SKKN giải pháp để giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân hàm ẩn trong chương trình THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI NHANH CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT Người thực hiện: Phạm Thị Nga Chức vụ: Tổ phó chun mơn SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU NỘI DUNG SKKN 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 2.1.1 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân 2.1.2 Tính chất tích phân…………………… 2.1.3 Một số phương pháp tính tích phân 2.2.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN 2.3 GIẢI PHÁP 2.3.1 Dạng toán sử dụng định nghĩa tính chất nguyên hàm tích phân ………………… 2.3.1.1 Sử dụng tính chất tích phân 2.3.1.2 Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân 2.3.1.3 Sử dụng định nghĩa ngun hàm, tích phân kết hợp với cơng thức tính đạo hàm 2.3.2 Dạng toán sử dụng phương pháp đổi biến số để giải 2.3.3 Dạng tốn sử dụng phương pháp tích phân phần để giải 2.3.4 Dạng toán sử dụng tốn phụ tích phân hàm liên tục không âm để giải 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SKKN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN 3.2 KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm PHỤ LỤC 1 2 2 5 5 13 16 17 19 20 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đề thi thử THPTQG, thi KSCL mơn Tốn 12 trường THPT, Sở GD&ĐT toàn quốc từ năm 2017- 2020 [2] Đề minh họa, đề thức THPTQG Bộ GD&ĐT từ năm 2017- 2020 [3] Giải tích 12 – Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất – Nhà xuất Giáo dục Việt Nam năm 2006 [4] Website: toanmath.com DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Thị Nga Chức vụ: Tổ phó chuyên môn Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Lộc, huyện Vĩnh Lộc, tỉnh Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Nhìn nhận tốn so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số Sở GD ĐT Thanh Hóa Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ Sở GD ĐT Thanh Hóa Một số sai lầm thường gặp áp dụng bất đẳng thức Cauchy Sở GD ĐT Thanh Hóa Hướng dẫn học sinh giải tốn hình học tọa độ phẳng Oxy nhiều cách Sở GD ĐT Thanh Hóa Sử dụng phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải tốn tính khoảng cách thể tích hình học khơng gian Sở GD ĐT Thanh Hóa Phát triển tư cho học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải tốn đếm chương trình THPT Sở GD ĐT Thanh Hóa Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại C 2011 C C C 2013 2014 2015 C 2017 C 2020 PHỤ LỤC 2.3.1 Dạng toán sử dụng định nghĩa tính chất nguyên hàm, tích phân 2.3.1.1 Sử dụng tính chất tích phân: Bài tập tương tự:  π Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn  0;  thỏa mãn  2 π π π 0 ∫ f ' ( x ) sin xdx = 1, ∫ f ( x ) cos xdx = −1 Tính I = ∫  f ( x ) sin x  'dx Đáp số: I = Bài 2: Cho f , g hai hàm liên tục [ 1;3] thỏa điều kiện ∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 đồng ∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = thời Tính ∫  f ( x ) + g ( x )  dx Đáp số: Bài 7: Cho ∫ 2 1 ∫ 3 f ( x ) + g ( x )  dx = 1, ∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = −3 f ( x ) dx Đáp số: Khi đó, ∫ f ( x ) dx = − 2.3.1.2 Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân: Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ \ { −2;2} thỏa mãn f ′ ( x ) = ; f ( − 3) = 0, f ( ) = f ( 3) = Tính giá trị biểu thức P = f ( − ) + f ( − 1) + f ( ) x −4 Bài 2: Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ \ { −2;1} thỏa mãn f ′ ( x ) = ; x +x−2 f ( − 3) − f ( 3) = f ( ) = Tính giá trị biểu thức f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) 2.3.1.3 Sử dụng định nghĩa tích phân kết hợp với cơng thức tính đạo hàm: Dạng 1: Sử dụng định nghĩa tích phân kết hợp với đạo hàm hàm tích Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức u ( x ) f ′ ( x ) + u ′ ( x ) f ( x ) = g ( x ) Biết trước u ( x ) , g ( x ) Tìm f ( x ) ? Bài tập tương tự: Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa x mãn f ( ) = f ( 1) = Biết ∫ e  f ( x ) + f ' ( x )  dx = ae + b Tính a 2018 + b 2018 ? Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;4] , thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) = e − x x + với x ∈ [ 0;4] Tính e f ( ) − f ( ) Bài 3: [Mức độ 3] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm ¡ , thỏa mãn f ' ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018 x 2017 e 2018 x với x ∈ ¡ f ( ) = 2018 Tính giá trị f ( 1) ? Tổng quát ta có công thức giải nhanh cho số dạng sau kx + f ′ ( x ) = kf ( x ) ( k ∈ ¡ ) ⇒ f ( x ) = Ce + f ′( x) + g ( x ) f ( x ) = k ( x ) ⇔ e ( ⇔ e G( x ) f ( x) ⇔ f ( x) = e G( x ) f ′( x ) + g ( x ) e G( x ) f ( x) = k ( x) e G( x ) ) ′ = k ( x ) e ( ) ⇒ e ( ) f ( x ) = ∫ k ( x ) e ( ) dx − G( x ) G x ∫ k ( x) e G( x ) G x G x dx (trong G ( x) nguyên hàm g ( x) ) Bài tập tương tự: Bài 1:[Mức độ 4] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ( 0;+ ∞ ) thỏa mãn f ( 1) = −2ln x ( x + 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = x + x Giá trị điều kiện f ( ) = a + b ln , với a, b Ô Tớnh a + b Đáp số a + b = f ( x ) Bài 2: [Mức độ 3] Tìm hàm có đạo hàm ¡ thỏa mãn f ′( x) + xf ( x) = xe − x2 x2 ; f (0) = 2020 Đáp số: f ( x ) = −e − x + 2021.e Bài 3: [Mức độ ] Tìm hàm f ( x ) có đạo hàm ¡ thỏa mãn f ′( x) + cosx f ( x) = x sin x.e − s inx Đáp số: f ( x) = ( cos x + sin x + C ) e − sin x − Bài 4: [Mức độ ]Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục tục 2 ¡ thỏa mãn f ′ ( x ) + xf ( x ) = x.e − x f ( ) = Tính f ( 1) Đáp số f ( 1) = e Dạng 2: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức u ( x ) f ′ ( x ) − u ′ ( x ) f ( x ) = h ( x ) , ( ) Biết trước u ( x ) , h ( x ) Tìm f ( x ) ? Bài tập tương tự: Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm đoạn [ 0;1] thỏa mãn xf ′ ( x ) − f ( x ) = x , với x ∈ [ 0;1] f ( 1) = Tính tích phân 1 xf x d x xf x d x = Đáp án ( ) ( ) ∫0 ∫0 Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 1;2] thỏa mãn f ( 1) = f ( x ) = xf ′ ( x ) − x − 3x Tính f ( ) Đáp án: f ( ) = 20 Đặc biệt: Bài tốn tích phân liên quan f ′ ( x ) + p ( x ) f ( x) = Biết trước p ( x) Tìm f ( x ) ? Bài tập tương tự: đến đẳng thức  π Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đoạn  0;  ,  2 π  thỏa mãn f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ f ' ( x ) + 2sin x f ( x ) = Biết f  ÷ = , tính 2 π  f ( ) Đáp số: f ( ) = f  ÷.e = 2e 2 Bài 3: [ Mức độ 4] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn điều kiện f ′ ( ) = −1  f ′ ( x )  = f ′′ ( x ) Tính giá trị biểu thức T = f ( 1) − f ( ) Đáp án: T = − ln Dạng 3: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức f ′ ( x ) g ( f ( x ) ) = k ( x ) Biết trước g ( x ) ,k ( x ) nguyên hàm hàm g ( x ) Tìm f ( x ) ? Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ thỏa mãn 2x f ′( x).e f ( x )− x −1 − = với ∀x ∈ ¡ Biết f (0) = , tính tích phân f ( x) I= ∫ x f ( x)dx Đáp số: 45 Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ ; f ( x ) > , 100 f ( 1) = f ′ ( x ) = x f ( x ) , ∀x > Tính giá trị f ( ) Đáp số: f ( ) = Dạng 4: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức n f ′ ( x ) + p ( x )  f ( x )  = Bài tập tương tự: f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) bằng? Đáp án: f ( 1) = − Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ¡ , thỏa mãn điều kiện f ' ( x ) = ( x + 3) f ( x ) f ( ) = − Tính tổng f ( 1) + f ( ) + + f ( 2018 ) 1009 ⇒ f ( 1) + f ( ) + + f ( 2018 ) = − Đáp số: f ( x ) = − ( x + 1) ( x + ) 2020 Bài 1: [Mức độ 4] Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn f ( ) = − Bài 3: [Mức độ 3] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định liên tục với   f ′ ( x )  = f "( x ) '   x ∈ [ 0;1] , thỏa mãn f ( ) = −1  với x ∈ [ 0;1]  f ′ ( x ) ≠ Tính T = f ( 1) − f ( ) ? Đáp số f ( 1) − f ( ) = − ln 2.3.2 Dạng toán sử dụng phương pháp đổi biến số để giải b u (b ) a u (a ) Dạng 1: Tích phân dạng I = ∫ f(u ( x))u '( x)dx = ∫ f(u )du Bài tập tương tự: 2017 ∫ f ( x ) dx = Bài Cho 2017 Tính tích phân I = I = ∫ f ( 2018 − x ) dx Đáp án: π π 0 Bài Cho I = cos x f ( sin x ) dx = 2017 Tính tích phân J = sin x f ( cos x ) dx ∫ ∫ Đáp án J = 2017 π 2017 Bài Cho ∫ f ( x ) dx = 2017 Tính tích phân I = f ( tan x ) dx Đáp án I = ∫0 + cos x Bài Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên f ( 2016 ) = a, f ( 2017 ) = b ( a, b∈ ¡ ) Tính tích phân I = 2015 tục ¡ 2016 ∫ f ′( x ) f 2014 ( x ) dx 2017 Đáp số I = a 2015 −b 2015 Bài Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Đáp số I = Bài Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ π tích phân I = cos x f ( sin x ) dx ∫ −1 ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx 2 ∫ f ( x ) dx = 3, ∫ f ( x ) dx = 10 Tính Đáp số I = 23 Bài Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ π ∫ x2 f ( x ) f ( tan x ) dx = 4, ∫ dx = x + 1 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx Đáp