Đề cương ôn thi HK II_Toán 9

Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 1 CHỦ ðỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hệ phương trình: , 0 ( ) ' ' ', ' 0 ( ') ax by c a D a x b y c a D + = ≠   + = ≠  • (D) cắt (D’) ⇔ ' ' a b a b ≠ ⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất. • (D) // (D’) ⇔ ' ' ' a b c a b c = ≠ ⇔ Hệ phương trình vô nghiệm. • (D) ≡ (D’) ⇔ ' ' ' a b c a b c = = ⇔ Hệ phương trình có vô số nghiệm. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho hệ phương trình 2 0 x y m x my + =   − =  (1) 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 . 2. Xác ñịnh giá trị của m ñể: a) x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1). b) Hệ (1) vô nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. 4. Tìm m ñể hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1. Bài tập 2: Cho hệ phương trình 2 2 4 9 x y k x y k + = +   + = −  (1) 1. Giải hệ (1) khi k = 1. 2. Tìm giá trị của k ñể hệ (1) có nghiệm là x = – 8 và y = 7. 3. Tìm nghiệm của hệ (1) theo k. Bài tập 3: Cho hệ phương trình 3 2 1 x y x my + =   − =  (1) 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 . 2. Xác ñịnh giá trị của m ñể: a) x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1). b) Hệ (1) vô nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. Bài tập 4: Cho hệ phương trình 2 1 2 3 1 mx y x y − = −   + =  (1) 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 . 2. Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm x = 1 2 − và y = 2 3 . 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. Bài tập 5 : Cho hệ phương trình 4 2 3 x y x y m + =   + =  (1) 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1. 2. Tìm m ñể hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa 0 0 x y >   <  . Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 2 Bài tập 6: Cho hệ phương trình 2 3 1 3 2 2 3 x y m x y m + = +   + = −  1. Giải hệ phương trình khi m = – 1. 2. Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa 1 6 x y <   <  . Bài tập 7: Cho hệ phương trình : 2 5 3 1 mx y mx y − + =   + =  (1) 1. Giải hệ (1) khi m = 1. 2. Xác ñịnh giá trị của m ñể hệ (1): a) Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất ñó theo m. b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2. Bài tập 8 : Cho hệ phương trình : 2 2 1 mx y m x y m − =   − + = +  ( m là tham số) (I). a) Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng. b) Tính giá trị của tham số m ñể hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất ñó theo m. CHỦ ðỀ : VẼ ðỒ THỊ & TÌM TỌA ðỘ GIAO ðIỂM CỦA (P): y = ax 2 VÀ (D): y = ax + b (a ≠ 0) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax 2 (a ≠ 0): Hàm số y = ax 2 (a ≠ 0) có những tính chất sau: • Nếu a > 0 thì hàm số ñồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0. • Nếu a < 0 thì hàm số ñồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. ðồ thị của hàm số y = ax 2 (a ≠ 0): • Là một Parabol (P) với ñỉnh là gốc tọa ñộ 0 và nhận trục Oy làm trục ñối xứng. • Nếu a > 0 thì ñồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là ñiểm thấp nhất của ñồ thị. • Nếu a < 0 thì ñồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là ñiểm cao nhất của ñồ thị. Vẽ ñồ thị của hàm số y = ax 2 (a ≠ 0): • Lập bảng các giá trị tương ứng của (P). • Dựa và bảng giá trị → vẽ (P). 