Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm nằm trên đồ thị có tung độ y= 2.. Giải phương trình:.[r]
(1)SỞ GD & ĐT TRÀ VINH TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài : 150 phút,không kể thời gian giao đề Môn thi: TOÁN - LỚP 12 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) y x x có đồ thị (C) Câu I (2,5 điểm) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm nằm trên đồ thị có tung độ y= Câu II ( 2,0 điểm) log ( x 2) log (2 x 1) 0 Giải phương trình: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số: f ( x) x5 x x3 trên đoạn [–1;2] Câu III ( 2,0 điểm) J cos3 x sin xdx 1.Tính tích phân: 2 Cho z = (1- 2i )(2 + i ) Tính môđun số phức z Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác có cạnh 2a, SA = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu V (2,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (): 2x + 2y - z+9 = và mặt cầu (S): (x-1) + (y-2) + (z-3) = 81 Viết phương trình đường thẳng () qua tâm I mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng () Tìm giao điểm đường thẳng () và mặt phẳng () Lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm M(13;-1;0), N(12;0;4) và tiếp xúc với mặt cầu ( S) -Hết - Họ và tên thí sinh Số báo danh (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN - LỚP 12 Câu I (2,5 đ) Ý Nội dung Điểm * Tập xác định: R\ 0,25 (2,0 đ) * Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: Ta có: y'= Ta có: y'= x ≠2 Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ( ,2) và (2, ) + Hàm số không có cực trị + Giới hạn: = và = - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng: x = 0,25 0,25 =1 và = Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng: y = 0,25 0,25 + Bảng biến thiên: x y y + + 0,25 * Đồ thị:1 - Cắt trục hoành điểm (3, ), cắt trục tung điểm (0, ) - Nhận điểm I = (2, 1) làm tâm đối xứng 0,25 0,25 Với y = x=1 Vậy: y'(1) = ' Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y - = y (1)(x-1) y = x + 0,25 0,25 (3) ( 0,5 đ) log ( x 2) log (2 x 1) 0 (*) x x x2 2 x x Điều kiện: 2 Khi đó, (*) log ( x 2) log (2 x 1) 0 log ( x 2) log (2 x 1) (1,0 đ) x 1 (loai) ( x 2) (2 x 1) x x 0 x 5 (nhân) Vậy, phương trình đã cho có nghiệm nhất: x = II (1,0 đ) 0,25 f (1) 2 f ( 1) 10 f (2) f ( x) f ( 1) 10 ; max f ( x) f (1) 2 [ 1;2] (1,0 đ) 0,25 0,25 [ 1;2] 0,25 III (2,0 đ) 0,25 Hàm số f ( x) x x x liên tục trên đoạn [–1;2] ' 2 Ta có: f ( x) 5 x 20 x 15 x 5 x ( x x 3) Vậy, 0,25 0,25 x 0 [ 1; 2] (nhân) x f ' ( x) 0 x ( x x 3) 0 x 1 [ 1; 2] (nhân) x x 0 x 3 [ 1; 2] (loai) Ta có, f (0) 1 (2,0 đ) 0,25 J cos3 x sin xdx Tính tích phân + Ta có: I 1 cos3 x sin xdx sin xdx + cos x.sin xdx I I2 + Tính I1: I1 sin xdx cos = -cosx = x sin xdx + Tính I2: I2 = Đặt u cos x du sin xdx Đổi cận: x 0 u 1; x 0,25 u 0 u4 I u du 1 Suy ra: 0,25 0,25 (4) J1cosxind3 + Kết quả: = 1+ = (1,0 đ) z = (1- 2i )(2 + i )2 = (1- 2i )(4 + 4i + i 2) = (1- 2i )(3 + 4i ) = + 4i - 6i - 8i = 11- 2i 2 Vậy, z = 11- 2i Þ z = 11+ 2i Þ z = 11 + = 5 0,25 0,5 0,5 IV (1,0 đ) 0,25 Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm đoạn AM Do ABC và SBC có cạnh 2a nên 2a = a = SA Þ D SAM SO ^ AM (1) ìï BC ^ SM ï Þ BC ^ SO í ïï BC ^ OM Ta có: î (2) SO ^ ( ABC ) (do AM , BC Ì (ABC ) ) Từ (1) và (2) ta suy SM = AM = SO là đường cao hình chóp S.ABC Thể tích khối chóp S.ABC là: 1 1 a 3 a3 ×B ×h = × ×AM ×BC ×SO = ×a ×2a × = 3 2 Ghi chú: HS có thể trình bày theo bố cục khác, chấm có thể cho điểm sau: - Vẽ hình đúng: 0,25đ; Xác định đường cao: 0,25 đ; Tính đúng diện tích đáy: 0,25 đ; Tính đúng thể tích khối chóp: 0,25 đ 0,25 *Mặt cầu (S) có tâm là điểm I = (1,2,3) Do đường thẳng () vuông góc với mp() nên () có véc tơ phương chính là véc tơ pháp tuyến mp() () có véc tơ phương là: = (2,2,-1) Vậy phương trình tham số đường thẳng () là: 0,25 * Gọi H=(x, y, z) là giao điểm đường thẳng () và mp() Từ giả thiết bài toán, ta có pt: 2(1+2t)+2(2+2t) - (3-t)+ = 9t+12=0 t = Từ đó, suy H = ( - , - , ) 0,25 V = V (2,5 đ) (1,5 đ) 0,5 0,5 (5) 0,25 0,25 (1,0 đ) Mặt cầu (S) bán kính r = Mặt phẳng (P) qua M(13;-1;0) nên có phương trình dạng : 2 A(x -13) + B(y + 1) + Cz = với A B C 0 Vì điểm N thuộc ( P ) nên thay tọa độ N vào pt (P) ta được: A = B + 4C Lúc này phương trình mp(P) là: (B + 4C)x + By + Cz -12B – 52C = 0,25 0,25 Ta có ( P ) tiếp xúc với (S) và : d(I,(P)) = B 4C B2 2BC 8C2 0 B 5C 2B 8BC 17C B 2C Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta hai phương trình mặt phẳng thỏa mãn 2 0,25 (P1 ) : 2x 2y z 28 0 bài toán: (P2 ) : 8x 4y z 100 0 -Hết 0,25 (6)