số: I = Bài Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ ∫ π f ( x ) dx = 4, x ∫ f ( sin x ) cos xdx = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx Đáp án I = 0 Dạng 2: Kết hợp việc khai thác tính chẵn lẻ hàm số kết hợp với phương pháp đổi biến số Bài tập tương tự:  π π Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  − ;  thỏa mãn  2 f ( x ) + f ( − x ) = cos x Tính tích phân I = π ∫ f ( x ) dx − π 2 Đáp án: I = , x + x4 f ( 1) = a , f ( −2 ) = b Tính giá trị biểu thức f ( −1) − f ( ) Đáp số: b − a 2.3.3 Dạng toán sử dụng phương pháp tích phân phần để giải Bài tập tương tự Bài 2: Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ \ { 0} thỏa mãn f ′ ( x ) = π Bài 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm ¡ thỏa mãn sin x f ( x ) dx = f ( ) = ∫ π π 0 Tính tích phân cos x f ′ ( x ) dx Đáp số: cos x f ′ ( x ) dx = ∫ ∫  π Bài 2: [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đến cấp hai  0;   2 π   π thỏa mãn f ( ) = 1, f ′  ÷ = a, f ′′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ 0;  Tính 2  2 π ∫ f ( x ) sin x dx π theo a Đáp số: I = f ( x ) sin x dx = + a ∫0  π Bài 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn  0;  thỏa mãn  4 π π 4 π  tan f  ÷ = x f ′ ( x ) dx = π + ln Tính I = tan f ( x ) dx Đáp số: I = − ln ∫0 cos2 f ( x ) ∫0  4 2.3.4 Dạng toán sử dụng tốn phụ tích phân hàm liên tục không âm để giải Bài tập tương tự Bài 1: [Mức độ 4] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] 1 f ( ) + f ( 1) = Biết ∫  f ( x )  dx = , 2 Tính I = ∫ f ( x ) dx Đáp số: π ∫ f ′ ( x ) cos ( π x ) dx = ∫ f ( x ) dx = π  π Bài 2: [Mức độ 4] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  0;  thỏa mãn  2 π π π π 2 π, π , f  π  = Tính Đáp số: ∫0  f ′ ( x )  dx = ∫0 cos x f ( x ) dx =  ÷ ∫0 f ( x ) dx ∫0 f ( x ) dx = Bài tập tổng hợp phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đạo hàm R \ { −1;0} thỏa mãn x( x + 1) f ′( x) + f ( x) = x + x với ∀x ∈ R \ { −1;0} f (1) = −2ln Tính tích phân ∫ xf ( x)dx 1 dx x( x + 1)  x x 1 ⇒ ln u ( x) = ∫  − + c , nên ta chọn u ( x) = , từ ÷dx ⇔ ln u ( x) = x +1 x +1  x x +1 ta có lời giải x x ′ Lời giải:  ′ f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) = [ f ( x) + x( x + 1) f ′( x) ]  x +  ( x + 1) x +1 ( x + 1) Phân tích: Trước hết ta tìm biểu thức u ( x) Ta có ln u ( x ) = ∫ x ⇒ x f ( x) = x dx  x ′  x ′   ⇒ f ( x)  = x + x ⇔ f ( x ) = ∫ x +1   x +  x + x + x+1  ( x + 1)  x  x  ⇒ f ( x) = ∫ 1 − f ( x) = x − ln x + + c ÷dx ⇒ x +1 x +1 x +1  Do f (1) = −2ln ⇔ ( −2ln 2) = − ln + c ⇔ c = −1 x − − ( x + 1).ln x + x ⇒ f ( x) = x − ln x + − ⇔ f ( x) = x +1 x 2 Khi I = ∫ xf ( x )dx = ∫ ( x − − ( x + 1).ln ( x + 1) ) dx 1 2  x3  Với I = ( x + 1).ln x + dx =  − x ÷ − ∫ ( x + 1).ln ( x + 1) dx = − I1 ( ) ∫1  1 1  du = dx 2  u = ln( x + 1) x+1 1   ⇒ ⇒ I1 =  ( x + 1) ln( x + 1)  − ∫ ( x + 1) dx Đặt  dv = ( x + 1) dx x 1 2 1 21   v = + x + = ( x + 1)  2 2   x2 ⇒ I1 = ln − 2ln −  + x ÷ = ln − 