng x = 1, x = Bài 11 Cho hàm số y = x3 –3x + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x=1 Một đưòng thẳng (d) qua điểm uốn (C) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm (C) và đường thẳng (d) Tmì toạ độ giao điểm trường hợp k =1 Bài 12 Cho hàm số y = x3 + 3x2 +mx + m –2 , m là tham số , đồ thị là (Cm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m= Gọi A là giao điểm đồ thị (C) và trục tung Viết phương trình tiếp tuyến (d) của(C) điểm A Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và tiếp tuyến (d) Tìm giá trị tham số m để (Cm) cắt trục hoành ba điểm phân biệt Bài 13 Cho hàm số y = f(x) = x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), Ox và các đường thẳng x = –2; x = Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo k số giao điểm (C) và đường thẳng y = k Bài 14 Cho hàm số y = x3 – ( m + )x + m ; m là tham số Định m để hàm số tương ứng có cực trị x = –1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với m = Biện luận theo k số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y = k x 1 Bài 15 Cho hàm số y = x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (H) qua điểm A(0; 1) Chứng minh có đúng tiếp tuyến đồ thị (H) qua điểm B(0; –1) Tìm tất các điểm nguyên trên đồ thị (H) (Điểm nguyên là điểm mà hoành dộ lẫn tung độ là số nguyên ) (9) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Bài 16 Cho hàm số y = x3 – 3x có đồ thị (C) Khảo sát hàm số Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x = Viết phương trình đuờng thẳng d qua M và là tiếp tuyến (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và tiếp tuyến nó M Bài 17 Cho hàm số y = – x4 + 2x2 +3 có đồ thị (C) Khảo sát hàm số Xác định các các giá trị m để phương trình x4 – 2x2 + m =0 có nghiệm phân biệt Bài 18 Cho hàm số y = (x + a )3 + ( b + x )3 – x3 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số a = ; b = Các số a , b thoả điều kiện gì để hàm số có cực đại , cực tiểu Bài 19 Cho hàm số y = x3– 3mx2 +2(m2 – )x – m2 – Chứng minh với m tiếp tuyến với đồ thị điểm uốn có hệ số góc nhỏ các tiếp tuyến với đồ thị Tìm m để : a/ Hàm số không có cực trị b/ Hàm số đạt cực đại x = Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m =–1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục tung và đưòng thẳng x = –2 Bài 20 Cho hàm số y = x3 –mx2 + (m+2)x +2m KSHS m = –2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm uốn Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Bài 21 Cho hàm số y = 2x3 – 3( 2a + )x2 + 6a(a + 1)x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số a = CMR a hàm số luôn đạt cực trị hai điểm x1 , x2 và x1 –x2 không phụ thuộc vào a Tìm a để đồ thị hàm số qua điểm A(2; 1) Bài 22 Cho hàm số y = f(x) = x3– 4x2 + 4x , có đồ thị (C) Khảo sát hàm số Tìm toạ độ giao điểm (C) và đường thẳng (D) : y = 3x – Tiếp tuyến (C) O cắt (C) A Tìm toạ độ điểm A Biện luận theo k vị trí tương đối (C) và đường thằnh y = kx Tìm m để phương trình x3– 4x2 + 4x – m = có ba nghiệm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng (d1): y = 7x Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d2): y = x Chủ đề HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT TÓM TẮT KIẾN THỨC: 1) Luỹ thừa: a 1; a n Các công thức cần nhớ: Tính chất lũy thừa: m n ; a n am an (10) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng n am a m n an ; a m a n a m n ; m n a n a m ab a b ; ; n + Với a > thì a a m n m n + Với < a < thì a a m n n 2) Căn bậc n: 3) Lôgarit: n an a bn ; b m Quy tắc so sánh: n a n mn n n a.b a b ; a na b nb ; n am n ; m n a mn a Định nghĩa: Cho a, b 0; a 1 : log a b a b log a 0; log a a 1; log a a ; a loga b b Tính chất: Quy tắc so sánh: + Với a > thì: log a b log a c b c + Với < a <1 thì: log a b log a c b c b log a log a b1 log a b2 log a b1 b2 log a b1 log a b2 b2 Quy tắc tính: ; ; log a b log a b log a b log a b ; log b c Công thức đổi số: log a b log a c log a b hay log a b.log b c log a c logb a log a b.log b a 1 ; hay Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx lgx Lôgarit số e kí hiệu là: lnx Chú ý: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1) Hàm số mũ y = ax: TXĐ: ; y = ax > với x Hàm số đồng biến trên R a > 1; nghịch biến trên R < a < a f ( x ) a g ( x ) a f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ); f ( x ) log a g ( x ) a 1 0 a 1, g ( x ) 2) Dạng bản: a 0 a a f ( x ) a g( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g( x ) Dạng Đưa cùng số Ví dụ 1) 1) pt 2 x2 3 x x2 3 x ; 2) 1 3 x x 1 3 x 1 x x x 50 ; 3) 36 ; 4) 2 x2 + 3x – = −2 x2 + 3x = x = x = − 10 (11) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng ( x x 1) 2) pt 3) pt 4) 2.2 x 31 … x2 – 3x + = x = x = 2x 8.2 x x 36 36 9.2 x 36.4 x 2 x 4 4 5x.22 x 50 5x 4x 50 20 x 100 x log 20 100 Dạng đặt ẩn phụ x 8 4.3x 5 27 0 ; 2) 25x 2.5x 15 0 ; 3) 3x 2 32 x 24 Ví dụ 1) 2x x 6561 3x 972.3x 27 0 1) pt 3 4.3 27 0 (*) 1 t t 27 Đặt t = > ta có phương trình (*) 6561t – 972t + 27 = 1 t 3x 3 x t 3x 3 x 27 Với ; Với t 5 t 2t 15 0 x x x 2.5 15 t (loai) 2) pt (*) Đặt t 5 ; (*) x Với t = = x = Vậy phương trình có nghiệm: x = 9.3x x 24 0 3x 24.3x 0 3) pt (*) x t 3 9t 24t 0 t ( loai) x t Đặt Pt (*) x t 3 3 x 1 ; Vậy phương trình có nghiệm: x 1 Với x 1 x Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9x – 3x – = (TNBTT2007) 2.7 0 a) 22x + + 22x + = 12 b) 92x +4 − 4.32x + + 27 = c) 52x + – 110.5x + – 75 = x x1 5 2 x x 0 15 15 2 x 3 x 5 20 d) e) f) g) x 52 5 10 h ) 32 x 1 9.3x 0 Dạng Logarit hóạ a) 2x − = x b) 3x + = 5x – 2 x 2 9.2 x 0 i) x c) 3x – = x 12 x x x x 6 x x d) 5 e) 500 f) 52x + 1− 7x + = 52x + 7x x x Dạng sử dụng tính đơn điệu a) + = 5x b) 3x – 12x = 4x c) + 3x/2 = 2x PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 11 (12) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Hàm số: y = logax có tập xác định D = (0 ; +∞); a 1 Tập giá trị: Tính chất: Hàm số đồng biến a > 1; nghịch biến < a < Phương trình và bất phương trình bản: 0 a 1 log a f ( x ) log a g ( x ) f ( x ) g ( x ) 0 a 0 f ( x ) g ( x ) log a f ( x ) log a g ( x ) a f ( x ) g ( x ) Dạng Đưa cùng số log x log x 3 b) log x log x 2 log d) f) log3 x log x log Dạng đặt ẩn phụ l) e) log4x + log2x + 2log16x = g) log3x = log9(4x + 5) + 2 i) log x log 3x 1 ; log x 1 log x log x 3 d) ; e) ; f) 3; g) 51 (TNTHPT 2010) giải : log x 14 log x 0 h) log x log x 4 log c) log x log x 1 1 1 b) −1; c) ; KQ: a) 1; j) a) log 22 x 1 log x 1 7 1 ln x ln x k) x 3log x log x 2 log3 x log3 3x 1 m) log 4.3x 1 2 x log 4.log ( x 1) 2 o) p) n) log3(3x – 8) = – x 4 1 3; 2; ; 2 16 KQ: h) ; i) ; j) 2; 3; k) e; e ; l) ; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) Dạng mũ hóa a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 − x) b) log3(3x – 8) = – x 1 2 Bất phương trình mũ a) x d) x 6 1 23 x e) 16x – ≥ a) + > 17 d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x Bất phương trình logarit 2x + x 15 x x+7 2x – 1 b) x5 9 f) 52x + > 5x x −2 b) – 2.5 ≤ e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 12 1 x x x c) 3 g) (1/2) 2x − 3≤ 2 x c) f) 4x +1 −16x ≥ 2log48 (13) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – c) log2( x2 – 4x – 5) < d) log ½ (log3x) ≥ e) 2log8(x− 2) – log8( x− 3) > 2/3 f) log2x(x2 −5x + 6) < 1 1 3x x log x 2.log x 16 1 log (3 1).log ( ) log x 16 g) log x log x h) k) x x (e ) ' e (ln x ) ' x Bảng đạo hàm: x x u u ( a ) ' a ln a (e ) ' u '.e u' (ln u ) ' u u u ( a ) ' u '.a ln a u' (log a u ) ' u ln a a x ln a Chứng minh hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho 1) y = esinx CMR: y’cosx – ysinx – y’’ = 2) y = ln(cosx) CMR: y’tanx – y’’ – = x 3) y = ln(sinx) CMR: y’ + y’’sinx + tan = y = ex cosx CMR: 2y’ − 2y − y’’ = y = ln2x CMR: x2y’’ + xy’ = Tự luyện Giải các phương trình sau : 3x x 1/ ĐS : x =1 25 log 31 2/ 5x + 5x + + 5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1 ĐS : x = 2x+2 x 3/ – 28.3 + = ĐS : x =1 ; x = −2 4/ log2x + log4(2x) = ĐS : x (log a x ) ' log 21 x 3log x 0 5/ 6/ 3x +2.31 – x −5 = 7/ log x 14 log9 x 0 x x 1 3 8/ 9/ 10/ 21 x2 x ĐS : x = ; x = ĐS : x = ; x = log32 ĐS : x 3; x 27 x ĐS : x 3 x ĐS : 1 (7 2) x ( 5)(3 2) x 3(1 2) x x (2 3) (7 3)(2 11/ Giải bất phương trình : x 3) 4(2 3) 13 ĐS: x = −2; 0; ĐS: x 0; (14) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 1/ 22x+6 + 2x+7 – 17 > 2/ 2x + 3x > 6x – 3/ logx[ log3 ( 3x −9) ] < 1 1x 1x 1 21 x x x1 0 12 x x 3 1 4/ 5/ 6/ Giải hệ phương trình : 2 x.8 y 2 3log x 4log y 3 x.2 y 1152 1 log log log log (9 y ) log x y 2 x y x 2 1/ 2/ 3/ Chủ đề NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tóm tắt kiến thức bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Căn dx x C x dx x 1 C 1 ( với –1 ) dx C x x dx = tanx + C dx (1+ cot2 x)dx = sin x = −cotx + C x a dx x dx C a.x b 1 x sin(ax b)dx a cos(ax b) C x).dx = cos e dx e ( ax b) 1 C a ( 1) (với –1 ) (a.x b) cos xdx sin x C (1+ tan ( ax b) dx a x b dx = a lna.x + b+ C sin xdx cos x C a.dx ax C 1 x dx ln x C x Mở rộng C ax C ln a (0<a1) cos(ax b)dx sin(ax b) C a 1 dx tan ax C cos ax a (1+ tan a x).dx = (1+ cot a x)dx = sin e ax ax dx cot ax C a dx e ax C a mx n a dx 14 a mx n C m.ln a (0<a1) (15) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Tổng quát: f ( x )dx = F(x) +C f (ax b)dx = a F(ax+b) +C (a ≠ 0) 