- Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông… * Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân [r]
(1)Chủ đề: ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Nhân đơn, đa thức ) ax m y n bx p y q a.b x m x p y n yq abx m p y n q ) A B C D A.B A.C A.D ) A B C D A.C A.D B.C B.D Cộng, trừ đơn, đa thức Thực chất việc làm này là cộng, trừ đơn thức đồng dạng dựa vào quy tắc sau cùng tính chất giao hoán, kết hợp phép cộng các đa thức ax m y n bx m y n a b x m y n ax m y n bx m y p cx m y n a c x m y n bx m y p Hằng đẳng thức đáng nhớ A 2AB B2 A B A B2 A B A B A 3A 2B 3AB2 B3 A B A B A AB B2 A3 B3 A B C A B2 C2 AB BC CA A B C A B2 C2 AB BC CA Mở rộng: Phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử thực chất là viết đa thức đó thành tích hai hay nhiều đa thức khác đơn giản * Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử gồm: - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm, bớt cùng hạng tử - Đặt ẩn phụ Trong thực hành thông thường ta dùng kết hợp các phương pháp với Song nên theo thứ tự các phương pháp trên để thuận lợi quá trình xử lý kết B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Thực phép tính A 2x y. x y xy 3. 4x ; B x 1 x x Giải A 2x y. x y xy3. 4x 3x y3 4x y3 x y3 B x 1 x. x x 3x 3x x 2x 4x 5x x Ví dụ Tính giá trị biểu thức A 2x y. x y xy3 4x với x = - 2; y = (2) B x 1 x. x với x = 1 Giải: - Thu gọn biểu thức (đã làm ví dụ 1) - Thay số, tính: 1 A 32 4 2 5 5 25 125 15 140 B 5 5 9 3 3 Ví dụ Chứng minh a) a b 4ab a b b) A n n n 3 n 6 n Z c) B x 2x x Giải: a) Có VT = a2 + 2ab + b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2 = (a – b) = VP (đpcm) b) Có A = n2 + 5n – n2 + n + = 6n + = (n + 1) n Z n 1 Z n 6 (đpcm) c) Có B = (x2 + 2x + 1) + = (x + 1) + Do (x + 1) x (x + 1) + > x (đpcm) Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x3 – 4x b) x2 – 5x + c) x4 + Giải: a) x3 – 4x = x (x2 – 4) = x (x – 2) (x + 2) b) x2 – 5x + = (x2 – 4x) – (x – 4) = x (x – 4) – (x – 4) = (x – 4) (x – 1) c) x4 + = (x2) + 2x2 + 22 – 4x2 = (x2 + 2) – (2x) = (x2 + – 2x) (x2 + + 2x) C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Chứng minh a) 3x. x 1 2x x 3 x 4x x x 2x 5x b) A x. 2x 1 x 2x 2x x 15 không phụ thuộc vào biến x c) B 2a a a 2a 1 a Tính giá trị biểu thức A = 6(4x + 5) + 3(4 – 5x) với x = 1,5 B = 40y – 5(2y – 3) + 6(5 – 1,5y) với y = -1,5 Tìm x a) 2x(3x + 1) + (4 – 2x) 3x = b) 5x(x – 3) – x + = Chứng minh: a) (1 – 2a) (5a2 + 2a + 1) = – 10a3 b) (5x3 + 4x2y + 2xy2 + y3) (2x – 10y) = 10(x4 – y4) c) a3 + b3 + c3 - 3abc = a = b = c a + b + c = (Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì tam giác đó là tam giác gì?) x y 2 x, y y x d) thì Cho x + y + z = và xy + yz + zx = Tính T = (x – 1) 1991 + y1992 + (z + 1) 1993 Tìm max, các biểu thức sau:A = x2 – 4x + 1; B = + x – x2; C = x2 – 2x + y2 – 4y + (3) Chủ đề: PHÂN THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm A Dạng B đó A, B là các đa thức, B Điều kiện xác định Cách tìm: - Giải B = - Kết luận: Loại các giá trị tìm ẩn trên Rút gọn - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử A C.M C B D.M D - Chia tử và mẫu cho nhân tử chung: Quy đồng mẫu các phân thức - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử - Lập tích = (BCNN các hệ số) (các nhân tử với số mũ lớn nhất) - Tìm thừa số phụ = MTC : MR - Nhân tử và mẫu phân thức với thừa số phụ tương ứng nó Các phép tính A B AB M M M A C A C c) B D B D a) A C A.D C.B B D B.D A C A.C A C A D d) e) : B D B.D B D B C b) C 0 Chú ý: - Ở phần b, MTC có thể khác - Cần rút gọn kết có thể B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Tìm điều kiện xác định các phân thức sau x3 1 a) x b) 30 4x xy x3 Giải: a) Phân thức x không xác định x – = x = Vậy ĐKXĐ: x 30 b) Phân thức 4x xy không xác định 4x2 – xy = x(4x – y) = x = 4x – y = x = y = 4x Vậy ĐKXĐ: x 0; y 4x Ví dụ Rút gọn các biểu thức sau 4x A 2x Giải: x x 20 B x 5x 2 4x 2x 2x 1 2x 1 A 2x 1; 2x 2x 2x 1 B x x 20 x x x ; x 5x x x 5 x Ví dụ Thực phép tính 1 x 2 x (4) Giải: x2 x 2 x 1 a) b) x 1 x x 3x x 2 x x x x 1 x 1 a) x 1; x 1 x 1 x x x x x 1 b) x 2 x 1 x 2 x 1 x x 3 x 1 x x 3x x x x 3 x 3 x 3 x x 3 x 3 x 3x 2x x x 2x 2 x x 3 x x x 3 x x x x x x x 3; x 0 C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Tìm điều kiện xác định các phân thức sau x 2xy y a) x y b) x 2y 4 x y c) 2x 3x x d) Các biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị biến hay không? 4x 4xy 2y 2x 1 A ; x , y 2x 2y 2 x2 B ; x 2 x x 2 2 x 2 xy 2x x y x y : 3x x y 3x x x y Chứng minh A 6x 2x 3xy y 6x 3y Cho biểu thức a) Tìm ĐKXĐ biểu thức A b) Rút gọn A và tính giá trị với x = - 0,5; y = c) Tìm điều kiện x, y để A = d) Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm x x 1 (5) Chủ đề: CĂN BẬC HAI A KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm x là bậc hai số không âm a x2 = a Kí hiệu: x a Điều kiện xác định biểu thức A Biểu thức A xác định A 0 Hằng đẳng thức bậc hai A A 0 A A A A Các phép biến đổi thức +) +) +) +) A.B A B A A B B A 0; B 0 A 0; B A 2B A B B 0 A A.B B B A.B 0; B 0 m A B m B 0; A B A B +) A B n A B n A 0; B 0; A B A B +) A B +) A 2 B m 2 m.n n m n m n m n A m.n B với B MỘT SỐ VÍ DỤ, BÀI TẬP MẪU VÀ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Rót gän C¸c c¨n thøc sau: Bài Tìm giá trị các biểu thức sau cách biến đổi, rút gọn thích hợp: a, √ 25 16 196 81 49 b, √ 14 34 2 16 25 81 c √640 √34 ,3 d, 21, √ 810 √ 112 −52 √ 567 √ Bµi Ph©n tÝch c¸c biÓu thøc sau thµnh c¸c luü thõa bËc hai: a, + √ 15 ; b, 10 - √ 21 ; c, 12 - √ 140 d, + √ 24 ; e, 14 + √ ; g, - √ 28 Bµi Ph©n tÝch thµnh thõa sè c¸c biÓu thøc sau: a, + √ 3+ √ 5+ √ 15 b, √ 10+ √14 + √ 15+ √ 21 c, √ 35− √15+ √ 14 − √ d, + √ 18+ √ 3+ √ e, xy + y √ x+ √ x +1 g, + √ x + - x Bµi Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a, ( √ −3 √ 2+ √ 10 ) ( √ 2− √0,4 ) −10 ¿2 b, ( 0,2 ¿ c, ( √ 28− √14+ √ ) √ + √ √¿ +2 √ 3− √5 ¿ ¿ √¿ d, ( 15 √ 50+¿ √ 200− √ 450 ) : √ 10 (6) √ 2− 3¿ g, ( √ − √ − √216 ¿ : √6 ¿ − ¿2 ¿ e, − 1¿ ¿ 2¿ ¿ √¿ h, ( √ 14 − √ + √ 15− √ ): 1− √2 1− √ √7 −√5 √ −2 √5+2 √ 6+√ −2 √ 15 √7 +2 √10 i, a √b +b √ a : =a− b ab a − √ √ √b Bài Chứng minh các đẳng thức sau: a, ( a, b > vµ a 1 a a 1 a a a 1 a 1) ;c, a √a a − √a ¿(1 − )=1 −a √ a+ √ a −1 (a > vµ a b, ( + = (a > vµ a 1) a+b a2b4 =|a| (a + b>0, b 2 b a +2 ab+b √ d, 0) Bµi Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 3m a, √ −9 a − √ 9+ 12a+ a2 víi a = - ; b, + m2 −4 m+ víi m<2 √ m−2 c, √ 1−10 a+25 a2 −4 a víi a = √ ; d, 4x - √ x2 +6 x +1 víi x = - √ e, 6x2 - x √ + víi x = + √ √ Bµi 7: Rót gän C¸c biÓu thøc sau: 5x x −1 − − : 1+2 x x − 1 −2 x x +4 x+1 1 1 D= + : − + − √ x 1+ √ x 1− √ x 1+ √ x − √ x x − x +4 2x −4 x+ y x−√y 2y C= √ √ − √ − √ x − √ y √ x +2 √ y y − x A= √ E= √x − ( √ x −1 : x −√ x )( + x − √ x +1 B=1 − ( ) ( ) F= )( √ ) a+ x2 a+ x − √ a+ + 2√ a x x √ Gîi ý: Khi lµm c¸c bµi to¸n nµy cÇn: - §Æt §KX§? - Quy đồng khử mẫu, làm gọn kết thu đợc 1 khix 2 A khix 2 B 1 2x C y x y D x E x x Mét sè lo¹i to¸n thêng kÌm theo bµi to¸n rót gän I.Tính toán biểu thức đại số Ph¬ng ph¸p: §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P(x) , biÕt x = a, ta cÇn: + Rót gän biÓu thøc P(x) + Thay x = a vµo biÓu thøc võa rót gän *VÝ dô: b) (7) x + √ x −6 x +9 A= 2 x −3 x 1 B= − √ a −2+2 √ a −2 −2 x +2 x C= − + : x x − x −2 x x − ( TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt |x|=18 TÝnh gi¸ trÞ cña B biÕt(a - 6) (a - 3) = ) TÝnh gi¸ trÞ cña C biÕt 2x2 + 3x = x x + x+ x+ D= + : x −1 x −1 x+1 x + x +1 ( x − ) √ x +6 x+9 E= x −9 a √ x·2 − F= x − √ x2 − ( ) TÝnh gi¸ trÞ cña D biÕt x = 2005 2007 TÝnh E biÕt |x|=16 TÝnh F biÕt x = √ +√ a a §¸p ¸n: A x x 3 ( x 2) x B C &C x (2 x 3) a & B = - 4/5 5x ; x x -3 x E 1- x x 1 x < -3 D x -3 x II.T×m gi¸ trÞ cña biÕn (Èn) biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøc: Ph¬ng ph¸p: §Ó t×m gi¸ trÞ cña x biÕt gi¸ trÞ cña P(x) = a , ta cÇn : + Rót gän biÓu thøc P(x) + Gi¶i ph¬ng tr×nh P(x) = a VÝ dô: a) Tìm a để A>0 b) Tính giá trị a để A = a a− √a+ √ A= − √ − 2 √a √ a+1 √ a −1 T×m x B = 6/5 x−1 x x −2 B= √ − + √ : 1− √ √ x − √ x +1 x − √ x+ a) TÝnh C biÕt x = b) T×m x C >1 x √x C= 1+ √ : − +2 √3 x+ √ x −1 x √ x + √ x − x −1 ( ( ( )( ) )( ) )( ) x+ x −1 x D=( − : − + ) ( x −1 x+1 x +1 1− x x −1 ) E= F ( x − 3+ 1 : x −1 − x −1 x−1 )( ) 15 x 11 x 2 x x x 1 x x 3 x 3 x 1 x 3 G x 1 x 3 §¸p ¸n: a) TÝnh D x = b) Tìm x để D = - √ 4+ √ a) TÝnh E x = √ 12+ √140 b) TÝnh x E >5 a) Rót gän F b) Tính x để F = 1/2 a) Rót gän G c) TÝnh G x=√ 3+2 √2 b) Tìm x để G >1 (8) 1 a x x A ; a 1 B ; x 4; x a x1 ;a = x x 1 63 C ;C ; x or x < -2 x1 D G 2x ; x 1 E x 5x x 1 ; x0 F x2 x x ; 2x 21 ; x 2or x < -1;G = x 1 2 1 III Tìm giá trị biến x biết P(x) thỏa mãn điều kiện nào đó Ph¬ng ph¸p: Trớc hết hãy rút gọn giá trị biểu thức, sau đó vào điều kiện nêu bµi to¸n mµ lËp luËn t×m lêi gi¶i, Ch¼ng h¹n: Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức là nguyên? a Ta cần đa biểu thức rút gọn dạng : R(x) = f(x) + g ( x ) sau đó lập luận: R ( x ) Z a g ( x) hay g(x) lµ íc cña a (a lµ h»ng sè) VÝ dô: A x x x 3 b) Tính xZ để AZ? x2 6x a) Rót gän A x+ − + 2) B= x+3 x + x −6 2− x 3) C= a √ a −1 − a √ a+1 : a+2 a −√a a+ √ a a− 1) ( Rút gọn B, Tính xZ để BZ? a) Tìm a để biểu thức C không xác định ) c) Tính aZ để C Z? b) Rót gän C 4) D= 5) E a) Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña D x = b) Tìm giá trị nguyên dơng x để DZ ? 1 x3 − x √ + + √ x −1 − √ x √ x −1+ √ x √ x −1 ( x − 3+ x −1 ) :( x −1 − x −1 ) = : Tính xZ để E Z? x +2 x §¸p ¸n: A x 2a B 1 C 2 D x ; x x ; a2 a2 ; x 1 E ; x 1 x2 x2 B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1 Thu gọn, tính giá trị các biểu thức A 3 3 1 ; B 32 2 2 3 1 C 3 2 2; D 2 2 Giải: A 27 34 3 2 2 1 B 2 2 2 1 (9) C 2 1 D 42 2 1 2 1 2 2 42 4 1 31 D 2 D x2 x 2x x y 1 x x 1 x VD2 Cho biểu thức a) Rút gọn y Tìm x để y = y y 0 b) Cho x > Chứng minh c) Tìm giá trị nhỏ y y Giải: a) x x x y 2 x x 1 x x 1 x x 1 1 x x 2 x x 0 1 x 0 x x x x x 0 x 2 x 4 (Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ) b) Có y y x x x Do x x x x x x 0 x x x x y y 0 1 1 1 y x x x x x x x 4 2 4 c) Có: 1 1 Min y x x x 2 Vậy VD3 So sánh hai số sau a 1997 1999 và b 2 1998 Giải: Có a 1998 1998 1998 1998 2.1998 19982 2.1998 19982 2 1998 Vậy a < b C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Thực phép tính, rút gọn biểu thức A 4 2 57 40 B 1100 44 176 1331 2 D 72 4,5 27 C 2002 2003 2002 3 3 3 E 2 12 3 2 2 F 15 15 G 4 4 H 60 45 12 I 9 94 K 3 72 20 2 (10) 14 L 12 3 3 N 3 3 Q 3 M 5 50 24 75 12 20 P 18 27 45 5 R 13 48 Bài Tính giá trị biểu thức 1 1 a ;b a 1 b 1 74 7 B 5x 5x x 2x 2x C x 2x 2x A Bài Chứng minh 1 b) 12 a) 3 2 2 2 2 c) 3 2 2 1 1 S 1 2 99 100 là số nguyên d) A x x ; B 2x x Bài Cho a) Rút gọn A và B A Bài Cho Bài Tìm x, biết: a) x 2x x 2 b) Tìm x để A = B x 1 x Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên x 81 36 x x 1 3 x b) c) x 1 x Bài Khai triển các đẳng thức 1) ( 1) 2) ( 1) 5) ( 2) 6) ( 2) 9) 2 10) 2 Bài Phân tích thành các lũy thừa bậc hai 3) ( 2) 4) ( 2) 7) (2 2) 8) (2 2) 11) ( 1)( 1) 12) 2 1) 15 2) 10 21 3) 24 4) 12 140 5) 14 6) 8) 28 9) 17 18 7) Bài Phân tích thành nhân tử 1) 15 2) 10 14 15 21 28 (11) 3) 35 14 15 6) 25 – 3x2 4) 18 7) x – (x > 0) 5) 36x 8) 11 + 9x (x < 0) 10) x y y x 9) 31 + 7x (x < 0) Bài 10 Tính: A 21 6 21 6 2 HD: Ta có: 6 2 3.3 và và 21 ( 3) (3 2) Từ đó suy ra: A 6 Bài 11 Tìm giá trị x để 2) x 2x có giá trị lớn x 2x 4) x 4x có giá trị nhỏ 1) x2 − 2x + có giá trị nhỏ 2x 3) 2x có giá trị lớn Bài 12 Tìm các giá trị x Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên 1) A = x x 5 3) C = x 14 2) B = 2x 4x 4) D = 2x Bài 13 Giải các bất phương trình 1) 5(x − 2) + > − 2(x − 1) 2) + 3x(x + 3) < (3x − 1) (x + 2) 5x 2x 12 3) 11 3x 5x 15 4) 10 x x 1 x A : x x 1 x x x 1 Bài 15 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x c) Tìm giá trị x A = HD: 4x A x2 ; a) ĐK: x ≠ ±1: b) x 1 Khi đó: A = −2 ; x1 x c) ; x 1 10 A x 3 x x x Bài 16 Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A > HD: a) a ≠ −3, a ≠ ; b) A x 1 x ; c) A > x > x < −1 C 2a a a a 4a a a a a2 Bài 17 Cho biểu thức a) Tìm điều kiện a để biểu thức C xác định Rút gọn biểu thức C b) Tìm các giá trị a để C = c) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá trị âm? a 1 4a a C ; d) C > a ; c) C = HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b) a 0 a 2 a ; C < a < −3 (12) x2 C x : x 1 : x 1 x 1 x Bài 18 Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để biểu thức C xác định b) Rút gọn biểu thức C c) Tính giá trị biểu thức C x 20 d) Tìm các giá trị nguyên x để C có giá trị nguyên HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b) C x x2 ; c) C ; d) x {−1, −3, −4, −6, 2} a a a a 1 a A : a a a a a Bài 19 Cho biểu thức: a) Với giá trị nào a thì biểu thức A không xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nguyên nào a thì A có giá trị nguyên? HD: a) A không xác định a < 0, a = 0, 1, A b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2: c) có a = thỏa mãn B x x1 Bài 20 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức B 2(a 2) a 2 ; 2x x x x b) Tính giá trị B x 3 c) Với giá trị nào x thì B > 0? B< 0? B = 0? HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B x b) x 3 ( 1) : B ; c) B > x > 1; B < x < 1; B = x = a 3 B 3 a a a 6 Bài 21 Cho biểu thức a) Tìm điều kiện a để B xác định Rút gọn B b) Với giá trị nào a thì B > 1? B< 1? c) Tìm các giá trị x để B = B a 9 a 9; HD: a) a ≥ và a ≠ 9: b) B > a > 9, B < ≤ a < 9; c) B = a = 15 Bài 22 Cho biểu thức A = x x : 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = + c) Với giá trị nào x thì A đạt giá trị nhỏ A HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ Rút gọn ta b) x 7 (2 3) : A c) A = x x (1 (3 5) ; x) 1 x (13) x x 1 x P x x x Bài 23 Cho 1) Rút gọn P 2) Chứng minh : Nếu < x < thì P > 3) Tìm giá trị lớn P HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ và x ≠ Kết quả: P x (1 x) 2) Nếu < x < thì : x P > 1 P x 2 Dấu " = " xảy 3) B 1 1 x x max P x Vậy: 4 x3 x x 1 x x 1 x x1 Bài 17: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị x B = d) Tìm các giá trị nguyên dương x để B có giá trị nguyên b) B x x c) B = x = 10 HD: a) x > 1 A x x x Bài 18: Cho biểu thức: d) B nguyên x = m2 + (m Z) x 1 : x x 1 a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa, rút gọn A b) So sánh A với 1 x A x ( x 1) HD: a) Điều kiện: x > và x ≠ Ta có: x1 x b) Xét hiệu: A – = 1 x 1 1 x x 1 x x ( x 1) x 1 x 0 x1 x Vậy: A < 0 Cách 2: Dễ thấy: A = vì: d Mét sè thÓ lo¹i kh¸c Bµi Chøng minh r»ng: a) √ ( 1− √2005 )2 √2006 +2 √ 2005=2004 b) √3 √2+7 − √3 √ 2− 7=2 a − ab 2a b −1 b a+1 − 1− − = 2 a ab a b+b b −ab + a b − a a Bµi Cho B = 1: x −2 + √ x +1 − √ x+1 a) Rót gän B x √ x −1 x + √ x +1 x −1 ( c) )( ) ( ) b) CMR : B>3 víi mäi x>0 ;x √ a+3 √ b − √ ab − √ab+ √ a −3 √b − √ ab+2 √ a+3 √ b+6 b+ 81 a) Rót gän C b) CMR nÕu C = th× b− 81 b− x b √b − x √ x ( √ b+ √ x ) D= − b− x b √b + x √ x √b − √ x a) Rót gän D b) So s¸nh D víi √ D x−4x 1+ x √x E= √ −1 : − −1 −4 x 1− x √ x −1 Bµi Cho C = Bµi Cho Bµi Cho ( ( a ⋮3 b ) )( ) a) Rút gọn E b) Tìm x để E> E2 c) Tìm x để |E|> (14) a b a+ b + − √ ab+ b √ ab − b √ ab a) TÝnh F a = √ 4+ √ ; b=√ −2 √ a a+1 b) CMR nÕu = thì F có giá trị không đổi b b+5 1 1 + − Bµi Cho biÓu thøc: A1 = ( ) :( ) + − √ x 1+ √ x − √ x 1+ √ x − √x a) Rót gän A1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña A1 x = + √ Bµi Cho F= c) Với giá trị nào x thì A1 đạt giá trị nhỏ ? x −1 ¿2 − ¿ x +2 ¿2 Bµi Cho biÓu thøc: A2 = x +1 ¿2 −¿ ¿ ¿ ¿ a) Tìm x để A2 xác định b) Rút gọn A2 c) Tìm x A2 = x x+ x −1 + ) :( − ) − x −1 x+1 x −1 x − x+ a) Rót gän A3 b) t×m gi¸ trÞ cña A3 x = √ 3+ √ c) T×m x A3 = a+2 Bµi 10 Cho biÓu : A4 = ( a √ a− − a √ a+1 ) : a− a − √a a+ √ a Bµi Cho biÓu thøc: A3 = ( a) Với giá trị nào a thì A4 không xác định b) Rút gọn A4 c) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A4 cã gi¸ trÞ tù nguyªn ? Bµi 11 Cho biÓu thøc: B1 = x x− √x − √x − x − √x a) Rót gän B1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña B1 x = + √ c) Tìm x để B1 > ? B1 < 0? B1 = Bµi 12 Cho biÓu thøc: B2 = √ a+3 − − √ a √ a −6 √ a+6 a) Rút gọn B2 b) Tìm a để B2 < 1? B2 > 1? Bµi 13 Cho biÓu thøc: B3 = ( + √ x ) :( x +1 2√x ) − √ x − x √ x + √ x − x −1 a) Rút gọn B3 b) Tìm x để B3 > 3? c) Tìm x để B3 = + ) √ x +1 x − √x − a) Rót gän B4 b) TÝnh gi¸ trÞ cña B4 x = + √ c) Gi¶i ph¬ng tr×nh B4 = √ a a√a √ a + a ) :( Bµi 15 Cho biÓu thøc: B5 = ( ) − √a+ √ b b − a √a+ √ b a+ b+2 √ ab Bµi 14 Cho biÓu thøc: B4 = ( √x − ) :( x− √x a) Tìm điều kiện a để B5 xác định b) Rút gọn B5 c) BiÕt r»ng a/b = 1/4 th× B5 = 1, t×m gi¸ trÞ cña b Bµi 16 Cho biÓu thøc: C1 = √ x+4 √ x − 4+ √ x −4 √ x −4 a) Rút gọn C1 b) Tìm x để C1 = Bµi 17 Cho biÓu thøc: C2 = a b a+b + − √ab+b √ ab − a √ab a) Rót gän C2 b) TÝnh gi¸ trÞ cña C2 a = √ 4+ √ , b = √ − √ c) Chứng minh a/b = a + 1/b + thì C2 có giá trị không đổi √ a+3 √ b − √ ab − √ab+ √ a −3 √b − √ ab+2 √ a+3 √ b+6 a) Chøng minh r»ng ∀ b ≥0 th× C3 cã gi¸ trÞ kh«ng phô thuéc vµo b Bµi 18 Cho biÓu thøc: C3 = b) Gi¶i ph¬ng tr×nh C3 = - c) Tìm a để C3 < 0? C3 > 0? d) Tìm giá trị nguyên a để C3 có giá trị nguyên e) Chøng minh r»ng nÕu C3 = b + 81/b - 81, đó b/a là số nguyên chia hết cho √5 (15) Bµi 19 Cho biÓu thøc: C4 = ( √ x − − x −1 a) c) d) e) g) √ x +2 ) x −2 x+1 x +2 √ x +1 Xác định x để C4 tồn b) Rút gọn C4 Chøng minh r»ng nÕu < x < th× C4 > T×m gi¸ trÞ cña C4 x = 0,16 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña C4 Tìm x thuộc Z để C4 thuộc Z Bµi 20 Cho biÓu thøc: C5 = x − x y − xy 2+ y x + x y − xy − y a) Rót gän C5 b) TÝnh gi¸ trÞ cña C5 x = √ , y = √ c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× C5 = Bµi 21 Cho biÓu thøc: D1 = ( x+ x ): + √ + x √ x −1 x + √ x+ 1− √ x √x− a) Rót gän D1 b) Chøng minh D1 > víi ∀ x ≥ , x ≠1 3 Bµi 22 Cho biÓu thøc: D2 = ( x − y + √ x − √ y ) : y−x √x− √ y √ x − √ y ¿2 +❑√ xy ¿ ¿ ¿ a) Xác định x, y để D2 có nghĩa b) Rút gọn D2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña D2 d) So s¸nh D2 vµ e) TÝnh gi¸ trÞ cña D2 x = 1,8 vµ y = 0,2 √ D2 (16) Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương trình bậc ẩn - Quy đồng khử mẫu - Đưa dạng ax + b = (a ≠ 0) x b a - Nghiệm là Phương trình chứa ẩn mẫu - Tìm ĐKXĐ phương trình - Quy đồng và khử mẫu - Giải phương trình vừa tìm - So sánh giá trị vừa tìm với ĐKXĐ kết luận Phương trình tích Để giái phương trình tích ta cần giải các phương trình thành phần nó Chẳng hạn: Với phương trình A(x) B(x) C(x) = A x 0 B x 0 C x 0 Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình) Dạng phương trình này sau biến đổi có dạng ax + b = Song giá trị cụ thể a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm phương trình x b a - Nếu a ≠ thì phương trình có nghiệm - Nếu a = và b = thì phương trình có vô số nghiệm - Nếu a = và b ≠ thì phương trình vô nghiệm Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối biểu thức A A 0 A A A Ph¬ng tr×nh d¹ng √ f (x )=g(x ) (1) g ( x ) 0(2) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) (3) Sơ đồ giải: Giải (3) đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm không thích hợp, nghiệm thích hợp là nghiệm phơng trình đã cho VD:Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) √ x −8=7 b) √ x2 + x − 1=2 − x c) 3x 3x Ph¬ng tr×nh d¹ng √ f (x )+ √ g ( x)=h(x) Sơ đồ giải: - Đặt đk có nghĩa phơng trình f (x) 0 g(x) 0 h(x) 0 - B×nh ph¬ng vÕ , rót gän ®a vÒ d¹ng(1) VD:Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) √ 5+ x=√ 1− x b) √ 1+ x =1− √ x c) 22 x 10 x 2 (17) d) 3x 1 x 2 x 1 x e) f) x 10 x 5 f ( x ) g ( x ) h( x ) Ph¬ng tr×nh d¹ng Sơ đồ giải: - §Æt ®k cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh f ( x )≥ g( x )≥ h ( x) ≥0 - Bình phơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí bình phơng) sau đó cần phải đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với điều kiện! x x 2x VD:Gi¶i ph¬ng tr×nh:a) b) x 1 x 12 x 10 BÊt ph¬ng tr×nh: Với bất phương trình bậc thì việc biến đổi tương tự với phương trình bậc Tuy nhiên cần chú ý nhân và hai vế với cùng số âm thì phải đổi chiều bất phương trình *D¹ng 1: BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn a.x + b>0 hoÆc a.x + b<0 + Ph¬ng ph¸p: ax + b>0 ax> - b x> - b/a nÕu a>0 x< - b/a nÕu a<0 VD: Cho ph¬ng tr×nh: x −5 − x − x −1 x < + 3 a) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh b) T×m nghiÖm nguyªn ©m cña bÊt ph¬ng tr×nh D¹ng 2: BPT ph©n thøc A >0 ,BPT tÝchA.B>0 B A B A B *Cách giải: Mỗi bất phơng trình tơng đơng với hệ bpt : VD: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) 2x(3x - 5) <0 2) x −x >1 x + x+ 3) (x - 1) - <0 f ( x) a f ( x ) a f ( x) a D¹ng 3: VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh: |x − 4|=x +1 f ( x) a f ( x) a f ( x) a hoÆc D¹ng 4: VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 − x ≤ x + x +2 | |f (x)|< a ⇔− a<f (x)<a | 11 Hệ phương trình bậc Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ số trường hợp xuất các biểu thức giống hai phương trình B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1 Giải các phương trình sau (18) 7x 20x 1,5 x x 3 2 x 1 b) a) 13 2 x x 10 (*) c) 2x x 21 2x x d) Giải a) x 3 2 x 1 2x 2x (Vô lý) Vậy phương trình vô nghiệm b) 7x 20x 1,5 5 x 9 21x 120x 1080 80x 179x 1074 x 6 Vậy phương trình có nghiệm x = 13 13 2 x 3 2x 2x x 3 x 3 c) 2x x 21 2x x ĐKXĐ: x 3; x 13 x 3 x 3 x 3 6 2x 13x 39 x 12x 42 x 3 DKXD x x 12 0 x 3 x 0 x DKXD Vậy phương trình có nghiệm x = - d) Lập bảng xét dấu x 37 x–3 - 0+║+ x - - ║ - 0+ - Xét x < 3: x x 10 24 4x 10 4x 14 x (*) - Xét x : (loại) x x 10 2x 18 10 2x x 4 (t/mãn) (*) - Xét x 7 : 17 x x 10 4x 24 10 4x 34 x (loại) (*) Vậy phương trình có nghiệm x = VD2 Giải và biện luận phương trình sau x a b x b a b2 a a b ab (1) a) a x 1 ax x (2) b) x x Giải a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ (19) (1) b x a b a x b a b a bx ab b ax ab a b a b a x 2 b a b a x 2 b a b a 2 b a b a - Nếu b – a ≠ b a thì - Nếu b – a = b a thì phương trình có vô số nghiệm Vậy: - Với b ≠ a, phương trình có nghiệm x = 2(b + a) - Với b = a, phương trình có vô số nghiệm b) ĐKXĐ: x 1 (2) ax-1 x 1 x 1 a x 1 ax ax x 2x ax a a 1 x a x a 3 a 1 - Nếu a + ≠ a thì - Nếu a + = a thì phương trình vô nghiệm x Vậy: - Với a ≠ - và a ≠ - thì phương trình có nghiệm - Với a = - a = - thì phương trình vô nghiệm VD3 Giải các hệ phương trình sau x 2y 3z 2 x y x y x 5y 7 a) b) c) x 3y z 5 3x 2y 1 x 5y 1 x y x y Giải x 5y 7 a) 3x 2y x 7 5y 5y 2y x 5y 7 3x 2y 3x 15y 21 3x 2y 4 x 7 5y 21 17y 17y 17 3x 2y 4 1 u; v x y x y x y b) ĐK: ; đặt u v u v Khi đó, có hệ Thay trở lại, ta được: 2v 1 5 u v x y 8 x y 2 x 5 y 3 v u 1 a 3 a 1 x 7 5y x 2 y y 1 y 1 x 2 (20) x 2y 3z 2 x 3y z 5 x 5y 1 x 1 5y 1 5y 2y 3z 2 1 5y 3y z 5 c) C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Giải các phương trình sau x 1 5y 7y 3z 1 2y z 4 x 6 y 1 z 2 x 17 3x x1 x 7x d) x x x2 a) x x 4 3x 1 82 b) x 1 x x x 65 64 63 62 x 2 e) x x x x 2 c) f ) x 5 g) 3x 2x h) x 2x 4 i) x x 2x 1 k) 3x x 3x 1 x 4x x 2x x Giải và biện luận các phương trình sau l) x a x b b a a b ax-1 x a a c) a+1 a a a) b) a x 1 3a x d) a a a 1 x a x 1 x a x 1 Giải các hệ phương trình sau x y 24 a) x y 2 3x 4y 0 b) 2x 5y 12 0 2 2u v 7 c) 2 u 2v 66 m n p 21 n p q 24 d) p q m 23 q m n 22 m 1 x y 3 mx y m Cho hệ phương trình a) Giải hệ với m = - b) Tìm m để hệ có nghiệm cho x + y dương Hệ phương trình bậc Bài 1: Giải các hệ phương trình: x 2y 3 1) 2x y 1 3x 4y 2 2) 2x 3y 7 x 7y 3) 2x y 11 2x 3y 10 4) 3x 2y 2 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ: 1 x y 5 1 a) x y 5 15 x y 9 x y x y 8 2x 3y 3x y 2 35 21 x y x y x y 3x y 2x 3y b) c) d) 10 1 2 (x ; y) ; (x ; y) = ; (x ; y) ; ;b) ;c) (x ; y) = (5 ; 3) ;d) 66 11 HD: a) ĐS: mx y 1 x y 334 Bài 3: Cho hệ phương trình (21) a) Giải hệ phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình vô nghiệm HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001) b) Hệ đã cho vô nghiệm m x my 1 Bài 4: Cho hệ phương trình: mx 3my 2m a) Giải hệ phương trình với m = –3 b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm HD: a) Hệ có vô số nghiệm b) m ≠ và m ≠ –3 mx y 1 Bài 5: Cho hệ phương trình: x y m Chứng tỏ m = –1, hpt có vô số nghiệm HD: Thay m = –1 vào hệ đpcm 2mx y 5 Bài 6: Cho hệ phương trình: mx 3y 1 a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm HD: a) (x ; y) = (–2; 1) ; b) m ≠ Phương trình bậc hai Bài 7: Giải các phương trình: 1) x2 – 4x + = 2) x2 + 6x + = 3) 3x2 – 4x + = 5) ( 1)x x 0 4) x2 – 5x + = 6) 7) x ( 1)x 0 9) 3x4 – 11x2 + = 11) (2x2 + x – 4) – (2x – 1) = 2x ( 1)x 0 8) x4 – 11x2 + 10 = 10) 9x4 – 22x2 + 13 = 12) (x – 3) + (x + 4) = 23 – 3x 2x x2 x 13) x x 3x 1 14) x x 15) 3(x2 + x) – 2(x2 + x) – = 16) (x2 – 4x + 2) + x2 – 4x – = Bài 8: Cho phương trình x 3x 0 và gọi hai nghiệm phương trình là x 1, x2 Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau: 1 a) x1 x 2 2 1 2 c) x1 x 3 b) x x d) x1 x HD: Đưa các biểu thức dạng x1 + x2 và x1x2 sử dụng hệ thức Viét Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 = Tìm nghiệm x2 HD: m = 2, x2 = Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m + 1) x + m2 = (1) a) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó có nghiệm −2 m 2; HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt b) m = m = Bài 11: Cho phương trình (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = (1) a) Chứng minh m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu HD: a) Chứng minh ' > 0; b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu m < −1 m>3 Bài 12: Cho phương trình x2 − 2(m + 1) x + m − = (1) a) Giải phương trình (1) m = (22) b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với giá trị m c) gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Chứng minh A = x 1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị m HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x 2 2 b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 A không phụ thuộc vào m Bài 13: Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình x2 − 2(m − 1) x + m − = a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức P = (x1) + (x2) theo m b) Tìm m để P nhỏ HD: a) P = (x1 + x2) − 2x1x2 = 4(m − 1) − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10 (2m 5) 15 15 m 4 Dấu " = " xảy c) P = Bài 14: Cho phương trình x2 − 6x + m = (m là tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20 HD: a) Với m = x1 = 1, x2 = 5; b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2) Bài 15: Cho phương trình x − 4x + k = a) Giải phương trình với k = b) Tìm tất các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3; b) ' = − k > k < ĐS: k {1 ; ; 3} Bài 16: Cho phương trình : x2 − (m + 5) x − m + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = −2 HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5; b) ĐS: m = − 20 Bài 17: Cho phương trình: (m − 1) x2 + 2mx + m − = (*) a) Giải phương trình (*) m = b) Tìm tất các giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x m , m 1 ; b) ĐS: HD: a) Khi m = 1: Bài 18: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1) = a) Giải phương trình với m = −1 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, đó có nghiệm bình phương nghiệm còn lại HD: a) Với m = −1 x1 = 2, x2 = −4 b) m = m = (23) Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = (a ≠0) (1) *Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý a = phương trình trở thành bậc ẩn A KIẾN THỨC CƠ BẢN Các dạng và cách giải x 0 1 ax bx 0 x ax+b 0 b x a Dạng 1: c = đó: c 1 ax c 0 x a Dạng 2: b = đó: c c x 0 a - Nếu a thì c 0 - Nếu a thì phương trình vô nghiệm Dạng 3: a ≠ Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN b 4ac ' b'2 ac : phương trình có nghiệm phân biệt ' : phương trình có nghiệm phân biệt b b ; x2 2a 2a 0 : phương trình có nghiệm kép b x1 x 2a : phương trình vô nghiệm x1 b' ' b' ' ; x2 a a ' 0 : phương trình có nghiệm kép b' x1 x a ' : phương trình vô nghiệm x1 Dạng 4: Các phương trình đưa phương trình bậc hai Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn mẫu và dạng tích Hệ thức Viet và ứng dụng - Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b S x1 x a P x x c a u v S uv P S 4P - Nếu có hai số u và v cho trình x2 – Sx + P = thì u, v là hai nghiệm phương c - Nếu a + b + c = thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = a - Nếu a – b + c = thì phương trình có nghiệm là x1 = - 1; x2 = c a (24) Điều kiện có nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0) - (1) có nghiệm 0 ; có nghiệm phân biệt 0 P 0 - (1) có nghiệm cùng dấu 0 P S - (1) có nghiệm dương 0 P S - (1) có nghiệm âm - (1) có nghiệm trái dấu ac < P < Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó a) x1 x ; b) x12 x 2 m; d) x12 x 2 h; e) x13 x 23 t; c) 1 n x1 x Trong trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và PP giải hệ phương trình 6.Bµi to¸n liªn quan gi÷a nghiÖm ph¬ng tr×nh vµ hÖ thøc Vi - Ðt Ph¬ng ph¸p: Nếu pt bậc 2: ax2 + bx + c = có nghiệm x1, x2 thì tổng và tích các nghiệm đó x1 x b c x1.x a vµ a lµ: Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc II có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho tríc NÕu ®k cho tríc cã chøa biÓu thøc x12 + x22 hoÆc x13 + x23 th× cÇn ¸p dông các đẳng thức đáng nhớ: x12 + x22 = (x1 + x2) - 2x1x2 x13 + x23 = (x1 + x) - 3x1x2(x1 + x2) TÊt nhiªn c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót tõ ®k , ph¶i tháa m·n ®k Δ ≥ VD1:Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 2(m + 1) x + m2 + = (1) a) Tìm m để (1) có n0 dơng? b) Tìm m để (1) có n0 x1,x2 thỏa mãn x1 x2 + =22 x2 x1 VD 2:Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + - 5k = (2) k: tham sè a) Tìm k để pt(2) có n0 kép? b) Tìm k để (1) có n0 x1,x2 thỏa mãn x12 + x22 = 10 VD 3: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - (2m + 3) x + m - = (1) a) CMR pt lu«n cã nghiÖm víi mäi x b) Tìm m để pt có nghiệm gấp đôi nghiệm kia? VD 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 2) x + m + = (x lµ Èn) a) Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để: x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x2) = m2 VD 5:Cho ph¬ng tr×nh mx2 - (m - 4) x + 2m = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2(x12 + x22) - x1.x2 = VD 6:Cho ph¬ng tr×nh x2 - (m - 1) x + 5m - = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 4x1 + 3x2 = VD 7:Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m + 1) x + m2 + = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : 2(x1 + x2) - 3x1.x2 + = T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè? Phơng pháp: Từ biểu thức định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để thu đợc biểu thức không phụ thuộc vào tham số (25) VD 1:Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k - 3) x + 2k + = cã c¸c nghiÖm lµ x 1,x2 T×m mét hÖ thøc liªn hệ các nghiệm độc lập với k VD 2:Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - (2m + 3) x + m - = cã c¸c nghiÖm lµ x 1,x2 T×m mét hÖ thức liên hệ các nghiệm độc lập với k VD 3: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m + 1) x - 2(m - 1) x + m = T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a các nghiệm độc lập với m? VD 4: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m - 1) x - 2(m - 2) 2x + m + = T×m mét hÖ thøc liªn hÖ các nghiệm độc lập với m? LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm cña chóng Ph¬ng ph¸p: - LËp tæng x1 + x2 - LËp tÝch x1x2 - Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ X2 - SX + P = VD 1:LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ:a) −√2 VD 2: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + px + q = 1 vµ ;b) (1) a) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh biÓu thøc: A= √ vµ √ ; c) 5+ √ vµ 1 + 2 ( x +3 ) ( x 2+3 )2 theo p vµ q b) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y lËp ph¬ng tr×nh bËc theo y cã hai nghiÖm lµ: y 1= x 1+ ; x1 −1 y 2= x +1 x2 −1 c) Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh x2 + mx + n = cã nghiÖm chung th×: (n q) + (m p) (mq np) = Bµi tËp: Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh x2 mx + m = (1) a) CMR: (1) cã nghiÖm víi mäi m.T×m nghiÖm kÐp nÕu cã cña (1) vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña m b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2 - CMR: A = m2 8m + Tìm m để A = Bµi 2:Cho ph¬ng tr×nh: (m - 4) x2 - 2mx + m - = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 18 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt c) TÝnh x13 + x23 theo m? Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 2) x + m + = (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = - 3/2 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phơng trình.Tìm m để x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2 Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2mx + 2m - = a) CMR: Ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) §Æt A = 2(x12 + x22) - 5x1x2 1.CMR: A = 8m2 - 18m + Tìm m để A = 27 T×m m cho ph¬ng tr×nh nghiÖm nµy gÊp hai lÇn nghiÖm kia? B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1 Giải các phương trình sau x 0 c) x 3x 10 0 2 x 2 0 e) x x 0 a) 3x 2x 0 d) 2x b) f ) x 1 x x 3 x 3 Giải (26) x 0 a) 3x 2x 0 x 3x 0 x Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … b) x 0 x 16 x 4 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … c) a 1; b 3; c 10 b 4ac 32 4.1. 10 49 x1 b 37 2; 2a 2.1 x2 b 3 2a 2.1 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … d) a 2; b 1; c 1 2 Có a b c 2 0 c 1 2 2 x1 1; x a 2 Theo hệ thức Viet, có: e) Đặt t x 0 , ta có pt mới: t2 – 4t + = Có a + b + c = + ( - 4) + = Vậy t1 = 1; t2 = Suy ra: x1 = 1; x2 = x 1 x x 3 x 3 x 5x x 5x 3 f) Đặt x2 + 5x + = t, ta có: t 1 t 2t 0 t 1 t 3 0 t t (t + 2) = x 5x 1 x 5x 0 13 13 x1 ; x2 2 x 5x x 5x 0 Suy ra: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt … VD2 Cho phương trình x2 + 3x – m = (1) a) Giải phương trình với m = b) Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) c) Tìm m để (1) có nghiệm x = - Tìm nghiệm còn lại d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các điều kiện sau: 2x1 + 3x2 = 13 Nghiệm này lớn nghiệm ba đơn vị x12 + x22 = 11 1 ; x e) Chứng tỏ x là nghiệm phương trình mx2 – 3x – = Trong đó x 1, x2 là hai nghiệm (1) f) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm cùng dấu Em có nhận xét gì hai nghiệm đó Giải a) Với m = ta có: x2 + 3x – = (a = 1; b = 3; c = - 4) Nhận thấy: a + b + c = + + ( - 4) = (27) c a Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 = b) có: b 4ac 9 4m 4m m b 4m b 4m x1 ; x2 2a 2a 0 4m 0 m b x1 x 2a 4m m phương trình vô nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2, đó: ( - 2) + 3( - 2) – m = m = - - Tìm nghiệm thứ hai Cách 1: Thay m = - vào phương trình đã cho: x2 + 3x + = c có a – b + c = – + = nên x1 = - 1; x2 = a Vậy nghiệm còn lại là x = - b b x x1 a Cách 2: Ta có x1 + x2 = a c c m x : x1 a 2 Cách 3: Ta có x1x2 = a 0 x1 x b a x x c a 2x 3x 13 d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13 m x1 x x1x m 2x1 3x 13 giải hệ tìm x = - 22; x = 19; m = 418 - Tương tự ta tìm (x1 = - 2; x2 = - 3; m = - 6) ; (m = 1) 1 x1 x x x x x m 2 4m 3 1 4 0 x1 x x1.x m m m m m m e) Ta có mà 1 2 ; x x mx 3m 0 m m Vậy x1 x là hai nghiệm phương trình (28) 0 P f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu Hai nghiệm này luôn âm Vì S = - C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Giải các phương trình sau a) x 5x 0 b) 2x 0 c) x 11x 30 0 d) x x 0 e) x 7x 12 0 g) m m m f) x 2 x 0 x x x 2 x x 2 i) 2x 8x 2x 4x 12 x 0 h) x 1 x x x 20 k) x 1 4,5 x 0 x2 x 2 Cho phương trình x 3x 0 , có hai nghiệm x1, x2 Không giải phương trình Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 3x 5x x 3x 2 A x12 x 2 ; B x13 x 23 ; C 4x1 x 4x1x 23 Cho phương trình x2 + mx + m + = a) Giải phương trình với m = - b) Giải và biện luận số nghiệm phương trình c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m d) Xác định giá trị m để x12 + x22 = 10 e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - Tính nghiệm còn lại g) Tìm m để phương trình có nghiệm cùng dấu dương Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m - 2) x + 6m – = a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có nghiệm đối d) Tìm m để phương trình có nghiệm là nghịch đảo e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = Tìm nghiệm còn lại f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm Cho phương trình x2 – mx + m – = 0, ẩn x, tam số m a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x 1, x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) cùng giá trị tương ứng m b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2 + ) Chứng minh A = m2 – 8m + + ) Tìm m để A = + ) Tìm giá trị nhỏ A và giá trị tương ứng m 6* Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = với abc ≠ a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2 b) Lập phương trình nhận hai số x1 ; x làm nghiệm c) Lập phương trình nhận hai số x1; x làm nghiệm 1 ; x x làm nghiệm d) Lập phương trình nhận hai số (29) x1 x ; x e) Lập phương trình nhận hai số x1 làm nghiệm (30) Chủ đề: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp giải Bước Gọi ẩn và đặt điều kiện: Gọi (hai) số điều chưa biết làm ẩn và đặt điều kiện cho ẩn Bước Biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn Bước Lập phương trình (hệ phương trình) : Dựa vào mối quan hệ đại lượng đã biết và chưa biết Bước Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập trên Bước Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm với điều kiện kết luận *Chú ý việc tóm tắt bài toán trước làm B MỘT SỐ VÍ DỤ Để đoạn đường từ A đến B, xe máy đã hết 3h20 phút, còn ôtô hết 2h30phút Tính chiều dài quãng đường AB biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h Quãng đường (km) Xe máy x Ôtô x Thời gian (h) 10 3h20ph = h 2h30ph = h Vận tốc (km/h) 10 3x 10 2x x: x: 2x 3x 20 Từ đó có phương trình 10 , giải x = 200 km Vận tốc (km/h) Xe máy x - 20 Ôtô x Thời gian (h) Quãng đường (km) 10 3h20ph = h 2h30ph = h 10 x 20 x 10 x x 20 Từ đó có phương trình , giải x = 80 km/h Vận tốc (km/h) Xe máy x Ôtô x + 20 Thời gian (h) Quãng đường (km) 10 3h20ph = h 2h30ph = h 10 x x 20 10 x x 20 Từ đó có phương trình , giải x = 60 km/h *Nhận xét: Trong các cách làm đó thì cách thứ là ngắn gọn C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Cho 200g dung dịch có nồng độ muối là 10% Phải pha thêm vào dung dịch đó lượng nước là bao nhiêu để dung dịch có nồng độ muối là 8% (31) Bài Có hai vòi nước, vòi chảy đầy bể 1,5 giờ, vòi chảy đầy bể Người ta đã cho vòi chảy thời gian, khóa lại và cho vòi chảy tiếp, tổng cộng 1,8 thì đầy bể Hỏi vòi đã chảy bao lâu? Bài Tổng các chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị số có hai chữ số 18 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho thì số lớn số ban đầu là 54 Tìm số ban đầu Bài Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 225m2 Tính kích thước hình chữ nhật đó Bài Một cửa hàng ngày bán số xe đạp và xe máy Biết số xe đạp bán nhiều số xe máy là và tổng bình phương hai số này là 97 Hỏi cửa hàng bán bao nhiêu xe loại Bài Dân số địa phương là 41618 người Cách đây năm dân số địa phương đó là 40000 người Hỏi trung bình năm dân số địa phương đó tăng bao nhiêu phần trăm Bài Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người đó nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB, biết thời gian lẫn là 50 phút HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0) x x 5 Giải ta được: x = 75 (km) Ta có phương trình: 30 25 Bài Hai canô cùng khởi hành lúc và chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài quãng sông AB, biết hai canô đến bến B cùng lúc HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0) x x Ta có phương trình: 20 24 Giải ta được: x = 80 (km) Bài Một ôtô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ôtô với vận tốc đó, còn 60km thì nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, đó ôtô đến tỉnh B sớm 1giờ so với dự định Tính quãng đường AB HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120) x x x 60 : 40 60 : 50 40 2 Ta có phương trình: Giải ta được: x = 280 (km) Bài 10 Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80km, lẫn 8giờ 20phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là 4km/h HD: Gọi vận tốc tàu thủy nước yên lặng là x km/h (x > 0) 80 80 8 x1 Giải ta được: (loại) , x2 = 20 (km) Ta có phương trình: x x Bài 11 Một ca nô và bè gỗ xuất phát cùng lúc từ bến A xuôi dòng sông Sau 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ địa điểm cách A km Tính vận tốc ca nô nước yên lặng biết vận tốc dòng nước là km / h HD: Gọi vận tốc canô nước yên lặng là x km/h (x > 4) 24 16 2 Ta có phương trình: x x Giải ta x1 = (loại) , x2 = 20 (km/h) Bài 12 Một người xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách 50 km Sau đó 30 phút, người xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0) 50 50 (1,5 1) x 2,5x Ta có phương trình: Giải ta được: x = 12 (thỏa mãn) (32) Bài 13 Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối tham quan di tích lịch sử Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lượt hết số học sinh thì phải điều ít dùng loại xe nhỏ Biết xe lớn có nhiều xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, loại xe đó huy động 180 180 15 HD: Gọi số xe lớn là x (x Z + ) Ta có PT: x x x1 = 4; x2 = –6 (loại) Bài 14 Một đội xe cần chuyên chở 100 hàng Hôm làm việc, có hai xe điều làm nhiệm vụ nên xe phải chở thêm 2,5 Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết số hàng chở xe là nhau) HD: Gọi x (xe) là số xe đội (x > và x N) 100 100 Giải ta được: x1 = −8 (loại) , x2 = 10 (thỏa mãn) Ta có phương trình: x x Bài 15 Để làm hộp hình hộp không nắp, người ta cắt hình vuông góc miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh các hình vuông đó bao nhiêu, biết tổng diện tích hình vuông đó diện tích đáy hộp? HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt ( < x < 9) 4x (24 2x)(18 2x) Ta có pt: Giải ta được: x1 = −18 (loại) , x2 = (thỏa) Bài 16 Cho số có hai chữ số Tìm số đó, biết tổng hai chữ số nó nhỏ số đó lần, thêm 25 vào tích hai chữ số đó số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ và x, y Z) 6(x y) 10x y x 5 y 4 Vậy số phải tìm là 54 Ta có hệ: xy 25 10y x Bài 17 Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút và vòi thứ hai 12 phút thì đầy bể Hỏi vòi chảy mình thì phải bao lâu đầy bể HD: Gọi thời gian chảy mình đầy bể vòi I, II là x, y phút (x, y > 80) 80 80 x y 1 x 120 y 240 10 12 Ta có hệ: x y 15 Bài 18 Hai người thợ cùng làm công việc 16giờ thì xong Nếu người thứ làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm 25% công việc Hỏi người làm công việc đó mình thì bao lâu hoàn thành công việc HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm mình xong công việc (x > 0, y > 16) 16 16 x y 1 Ta có hệ: x y x 24 y 48 (thỏa mãn điều kiện đầu bài) Bài 19 Một phòng họp có 360 ghế ngồi xếp thành dãy và số ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm và số ghế dãy tăng thêm thì phòng có 400 ghế Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và dãy có bao nhiêu ghế? HD: Gọi số dãy ghế phòng họp là x dãy (x Z, x > 0) (33) 360 (x 1) 1 400 x Ta có phương trình: Giải ta được: x1 = 15, x2 = 24 ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy Bài 20 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21% Vì vậy, thời gian qui định họ đã vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch HD: Gọi x, y là số sản phẩm tổ I, II theo kế hoạch (x, y N*) Ta có hệ phương trình: x y 600 0,18x 0, 21y 120 x 200 y 400 Bài 21 Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/h thì đến muộn Tính vận tốc dự định và thời gian dự định HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y (x, y > 0) Ta có hệ: (x 1)(y 4) xy x 6 (x 2)(y 14) xy y 28 (34) Chủ đề: HÀM SỐ - ĐỒ THỊ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tính chất hàm số bậc y = ax + b (a ≠0) - Đồng biến a > 0; nghịch biến a < - Đồ thị là đường thẳng nên vẽ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị + Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn qua gốc tọa độ + Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung điểm b - Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành góc , mà tg a - Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) và yA = axA + b Vị trí hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Xét hai đường thẳng: (d1) : y = a1x + b1 ; (d2) : y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ - Hai đường thẳng song song a1 = a2 và b1 ≠ b2 - Hai đường thẳng trùng a1 = a2 và b1 = b2 - Hai đường thẳng cắt a1 ≠ a2 + Nếu b1 = b2 thì chúng cắt b1 trên trục tung + Nếu a1 a2 = - thì chúng vuông góc với Tính chất hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0) - Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > - Nếu a < thì hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > - Đồ thị hàm số là Parabol luôn qua gốc tọa độ: + ) Nếu a > thì parabol có điểm thấp là gốc tọa độ + ) Nếu a < thì Parabol có điểm cao là gốc tọa độ - Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) và yA = axA2 Vị trí đường thẳng và parabol - Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2: + ) Luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am2) - Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2: + ) Nếu m = thì có giao điểm là gốc tọa độ m a + ) Nếu am > thì có hai giao điểm có hoành độ là x = + ) Nếu am < thì không có giao điểm - Xét đường thẳng y = mx + n ( m ≠ 0) và parabol y = ax2: + ) Hoành độ giao điểm chúng là nghiệm pt hoành độ ax2 = mx + n B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1 Cho (P) : y = x2 Vẽ (P) trên hệ trục Oxy Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ là và Hãy viết phương trình đường thẳng qua A và B Lập phương trình đường trung trực (d) AB Tìm tọa độ giao điểm (d) và (P) Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A, B và các điểm 1; trên trục hoành VD2 Trong cùng hệ trục tọa độ, gọi (P) , (d) là đồ thị các hàm số x2 y ; y x a) Vẽ (P) và (d) b) Dùng đồ thị để giải phương trình x 4x 0 và kiểm tra lại phép toán (35) x2 x Phương trình đã cho Nhận thấy đồ thị hai hàm số vừa vẽ là đồ x y và y x thị Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc A nên phương trình có nghiệm kép là hoành độ điểm A c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cắt (P) điểm có tung độ là - Tìm giao điểm còn lại (d1) với (P) x VD3 Cho (P) : y = và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ là – và a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm M trên cung AB (P) tương ứng với hoành độ x chạy khoảng từ - đến cho tam giác MAB có diện tích lớn Do đáy AB không đổi nên để diện tích lớn thì đường cao MH lớn MH lớn là khoảng cách từ AB đến đường thẳng (d) //AB và tiếp xúc với (P) 1 1; Tìm tọa độ M C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Cho (P) : y = ax2 a) Xác định a để đồ thị hàm số qua A(1; 1) Hàm số này đồng biến, nghịch biến nào b) Gọi (d) là đường thẳng qua A và cắt trục Ox điểm M có hoành độ m ( m ≠ 1) Viết phương trình (d) và tìm m để (d) và (P) có điểm chung Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A ( - 2; 2) và đường thẳng (d1) : y = - 2(x + 1) a) Giải thích vì A nằm trên (d1) b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị là (P) qua A c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1) d) Gọi A, B là giao điểm (P) và (d 2) ; C là giao điểm (d1) với trục tung Tìm tọa độ B và C Tính diện tích tam giác ABC Baì Cho (P) : y = x2 và (d) : y = 2x + m Tìm m để (P) và (d) : a) Cắt hai điểm phân biệt b) Tiếp xúc c) Không giao Bài Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) là đồ thị hàm số y = x a) Vẽ (P) b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là – và Viết ptđt AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài Cho hai đt (d1) và (d2) có phương trình là:y = (m - 2) x + và y = mx + m + a) Tìm m để (d1) qua điểm A(1; 5) Vẽ đồ thị hai hs trên với m vừa tìm b) Chứng tỏ (d1) luôn qua điểm cố định với m ≠ c) Với giá trị nào m thì (d1) //(d2) ; (d1) (d2) d) Tính diện tích phần giới hạn hai đường thẳng (d 1) , (d2) và trục hoành trường hợp (d1) (d2) Bài Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 1) ĐS: a = và b = −5 Bài Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −2 và qua điểm A(1; 5) ĐS: y = −2x + Bài Viết PT đường thẳng qua điểm B(−1; 8) và sg song với đường thẳng y = 4x + ĐS: y = 4x + 12 (36) Bài Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + và cắt trục hoành điểm có hoành độ ĐS: y = −x + Bài 10 Xác định hệ số a, b hàm số y = ax + b trường hợp sau: a) Đồ thị hàm số là đường thẳng có hệ số góc và qua điểm A(−1 ; 3) b) Đồ thị hàm số qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3) c) Đồ thị hàm số qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6) b) (a ; b) = (−2 ; 5) c) (a ; b) (3 ; 0) Bài 11 Cho Parabol (P) : y = 2x và hai đường thẳng: (d1) : mx − y − = và (d2) : 3x + 2y − 11 =0 a) Tìm giao điểm M (d1) và (d2) m = b) Với giá trị nào m thì (d1) song song với (d2) c) Với giá trị nào m thì (d1) tiếp xúc với (P) m HD: a) M(3 ; 1) ; b) c) (d1) tiếp xúc với (P) 2x2 − mx + = có nghiệm kép = m2 = 16 m 4 m Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt Bài 12 Tìm giá trị m để ba đường thẳng sau đồng qui: a) (d1) : 5x + 11y = (d2) : 10x − 7y = 74 (d3) : 4mx + (2m − 1) y = m + b) 3x + 2y = 13 (d2) : 2x + 3y = (d3) : (d1) : y = (2m − 5) x − 5m HD: a) ĐS: m = b) m = 4,8 Bài 13 Tìm khoảng cách hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết: a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5) 2 2 HD: a) AB (5 1) (4 1) 5 b) AB (3 2) (5 2) 5,83 Bài 14 Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5) Bài 15 Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và qua gốc tọa độ Bài 16 Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt đường thẳng điểm nằm trên trục tung Bài 17 Gọi (d) là đường thẳng qua A(1 ; 1) và cắt trục hoành điểm có hoành độ là 2005 Hãy viết phương trình đường thẳng (d) Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ; b) Song song với đường thẳng x - y + = ; c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2 Bài 18 Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1) x + 2m − Tìm điều kiện m để: a) Hai đường thẳng cắt b) Hai đường thẳng song song với c) Hai đường thẳng trùng (37) Chủ đề: CỰC TRỊ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa Tìm giá trị lớn (max) hay giá trị nhỏ (min) biểu thức là xác định giá trị biến để biểu thức đó đạt giá trị lớn hay nhỏ - Giá trị lớn biểu thức A: maxA Để tìm maxA cần A M , đó M là số Khi đó maxA = M - Giá trị nhỏ biểu thức A: minA Để tìm minA cần A m , đó m là số Khi đó minA = m Các dạng toán thường gặp Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường là bậc hai) : Nếu A = B2 + m (đa thức biến) , A = B + C2 + m (đa thức hai biến) , … thì A có giá trị nhỏ minA = m Nếu A = - B2 + M (đa thức biến) , A = - B – C2 + M (đa thức hai biến) , … thì A có giá trị lớn maxA = M 2 Biểu thức A có dạng phân thức: A m B , đó m là số, B là đa thức 2 Phân thức - Nếu mB > thì A lớn B nhỏ nhất; A nhỏ B lớn - Nếu mB < (giả sử m < 0) thì A lớn B lớn nhất; A nhỏ B nhỏ B 2 Phân thức A = C , đó B có bậc cao bậc C m D A n ; A n C C Khi đó ta dùng phương pháp tách giá trị nguyên để tách thành đó m, n là số; D là đa thức có bậc nhỏ bậc C B 2 Phân thức A = C , đó C có bậc cao bậc B Cần chú ý tính chất: Nếu A có giá trị lớn thì A có GTNN và ngược lại Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa thức bậc hai: - Chia khoảng giá trị để xét - Đặt ẩn phụ đưa bậc hai - Sử dụng các tính chất giá trị tyệt đối: a b a b ; a b a b a, b Dấu “ = ” xảy ab 0 - Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc a1 ,a , ,a n 0 Bất đẳng thức Côsi: dấu “ = ” xảy a1 = a2 = … = an a1 a a n n a1a a n n Bất đẳng thức Bu - nhi - a - cốp - ski: a1 ,a , ,a n ;b1 ,b , ,b n có a a 2 a n b12 b 2 b n a1b1 a 2b a n b n a1 a a n bn dấu “ = ” xảy b1 b T×m GTLN >NN cña mét biÓu thøc Ph¬ng ph¸p 1: (38) Biến đổi biểu thức đã cho cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵn ( là biểu thức không âm) tùy theo dấu trớc biểu thức đó là dơng (hay âm) mà biểu thức đã cho là nhỏ (hay lớn nhất) Ch¼ng h¹n: A = (ax + b) + m m th× minA = m vµ chØ x = −b a A = - (ax + b) + M M th× maxA = M vµ chØ x = −b a VÝ dô1: T×m GTNN cña biÓu thøc A = m2 - 6m + 11 Ta cã: A = m2 6m + 11 = (m 3) + Do = (m 3) nªn A = (m 3) + dÊu “ = ” x¶y m = m = VËy GTNN cña A lµ m = VÝ dô 2: T×m GTLN cña biÓu thøc B = 4x28x + Ta cã: B = 4x2 8x + = (4x2 + 8x 5) = [(2x + 1) 6] = (2x + 1) + VËy GTLN cña B lµ 2x + = x = 1/2 Ph¬ng ph¸p 2: Ph¬ng ph¸p t×m miÒn gi¸ trÞ cña mét hµm sè VÝ dô: T×m GTLN & GTNN cña biÓu thøc: §Æt y = x +1 x + x+ x +1 , ta cÇn t×m GTNN>LNcña y? x + x+ y(x2 + x + 1) = x2 + (y 1) x2 + yx + y = (1) - §©y lµ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x + ) y 1 = y = 1: (1) cã d¹ng: x = (kh«ng cã GTLN hay GTNN) + ) y 0 y 1: §Ó tån t¹i GTNN & GTLN th× (1) ph¶i cã nghiÖm 2 y 2 = y2 4(y 1) = (y + 2) (3y 2) GTNN lµ GTLN lµ y y Khi đó x = 2( y 1) 2(1 y ) với y = 2/3 thì x = víi y = th× x = 1 VËy: GTNN lµ x = ; GTLN lµ x = - Phơng pháp 3: Phơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi: + Víi a ≥ ;b ≥0 ta cã a+b ≥ √ ab Dấu đẳng thức xảy và a = b 2 Hệ quả: + Nếu a + b = S thì √ ab ≤ S ⇔ ab ≤ S Vậy ab đạt GTLN là S ⇔a=b 4 + Nếu ab = P thì a + b √ P Vậy a + b đạt GTNN là √ P ⇔ a=b VÝ dô: Cho biÓu thøc P= √ ( x+3 )( − x ) với 3< x <5 Tìm x để P đạt GTNN ; Tìm GTNN đó Gi¶i : Tõ 3 < x < 5 P > §Æt E = P đạt GTNN thì E đạt GTLN x 3 x x 3 x đạt GTLN x 3 x XÐt (x + 3) + (5 x) = (h»ng sè) P 2 x 3 x 4 dÊu ‘ = ’ (x + 3) = (5 x) x = (TM) GTLN P là và đạt đợc x = *Bµi tËp Bµi 1: T×m GTLN>NN nÕu cã cña c¸c biÓu thøc sau: (39) a) x2 + 2x + b) 2x2 x + c) 2+ √ x − 1 √x d) − x+1 Bài 2: Tìm x,y,z để các biểu thức sau đạt GTNN Tìm GTNN đó a) M = x2 + 4y2 + z2 2x + 8y 6z + 15 b) N = 2x2 + 2xy + y2 2x + 2y + 2 Bµi 3: Cho biÓu thøc : Q= x +72 3x với x > Tìm x để Q đạt GTNN; Tìm GTNN đó Bµi 4: T×m GTLN & GTNN cña biÓu thøc: y = 2+ √ x − x +7 Bµi 5: Gi¶ sö x1vµ x2 lµ hai nghiÖm cu¶ ph¬ng tr×nh x 2(m 1) x + m2 m = (1) 2 T×m GTNN cña tæng S x1 x Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh : x2 2(m 3) x 2(m 1) = (1) a) CMR (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2 b) Gäi x1vµ x2 lµ hai nghiÖm cu¶ ph¬ng tr×nh T×m GTNN cña tæng S x1 x Bµi 7: Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2x2 3mx = 2 Tìm giá trị m để x1 x đạt giá trị nhỏ nhất? Bµi 8: T×m GTLN>NN nÕu cã cña c¸c biÓu thøc sau: A = x2 + 3x + B = 3x2 + 4x + 1C = − x2 −2 Bµi 9: T×m GTNN cña biÓu thøc: M = 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y Bµi 10:T×m GTLN & GTNN cña biÓu thøc: a) y= x −2 x +2007 ; x2 b) y= x + x+ ; x − x +1 c) Bµi 11: Cho biÕn sè d¬ng x vµ y BiÕt x + y = T×m GTNN cña y= − √ 1− x 2 Q= + x y Bất đẳng thức I Phơng pháp chứng minh trực tiếp dùng định nghĩa: * §N: A B A B Nªn chøng minh A B ta: - LËp hiÖu A B - Chứng tỏ A B 0 cách biến đổi A B thành tích thừa số kh«ng ©m hoÆc tæng c¸c b×nh ph¬ng.v.v VÝ dô: Chøng minh r»ng 2(a2 + b2) (a + b) a,b Gi¶i: XÐt hiÖu 2(a2 + b2) (a + b) = a2 2ab + b2 = (a b) 0 a,b Theo định nghĩa 2(a2 + b2) (a + b) (đpcm) Bµi tËp vËn dông 1) CMR: (a + b) 4ab 2) CMR: NÕu a b th× a3 b3 x2 3) CMR: a + b + c ab + bc + ca II Phơng pháp biến đổi tơng đơng 2 4) CMR: x2 1 2 x Để chứng minh A B, ta dùng tính chất BĐT, biến đổi tơng đơng BĐT cần chứng minh đến đẳng thức đã biết là đúng 1 x, y x y x y VÝ dô: CMR : 1 x+y 2 x + y 4 xy x - y 0 xy x y Gi¶i: x y x y 1 x, y x , y , x y x y §óng nªn (®pcm) (40) Bµi tËp vËn dông x2 4x 0x 1) CMR: x p2 q2 pq 3) CMR: NÕu p,q>0 th×: p q a2 a 2) CMR: a 2006 2007 2006 2007 2006 5) CMR: 2007 7) CMR: NÕu 2x + 4y = th× : x2 + y2 20 6) CMR: NÕu x + 4y = th× : x2 + 4y2 4) CMR: 3x2 + y2 + z2 2x(y + z + 1) x, y, z x2 4x 8) Cho a0.Gi¶ sö x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh III.Phơng pháp sử dụng giả thiết BĐT đã biết 0 4 2a CMR: x1 x2 2 a b ab a, b 0 - Sö dông B§T C«sy: 2 ax by a b x y x, y - Sö dông B§T Bunhiac«psci: - C¸c hÖ qu¶ cña B§T C«sy: 1 x, y x y x y +) x, y xy x y +) 1 x, y, z x y z x y z +) Ví dụ: Cho cạnh ABC có độ dài lần lợt là a,b,c và chu vi là 2p = a + b + c 1 1 1 2 a b c CMR: p a p b p c 1 x, y x y x y Gi¶i: ta cã p - a, p - b, p - c >0 nªn ¸p dông B§T , ta cã: 1 1 ; ; p a p b c p b p c a 1 p c p a b 1 1 1 2 4 dpcm a b c p a p b p c Ghi chú: Khi sử dụng BĐT nào để giải thì cần chứng minh trớc vận dụng Bµi tËp vËn dông: 1 6 Bµi 1:Cho sè d¬ng a,b tho¶ m·n a + b = CMR: ab a b (cã thÓ hái: T×m GTNN cña 1 2 biÓu thøc A = ab a b ) 1 2 4a 4b 8ab a b Bµi 2:Cho sè d¬ng a,b CMR: x2 y 2 Bµi 3: Cho x>y, xy = CMR: x y 1 Bµi 4:Cho x>0; y>0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x y T×m GTNN cña biÓu thøc A = x y (41) B MỘT SỐ VÍ DỤ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có các biểu thức sau A x 3x 3; B 2x 2y y 2x 2xy 2007 x2 x 1 x F 2x 2x ; 4x 4x E x x 3; C G x x; D H 1 x 1 x 2 3 21 21 3 A x 2.x x x 2 2 4 Giải: * 21 x Dấu “ = ” xảy Vậy maxA = x = - 2 B x 2xy y 2y 2x 1 x 4x 2002 * 2 x y 1 x 2002 2002 x, y x y 0 x Dấu “ = ” xảy x 2 y Vậy minB = 2002 x = và y = - 3 C x 2x 1 2x x * mà 1 x x 2 Dấu “ = ” xảy Vậy maxC = x 1 1 D x x 2 x1 x x * x 0; 0 x Do x > nên theo Bđt Côsi có : C 2 2 2 x 1 1 x 1 2 x 1 x 2 D 4 Dấu “ = ” xảy x x x 1 2 x x 1 Vậy minD = x = * E x x x x–1 x - 13 - 0+║+ - ║ - 0+ Khi x < 1: E = – x + – x = – 2x > – = Khi x 3 : E = x – + – x = Khi x > 3: E = x – + x – = 2x – > – = Vậy minE = x 3 F 2x 2x * (42) 3 1 F t 3t t t t 2x 4 Đặt đó x 3 t 2x 2x 2 x Dấu “ = ” xảy x x Vậy minF = * G x x ĐKXĐ: x 2 2 Đặt t x 0 t 2 x x 2 t 2 1 9 G 2 t t t t 2 4 1 t 2 x x 2 Vậy maxG = x = Dấu “ = ” và * H x x ĐKXĐ: x 1 H x x H 2 x 2 2 Có x 1 2 x 2 H 4 H 4 Dấu “ = ” thứ xảy và x = Dấu “ = ” thứ hai xảy và x = Vậy minA = x = 1; maxA = x = C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có các bểu thức sau A x y 6x 2y 17; B x 4xy 5y 10x 22y 28 x2 1 8 x2 x ; D ; E x 2 3x x2 1 x2 x 1 x2 x 1 F x 0 ; G x x 1 x 1 2 2 A = x + y + 7; B = x 2y + + y + 2 HD: C C = x + 2 + F =1- G= - 2 - 4; x+ D = -8 1 2x -4 ; E = -1 + -1 3x + x2 + 3x + 2 2x 2 =11 1 x + x+1 x+ +1 x 2 x + + 3 1 x 3 x+ +1 x x2 + x + G x + 1 = x + x + G - 1 x - x + G - = x +1 - Nếu G = thì x = và ngược lại - Nếu G ≠ thì muốn có x thỏa mãn điều kiện cần có (43) Δ = - G - 0 4G - 8G + 0 G 2 Vậy minG = x = - 1; maxG = x = (44) PHẦN BÀI LUYỆN GIẢI CƠ BẢN I BIẾN ĐỔI CĂN THỨC Bài Tìm điều kiện xác định các biểu thức sau a) 5x 1 x b) 6x x 1 x c) d) 2x x 2 Bài Thực phép tính, rút gọn biểu thức a) 18 32 50 b) 48 27 12 : c) 18 50 e) g) d) 12 75 48 2 7 f) 74 7 3 h) 2 3 4 3 Bài Giải các phương trình, bất phương trình sau a) 2x 10 b) x d) 16x 3x x x 11 e) 3 5x 72 c) x 3 f ) 2 2x 4 II HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải các hệ phương trình sau y x 1 15 2x 5y 10 1 4a 5b 10 0 x 6y 17 40x 3y 10 x y 0 a b 5x y 23 20x 7y 5 5x y 11 0 6 x y 8 2x 3y 2x 1 1,5 3 y 6x 10 5 y x 5 3x 2y 11,5 x 2y x 2 2 x y 2 x 1 x 9y 3x y 5 11 12 13 2 2 x 3y 1 y y 5x 1 x y x 2 z x y 3 x y z 12 14 y 2 3z 15 y z 6 16 2x 3y z 12 z 3x 3y z x 1 x y 2z 3x 5y 3 5x 2y 1 2x 3y 2 3x 2y 3u v 8 7u 2v 23 Bài Với giá trị nào tham số m thì a) x y m 3x 5y 2m có nghiệm nguyên b) mx 2y 1 3x y 3 vô nghiệm (45) III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài Giải các phương trình sau a) 3x 12x 0 e) x 5x 0 b) 5x 10x 0 c) 3x 12 0 d) 3x 0 f ) 3x 7x 0 g) 5x 31x 26 0 h) x 15x 16 0 i)19x 23x 0 k) 2x 3x 11 0 y 9x 12 1 l) m) y 6y 2y y 3y x 64 x 4x 16 x 1 27 n) 3x x 14 2 p) x x 1 x x 12 12 q) x x x x Bài Cho phương trình x2 + 5x + = Không giải phương trình hãy tính: a) x12 x x1x 2 b) x1 x x x1 c) x1 2x 2x1 x d) x1 x x x1 Bài Giả sử x1, x2 là hai nghiệm phương trình 2x2 – 7x – = Hãy lập phương trình có nghiệm là: a) 3x1; 3x b) 1 ; x1 x c) x1x 2 ; x12 x d) 1 ; x 12 x 2 e) x1 x ; x x1 f ) x1 2x ; 2x x Bài Cho phương trình x2 + (m + 2) x + 2m = a) Giải và biện luận số nghiệm phương trình b) Phương trình có nghiệm x = Tìm m và nghiệm còn lại x1 x 2 x x c) Tìm m để 2x x x1 2x 0 d) Tìm m để e) Tìm biểu thức liên hệ x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối g) Tìm m để pt có hai nghiệm cùng dấu Có nhận xét gì hai nghiệm đó IV HÀM SỐ Bài Cho hàm số y = (a – 3) x + b (d) Tìm các giá trị a, b cho đ.thẳng (d) : a) Đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4) b) Cắt trục tung điểm và cắt trục hoành điểm c) Cắt hai đường thẳng 2y – 4x + = ; y = x – điểm và song song với đường thẳng y = 2x + d) Đi qua điểm C (1; 3) và vuông góc với đường thẳng y = x + e) Tính diện tích phần giới hạn hai đường thẳng câu d và trục tung Bài Cho hai hàm số y = x2 (P) ; y = x + 2m – (d) a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ (d) qua điểm A(1; 1) b) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm c) Tìm m để (d1) : y = 2x – cắt (d) và (P) cùng điểm d) Chứng minh (d2) : y = - x + m2 luôn cắt (P) hai điểm với m V GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cách đây 18 năm, hai người tuổi gấp đôi Nhưng năm thì tuổi người thứ tuổi