2ln − 2 1 4 9  31 Khi I = − I1 = −  ln − 2ln − ÷ = − ln + 2ln 3 2  12 Bài 3: [Mức độ 4] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục khoảng  3 ( 0;1) f ( x ) ≠ , ∀x ∈ ( 0;1) Biết f  ÷ = a , f  ÷ = b 2   x + xf ′ ( x ) = f ( x ) − , ∀x ∈ ( 0;1) π sin x.cos x + 2sin x dx theo a b f sin x ( ) π Tính tích phân I = ∫ Lời giải ∀x ∈ ( 0;1) ta có: x + xf ′ ( x ) = f ( x ) − ⇔ x + = f ( x ) − xf ′ ( x ) 2 x + x xf ( x ) − x f ′ ( x )  x ′ 2 x + x = ⇒ x + x = xf ( x ) − x f ′ ( x ) ⇔ ⇔ = ÷ f ( x) f ( x) f ( x)  f ( x)  π π sin x.cos x + 2sin x sin x.cos x + 4sin x.cos x dx = ∫ dx Tính I = ∫ 2 f sin x f sin x ( ) ( ) π π 6 Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx , đổi cận x = π π ⇒t = , x= ⇒t = 2 Ta có I = ∫ t + 4t t2 dt = f ( t) f ( t) 2  3  ÷   = −  3 f ÷   1  ÷   = − = 3a − b 4ab   4b 4a f ÷ 2 Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn e ∫ e f ( ln x ) x ln x dx = Tính tích phân I = ∫ f ( 2x ) dx x π ∫ tan x f ( cos x ) dx = 1, π Lời giải Xét A = tan x f ( cos x ) dx = Đặt t = cos x Suy ∫ dt = −2sin x cos xdx = −2cos x tan xdx = −2t.tan xdx ⇒ tan xdx = − dt 2t x = ⇒ t =  Đổi cận:  π x = ⇒ t =  2 1 f ( x) f ( t) f ( t) f ( x) dt = ∫ dt = ∫ dx ⇒ ∫ dx = Khi = A = − ∫ 21 t 21 t 21 x x e Xét B = ∫ e f ( ln x ) 2 2 x ln x dx = Đặt u = ln x 2ln x 2ln x 2u dx du Suy du = dx = dx = dx ⇒ = x x ln x x ln x x ln x 2u x = e ⇒ u = Đổi cận:  x = e ⇒ u = 4 4 f ( x) f ( u) f ( x) du = ∫ dx ⇒ ∫ dx = Khi = B = ∫ 21 u 21 x x Xét tích phân cần tính I = ∫ f ( 2x ) dx x  1  dx = dv x = ⇒ v = Đổi cận:  Đặt v = x, suy  v x =  x = ⇒ v =  4 f ( v) f ( x) f ( x) f ( x) I = d v = d x = d x + ∫1 v ∫1 x ∫1 x ∫1 x dx = + = Khi 2 [Mức độ 4] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ 0;1] thỏa mãn x f ( x ) + f ( − x ) = x − x Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx Lời giải: Từ giả thiết, thay x − x ta ( − x ) f ( − x ) + f ( x ) = ( − x ) − ( − x ) ⇔ ( x2 − x + 1) f ( − x ) + f ( x ) = + x − x + x3 − x ( 1) 4 Ta có x f ( x ) + f ( − x ) = x − x ⇒ f ( − x ) = x − x − x f ( x ) 2 Thay vào ( 1) ta ( x − x + 1)  x − x − x f ( x )  + f ( x ) = + x − x + x − x ⇔ ( − x + x3 − x ) f ( x ) = x − x + x3 − x + ⇔ ( − x + x3 − x ) f ( x ) = ( − x ) ( − x + x3 − x ) ⇒ f ( x ) = − x 1 1 3  Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( − x ) dx =  x − x ÷ = 0  0 ... DỤNG SKKN 2.3 GIẢI PHÁP 2.3.1 Dạng toán sử dụng định nghĩa tính chất nguyên hàm tích phân ………………… 2.3.1.1 Sử dụng tính chất tích phân 2.3.1.2 Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, ... sử dụng phương pháp tích phân phần để giải 2.3.4 Dạng tốn sử dụng tốn phụ tích phân hàm liên tục không âm để giải 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SKKN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1... nghĩa nguyên hàm, tích phân 2.3.1.3 Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân kết hợp với cơng thức tính đạo hàm 2.3.2 Dạng toán sử dụng phương pháp đổi biến số để giải 2.3.3 Dạng