2. Tìm giao ñiểm của hai ñồ thị :(P): y = ax 2 (a ≠ 0) và (D): y = ax + b: • Lập phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau → ñưa về pt bậc hai dạng ax 2 + bx + c = 0. • Giải pt hoành ñộ giao ñiểm: + Nếu ∆ > 0 ⇒ pt có 2 nghiệm phân biệt ⇒ (D) cắt (P) tại 2 ñiểm phân biệt. + Nếu ∆ = 0 ⇒ pt có nghiệm kép ⇒ (D) và (P) tiếp xúc nhau. + Nếu ∆ < 0 ⇒ pt vô nghiệm ⇒ (D) và (P) không giao nhau. 3. Xác ñịnh số giao ñiểm của hai ñồ thị :(P): y = ax 2 (a ≠ 0) và (D m ) theo tham số m: • Lập phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (P) và (D m ): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau → ñưa về pt bậc hai dạng ax 2 + bx + c = 0. • Lập ∆ (hoặc ∆ ' ) của pt hoành ñộ giao ñiểm. • Biện luận: Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 3 + (D m ) cắt (P) tại 2 ñiểm phân biệt khi ∆ > 0 → giải bất pt → tìm m. + (D m ) tiếp xúc (P) tại 1 ñiểm ∆ = 0 → giải pt → tìm m. + (D m ) và (P) không giao nhau khi ∆ < 0 → giải bất pt → tìm m. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho hai hàm số y = 2 2 x có ñồ thị (P) và y = -x + m có ñồ thị (D m ). 1. Với m = 4, vẽ (P) và (D 4 ) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc Oxy. Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của chúng. 2. Xác ñịnh giá trị của m ñể: a) (D m ) cắt (P) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1. b) (D m ) cắt (P) tại 2 ñiểm phân biệt. c) (D m ) tiếp xúc (P). Xác ñịnh tọa ñộ tiếp ñiểm. Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x 2 có ñồ thị (P) và y = – 3x + m có ñồ thị (D m ). 1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D 1 ) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc Oxy. Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của chúng. 2. Xác ñịnh giá trị của m ñể: a) (D m ) ñi qua một ñiểm trên (P) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1 2 − . b) (D m ) cắt (P) tại 2 ñiểm phân biệt. c) (D m ) tiếp xúc (P). Xác ñịnh tọa ñộ tiếp ñiểm. Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x 2 có ñồ thị (P). 1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa ñộ vuông góc 2. Gọi A( 2 7 3 ; − − ) và B(2; 1). a) Viết phương trình ñường thẳng AB. b) Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của ñường thẳng AB và (P). 3. Tìm ñiểm trên (P) có tổng hoành ñộ và tung ñộ của nó bằng – 6. Bài tập 4: Cho hàm số y = 3 2 − x 2 có ñồ thị (P) và y = – 2x + 1 2 có ñồ thị (D). 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc. 2. Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của (P) và (D). 3. Tìm tọa ñộ những ñiểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành ñộ và tung ñộ của ñiểm ñó bằng – 4. Bài tập 5: Cho hàm số y = 2 3 x 2 có ñồ thị (P) và y = x + 5 3 có ñồ thị (D). 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc. 2. Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của (P) và (D). 3. Gọi A là ñiểm ∈ (P) và B là ñiểm ∈ (D) sao cho 11 8 A B A B x x y y =   =  . Xác ñịnh tọa ñộ của A và B. Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa ñộ vuông góc Oxy, cho hai ñiểm A(1; –2) và B(–2; 3). 1. Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua A, B. 2. Gọi (P) là ñồ thị của hàm số y = –2x 2 . a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa ñộ ñã cho. b) Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của (P) và (d). Bài tập 7: Vẽ ñồ thị (P) của hàm số y = –2x 2 trên mặt phẳng tọa ñộ vuông góc Oxy. 1. Gọi (D) là ñường thẳng ñi qua ñiểm A(–2; –1) và có hệ số góc k. a) Viết phương trình ñường thẳng (D). b) Tìm k ñể (D) ñi qua B nằm trên (P) biết hoành ñộ của B là 1. Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 4 Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x 2 có ñồ thị (P) và y = x + 2 có ñồ thị (D). 1. Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc Oxy. Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của chúng. 2. Gọi A là ñiểm thuộc (D) có hoành ñộ bằng 5 và B là ñiểm thuộc (P) có hoành ñộ bằng – 2. Xác ñịnh tọa ñộ của A, B. 3. Tìm tọa ñộ của ñiểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất. Bài tập 9: Cho hàm số y = – x 2 có ñồ thị (P) và y = x – 2 có ñồ thị (D). a) Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc. Xác ñịnh tọa ñộ giao ñiểm của (P) và (D) bằng phương pháp ñại số. b) Gọi A là một ñiểm thuộc (D) có tung ñộ bằng 1 và B là một ñiểm thuộc (P) có hoành ñộ bằng – 1. Xác ñịnh tọa ñộ của A và B. c) Tìm tọa ñộ của ñiểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất. Bài tập 10: Cho (P): y = x 2 và (D): y = – x + 2. 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các giao ñiểm của (P) và (D), xác ñịnh tọa ñộ của A, B. 2. Tính diện tích tam giác AOB (ñơn vị ño trên trục số là cm). 3. CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông. CH Ủ ðỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giải phương trình bậc hai dạng ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) a) Nhẩm nghiệm: • a + b +c = 0 ⇒ pt (1) có 2 nghi ệ m: 1 2 1 x c x a =    =  . • a – b +c = 0 ⇒ pt (1) có 2 nghi ệ m: 1 2 1 x c x a =−    = −  . b) Giải với ' ∆ : N ế u b = 2b’ ⇒ b’ = 2 b ⇒ ' ∆ = (b’) 2 – ac. • N ế u ' ∆ > 0 ⇒ ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m phân bi ệ t: 1 ' ' b x a − + ∆ = ; 2 ' ' b x a − − ∆ = • N ế u ' ∆ = 0 ⇒ ph ươ ng trình có nghi ệ m kép: 1 2 ' b x x a − = = . • N ế u ' ∆ < 0 ⇒ ph ươ ng trình vô nghi ệ m. c) Giải với ∆ : Tính ∆ : ∆ = b 2 – 4ac. • N ế u ∆ > 0 ⇒ ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m phân bi ệ t: 1 2 b x a − + ∆ = ; 2 2 b x a − − ∆ = • N ế u ∆ = 0 ⇒ ph ươ ng trình có nghi ệ m kép: 1 2 2 b x x a − = = . • N ế u ∆ < 0 ⇒ ph ươ ng trình vô nghi ệ m. 2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng: Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 5 a) ðị nh lý: N ế u x 1 , x 2 là 2 nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có: 1 2 1 2 b S x x a c P x x a  = + = −     = =   . b) ðị nh lý ñả o: N ế u . u v S u v P + =   =  ⇒ u, v là 2 nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình x 2 – Sx + P = 0 ( ð K: S 2 – 4P ≥ 0). * Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét: • T ổ ng bình ph ươ ng các nghi ệ m: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 x x x x x x + = + − = S 2 – 2P. • T ổ ng ngh ị ch ñả o các nghi ệ m: 1 2 1 2 1 2 1 1 S P x x x x x x + + = = . • T ổ ng ngh ị ch ñả o bình ph ươ ng các nghi ệ m: 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 S 2P ( ) P x x x x x x + − + = = . • Bình ph ươ ng c ủ a hi ệ u các nghi ệ m: − = + − 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4 x x x x x x = S 2 – 4P. • T ổ ng l ậ p ph ươ ng các nghi ệ m: 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( ) x x x x x x x x + = + − + = S 3 – 3PS Ví d ụ : Cho ph ươ ng trình x 2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá tr ị c ủ a các bi ể u th ứ c sau: a) 2 2 1 2 x x + . b) 1 2 1 1 x x + . c) 2 1 2 ( ) x x − d) 3 3 1 2 x x + Giải: Ph ươ ng trình có ' ∆ = 1 > 0 ⇒ pt có 2 nghi ệ m, áp d ụ ng h ệ th ứ c Vi-ét cho pt (1): 1 2 1 2 12 35 b S x x a c P x x a  = + = − =     = = =   . a) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 x x x x x x + = + − = S 2 – 2P = 12 2 – 2.35 = 74. b) 1 2 1 2 1 2 1 1 S P x x x x x x + + = = = 12 35 . c) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4 S -4P x x x x x x− = + − = = 12 2 – 4.35 = 4. d) 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( ) x x x x x x x x + = + − + = S 3 – 3PS = 12 3 – 3.35.12 = 468. 3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm ñộc lập ñối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x 1 , x 2 không phụ thuộc vào tham số). * Phương pháp giải: • Tìm ñ i ề u ki ệ n ñể ph ươ ng trình ñ ã cho có nghi ệ m ( ' 0 ∆ ≥ ; ∆ ≥ 0 ho ặ c a.c < 0). • L ậ p h ệ th ứ c Vi-ét cho ph ươ ng trình 1 2 1 2 b S x x a c P x x a  = + = −     = =   . • Kh ử tham s ố (b ằ ng ph ươ ng pháp c ộ ng ñạ i s ố ) tìm h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a S và P → ð ó là h ệ th ứ c ñộ c l ậ p v ớ i tham s ố . Ví d ụ : Cho ph ươ ng trình 2x 2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham s ố ). 1. CMR: Ph ươ ng trình (1) luôn có nghi ệ m v ớ i m ọ i m. 2. G ọ i x 1 , x 2 là 2 nghi ệ m c ủ a pt (1). Tìm h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a 2 nghi ệ m không ph ụ thu ộ c vào m. Giải: 1. Ph ươ ng trình (1) có ∆ = b 2 – 4ac = + (2m – 1) 2 – 4.2.(m – 1) = 4m 2 – 12m + 9 = (2m – 3) 2 ≥ 0, ∀ m. V ậ y ph ươ ng trình (1) luôn có nghi ệ m v ớ i m ọ i m. 2. Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 6 • Áp d ụ ng h ệ th ứ c Vi-ét cho ph ươ ng trình (1): 1 2 1 2 2 1 2 1 2 b m S x x a c m P x x a − +  = + = − =    −  = = =   ⇔ 2 2 1 2 1 S m P m =− +   = −  ⇔ 2 2 1 4 2 2 S m P m =− +   = −  ⇒ 2S + 4P = -1. Hay: 2(x 1 + x 2 ) + 4x 1 x 2 = -1 : ð ây là h ệ th ứ c c ầ n tìm. 4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nó: * Phương pháp giải: • N ế u 2 s ố u và v c ó: . u v S u v P + =   =  ⇒ u, v là hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: x 2 – Sx + P = 0 (*). • Gi ả i pt (*): + N ế u ' ∆ > 0 (ho ặ c ∆ > 0) ⇒ pt (*) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t x 1 , x 2 . V ậ y 1 2 u x v x =   =  ho ặ c 2 1 u x v x =   =  . + N ế u ' ∆ = 0 (ho ặ c ∆ = 0) ⇒ pt (*) có nghi ệ m kép x 1 = x 2 = ' b a − . V ậ y u = v = ' b a − . + N ế u ' ∆ < 0 (ho ặ c ∆ < 0) ⇒ pt (*) vô nghi ệ m. V ậ y không có 2 s ố u, v th ỏ a ñề bài. Ví d ụ 1: Tìm 2 s ố u,v bi ế t u + v = 11 và u.v = 28 Giải: Theo ñề bài ⇒ u, v là hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: x 2 – Sx + P = 0 ⇔ x 2 – 11x + 28 = 0(*) Ph ươ ng trình (*) có ∆ = 9 > 0 ⇒ ∆ = 3 ⇒ 1 2 7 4 x x = =    . V ậ y: 7 4 u v =   =  hay 4 7 u v =   =  Ví d ụ 2: Cho hai s ố a = 3 +1 và b = 3 – 3 . Vi ế t ph ươ ng trình b ậ c hai có hai nghi ệ m là a và b. Giải: • a + b = ( 3 +1) + (3 – 3 ) = 4. • a.b = ( 3 +1). (3 – 3 ) = 2 3 . Suy ra: a, b là 2 nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: x 2 – Sx + P = 0 ⇔ x 2 – 4x + 2 3 = 0: ð ây là pt c ầ n tìm. 5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: • L ậ p bi ệ t th ứ c ' ∆ (ho ặ c ∆ ). • Bi ế n ñổ i ' ∆ ñư a v ề d ạ ng : ' ∆ = (A ± B) 2 + c > 0, ∀ m (v ớ i c là m ộ t s ố d ươ ng) • K ế t lu ậ n: V ậ y ph ươ ng trình ñ ã cho luôn có hai nghi ệ m phân bi ệ t v ớ i m ọ i tham s ố m. 6. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: • L ậ p bi ệ t th ứ c ' ∆ (ho ặ c ∆ ). • Bi ế n ñổ i ' ∆ ñư a v ề d ạ ng : ' ∆ = (A ± B) 2 ≥ 0, ∀ m. • K ế t lu ậ n: V ậ y ph ươ ng trình ñ ã cho luôn nghi ệ m v ớ i m ọ i tham s ố m. 7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: • L ậ p bi ệ t th ứ c ' ∆ (ho ặ c ∆ ). • Bi ệ n lu ậ n: + Ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m phân bi ệ t khi: ' ∆ > 0 → gi ả i b ấ t pt → tìm tham s ố m → k ế t lu ậ n. + Ph ươ ng trình có nghi ệ m kép khi ' ∆ = 0 → gi ả i pt → tìm tham s ố m → k ế t lu ậ n. Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 7 + Ph ươ ng trình vô nghi ệ m khi ' ∆ < 0 → gi ả i b ấ t pt → tìm tham s ố m → k ế t lu ậ n. + Ph ươ ng trình có nghi ệ m khi ' ∆ ≥ 0 → gi ả i b ấ t pt → tìm tham s ố m → k ế t lu ậ n. * Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 → gi ả i b ấ t pt → tìm tham s ố m → k ế t lu ậ n. 8. Xác ñịnh giá trị nhỏ nhất của biểu thức: * Phương pháp giải: • ðưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A ± B) 2 + c ⇒ P = (A ± B) 2 + c ≥ c. • Giá trị nhỏ nhất của P: P min = c khi A ± B = 0 → gi ả i pt → tìm tham s ố m → k ế t lu ậ n. 9. Xác ñịnh giá trị lớn nhất của biểu thức: * Phương pháp giải: • ðưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A ± B) 2 ⇒ Q = c – (A ± B) 2 ≤ c Giá trị nhỏ nhất của Q: Q max = c khi A ± B = 0 → gi ả i pt → tìm tham s ố m → k ế t lu ậ n. II. BÀI T Ậ P V Ậ N D Ụ NG Bài t ậ p 1: Cho ph ươ ng trình b ậ c hai x 2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1). 1. Gi ả i ph ươ ng trình (1) khi m = – 2. 2. CMR: Ph ươ ng trình (1) luôn có hai nghi ệ m phân bi ệ t v ớ i m ọ i m. 3. Tìm h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a x 1 , x 2 không ph ụ thu ộ c vào m. Bài t ậ p 2: Cho ph ươ ng trình b ậ c hai x 2 – (m + 1)x + m = 0 (1). 1. Gi ả i ph ươ ng trình (1) khi m = 3. 2. CMR: Ph ươ ng trình (1) luôn có nghi ệ m v ớ i m ọ i m. 3. Trong tr ườ ng h ợ p (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t.Tìm h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a x 1 , x 2 không ph ụ thu ộ c vào m. Bài t ậ p 3 : Cho ph ươ ng trình 2x 2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham s ố ) (1) 1. Gi ả i ph ươ ng trình (1) khi m = 2. 2. CMR: Ph ươ ng trình (1) luôn có nghi ệ m v ớ i m ọ i m. 3. Trong tr ườ ng h ợ p (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t.Thi ế t l ậ p h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a x 1 , x 2 ñộ c l ậ p v ớ i m. Bài t ậ p 4 : Cho ph ươ ng trình x 2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham s ố ) (1) 1. Gi ả i ph ươ ng trình (1) khi m = 5. 2. CMR: Ph ươ ng trình (1) luôn có nghi ệ m v ớ i m ọ i m. 3. Trong tr ườ ng h ợ p (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t.Thi ế t l ậ p h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a x 1 , x 2 ñộ c l ậ p v ớ i m. 4. Tìm m ñể ph ươ ng trình (1) có 2 nghi ệ m trái d ấ u. Bài t ậ p 5 : Cho ph ươ ng trình b ậ c hai x 2 –2(m – 1)x + m 2 = 0 (1). 1. Tìm m ñể : a) Pt (1) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t. b) Pt (1) có m ộ t nghi ệ m là – 2. 