Đang tải... (xem toàn văn)
Tuy nhiên việc hệ thống hóa các dạng bài tập cũng như phương pháp giải các dạng toán liên quan đến Số nguyên tố chưa được các giáo viên thực sự chú ý và quan tâm.Vì lí do đó kĩ năng giải[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÌN HỒ TRƯỜNG THCS PA TẦN ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ (2) Người thực hiện: Nguyễn Châu Giang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÌN HỒ Năm sinh : 09/09/1984 TRƯỜNG THCS PAPa TẦN Nơi công tác: Trường THCS Tần Pa Tần, ngày 26 tháng 11 năm 2011 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Người thực hiện: Nguyễn Châu Giang Năm sinh : 09/09/1984 Nơi công tác: Trường THCS Pa Tần Pa Tần, ngày 15 tháng năm 2012 (3) PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một mục tiêu nhà trường là đào tạo và xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Muốn giải thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững lâu bền phương pháp học tập học sinh phương pháp giảng dạy giáo viên các môn nói chung và môn toán nói riêng Trong quá trình học tập học sinh trường phổ thông, nó đòi hỏi tư tích cực học sinh.Để giúp các em học tập môn toán có kết tốt, có nhiều tài liệu sách báo đề cập tới Giáo viên không nắm kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu Chương trình toán rộng, các em lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với Do học, các em không nắm lý thuyết bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu mình, từ đó biết vận dụng để giải loại toán Qua cách giải các bài toán rút phương pháp chung để giải dạng bài, trên sở đó tìm các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn Tuy thực tế số ít giáo viên chúng ta chú trọng việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo học sinh Thông qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 6, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá tiếp thu học sinh và vận dụng kiến thức để giải bài toán liên quan đến số nguyên tố môn đại số lớp Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức toán học phần giải bài toán số nguyên tố còn nhiều hạn chế và thiếu sót Để đáp ứng đòi hỏi đặt cho bùng nổ kiến thức và sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển lực tư duy, lực giải vấn đề và tính sáng tạo Các lực này có thể quy gọn lực giải vấn đề Khả giáo dục môn Toán to lớn, nó có khả phát triển tư lôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và bác bỏ Nó còn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận,… Ở bậc trung học sở việc dạy dạng toán “Số nguyên tố” cho học sinh là cần thiết nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên Mục đích nghiên cứu Toán học là môn khoa học tự nhiên quan trọng (4) Trong quá trình học tập học sinh trường phổ thông, nó đòi hỏi tư tích cực học sinh Để giúp các em học tập môn toán có kết tốt, có nhiều tài liệu sách báo đề cập tới Giáo viên không nắm kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu Chương trình toán rộng, các em lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với Do học, các em không nắm lý thuyết bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu mình, từ đó biết vận dụng để giải loại toán Qua cách giải các bài toán rút phương pháp chung để giải dạng bài, trên sở đó tìm các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn Tuy thực tế số ít giáo viên chúng ta chú trọng việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo học sinh Đặc biệt là các em lúng túng vận dụng các kiến thức đã học để giải các bài toán số nguyên tố Đây là phần kiến thức khó các em học sinh lớp 6, lẽ từ trước đến các em quen giải dạng toán tính giá trị biểu thức tìm x tiểu học Mặt khác khả tư các em còn hạn chế, các em gặp khó khăn việc phân tích đề toán, suy luận, tìm mối liên hệ các đại lượng, yếu tố bài toán nên không có hướng giải đúng đắn Số nguyên tố nghiên cứu từ nhiều kỷ trước công nguyên, nhiều bài toán số nguyên tố chưa giải trọn vẹn, các nhà toán học chưa tìm dạng tổng quát số nguyên tố, vì mà việc nhận biết số có là số nguyên tố hay không thì phức tạp Nhưng việc sử dụng các số nguyên tố số học thì lại cần thiết, đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi Qua tham khảo, học hỏi và thử nghiệm tôi có số khái quát số nguyên tố và ứng dụng