Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp c / Tính theo R phần diện tích giới hạn bởi cung EF và dây EF khi sđ cung EF bằng 600 d/ Khi cát tuyến AEF quay quanh A Nhưng vẩn đảm bão có giao điểm [r]
(1)THCS: NGUYỄN TRỌNG KỶ GV: TRẦN TRUNG NHÁNH ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 – 2012 TOÁN ĐẠI SỐ: A HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/ Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn: ax by c Dạng tổng quát: a ' x b ' y c ' (với a, b, c, a’, b’, c’ R và a, b; a, b’ không đồng thời 0) II/ Hệ phương trình bậc hai ẩn: 1/ ) Giải hệ phương trình sau : x 35 y 2 y x 1 50 c/ 2 x y 6 x y 9 3x y 150 a) x y 0 b) (10 y x) (10 x y ) 45 d/ y x 10 HD : +Nếu có mẫu thì QĐKM PT hệ + Nhân PT hệ với số thích hợp để hệ số ẩn đối + Cộng vế hai PT hệ ta PT ẩn Giải PT đó tìm giá trị ẩn đó + Thế giá trị vừa tìm vào hai PT hệ, tìm giá trị ẩn Kết luận 2/Cho ba điểm A(2 ;1) ; B(1 ;-1) ; C(0 ;-3) a)Lập PT đương thẳng AB ? b)C/m ba điểm A ; B ; C thẳng hàng 3/ Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hai lần chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị là đơn vị Nếu đổi vị trí hai chữ số cho thì số số đã cho 4/Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết tổng hai chữ số nó và đổi chỗ hai chữ số cho thì số tự nhiên có hai chữ số lớn số đã cho 45 đơn vị HD: +Tóm tắt đề tìm hiểu đề cho; hỏi +Gọi x là chữ số hàng chục, y là chữ số hàng đơn vị (có điều kiện) yx 10 y x +Chú ý : xy 10 x y; 5/ Một ô tô dự đinh từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm 1giờ Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu x 35 y 2 y x 1 50 HD: Gọi x(km) là quảng đường AB; y(h) là thời gian dự định Ta có HPT 6/ Hai xe khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm A và B cắch 150km ngược chiều và gặp sau Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe từ B vận tốc xe từ A là 10km/h (a 1) x y 3 7)Tìm a để hệ phương trình ax+y=a có nghiệm thỏa mãn điều kiện x +y>0 (2) ax 2by 1 8)Với giá trị nào a và b thì hệ phương trình 2ax by có nghiệm là (-2;3) B HÀM SỐ y=ax2 (a 0) Quan hệ (P): y=ax (a 0) và đường thẳng (d): y=mx+n: Phương trình hoành độ giao điểm (P): y=ax2 và đường thẳng (d): y=mx+n là: ax2= mx+n ax2- mx-n=0 (*) 1/(P) cắt (d) hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt >0 (hoặc ' >0) 2/(P) tiếp xúc (d) phương trình (*) có nghiệm kép =0 (hoặc ' =0) 3/(P) và (d) không có điểm chung phương trình (*) vô nghiệm <0 (hoặc ' <0) Bài 1: Cho parapol (p): y =2x2 và đường thẳng (d): y = 3x – a/ Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ b/ Tìm tọa độ giao điểm (P) và (d) Bài 2: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua điểm A(-2 ; 4) và tiếp xúc với đường thẳng (d): y = (m- 1)x –m + Tìm a; m và tọa độ tiếp điểm HD: *Thế tọa độ điểm A vào (P) => a = ? => hàm số y = ? *Tọa độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm HPT => PT (*), tính Δ cho Δ=0 =>m=? * Hoành độ tiếp điểm là nghiệm kép PT(*), x1 =x2 = ? Thay vào HPT => y = ? => tọa độ tiếp điểm là ( ) Bài 3: Cho hàm số y=x2 (P) và y=3x-2 (d) a) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ (P) và (d) phương pháp đại số c) Lập phương trình đường thẳng (d’), biết (d’)// (d) và (d’) cắt (P) điểm có hoành độ C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ VÀ HỆ THỨC VIET Bài :Giải các PT sau : a/ -3x2+2x + = b/ 4x2 -5x+ = c/ x x 0 HD : dùng công thức nghiệm để giải x2 x x2 2 4) KQ : a/ (x1 = ; x2 = 2) b/ (x1=1 c/( ) Bài :Cho PT x2- 2(m-1)x + m2 = Định m để PT : a/ Luôn có nghiệm b/ Có hai nghiệm c/ Vô nghiệm HD : Dùng công thức nghiệm để giải ; Chú ý : Δ> PT có hai nghiệm phân biệt => m ? Δ = PT có nghiệm kép => m ? Δ < PT vô nghiệm => m ? 