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] a b f ( x )dx 0 f ( x )dx f ( x )dx a b ; a a b b b ; b a a a b [f ( x ) g ( x )]dx f ( x )dx g ( x )dx a b k.f ( x )dx k f ( x )dx a c (k là số) b f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx a a c (a<c<b) 3) Các công thức lượng giác: 2 Công thức bản: sin cos 1 ; tan sin cos ; cot cos sin 1 tan cot 2 cos sin ; tan cot ; Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a cos 2a cos 2a 2 2 Công thức hạ bậc: * sin a = * cos a = cos a.cos b cos(a b) cos( a b) Công thức biến đổi tích thành tổng: * 1 sin a.cos b sin(a b) sin(a b) sin a.sin b cos(a b) cos( a b) 2 * * sin cos 2.sin 2.cos 4 4; Hệ quả: sin cos sin cos 4 4 4) Các công thức lũy thừa và bậc n: Với điều kiện xác định a, b, m, n ta có : n a na 1 m n m n n n n n n n x x ; x x b b a a a a a b a b * và * ; * n * a0 = 1; a1 = a ; a–n = a a a a a a a * ; * ; a.b * a a a b b ; * b 15 a * a (16) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 5) Các đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) * a b a 2ab b 3 2 a b a 3a 2b 3ab b3 * a b (a b)( a a.b b ) * * (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc * (a – b + c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc Có chạy, có thì có đến Chăm học, chăm rèn tiến lên! I BÀI TẬP nguyên hàM 1 x sin x Cho f(x) = sin x , tìm nguyên hàm F(x) f(x) biết F(π) = Đs x x2 1 c Chứng minh F(x) = ln là nguyên hàm f(x) = x Hướng dẫn : Chứng minh : F /(x) = f(x) Tìm nguyên hàm các hàm số x 3x ln x C f(x) = x2 – 3x + x ĐS F(x) = 2x4 x3 x 1 C 2 x x f(x) = ĐS F(x) = 3 f(x) = x ĐS F(x) = lnx + x + C 2 ( x 1) x3 2x C x x f(x) = ĐS F(x) = x 3x x C ĐS F(x)= x3 x4 x 3 x x f(x) = ĐS: F(x) = x x C x ( x 1)2 53 23 x x C x f(x) = ; f(x)= x ĐS x x ln x C ; x 2sin 2 f(x) = ; 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = x – sinx + C; 10 tanx – x + C 1 x sin x C 11 f(x) = cos x ĐS F(x) = f(x) = 16 (17) Ôn tập Toán 12 Hoàng 12 f(x) = (tanx – cotx)2 2 13 f(x) = sin x.cos x cos x 2 14 f(x) = sin x.cos x 15 f(x) = sin3x 16 f(x)=2sin3xcos2x 17 f(x) = ex(ex – 1) Hồ Văn ĐS F(x) = tanx − cotx – 4x + C ĐS F(x) = tanx − cotx + C ĐS F(x) = − cotx – tanx + C cos 3x C ĐS F(x) = cos5 x cos x C ĐS F(x)= 2x e ex C ĐS F(x) = e x ) 18 f(x) = ex(2 + cos x ĐS F(x) = 2ex + tanx + C x 1 2a x 3x e C C 19 f(x) = 2ax + 3x ; 20 f(x) = e3x+1 ĐS 19 ln a ln ; 20 II Tích phân bản: 1) Tính các tích phân 3 x 2 (3 x 1) dx e dx dx x 1 a) I1 = b) I2 = c)I3 = ln KQ: I1 = I2 = e –1 I3 = 2) Tính các tích phân 2x x 26 x x dx dx dx 2 x x 0 a) J1 = b) J2 = c) J3 = 206 101 15 J1 = J2 = 7ln2 – J3 = 3) Tính các tích phân a) K1 = s in3x.cos xdx KQ: K1 = b) K2 = cos 2xdx 1 1 K2 = Tính các tích phân: 17 c) K3 = e x dx 1 e e 2 K3 = (18) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng ( x 3x 2)dx 1) L = KQ: L = x2 10 ln dx 3x 3) J = KQ: J = 12 sin x.sin xdx 5) M = 7) P = sin KQ: P = 3xdx /4 9) R = KQ: M = dx 2 / sin x.cos x KQ: sin x dx x sin 2) I = 3 2 2 KQ: I = x3 5x x dx 4) K = KQ: K = – 6) N = 8) Q = KQ: N = x dx tan xdx KQ: 10) S = dx x 5x 1 ln KQ: Cố gắng Thành công III Phương pháp đổi biến số: Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) suy dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính 4 x dx KQ: I1 = Ví dụ : Tính a) I1 = Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: t = u(x) suy dt = u’(x)dx b) I2 = 9 x dx 12 KQ: I2 = + Tìm cận mới: Nếu hai cận là và thì =u(a) = u(b) + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Ví dụ : Tính các tích phân 2 e ln x x2 xe dx dx x ( x 1) dx x xdx x a) J1 = b) J2 = c)J3 = d) J4 = /2 cos x 1 dx (2 1) (1 sin x ) 3 24 24 e) J5 = KQ: J1 = ( e – e) J2 = J3 = J4 = J5 = 18 (19) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Bài tập tự luyện 1) Tính a) I = e c) K = x 4sin x cos xdx 21 dx x2 d) L = 8.x dx KQ: J = –4 (3 ln x )dx x 1 KQ: M = 2010 x( x 1) dx h) P = x e e KQ: K = 2e .x.dx e) M = 31 KQ: I = b) J = g) N = e x dx ex 13 KQ: L = 2e KQ: N = ln 1 KQ: P = 4046132 i) Q = 1 x KQ: .xdx 2) Tính x x 3dx 7 KQ: (2sin x 3) cos xdx a) I1 = KQ: b) J1 = 4x x x dx c) P = KQ: 2ln3 d) Q= tan x dx cos x g) N1 = e e x x 1 e KQ: 16/3 e) L1 = 1 3ln x ln xdx x dx KQ: ln(e+1) h) J4’ = x 32 KQ: 315 xdx b IV Phương pháp tích phân phần: Công thức: KQ: b b udv uv a vdu a a b Các dạng bản: Giả sử cần tính Dạng hàm Cách đặt I P ( x ).Q ( x )dx a P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx P(x): Đa thức Q(x):ekx P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) * u = P(x) * dv là Phần còn lại biểu thức dấu tích phân * u = P(x) * dv là Phần còn lại biểu thức dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx Ví dụ : Tính các tích phân 19 P(x): Đa thức 1 2 Q(x): sin x hay cos x * u = P(x) * dv là Phần còn lại biểu thức dấu tích phân (20) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng /4 a) I1 = 2 x cos xdx ( x 1)e 2x dx b) I2 = 3e I2 = KQ: I1 = Ví dụ : Tính các tích phân c) I3 = ln xdx ln x2 a) J1 = KQ: J1 = b) J2 = Bài tập tự luyện 1) Tính các tích phân: xdx cos x a) I 1= x ( x 3)e dx 1 b) I2 = x c) I3 = KQ: M = – ln 2) Tính các tích phân: a) K1= c) K3 = x.cos x.sin xdx (1 x) ln xdx e xdx cos d) I4 = ln x x KQ: b) K2 = ln x x e x KQ: J = d) K4 = e2 KQ: dx KQ: N = 2(1 – e ) dx ln 16 KQ: x e dx 2 1 (1 ln 2) KQ: J2 = e 3e KQ: I = e I3 = 8ln2 – 2 x ln( x 1)dx ln xdx 2e3 KQ: e 1 e) K5 = KQ: IV Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: x e sin xdx 1) Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và b f ( x) dx y = (trục hoành) tính bởi: S = a (1) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); b f ( x) g ( x) dx x = a; x= b tính bởi: S = a (2) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số a) y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = ĐS: 20 (21) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng ĐS: 2 b) y = – x và y = x 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn các đường y = f(x); x = a; x = b; y = xoay b f ( x) dx quanh trục Ox tính bởi: V = a (3) Ví dụ a) Cho hình phẳng giới hạn các đường y = 2x – x và y = Tính thể tích vật thể tròn 16 xoay sinh hình phẳng đó nó quay quanh trục Ox., ĐS: 15 b) Cho hình phẳng giới hạn các đường y = – x và y = x Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng đó nó quay quanh trục Ox Giải: Phương trình hoành độ giao điểm : – x2 = x3 x = V x = –1 Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường ( x ) dx y = – x , x = 0, x = –1 và trục Ox hình phẳng quay quanh Ox: V1= =5 Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường ( x3 )2 dx = y = x , x = 0, x = -1 và trục Ox…: Có V2 = V1 V2 Vậy thể tích V cần tính là: V = = 35 (đvtt) Chú ý: Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hai đường y = f(x) và y = g(x) nó b quay quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức dẫn đến kết sai KQs : V = 105 đvtt Bài tập tự luyện Tính diện tích hình phẳng giới hạn : a) y = x2 − 3x + ; y = x −1; x = ; x = ĐS: b) y = x.ex ; x = ; y = ĐS: S= c) y = sin x + x ; y = x; x = 0; x = π ĐS: S= d) y2 = 2x và y = 2x −2 ĐS : S= x 10 x 12 x2 e) đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = 21 V ( f ( x) g ( x)) dx a ĐS: S = 63 −16 ln (22) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng f) y2 = 2x +1 và y = x – ĐS: 16/ 32 g) (P): y = – x2 + 4x và trục Ox ĐS:S = đvdt h) (P): y = – x và y = – x – ĐS:S = đvdt i) (C): y = 5x4 – 3x2 – 8; trục Ox trên [1; 3] ĐS: S = 200 đvdt Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh Ox hình giới hạn : x a) (C): y= x ; các trục toạ độ ĐS : V= ( 3− ln2 ) b) (P): y = 8x và x = ĐS : 16 đvtt 162 ĐS : đvtt 2 ĐS : đvtt c) y = x và y = 3x d) y = sin x ; y = 0; x = 0; x = x Tính các tích phân sau : xdx 2/ x ; Đáp số : x 2.dx 1/ 1 5 3/ 4/ x dx 2 x ; Đáp số : x x dx ; Đáp số : 9/28 5/ 1 x .x dx Tính các tích phân sau : 2/ sin 4/ cos 3/ sin xdx x ; Đáp số :8/15 5/ xdx 3 ; Đáp số : x.sin xdx cos ; Đáp số :ln2 7/ 1/ 22 cos xdx sin x Tính các tích phân sau : ; Đáp số :2/63 e 16 Đáp số ; Đáp số : sin 2xdx xdx 1 cos ; Đáp số : 2 cos 6/ 3xdx 1/ (10 10 3) ; Đáp số : sin x ; Đáp số : .cos xdx ; Đáp số :e−1 (23) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 2/ x e x dx 4/ 6/ e 2 x ln x dx 1 1 ; Đáp số : 3e 3/ x x dx ; Đáp số :2e2 – 2e 1 ln11 ; Đáp số : 5/ ( x 2)e 3x dx e ; Đáp số : (2 x 1) cos xdx 2 x.sin x.cos xdx ; Đáp số :−1 7/ x sin xdx ; Đáp số : e 10/ ( x x 1) ln xdx 12/ x.cos xdx 14/ ; Đáp số : 8/ e ( x sin 9/ 2e e 31 36 ; Đs: 11/ ln x dx x ; Đáp số :2ln2−1 1 ln ; Đáp số : 2 2 ; Đáp số : 16 x) cos xdx ln( x 1)dx 13/ sin 3x.cos xdx ; Đáp số : 15/ sin xdx x) (1 cos ; Đáp số :0 ; Đáp số :1/2 Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: (2001 – 2002 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y2 = 2x +1 và y = x −1 x3 3x2 3x 1 x x (2002 – 2003) 1.Tìm nguyên hàm F(x) hàm số y = ; biết F(1) = x 10 x 12 x2 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= và trục Ox x 10 x 12 x2 HD: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = x 10 x 12 x2 và y = là = x = –1; x = 6 2 x 10 x 12 16 dx 14 x dx 14 x x 16ln x 63 16 ln x2 x2 1 1 1 S= = (đvdt) (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Cho hàm số y = x3 – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) và các đường y = 0; x =0; x = quay quanh trục Ox 23 (24) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng x x2 HD: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = ;y=0 b f ( x )dx x x2 là = x = 0; x = Ta có: V = a 3 x x x5 81 1 1 x3 x dx x x5 x dx 35 3 63 0 V= (đvtt) /2 (TNTHPT năm 2004 – 2005) Tính tích phân: I = x cos xdx cos x sin ( x sin x).cos x.dx xdx J K Hướng dẫn: I = Tính J: Đặt u = x du = dx; dv = cosx dx v = sinx J x sin x sin xdx x sin x cos x 1 Tính K: Đặt t = sinx dt = cosxdx t 1 x t3 2 t dt t 0 30 x 0 Đổi cận: Do đó K = Vậy I = (TNTHPT năm 2005– 2006) a Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số : y = ex; y = 2; x = /2 sin x dx cos x b Tính tích phân: I = ln (e x 1)e x dx ( THPT năm 2005− 2006 Ban A) Tính tích phân I = Hướng dẫn: Đặt t = x x ex ln x e e t e dx 2tdt Đổi cận ĐS 26 x (2 x 1)e dx (TN.THPT năm 2005 − 200 Ban C) Tính tích phân I = Hướng dẫn: Đặt u = 2x + du = 2dx; dv = exdx v = ex ĐS = e + (TNTHPT năm 2006– 2007) e ln x dx dx x Tính tích phân J = HD: Đặt t = lnx dt = x Đổi cận ĐS = 24 (25) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Tính tích phân I = 3x dx 1 x x 1 t 2 x 0 t 1 Đặt t = x + dt = x dx Đổi cận: (THPT năm 2006 − 20007 Phân ban) 2 xdx Do đó I = ln t ln xdx dt dt t x2 1 Tính tích phân I = x HD : Đặt t = x x 2 t 5 dt 2t 2( 2) x 1 t Đổi cận: I= Cho hình phẳng (H) giới hạn các đường y = sinx; y = 0; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hoành Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là sinx = x = 12 sin xdx (1 cos x)dx x sin x 20 2 Do đó V = (TNTHPT năm 2007– 2008) Tính I x (1 x3 ) dx 1 2 (đvtt) 32 Đặt t = – x dt = –3x2dx Đổi cận ; ĐS 15 1 1 x xdx xe dx x 1 x2 xe x dx xe x dx 0 (1 e ) xdx Tính tích phân I = HD: I = u x du dx 1 1 xe x e x dx e e x x x 0 dv e dx v e 2 Đặt I= (TNTHPT năm 2008– 2009) Tính tích phân I = x xdx x cos xdx HD: I = u x dv cos xdx Đặt du dx v sin x 0 x cos xdx x(1 cos x)dx x cos xdx 2 2 x sin x sin xdx cos x 2 2 I= (TNTHPT năm 2009– 2010) Tính tích phân I 25 x ( x 1)2 dx (26) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng x x x3 x ( x x 1) dx ( x x x ) dx 30 0 I= = = 1 2 Chủ đề SỐ PHỨC 26 (27) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng i Ví dụ 1: Cho số phức z = 2 Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 27 (28) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 3 i i Vì z = 2 z = 2 2 i i i i 4 2 = 2 ( z )2 = z= = 3 i i2 i i 2 4 2 1 3 i i i i i 2 2 4 ( z )3 =( z )2 z = 1+z+z = 1 1 3 1 i i i 2 2 2 z Trong bài toán này, để tính ta có thể sử dụng đẳng thức số thực Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z 5 i Ta có : z (1 i )(3 2i ) 3 i 3 i 5 i (3 i )(3 i ) 10 Ví dụ 3: Tìm mô đun số phức z 3i 53 z i 10 10 Suy (1 i )(2 i ) 2i Giải: Ta có : z 26 1 5i z 1 1 i 5 5 Vậy, mô đun z bằng: Ví dụ 4: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i x 3x y 2 y y 4 5x x y Giải hệ này ta được: Ví dụ 5: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i 28 (29) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Bài tập 29 (30) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 30 (31) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 31 (32) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 32 (33) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 33 (34) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 34 (35) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Chủ đề & 6: KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY Một số kết cần nhớ AH= Tam giác ABC: AB * Độ dài đường cao AB2 S= * Diện tích: S = AB.AC Tam ABC vuông A: Hình vuông ABCD: * Đường chéo AC = AB * S=AB2 A B H C THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kích thướca; b; c: Vhộp = a.b.c Thể tích khối chóp phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao 1 V chóp = Sđáy Cao = B.h Thể tích khối lăng trụ tích số diện tích đáy và chiều cao lăng trụ đó V lăng trụ = Sđáy Cao =B.h TỶ SỐ THỂ TÍCH ĐỊNH LÝ 1: Cho ABC và đường thẳng d cắt AB; AC B’;C’ đó SABC AB.AC SAB 'C ' AB '.AC ' ĐỊNH LÝ 2: Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA;SB;SC A’; B’; C’ đó VSABC SA.SB.SC VSA ' B ' C ' SA '.SB '.SC ' THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Khối nón: Sxq = πRl; Stp = Sxq + Sđáy = πRl + πR2 ; Khối trụ: R2h V = Sđáy Cao = Sxq = 2πRl; Stp = Sxq + 2Sđáy = 2πRl + 2πR2 ; V = Sđáy Cao = πR2h 35 (36) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Khối cầu: Smặt cầu = 4πR2; 4 R Vcầu = PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: Tính thể tích khối chóp Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp là khối chóp tam giác Xác định chân đường cao nằm vị trí nào trên mặt