nó việc bồi dưỡng học sinh giỏi Rất mong tham khảo, góp ý các đồng nghiệp Thực tiễn dạy và học môn Toán Trường THCS có nhiều vấn đề phải quan tâm, giải lâu dài, kỹ giải toán, các phép biến đổi bản, phương pháp giải toán, học sinh khối còn yếu nhiều, theo điều tra việc giải toán học sinh hai lớp vừa qua thì có tới 50% học sinh đạt điểm trung bình Còn các lớp trên liệt kê nhiều học sinh yếu toán Vậy vấn đề đặt là chúng ta lo phụ đạo học sinh yếu toán mà không chăm lo bỗi dưỡng học sinh học khá, giỏi môn toán thật là thiệt thòi lớn các em vấn đề này phải thực song song với Nhận thức vấn đề trên, Tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các em kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,… Một dạng toán đó là “Dạng toán số nguyên tố” (5) Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1.Tìm hiểu vấn đề lí thuyết có liên quan đến đề tài: - Định nghĩa , định lí , tính chất liên quan đến số nguyên tố - Cách phân tích số nguyên tố,dấu hiệu nhận biết số nguyên tố 3.2.Tổng hợp số phương pháp giải các bài toán số nguyên tố Giúp các em học sinh nắm các phương pháp giải dạng toán ''Số nguyên tố”, hình thành cho các em các kỹ suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể tốt lời giải bài toán 3.3.Điều tra thực trạng việc giải bài toán số nguyên tố chương trình toán THCS đặc biệt là học sinh lớp Phạm vi đối tượng nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu:Trường THCS Pa tần, Huyện Sìn Hồ, Tỉnh Lai Châu - Thời gian nghiên cứu :Từ 30/08/2010 đến 30/08/2011 - Đối tượng nghiên cứu :Học sinh khối trường THCS Pa Tần 5.Phương pháp nghiên cứu 5.1.Phương pháp nghiên cứu lí luận - Thông qua các tài liệu :Sách giáo khoa ; sách giáo viên,thiết kế bài giảng ,sách bài tập,sách tham khảo;Một số vấn đề phát triển toán 6.Các chuyên đề bồi dưỡng toán THCS ,Báo toán học tuổi trẻ 5.2 Phương pháp kiểm tra - Điều tra kĩ việc giải các bài toán số nguyên tố học sinh lớp Đặc biệt lưu ý tới các sai lầm thiếu sót mà học sinh thường mắc phải quá trình giải bài tập số nguyên tố 5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Thông qua việc giảng dạy hàng ngày thân và kết học tập học sinh và việc ứng dụng học sinh để làm bài tập PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG I:CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU I ĐỊNH HƯỚNG CƠ BẢN: Giảng dạy số nguyên tố chương trình toán học lớp nhằm giúp các em nắm vững định nghĩa, định lí, dấu hiệu xác định xem số có phải số nguyên tố hay không Tuy nhiên việc hệ thống hóa các dạng bài tập phương pháp giải các dạng toán liên quan đến Số nguyên tố chưa các giáo viên thực chú ý và quan tâm.Vì lí đó kĩ giải các dạng toán liên quan đến số nguyên tố học sinh lớp còn mức yếu kém, lúng túng, gặp nhiều khó khăn tìm huớng giải đúng đắn II NHỮNG VẤN ĐỀ LÍ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI Số nguyên tố (6) 1.1 Định nghĩa : Số nguyên tố là số tự nhiên lớn và có hai ước là và chính nó Hợp số là số tự nhiên lớn và có nhiều ước Số tự nhiên lớn không là số nguyên tố thì số đó là hợp số N = { 0; } P A Trong đó P là tập hợp các số nguyên tố , A là tập hợp các hợp các hợp số * Nhận xét: + p là số nguyên tố ⇔ p > 1; q p ⇒ q = q = p + a là hợp số ⇔ a > và ∃ q cho q a ; 1< q < a + Số là số nguyên tố chẵn nhất, số nguyên tố lớn là số lẻ Dựa vào các nhận xét trên, học sinh dễ dàng nhận biết số là số nguyên tố hay hợp số số trường hợp đơn giản Ví dụ : Chứng tỏ các số sau là hợp số a) A = 31111411111 b) B = 7.9.11.13.15 -17 c) C = 7.19.23.29 - 14 *Hướng dẫn giải a) A=31111411111 =31111100000 +311111 = 311111 ( 100000 + ) = 311111 100001 ⇒ A ⋮ 311111 , mà A > 311111 ⇒ A là hợp số b) B = 7.9.11.13.15 - 17 Ta có tích 7.9.11.13.15 là số lẻ chẵn , mà B > ⇒ B là hợp số ⇒ B =7.9.11.13.15 - 17 là số c ) C = 7.19.23.29 - 14 Ta chứng minh C ⋮ mà C > ⇒ C là hợp số 1.2 Mệnh đề: Ước nhỏ khác số tự nhiên lớn là số nguyên tố Chứng minh: Giả sử a N; a > 1; p là ước nhỏ khác a; p > ta chứng minh p là số nguyên tố Giả sử p không là số nguyên tố ⇒ p là hợp số ⇒ ⇒ q\a q < p; q\p mà p\a ∃ q N cho < Vậy ∃ q; < q < p; q \a trái với giả thiết p là ước nhỏ khác a p phải là số nguyên tố (7) * Hệ quả: Mọi số tự nhiên lớn có ít ước nguyên tố 1.3 Định lý Ơclít: ''Có vô số số nguyên tố'' Chứng minh: Tồn số nguyên tố khác n số nguyên tố đã cho Giả sử P1; P2 ; ; Pn là n số nguyên tố đã biết Xét số A = P1 P2 Pn + > Suy tồn số nguyên tố P cho P là ước A + Nếu P = Pi; i = 1;2; ; n Suy P\P1P2 Pn Mà P A suy P ( Điều này vô lý) vì P phải là số nguyên tố Vậy P Pi Do đó tồn số nguyên tố khác n số nguyên tố đã cho Vậy có vô số số nguyên tố hay tập các số nguyên tố là tập vô hạn 2.Sàng Ơratôxten.