Miền ổn định của hệ động lực liên tục​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 84 60112 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Chủ tịch hội đồng: GS TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - 2020 Mục lục Lời cảm ơn iii Danh sách hình vẽ iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ động lực phi tuyến 1.2 Tính ổn định 1.3 Lý thuyết hàm Lyapunov 12 1.4 Lý thuyết hàm lượng 15 1.4.1 Hàm lượng 15 1.4.2 Hàm lượng cho hệ động lực cấp hai 18 Chương Miền ổn định tựa ổn định hệ động lực liên tục 23 2.1 Điểm cân biên ổn định 23 2.2 Đặc trưng biên ổn định 31 2.3 Miền tựa ổn định đặc trưng biên tựa ổn định 35 2.4 Thuật toán xác định biên ổn định 39 Chương Ước lượng miền ổn định hệ động lực liên tục 3.1 46 Tập mức đặc trưng điểm cân không ổn định gần 46 3.2 Miền tựa ổn định hàm lượng 50 3.3 Ước lượng miền ổn định theo hàm lượng địa phương 52 i Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 62 ii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hoàn thành hướng dẫn PGS TSKH Vũ Hồng Linh Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Lãnh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ mơn Tốn học tính tốn Tốn ứng dụng, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn học (khóa 2018-2020), cảm ơn gia đình, bạn bè quan chủ quản động viên, giúp đỡ nhiều trình học tập Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2020 Học viên Phạm Hồng Quân iii Danh sách hình vẽ 1.1 Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov 1.2 Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận 1.3 Mô tả đa tạp ổn định địa phương đa tạp không ổn định địa phương điểm cân 1.4 Quan hệ không gian ổn định không gian không ổn định với đa tạp ổn định đa tạp không ổn định điểm cân hyperbolic 1.5 Đa tạp ổn định không ổn định (0, 0); không gian riêng ổn định không ổn định tương ứng 1.6 12 Minh họa quan hệ hình cầu mở hình cầu đóng chứng minh Định lý 1.11 13 2.1 Giao đa tạp không ổn định x1 đa tạp ổn định 2.2 x2 khơng thỏa mãn điều kiện hồnh 29 Miền ổn định điểm cân ổn định (0, 0) Ví dụ 2.1 35 2.3 Minh họa khác miền ổn định miền tựa ổn định 38 2.4 Đường cong A B giới hạn miền ổn định xác định phương pháp khác Đường cong C biên ổn định thu phương pháp 42 2.5 Bức tranh pha hệ (2.3) biên ổn định 43 2.6 Bức tranh pha hệ động lực Ví dụ 2.3 Biên ổn định đường in đậm màu đỏ 3.1 3.2 45 Mối quan hệ mặt mức lượng S(r) giá trị mức khác miền ổn định A(xs ) 48 Cấu trúc mặt mức lượng tăng giá trị mức 51 iv 3.3 Miền ổn định ước lượng theo mặt lượng 3.4 Bức tranh pha hệ Ví dụ 3.1 So sánh biên ước lượng biên ổn định định xác 3.5 55 56 Miền ổn định xác miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.2 59 3.6 Miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.3 60 3.7 Miền ổn định ước lượng biên ổn định xác Ví dụ 3.3 v 61 Mở đầu Từ nhiều kỷ trước, việc nghiên cứu tính ổn định hệ động lực xem tốn khó hấp dẫn người, xuất nhiều lĩnh vực khác kinh tế, học, vật lý, kỹ thuật Cũng chủ đề rộng nên khái niệm độ ổn định hình thành theo nhiều cách khác tùy thuộc vào mục đích nghiên cứu tính ổn định Trong đó, chủ đề quan trọng liên quan chặt chẽ đến ổn định miền ổn định hệ động lực phi tuyến Trong thực tế, nhiều hệ thống vật lý kỹ thuật thiết kế để hoạt động trạng thái cân Nói cách khác, cấu tạo để vận hành điểm cân xung quanh điểm cân mơ tả q trình vận hành hệ động lực phi tuyến Yêu cầu quan trọng để vận hành thành công hệ thống trì ổn định trạng thái cân Tính ổn định địi hỏi chắn điểm cân nhiễu nhỏ tác động bên hệ thống gây Nói cách khác, trạng thái hệ thống dần điểm cân nhiễu nhỏ định Tuy nhiên, hầu hết hệ thống vật lý kỹ thuật khơng ổn định tồn cục Có thể hiểu hệ thống quay trở lại trạng thái cân kích thước có giới hạn nhiễu Mặc dù vấn đề quen thuộc toán đặt làm để tính miền ổn định xung quanh điểm cân hệ động lực cho trước Từ đó, cho phép hạn chế nhiễu nhỏ dao động bên miền ổn định tính tốn Cho đến nay, có số phương pháp dùng tính tốn xấp xỉ miền ổn định hệ động lực phi tuyến cho trước hầu hết phương pháp dựa hàm lượng hàm Lyapunov, [4], [5], [9], [12] Tuy nhiên, cách tiếp cận không dựa hàm Lyapunov xem xét trình bày [5] Phương pháp cho phép tìm miền ổn định xác hệ động lực phi tuyến cho trước Một cách tiếp cận khác dựa phương pháp mặt mức ẩn tập mức nghiên cứu [7], [11] Trong luận văn này, chúng tơi trình bày “Miền ổn định hệ động lực liên tục” Cụ thể hơn, chúng tơi trình bày lý thuyết miền ổn định cách tìm miền ổn định phương pháp số Luận văn chia thành ba chương sau ❼ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm ổn định tính chất liên quan Ngoài ra, lý thuyết hàm lượng, hàm Lyapunov đề cập đến Các lý thuyết sử dụng để ước lượng miền ổn định hệ động lực phi tuyến có số chiều lớn ❼ Chương 2: Miền ổn định tựa ổn định hệ động lực liên tục Chương tập trung chủ yếu vào trình bày đặc trưng biên ổn định biên tựa ổn định hệ động lực Ở cuối chương, chúng tơi đưa thuật tốn để xác định biên ổn định cách hoàn chỉnh ❼ Chương 3: Ước tính miền ổn định hệ động lực liên tục Trong chương cuối, tập trung vào phương pháp ước lượng miền ổn định hệ động lực cho trước dựa hàm lượng tập mức Bên cạnh đó, số thử nghiệm số thực cho số hệ động lực phi tuyến tiên tục có số chiều thấp đưa Các tài liệu sử dụng luận văn bao gồm số sách báo tác giả Hsiao-Dong Chiang Luís Fernando Costa Alberto, [2], [4], [5], [12] Kết luận văn báo cáo seminar Bộ mơn Tốn học tính tốn Tốn ứng dụng, Khoa Tốn - Cơ - Tin học trình bày Hội thảo Một số tốn chọn lọc phương trình vi phân điều khiển Viện Nghiên cứu cao cấp Toán tổ chức Tuần Châu, Quảng Ninh, ngày 05-07/11/2020 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương thứ này, nhắc lại định nghĩa tính chất tính ổn định hệ động lực Bên cạnh đó, lý thuyết hàm Lyapunov, hàm lượng hệ động lực ứng dụng trình bày mục cuối chương Đây kiến thức sở cho nội dung chương sau Phần lớn nội dung chương trình bày dựa tài liệu [1], [2], [4] [5] 1.1 Hệ động