người thứ hai Tính tuổi người (46) Một ôtô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu Tìm hai số biết bốn lần số thứ hai với năm làn số thứ 18040 và ba lần số thứ hai lần số thứ hai là 2002 Hai thùng nước có dung tích tổng cộng là 175 lít Một lượng nước đổ đầy thúng thứ và 1 thùng thứ hai thì đổ đầy thùng thứ hai và thùng thứ Tính dung tích thùng “Cô gái làng bên lấy chồng Họ hàng kéo đến thật là đông Năm người cỗ thừa ba cỗ Ba người cỗ chín người không ” Hỏi có bao nhiêu người, bao nhiêu cỗ Hai vòi nước cùng chảy vào bể không thì sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy giờ, vòi thứ hai chảy thì bể Hỏi vòi chảy mình thì bao lâu đầy bể Một phong họp có 120 chỗ ngồi, số người đến họp là 165 người Do đó người ta phải kê thêm dãy ghế và dãy ghế phải thêm người ngồi Hỏi phòng họp lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế, biết phòng họp có không quá 20 dãy ghế ? Một tầu thủy trên khúc sông dài 100 km Cả và hết 10giờ 25 phút Tính vận tốc tầu thủy, biết vận tốc dòng nước là km/h Cạnh huyền tam giác vuông là 10m Hai cạnh góc vuông kém 2m Tính độ dài các cạnh góc vuông tam giác (47) Chủ đề: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lý Pitago ABC vuông A AB2 AC BC A Hệ thức lượng tam giác vuông 1) AB2 = BH BC; AC2 = CH BC 2) AB AC = AH BC 3) AH2 = BH HC 1 AB2 AC 4) AH B H a h ; Kết quả: Với tam giác cạnh là a, ta có: C a2 S Tỉ số lượng giác góc nhọn Đặt ACB ; ABC đó: AB AH AC HC ; cos ; BC AC BC AC b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC sin Kết suy ra: 1) sin cos; tg AB AH ; AC HC cot g AC HC AB AH cos sin; tg cotg; cot g tg sin cos 2) sin 1; cos <1; tg ; cot g cos sin 1 3) sin cos 2 1; tg.cot g 1; cot g ; 1 tg sin cos 2 4) Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó: a b c 2bc.cosA; SABC bcsin A B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1 Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH Chứng minh: BC2 a) AB AC 2AM ; b) AB2 AC2 2BC.MH 2 2 VD2 Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vuông góc với BD b) Tính diện tích hình thang VD3 Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ADC = 700 C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I là hình chiếu C trên BD, H là hình chiếu I trên AC Chứng minh: AH = 3HI Qua đỉnh A hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E và cắt đường 1 AF2 a thẳng DC F Chứng minh: AE D MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN THÊM (48) Bµi Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A VÏ h×nh vµ thiÕt lËp c¸c hÖ thøc tÝnh tØ sè lîng gi¸c cña góc B Từ đó suy các hệ thức tính tỉ số lợng giác góc C Bµi gi¶i tam gi¸c vu«ng ABC BiÕt ^ A = 900 AB = ,BC = Bµi TÝnh c¸c gãc cña mét tam gi¸c vu«ng biÕt tØ sè gi÷a hai c¹nh gãc vu«ng lµ 13:21 Bµi Dùng gãc x BiÕt sinx = 3/5 Bµi Dùng gãc x BiÕt cotgx = 1/2 Bài Cho tam giác DEF có ED = 7cm góc D = 400 góc F = 580 kẻ đờng cao EI tam giác đó H·y tÝnh (lÊy ch÷ sè thËp ph©n) a) §êng cao EI b) C¹nh EF Bài 9: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo hình bình hành ABCD M và N lần lợt là trung điểm cña AD vµ BC; BM vµ DN c¾t AC lÇn lît ë P vµ Q a) So s¸nh c¸c ®o¹n AP, PQ, QC ; b) Tø gi¸c MPNQ lµ h×nh g×? CA c) Tính tỉ số CD để MPNQ là hình chữ nhật.;d) Tính ACD để MNPQ là hình thoi e) ACD phải có gì đặc biệt để MPNQ là hình vuông? Bài 10: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi K là điểm chính cung AB.Gọi M là ®iÓm n»m trªn cung AK, N lµ mét ®iÓm n»m trªn d©y cung BM cho BN = AM Chøng minh r»ng: a) AMK = BNK; b) MKN lµ vu«ng c©n vµ MK lµ tia ph©n gi¸c ngoµi cña AMN c) Khi điểm M chuyển động trên cung AK thì đờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn luôn qua điểm cố định trên tiếp tuyến nửa đờng tròn B Bài 11: Cho hinh fvuông ABCD.Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ đờng tròn phía hình vuông.lấy AB là đờng kính, vẽ đờng tròn phía hình vuông Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC (kh«ng trïng víi A vµ C) H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña P trªn AB vµ AD; PA vµ PB c¾t nửa đờng tròn I và M a) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña AP b) Chứng minh PH,BI,AM đồng quy điểm c) Chøng minh PM = PK = AH d) Chøng minh tø gi¸c APMH lµ h×nh thang c©n e) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để APB (49) Chủ đề: CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tam giác A A '; B B'; C C' ABC A'B'C' AB A 'B'; BC B'C'; AC A 'C' a) Khái niệm: b) Các trường hợp hai tam giác: c c c; c g c; g c g c) Các trường hợp hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và cạnh góc vuông; cạnh huyền và góc nhọn d) Hệ quả: Hai tam giác thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng Chứng minh hai góc - Dùng hai tam giác hai tam giác đồng dạng, hai góc tam giác cân, đều; hai góc hình thang cân, hình bình hành, … - Dùng quan hệ các góc trung gian với các góc cần chứng minh - Dùng quan hệ các góc tạo các đường thẳng song song, đối đỉnh - Dùng mối quan hệ các góc với đường tròn (Chứng minh góc nội tiếp cùng chắn cung hai cung đường tròn, …) Chứng minh hai đoạn thẳng - Dùng đoạn thẳng trung gian - Dùng hai tam giác - Ứng dụng tính chất đặc biệt tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, … - Sử dụng các yếu tố đường tròn: hai dây cung hai cung nhau, hai đường kính đường tròn, … - Dùng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang, … Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song - Dùng mối quan hệ các góc: So le nhau, đồng vị nhau, cùng phía bù nhau, … - Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba - Áp dụng định lý đảo định lý Talet - Áp dụng tính chất các tứ giác đặc biệt, đường trung bình tam giác - Dùng tính chất hai dây chắn hai cung đường tròn Chứng minh hai đường thẳng vuông góc - Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác - Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại - Dùng tính chất đường cao và cạnh đối diện tam giác - Đường kính qua trung điểm dây - Phân giác hai góc kề bù Chứng minh ba điểm thẳng hàng - Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng - Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, … - Chứng minh tia tạo ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC 180 thì A, B, C thẳng hàng - Áp dụng tính chất: Hai góc có hai cạnh nằm trên đường thẳng và hai cạnh nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên - Chứng minh AC là đường kính đường tròn tâm B Chứng minh các đường thẳng đồng quy - Áp dụng tính chất các đường đồng quy tam giác (50) - Chứng minh các đường thẳng cùng qua điểm: Ta hai đường thẳng cắt điểm và chứng minh đường thẳng còn lại qua điểm đó - Dùng định lý đảo định lý Talet B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1 Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O; R) Hai tiếp tuyến B và D cắt T a) Chứng minh OT//AB (góc BAD = góc TOD) b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng (phân giác BOD; song song với AB) 3R ) c) Tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R (P = 3R ; S = R2 3 d) Tính theo R diện tích giới hạn hai cạnh TB, TD và cung BCD (S = VD2 Cho nửa đường tâm O đường kính AB = 2R, M là trung điểm AO Các đường vuông góc với AB M và O cắt nửa đường tròn D và C R a) Tính AD, AC, BD và DM theo R (AD = R; AC = R ; BD = R ; DM = ) b) Tính các góc tứ giác ABCD (ABD = 300; ABC = 450; BCD = 1200; ADC = 1350) c) Gọi H là giao điểm AC và BD; I là giao điểm AD và BC Chứng minh IH vuông góc với AB (AC, BD là các đường cao tam giác IAB) VD3 Cho tam giác ABC cạnh a Kéo dài BC đoạn CM = a a) Tính các góc tam giác ACM (ACM = 1020; CAM = CMA = 300) b) Chứng minh Am vuông góc với AB (MAB = 900) c) Kéo dài CA đoạn AN = a và kéo dài AB đoạn BP = a Chứng tỏ tam giác MNP (tgMCN = tgNAP = tgPBM) C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M trên đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu M lên AB và AD a) Chứng tỏ: CF = DE; CF vuông góc với DE Từ đó tìm quỹ tích giao điểm N CF và DE (tgCFD = tgDAE; quỹ tích N là ¼ đường tròn - cung tròn DNO có đường kính CD) b) Chứng tỏ: CM = EF và CM EF (tgCKM = tgFME, K là giao FM và CB) c) Chứng minh các đường thẳng CM, BF, DE đồng quy (CM, ED, FB là ba đường cao tam giác CEF) Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn qua tâm O qua A tiếp xúc với BC B và đường tròn tâm I qua A tiếp xúc với BC C a) Chứng minh hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc A (tgOAB; tgIAC cân; OAB + CAI + BAC = 1800; O, I, A thẳng hàng) b) Từ O kẻ đường vuông góc với AB và từ I kẻ đường vuông góc với AC Chứng minh chúng cắt trung điểm M BC (MA = MB = MC) c) Chứng minh MO vuông góc với MI (OMI = 900) d) Kéo dài BA cắt đường tròn tâm I P Chứng minh C, P, I thẳng hàng (tính chất góc nội tiếp PIA + AIC = 1800) Cho hai đường tròn (O) , (O’) cắt A và B cho góc OAO’ 90 Qua A kẻ cát tuyến MAM’ vuông góc với AP đó P là trung điểm OO’ M, M’ theo thứ tự là giao điểm cát tuyến với hai đường tròn (O) ; (O’) Chứng minh: a) AM = AM’ (A là trung điểm DC; OC, O’D vuông góc với MM’) b) Tam giác ABM cân (tgOAC = tgOHA) c) BM vuông góc với BM’ (AB = AM’; t/c trung tuyến tam giác vuông) d) Với vị trí nào cát tuyến MAM’ thì MM’có độ dài lớn (MM’ = 2OO’; MM’//OO’) (51) Chủ đề: CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tam giác đồng dạng A A '; B B'; C C' ABC ∽ A 'B'C' AB AC BC A 'B' A 'C' B'C' - Khái niệm: - Các trường hợp đồng dạng hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g - Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông… * Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bình phương tỉ số đồng dạng Phương pháp chứng minh hệ thức hình học - Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng tam giác vuông, … Giả sử cần chứng minh MA MB = MC MD - Chứng minh hai MAC và MDB đồng dạng hai MAD và MCB - Trong trường hợp điểm đó cùng nằm trên đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng tích thứ ba Nếu cần chứng minh MT2 = MA MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng so sánh với tích thứ ba Ngoài cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức tam giác vuông; phương tích điểm với đường tròn B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1 Cho hình bình hành ABCD Từ đỉnh A kẻ cát tuyến bất kì cắt đường chéo BD E, cắt cạnh BC F và cắt cạnh CD G Chứng minh: a) Các DAE và BFE đồng dạng b) Các DGE và BAE đồng dạng c) AE = EF EG d) Tích BF DG không đổi cát tuyến qua A thay đổi VD2 Cho hình bình hành ABCD Từ C kẻ CM vuông góc với AB, CN vuông góc với AD Giả sử AC > BD Chứng minh rằng: AB AM + AD AN = AC2 C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M là trung điểm BC Đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt AB P, cắt AC Q Chứng minh: a) AHP ~ CMH b) QHA ~ HMB c) HP = HQ Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm BC Lấy P trên cạnh AB, Q trên cạnh AC cho góc PMQ 600 a) Chứng minh MBP ~ QCM Từ đó suy PB CQ có giá trị không đổi b) Kẻ MH vuông góc với PQ, chứng minh MBP ~ QMP; QCM ~ QMP c) Chứng minh độ dài MH không đổi P, Q chạy trên AB, AC và thỏa mãn điều kiện góc PMQ 600 Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c (b > c) và các phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE b) Vẽ hình bình hành BEKD, chứng minh CE > EK c) Chứng minh CE > BD (52) Chủ đề: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp chứng minh - Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cùng cách điểm - Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù - Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm còn lại hai góc - Chứng minh tổng góc ngoài đỉnh với góc đối diện bù - Nếu MA MB = MC MD NA ND = NC NB thì tứ giác ABCD nột tiếp (Trong đó M AB CD; N AD BC ) - Nếu PA PC = PB PD thì tứ giác ABCD nội tiếp (Trong đó P AC BD ) - Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; … Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc đường tròn ta có thể chứng minh điểm lúc Song cần chú ý tính chất “Qua điểm không thẳng hàng xác định đường tròn” B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên đó có điểm M Trên đường kính AB lấy điểm C cho AC < CB Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By A và B với (O) Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax P, đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By Q Gọi D là giao điểm CQ và BM Chứng minh: a) Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp b) AB//DE c) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng VD2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AA’, đường cao AM a) Hai đường cao BN, CP cắt H và PN cắt AA’ S Chứng minh các tứ giác BPNC và A’SNC nội tiếp b) Chứng minh PN vuông góc với AA’ C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Cho (O; R) và dây cung AB ( AB < 2R) Trên tia AB lấy điểm C cho AC > AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn P và K Gọi I là trung điểm AB a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp b) Chứng minh hai tam giác ACP và PCB đồng dạng Từ đó suy CP2 = CB CA c) Gọi H là trực tâm tam giác CPK, tính PH theo R d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia đối tia BK là tia phân giác góc CBP Cho tam giác ABC cân A, cung tròn phía tam giác tiếp xúc với AB, AC B và C Từ điểm D trên cung BC kẻ các đường vuông góc DE với BC, DF với AC và DG với AB Gọi M là giao điểm BD và GE, N là giao điểm EF và DC Chứng minh: a) Các tứ giác BEDG và CEDF nội tiếp b) DE2 = DF DG c) EMDN nội tiếp, suy MN vuông góc với DE d) Nếu GB = GE thì EF = EC Từ điểm M trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta kẻ các đường vuông góc hạ xuống ba cạnh tam giác MH AB; MI BC; MK AC Chứng minh: a) Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp b) Ba điểm H, I, K nằm trên đường thẳng (đường thẳng Simson) (53) Chủ đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔNG HỢP Bài 01: Cho (O) , từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) , vẽ hai tt AB và AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E C/m ABOC noäi tieáp Chứng tỏ AB2 = AE.AD B C/m goùc AOC ACB vaø BDC caân CE kéo dài cắt AB I C/m IA = IB Giaûi: 1/ C/m: ABOC nội tiếp:(HS tự c/m) 2/ C/m: AB2 = AE.AD chung D Chứng minh ADB ∽ ABE , vì có E (góc tt và dây) Sñ ABE = sñ cung BE Sñ BDE = I A O E Hình 01 C BE (goùc noäi tieáp chaén BE ) sñ 3/ C/m AOC ACB * Do ABOC noäi tieáp AOC ABC (cuøng chaén cung AC) ; vì AC = AB (t/c tt caét nhau) ABC cân A ABC ACB AOC ACB 1 * sđ ACB = sđ BEC (góc tt và dây) ; sđ BDC = sđ BEC (góc nội tieáp) BDC = ACB mà ABC = BDC (do CD//AB) BDC BCD BDC cân B 4/ Ta có I chung; IBE ECB (góc tt và dây; góc nội tiếp chắn cung BE) IE IB IBE∽ICB IB =IC IB2 = IE.IC BE ) mà BDC cân B Xeùt IAE vaø ICA coù I chung; sñ IAE = sñ ( DB sñ (BC-BE) = sñ CE= sñ ECA DB BC sñ IAE = IA IE IAE ∽ ICA IC =IA IA2 = IE.IC Từ uvàv IA2 = IB2 IA = IB Bài 02: Cho ABC (AB = AC) ; BC = 6; Đường cao AH = (cùng đơn vị độ dài) , nội tiếp (O) đường kính AA’ Tính baùn kính cuûa (O) Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ là hình gì? Keû AKCC’ C/m AKHC laø hình thang caân A Quay ABC vòng quanh trục AH Tính Sxq hình tạo C' K Giaûi: 1/Tính OA:ta có BC = 6; đường cao AH = AB = 5; O ABA’ vuông BBH2 = AH.A’H BH A’H = AH = 25 25 AA’ = AH + HA’ = AO = 4 2/ACA’C’ laø hình gì? Do O laø trung ñieåm AA’ vaø CC’ACA’C’ laø Hình bình haønh Vì AA’ = CC’(đường kính đường tròn) H B C A' Hình 02 (54) AC’A’C là hình chữ nhật 3/ C/m: AKHC laø thang caân: Ta coù AKC =AHC 1v AKHC noäi tieáp. HKC HAC (cuøng chaén cung HC) maø OAC cân O OAC OCA HKC HCA HK//ACAKHC là hình thang Ta laïi coù: KAH KCH (cuøng chaén cung KH) KAO OAC KCH OCA Hình thang AKHC có hai góc đáy Vaäy AKHC laø thang caân 4/ Khi Quay ABC quanh trục AH thì hình sinh là hình nón Trong đó BH là bán kính đáy; AB là đường sinh; AH là đường cao hình nón 1 Sxq = p.d = 2.BH.AB = 15 1 V = B.h = BH2.AH = 12 Bài 03: Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với Gọi I là trung điểm OA Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD) Đường thẳng vuông góc với MQ M cắt (O) taïi P C/m: a/ PMIO laø thang vuoâng b/ P; Q; O thaúng haøng Gọi S là Giao điểm AP với CQ Tính góc CSP Gọi H là giao điểm AP với MQ Cmr: a/ MH.MQ = MP2 b/ MP là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp QHP Giaûi: C P M 1/ a/ C/m MPOI laø thang vuoâng Vì OI MI; CO IO(gt) S CO // MI maø MPCO MP MI H A MP // OI MPOI laø hình thang vuoâng B I O b/ C/m: P; Q; O thaúng haøng: J Do MPOI laø thang vuoâng IMP 1v hay QMP 1v Q D Hình 03 QP là đường kính (O) Q; O; P thẳng hàng 2/ Tính goùc CSP: Ta coù: sñ CSP = sñ( AQ CP ) (goùc coù ñænh naèm ñ.troøn) maø CP CM vaø CM QD CP QD 1 sñ CSP = sñ( AQ CP ) = sñ( AQ QD ) = sñAD = 450 Vaäy CSP = 450 3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ và MHP có: Vì AOM cân O; I là trung điểm AO; MI AO MAO là tam giác cân M AMO là tam giác AM 60 và CP 300 MPH MQP MC MP MP 60 AM (goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau.) MHP ∽ MQP ñpcm b/ C/m MP là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp QHP (55) Gọi J là tâm đtròn ngoại tiếp QHP Do AQ MP 60 HQP cân H và QHP 1200 J nằm trên đường thẳng HO HPJ là tam giác mà HPM 300 MPH HPJ MPJ 900 hay JP MP P nằm trên đường tròn ngoại tiếp HPQ đpcm Bài 04: Cho (O;R) và cát tuyến d không qua tâm O.Từ điểm M trên d và ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai là C.