Đường trung bình của hình thang: - Định nghĩa: “Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.” a Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên củ[r]
(1)A – NỘI DUNG ÔN TẬP: ĐẠI SỐ: Nhân đa thức: a) Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng các tích với b) Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức này với hạng tử đa thức cộng các tích lại với Các đẳng thức đáng nhớ: 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2) (A – B)2 = A2 – 2AB +B2 3) A2 – B2 = (A + B)(A – B) 4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5) (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích đơn thức và đa thức - Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta thường dùng các phương pháp: a) Đặt nhân tử chung b) Dùng các đẳng thức đáng nhớ c) Nhóm các hạng tử cách thích hợp để làm xuất các đẳng thức xuất nhân tử chung d) Phối hợp các phương pháp trên - Để phân tích đa thức thành nhân tử, ngoài các phương pháp thông thường, người ta còn sử dụng vài phương pháp khác: a) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử b) Phương pháp thêm, bớt cùng hạng tử thích hợp c) Phương pháp đặt biến phụ d) Phương pháp đồng hệ số (còn gọi là “phương pháp hệ số bất định”) Chia đa thức: a) Chia đơn thức A cho đơn thức B: - Chia hệ số A cho hệ số B - Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa cùng biến đó B - Nhân các kết với b) Chia đa thức A cho đơn thức B: - Ta chia hạng tử A cho B cộng các kết với c) Chia đa thức A cho đa thức B: - Cho A và B là hai đa thức tùy ý cùng biến, B 0, đó tồn cặp đa thức Q và R cho A = B Q + R, đó R = bậc R nhỏ bậc B - Q gọi là đa thức thương và R gọi là đa thức dư phép chia A cho B - Nếu R = thì phép chia A cho B là phép chia hết Định lí Bê-du: - Định lí:Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc x – a đúng f(a) - Hệ quả: Nếu a là nghiệm đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho (x – a) Tức là: “f(x) chia hết cho (x – a) f(a) = 0” (2) - “Trong đa thức f(x) = anxn = an-1xn-1 +……+ a1x1 + a0 (an 0), với an, an-1, ……, a1, a0 là các số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q, đó p là ước hệ số tự và q là ước dương hệ số cao nhất” Số chình phương: a) Định nghĩa: “Số chính phương là số bình phương số tự nhiên” b) Tính chất: Số chính phương có thể có chữ số tận cùng 0,1,4,5,6,9; không thể có chữ số tận cùng 2,3,7,8 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số chính phương chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Số chính phương có thể có hai dạng 4n 4n + Không có số chính phương nào có dạng 4n + 4n + (n N) Số chính phương có thể có hai dạng 3n 3n + Không có số chính phương nào có dạng 3n + (n N) Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 16 HÌNH HỌC: Tứ giác: - Định nghĩa: “Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, đó bất kì hai đoạn thẳng nào không cùng nằm trên đường thẳng.” - Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào tứ giác - Định lí: a) “Tổng các góc tứ giác 360°.” b) “Tổng các góc ngoài tứ giác 360°.” Hình thang: - Định nghĩa: “Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.” - Nhận xét: a) Nếu hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy b) Nếu hình thang có hai cạnh đáy thì hai cạnh bên song song và - Một số dạng hình thang thường gặp: (3) a) Hình thang vuông là hình thang có góc vuông b) Hình thang cân là hình thang có hai góc kề đáy - Tính chất hình thang cân: a) Trong hình thang cân, hai cạnh bên b) Trong hình thang cân, hai đường chéo - Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: a) Hình thang có hai góc kề đáy là hình thang cân b) Hình thang có hai đường chéo là hình thang cân Đường trung bình tam giác: - Định nghĩa: “Đường trung bình tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác.” a) Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác và song song với cạnh thứ hai thì qua trung điểm cạnh thứ ba b) Đường trung bình tam giác thì song song với cạnh thứ ba và nửa cạnh Đường trung bình hình thang: - Định nghĩa: “Đường trung bình hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang.” a) Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang và song song với hai đáy thì qua trung điểm cạnh bên thứ hai b) Đường trung bình hình thang thì song song với hai đáy và nửa tổng hai đáy Đối xứng trục: a) Hai điểm đối xứng qua đường thẳng: - Định nghĩa: “Hai điểm gọi là đối xứng với qua đường thẳng d d là đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm đó” - Quy ước: “Nếu điểm nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với điểm đó qua đường thẳng d chính là điểm đó" b) Hai hình đối xứng qua đường thẳng: - Định nghĩa: “Hai hình gọi là đối xứng với qua đường thẳng d điểm thuộc hình này đối xứng với điểm thuộc hình qua đường thẳng d và ngược lại” - Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua đường thẳng thì chúng c) Hình có trục đối xứng: - Đường thẳng