* Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp góc xen giữa chúng bù nhau thì trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giác này bằng một nửa cạnh thứ ba của tam giác kia.... [r]
(1)Chuyên đề - Tam giác (Lớp 7: Chủ nhật 27-10) Bài Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy Lấy điểm E trên tia đối tai Ox, điểm F trên tia Oy cho OE= OB, OF= OA a Chứng minh AB = EF, AB ⊥ EF b Gọi M và N là trung điểm AB và EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân Bài Cho V ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Nối D với E Gọi I là trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng Bài Cho V ABC, µ A = 60 Phân giác BD, CE cắt O Chứng minh : a V DOE cân b BE + CD= BC Bài Tam giác ABC và tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C' Hai góc A và A'bù Vẽ trung tuyến AM kéo dài đoạn MD=MA Chứng minh: a ·ABD = µ A' b AM = = góc BAC B'C' Bài Cho tam giác ABC vẽ ngoài tam giác này các tam giác vuông cân A là ABE và ACF Chứng minh: a BF = CE và BF ⊥ CE b Gọi M là trung điểm BC CMR: AM = EF Bài Cho V ABC vẽ ngoài tam giác này các tam giác vuông cân A là ABE và ACF Vẽ AH vuông góc với BC Đường thẳng AH giao EF O CMR: O là trung điểm EF Bài Cho V ABC có µ A = 60 Dựng ngoài tam giác đó các tam giác ABM và CAN a CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng b c/m BN = CM · c Gọi O là giao điểm BN và CM Tính BOC Bài Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác này hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác thì hai tam giác đó (2) Chuyên đề - Tam giác 1(BTNC&MSCĐ/123) Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy Lấy điểm E trên tia đối tai Ox, điểm F trên tia Oy cho OE= OB, OF= OA a Chứng minh AB = EF, AB ⊥ EF b Gọi M và N là trung điểm AB và EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân Giải: y · = 900; A ∈ Ox, B ∈ Oy GT xOy F OE = OB, OF= OA H M ∈ AB: MA = MB B N ∈ EF: NE = NF N M KL a, AB = EF, AB ⊥ EF b V OMN vuông cân E Chứng minh a Xét V AOB và V FOE có: A x O OA = OF ( GT) · · AOB = FOE = 900 ⇒ V AOB và V FOE(C.G.C) OB = OE (GT) µ µ (1) ( góc tương ứng) Xét V FOE : O µ = 900 ⇒ ⇒ AB = EF( cạnh tương ứng) A = F µ+ F µ = 900 (2) Từ (1) và (2) ⇒ E µ+ µ · E A = 90 ⇒ EAH =900 ⇒ EH ⊥ HA hay AB ⊥ EF b Ta có: BM = AB( M là trung điểm AB) EN = 2EF( M là trung điểm EF) ⇒ BM = EN Mà AB = EF µ = 900 ⇒ Eµ+ F µ = 900 Mặt khác: V FOE : O µ = 900 ⇒ µ µ = 900 µ V OAB : O A+B ⇒ Eµ= B 1 µ µ(cmt) Mà A = F Xét V BOM và V EON có : OB = OE (gt) µ= Eµ(cmt) B ⇒ V BOM = V EON (c.g.c) BM = EN (cmt) ¶ = O ¶ ¶ +O ¶ =900 ⇒ OM = ON (*) Và O Mà O 2 ¶ +O ¶ =900 ⇒ MON · nên O = 90 (**) Từ (*) và(**) ⇒ V OMN vuông cân 2(BT26/VTYTP/62): Cho V ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Nối D với E Gọi I là trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng A Giải GT V ABC: AB = AC D ∈ AB, E ∈ AC: BD=CE I ∈ DE: ID = IE KL B, I, C thẳng hàng D B · + EIC · = 1800 * Phân tích: B, I, C thẳng hàng ⇔ BIE · + BIE · = 180 Mà BID F I C E · = EIC · ⇒ Cần c/m BID (3) ⇒ Cần tạo điểm F trên cạnh BC: V EIC = V DIF Chứng minh · Kẻ DF// AC( F ∈ BC) ⇒ DFB = ·ACB ( hai góc đồng vị) · ⇒ DFB = ·ABC Mà V ABC cân tai A ⇒ ·ABC = ·ACB (t/c) ⇒ V DFB cân tai D ⇒ DB = DF Xét