2. Gi ả s ử x 1 , x 2 là 2 nghi ệ m c ủ a pt (1). CMR: (x 1 – x 2 ) 2 + 4(x 1 + x 2 ) + 4 = 0. Bài t ậ p 6 : Cho ph ươ ng trình b ậ c hai x 2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1). 1. Gi ả i ph ươ ng trình (1) khi m = –2. 2. CMR: m ∀ , ph ươ ng trình (1) luôn có hai nghi ệ m phân bi ệ t 3. G ọ i x 1 , x 2 là hai nghi ệ m c ủ a pt (1). Ch ứ ng minh bi ể u th ứ c: A = x 1 (1 – x 2 ) + x 2 (1 – x 1 ) không ph ụ thu ộ c vào m. Bài t ậ p 7 : Cho ph ươ ng trình b ậ c hai x 2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 1. Gi ả i ph ươ ng trình (1) khi m = – 2. 2. CMR: V ớ i m ọ i m, ph ươ ng trình (1) luôn có hai nghi ệ m phân bi ệ t. 3. G ọ i x 1 , x 2 là hai nghi ệ m c ủ a (1). Tính A = 2 2 1 2 x x + theo m. 4. Tìm giá tr ị c ủ a m ñể A ñạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Bài t ậ p 8 : Cho ph ươ ng trình b ậ c hai x 2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 1. Gi ả i ph ươ ng trình (1) khi m = –1. 2. CMR: V ớ i m ọ i m, ph ươ ng trình (1) luôn có hai nghi ệ m phân bi ệ t. 3. Tìm m ñể ph ươ ng trình (1) có 2 nghi ệ m trái d ấ u. 4. Thi ế t l ậ p m ố i quan h ệ gi ữ a 2 nghi ệ m x 1 , x 2 không ph ụ thu ộ c và m. Tốn 9 – Ơn tập học kỳ II 8 5. Tìm m để 2 2 1 2 x x + = 10. Bài t ậ p 9 : Cho ph ươ ng trình b ậ c hai x 2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1). 1. Gi ả i ph ươ ng trình (1) khi m = –1. 2. Tìm m để : a) Ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t. b) Ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệ m trái d ấ u. c) T ổ ng bình ph ươ ng các nghi ệ m c ủ a pt (1) b ằ ng 11. Bài t ậ p 10 : Cho ph ươ ng trình: x 2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham s ố ) (1). a) Tìm m để ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m kép và tính nghi ệ m kép đ ó. b) Trong tr ườ ng h ợ p ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t x 1 , x 2 hãy tìm h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a các nghi ệ m x 1 , x 2 mà khơng ph ụ thu ộ c m. CHỦ ðỀ: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước giải: 1. Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình): • Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn; • Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ; • Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng 2. Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được. 3. Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ðK và trả lời u cầu của bài. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập1: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682. Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó. Bài tập 3: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho. Bài tập 4: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nó tăng thêm 144m 2 . Tính các kích thước của hình chữ nhật. Bài tập 5: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nó tăng thêm 50m 2 . Tính diện tích của khu vườn ban đầu. Bài tập 6: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và có diện tích 1500m 2 . Tính các kich thước của nó. Bài tập 7: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường. Bài tập 8: Cho một tam giác vng. Nếu tăng các cạnh góc vng lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm 2 . Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm 2 . Tình hai cạnh góc vng của tam giác. Bài tập 9: Cho tam giác vng có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm 2 . Tìm độ dài các cạnh góc vng. Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 9 Bài tập 10: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ ñầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì ñược 3 4 bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì mới ñầy bể? Bài tập11: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì ñầy bể. Nếu ñể vòi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vòi thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ ñược 2 15 thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ ñầy bể? Bài tập 12: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn (không có nước) thì sau 4 4 5 giờ ñầy bể. Nếu lúc ñầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6 5 giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ ñầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới ñầy bể? Bài tập13: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ ñầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy ñầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy ñầy bể? Bài tập 14: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mô tô khởi hành ñồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B ñi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục ñi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Bài tập 15: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km. Hai mô tô khởi hành ñồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B ñi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục ñi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc mỗi xe. CHỦ ðỀ : HÌNH HỌC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ðịnh nghĩa – ðịnh lý Hệ quả Ký hiệu toán học Hình vẽ 1. Góc ở tâm: Trong một ñường tròn, số ño của góc ở tâm bằng số ño cung bị chắn. 2. Góc nội tiếp: * ðịnh lý: Trong một ñường tròn, số ño của góc nội tiếp bằng nửa số ño của cung bị chắn. * Hệ quả: Trong một ñường tròn: a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. (O,R) có:  AOB ở tâm chắn  AmB ⇒  AOB = sñ  AmB (O,R) có:  BAC nội tiếp chắn  BC ⇒  BAC = 1 2 sñ  BC . a) (O,R) có:   BC EF ⇒ =            =   n.tieáp chaén BC n.tieáp chaén EF BAC EDF BAC EDF Tốn 9 – Ơn tập học kỳ II 10 b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vng. 3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: * ðịnh lý: Trong một đường tròn, số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. * Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 4. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: * ðịnh lý: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. 5. Góc có đỉnh ở bên ngồi đường tròn: * ðịnh lý: Góc có đỉnh ở bên ngồi đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. b) (O,R) có: (O,R) có: c) (O,R) có: d) (O,R) có:  BAC nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC ⇒  BAC = 90 0 . (O,R) có:  BAx tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn  AB ⇒  BAx = 1 2 sđ  AB . (O,R) có: (O,R) có:  BEC có đỉnh bên trong đường tròn (O,R) có:  BEC có đỉnh bên ngồi đường tròn         ⇒ =    n.tiếp chắn BC n.tiếp chắn BC BAC BAC BDC BDC            ⇒ =   =   n.tiếp chắn BC n.tiếp chắn EF BAC EDF BAC EDF BC EF         ⇒ =    n.tiếp chắn BC 1 2 ở tâm chắn BC BAC BAC BOC BOC         ⇒ =    & AB AB BAx tạobởitt dcchắn BAx ACB ACBnộitiếpchắn    ⇒ + 1 = ( ) 2 BEC sđ BC sđ AD    ⇒ − 1 = ( ) 2 BEC sđ BC sđ AD [...]