lực phi tuyến Trong chương này, xét hệ động lực phi tuyến (ô tô nôm) sau x˙ = f (x), (1.1) x ∈ Rn biến véctơ hàm f : Rn → Rn thỏa mãn điều kiện đảm bảo toán giá trị ban đầu (1.1) tồn nghiệm Trong luận văn này, giả thiết hàm f khả vi r lần đạo hàm liên tục Điều kiện đảm bảo với giá trị ban đầu x0 , tồn khoảng cực đại I = (w− , w+ ) ⊂ R, ∈ I tồn hàm khả vi liên tục x(t) : I → Rn nghiệm phương trình (1.1) cho x(0) = x0 Định lý 1.1 ([5]) Cho x(t) nghiệm phương trình (1.1) [0, w+ ] khoảng cực đại tồn nghiệm Khi đó, tồn tập compact kỳ tập compact, bất biến dương chứa tập w-giới hạn theo Định lý 1.13-1.14, tập w-giới hạn hệ động lực (3.1) chứa điểm cân nên tập S phải chứa điểm cân Điều mâu thuẫn với giả thiết Như vậy, chứng minh kết thúc Nhận xét 3.1 Nếu điểm cực tiểu Định lý tồn biên ổn định khơng thể điểm nguồn Thông thường, điểm cân loại Định lý 3.4 (Đặc trưng động lực, [4]) Giả sử hệ động lực phi tuyến (3.1) tồn hàm lượng Giả thiết thêm xs điểm cân ổn định A(xs ) miền ổn định tương ứng hệ (3.1) Khi đó, miền ổn định A(xs ) không trù mật Rn hàm lượng đạt cực tiểu biên ổn định x ˆ W u (ˆ x) ∩ A(xs ) = ∅ Chứng minh Giả thiết phản chứng đa tạp không ổn định điểm cân x ˆ không hội tụ điểm cân ổn định xs Theo Định lý 2.1, ta có W u (ˆ x) ∩ A(xs ) = ∅ xˆ điểm hyperbolic Bây giờ, ta giả thiết tồn quỹ đạo nghiệm x(t) {W u (ˆ x) − xˆ} cho x(t) ∈ ∂A(xs ) lim x(t) = xˆ Vì hàm lượng đơn điệu giảm thực dọc theo quỹ đạo t→−∞ nghiệm không tầm thường nên suy tồn điểm khác biên cho hàm lượng đạt giá trị thấp giá trị V (ˆ x) Điều vơ lý x ˆ điểm đạt giá trị cực tiểu hàm lượng biên ∂A(xs ) Do đó, định lý chứng minh Nhận xét 3.2 Nếu x ˆ điểm cân ổn định gần {W s (ˆ x) − xˆ} ∩ ∂A(xs ) = ∅ Thật vậy, điểm cân ổn định gần nằm biên ổn định nên Nhận xét suy trực tiếp từ Định lý 2.1 3.2 Miền tựa ổn định hàm lượng Mục tập trung trình bày mối quan hệ cấu trúc biên tựa ổn định mặt mức lượng giá trị mức khác 50 x1 x1 x5 xco x5 xco xs xs xcl x2 xcl x2 A(xs ) tăng giá trị mức A(xs ) tăng giá trị mức x1 x1 x5 xco x5 xco xs xs xcl x2 xcl x2 A(xs ) A(xs ) Hình 3.2: Cấu trúc mặt mức lượng tăng giá trị mức Mệnh đề 3.5 (Tính bị chặn, [4]) Giả sử hệ động lực phi tuyến liên tục mơ tả (3.1) có hàm lượng V (x) Giả sử A, ∂A Aq theo thứ tự miền ổn định, biên ổn định miền tựa ổn định điểm cân ổn định xs Đặt c = V (x), x ∈ ∂A ∩ E , với E tập điểm cân (3.1) Khi đó, giá trị c đạt điểm cân x ˆ ∈ Aq với ε > đủ nhỏ, tập S(c + ε, xs ) chứa miền tựa ổn định, tức S(c + ε, xs ) ⊂ Aq Chứng minh Giả sử x ˆ điểm cân hyperbolic loại k Khi đó, tồn hệ tọa độ địa phương (x1 , , xk , y1 , , yn−k ) xác định lân cận U x ˆ cho V (x, y) = c − |x|2 − |y|2 hệ tọa độ Đặt 51 H(ε) hình chữ nhật lân cận xˆ xác định sau H(ε) := {(x, y) ∈ U : |y|2 < ε, |x|2 ≤ 2ε} Ta có S(c + ε, xs ) đồng phơi với S(c − ε, xs ) ∪ H(ε) Mặt khác, H(ε) S(c − ε, xs ) tập compact Do đó, S(c + ε, xs ) tập compact Điều có nghĩa S(c + ε, xs ) bị chặn Nếu x ˆ ∈ Aq = int A, suy H(ε) ⊂ int A với ε