đáy Nếu hình chóp có các cạnh bên thì chân đường cao nằm trên đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy; các mặt bên hợp với đáy góc thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy Dạng 2: Tính thể tích; diện tích khối trụ; khối nón Xác định đường cao bán kính khối trụ; khối nón Áp dụng công thức phù hợp Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Các cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tìm điểm cách các đỉnh hình chóp Tìm đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó góc vuông Tìm giao trục đường tròn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực cạnh bên Dạng Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nó là lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm đoạn nối tâm hai đường tròn đáy Luyện tập KHỐI ĐA DIỆN Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a; cạnh bên 2a Gọi I là trung điểm BC ĐS: b a Chứng minh SA vuông góc với BC a 11 b Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a VS ABI VS ABC Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B; SA vuông đáy góc với 24 Biết AB=a; BC a ; SA=3a a3 V S ABC a Tính thể tích khối chóp S.ABC ; b ĐS:a.a b Gọi I là trung điểm SC Tính độ dài đoạn thẳng BI theo Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B; SA vuông góc với đáy Biết a3 VS ABC SA=AB=BC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS: Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông a3 VS ABC góc với đáy và SA=AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD.ĐS: 36 (37) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh SB a a3 VS ABC a Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS:hình a) chóp S.ABCD b Chứng minh trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp Bài Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a; bán kính đáy r=1;5a Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a 3 a 13 3 a3 Sxq ,V a Tính diện tích toàn phần hình Bài Cho hình chữ nhật ABCD; có AB=a; AC= ĐS: trụ và thể tích khối trụ sinh hình chữ nhật nói trên nó quay quanh cạnh BC S 2 rl 4 a Stp S xq 2Sđáy 6 a V r h a 2a 2 a ĐS: xq ; ; Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a; AB=b; AD=c Gọi (S) là mặt V a b2 c2 a b2 c2 cầu ngoại tiếp hình hộp Tính thể tích khối cầu ĐS: Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông A và AC=a; góc ACB 60 Đường chéo BC’ mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 300 a Tính độ dài đoạn AC’ b Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: a AC’=3a; b V 6a KHỐI TRÒN XOAY Bài : Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam 2 a 3 giác ABC có cạnh a và đường sinh 2a ĐS : Sxq = 4 a ; V = Bài : Cho hình lập phương cạnh a Tính thể tích và diện tích xung quanh hình trụ a3 ngọai tiếp hình lập phương ĐS : Sxq = a ; V = Bài : Cho hình trụ (T) có chiều cao 6cm ; mặt phẳng qua trục hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện (S) có diện tích 48cm2 1/ Tính chu vi thiết diện (S) ĐS : 1/ 28cm 2/ Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ (T) ĐS Sxq = 48 (cm2) ; V = 96 Bài : Cho hình trụ (T) có diện tích đáy S1 = 4a2 và diện tích xung quanh S 1/ Tính thể tích (T) ĐS : aS 25a 2/ Cho S = 25a2 ; Tính diện tích thiết diện qua trục hình trụ (T) ĐS : Bài : Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R = 10cm; thiết diện song song với trục hình trụ ; cách trục khoảng 6cm có diện tích 80cm2 Tính thể tích khối trụ (T) ĐS : 500 Bài 6: Cho hình nón có bán kính đáyR và góc đường sinh và mp chứa đáylà R3 tan R2 1/ Tính thể tích và diện tích xung quanh hình nón ĐS : V = ; Sxq = cos 2/ Tính diện tích thiết diện qua trục hình nón ĐS : R tan 37 (38) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng Bài : Cho hình nón đỉnh S có đường sinh R và thiết diện qua trục hình nón là tam giác SAB có góc ASB là 600 1/ Tính thể tích và diện tích xung quanh hình nón 2/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón 3/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón R R R3 R2 ĐS : 1/ V = 24 ; Sxq = 2/ 3/ Bài : Một hình nón có diện tích xq là 20 (cm ) và diện tích toàn phần là 36(cm2) Tính thể tích khối nón ĐS : V =36 (cm3 ) Chủ đề TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 38 (39) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 39 (40) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 40 (41) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 41 (42) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 42 (43) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 43 (44) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 44 (45) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 