... CMR: OA ⊥ EF và EF // HK c) Khi ∆ ABC là tam giác ñ u có c nh b ng a Tính di n tích hình viên phân ch n cung nh BC c a (O) Bài 4: Cho hình vuông ABCD có c nh b ng a G i E là m t ñi m b t kỳ trên c nh BC Qua B v ñư ng th ng vuông góc v i tia DE t i H, ñư ng th ng này c t tia DC t i F a) CMR: Năm ñi m A, B, H, C, D cùng n m trên m t ñư ng tròn b) CMR: DH.HE = BE.CE 13 Toán 9 – Ôn t p h c kỳ II c) Tính... dài cung tròn: 9 Di n tích hình tròn, hình qu t tròn: * Di n tích hình tròn: A + C = 1800 ⇔ ABCD là t giác n.ti p Ho c: B + D = 1800 ⇔ ABCD là t giác n.ti p C = 2π R =π d ℓ= π Rn 1800 d2 S = πR = π 4 2 11 Toán 9 – Ôn t p h c kỳ II S = * Di n tích hình qu t tròn: * Di n tích hình viên phân: * Di n tích hình vành khăn: π R 2n 360 = ℓ.R 2 Sviên phân = Squ t - SABC 2 S = π ( R12 − R2 ) HÌNH KHÔNG GIAN 1.Hình...Toán 9 – Ôn t p h c kỳ II 6 Cung ch a góc: * T p h p các ñi m cùng nhìn ño n th ng AB dư i m t góc α không ñ i là hai cung tròn ch a góc α * ð c bi t: a) Các ñi m D, E, F cùng a) ADB = AEB = AFB = α cùng nhìn thu c n a m t ph ng b AB, ño n AB ⇒ A, B, D, E, F cùng thu c cùng nhìn ño n AB dư i m t m t ñư ng tròn góc không ñ i ⇒ Các ñ m A, B, D, E, F cùng thu c m... giác c a DHF Bài 5: M t hình vuông ABCD n i ti p trong ñư ng tròn Tâm O bán kính R M t ñi m M di ñ ng trên cung ABC , M không trùng v i A,B và C, MD c t AC t i H 1) CMR:T giác MBOH n i ti p ñư c trong ñư ng tròn và DH.DM = 2R2 2) CMR: MD.MH = MA.MC 3) ∆ MDC và ∆ MAH b ng nhau khi M m t v trí ñ c bi t M’ Xác ñ nh ñi m M’ Khi ñó M’D c t AC t i H’ ðư ng th ng qua M’ và vuông góc v i AC c t AC t i I Ch... tròn b) Các ñi m C, D, E, F cùng nhìn ño n AB dư i m t góc vuông ⇒ Các ñ m A, B, C, D, E, F thu c ñư ng tròn ñư ng kính AB 7 T giác n i ti p: * ð nh nghĩa: M t t giác có b n ñ nh n m trên m t dư ng tròn ñư c g i là t giác n i ti p ñư ng tròn * ð nh lý: Trong m t t giác n i ti p, t ng s ño hai góc ñ i di n b ng 1800 b) ACB = ADB = AEB = AFB = 90 0 cùng nhìn ño n AB ⇒ A, B, C, D, E, F thu c m t ñư ng tròn... Sxq + Sñáy Stp = π Rℓ + π R 2 * Th tích: Vnón = V = 1 Vtr 3 1 π R 2h 3 S: di n tích ñáy; h: chi u cao, l: ñư ng sinh 2 Hình nón c t: * Di n tích xung quanh: l = h2 + R 2 S xq = π ( R1 + R2 )l 12 Toán 9 – Ôn t p h c kỳ II * Di n tích toàn ph n: Stp = Sxq + Sñáy l n + Sñáy nh 2 Stp = π ( R1 + R2 )l + π ( R12 + R2 ) * Th tích: 3 Hình c u: * Di n tích m t c u: * Th tích: 1 2 V = π h( R12 + R2 + R1R2 ) 3... AMON n i ti p và tính di n tích hình tròn ngo i ti p t giác này 3 G i I là giao ñi m c a BE và CF; D là ñi m ñ i x ng c a I qua BC CMR: ID ⊥ MN 4 CMR: N u D n m trên (O) thì BAC = 600 Bài 2: Cho hình vuông ABCD có c nh b ng a G i M là ñi m trên c nh BC và N là ñi m trên c nh CD sao cho BM = CN Các ño n th ng AM và BN c t nhau t i H 1 CMR: Các t giác AHND và MHNC là nh ng t giác n i ti p 2 Khi BM = a . tam giác. Bài tập 9: Cho tam giác vng có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm 2 . Tìm độ dài các cạnh góc vng. Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 9 Bài tập 10: Giải bài toán sau bằng cách. – 1) 2 – 4.2.(m – 1) = 4m 2 – 12m + 9 = (2m – 3) 2 ≥ 0, ∀ m. V ậ y ph ươ ng trình (1) luôn có nghi ệ m v ớ i m ọ i m. 2. Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 6 • Áp d ụ ng h ệ th ứ c. Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 1 CHỦ ðỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hệ phương trình: ,