d gọi là trục đối xứng hình F điểm đối xứng với điểm thuộc hình F qua đường thẳng d thuộc hình F - Đường thẳng qua trung điểm hai đáy hình thang cân là trục đối xứng hình thang cân đó Hình bình hành: a) Định nghĩa: “Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song” b) Tính chất: - Các cạnh đối - Các góc đối - Hai đường chéo cắt trung điểm đường c) Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành - Tứ giác có các cạnh đối là hình bình hành - Tứ giác có hai cạnh đối song song và là hình bình hành - Tứ giác có các góc đối là hình bình hành - Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường là hình bình hành Đối xứng tâm: (4) a) Hai điểm đối xứng với qua điểm: - Định nghĩa: “Hai điểm gọi là đối xứng với qua điểm I điểm I là trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm đó” - Quy ước: “Điểm đối xứng với điểm qua chính điểm đó là điểm đó” b) Hai hình đối xứng với qua điểm: - Định nghĩa: “Hai hình gọi là đối xứng với qua điểm I điểm thuộc hình này đối xứng với điểm thuộc hình qua điểm I và ngược lại” - Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua điểm thì chúng c) Hình có tâm đối xứng: - Điểm I gọi là tâm đối xứng hình F điểm đối xứng với điểm thuộc hình F qua điểm I thuộc hình F - Giao điểm hai đường chéo hình bình hành là tâm đối xứng hình bình hành đó Hình chữ nhật: a) Định nghĩa: “Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông” Hình chữ nhật là hình bình hành, là hình thang cân b) Tính chất: - Hình chữ nhật có tất các tính chất hình bình hành, hình thang cân Trong hình chữ nhật, hai đường chéo và cắt trung điểm đường c) Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật - Hình thang cân có góc vuông là hình chữ nhật - Hình bình hành có góc vuông là hình chữ nhật - Hình bình hành có hai đường chéo là hình chữ nhật d) Áp dụng vào tam giác: - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền cạnh huyền - Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh thì tam giác đó là tam giác vuông B – BÀI TẬP: a) Cho x + y = Tính x3 + y3 + 3xy a) Cho x – y = Tính x3 – y3 – 3xy a) Tính (a + b)2 ,biết a = + b và a.b = b) Tính (a – b)2 ,biết b = – a và a.b = 10 a) Cho x + y = và x2 + y2 = Tính x3 + y3 b) Cho x – y = và x2 + y2 = 15 Tính x3 – y3 Cho ABC cân A, đường cao AH, phân giác BD, HE // BD Biết AH = BD.Tính A Cho hình thang vuông ABCD (ADAB và ADDC), M là trung điểm BC So sánh MAB và MDC Cho hình thang vuông ABCD, A = D = 900, AB = AD, BDBC Nếu AB = 5cm thì diện tích hình thang ABCD bao nhiêu ? Cho hai số A = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1) ; B = 332 – So sánh hai số A và B a) Cho x + y = a và x2 + y2 = b Lập công thức tổng quát để tính tổng x3 + y3 b) Cho x – y = a và x2 + y2 = b Lập công thức tổng quát để tính hiệu x3 – y3 Cho ABC vuông A Hai cạnh góc vuông là a, b, diện tích là S = 10,625 Tính B, C, biết (b + c)2 = 85 10 Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức a3 + b3 + a2c + b2c – abc (5) 11 So sánh hai số: 20102009 và 20092010 12 Cho hình bình hành MNPQ, M = 1200, MQ = cm và MPMQ Khi đó diện tích hình bình hành MNPQ là bao nhiêu ? 13 Cho a + b + c = 2p Tính giá trị biểu thức p2 + (p – a)2 + (p – b)2 + (p – c)2 14 Tìm GTNN các đa thức sau: a) x2 – x b) x4 – 4x3 – 2x2 + 12x + c) x4 + x2 + d) (x – 2)(x – 5)(x2 – 7x – 10) 15 Tìm GTLN các đa thức sau: a) 2x – x2 b) 19 – 6x – 9x2 16 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x16 – b) 4x4 + y4 c) x5 + x4 +1 d) a5 + b5 – (a + b)5 e) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 17 Cho a Z, chứng minh rằng: a) a5 – a chia hết cho 30 b) a200 + x100 + chia hết cho x4 + x2 + 18 Chứng minh f(x) = (x2 – 3x + 1)31 – (x2 – 4x +5)30 + chia hết cho x – 19 Cho hình bình hành ABCD Lấy E, F, P, Q trên AB, BC, CA, AD cho AE = CP, BF = DQ, đó hình vẽ có hình bình hành ? 20 Hình chữ nhật ABCD có chu vi 70mm Đường phân giác góc A cắt DC E Chu vi hình thang ABCE lớn chu vi tam giác ADE là 30mm Tỉ số cạnh ngắn và cạnh dài hình chữ nhật ABCD là bao nhiêu ? 21 Tìm m để đa thức x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho x + y + z (với x + y + z, x, y, z khác 0) 22 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau là số nguyên tố: P = n3 – n2 – n – 23 Tìm điều kiện các số hữu tỉ a, b, c cho đa thức ax19 + bx94 + cx1994 chia hết cho đa thức x2 + x + 24 Cho an = + + + … + n a) Tính an+1 b) Chứng minh an + an+1 là sô chính phương 25 Cho a, b, c là số nguyên thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) là số chính phương 26 Chứng minh Sn = 13 + 23 + 33 + … + n3 là số chính phương (Gợi ý: “Dùng phương pháp quy nạp toán học”) 27 Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vuông góc Biết đường cao AH = h, tính tổng hai đáy 28 Cho ABC, các đường trung tuyến BD, CE Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm BE, CD Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm MN với BD, CE Chứng minh MI = IK = KN (6)