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC O cắt AM taïi D C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên đường tròn C/m AC//MO vaø MD = OD Đường thẳng OM cắt (O) E và F Chứng tỏ MA2 = ME.MF Xác định vị trí điểm M trên d để MAB là tam giác đều.Tính diện tích phần tạo hai tt với đường tròn trường hợp này Giaûi: B d E A = Mà BAC 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường troøn CA AB Vaäy AC//MO D C tuyeán caét BOM OMB vaø MA MB MO là đường trung trực AB MO AB F O 1/ C minh OBM OAM OHM 1v 2/ C/m AC // OM: Do MA vaø MB laø hai tieáp H Hình 04 554 C/m: MD = OD Do OD // MB (cùng vuông góc với CB) DOM OMB (so le) mà OMB OMD (cmt) DOM DMO DOM cân D đpcm 3/ C/m: MA2 = ME.MF: Xeùt hai tam giaùc AEM vaø MAF coù goùc M chung (góc tia tiếp tuyến và dây) Sñ EAM = sñ AE (goùc noäi tieáp chaén cungAE) EAM AFM Sñ AFM = sñ AE MAE ∽ MFA ñpcm 4/ Vì AMB là tam giác đều OMA 30 OM = 2OA = 2OB = 2R Goïi dieän tích caàn tính laø S Ta coù S = S OAMB Squaït AOB Ta coù AB = AM = √ OM2 − OA2 = R √ 1 S AMBO = BA.OM = 2R R √ = R2 √ πR2 120 Squaït = 360 = πR2 S = R2 √3 - πR2 = ( √ − π ) R2 Bài 05: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn Gọi M là điểm chính cung AB và N là điểm trên đoạn AO Đường thẳng vuông góc với MN M cắt Ax và By D và C C/m AMN BMC C/mANM = BMC DN cắt AM E và CN cắt MB F C/m FE Ax (56) Chứng tỏ M là trung điểm DC Giaûi: 1/ C/m AMN BMA Ta có AMB 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vaø NM DC NMC 1v Vaäy: AMB AMN NMB NMB BMC 1v AMN BMA x D Hình 05 2/ C/m ANM = BCM: y M AM MB 900 Do AM = MB MAN MBA 450 (AMB vuông cân M) vaø E MAN MBC 45 F A N O Maët khaùc ta coù: CMB AMN (cmt) ANM = BCM (g - c - g) 3/C/m EFAx Do tứ giác ADMN nội tiếp AMN AND (cùng chắn AN ) AND CNB BMC CNB CB Do tứ giác MNBC nội tiếp (cuøng chaén ) AMN BMC Maø (chứng minh câu 1) Ta laïi coù AND DNA 1v CNB DNA 1v ENC 1v maø EMF 1v Suy tứ giác EMFN nội tiếp EMN EFN (cùng chắn NE ) EFN FNB C B EF // AB maø AB Ax EF Ax 4/C/m M cuõng laø trung ñieåm DC: Ta coù NCM MBN 45 (cuøng chaén MN ) NMC vuông cân M MN = NC Và NDC vuông cân N NDM 45 MND vuông cân M MD = MN MC = DM đpcm Bài 06: Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn Trên cung nhoû AB laáy ñieåm C vaø keû CDAB; CEMA; CFMB Goïi I vaø K laø giao ñieåm cuûa AC với DE và BC với DF A C/m AECD noäi tieáp F K C/m:CD2 = CE.CF x C M D Cmr: Tia đối tia CD là phân giác góc FCE O C/m IK //AB I Giải: 1/C/m: AECD nội tiếp: (dùng PP tổng hai góc đối) E 2/C/m: CD = CE.CF Hình 06 B Xeùt hai tam giaùc CDF vaø CDE coù: - Do AECD noäi tieáp CED CAD (cuøng chaén CD ) - Do BFCD noäi tieáp CDF CBF (cuøng chaén CF ) Maø sñ CAD = sñ BC (goùc noäi tieáp chaén BC ) Và sđ CBF = sđ BC (góc tiếp tuyến và dây) FDC DEC Do AECD noäi tieáp vaø BFCD noäi tieáp DCE DAE DCF DBF 2v (57) DAM Maø MBD (t/c hai tt caét nhau) DCF DCE Từ uvà vsuy CDF ∽ CED đpcm o 3/ Gọi tia đối tia CD là Cx, Ta có góc xCF 180 FCD o vaø xCE 180 ECD Maø theo cmt coù: FCD ECD xCF xCE ñpcm 4/ C/m: IK // AB Ta coù CBF FDC DAC (cmt) Do ADCE noäi tieáp CDE CAE (cuøng chaén CE ) ABC CAE (góc nội tiếp và góc tt… cùng chắn cung) CBA CDI Trong CBA coù BCA CBA CAD 2v hay KCI KDI 2v DKCI noäi tieáp KDC KIC (cuøng chaén CK ) KIC BAC KI // AB Bài 07: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P cho P > R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn C/m BM // OP Đường vuông góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN là hình bình hành AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN và OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng haøng Giaûi: N 1/ C/m:BM//OP: P J Q Ta có MB AM (góc nội tiếp chắn nửa đtròn) I vaø OP AM (t/c hai tt caét nhau) K MB//OP M 2/ C/m: OBNP laø hình bình haønh: Xeùt APO vaø OBN coù A O 1v ; OA = OBA B O POA NBO ( = R) vaø NB // AP (đồng vị) APO = ONB PO = BN Hình 07 Maø OP//NB (cmt) OBNP laø hình bình haønh 3/ C/m:I; J; K thaúng haøng: Ta coù: PM OJ vaø PN // OB (do OBNP laø hình bình haønh) maø ON AB ON OJ I là trực tâm OPJ IJ OP - Vì PNOA là hình chữ nhật P; N; O; A; M cùng nằm trên đường tròn tâm K, maø MN // OP MNOP laø thang caân NPO MOP , Ta laïi coù NOM MPN (cuøng chaén NM ) IPO IOP IPO cân I Và KP = KO IK PO Vậy K; I; J thẳng hàng Bài 08: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I C/m ABI vuoâng caân Lấy D là điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm AD với Bt C/m AC.AI = AD.AJ C/m JDCI noäi tieáp Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DHAB Cmr: AK qua trung ñieåm cuûa DH (58) Giaûi: 1/C/m ABI vuoâng caân(Coù nhieàu caùch - sau ñaây chæ C/m caùch) : - Ta có ACB 1v (góc nội tiếp chắn nửa đtròn) ABC vuông C Vì OC AB taïi trung ñieåm O AOC COB 1v 0 AC CB 90 CAB 45 (góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn) ABC vuông cân C Mà BT AB có góc CAB 45 ABI vuông cân B 2/C/m: AC.AI = AD.AJ Xeùt ACD vaø AIJ coù Hình 08 goùc chung; sñ CDA = sñ AC 45 A I Mà ABI vuông cân B AIB 45 CDA AIB ADC ∽ AIJñpcm 3/ Do CDA CIJ (cmt) vaø CDA CDJ 2v CDJ CIJ 2v Tứ giác CDJI nội tiếp C D N 4/ Goïi giao ñieåm cuûa AK vaø DH laø N Ta phaûi C/m:NH = ND - Ta coù: ADB 1v vaø DK = KB(t/c hai tieáp tuyeán caét nhau) KBD KDB Maø KBD DJK 1v vaø KDB KDJ 1v KJD JDK KDJ cân K KJ = KD KB = KJ A O H J K B - Do DH vaø JBAB(gt) DH//JB Aùp duïng heä quaû Ta leùt caùc tam giaùc AKJ vaø DN AN NH AN DN NH AKB ta coù: JK = AK ; KB = AK JK = KB maø JK = KB DN = NH Bài 09: Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M Chứng minh: NMBO nội tiếp CD và đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM và MD là phân giác góc và góc ngoài góc AMB E C/m hệ thức: AM.DN = AC.DM Nếu ON = NM Chứng minh MOB là tam giác C M Giaûi: 1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối) N 2/C/m CM và MD là phân giác góc và góc ngoài goùc AMB: A B - Do AB CD taïi trung ñieåm O cuûa AB vaø CD O Suy AD DB CB AC 90 = 450 sñ AMD = sñ AD = 450. AMD DMB 450 sñ DMB = sñ DB 0 Tương tự CAM 45 EMC CMA 45 Vậy CM và MD là phân giác góc và góc ngoài góc AMB 3/C/m: AM.DN = AC.DM Xeùt hai tam giaùc ACM vaø NMD coù CMA NMD 45 (cmt) Vaø CAM NDM (cuøng chaén CM ) AMC ∽ DMN ñpcm D Hình 09 (59) 4/Khi ON = NM ta c/m MOB là tam giác Do MN = ON NMO vuông cân N NMO NOM Ta laïi coù: NMO OMB 1v vaø NOM MOB 1v OMB MOB Mà OMB OBM OMB MOB OBM MOB là tam giác Baøi 10: Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự là hình chiếu A và B lên đường thẳng d C/m: CD = CE Cmr: AD + BE = AB Vẽ đường cao CH ABC.Chứng minh AH = AD và BH = BE Chứng tỏ: CH2 = AD.BE d D Chứng minh:DH//CB Giaûi C 1/C/m: CD = CE: E Do ADd;OCd;BEdAD//OC//BE A B H O Mà OH = OB OC là đường trung bình hình thang ABED CD = CE 2/C/m AD + BE = AB Hình 10 Theo tính chất đường trung bình hình thang ta có: BE AD OC = BE + AD = 2.OC = AB 3/C/m BH = BE Ta coù: sđ BCE = sđ CB (góc tt và dây) sđ CAB = sđ CB (góc nội tiếp) ECB CAB ; ACB cuông C HCB HCA HCB BCE HCB = ECB (hai tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn vaø goùc nhoïn baèng nhau) HB = BE - C/m tương tự có AH = AD 4/C/m: CH2 = AD.BE ACB có C = 1v và CH là đường cao CH2 = AH.HB Mà AH = AD; BH = BE CH2 = AD.BE 5/C/m DH//CB Do ADCH noäi tieáp CDH CAH (cuøng chaén cung CH) maø CAH ECB (cmt) CDH ECB DH // CB Baøi 11: Cho ABC coù: A = 1v D là điểm nằm trên cạnh AB Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD; AE cắt đường tròn các điểm thứ hai F và G 1/ C/m CAFB noäi tieáp 2/ C/m AB.ED = AC.EB 3/ Chứng tỏ AC // FG 4/ Chứng minh AC;DE;BF đồng quy Hướng dẫn: (HS tự vẽ hình) 1/C/m CAFB nội tiếp (Sử dụng Hai điểm A; Fcùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC) 2/C/m ABC và EBD đồng dạng (60) 3/C/m AC // FG: Do ADEC noäi tieáp ACD AED (cuøng chaén cung AD) Maø DFG DEG (cuøng chaén cung GD) ACF CFG AC // FG 4/C/m AC; ED; FB đồng quy: AC vaø FB keùo daøi caét taïi K.Ta phaûi c/m K; D; E thaúng haøng BA CK và CF KB; AB CF = D D là trực tâm KBC KD CB Mà DE CB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Qua điểm D có hai đường thẳng cùng vuông góc với BC Ba điểm K; D; E thẳng hàng đpcm Bài 12: Cho (O; R) và đường thẳng d cố định không cắt (O) M là điểm di động trên d Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn Hạ OH d H và dây cung PQ cắt OH I; caét OM taïi K C/m: MHIK noäi tieáp 2/C/m OJ.OH = OK.OM = R2 CMr M di động trên d thì vị trí I luôn cố định Giaûi: P d 1/C/m MHIK nội tiếp (Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m: OJ.OH = OK.OM = R2 - Xeùt hai tam giaùc OIM vaø OHK coù O chung O K I IMK Do HIKM noäi tieáp IHK (cuøng chaén cung M OH OK IK) OHK∽OMI OM OI H Hình 12 Q OH.OI = OK.OM OPM vuông P có đường cao PK Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vuông có: OP2 = OK.OM Từ uvà vđpcm R2 4/Theo cm câu ta có OI = OH mà R là bán kính nên không đổi.d cố định nên OH không đổi OI không đổi.Mà O cố định I cố định Bài 13: Cho c.ABC (AB = AC) , I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp A , O là trung điểm IK a) Chứng minh bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc đường tròn tâm O b) Chứng minh AC là tiếp tuyến đường tròn (O) c) Tính bán kính đường tròn (O) , biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm HD: a) KBI KCI 180 (Tính chất phân giác) BICK nội tiếp (O) b) C1 OCI C I1 90 OC AC AC là tiếp tuyến (O) 2 2 c) AH AC HC 20 12 16 (cm) CH 122 9 AH 16 (cm) K C H O 1 I A 2 2 Vậy: OC = OH HC 12 225 15 (cm) B OH Bài 14: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự H và K a) Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp Hình 13 (61) b) Tính góc CHK c) Chứng minh KC.KD = KH.KB d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm H chuyển động trên đường nào? A B HD: a) BHD BCD 90 BHCD nội tiếp H E 0 b) DHC DBC 45 CHK 45 c) KCH ∽ KDC (g.g) KC.KD = KH.KB D K C Hình 14 d) BHD 90 Khi E chuyển động trên đoạn BC thì H chuyển động trên BC Bài 15: Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn điểm P Chứng minh rằng: a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) Tích CM.CN không phụ thuộc vị trí điểm M d) * Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định HD: a) OMP ONP 90 ONMP nội tiếp b) OC // MP (cùng vuông góc với AB) , MP = OD = OC Suy ra: CMPO là hình bình hành c) COM ∽ CND (g.g) Suy ra: CM CO CD CN CM.CN = CO.CD = Const d) ONP = ODP (c.g.c) ODP 90 C Hình 15 M A O B 1 N Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định E P D F Vì M [AB] nên P [EF] Bài 16: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax và By E và F a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q Tứ giác MPOQ là hình gì? sao? c) Kẻ MH AB (H AB) Gọi K ≡ MH ∩ EB So sánh MK với KH Hình 16 x HD: a) EOA OME 180 AEMO nội tiếp b) MPOQ là hình chữ nhật vì có ba góc vuông M EM EF EM EF c) EMK ∽ EFB: MK BF MF = BF MK MF EA AB EF AB Mặt khác: ABE ∽ HBK: HK HB Vì: MF HB (Talet) EM EA MK KH Vì: EM = AE MK = KH E Q K P A H B O Bài 17: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Điểm I nằm A và O cho AI AO Kẻ dây MN AB I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không M trùng với M, N và B Nối AC cắt MN E a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp b) Chứng minh AME ∽ ACM và AM2 = AE.AC c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2 y F O' C E A I HD: a) Dễ thấy BIE ECB 180 IECB nội tiếp N O B Hình 17 (62) b) Ta có AM AN AME ABM AME ∽ ACM (g.g) AM2 = AE.AC (1) c) Ta có: MI2 = AI.IB (2) Theo (1) và (2) và ĐL Pitago: AI2 = AM2 − MI2 = AE.AC − AI.IB Bài 18: Cho ABC có các góc nhọn, A 45 Vẽ các đường cao BD và CE ABC Gọi H là giao điểm cảu BD và CE a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp B b) Chứng minh HD = DC E c) Tính tỉ số DE : BC H d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC CM: OA DE x O HD: a) Ta có: AEH ADH 180 đpcm A D 0 b) v.AEC có A 45 ACD 45 DCH vuông cân Hình 18 D HD = HC c) ADE C DE AE AE ABC (g.g) BC AC AE d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) , ta có BAx BCA AED mà BCA AED (cùng bù với DEB ) BAx DE // Ax OA DE Bài 19: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC Chứng minh: a) Tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì BMD BCD không đổi c) DB.DC = DN.AC D HD: a) CBMD nội tiếp đường tròn đường kính CD b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD luôn là M BMD BCD 180 tứ giác nội tiếp A c) Ta có: ANB 90 (gt) N (O) O BDN BAN BN Mặt khác: (Cùng chắn ) C N B Hình 19 BAN ACD (So le trong) BDN ACD Suy ra: Lại có: DAC DAN DBN (Cùng chắn DN ) Vậy: ΔACD ΔBDN (g.g) đpcm Bài 20: Cho ABC vuông A (AB > AC) , đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp A c) Chứng minh AE.AB = AF.AC Hình 20 d) * Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn E HD: a) AEHF có ba góc vuông AEHF là hình chữ nhật b) B E1 F1 BEFC nội tiếp c) AEF ACB (g.g) AE.AB = AF.AC d) E1 E H1 H 90 EF là tiếp tuyến (O1) Tương tự: EF là tiếp tuyến (O2) B O1 F H O2 C (63) Bài 21 Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D là điểm chính cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C và D với đường tròn (O) cắt E Gọi P, Q là giao điểm các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE a) Chứng minh BC // DE A b) Chứng minh các tứ giác CODE và APQC nội tiếp c) Tứ giác BCQP là hình gì? O HD: a) BC và DE cùng vuông góc