V DIF Và V EIC có: ID = IE (gt) · = CEI · (SLT, DF// AC) ⇒ V DIF = V EIC(c.g.c) FDI DF = EC (=BD) · · ⇒ DIF = EIC (hai góc tương ứng) (1) · + FIE · = 1800 (2) Vì I ∈ DE nên DIF · + FIE · = 1800 hay EIC · + EIB · = 1800 ⇒ B, I, C thẳng hàng Từ (1) và (2) ⇒ EIC A = 60 Phân giác BD, CE cắt O Chứng 3:(BTNC&MSCD/123) Cho V ABC, µ minh : a V DOE cân b BE + CD= BC Giải A µ V ABC, A =60 E BD: Phân giác Bµ(D ∈ AC) D O µ GT CE: Phân giác C (E ∈ AB) BD ∩ CE = {O} KL a V DOE cân C B F b BE + CD= BC Chứng minh 0 Ta có: V ABC: Bµ+ Cµ=1800 - µ A =180 - 60 = 120 (Định lý tổng ba góc µ B (BDlà phân giác Bµ) tam giác) Mà Bµ = µ µ µ µ= C (CE là phân giác C µ) Nên B µ+ C µ= B + C = 120 = 600 C 1 2 0 0 · µ µ V OBC: BOC =180 - ( B1 + C1 )= 180 - 60 =120 ((Định lý tổng ba góc tam giác) · ¶ = 1800( kề bù) +O Mặt khác: BOC ¶ =O ¶ =600 ⇒O · ¶ = 1800( kề bù) BOC +O · · ¶ =O ¶ = BOC =600 (F ∈ BC) ⇒ O Vẽ phân giác OF BOC ¶ =O ¶ =O ¶ =O ¶ =600 Do đó : O Xét V BOE và V BOF có: ¶ = B µ(BDlà phân giác B µ) B ⇒ V BOE = V BOF(g.c.g) BO cạnh chung ¶ ¶ O1 = O4 =60 ⇒ OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng) Và BE = BF c/m tương tự V COD = V COF(g.c.g) ⇒ OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng) và CD = EF Từ (1 ) và (2) ⇒ OE = OD ⇒ V DOE cân (4) b Ta có BE = BF CD = CF (cmt) ⇒ BE+CD=BF+FC=BC Vậy : BE + DC= BC * Nhận xét: · - VD trên cho ta thêm cách vẽ đường phụ:Vẽ phân giác OF BOC Khi đó OF là đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE - Ta có thể vẽ thêm đường phụ cách khác: Trên BC lấy điểm F:BF= BE Do đó cần c/m V BOE = V BOF(g.c.g) và V COD = V COF(g.c.g) BTNC&MSCĐ/117) Tam giác ABC và tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C' Hai góc A và A'bù Vẽ trung tuyến AM kéo dài đoạn MD=MA Chứng minh: a ·ABD = µ A' b AM = B'C' Giải GT V ABC, V A'B'C': AB=A'B', AC= A'C' A µ A+ µ A ' = 180 A' M ∈ BC: MB=MC B D ∈ AM: MD=MA A' KL a ·ABD = µ C' M C B' b AM = B'C' D Chứng minh Xét V AMC và V DMB có: AM = MD (gt) · · AMC = DMB (đối đỉnh) ⇒ V AMC = V DMB (c.g.c) MC = MB( gt) ⇒ AC = BD ( hai cạnh tương ứng) µ= D µ( hai góc tương ứng) ⇒ AC//BD ( vì có cặp góc SLT nhau) A · ⇒ BAC + ·ABD = 1800(hai góc cùng phía) · +µ A ' = 180 (gt) Mà BAC ABD = µ A' ⇒· b Xét V ABD và V B'A'C' có: AB = A'B'(gt) · ABD = µ A ' (cmt) ⇒ V ABD và V B'A'C'(c.g.c) BD = A'C'(=AC) ⇒ AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng) Mà AM = ⇒ AM = AD (gt) B'C' * Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh và cặp góc xen chúng bù thì trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác này nửa cạnh thứ ba tam giác (5) 63- BTNC&MSCĐ/117) Cho tam giác ABC vẽ ngoài tam giác này các tam giác vuông cân A là ABE và ACF Chứng minh: a BF = CE và BF ⊥ CE b Gọi M là trung điểm BC CMR: AM = EF F Giải E V ABC V ABE: µ A = 90 , AB = AE A = 90 , AC = AF GT V ACF: µ A I M ∈ BC: MB=MC O KL a.BF = CE và BF ⊥ CE b.AM = EF B M C Chứng minh · · + BAC · · a Ta có: EAC = EAB = 900 + BAC · = BAC · · = 900 + BAC · BAF + CAF · · ⇒ EAC = BAF Xét V ABF và V AEC có: AB = AE(gt) · · BAF = EAC (cmt) ⇒ V ABF = V AEC(c.g.c) AF = AC (cmt) ⇒ BF = CE ( hai cạnh tương ứng) và Bµ= Eµ( hai góc tương ứng) (1) 1 Gọi O và I là giao điểm CE với BF và AB µ Xét V AEI vuông