(*) Thuật toán tìm tất các số nguyên tố không vượt quá số tự nhiên n nào đó 2.1 Bổ đề: Mỗi hợp số a có ít ước nguyên tố nhỏ √ a Chứng minh: Giả sử P là ước nhỏ khác a ⇒ P là số nguyên tố P \a ⇒ a = P q ⇒ q a ; q > ( vì q = ⇒ a = P, điều này vô lý vì a là hợp số còn P là số nguyên tố ) Vậy q P ⇒ a = P.q P2 ⇒ P √ a ( Điều cần chứng minh) * Hệ : Nêú số tự nhiên n > không có ước nguyên tố nào từ đến bậc hai n thì n là số nguyên tố Ví dụ: Số 113 có là số nguyên tố hay không Các số nguyên tố nhỏ √ 113 là 2; 3; 5; 113 không chia hết cho hoặc 113 không là số nguyên tố 2.2 Sàng Ơratôxten: Cách tìm tất các số nguyên tố khoảng nào đó + Ta biết các số tự nhiên từ đến n gạch số không phải là số nguyên tố thì các số còn lại là số nguyên tố 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (8) - Gạch số - Số là số nguyên tố ⇒ gạch các bội - Số đầu tiên không bị gạch là số ⇒ số là số nguyên tố; gạch các bội - Số là số đầu tiên không bị gạch ( sau bước 2) ⇒ gạch các bội số là số nguyên tố; Sau gạch các bội số nguyên tố lớn nhất, nhỏ √ n thì tất các số còn lại là số nguyên tố * Nhà toán học cổ Hy Lạp Ơratôxten là người đầu tiên tìm cách này Ông viết các số lên giấy cỏ sậy căng trên cái khung dùi thủng các hợp số vật tương tự cái sàng; các số không phải là số nguyên tố thì qua sàng, còn các số nguyên tố thì giữ lại Định lý 3.1 Bổ đề: Cho p là số nguyên tố thì a) Với số tự nhiên a thì a ⋮ p ( a; p) = b) Nếu p a.b thì p a p b Chứng minh: a) Xét ( a;p) = p Nếu ( a;p) = ⇒ Điều cần chứng minh Nếu (a;p) = p ⇒ a ⋮ p Vậy với số tự nhiên a thì a ⋮ p ( a; p) = b) p a.b + Nếu p không chia hết a ⇒ (a;p) = ⇒ p b Nếu p a.b thì p a p b * Mở rộng: p a1a2 an ⇒ ∃ ai; i { 1; 2; : n } cho p ; i {1;2; ; n} 3.2 Định lý bản: Mọi số tự nhiên a lớn phân tích thành tích các thừa số nguyên tố và phân tích đó là không kể đến thứ tự Chứng minh: (9) * Chứng minh tồn phân tích + Vì a>1 ⇒ ∃ P1 nguyên tố; P1 a Nếu a1 = ⇒ a = P1 Nếu a1 > ⇒ ⇒ a = P1 a1 là phân tích ∃ P2 nguyên tố ; P2 a1 ⇒ a1 = p2 a2 Nếu a2 = ⇒ a = P1 P2 là phân tích Nếu a2> ta lại lặp lại trên Quá trình trên dừng lại sau hữu hạn bước vì có dãy a > a1 > a2 > Mà dãy a1 ; a2 ; là dãy số tự nhiên giảm dần nên đến bước thứ n nào đó phải có an = nên đó a = P1 P2 Pn * Chứng minh tính Giả sử có phân tích là a = P1P2 Pn và a = q1q2 qm Ta chứng minh n = m và Pi = qi với i = 1; 2; ; n P1P2 Pn = q1q2 qm ⇒ q1 P1P2 Pn ⇒ q1 P1 ⇒ P1 = q1 vì P1; q1 là các số nguyên tố P1 = q1 ⇒ P2P3 Pn= q2q3 qm Lập lại lập luận trên, suy P2 = q2 Lập luận trên có thể tiếp tục hai vế không còn thừa số nguyên tố nào, đó vế hết thừa số nguyên tố vì ngược lại xẩy = qn+1 qm = Pm+1 Pn điều này vô lý vì qn+1; qm là các số nguyên tố; Pm+1; Pm là các số nguyên tố Vậy n = m và Pi = qi 3.3 Sự phân tích chính tắc Sự phân tích chính tắc số tự nhiên a lớn có dạng: a = P1 P2 Pk ni 1; i = 1; 2; ; k Đó là phân tích chính tắc a Ví dụ: 360 = 23 32 là phân tích chính tắc số 360 3.4 Ứng dụng định lý a) Ước số tự nhiên Nếu a = P1 P2 Pk là phân tích chính tắc số a thì d a ⇔ d = P1.P2 Pk; li ni ; i = 1; 2; ; k (10) * Hệ quả: Số các ước số tự nhiên a ký hiệu là T(a) xác định sau: T(a) = ( n1 + 1) (n2 + 1) (nk + 1) Vậy muốn tìm số các ước số số tự nhiên a lớn ta cần phân tích a thừa số nguyên tố dạng chính tắc vận dụng công thức: T(a) = ( n1 + 1) (n2 + 1) (nk + 1) b) Tìm ƯCLN; BCNN Giả sử P1; P2; ; Pk là tất các ước nguyên tố chung a và b Giả sử a = P P2 Pk b = P1.P2 Pk ni 0; mi 0; i = 1; 2; ; k đó (a;b) = P1 P2 Pk li = (ni; mi) [ a ; b] = P1 P2 Pk ; ti = max (n1; mi) * Hạn chế phương pháp trên là tìm ƯCLN số tự nhiên lớn thì phức tạp việc phân tích các số đó thừa số nguyên tố Ví dụ: Tìm ( 137543212; 17354) thì không nên sử dụng phương pháp trên mà ta nên dùng thuật toán Ơclít để tìm ƯCLN Dạng tổng quát số nguyên tố Hiện ta chưa tìm dạng tổng quát số nguyên tố Ta có thể chứng minh a) Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n + 3; n N b) Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n + 6n + 5; n N Chứng minh: a) Gọi P là số nguyên tố lớn Chia P cho thương là k; dư r Suy P = 4k + r ; r<4 Vì P là số nguyên tố lớn suy P không chia hết cho mà 4k ⋮ ⇒ r không chia hết cho ⇒ r = 1; Vậy P chia cho dư Hay P có dạng 4n + 4n + 3; n N b) Gọi P là số nguyên tố lớn 3; chia P cho thương là k; dư r Ta có P = 6k + r ;0 r<6 Vì P là số nguyên tố lớn suy P là số lẻ suy P không chia hết cho mà 6k ⋮ suy r không chia hết cho (11) Vĩ P là số nguyên tố lớn suy P không chia hết cho mà 6k chia hết cho 3, suy r không chia hết cho Vậy r không chia hết cho và mà r < suy r = r = Vậy P chia cho dư Hay P có dạng 6n + 6n + 5; n N 5.Cách nhận biết số P có là số nguyên tố hay không 5.1 Chia số đó cho các số nguyên tố từ nhỏ đến số nguyên tố nhỏ √ P - Nếu có phép chia hết thì số đó không là số nguyên tố - Nếu chia lúc số thương nhỏ số chia mà các phép chia có số dư thì số đó là số nguyên tố 5.2 Một số có ước số lớn thì số đó không phải là số nguyên tố Số nguyên tố cùng nhau: 6.1 Khái niệm: - Hai hay nhiều số gọi là nguyên tố cùng ƯCLN chúng - Ba số gọi là nguyên tố sánh đôi đôi nguyên tố cùng 6.2 Chú ý: Ba số nguyên tố sánh đôi thì chúng nguyên tố cùng nhau; còn ngược lại thì không đúng III.MỤC ĐÍCH YÊU CẦU ,CHUẨN KIẾN THỨC , KỸ NĂNG KIẾN THỨC CẦN NGHIÊN CỨU - Nhằm trang bị cho học sinh cách có hệ thống phương pháp giải các dạng toán số nguyên tố, giúp các em hiểu, nắm vững hơn, sâu định nghĩa, định lí, tính chất số nguyên tố Rèn kĩ định hướng, giải toán, lựa chọn phương pháp giải toán cho phù hợp Góp phần giúp học sinh giải nhanh , chính xác các dạng toán liên quan đến Số nguyên tố chương trình toán lớp Phát huy khả suy luận, tư lô gíc, giúp các em phát triển óc sáng tạo, tính linh hoạt giải toán IV ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG VIỆC GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH 1.Đối với học sinh - Học sinh giải các dạng toán số nguyên tố thông thường Trước thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kết kỹ giải toán Số nguyên tố sau: (12) Khối Sĩ số 65 Giỏi SL % 12,3% Khá SL 16 % 24,6% TB Sl 31 % 47,7% Yếu- kém SL % 10 15,4% Sau kiểm tra tôi thấy học sinh hiểu và làm mơ hồ, sô học sinh làm nằm vào số học sinh khá- giỏi Số còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải bài toán nào 2, Đối với giáo viên : Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất học sinh vì người giáo viên là người chủ động, chủ đạo kiến thức, tuân theo SGK mà dạy Bài toán này đòi hỏi học sinh phải tư tốt và phải thâu tóm kiến thức đã học để vận dụng vào làm bài tập Đôi giáo viên áp đặt gò bó các em phải này, phải mà không đưa thực tế để các em nhìn nhận vấn đề Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu vì đây là dạng toán mà các em ít gặp chính vì lí đó mà người thầy phải tìm Phương Pháp phù hợp để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng bài toán vế số nguyên tố nên cảm thấy mơ hồ phân vân lại phải làm Nếu không biến đổi thì có tìm kết không Từ băn khoăn đó học sinh giáo viên khẳng định không biến đổi thì không trả lời yêu cầu bài toán Ví dụ 1: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số: a/ 3150 + 2125 b/ 5163 + 2532 c/ 19 21 23 + 21 25 27 d/ 15 19 37 – 225 Hướng dẫn giải: Xét số hạng tổng: 3150 chia hết cho 5; 2125 chia hết cho tổng (3150 2125)5 ,suy (3150 2125) là hợp số Tuy nhiên học sinh yếu không biết xét số hạng có chia hết cho không nên các em chưa thể giải; học sinh khá có thể có hướng giải còn (13) chậm chưa nắm vững dấu hiệu chia hết chưa biết nào số là hợp số hay số nguyên tố Tương tự với các ý còn lại học sinh thường gặp khó khăn trên: Ví dụ 2: Hãy xét xem các số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số nào là số nguyên tố? Hướng dẫn: - Trước hết ta loại bỏ các số chẵn: 1992, 1994, 1996, …, 2004 - Loại bỏ tiếp các số chia hết cho 3: 1995, 2001 - Ta còn phải xét các số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 có chia hết cho số nguyên tố p mà : p2 < 2005 là 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 - Số 1991 chia hết cho 11 nên ta loại - Các số còn lại 1993, 1997, 1999, 2003 không chia hết cho các số nguyên tố trên Vậy từ 1991 đến 2005 có số nguyên tố là 1993, 1997, 1999, 2003 Tuy nhiên học sinh khá giỏi chưa tìm hướng giải đúng đắn,chưa biết làm nào để xét xem nào số là số nguyên tố.