đủ nhỏ Tuy nhiên, S(c − ε, xs ) ⊂ int A Vì thế, H(ε) ∪ S(c − ε, xs ) ⊂ int A Cho ε → 0+ , ta đến kết luận S(c + ε, xs ) ⊂ int A Mệnh đề 3.6 ([4]) Giả sử hệ động lực phi tuyến liên tục dạng (3.1) có hàm lượng V (x) A, ∂A Aq miền ổn định, biên ổn định miền tựa ổn định xs Đặt c = V (x), x ∈ ∂A ∩ E , với E tập điểm cân (3.1) Nếu giá trị c đạt điểm cân xˆ ∈ Aq S(c + ε, xs ) khơng liên thơng đơn liên 3.3 Ước lượng miền ổn định theo hàm lượng địa phương Mục trình bày cách ước lượng biên ổn định ∂A(xs ) miền ổn định A(xs ) dựa hàm lượng hàm lượng địa phương Xuyên C suốt mục này, sử dụng A (xs ) ký hiệu phần bù tập A(xs ) S(m, ˆ xs ) thành phần số thành phần liên thông S(m) ˆ chứa điểm cân ổn định xs Định lý 3.7 (Ước lượng tối ưu, [5]) Xét hệ động lực phi tuyến liên tục (3.1) thỏa mãn giả thiết (A1) có hàm lượng V (x) Giả sử xs điểm cân ổn định tiệm cận có miền ổn định A(xs ) khơng trù mật Rn Ký hiệu cˆ = V (xi ), xi ∈ ∂A(xs ) ∩ E , với E tập điểm cân hệ động lực (3.1) Khi đó, (1) S(ˆ c, xs ) ⊂ A(xs ) C (2) tập {S(b, xs ) ∩ A (xs )} tập khác rỗng với b > cˆ 52 Định lý khẳng định thành phần liên thông S(ˆ c, xs ) với cˆ = V (xi ) xấp xỉ tốt miền ổn định A(xs ) dựa mặt mức lượng Tiếp sau đây, ta trình thuật tốn xấp xỉ miền ổn định A(xs ) Thuật toán ước lượng miền ổn định theo hàm lượng (A) Xác định giá trị mức hàm lượng (A-1) Tìm tất điểm cân hyperbolic (A-2) Sắp xếp điểm cân có giá trị V (.) lớn V (xs ) theo thứ tự tăng dần (A-3) Trong số điểm cân đó, tìm điểm cân có giá trị hàm lượng thấp mà có đa tạp khơng ổn định chứa quỹ đạo nghiệm hội tụ đến điểm cân ổn định xs Ký hiệu điểm xˆ (A-4) Giá trị hàm lượng x ˆ giá trị mức tới hạn hàm lượng (tức V (ˆ x)) (B) Ước lượng miền ổn định A(xs ) (B-1) Thành phần liên thông tập {x : V (x) ≤ V (ˆ x)} chứa điểm cân ổn định xs miền ổn định ước lượng Để làm sáng tỏ thuật tốn trên, ta xét ví dụ đơn giản sau Ví dụ 3.1 ([4]) Xét hệ động lực vi phân sau x˙ = − sin x1 − 0.5 sin(x1 − x2 ) + 0.01 x˙ = − 0.5 sin x2 − 0.5 sin(x2 − x1 ) + 0.05 (3.4) Giải f (x1 , x2 ) = Matlab, ta thu (0.02801, 0.06403) điểm cân ổn định ta ước lượng miền ổn định điểm cân Bên cạnh đó, ta thu điểm cân khác, tất số điểm cân hyperbolic nằm biên ổn định (0.02801, 0.06403) Trong số điểm này, có sáu điểm cân hyperbolic 53 loại sáu điểm nguồn Khơng cần tính tốn, theo Định lý 2.11, ta dự đốn miền ổn định điểm cân (0.02801, 0.06403) miền bị chặn Ta sử dụng V (x1 , x2 ) := −2 cos x1 −cos x2 −cos(x1 −x2 )−0.02x1 − 0.1x2 hàm lượng hệ (3.4) Thật vậy, khơng khó để ta kiểm tra lại việc thỏa mãn tính chất (1)-(3) hàm lượng trình bày Mục 1.4 Ký hiệu xs = (xs1 , xs2 ) điểm cân ổn định có miền ổn định mà ta cần ước lượng Dễ dàng có quan sát sau (i) Có tất sáu điểm cân hyperbolic loại nằm miền {(x1 , x2 ) : xs1 − π < x1 < xs1 + π, xs2 − π < x2 < xs2 + π} (ii) Điểm cân (0.04667, 3.11489) điểm cân có giá trị hàm lượng thấp (iii) Giá trị mức tới hạn hệ −0.31329 Bằng cách sử dụng hàm contour Matlab, ta thu mặt mức lượng