Cho một hình chóp có đáy là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.Mặt bên qua cạnh huyền vuông góc với đáy,hai mặt bên còn lại đều tạo với đáy góc 45o aCMR hình chiếu vuông góc[r]
(1)BÀI TẬP :THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A.Các công thức Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là kích thước) Thể tích khối lập phương : V = a3 (a là cạnh khối lập phương) V = Bh ( B diện tích đáy, h chiều cao) Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao) Chú ý: Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k3 B.Bài tập Bµi 1:Khối lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB và A1D và độ dài đường chéo mặt bên Thể tích khôi chóp: a)Hạ AK A1D (K A1D ).CMR AK =2 b)T ính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 Bµi 2: Cho hình chóp tam giác SABC có đờng cao SO = và đáy ABC có canh b»ng √ §iÓm M,N lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC,AB t¬ng øng.TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SAMN Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 với AB=a;BC= b;AA1 a)Tính diện tích tam giác ACD1 theo a,b,c b)Giả sử M,N là trung điểm AB và AC Tính thể tích tứ diện D1DMN theo a,b,c Bài 4: Cho hình chóp SABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB=AC=3a,BC=2a biết các mặt bên (SAB),(SBC),(SCA) hợp với mặt phẳng đáy (ABC) góc 60o.Kẻ đường cao SH hình chóp a)Chứng tỏ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SA BC b)Tính thể tích khôi chóp Bài 5: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a.Cạnh bên SA = a ❑√ Một mặt phẳng (P) qua A,B và vuông góc với mf(SCD),(P) cát SC,SD C1 và D1 a) Tính diện tích tứ giác ABC1D1 b) Tính thể tích khối đa diện ABCDD1C1 Bài 6: Cho hình chóp tứ giác SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB =60o.Tính thể tích hình chóp SABCD theo a Bài 7: (2) Cho tam giác ABC cạnh a.Trên đường thẳng d vuông góc với mf(ABC) Alấy điểm M.Gọi H là trực tâm tam giấcBC,K là trực tâm tam giác BCM a) CMR MC (BHK) ; HK (BMC) b)Khi M thay đổi trên d,tìm GTLN thẻ tích tứ diện KABC Bài 8: Trên nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R, lấy điểm C tuỳ ý Kẻ CH vuông góc với AB Gọi I là trung điểm CH Trên nửa đờng thẳng vuông góc với mặt ph¼ng (ABC) t¹i I, lÊy ®iÓm S cho gãc ASB = 900 a) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (SAB) t¹o víi mÆt ph¼ng (ABC) gãc 600 b) Cho AH = x TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn SABC theo R vµ x T×m vÞ trÝ cña C để thể tích đó lớn Bài 9: Cho đờng tròn đờng kính AB = 2R mặt phẳng (P) và điểm M nằm trên đờng tròn đó cho góc MAB 30 Trên đờng vuông góc với mặt ph¼ng (P) t¹i A, lÊy ®iÓm S cho SA = 2R Gäi H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SM, SB a) Chøng minh r»ng SB vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (KHA) b) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn SKHA Bài 10 Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a Gäi K lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC vµ I lµ t©m cña mÆt bªn CC’D’D a) Xác định thiết diện hình lập phơng với mặt phẳng (AIK) b) TÝnh thÓ tÝch cña c¸c h×nh ®a diÖn mÆt ph¼ng (AIK) chia trªn h×nh lËp ph¬ng Bµi 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm c¸c c¹nh AD, AB, SC a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) b) So s¸nh thÓ tÝch cña hai khèi ®a diÖn mÆt ph¼ng (MNP) chia trªn h×nh chãp Bµi 12 Cho hình chóp tứ giác có chiều cao h và cạnh đáy a Tính thể tích khối lập phơng có mặt nằm trên đáy hình chóp và đỉnh nằm trên cạnh bên hìmh chóp đó Bµi 13 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Trên tia A1B1 lấy điểm M cho B1M = A1B1 Qua M vµ c¸c trung ®iÓm cña A 1C1 vµ B1B dùng mét mÆt ph¼ng TÝnh tØ sè thÓ tÝch hai phÇn cña khèi l¨ng trô mÆt ph¼ng nµy chia Bµi 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Qua A, B và trung điểm SC dựng mét mÆt ph¼ng Tinh tØ sè thÓ tÝch hai phÇn cña khèi chãp mÆt ph¼ng nµy chia Bµi 15 (3) Cho tam giác ABC cân A Một điểm M thay đổi trên đờng thẳng vuông gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) t¹i A (M kh«ng trïng víi A) Gäi O vµ H theo thø tự là trực tâm tam giác ABC và MBC Xác định vị trí M để thể tích khối tứ diện OHBC đạt giá trị lớn Bµi16 Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’ ThiÕt diÖn cña h×nh lËp ph¬ng t¹o bëi mặt phẳng qua đỉnh A, trung điểm cạnh BC và tâm mặt DCC’D’ chia khối lập phơng thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó Bµi 17 Cho h×nh tø diÖn ABCD cã BC = CD = DB, AB = AC = AD Gäi H lµ ch©n đờng cao hình tứ diện xuất phát từ A, K là chân đờng vuông góc hạ tõ H xuèng AD §Æt AH = a, HK = b TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD theo a vµ b Bµi 18 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC α Cạnh SA = h hình chóp vuông góc với đáy Lấy trung điểm P BC vµ c¸c ®iÓm M, N lÇn lît trªn AB, AC cho AM = AN = AP TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.AMPN Bµi 19 Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC = a), BB’ = CC’ = a lµ hai ®o¹n thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) cùng phía với mặt phẳng đó TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp A.BCC’B’ Bµi 20 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a a) Tính đờng cao và thể tích khối chóp theo a b) Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, AD, SC MÆt ph¼ng (MNP) c¾t SB, SD lÇn lît t¹i Q, R So s¸nh c¸c ®o¹n th¼ng QB, RD víi SB c) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (MNP) chia khèi chãp thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch b»ng Bµi 21 2a Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a , BD = Trên đờng thẳng vuông góc với (P) và qua giao điểm hai đờng chéo hình thoi, lấy ®iÓm S cho SB = a a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ASC lµ tam gi¸c vu«ng b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD Bµi 22 Cho hình tứ diện ABCD cạnh a Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung ®iÓm cña AB, AC, CD, BD a) Chøng minh r»ng A’B’C’D’ lµ h×nh vu«ng b) TÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn DAA’B’C’D’ theo a c) TÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn DAA’B’C’D’ theo a nÕu A’, B’, C’, D’ theo thø tù lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh AB, AC, CD, BD cho AA’ a = BB’ = CC’ = DD’ = Bµi 23 (4) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA = 2a vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) Gäi M vµ N lÇn lît lµ h×nh chiÕu vuông góc A trên các đờng thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCMN Bµi 24 Cho khối chóp tam giác S.ABC có chiều cao h và góc ASB α H·y tÝnh thÓ tÝch khèi chãp Bµi 25 BiÕt thÓ tÝch khèi hép ABCDA 1B1C1D1 b»ng V tÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ACB1D1 Bµi 26 Cho tứ diện SABC có cạnh là a Dựng đờng cao SH a) Chøng minh SA BC b) TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp SABC Bµi 27 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân AB=AC= a.mf(SBC) vu«ng gãc víi mf(ABC) vµ SA=SB =A a)CMR tam gi¸c SBC lµ tam gi¸c vu«ng b)Cho SC = x.TÝnh thÓ tÝch khèi chãp theo a vµ x Bµi 28 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a.Mặt bên qua cạnh huyền vuông góc với đáy,hai mặt bên còn lại tạo với đáy góc 45o a)CMR hình chiếu vuông góc đỉnh hình chóp xuống đáy là trung điểm cạnh huyền đáy b)TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp Bµi 29 Cho hình chóp tứ giác SABCDcó cạnh bên tạo với đáy góc 60 o và cạnh đáy a.Tính thể tích khối chóp Bµi 30 Cho lăng trụ ABCA1B1C1.Tam giac ABC1 có diện tích là √ S và hợp với mặt đáy góc α a)TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô b)S không đổi,cho α thay đổi.Tính α để thể tích lăng trụ lớn Bµi 31: Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 cạnh đáy a.Góc đừơng chéo AC1 và đáy là 60o Tính thể tích khối lăng trụ Bµi 32 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1,đáy ABC cân đỉnh A.Góc AA1 và BC1 là 30o vµ kho¶ng c¸ch gi÷a chóng lµ a.Gãc gi÷a hai mÆt bªn qua AA lµ 60o.TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô Bµi 33 Cho lăng trụ ABCA1B1C1 đáy là tam giác cạnh a.Hình chiếu cảu A lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Biết góc BAA1 = 45o TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô Bµi 34 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D! có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,góc A 60o.Chân đờng vuông góc hạ từ B1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đờng chéo đáy.Biết BB1 =a (5) a)Tính góc cạnh bên và đáy b)TÝnh thª tÝch cña khèi hép Bµi 35 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA (ABCD) và SA = a √ Trên cạnh đáy AD lấy điểm M thay đổi,đặt góc ACM = α Hạ SN CM Chứng minh N luôn thuộc đờng tròn cố định và tính thể tÝch tø diÖn SACN theo a vµ α Bµi 36 Cho lăng trụ tam giác ABCA 1B1C1 c đáy ABC là tam giác đêï c¹nh a,điểm A1 cách các điểm A,B,C.Cạnh AA1 tạo với mặt phẳng đáy góc 60o a)TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô b)Chøng minh mÆt bªn BCC1B1 lµ mét h×nh ch÷ nhËt Bµi 37 Hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1đáy ABC là tam giác vuông A,AC=b,gãc C =60o.§êng chÐo BC1 t¹o víi mf(A A1C1C) mét gãc 30o a)Tính độ dài AC1 b)TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô Bµi 38 Cho h×nh chãp SABC Trªn c¸c tia SA,SB,SC lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm A’ ,B’,C’ CMR V SA B C SA ' SB ' SC' = V SABC SA SB SC ' ' ' Bµi 39 Cho hình chóp tam giác SABC có SA = x;BC= y;các cạnh còn lại a)TÝnh thÓ tÝch khèi chãp theo x,y b)Víi x,y b»ng bao nhiªu th× thÓ tÝch khèi chãp lín nhÊt? Bµi 40 Trong không gian cho đoạn OO1 = H và hai nửa đường thẳng Od,O1d1 cùng vuông góc với OO1 và vuông góc với Điểm M chạy trên Od, điểm N chạy trên O1d1 cho ta luôn có OM2+O1N2 =k2(k cho trước) a)Chứng minh đoạn MN có độ dài không đổi b)Xác định vị trí M trên Od và N trên O1d1 cho tứ diện OO1MN có thể tích lớn (6)