1 m m m 2 KQ : a/ b/ c/ Bài : Chứng minh PT x2- 2mx +m – = luôn có hai nghiệm phân biệt HD : *Ta chứng minh Δ> cách tính Δ = ? * Biến đổi Δ dạng HĐT Δ =(A± B)2 + M > => PT luôn có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho PT: x2 – mx +m – = a/ Giải PT m = - b/ C/m PT luôn có nghiệm với m (3) c/ Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm kép ? Tính nghiệm kép đó d/ Tìm m để PT có nghiệm Tìm nghiệm còn lại e/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa x12+x22 = x m 1 x 4m 0 Bài 5: Cho phương trình: a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: x1= 2x2 2 e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x và x thỏa mãn: x1 x2 5 2 f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 cho A= x1 x2 x1.x2 đạt giá trị nhỏ IV/ Giải các phương trình quy phương trình bậc hai: A( x) 0 A( x).B( x) 0 B( x) 0 1/ Phương trình tích: Áp dụng: Giải PT sau: (x2 -4x+3 )(x2 +9x – 10 ) = 2/ Phương trình chứa ẩn mẫu: - Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình (là ĐK ẩn để tất các mẫu khác 0) - Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế - Bước 3: Giải phương trình nhận bước - Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm với ĐKXĐ và kết luận nghiệm 3x 6x 1 16 − = x x x +2 x −2 Giải PT: a) b) 3/ Phương trình trùng phương: ax + bx + c = ( a 0 ) + Đặt : x2 = y , ta có PT đã cho trở thành : ay2 + by + c = (*) + Giải phương trình (*) y + Chọn các giá trị y thỏa mãn y 0 thay vào: x2 = y x= + Kết luận nghiệm phương trình ban đầu Áp dụng : Giải PT sau : a/ x4- 10x2 + = b/ x4 +5x2 – 36 = GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH A DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Bài 1: Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A, người đó tăng vận tốc thêm km/h, vì thời gian ít thời gian là 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B Giaûi: Gọi x (km/h ) là vận tốc người xe đạp từ A đến B (ĐK: x > 0) Khi đó: vận tốc người đó từ B A là : x + (km/h) 36 36 Thời gian người đó từ A đến B là: (h); Thời gian người đó từ B A là: x x +3 (h) 36 36 Theo đề bài toán ta có phương trình: x x Biến đổi phương trình trên ta được: x2 + 3x - 180 = Giải phương trình trên ta được: x1 = 12 (thoả mãn điều kiện ẩn) x2 = -15 (không thoả mãn điều kiện ẩn) Vậy vận tốc người đó từ A đến B là 12 km/h Bài 2: Hai thành phố A và B cách 50km Một người xe đạp từ A đến B Sau đó 1giờ 30 phút, người xe máy từ A và đến B sớm người xe đạp 1giờ Tính vận tốc người biết vận tốc người xe máy lớn vận tốc người xe đạp là 18km/h (4) 50 50 = Gọi x(km/h) là vận tốc người xe đạp, ta có phương trình: x x +18 Bài 3: Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B, sau đó chạy ngợc dòng từ B A hết tổng thời gian là Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nớc là km/h Tính vận tốc thực ca n« 60 60 Gọi x(km/h) là vận tốc ca nô, ta cã PT: x + x = Bài 4: Một ngời từ tỉnh A đến tỉnh B cách 78 km Sau đó ngời thứ hai từ tỉnh B đến tỉnh A hai ngời gặp địa điểm C cách B 36 km Tính thời gian ngời đã từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biÕt vËn tèc ngêi thø hai lín h¬n vËn tèc ngêi thø nhÊt lµ km/h 36 42 Gọi x (h) là thời gian ngời từ A đến C (ĐK: x> 0), ta cú phương trỡnh: x - x =4 C DẠNG TOÁN LÀM CHUNG – LÀM RIÊNG Bài 1: Hai tổ niên tình nguyện cùng sửa đờng thì xong Nếu làm riêng thì tổ làm nhanh tổ là Hỏi đội làm mình thì bao lâu xong việc ? Giải : Gọi x( ) là thời gian mình tổ sửa xong đờng ( ĐK: x >4 ) Thời gian mình tổ sửa xong đờng là x + ( ) 1 Trong giờ: tổ sửa đợc: ( đờng ) tổ sửa đợc: (con đờng ) x x +6 hai tổ sửa đợc: (con đờng ) 1 Theo bµi ta cã ph¬ng tr×nh: + = x x +6 x x 24 Biến đổi phương trình trên ta được: Giải phương trình trên ta được: x1 = (thoả mãn điều kiện ẩn) x2 = -4 (không thoả mãn điều kiện ẩn) Vậy: mình tổ sửa xong đờng hết ngày mình tổ sửa xong đờng hết 12 ngày Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào bể (ban đầu không chứa nước) thì sau đầy bể Nếu chảy mình cho đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian vòi II là Hỏi chảy mình để đầy bể thì vòi cần bao nhiêu thời gian ? 