với OD BC // DE b) ODE OCE 180 CODE nội tiếp B Ta có: PAQ PCQ (Do BD CD ) APQC nội tiếp C c) BCQP là hình thang Vì: Ta có: QPC CAQ (Cùng chắn cung QC (APQC) E D P Hình 21 Q Lại có: QAC QAP và QAP BCP (cùng chắn BD ) BC // PQ Bài 22 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B Các tiếp tuyến A các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự C và D gọi P và Q là trung điểm các dây AC và AD Chứng minh: a) ΔABD ∽ ΔCBA A b) BQD APB c) Tứ giác APBQ nội tiếp O 'B HD: a) Ta có: DAB ACB (Cùng chắn An ) ADB BAC AnB Lại có: Suy ra: ΔABD ∽ ΔCBA (Cùng chắn ) n' n Q P O' B D C Hình 22 AD BD DQ b) ΔABD ∽ ΔCBA CA BA AP (Do P, Q là trung điểm AC, AD) Và: BDQ BAP Suy ra: ΔBQD ∽ ΔAPB BQD APB c) Do BQD APB suy ra: APBQ nội tiếp Bài 23: Cho ABC vuông A và điểm D nằm A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn cá điểm thứ hai F, G Chứng minh: S a) ABC ∽ EBD b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp F A D c) AC // FG d) * Các đường thẳng AC, DE, BF đồng qui HD: a) ABC ∽ EBD (Hai tam giác vuông có B1 chung) b) Học sinh tự chứng minh 1 G E B C Hình 23 c) C1 F1 ( E1 ) AC // FG d) Gọi S ≡ BF ∩ CA BSC có D là trực tâm S, D, E thẳng hàng BF, CA, ED đồng qui S Bài 24: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10cm, CB = 40cm Vẽ phía AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm EA, EB với các nửa đường tròn (I) , (K) E a) Chứng minh EC = MN Hình 24 N b) CmR: MN là tiếp tuyến chung các nửa đường tròn (I) , (K) S M c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn HD: a) Chứng minh CMEN là hình chữ nhật EC = MN A I C K B 2 (64) b) Gọi S ≡ MN ∩ EC: M1 M C1 C 90 MN MI Tương tự: N1 N C3 C 90 MN NK MN là tiếp tuyến chung hai đường tròn AC.BC 10.40 20(cm) c) MN = EC = 1πAB S 2 πAC πBC d) 100π(cm ) Bài 25: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì (H ≠ O, B) Trên đường thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M ngoài đường tròn MA, MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) C và D Gọi I là giao điểm AD và BC M a) Chứng minh tứ giác MCID nội tiếp b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui I K C c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh D KCOH nội tiếp I HD: a) MCI MDI 90 MCID nội tiếp b) Chứng minh I là trực tâm MAB suy đường cao MH qua I c) Xét hai tam giác cân OCA và KCM, chứng minh: A O H B Hình 25 C 900 C C 900 C , từ đó suy KCOH nội tiếp Bài 26: Cho ABC vuông A Dựng miền ngoài tam giác các hình vuông ABHK và ACDE a) Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC F, chứng minh FBC vuông cân c) Cho biết ABC 45 Gọi M là giao điểm BP và ED, chứng minh năm điểm B, K, E, M, C cùng thuộc đường tròn d) Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn (ABC) HD: a) Từ gt chứng minh: HAB DAC 45 chứng Minh: HAB BAC DAC 180 H, A, D thẳng hàng FBC 450 , BFC 900 b) Chứng minh BFC vuông cân Suy M K A D F H B E C c) Chứng minh BKC BEC BMC 45 , từ đó suy B, K, E, M, C cùng thuộc đường tròn Chú ý đến FMDC là tứ giác nội tiếp d) Chứng minh FCM vuông cân, FCM 45 Từ đó ta có: MCF FCB 900 hay: MC BC MC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ABC Hình 26 (65) TRƯỜNG THCS SỐ BÌNH NGUYÊN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ SỐ 3 x x 3 x x x x A x x x x x Bµi 1: Cho biÓu thøc: a) Tìm điều kiện biến x để biểu thức A đợc xác định b) Rót gän biÓu thøc A x y Bài 2: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) hàm số 2; và có hệ số góc k Xác định k để đờng thẳng d b) Gọi d là đờng thẳng qua điểm tiếp xúc với đồ thị (P) Tìm toạ độ tiếp điểm c) Xác định k để đờng thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ dơng Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 4 x Bài 4: Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số nó thì đợc số lớn số đã cho là 63 Tổng số đã cho và số tạo thành 99 Tìm số đã cho Bµi 5: (3,0 ®iÓm) Từ điểm A ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN đờng tròn đó Gọi I là trung điểm dây MN a) Chứng minh: Năm điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên đờng tròn b) Cho P lµ mét ®iÓm tuú ý trªn cung nhá BC Tõ P dùng c¸c ®o¹n PD, PE, PF theo thø tù vu«ng gãc lÇn lît víi c¸c c¹nh BC, CA, AB Chøng minh: PD PE PF §¸p ¸n Bµi 1: a) §iÒu kiÖn: b) x 0, x x 3 x x 3 x x x 1 x x 1 x 0, x 0 x vµ x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 3 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 x x 1 x 1 x x x x 1 x1 x 1 x x x x x x x x x x 1 3 x x 3 x x x x A x x x x x Suy ra: 4 x1 x Bài 2: a) + Tập xác định hàm số: R y ax a , + Sù biÕn thiªn: Hµm sè cã d¹ng x x1 x x x 1 (66) nên hàm số đồng biến trên R , nghịch biến trên R và x 0 + B¶ng gi¸ trÞ: x 1 -2 2 1 x 2 đối xứng -2 Oy + §å thÞ hµm số-2là đờng2 parabol có0đỉnh O, trục y b) + Phơng trình đờng thẳng d có hệ số góc k: y ax b và qua điểm 2a b b 1 2a Do đó: phơng trình d là: y ax 2a + Phơng trình cho hoành độ giao điểm d và (P): 2; 1 nªn: x ax 2a x 2ax 4a 0 (*) + §Ó d tiÕp xóc víi (P) th× ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp: ' a 4a 0 a +Với a : hoành độ tiếp điểm là: x a 2 y 2 6; 5 Do đó tiếp điểm là: + Với a : hoành độ tiếp điểm là: x a 2 y 2 6; 5 Do đó tiếp điểm là: c) + Để d cắt (C) hai điểm phân biệt có hoành độ dơng thì: a 2 ' a 4a P 4a S 2a hay a a0 a a 2 Bài 3: + Điều kiện xác định phơng trình: x 0 x x 4 x x x 0 ; §Æt X x , víi ®iÒu kiÖn X 0 X 5X 0 X1 1; X 6 Phơng trình đã cho trở thành: §èi chiÕu ®iÒu kiÖn, ta cã: X x 6 x 36 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: x = 36 * Bài 4: Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y: x, y N ; x, y 9 Số đã cho là 10x + y, và số đã đổi chỗ hai chữ số là 10y + x Theo 10 y x 63 10 x y 10 x y 10 y x 99 x y 63 11x 11 y 99 Giải hệ này ta đợc nghiệm là: x 1; y 8 Vậy số đã cho là: 18 Bµi 5: a)+ H×nh vÏ + Ta cã: I lµ trung ®iÓm cña d©y cung MN, nên đờng kính qua O và I vuông góc với MN ®Çu bµi ta cã hÖ (67) + OBA OCA OIA 1v , nªn B, C, I, O, A trên đờng tròn đờng kính OA b) + Các tứ giác PDBF và PDCE nội tiếp đợc, vì có hai góc đối diện là góc vuông + XÐt hai tam gi¸c PDE vµ PFD, ta cã: DPE BCA 2v; DPF CBA 2v DPF Mµ BCA CBA (gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BC ) Suy ra: DPE + DEP DCP (gãc néi tiÕp ch¾n cung DP ); DCP FBP FDP (cïng ch¾n cung BP ); FPB (cïng ch¾n cung FP ); PD PE PD PE PF DEP PDF PF PD + Suy ra: PDE ∽ PFD (68) TRƯỜNG THCS SỐ BÌNH NGUYÊN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ SỐ Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức : A = x √ x2 +1 − x − y √ x + 1− x lµ mét sè tù nhiªn z zx z BiÕt x.y.z = 4, tÝnh yz y P b Cho biÓu thøc: P = xy x C©u 2: Cho c¸c ®iÓm A(—2; 0) ; B(0; 4) ; C(1; 1) ; D(—3; 2) a) Chøng minh ®iÓm A, B ,D th¼ng hµng; ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng b) TÝnh SABC C©u3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x −1 − √3 − x=5 Câu Cho đờng tròn (O; R) và điểm A cho OA = R √ Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đờng trßn Mét gãc xOy 45 c¾t ®o¹n th¼ng AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E CMR: a DE là tiếp tuyến đờng tròn ( O ) HD: C©u 1: a A = R<DE< R x 1 x x 1 x b 2 ( x x).( x x) x x ( x x) 2x k (trong đó k Z và k ) A lµ sè tù nhiªn —2x lµ sè tù nhiªn xyz 2 b Điều kiện xác định: x, y, z 0, kết hợp với x.y.z = ta đợc x, y, z > và Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña h¹ng tö thø víi x ; thay ë mÉu cña h¹ng tö thø bëi ⇔ x ⇔ x xy 2 z 1 ⇒ xy x xy x z( x xy xy x P 1 v× P > C©u 2: a §êng th¼ng ®i qua ®iÓm A vµ B cã d¹ng y = ax + b Điểm A(—2; 0) và B(0; 4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = Vậy đờng thẳng AB là y = 2x + Điểm C(1; 1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đờng thẳng AB ⇒ A, B, C kh«ng th¼ng hµng Điểm D(—3; 2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đờng thẳng AB ⇒ A, B, D th¼ng hµng b Ta cã: AB2 = (—2 —0)2 + (0 — 4)2 = 20 ; AC2 = (—2 —1)2 + (0 —1)2 = 10 BC2 = (0 — 1)2 + (4 — 1)2 = 10 ⇒ AB2 = AC2 + BC2 ⇒ ABC vu«ng t¹i C 1 Vậy SABC = AC.BC = √10 √10=5 ( đơn vị diện tích ) P x xy √ xyz ta đợc: B D A u v 5 u v3 1 x u; x v C©u 3: §KX§ x 1, đặt ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: Giải hệ phơng trình phơng pháp ta đợc: v = ⇒ x = 10 Câu 4a áp dụng định lí Pitago tính đợc AB = AC = R ⇒ ABOC là hình vuông KÎ b¸n kÝnh OM cho BOD MOD MOE EOC Chøng minh BOD = MOD OMD OBD 90 T¬ng tù: OME = 900 ⇒ D, M, E thẳng hàng Do đó DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) b XÐt ADE cã DE < AD +AE mµ DE = DB + EC ⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC 2 Cộng vế ta đợc: 3DE > 2R ⇒ DE > R VËy R > DE > R 3 M E O C (69) TRƯỜNG THCS SỐ BÌNH NGUYÊN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ SỐ Bµi 1: Cho biÓu thøc: P = ( x − √ x +1 ) :( ) ( xx√−x√−1x − xx√+x+1 ) x−1 √x a Rót gän P b Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: x2 — ( 2m + 1)x + m2 + m — 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn |x − x | 3 =50 Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x1, x2 Chøng minh: a Ph¬ng tr×nh ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t1 vµ t2 b Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H là trực tâm tam giác D lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A a Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành b Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng điểm D qua các đờng thẳng AB và AC Chøng minh r»ng ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng c Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Bµi 5: Cho hai sè d¬ng x; y tho¶ m·n: x + y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = 501 + x + y xy §¸p ¸n Bµi 1: (2 ®iÓm) §K: x ; x ≠ a Rót gän: P = b P = x x 1 x : x x 1 x √ x −1 ¿2 P= ¿ ¿ √ x −1 ¿ √ x+1 =1+ √x − √x− §Ó P nguyªn th×: x 1 x 2 x 4; x x 0 x 0 x 2 x 3 x 9; x x (Loai) VËy víi x = {0; 4; 9} th× P cã gi¸ trÞ nguyªn Bµi 2: §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×: 25 2m 1 m m 0 (m 2)(m 3) m x1x m m x x 2m m b Gi¶i ph¬ng tr×nh: m 2 (m 3)3 50 (70) 1 m1 5(3m 3m 7) 50 m m 0 m 2 Bµi 3: a V× x1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = nªn ax1 bx1 c 0 1 b a 0 x x1 V× x1> => c 1 Chøng tá x1 lµ mét nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh: ct2 + bt + a = 0; t1 = x1 V× x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = ax bx c 0 b a 0 x x2 v× x2 > nªn c ®iÒu nµy chøng tá x2 lµ mét nghiÖm d¬ng cña ph- ¬ng tr×nh ct2 + bt + a = ; t2 = x VËy nÕu ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiÑm d¬ng ph©n biÖt x1; x2 th× ph¬ng tr×nh: x1 ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t1 ; t2 t1 = ; t2 = x2 b Do x1; x1; t1; t2 là nghiệm dơng nên x1 t1+ x1 = + x1 t2 + x2 = x + x2 2 Do đó x1 + x2 + t1 + t2 Bài a Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC cho tứ giác BHCD là hình bình hành Khi đó: BD // HC; CD // HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên A CH AB vµ BH AC BD AB vµ CD AC Q Do đó: ABD 90 và ACD 90 Vậy AD là đờng kính đờng tròn tâm O Ngợc lại D là đầu đờng kính AD đờng tròn tâm O thì tứ giác BHCD lµ h×nh b×nh hµnh H P B ADB b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB ; ADB ACB ; ADB ACB.D Do đó: APB ACB 0 MÆt kh¸c: AHB ACB 180 APB AHB 180 PHB Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB DAB DAB Mµ PAB đó: PHB O C (71) Chøng minh t¬ng tù ta cã: CHQ DAC VËy PHQ PHB BHC CHQ BAC BHC 180 Ba ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng c) Ta thấy Δ APQ là tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD và PAQ 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn AP và AQ lµ lín nhÊt hay AD lµ lín nhÊt D là đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O (72) LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phút TRƯỜNG THCS SỐ BÌNH NGUYÊN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ SỐ x y )(1 P ( x y) y x y) x 1 xy x 1 1 y Bµi 1: Cho biÓu thøc: a) Tìm điều kiện x và y để P xác định Rút gọn P b) T×m x,y nguyªn tháa m·n ph¬ng tr×nh P = Bài 2: Cho parabol (P): y = —x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(—1 ; —2) a) CMR víi mäi gi¸ trÞ cña m (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt b) Xác định m để A, B nằm hai phía trục tung Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x + y + z=9 1 + + =1 x y z xy + yz+zx =27 ¿{{ ¿ Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là điểm thuộc đờng tròn (C ≠ A; C ≠ B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC Tia BC c¾t Ax t¹i Q, tia AM c¾t BC t¹i N a) Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN vµ MCN c©n b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R 1 1 + + = Bµi 5: Cho x, y, z R tháa m·n: x y z x+ y+z H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = + (x8 — y8)(y9 + z9)(z10 — x10) §¸p ¸n Bài 1: a) Điều kiện để P xác định là: x 0; y 0; y 1; x y P x(1 y ) xy x y 1 x 1 y (x y) x x y y xy x y x y 1 x 1 y x y x y x xy y xy x x 1 y x 1 y x x y 1 x 1 y 1 x 1 y x 1 y 1 y y 1 y x y y y x 1 y 1 y x xy y a) Rót gän: VËy P = x x 1 y x xy x xy b) P = ⇔ x ) y(1 y x y y=2 y 1 x 1 y 1 Ta cã: + y 1 x 1 x 4 x = 0; 1; 2; ; Thay vµo ta cãc¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và qua điểm M(—1 ; —2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) lµ: y = mx + m — Hoành độ giao điểm (d) và (P) là nghiệm phơng trình: — x2 = mx + m — ⇔ x2 + mx + m — = (*) (73) m 4m m m V× ph¬ng tr×nh (*) cã nªn ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiệm phân biệt , đó (d) và (P) luôn cắt hai điểm phân biệt A và B b) A vµ B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung ⇔ ph¬ng tr×nh: x2 + mx + m —2 = cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ m —2 < ⇔ m < x y z 9 (1) 1 1 (2) 1 x y z xy yz xz 27 (3) Bµi 3: §KX§: x 0, y 0, z x y z 81 x y z2 xy yz zx 81 x y z 81 xy yz zx x y z 27 x y z xy yz zx 2(x y z ) xy yz Q zx (x y)2 (y z)2 (z x) (x y)2 0 (y z)2 0 (z x) 0 x y y z z x N x y z C M Thay vµo (1) => x = y = z = Ta thÊy x = y = z = thâa m·n hÖ ph¬ng tr×nh VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = y = z = Bµi 4: a) XÐt hai tam gi¸c: ABM vµ NBM A B O Ta có: AB là đờng kính đờng tròn (O) nên: AMB NMB 90 M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC nªn ABM MBN BAM BNM Suy ABM cân đỉnh B MÆt kh¸c ta cã: Tø gi¸c AMCB néi tiÕp BAM MCN (cïng bï víi MCB ); MCN MNC (cïng b»ng BAM ) Suy tam giác MCN cân đỉnh M b) XÐt hai tam gi¸c MCB vµ MNQ cã: MC = MN (theo cmt MNC c©n); MB = MQ (theo gt) BMC MNQ (v×: MCB MNC ; MBC MQN ) => MCB MNQ (c.g.c) BC = NQ XÐt tam gi¸c vu«ng ABQ cã AC BQ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 1)R 1 1 Bµi 5:Tõ: x y z x y z 1 1 + + − =0 x y z x+ y +z x+ y x+ y+z− z + =0 z ( x+ y+ z ) xy zx zy z xy x y x y y z (z x) z y xy z x y z 0 xyz(x y z) Ta cã: x8 — y8 = (x + y)(x — y)(x2 + y2)(x4 + y4) = y9 + z9 = (y + z)(y8 — y7z + y6z2 — + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 — z3x + z2x2 — zx3 + x4)(z5 — x5) VËy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 (74) TRƯỜNG THCS SỐ BÌNH NGUYÊN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ SỐ Bµi 1: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x4 — 11 x3 + 19x2 — 11 x + = 2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = √ x + √ y Bµi 3: 1) T×m c¸c sè nguyªn a, b, c cho ®a thøc: (x + a)(x — 4) — Phân tích thành thừa số đợc: (x + b).