Đôi đã tìm hướng giải thì các em gặp nhiều vướng mắc giải vì lí các số quá lớn khả xét tính chia hết số còn yếu CHƯƠNG II: CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM CẦN THỰC HIỆN GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC NỘI DUNG ĐANG QUAN TÂM I PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 1.Dạng 1: Chứng minh số là hợp số Bài 1: Chứng minh các tổng sau đây là hợp số a/ abcabc b/ abcabc 22 c/ abcabc 39 Hướng dẫn a/ abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a 102 + b.10 + c + = 100100a + 10010b + 1001c + = 1001(100a + 101b + c) + Vì 1001 1001(100a + 101b + c) và 7 Do đó abcabc 7, abcabc là hợp số b/ abcabc 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 1001 11 1001(100a + 101b + c) 11 và 22 11 (14) Suy abcabc 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hết cho 11 và abcabc 22 >11 nên abcabc 22 là hợp số c/ Tương tự abcabc 39 chia hết cho 13 và abcabc 39 >13 nên abcabc 39 là hợp số Bài 2: Tìm số nguyên tố, biết số liền sau nó là số nguyên tố Hướng dẫn Ta biết hai số tự nhiên liên tiếp có số chẵn và số lẻ, muốn hai là số nguyên tố thì phải có số nguyên tố chẵn là số Vậy số nguyên tố phải tìm là 2.Dạng 2: Dấu hiệu để nhận biết số nguyên tố Ta có thể dùng dấu hiệu sau để nhận biết số nào đó có là số nguyên tố hay không: “ Số tự nhiên a không chia hết cho số nguyên tố p mà p2 < a thì a là số nguyên tố Ta đã biết 29 là số nguyên tố Ta có thể nhận biết theo dấu hiệu trên sau: - Tìm các số nguyên tố p mà p2 < 29: đó là các số nguyên tố 2, 3, (72 = 49 19 nên ta dừng lại số nguyên tố 5) - Thử các phép chia 29 cho các số nguyên tố trên Rõ ràng 29 không chia hết cho số nguyên tố nào các số 2, 3, Vậy 29 là số nguyên tố 3.Dạng 3:Phân tích số thừa số nguyên tố: Bài 1: Phân tích các số 120, 900, 100000 thừa số nguyên tố ĐS: 120 = 23 900 = 22 32 52 100000 = 105 = 22.55 Bài Một số tự nhiên gọi là số hoàn chỉnh tổng tất các ước nó gấp hai lần số đó Hãy nêu vài số hoàn chỉnh VD là số hoàn chỉnh vì Ư(6) = {1; 2; 3; 6} và + + + = 12 Tương tự 48, 496 là số hoàn chỉnh Bài 3: Học sinh lớp 6A nhận phần thưởng nhà trường và em nhận phần thưởng Cô hiệu trưởng đã chia hết 129 và 215 bút chì màu Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu? Hướng dẫn Nếu gọi x là số HS lớp 6A thì ta có: 129x và 215x Hay nói cách khác x là ước 129 và ước 215 Ta có 129 = 43; 215 = 43 Ư(129) = {1; 3; 43; 129} Ư(215) = {1; 5; 43; 215} Vậy x {1; 43} Nhưng x không thể Vậy x = 43 4.Dạng 4:Tìm ƯC,BC,ƯCLN,BCNN Bài 1: Tìm các ước 4, 6, 9, 13, Bài 2: Tìm các bội 1, 7, 9, 13 (15) Bài 3: Chứng tỏ rằng: a/ Giá trị biểu thức A = + 52 + 53 + … + 58 là bội 30 b/ Giá trị biểu thức B = + 33 + 35 + 37 + …+ 329 là bội 273 Hướng dẫn a/ A = + 52 + 53 + … + 58 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) + (57 + 58) = (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + 56(5 + 52) = 30 + 30.52 + 30.54 + 30.56 = 30 (1+ 52 + 54 + 56) b/ Biến đổi ta B = 273.(1 + 36 + … + 324 ) 273 Bài 4: Biết số tự nhiên aaa có ước khác tìm số đó Hướng dẫn aaa = 111.a = 3.37.a có ước số khác là 3; 37; 3.37 khia a = Vậy số phải tìm là 111 (Nết a 2 thì 3.37.a có nhiều ước số khác 1) VD: - Ta có Ư(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} Số 20 có tất ước - Phân tích số 20 thừa số nguyên tố, ta 20 = 22 So sánh tích (2 + 1) (1 + 1) với Từ đó rút nhận xét gì? Bài 5: a/ Số tự nhiên phân tích thừa số nguyên tố có dạng 22 33 Hỏi số đó có bao nhiêu ước? b/ A = p1k p2l p3m có bao nhiêu ước? Hướng dẫn a/ Số đó có (2+1).(3+1) = = 12 (ước) b/ A = p1k p2l p3m có (k + 1).(l + 1).