Hình 3.3 Tuy nhiên, có thành phần liên thơng chứa xs Bên cạnh đó, Hình 3.4 so sánh biên ổn định xác biên ổn định ước lượng thu Thuật tốn vừa trình bày u cầu tính tốn giá trị điểm cân không ổn định gần Một vấn đề đặt xuất hai hay nhiều hai điểm cân hệ có giá trị hàm lượng V Tuy nhiên, theo [4], [5], tất điểm cân hệ động lực có giá trị hàm lượng phân biệt Điều có nghĩa điểm cân không ổn định gần nhất Như biết nhiều hệ động lực phi tuyến không tồn hàm lượng tồn cục, việc xây dựng hàm lượng để thuật toán hoạt động Tuy nhiên, vấn đề khắc phục việc sử dụng hàm giống hàm lượng xung quanh điểm cân Do đó, đề xuất phương pháp ước lượng miền ổn định 54 Hình 3.3: Miền ổn định ước lượng theo mặt lượng hệ động lực phi tuyến tổng quát liên lục mà khơng có hàm lượng tổng qt Trước bắt đầu phương pháp này, ta giới thiệu định nghĩa hàm lượng địa phương Định nghĩa 3.8 Hàm số V : Rn → R gọi hàm lượng địa phương tập mở W thỏa mãn hai điều kiện sau tập mở W chứa điểm cân ổn định xs ∈ W , (1) đạo hàm hàm V (x) dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t) không dương, tức V˙ (x(t)) ≤ 0, (2) x(t) quỹ đạo nghiệm tầm thường (tức là, x(t) điểm cân bằng), dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t), tập {t ∈ R : V˙ (x(t)) = 0} có độ đo khơng R Từ định nghĩa trên, ta dễ dàng thấy hàm lượng địa phương V (x) thỏa mãn hai điều kiện đầu định nghĩa hàm lượng toàn cục Bây giờ, ta giả sử V (x) hàm lượng địa phương xung quanh điểm cân tiệm cận ổn định xs S(d, xs ) thành phần liên 55 Hình 3.4: Bức tranh pha hệ Ví dụ 3.1 So sánh biên ước lượng biên ổn định định xác thơng chứa xs tập {x ∈ Rn : V (x) < d} Rõ ràng, tập nằm trọn vẹn tập mở W nằm miền ổn định A(xs ) Ký hiệu dˆ ˆ xs ) số lớn cho điều kiện thỏa mãn, tập S(d, ước lượng cực đại miền ổn định Ngoài ra, giá trị dˆ gọi giá trị mức tối ưu ứng với hàm lượng địa phương V (.) Tuy nhiên, ta ý giá trị mức dˆ khơng giá trị mức tối ưu với hàm lượng địa phương khác Trong phần sau đây, chúng tơi tập trung trình bày phương pháp xấp xỉ miền ổn định hệ động lực phi tuyến tổng quát không tồn hàm lượng toàn cục Bước 1: Xây dựng hàm lượng địa phương V (.) xung quanh điểm cân ổn định xs Ký hiệu S(d, xs ) thành phần liên thông chứa xs tập {x ∈ Rn : V (x) ≤ d} Bước 2: Xác định giá trị mức V (.) xs cho điều kiện (1)-(2) thỏa mãn với x ∈ {S(d, xs )} − {xs }, từ xác định giá trị mức tối ưu dˆ Bước 3: Ước lượng miền ổn định A(xs ) dựa theo hàm lượng địa phương 56 ˆ V (.) Thành phần liên thông S(d, xs ) chứa xs {x : V (x) ≤ d} miền ổn định ước lượng A(xs ) Để chi tiết hơn, giới thiệu kỹ thuật tiếng xây dựng hàm lượng địa phương V (x) xung quanh điểm cân ổn định xs Kỹ thuật nghiên cứu trình bày tài liệu [4], [5], [12] cơng việc thực Bước Cụ thể, ta giải phương trình ma trận Lyapunov B sau Bước J T B + BJ = −C, đó, J ma trận Jacobi Df xs C ma trận đối xứng, xác định dương Thông thường, ta chọn C ma trận đơn vị Tiếp theo, ta xây dựng hàm lượng địa phương có dạng hàm toàn phương