A có Eµ + I1 = 90 (2) µ Và Iµ = I (đối đỉnh) (3) 0 µ · Từ (1), (2) và (3) ⇒ Bµ + I =90 ⇒ BOI = 90 ⇒ BF ⊥ CE · + BAC · · · b Ta có: EAB + CAF + FAE = 3600 · · · + CAF · ⇒ BAC + FAE = 3600 - ( EAB ) =3600-(900+900)=1800 Ta thấy: V ABC và V EAF có hai cặp cạnh và cặp góc xen chúng bù nên trung tuyến AM = EF (6) 6(HHNC/56): Cho V ABC vẽ ngoài tam giác này các tam giác vuông cân A là ABE và ACF Vẽ AH vuông góc với BC Đường thẳng AH giao EF O CMR: O là trung điểm EF Giải V ABC V ABE: µ A = 90 , AB = AE V ACF: µ A = 90 , AC = AF AH ⊥ BC ( H ∈ BC) AH ∩ EF ={O} GT K O E F I A KL O là trung điểm EF Chứng minh Kẻ EI ⊥ AH, FK ⊥ AH (I, K ∈ AH) Xét V AEI và V ABH có: B H C $I = H µ= 900 AE = AB (gt) ⇒ · = BAH · EAI ( cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn) ⇒ V AEI = V ABH (cạnh huyền- góc nhọn) ⇒ EI = AH ( hai cạnh tương ứng) Tương tự: V AFK = V CAH (cạnh huyền- góc nhọn) ⇒ FK = AH ( hai cạnh tương ứng) Xét V OEI và V OFK có: $I = K µ = 900 EI = FK (=AH) ⇒ V OEI = V OFK(g.c.g) · · (SLT, EI//FK) KFO = IEO ⇒ OE = OF ( hai cạnh tương ứng) Mà O ∈ EF(gt) ⇒ O là trung điểm EF A = 60 Dựng ngoài tam giác đó các tam giác 7( 88/ BDT7/101) Cho V ABC có µ ABM và CAN a CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng b c/m BN = CM · c Gọi O là giao điểm BN và CM Tính BOC Giải A = 60 GT V ABC : µ M A N V ABM: AB= BM=MA V CAN: AC=CN=NA O BN ∩ CM = {O} Kl a A,M,N thẳng hàng b BN=CM · c BOC =? B C (7) · · Chứng minh a V ABM, V CAN ⇒ BAM = CAN =600 · · · · = BAM + BAC + CAN = 600+600+600=1800 ⇒ M,A,N thẳng hàng Vậy MAN b.Xét V ABN và V ACM có: AB = AM (gt) · · BAN = CAM (=1200) ⇒ V ABN = V ACM(c.g.c) AN=AC(gt) µ= N ¶ ( hai góc tương ứng) ⇒ BN = CM ( hai cạnh tương ứng) Và C 1 · · · · · · là góc ngoài V OCN ⇒ BOC = OCN + ONC = Cµ c BOC + ACN + ONC 0 ¶ · ¶ · · · · Mà Cµ = N1 (cmt) ⇒ BOC = N1 + ACN + ONC = ACN + ANC =60 +60 =120 35/NC&PT/37) Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác này hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác thì hai tam giác đó A' Giải A 2 GT V ABC, V A'B'C': AB = A'B', AC= A'C' M' M ∈ BC: MB=MC C' B' M B C M' ∈ B'C': M'B'=M'C' AM=A'M' 1 D KL V ABC= V A'B'C' D' Chứng minh Lấy D ∈ AM: MD=MA Lấy D' ∈ A'M': M'D'=M'A' Xét V ABM và V DMC có: MB=MC(gt) · · AMB = CMD (đối dỉnh) ⇒ V ABM và V DMC(c.g.c) AM = MD(cách lấy điểm D) ¶ (1)( hai góc tương ứng) ⇒ CD= AB( hai cạnh tương ứng) Và ¶ A2 = D ¶ ¶ C/m tương tự ; C'D'=A'B'; A '2 = D '1 (2) Xét V ACD và V A'C'D' có: AC = A'C'(gt) ⇒ V ACD = V A'C'D'(c.g.c) AD=A'D'(vì AM=A'M') CD=C'D'(=AB) µ= ¶ ¶ =D ¶' (3) Từ (1), (2),(3) ⇒ ¶ µ= ¶ · ⇒A A '1 và D A2 = ¶ A '2 mà A A '1 ⇒ BAC = B·' A ' C ' 1 1 Vậy V ABC= V A'B'C'(c.g.c) * cách 2: V AMC và V A'M'C' có: AM=A'M'(gt) µ= ¶ A A '1 (cmt) ⇒ V AMC = V A'M'C'(c.g.c) ⇒ MC = M'C'( hai cạnh tương ứng) AC= A'C'(gt) 1 BC; M'C' = B'C'(gt) Do đó: BC=B'C' Vậy V ABC= V A'B'C'(c.c.c) 2 · Cho tam giác ABC cân đáy BC BAC =200 Trên cạnh AB lấy điểm E · · cho BCE =500 Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD =600 Qua D kẻ đường thẳng song Mà MC = song với BC,nó cắt AB F Gọi O là giao điểm BD và CF a C/m V AFC= V ADB b C/m V OFD và V OBC là các tam giác c Tính số đo góc EOB d C/m V EFD = V EOD d Tính số đo góc BDE (8)