(m + 1) ước Ghi nhớ: Người ta chứng minh rằng: “Số các ước số tự nhiên a tích mà các thừa số là các số mũ các thừa số nguyên tố a cộng thêm 1” a = pkqm…rn Số phần tử Ư(a) = (k+1)(m+1)…(n+1) Bài 6: Hãy tìm số phần tử Ư(252): ĐS: 18 phần tử Bài 7: Viết các tập hợp a/ Ư(6), Ư(12), Ư(42) và ƯC(6, 12, 42) b/ B(6), B(12), B(42) và BC(6, 12, 42) ĐS: 1; 2;3; 6 a/ Ư(6) = Ư(12) = 1; 2;3; 4; 6;12 1; 2;3; 6; 7;14; 21; 42 Ư(42) = ƯC(6, 12, 42) = 1; 2;3; 6 0; 6;12;18; 24; ;84;90; ;168; b/ B(6) = 0;12; 24;36; ;84;90; ;168; B(12) = (16) 0; 42;84;126;168; B(42) = 84;168; 252; BC = Bài 8: Tìm ƯCLL a/ 12, 80 và 56 b/ 144, 120 và 135 c/ 150 và 50 d/ 1800 và 90 Hướng dẫn a/ 12 = 22.3 80 = 24 56 = 33.7 Vậy ƯCLN(12, 80, 56) = 22 = b/ 144 = 24 32 120 = 23 135 = 33 Vậy ƯCLN (144, 120, 135) = c/ ƯCLN(150,50) = 50 vì 150 chia hết cho 50 d/ ƯCLN(1800,90) = 90 vì 1800 chia hết cho 90 5.Dạng 5: Dùng thuật toán Ơclit để tìm ƯCLL (không cần phân tích chúng thừa số nguyên tố) 1/ GV giới thiệu Ơclit: Ơclit là nhà toán học thời cổ Hy Lạp, tác giả nhiều công trình khoa học Ông sống vào kỷ thứ III trước CN Cuốn sách giáo kha hình học ông từ 2000 năm trước bao gồm phần lớn nội dung môn hình học phổ thông giới ngày 2/ Giới thiệu thuật toán Ơclit: Để tìm ƯCLN(a, b) ta thực sau: - Chia a cho b có số dư là r + Nếu r = thì ƯCLN(a, b) = b Việc tìm ƯCLN dừng lại + Nếu r > 0, ta chia tiếp b cho r, số dư r1 - Nếu r1 = thì r1 = ƯCLN(a, b) Dừng lại việc tìm ƯCLN - Nếu r1 > thì ta thực phép chia r cho r1 và lập lại quá trình trên ƯCLN(a, b) là số dư khác nhỏ dãy phép chia nói trên VD: Hãy tìm ƯCLN (1575, 343) Ta có: 1575 = 343 + 203 343 = 203 + 140 203 = 140 + 63 140 = 63 + 14 63 = 14.4 + 14 = 7.2 + (chia hết) Vậy: Hãy tìm ƯCLN (1575, 343) = ? Trong thực hành người ta đặt phép chia đó sau: 14 203 140 63 63 14 343 140 1575 203 343 (17) Suy ƯCLN (1575, 343) = Bài tập 1: Tìm ƯCLN(702, 306) cách phân tích thừa số nguyên tố và thuật toán Ơclit ĐS: 18 Bài tập 2: Dùng thuật toán Ơclit để tìm a/ ƯCLN(318, 214) b/ ƯCLN(6756, 2463) ĐS: a/ b/ (nghĩa là 6756 và 2463 là hai số nguyên tố cùng nhau) 6.Dạng 6: Các bài toán thực tế Bài 1: Một lớp học có 24 HS nam và 18 HS nữ Có bao nhiêu cách chia tổ cho số nam và số nữ chia vào các tổ? Hướng dẫn Số tổ là ước chung 24 và 18 Tập hợp các ước 18 là A = 1; 2;3;6;9;18 1; 2;3; 4; 6;8;12; 24 Tập hợp các ước 24 là B = Tập hợp các ước chung 18 và 24 là C = A B = 1; 2;3; 6 Vậy có cách chia tổ là tổ tổ tổ Bài 2: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 người, 25 người, 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ngoài hàng) Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết số người đơn vị chưa đến 1000? Hướng dẫn Gọi số người đơn vị đội là x (x N) x : 20 dư 15 x – 15 20 x : 25 dư 15 x – 15 25 x : 30 dư 15 x – 15 30 Suy x – 15 là BC(20, 25, 35) Ta có 20 = 22 5; 25 = 52 ; 30 = 5; BCNN(20, 25, 30) = 22 52 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k N) x – 15 = 300k x = 300k + 15 mà x < 1000 nên 300k + 15 < 1000 300k < 985 k < Suy k = 1; 2; Chỉ có k = thì x = 300k + 15 = 615 41 Vậy đơn vị đội có 615 người II CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1:Tìm các số nguyên tố p để: 17 60 (k N) (18) a) p+10 ; p+14 là các số nguyên tố b) p+2 ; p+4 là các số nguyên tố c) p=2 ; p +6 ; p+8 ; p+14 là các số nguyên tố Bài : tìm tất các số tự nhiên k để a) k+1 ; k+3 ; k+7 ;k+9 ;k+13 ;k+15 là các số nguyên tố b) k ❑4 +4 là các số nguyên tố c) k ❑3 - k ❑2 +k -1 là các số nguyên tố d) k ❑1997 + k ❑1975 +1 là các số nguyên tố Bài : Chứng minh a)mọi số nguyên tố khác và có dạng 6m+1 6m-1 b)có vô số số nguyên tố dạng 6m -1 Bài 4:Chứng minh với số nguyên n >1 thì a) 19.8 ❑n + 17 là hợp số b) ❑2 +3 là hợp số n+ c) ❑2 Bài : n+ +7 là hợp số a) Cho p và p +4 là các số nguyên tố ( p > ) Chứng minh p + là hợp số b) Cho p và 8p -1 là các số nguyên tố.Chứng minh 8p + là hợp số Bài 6: Chứng minh 1+2 ❑n + ❑n ( n z thì n =3 ❑k + ¿¿ ❑ ) là số nguyên tố với k N Bài 7:cho các số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn a b = c.d Chứng minh A= a ❑n +b ❑n + c ❑n + d ❑n là hợp số với n N Bài :Tìm các số nguyên tố x ; y ; z thoả mãn a) x ❑2 - 2.y ❑2 - = b) x ❑2 + y ❑3 = z ❑4 c) x.y.z = 3( x + y + z ) Bài 9: Tìm các số nguyên tố có bốn chữ số abcd số nguyên tố và b ❑2 = cd + b - c Bài10 :Cho A = n ! + , B = n+1 ( n Z) Chứng minh A ⋮ B thì B là số nguyên cho ab ; ac là các (19) CHƯƠNG III:THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1.Mục đích thực nghiệm Thông qua việc soạn ;giảng giáo viên thể việc cung cấp các phương pháp ,các cách giải cho học sinh cách hệ thống ,rèn kỹ giải bài toán phương pháp đã hướng dẫn Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài ,phân tích tìm hướng giải cách chặt chẽ,đúng chính xác Học sinh vận dụng để làm các bài tập tương tự Thông qua thực nghiệm kết đề tài khẳng