45 (46) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng A 0; 0;3 , B 1;1;5 , C 3; 0;0 , D 0; 3;0 Bài 1: Trong không gian Oxyz cho a) CMR : điểm A, C, D không thẳng hàng Tính diện tích tam giác ADC b) CMR : điểm A; B; C; D đồng phẳng AC ; AD 9; 9;9 AC 3;0; , AD 0; 3; a) Ta có ≠ SADC AC; AD 2 Do đó : điểm A, C, D không thẳng hàng., ta có AC ; AD AB ( 9).1 ( 9).1 9.2 0 AB 1;1; b) Ta có các vectơ AC ; AD.; AB đồng phẳng Do đó điểm A; B; C; D đồng phẳng A 6; 2;3 , B 0;1;6 , C 2; 0; 1 , D 4;1;0 Bài : Cho tứ diện ABCD với a) Viết PT các mặt phẳng (ABC); (BCD) b) Viết PT mp() chứa AB và song song CD c) Viết PT đt qua A & vuông góc với (BCD).Tìm tọa độ giao điểm chúng AB 6;3;3 , AC 4; 2; BC 2; 1; , BD 4; 0; a) Ta có ; * Phương trình mặt phẳng (ABC) n AC; AB 18;36;0 mp(ABC) có VTPT : Do đó phương trình tổng quát mp(ABC) 18 x 36 y 1 z 0 x y 0 là: * Tương tự mặt phẳng (BCD): 3x + 8y – 2z – = 46 (47) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng CD 2;1;1 AB & CD ; b) Ta có Vì () chứa AB và song song CD nên có cặp VTCP là n AB; CD 0;12; 12 hay n ' 0;1; 1 đó có VTPT là: x y 1 z 0 y z 0 Do đó (): n2 3;8; c) Vì (BCD) nên nhận làm VTCP; đó PTTS đường thẳng : x t y 8t , t R 12 t z 2t 77 ; Thay x; y; z vào phương trình (BCD); ta được: 498 58 207 M ; ; 77 77 Vậy giao điểm với (BCD) là : 77 2 Bài 3: Trong KG hệ tọa độ Oxyz; cho (S): x y z x y z 0 a) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính (S) b) Xét vị trí tương đối (S) và mp(): x + y − z + k = tuỳ theo k M 1;1;1 , N 2; 1;5 c) Tìm tọa độ giao điểm (S) với qua Viết PT mặt phẳng tiếp xúc với (S) các giao điểm đó 2a 2 a 1 2b 4 b 2 2c 6 c 3 a) Ta có Vậy (S) có tâm I(1; 2; 3) ; bán kính R = 14 1.1 1.2 1.3 k k d I ; ( ) 12 12 ( 1)2 b) Ta có k 42 42 k 42 () và (S) cắt k 42 k 42 k 42 () và (S) tiếp xúc k 42 k 42 k 42 () và (S) không có điểm chung MN 1; 2; c) Đường thẳng qua M; N có VTCP x 1 t y 1 2t , t R z 1 4t Phương trình là: 21t 12t 0 t 1 t Thay x; y; z vào phương trình (S); ta được: t = 1: cắt (S) A(2; −1; 5) AI 1;3; * Phương trình tiếp diện A: Ta có 47 (48) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Mặt phẳng tiếp xúc với (S) A nhận AI làm VTPT nên có PTTQ: x y 1 z 0 x y z 15 0 (P): 13 B ; ; t 7: cắt (S) 7 26 BI ; ; 7 * Phương trình tiếp diện B: Ta có Tương tự: (Q): 21x y 182 z 105 0 BÀI 4: (Đề thi kỳ sở) Trong không gian Oxyz cho A(3;2;6);B(3; −1; 0); C(0;−7;0); D(−2; 1; −1) a/ Viết phưong trình măt phẳng (ABC) b/ Tính góc đường thẳng (d) qua hai điểm A; D và mp(ABC) 1 BA (0;3;6); BC ( 3; 6;3) vtpt : n ( ABC ) BA, BC (5, 2,1) a/ Ta có: Vậy Phưong trình mp(ABC): 5(x − 3) − 2(y − 2) +(z − 6) = 5x–2y+z –17 = a AD ( 5; 1; 7) b/ Ta có là vtcp đường thẳng AD 0 Gọi là góc đường thẳng AD và mp(ABC) ; 90 a.n 25 10 10 75 30 a n Khi đó: sin » arcsin BÀI 5(TN 05+06) 2 Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu (S): x y z x y z 0 và hai x 2t x y z (1 ) : y 1 t ; ( ) : 1 z t đthẳng 1.Chứng minh: (1) và (2) chéo 2.Viết pt tiếp diện mặt cầu (S); biết tiếp diện đó song song với (1) và (2) u (2; 1;1) 1/ Xét (1 ) qua điểm A(0;1;0) và có vtcp ; ( ) qua điểm B(1;0;0) và có vtcp v ( 1;1; 1) ; u ,v (0;1;1), AB (1; 1;0) u ,v AB 0 (1) và (2) chéo 2/ Gọi (P) là tiếp diện cần tìm Vì (P) // với (1) và (2) nên có n u , v (0;1;1) vtpt Phưong trình mặt phẳng (P) có dạng y + z +m = Mặt cầu (S) có tâm I(1;−1;−2)và có bán kính R = 48 (49) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng m 3 m 3 3 2 (P) tiếp xúc (S) d[I;(P)] = R ( P1 ) : y z 0 +Với m 3 ( P2 ) : y z 0 + Với m 3 x y z 2 với mp : 2x+y+z−1=0 Bài 6: Xét vị trí tương đối đt d : Đáp số : d cắt A(2;1/2;−7/2) Bài 7: Xét vị trí tương đối đt d : x 1 t y 4 t z t 49 với mp : 5x−y+4z+3=0 (d ) (50) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng 50 (51) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Tự luyện A Tọa độ điểm, vectơ Cho a = ( −2 ;1; ); b = ( 1; 3;−2 ); c = (2;4;3 ) 1 3 17 a 2b c d ( 2, , ) 2 1/ Tìm toạ độ d = Đáp số : 2/ Cm a ; b không cùng phương HD: −2: 1: ≠ 1: 3: −2 b' 2;6; / / b b b 3/ Tìm toạ độ = ( 2; yo; zo ); biết cùng phương Đáp số : OC 3i j k Cho A( −2; ) ; B( 5;−1;2 ); 1/ Cm: A; B; C không thẳng hàng 2/ Tìm toạ độ M là giao điểm đường thẳng BC với (0xy); M chia đoạn BC theo MB 2MC k = tỉ số nào? Đáp số : M( −11;9;0 ) 3/ Tìm toạ độ D ; biết CD = ( 1;−2; −4 ) Đáp số : D ( −2;2;−3 ) 4/ Tìm toạ độ A/ đối xứng với A qua B Đáp số : A/ ( 10;0; ) 5/ Tìm toạ độ E để ABED là hình bình hành Đáp số : E( 2;5;−1 ) Cho M( x; y; z ); tìm toạ độ các điểm: 1/ M1 ; M2 ; M3 là hình chiếu vuông góc M trên mp ( 0xy ) ;( 0yz) ;( 0xz ) Đáp số : M1 ( x; y; 