Tìm tọa độ trung điểm K của cạnh AB biết diện tích tam giác ABC bằng 2.. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn C với B, C là các tiếp điểm.[r]
(1)SỞ GD - ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT HÀN THUYÊN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG KHỐI 11 NĂM HỌC 2012-2013 Môn : TOÁN ; Khối : A, A1, B – lần Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề Ngày 21 tháng 10 năm 2012 ===================== Câu I (2 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (P) hàm số y = x2 -2x - Tìm m để phương trình sau : Cos2x – 4cosx +2m -1 = có nghiệm phân biệt x1, x2 [ − π π ; 2 ] Câu II (2 điểm) π √ x +2− √ 3− x < Giải bất phương trình : −2 x √5 − x ¿ y − xy + x (x −1)=x +1 Câu III (2 điểm) Cho hệ phương trình: √ 1− x − √ y=√ − y +m ¿{ ¿ Giải phương trình: sin (x+ )= √ sin x +cos x +4 Giải hệ phương trình trên với m = -1 Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm Câu IV (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Biết B, C nằm trên đường thẳng y – x = 0, trung điểm cạnh AC là I(2; 1) Tìm tọa độ trung điểm K cạnh AB biết diện tích tam giác ABC 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ): x 2+y2+2x-4y-20 = và điểm A(5;-6) Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC ¿ 3 Chứng minh tam giác ABC nếu: a − b −c a= a −b − c ¿{ ¿ SinBsin C= Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b +c = Chứng minh rằng: a+b b+c c+ a + + ≥3 √ab+ c √ bc+ a √ca +b - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu I điểm 1 điểm Tập xác định: D=R Đồ thị là đường Parabol có đỉnh I(1; -4) 0.25 Bảng biến thiên: X Y - + + + 0.25 -4 Hàm số nghịch biến trên (-; 1), đồng biến trên (1; ) Đồ thị y 0.25 f(x)=x^2-2*x-3 x -3 -2 -1 -1 0.25 -2 -3 -4 -5 1điểm Tìm m để phương trình sau : Cos2x – 4cosx +2m -1 = có nghiệm phân biệt π π x1, x2 − ; 2 - PT đã cho ⇔ cos x − cos x+2 m− 2=0 ⇔ cos2 x −2 cos x=1 − m - Đặt cos x=t ,t ∈[−1 ; 1] , PTTT: t2 - 2t -3 = -2 -m (2) [ ] 0.25 (3) - Với x1, x2 π - Xét [ − ; π ] [ − π π ; 2 ] ⇒ t ∈[0 ; 1] Để PT đã cho có nghiệm phân biệt x1, x2 0.25 thì PT(2) có nghiệm t ∈ ¿ f (t)=t − 2t −3 , khảo sát biến thiên hàm số f(t) trên [0;1) được: X Y -3 0.25 -4 0.25 - Căn bảng biến thiên thấy − 4<− 2− m≤ −3 ⇔1 ≤ m<2 ( Chú ý : học sinh làm cách khác điểm trên) Câu II điểm π sin (x+ )= √ sin x +cos x +4 điểm Giải phương trình: π π π π PT(1)⇔ sin2 ( x + )= √ sin x+ cos x +2 ⇔sin ( x+ )=(sin x cos + cos x sin )+2 2 6 π π ⇔ sin (x + )− sin( x + )− 2=0 6 t −t − 2=0 ⇔ t=−1 ¿ π t=2(l) Đặt t=sin(x + ),−1 ≤ t ≤ , PTTT: ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ π π π 2π +k π (k ∈ Z) Với t=−1 ⇒sin( x + )=− 1⇔ x + =− +k π ⇔ x=− 6 1điểm Giải bất phương trình : √ x +2− √ 3− x < −2 x 0.25 0.25 √5 − x - BPT ⇔ √ x+ 2− √3 − x< √ −2 x ⇔ √ x +2< √ − x + √ 5− x x+ 2< 3− x+5 − x +2 √(5 −2 x)(3 − x )⇔ √2 x − 11 x+15> x − TH 1: x −3 <0 2 x −11 x+ 15≥ ⇔ x< ¿{ - Đkxđ: −2 ≤ x < 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 (4) CâuIII 1 điểm điểm − TH : x −3 ≥ x −12 x+ 9<2 x −11 x+ 15 ⇔ ¿x ≥ − < x< 2 ¿{ −2 ≤ x <2 điểm ¿ y − xy + x (x − 1)=x +1(1) Giải hệ phương trình: √ 1− x − √ y=√ − y +m(2) với m = -1 ¿{ ¿ Đkxđ: −1 ≤ x ≤1 và ≤ y ≤ 2 2 ⇔ y − xy+ x − x=x + 1⇔ y − xy − x −1=0 ⇔ y=− 1(loai) ¿ y=x +1 - Biến đổi PT(1) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ - Với m=1 và y=x+1 PT(2): √ 1− x − √ x+1=√ 1− x −1 ⇔ √ 1− x −(√ x+1+ √1 − x)+1=0 t −2 2 - Đặt t= √ x+1+ √ − x ⇒t =1+ x +1 − x+ √1 − x ⇒ √ − x = t 2− −t +1=0 ⇔ t −2 t=0 ⇔ t=0 ¿ - PT trên: t=2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ - Với t=0 thì phương trình vô nghiệm - Với t=2 √ 1− x 2=1 ⇔ x=0 ⇒ y=1 - ĐS (0;1) t=√ x+1+ √1 − x ⇒ t 2=1+ x +1 − x +2 √ − x 2=2+2 √1 − x ⇒ 2≤ t ≤ ⇒ √ ≤ t ≤2 t −2 ⇒ √ − x 2= 2 t −2 PT(2): −t=m ⇔ t − 2t −2=2 m (3) [¿ √ ; 2] Dat f (t )=t −2 t − 2/¿ B.b.t: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 (5) T √2 f(t) -2 0.25 2 PT đã cho có nghiệm khi: −2 √ 2≤ m≤ −2 ⇔− √2 ≤ m≤− 0.25 CâuIV điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Biết B, C nằm trên đường thẳng y – x = 0, trung điểm AC là I(2; 1) Tìm tọa độ trung điểm K AB biết diện tích tam giác ABC điêm A I J B điểm - ĐT (BC): x-y=0, d ( I ,BC)= H K = IK √2 ⇒ AH=2 IK=√ , 1 S ABC= AH BC= √ 2 IJ= √ IỊ ⇒ IJ= √ 2 0.5 C IỊJ =√ 2⇒ y=0 ⇒ J (1; 0) ¿ y=2⇒ J ( 3; 2) IJ//BC ⇒ IỊ(IJ) : x − y − 1=0 ⇒ J ( y +1 ; y ) Do ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 + 2x - 4y – 20 = và A(5;-6) Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm Viết phương trình đường nội tiếp tam giác ABC - ( C ) có tâm I(-1;2), bán kính R=5, BC cắt IA H Ta có IA=10 1 ⇒ IH= , I⃗ H= I⃗ A ⇒ H ( ; 0) ,cos ∠ AIB= ⇒∠ AIB=600 ⇒∠ AIB=600 ⇒ Δ ABC 2 là tam giác Suy tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Gọi G AG= ⃗ AH ⇒ G(2; − 2) , bán kính r=GH= là trọng tâm tam giác ABC, ta có ⃗ 25 y +2 ¿2= Suy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: x −2 ¿ +¿ ¿ 0.5 0.5 0.25 0.25 (6) ( Cách tứ giác ABIC nội tiếp ) B G H A I C điểm Câu V 1đ ¿ SinBsin C= (1) 3 Chứng minh tam giác ABC nếu: a − b −c a= (2) a −b − c ¿{ ¿ 2 3 3 2 Từ (2) có: a -a b-a c= a −b − c ⇔ a (b+c )=(b+c )(b − bc+ c ) ⇔ b 2+ c −2 bc cos A=b2 − bc+c ⇔ cos A= ⇔ A=600 Mặt khác ⇔ SinB sinC=3 ⇔ 2cos (B− C)−2 cos(B+C)=3 ⇔ cos (B− C)=0 ⇔B=C Vậy tam giác ABC a+b a+b −c = = √ab+ c √ ab+1 − a− b √ (1 −a)(1 −b) 1−c 1−a 1− b + + - VT = √(1 − a)(1− b) √(1 −b)(1 −c ) √(1 −c )(1− a) - Biến đổi : −c 1−a 1− b √(1 − a)(1 − b) √(1 −b)(1 −c ) √(1 − c)(1 −a) Dấu = xảy a=b=c= √ 33 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 ==============Hết============== (7)