định hiệu giúp giáo viên điều chỉnh phương pháp dạy phù hợp 2.Nội dung thực nghiệm 2.1.Kế hoạch dạy học tiết 25:Số nguyên tố - Hợp số - Bảng số nguyên tố 2.2.Kế hoạch dạy học tiết 27:Phân tích số thừa số nguyên tố 3.Bài soạn : TIẾT 27: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ - BẢNG SỐ NGUYÊN TỐ A Phần chuẩn bị: I Mục tiêu : 1.Kiến thức - Học sinh nắm định nghĩa số nguyên tố, hợp số Học sinh nhận số là số nguyên tố hay hợp số các trường hợp đơn giản thuộc 10 số nguyên tố đầu tiên, hiểu cách lập bảng số nguyên tố - Học sinh biết vận dụng hợp lý các kiến thức chia hết đã học để nhận biết hợp số - HS Nắm cách lập bảng số nguyên tố 2.Kỹ - Rèn cho học sinh kỹ xác định đâu là số nguyên tố thông qua định nghĩa 3.Thái độ - Học sinh có đức tính cẩn thận,yêu thích môn toán II Các phương tiện dạy học: Thầy: Giáo án, SGK, bảng phụ lập các số từ đến 100 Trò: Vở ghi, SGK B.Tiến trình dạy học I Kiểm tra bài cũ: (5') (20) Điền các giá trị thích hợp vào bảng sau: Số a Các ước a II Bài mới: ĐVĐ: Số nào gọi là số nguyên tố? Gọi là hợp số? Ta học từ tiết hôm Hoạt động thầy Hoạt động trò Ghi bảng Hoạt động 1: Số nguyên tố- hợp số ? Có nhận xét gì số ước các HS: 2; 3; có hai ước là 1) Số nguyên tố, số 2; 3; và chính nó hợp số Số ước các số 4; 4; có nhiều hai ước GV: Nhận xét Thông báo các số 2; 3; là số HS: Suy nghĩ trả lời nguyên tố 4; là hợp số ? Số nguyên tố là số nào? HS: Nhắc lại Hợp số là số nào? GV: Nhận xét và nói đó chính là định nghĩa là số nguyên tố 8; là hợp số Củng cố: GV cho HS làm ?1 ? Trong các số 7; 8; số nào là 0; không phải là số số nguyên tố , hợp số? Vì sao? nguyên tố không GV: Nhận xét và nhấn mạnh phải là hợp số ? Số 0; số nào là số nguyên tố , 2; 3; 5; lµ sè nguyªn tè 4; 6; 8; lµ hîp sè hợp số ? Vì sao? ? Trong các số từ đến 10 số nào là số nguyên tố , hợp số GV: Nhận xét chốt lại đến chú ý GV: Treo bảng phụ nội dung bài: Trong các số sau số nào là số nguyên tố, hợp số ? Vì sao? GV Uốn nắn bổ sung - chốt lại HS: Thảo luận nhóm đại diện các nhóm thông báo kết 102; 513; 145 là hợp số 11; 13 là số nguyên tố * Định nghĩa: (SGK - T46) VD: là số nguyên tố 8; là hợp số Chú ý: (SGK- T46) (21) số nguyên tố , hợp số Hoạt động 1: Lập bảng các số nguyên tố không vượt quá 100 GV hướng dẫn học sinh cách tìm caùc soá nguyeân toá nhoû hôn 100 baûng phuï vaø baûng soá hoïc sinh đã chuẩn bị Taïi baûng khoâng coù caùc soá vaø 1? Laäp baûng caùc soá nguyeân toá Vì và không là hợp số không vượt quá cuõng khoâng laø soá nguyeân 100 toá - Trong baûng naøy goàm caùc soá nguyên tố và hợp số chúng ta lọc các hợp số và còn lại là số nguyeân toá - Trong dòng đầu có các số nguyên toá naøo ? - GV hướng dẫn học sinh số nguyên tố dầu tiên : Số và gạch bỏ các bội cho 2, 3, 5, tới số nguyên tố thì còn lại là caùc soá nguyeân toá nhoû hôn 100 học sinh thực theo Vậy các số nguyên tố nhỏ 100 hướng dẫn giáo viên là số nào? GV: Chèt l¹i chó ý Bước 1: Giữ lại số gaïch boû caùc boäi mà lớn Bước 2: Giữ lại số gaïch boû caùc boäi mà lớn Bước 3: Giữ lại số gaïch boû caùc boäi mà lớn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 37, 39, 41, Bước 4: Giữ lại số 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, gaïch boû caùc boäi 73, 79, 83, 89, 97 mà lớn *Vaäy caùc soá nguyeân toá nhoû hôn 100 laø: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 37, 39, 41, 43, 47, (22) 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Chuù yù: Soá nguyeân toá nhoû nhaát laø soá vaø laø soá nguyeân toá chaün nhaát Hoạt động 3: Củng cố - Luyện tập GV: Hệ thống kiến thức ? Số nguyên tố là số nào? Hợp số là số nào? - Lớn có hai ước là và chính nó - Lớn có nhiều hai ước HS đọc và suy nghĩ HS: Làm theo nhóm GV treo baûng caùc soá nguyeân toá không vượt quá 1000 cho học sinh Là số quan saùt - Coù soá nguyeân toá naøo laø soá chaün 1, 3, 7, khoâng ? vaø 5, 11 vaø 13 Các số nguyên tố lớn tận cùng có thể là các chữ số nào ? - Tìm caùc soá nguyeân toá hôn keùm soá vaø soá ñôn vò? Tìm hai soá nguyeân toá hôn keùm ñôn vò? GV: Treo bảng phụ nội dung bài 115 - T47 HS làm vào phiếu GV: Thu bảng nhóm cho HS nhận xét GV: Nhận xét uốn nắn và chốt lại cách tìm số nguyên tố GV: Treo bảng phụ nội dung bài 116 - T 47 GV: Phát phiếu cho HS làm Bài 115 - T47 67 là số nguyên tố 312; 213; 435; 417; 3311 là