sau V (x) := xT Bx Khi đó, giả sử tồn tập mở W cho V˙ (x) = 2f (x)T Bx < 0, với x ∈ {W − xs } Sau bước này, ta xác định giá trị mức tối ưu cho hàm lượng địa phương ước lượng miền ổn định dựa tập mức hàm lượng vừa xây dựng Sau đây, ta đưa hai ví dụ để thử nghiệm thuật tốn vừa trình bày hệ động lực có số chiều khơng q cao Ví dụ thứ hệ động lực phi tuyến hai chiều, cịn ví dụ cịn lại hệ động lực phi tuyến liên tục ba chiều Ví dụ 3.2 Xét hệ phương trình Vanderpol sau x˙ = − x2 x˙ = x1 − (1 − x21 )x2 Dễ dàng kiểm tra (0, 0) điểm cân ổn định hệ ta ước lượng miền ổn định điểm cân ổn định (0, 0) Ta có J(x1 , x2 ) = −1 + 2x1 x2 x21 − 57 Thay C ma trận đơn vị, từ J(0, 0)T B + BJ = −I ta nhận B= 0.593 −0.182 −0.182 0.437 Do đó, hàm lượng địa phương V (x1 , x2 ) = x1 x2 0.593 −0.182 −0.182 0.437 x1 x2 =0.593x21 − 0.364x1 x1 + 0.437x22 Ta có ∂V ∂V V˙ (x) = x˙ + x˙ ∂x1 ∂x2 =(1.186x1 − 0.364x2 )(−x2 ) + (0.752x2 − 0.364x1 )(x1 − (1 − x21 )x2 ) Giá trị mức tới hạn V (x1 , x2 ) (0, 0) Thực tế, ta cần đến tốn tối ưu khác để tìm giá trị lớn dˆ Bài toán tối ưu khó để giải Thơng thường, ta giả thiết giá trị tới hạn dˆ = cố gắng tối ưu hóa hàm lượng Lyapunov thơng qua tốn khác thay tối ưu hóa giá trị tới hạn dˆ Đây toán lớn nên ta không xét Sử dụng mặt lượng hằng, thành phần liên thông tập {x : V (x1 , x2 ) < 1} chứa điểm cân ổn định (0, 0) miền ổn định ước lượng Hình 3.5 biểu diễn miền ổn định ước lượng thu miền ổn định xác Dễ dàng thấy miền ổn định ước lượng thu giới hạn đường in đậm màu xanh nằm hoàn toàn miền ổn định (0, 0) (tức đường in đậm màu đỏ) Tiếp theo, ta xét ví dụ hệ động lực phi tuyến liên tục ba chiều Đây hệ tiếng, nghiên cứu [3], [4], [5], [7] [12] Ví dụ 3.3 Xét hệ động lực x˙ = − x2 x˙ = − x3 x˙ = − 0.915x1 + (1 − 0.915x21 )x2 − x2 58 Hình 3.5: Miền ổn định xác miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.2 Hệ có điểm cân ổn định (0, 0) miền ổn định điểm cân cần xấp xỉ Ta có   J(x1 , x2 , x3 ) =    −1  0 −1  −0.915 − 1.83x1 x2 − 0.915x21 −1 Bằng cách giải phương trình J T B + BJ = −I , với J = J(0, 0, 0), ta thu  12.5 −8.1     B= −8.1 20.8 −8.5   −8.5 13.4 59 Tương tự ví dụ trên, ta xây dựng hàm lượng địa phương sau   x V (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3  1  B x  x3 Giá trị mức tới hạn V (x1 , x2 , x3 ) (0, 0, 0) 1.0 Khi đó, thành phần liên thơng tập {x ∈ R3 : V (x1 , x2 , x3 ) ≤ 1} chứa (0, 0, 0) miền ổn định ước lượng Hình 3.6 Hình 3.7 cho thấy miền ổn định ước lượng thu nằm trọn vẹn miền ổn định xác (0, 0, 0) Hình 3.6: Miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.3 60 Hình 3.7: Miền ổn định ước lượng biên ổn định xác Ví dụ 3.3 61 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết miền ổn định hệ động lực phi tuyến liên tục Cụ thể đã: Nhắc lại số số khái niệm tính ổn định hệ động lực, phương trình vi phân; hàm Lyapunov; hàm lượng tính chất liên quan Trình bày đặc trưng miền ổn định biên ổn định hệ động lực phi tuyến Trình bày phương pháp xác định