1 Gäi x( giê ) lµ thêi gian vòi II chảy mình đầy bể( §K: x >6 ) , phương trình : x + x = D DẠNG TOÁN PHÂN CHIA ĐỀU Bài 1: Một đoàn học sinh gồm cú 180 học sinh đợc điều thăm quan diễu hành Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lợt hết số học sinh thì phải điều động ít dùng loại xe nhỏ là Biết xe lín nhiÒu h¬n mçi xe nhá lµ 15 chç ngåi TÝnh sè xe lín ? Gi¶i: Gäi sè xe lín lµ x (chiÕc) (ĐK: x nguyªn d¬ng) Sè xe nhá lµ: x + ( chiÕc ) 180 180 Số học sinh xe lớn chở đợc là: ( Hs); Số học sinh xe nhỏ chở đợc là: x x +2 ( Hs) 180 180 Vì xe lớn nhiều số xe nhỏ là 15 chỗ ngồi, đó ta có phơng trình: = x x +2 15 Biến đổi phương trình trên ta được: x x 24 0 Giải phương trình trên ta được: x1 = (thoả mãn điều kiện ẩn) x2 = -6 (không thoả mãn điều kiện ẩn) VËy sè xe lín lµ chiÕc Bài 2: Trong buổi lao động trồng cây ,một tổ học sinh đợc trao nhiệm vụ trồng 56 cây Vì có bạn tổ đợc phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây đợc giao ,mỗi bạn còn lại tổ trồng tăng thêm cây với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây đợc phân cho bạn 56 56 1 b»ng Gọi x là số học sinh tổ (x nguyên và x>1), ta có ph¬ng tr×nh : x x Bài 3: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành dãy và số ghế dãy nh Nếu số d·y t¨ng thªm vµ sè ghÕ cña mçi d·y t¨ng thªm 1, th× phßng cã 400 ghÕ Hái phßng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ, mçi d·y cã bao nhiªu ghÕ (5) 400 360 1 x 1 x Gäi x(d·y) lµ sè d·y ghÕ ban ®Çu, ph¬ng tr×nh: Bài 4: Một đội công nhân hoàn thành công việc với mức 420 ngày công Hãy tính số công nhân đội, biết đội tăng thêm ngời thì số ngày để hoàn thành công việc giảm ngày 420 420 Gọi x là số công nhân đội (x nguyên và dương), ph¬ng tr×nh: =7 x x +5 E DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC Bài 1: Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 250 m TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi giảm lần và chiều rộng tăng lần thì chu vi ruộng không đổi Bài 2: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 160m vµ diÖn tÝch lµ 1500m2 TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt Êy Bài 3: T×m hai c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng biÕt c¹n huyÒn b»ng 13 cm vµ tæng hai c¹nh gãc vu«ng b»ng 17 Gi¶i: Gäi c¹nh gãc vu«ng thø nhÊt cña tam gi¸c lµ x ( cm ), (ĐK: 0< x < 17 ) Ta cã: c¹nh gãc vu«ng cßn l¹i lµ: ( 17 - x ) ( cm) Vì cạnh huyền tam giác vuông là 13cm, đó ta có phơng trình: x2 + ( 17 - x )2 = 132 x2 - 17x + 60 = Giải PT trên ta đợc: x1 = 12, x2 = ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần lợt là 12 cm, cm lóc ban ®Çu D HÌNH HỌC I Quan hệ cung và dây Góc với đường tròn: AC 0 FD Bài1: Cho hình vẽ:Biết Sđ = 70 ; Sđ = 30 Tính : sđ ABC = …………………………………………………… sđ BOC = …………………………………………………… sđ CBx = …………………………………………………… sđ CIB = ………………………………………………… sđ AEC = ……………………………………………………… II Tø gi¸c néi tiÕp: a) Tính chất: Tổng hai góc đối tứ giác 1800 b) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh hai gúc - Tứ giác có góc ngoài đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm Bài 2: Từ điểm A cố định ngoài đường tròn (O;R), kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến AEF (E, F (O)) a/ Chứng minh rằng: ABE BFE => AB2 = AE.AF b/ Gọi I là trung điểm EF Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp c / Tính theo R phần diện tích giới hạn cung EF và dây EF sđ cung EF 600 d/ Khi cát tuyến AEF quay quanh A ( Nhưng vẩn đảm bão có giao điểm với đường tròn (O)) thì điểm I chạy trên đường nào ? III Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn: l - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d IV DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn: - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : S - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: R n lR 360 Rn 180 (6) Áp dụng: Cho (O; 6cm) a/Tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O) b/Trên (O) lấy dây AB = 6cm Tính độ dài cung nhỏ AB và diện tích hình quạt AOB c/ Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây AB và cung nhỏ AB (7)