hợp số Bài 116 - T47 P là tập hợp các số nguyên tố 83 P ; 91 P 15 N ; P N (23) GV: NhËn xÐt vµ chèt l¹i 4) Hướng dẫn nhà: (2') - Thuộc và nắm vững định nghĩa số nguyên tố, hợp số, tiÕt sau luyÖn tËp - Nhớ số số nguyên tố đầu - BTVN: 117; upload.123doc.net;119; (SGK - T47) *** -==================================== 4.Kết thực nghiệm 4.1.Kế hoạch dạy học tiết 27: - Bài kiểm tra cuối giờ: Bài 1: Tìm: a/ BCNN (24, 10) b/ BCNN( 8, 12, 15) Đáp án: a/ 24 = 23 ; 10 = BCNN (24, 10) = 23 = 120 b/ = 23 ; 12 = 22 ; 15 = 3.5 BCNN( 8, 12, 15) = = 120 Bài 2: a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k là số nguyên tố b/ Tại là số nguyên tố chẵn nhất? Đáp án: a/ Với k = thì 23.k = không là số nguyên tố với k = thì 23.k = 23 là số nguyên tố Với k>1 thì 23.k 23 và 23.k > 23 nên 23.k là hợp số b/ là số nguyên tố chẵn nhất, vì có số chẵn lớn thì số đó chia hết cho 2, nên ước số nó ngoài và chính nó còn có ước là nên số này là hợp số Thống kê điểm: Khối Sỉ số Giỏi SL 65 16 % Khá SL 24.6% 25 % TB SL % 38.46% 17 26.2% Yếu- kém SL % 10.74% (24) PHẦN III-KẾT LUẬN Sau quá trình nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy thực nghiệm đề tài "Số nguyên tố " cấp HS THCS tôi nhận thấy: Mục đích đề tài đạt Đề tài đã giúp các em học sinh giải các bài toán số nguyên tố có phương pháp hơn, hiệu Giúp trang bị số phương pháp giải, bổ xung kiến thức số nguyên tố còn thiếu hụt sai xót Đề tài này còn kích thích ham mê học toán học sinh, phát huy tính linh hoạt, chủ động sáng tạo và tự tin học tập và sống Phần này là loại toán tương đối phức tạp, đa dạng cần có tư tốt, và kỹ vận dụng tương đối linh hoạt thì học sinh có thể hiểu sâu rộng vấn đề Bởi quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh, thân giáo viên phải trang bị thật chu đáo, tỉ mỷ, rõ ràng đơn vị kiến thức bản, thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất và vận dụng tốt vào giải toán Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú học tập, trân trọng suy nghĩ, ý kiến phát biểu và sáng tao dù nhỏ các em để có tác dụng động viên khích lệ, kích thích khả tự tìm tòi nghiên cứu các em Thầy giáo cần thường xuyên kiểm tra đánh giá kết học tập các em Từ đó mà bổ xung thiếu sót, sai lầm kiến thức, phương pháp kịp thời Phải có kế hoạch phân chia chuyên đề cụ thể Dạy sâu, và kết hợp logic các dạng bài toán khác Hoàn thành đề tài này, ngoài việc nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy, tôi còn giúp đỡ các đồng nghiệp, đặc biệt là bảo tận tình của Ban giám hiệu Nhưng với thời gian và lực thân có hạn, đề tài này không tránh khỏi sai sót Rất mong giúp đỡ, góp ý các bạn đồng nghiệp, các thầy cô giáo để tôi có thể rút kinh nghiệm quá trình giảng dạy Tôi xin chân thành cảm ơn! NX CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG Pa Tần , Ngày 09 tháng 09 năm 2011 Người thực Nguyễn Châu Giang (25) TÀI LIỆU THÁM KHẢO 1.Nâng cao và các chuyên đề toán 6-Tác giả:Vũ Dương Thụy Nhà xuất Hà Nội 2.Luyện Kỹ Năng Giải Toán Cơ Bản Và Nâng Cao - Toán (Tập 1) Tác giả :Nguyễn Thanh Thuận-Ngô Trung Hiếu Nhà xuất tổng hợp TP.HCM 3.Bài tập trắc nghiệm toán 6-tập Tác giả:Lê nguyên Phúc-Lê Thị Quỳnh Lâm Nhà xuất ĐHQG TP.HCM 4.Toán học trường PTCS-Hướng dẫn học số học lớp Tác giả:Th.s Hoàng Công Chức-Nhà xuất tổng hợp TP.HCM 5.Toán bồi dưỡng học sinh lớp Tác giả: Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ Quang Thiều Nhà xuất Giáo dục 6.Hướng Dẫn Học Và Giải Toán - Tập Tác giả: Trần Diên Hiển - Nhà xuất trẻ (26) (27) MỤC LỤC I II III IV I II Phần I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phạm vi và đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phần II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu Những định hướng Những lý thuyết có liên quan Mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kĩ Thực trạng việc giải bài tập học sinh và việc dạy giáo viên Chương II: Các biện pháp sư phạm cần thực góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung quan tâm Phân loại và phương pháp giải các dạng toán số nguyên tố Các bài tập tham khảo Chương III: Thực nghiệm sư phạm Mục đích thực nghiệm Nội dung thực nghiệm Kế hoạch dạy học tiết 27 Kết thực nghiệm Phần III KẾT LUẬN * Tài liệu tham khảo * Mục lục 3 5 5 5 11 11 13 13 17 18 18 19 19 23 23 25 26 (28) (29)