0) ; M2 ( 0; y; z ) ; M3 ( x; 0; z ) 2/ M/1 ; M/2 ; M/3 là hình chiếu M trên Ox; Oy; Oz Đáp số : M/1 ( x;0;0 ); M/2 ( 0;y;0 );M/3( 0;0;z ) 3/ A; B; C đối xứng với M qua Ox; Oy; Oz Đáp số : A( x;−y; –z ); B( −x; y;−z ); C( −x;−y;z ) 4/ D; E; F đối xứng với M qua mp ( Oxy ); ( Oyz ); ( Oxz ) Đáp số : D( x; y; −z ); E (−x ; y; z ); F ( x; −y; z ) Cho hình hộp chữ nhật OABC O’A’B’C’ biết A( 2; 0; 0); C(0; 3; 0); 0’( 0; 0; 4) Tìm OB OA OC B(2,3, 0) toạ độ các đỉnh còn hình hộp chữ nhật Hướng dẫn: lại / / / ( vẽ hình ) OA OA OO A (2, 0, 4) ; tương tự B/( 2;3;4 ) ; C/ ( 0;3;4 ) B PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Cho A(3;−2;−2) ; B(3;2;0) ; C(0;2;1) ; D( −1;1;2) Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z −7 = 1/ Viết phương trình mp(BCD) Suy ABCD là tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD 2/ Viết ptmp() qua A và () // (BCD) Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 3/ Viết pt mp qua A và vuông góc với BC Đáp số : −3x + z + 11= Cho A(5;1;3) ; B(1;6;2) ;C(5;0;4) ; D(4;0;6) 1/ Viết pt mp () qua A ; B và () // CD Đáp số :10x+9y+5z−74=0 2/ Viết ptmp trung trực () CD ; tìm toạ độ giao điểm E () với Ox Đáp số :−2x+4z−11=0 ; E(−11/2 ; ;0) 3/ Viết ptmp (P) qua A và (P) // (Oxy) Đáp số : z – 3= Cho A(4;−1;1) ; B(3;1;−1) 1/ Viết phương trình mp () qua A và () chứa trục Oy Đáp số : x−4z=0 51 (52) Ôn tập Toán 12 Hoàng 2/ Viết ptmp () qua A và () vuông góc với trục Oy 3/ Viết ptmp (Q) qua A ; (Q) // Oy ; (Q) () 4/ Viết pt mp (P) qua B ; (P) () ; (P) (Oxz) Hồ Văn Đáp số : y+1=0 Đáp số : 4x+z−17=0 Đáp số : 4x+z−11=0 Cho A(−1;6;0) ; B(3;0;−8) ; C(2;−3;0) 1/ Viết ptmp qua A ; B ;C 2/ () cắt Ox ; Oy ; Oz M ; N; P Tính thể tích khối chóp OMNP Viết ptmp (MNP) Đáp số : ():12x+4y+3z−12=0 V= ; (MNP) : 12x+4y+3z−12=0 Lập phương trình mp qua G( ; −1 ; 1) và cắt các trục tọa độ các điểm A ; B ;C cho G là trọng tâm tam giác ABC Xác định n và m để các cặp mp sau song song : : 2x + ny + 3z −5 =0; : mx −6y −6z +2 =0 Đáp số : m =4 ; n =3 1/ Cho : 3x − y + nz −9 =0; : 2x +my +2z −3 =0 Đáp số : m = −2/3 ; n = 2/ Cho Cho mp : (1): 2x – y + 3z + = 0; (`2): x + y – z + = có giao tuyến (d) 1/ Viết pt mp (P) qua (d) và (P) (3): 3x – y + = ĐS : −3x−9y+13z−33=0 2/ Viết pt mp (Q) qua giao tuyến (1), (2) và (Q) song song với đường thẳng AB với A(−1;2;0) và B(0;−2;−4) Đáp số : 8x+5y−3z+31=0 C PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Ghi nhớ : d () vtcp d là vtpt () ; vtpt () là vtcp d Viết phương trình tham số ; pt chính tắc (nếu có ) d biết : 1/ d qua M (2;3;−1) và d vuông góc với mp : −x−y+5z+7=0 x 6 y 3 t z 7 4t 2/ d qua N(−2;5;0) và d// d / : 3/ d qua A(1;2;−7) và B(1;2;4) Viết phương trình tham số ; pt chính tắc (nếu có ) đt d là giao tuyến mp : P : x y z 0; Q : x y z 0 x 1 2t d : y 3t z t 1/ Viết pt mp( ) qua A(0;1;−1) và ( ) 2/ Tìm toạ độ giao điểm M () với trục Ox 3/ Viết pt tham số giao tuyến d / () với (Oxy) Tìm toạ độ hchiếu vuông góc H M( 2; −3; )trên mp() : −x+ 2y +z+ 1= Tìm toạ độ M/ đxứng M qua ( ) Đáp số : H (1; −1 ; ) ; M/( 0; 1; 3) x 2t y 2t z 1 Tìm toạ độ M/ đxứng với M( 2; −1; 3) qua đt d : Đáp số :M/ (4;−3;5) LẬP PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC ’ CỦA TRÊN MP (P) Phương pháp : Cách : Tìm điểm A và B thuộc 52 (53) Hồ Văn Ôn tập Toán 12 Hoàng Tìm A/ và B/ là hình chiếu A và B trên mp(P) Lập pt đường thẳng A/B/ chính là đường thẳng / Cách : Lập pt mp (Q) chứa và vuông góc với mp(P) Vì d/ = (P) (Q) nên ta lập pt / x 1 t y 2t z 3t Viết pt hình chiếu vuông góc d’ đt d : trên mp : x+y+2z−5=0 x y z 2 2 trên mp :x−y+z+10=0 Viết pt hình chiếu vuông góc d/ d : D KHOẢNG CÁCH − GÓC Ax By0 Cz0 D d m, ( ) A2 B C 1/ Khoảng cách từ điểm M đến mp (): u , M M d M , u u 2/ Khoảng cách từ điểm M đến đt : qua M0 và có vtcp : 3/ Khoảng cách đt chéo : u1 , u2 M 1M d 1 , u1 , u2 u1 u2 1 qua M1 và có vtcp ; 2 qua M2 và có vtcp : *Chú ý: mp(P) // mp (Q) có d[(P), (Q)] = d[A, (Q)] với điểm A (P) đt d // d’ có d[d, d’] = d[A, d’] với điểm A d đt d // mp (Q) có d[d, (Q)] = d[A, (Q)] với điểm A d u1 u2 cos u1 , u2 u1 u2 4/ Góc vectơ : u1 u1 u2 cos u1 u2 u2 1 và có n1 n2 cos n1 n2 n n n n2 Tìm vtpt : và và có Chú ý : u.n sin u.n Góc d và mp (): Tìm vtcp u d.; vtpt n () có Cách viết PT đường vuông góc chung hai đường thẳng CHÉO NHAU d1 ; d2 d1 có vtcp a ;d2 có vtcp b Tìm góc đt: Tìm vtcp Tìm góc mp: và 53 (54) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng Lấy điếm A d1 tọa độ điểm A theo t1 Lấy điếm B d2 tọa độ điểm B theot2 AB a AB.a 0 AB b AB.b 0 AB là đường vuông góc chung Giải hệ trên ta tìm t1 và t2 tọa độ A và B Viết phương trình đường thẳng AB 54 (55)