xác biên ổn định hệ động lực phi tuyến phương pháp xấp xỉ miền ổn định cho hệ động lực phi tuyến có hàm lượng khơng có hàm lượng Trong đó, đóng góp chúng tơi bao gồm: ❼ Chi tiết hóa chứng minh số định lý quan trọng Định lý 1.11, Định lý 2.1, Định lý 2.7 Định lý 2.11 ❼ Bổ sung nhận xét đặc trưng biên ổn định hệ động lực phi tuyến Định lý 2.1, Nhận xét 2.1, Nhận xét 2.2 đặc trưng điểm cân ổn định gần Nhận xét 3.1, Nhận xét 3.2 ❼ Thử nghiệm số ví dụ đưa kết minh họa cụ thể cho thuật toán đưa 62 Tài liệu tham khảo [1] L Ya Adrianova, Introduction to linear systems of differential equations, Translations of Mathematical Monographs Vol 146, AMS, Providence, R.I (1995) [2] F M Amaral and L F C Alberto, “Stability boundary characterization of nonlinear autonomous dynamical systems in the presence of saddlenode equilibrium points”, TEMA (São Carlos), volume 13(2), pages 143154, 2012 [3] H D Chiang and J S Thorp, “Stability regions of nonlinear dynamical systems: A constructive methodology”, IEEE Transactions on Automatic Control, volume 34(12), pages 1229-1241, 1989 [4] H D Chiang, Direct methods for stability analysis of electric power systems: theoretical foundation, BCU methodologies, and applications, John Wiley & Sons, 2011 [5] H D Chiang and L F C Alberto, Stability regions of nonlinear dynamical systems: theory, estimation, and applications, Cambridge University Press, 2015 [6] M W Hirsch, Differential topology, Springer Science & Business Media, volume 3, 2012 [7] T J Koo and H Su, “A computational approach for estimating stability regions”, 2006 IEEE International Symposium on Intelligent Control, pages 62-68, 2006 63 [8] J Lee, Introduction to topological manifolds, Springer Science & Business Media, volume 202, 2010 [9] L Luyckx, M Loccufier and E Noldus, “Computational methods in nonlinear stability analysis: stability boundary calculations”, Journal of computational and applied mathematics, 168(1-2), pages 289-297, 2004 [10] J Milnor and D W Weaver, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton university press, 1997 [11] S Osher and R Fedkiw, Level set methods and dynamic implicit surfaces, Springer New York, volume 153, 2005 [12] A N Milchel, N R Sarabudla and R K Miller, “Stability analysis of complex dynamical systems: some computational methods”, Circuits, Systems and Signal Processing, volume I, pages 171-202, 1982 64 ... điểm cân ổn định x ˆ điểm cân ổn định tồn cục Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm miền ổn định biên ổn định điểm cân ổn định 14 Định nghĩa 1.12 Miền ổn định điểm cân ổn định xs hệ động lực phi... Do đó, hệ khơng có hàm lượng 22 Chương Miền ổn định tựa ổn định hệ động lực liên tục Chương đưa đặc trưng miền ổn định tựa ổn định Sau đó, chúng tơi đề xuất thuật tốn xác định xác miền ổn định. .. cho hệ động lực cấp hai 18 Chương Miền ổn định tựa ổn định hệ động lực liên tục 23 2.1 Điểm cân biên ổn định 23 2.2 Đặc trưng biên ổn định 31 2.3 Miền