(x + c) 2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt là các điểm cố định trên tia Ax, Ay cho AB < MA AC, điểm M di động góc xAy cho MB = Xác định vị trí điểm M để MB + 2MC đạt giá trị nhỏ Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I trên ®oan CD a) T×m ®iÓm M trªn tia AD, ®iÓm N trªn tia AC cho I lµ trung ®iÓm cña MN b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định Híng dÉn Bài 1: 1) Chọn C Trả lời đúng 2) Chän D KÕt qu¶ kh¸c: §¸p sè lµ: Bµi 2: 1) A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 — n2 + (n4 + n2 + 1) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 — n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 VËy A chia hÕt cho sè chÝnh ph¬ng kh¸c víi mäi sè nguyªn d¬ng n 2) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt XÐt A2 = ( √ x + √ y )2 = x + y + √ xy = + √ xy (1) x+ y √ xy (Bất đẳng thức Cô si) > √ xy Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + √ xy < + = 1 Max A2 = x = y = , Amax = √ x = y = 2 Ta cã: Bµi 1) Víi mäi x ta cã (x + a)(x — 4) — = (x + b)(x + c) Nªn víi x = th× — = (4 + b)(4 + c) 4 c b 7 b Cã trêng hîp: vµ 4 c Trêng hîp thø nhÊt cho b = — 3, c = — 11, a = — 10 Ta cã (x — 10)(x — 4) — = (x — 3)(x — 11) Trêng hîp thø hai cho b = 3, c = — 5, a = Ta cã (x + 2)(x — 4) — = (x + 3)(x — 5) 2) Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AB cho: AD = (2) x B D A M AB MA AD AB MA Ta có D là điểm cố định Mà (gt) đó XÐt hai tam gi¸c: AMB vµ ADM cã: MA AD MAB (chung); AB MA MB MA 2 Do đó AMB ∽ ADM MD AD MD = 2MA Xét ba điểm M, D, C: MD + MC > DC (không đổi) Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC DÊu "=" x¶y <=> M thuéc ®o¹n th¼ng DC Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña MB + MC lµ DC C (75) * C¸ch dùng ®iÓm M - Dựng đờng tròn tâm A bán kính AB AB M là giao điểm DC và đờng tròn (A; - Dùng D trªn tia Ax cho AD = N AB) Bµi 4: a) Dùng (I, IA) c¾t AD t¹i M c¾t tia AC t¹i N Do MAN 90 nên MN là đờng kính VËy I lµ trung ®iÓm cña MN b) KÎ MK // AC ta cã: INC = IMK (g.c.g) A CN = MK = MD (v× MKD vu«ng c©n) VËy AM + AN = AM + CN + CA = AM + MD + CA AM = AN = AD + AC không đổi c) Ta cã IA = IB = IM = IN Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN qua hai điểm A, B cố định C I K O M D B (76) LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phút TRƯỜNG THCS SỐ BÌNH NGUYÊN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ SỐ 2 Bài Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời: x 2y y 2z z 2x 0 2007 2007 2007 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x y z 2 Bµi 2) Cho biÓu thøc: M x 5x y xy 4y 2014 Với giá trị nào x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó x y x y 18 x x 1 y y 1 72 Bµi Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M trên đờng trßn (O) c¾t c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B lÇn lît t¹i C vµ D a Chøng minh: AC BD = R2 b Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ a b a b 2a b 2b a Bµi Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng: Bµi Cho tam gi¸c ABC cã ph©n gi¸c AD Chøng minh: AD2 = AB AC — BD DC Híng dÉn gi¶i x y 0 y z 0 z x 0 Bµi Tõ gi¶ thiÕt ta cã: Cộng vế các đẳng thức ta có: x 2x 1 y 2y 1 z 2z 0 x 0 y 0 2 z 0 x 1 y 1 z 1 0 x y z 1 A x 2007 y 2007 z 2007 1 2007 1 2007 1 2007 VËy: A = —3 Bµi Ta cã: M x 4x y 2y xy x 2y 2007 M x y 1 x y 1 2007 M x y 1 y 1 2007 x y 1 0 y 1 0 x, y Do vµ M 2007 M 2007 x 2; y 1 u x x 1 v y y 1 Bµi §Æt: u v 18 Ta cã : uv 72 Suy ra: u; v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X 18X 72 0 X1 12; X 6 (77) x x 1 12 y y 1 6 ; u 12 u 6 v 6 ; v 12 x x 1 6 y y 1 12 Giải hai hệ trên ta đợc: Nghiệm hệ là: (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị Bµi a Ta cã CA = CM; DB = DM C¸c tia OC vµ OD lµ ph©n gi¸c cña hai gãc AOM vµ MOB nªn OC OD Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên: MO2 = CM MD R2 = AC BD d b C¸c tø gi¸c ACMO; BDMO néi tiÕp m MDO MBO MCO MAO; c COD ∽ AMB g.g Chu viCOD OM Chu vi AMB MH1 (MH AB) Do đó : OM 1 MH Do MH OM nªn a h b o Chu vi COD chu vi AMB DÊu = x¶y MH1 = OM M O M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB 2 1 1 a 0; b 0 2 2 a, b > Bµi (1,5 ®iÓm) Ta cã : 1 1 a a 0; b b 0 (a a ) (b b ) 0 4 4 a, b > a b a b 0 MÆt kh¸c a b 2 ab Nh©n tõng vÕ ta cã: a b a b a b a b 2a 1 2 ab a b b 2b a Bài Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC Gäi E lµ giao ®iÓm cña AD vµ (O) Ta cã: ABD ∽ CED (g.g) a BD AD AB.ED BD.CD ED CD AD AE AD BD.CD AD AD.AE BD.CD L¹i cã : ABD ∽ AEC g.g AB AD AB.AC AE.AD AD2 AB.AC BD.CD AE AC e c b d (78) LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phút TRƯỜNG THCS SỐ BÌNH NGUYÊN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ SỐ C©u 1: Cho hµm sè f(x) = √ x2 − x+ a) TÝnh f(—1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rót gän A = f (x) x −4 x ±2 ¿ x ( y −2)=(x +2)( y −4 ) C©u 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : ( x − 3)(2 y +7)=(2 x −7)( y+3) ¿{ ¿ C©u 3: Cho biÓu thøc A = ( x √ x+1 x −1 − : x −1 √ x −1 )( x √x+ √ √ x −1 ) víi x > vµ x a) Rót gän A b) Tìm giá trị x để A = Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC a) Chøng minh r»ng PC c¾t AH t¹i trung ®iÓm E cña AH b) Gi¶ sö PO = d TÝnh AH theo R vµ d Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m — 1)x + m — = Không giải phơng trình, tìm m để phơng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m·n: 3x1 — 4x2 = 11 Gi¶i: x−2¿ ¿ C©u 1: a) f(x) = ¿ √ x − x+ 4=√ ¿ x 10 f (x) 10 x 10 A c) Suy f(-1) = 3; f(5) = x 12 x x f (x) x (x 2)(x 2) A + Víi x > suy x — > suy x 2 A + Víi x < suy x — < suy x 2 x( y 2) ( x 2)( y 4) xy x xy y x C©u 2: ( x 3)(2 y 7) (2 x 7)( y 3) 2 xy y x 21 2 xy y x 21 x y x -2 x y 0 y 2 C©u a) Ta cã: A = ( xx√−1x+1 − √xx−1−1 ) :( √ x + √ x√−1x ) = b) (79) ( ( √ x+ 1)(x − √ x+1) x − − : (√ x −1)( √ x+ 1) √ x−1 = ( x − √ x +1 x −1 x − x+ x − : x −1 √ x −1 √ x −1 = x − √ x+ 1− x +1 x = : √ x−1 √ x −1 = x ( x − 1) x + √ x−1 √ x −1 () √ √ √ ) ( √√ √ ) = b) A = − √x x − √ x +2 x : √ x − √ x −1 = 3x + √ x ) = = − √ x +2 √ x − = ⋅ x √ x−1 − √x x P -2=0 x = C©u 4: a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC) A EH CH ; (1) = PB CB nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có MÆt kh¸c, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB) E B AH CH POB ACB = (hai góc đồng vị) AHC ∽ POB Do đó: PB OB O C H (2) Do CB = 2OB, kÕt hîp (1) vµ (2) ta suy AH = 2EH hay E lµ trung ®iÓm cña AH b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH AH.CB AH.CB AH 2R 2PB 2PB Theo (1) vµ AH = 2EH; Ta cã ⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 ⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB 4R.CB.PB 4R.2R.PB 8R d R 2.R d R AH 4.PB CB2 4PB2 (2R)2 4(d2 R2 ) 4R2 d2 C©u 5: §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 th× > (2m — 1)2 — (m — 1) > Từ đó suy m 1,5 Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có: (1) 2m x1 x ¿ 13-4m m x1= x1 x 7m−7 x1 = 3x1 4x 11 26-8m 13-4m 7m− −4 =11 26-8m ¿{{ ¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh 13-4m 7m− −4 =11 26-8m ta đợc m = — và m = 4,125 (2) §èi chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = — m = 4,125 thì ph ơng trình đã cho có hai nghiÖm ph©n biÖt tháa m·n: x1 + x2 = 11 TRƯỜNG THCS SỐ BÌNH NGUYÊN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phút (80) ĐỀ SỐ x2 x 1 x 1 Cho P = x x + x x — x C©u 1: a/ Rót gän P b/ Chøng minh: P < víi x vµ x 1 C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh : x2 — 2(m — 1)x + m2 — = (1); m lµ tham sè a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm này ba lần nghiệm C©u 3: a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + x2 = b/ Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc thâa m·n: a 0; b 0; a + 2b — 4c +2 = vµ 2a —b + 7c — 11 = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña Q = 6a + 7b + 2006c Câu 4: Cho ABC cân A với AB > BC Điểm D di động trên cạnh AB, (D không trùng với A, B) Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến (O) C và D cắt K a/ Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiÕp b/ Tø gi¸c ABCK lµ h×nh g×? V× sao? c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK là hình bình hành §¸p ¸n C©u 1: a) §iÒu kiÖn: x vµ x 1 (0,25 ®iÓm) x 1 x 2 x 1 P = x x + x x — ( x 1)( x 1) x ( x 1)( x 1) (x x 1) ( x 1)(x x 1) = x 2 x 1 = ( x ) + x x 1 — x x = ( x 1)(x x 1) = x x1 x x 1 x 1 b/ Víi x vµ x 1 Ta cã: P < x x < x < x + x + 1; (v× x + x + > 0) x-2 x +1>0 ( x - 1)2 > (§óng v× x vµ x 1) C©u 2: a/ Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ chØ ’ (m - 1)2 — m2 — — 2m m b/ Víi m th× (1) cã nghiÖm Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a th× nghiÖm lµ 3a Theo Vi-Ðt, Ta cã: a 3a 2m m 1 m a.3a m a = = m2 — m2 + 6m — 15 = m = — 2 (thâa m·n ®iÒu kiÖn) C©u 3: x §iÒu kiÖn x ; — x2 > x ; < §Æt y = x2 > Ta cã: 2 x y 2 (1) 1 x y 2 (2) Tõ (2) cã: x + y = 2xy Thay vµo (1) cã: xy = hoÆc xy = — * Nếu xy = thì x+ y = Khi đó x, y là nghiệm phơng trình: X2 — 2X + = X = x = y = (81) * Nếu xy = — thì x+ y = —1 Khi đó x, y là nghiệm phơng trình: 1 X2 + X — = X = A K 1 1 x= 2 V× y > nªn: y = 1 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = ; x2 = C©u 4: c/ Theo c©u b, tø gi¸c ABCK lµ h×nh thang Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành AB // CK BAC ACK 1 ACK s® EC = s® BD Mµ = DCB BCD BAC D O B Nªn Dùng tia Cy cho BCy BAC Khi đó, D là giao điểm AB vµ Cy Víi gi¶ thiÕt AB > BC th× BCA > BAC > BDC D AB Vậy điểm D xác định nh trên là điểm cần tìm C (82) TRƯỜNG THCS SỐ BÌNH NGUYÊN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ SỐ x 4( x 1) x 4( x 1) x x 4( x 1) Bµi 1: Cho biÓu thøc A = a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rót gän A Bài : Trên cùng mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; 4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân M Bài : Tìm tất các số tự nhiên m để pt ẩn x sau: x2 m2x + m + = có nghiệm nguyên Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A và D đồng thời tiÕp xóc víi BC t¹i D §êng trßn nµy c¾t AB vµ AC lÇn lît t¹i E vµ F Chøng minh: a) EF // BC b) Các tam giác AED và ADC; AFD và ABD là các tam giác đồng dạng c) AE.AC = AF.AB = AC2 Bµi : Cho c¸c sè d¬ng x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn x2 + y2 x3 + y4 Chøng minh: x3 + y3 x2 + y2 x + y §¸p ¸n Bµi 1: a) §iÒu kiÖn x tháa m·n x 0 x 4( x 1) 0 x 4( x 1) 0 x 4( x 1) x 1 x 1 x 1 x 2 KL: A xác định < x < x > b) Rót gän A A= ( x 1)2 ( x 1)2 x x ( x 2)2 x > vµ x = x x 1 x x x Víi < x < 2: A = x Víi x > 2: A = KÕt luËn: x Víi < x < th× A = x Víi x > th× A = x Bài 2: a) A và B có hoành độ và tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b A(5; 2) AB 5a + b = B(3; 4) AB 3a + b = 4 Gi¶i hÖ ta cã a = 3; b = 13 Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = 3x 13 b) Gi¶ sö M (x, 0) xx’ ta cã 2 MA = ( x 5) (0 2) 2 MB = ( x 3) (0 4) 2 MAB c©n MA = MB ( x 5) ( x 3) 16 (83) Bµi 3: (x 5)2 + = (x 3)2 + 16 x = KÕt luËn: §iÓm cÇn t×m: M(1; 0) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn = m4 4m lµ sè chÝnh ph¬ng Ta l¹i cã: m = 0; th× < lo¹i m = th× = = 22 nhËn m th× 2m(m 2) > 2m2 4m > (2m2 2m 5) < < + 4m + A m4 2m + < < m4 2 2 (m 1) < < (m ) kh«ng chÝnh ph¬ng VËy m = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 4: EAD EFD( sdED) a) FAD FDC( sdFD) EDA FAD EFD FDC mµ F E B D EF // BC (2 gãc so le b»ng nhau) DF b) AD lµ ph©n gi¸c gãc BAC nªn DE 1 ACD s®( AED DF ) = s® AE ADE DAC s® = s® ADE Do đó ACD vµ EAD DAE ∽ ADC (g.g) 1 ADF sdAF sd(AFD DF) (sdAFD DE) sdABD 2 ABD T¬ng tù: s® = ADF đó AFD ∽ ABD (g.g) c) Theo trªn: + DAE ∽ ADC (g.g) AE AD AD AC hay AD2 = AE.AC (1) AD AF AB AD hay AD2 = AB.AF (2) + AFD ∽ ABD (g.g) Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF Bµi 5: Ta cã (y2 y) + 2y3 y4 + y2 (x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3) mà x3 + y4 x2 + y3 đó: x3 + y3 x2 + y2 (1) + Ta cã: x(x 1)2 0: y(y + 1)(y 1)2 x(x 1)2 + y(y + 1)(y 1)2 x3 2x2 + x + y4 y3 y2 + y (x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4 x2 + y2 x + y (2) vµ (x + 1)(x 1) ; (y 1)(y3 1) ; x3 x2 x + + y4 y y3 + (x + y) + (x2 + y3) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4 x + y (3) Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x3 + y3 x2 + y2 x + y C (84) LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phút TRƯỜNG THCS SỐ BÌNH NGUYÊN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ SỐ 10 Bµi 1: Cho biÓu thøc A = x −3 ¿ 2+12 x ¿ + ¿ ¿ √¿ x+ 2¿ −8 x ¿ √¿ a Rót gän biÓu thøc A b T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn Bài 2: Cho các đờng thẳng: (d1): y = x 2; (d2): y = 2x 4; (d3): y = mx + (m+2) a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) luôn qua với giá trị m b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh x2 2(m 1)x + m = (1) a Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt b T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña pt (1) mµ kh«ng phô thuéc vµo m c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x21 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)) Bài 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định và điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC cho AC>AB vµ AC > BC Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC C¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i D và C cắt E Gọi P, Q lần lợt là giao điểm các cặp đờng thẳng AB với CD; AD và CE a Chøng minh r»ng DE // BC b Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp 1 c Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F Chøng minh hÖ thøc: CE CQ CF a b c 1 2 a b b c c a Cho c¸c sè d¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: Bµi 5: đáp án Bµi 1: - §iÒu kiÖn: x A a Rót gän: x 6x x 4x x ¿ x +3 | + x − 2| |x| 2x 2x x - Víi x < 0: 2x A x - Víi < x 2: A A - Víi x > 2: 2x 2x x x 3x b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên ⋮|x| Bµi 2: a (d1): y = mx + (m +2) m (x+1)+ (2 y) = Để hàm số luôn qua điểm cố định với m: Vậy N(1; 2) là điểm cố định mà (d3) qua x= ¿ ¿ x+ 1=0 x=−1 2− y=0 y =2 ¿{ ¿{ ¿ ¿ b Gọi M là giao điểm (d1) và (d2) Tọa độ M là nghiệm hệ: VËy M (2; 0) NÕu (d3) ®i qua M(2; 0) th× M(2; 0) lµ nghiÖm (d3) Ta cã: = 2m + (m + 2) m= 1; 3;1;3 ¿ ¿ y =x −2 x=2 y=2 x − y=0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ (85) VËy m = thì (d1); (d2); (d3) đồng quy Bµi 3: a ’ = m2 3m + = (m ) + >0 ∀ m VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1 x 2(m 1) x1x m x1 x 2m 2x1x 2m b Theo ViÐt: x1+ x2 2x1x2 = kh«ng phô thuéc vµo m P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 2x1x2 = 4(m 1)2 2(m3)= (2m VËy Pmin = 15 víi m = 15 15 m )2 + Bµi 4: 1 a S® CDE = S® DC = S® BD = BCD DE // BC (2 gãc vÞ trÝ so le) b ∠ APC = s® (AC DC) = ∠ AQC Suy tø gi¸c APQC néi tiÕp (v× APC AQC cïng nh×n ®oan AC) c Tø gi¸c APQC néi tiÕp CPQ CAQ (cïng ch¾n cung CQ) CAQ CDE (cïng ch¾n cung DC) Suy CPQ CDE DE // PQ DE CE Ta cã: PQ = CQ (v× DE // PQ) DE QE FC QC (v× DE // BC) (1) (2) DE DE CE QE CQ 1 PQ FC CQ CQ Céng (1) vµ (2): 1 PQ FC DE (3) MÆt kh¸c ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy PQ = CQ 1 Thay vµo (3): CQ CF CE a a a c Bµi 5: Ta cã: a b c b a a b c (1) (86) b b b a a b c b c a b c c c cb a b c a c a b c (2) 3) a b c 1 2 a b b c c a Céng tõng vÕ (1), (2), (3): (87)