Kì dị của đường công phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRỊNH SAO LINH KÌ DỊ CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRỊNH SAO LINH KÌ DỊ CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG Thái Nguyên – 2016 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Trịnh Sao Linh i Lời cảm ơn Luận văn hồn thành khóa 22 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn TS Đoàn Trung Cường, Viện Tốn học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy, khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Trịnh Sao Linh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền phân tích 1.2 Kết thức Đường cong affin xạ ảnh 11 2.1 Đường cong đại số affin 11 2.2 Đường cong xạ ảnh 18 2.3 Bội giao cấp 22 2.4 Tập điểm kì dị đường thẳng tiếp xúc 26 Đường cong phẳng bậc 32 iii 3.1 Đường cong phẳng suy rộng 32 3.2 Bội giao đường cong suy rộng 35 3.3 Đường cong bậc bất khả quy 40 3.4 Phân loại đường cong trơn bậc 42 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 iv Mở đầu Hình học đại số nhánh toán học, nghiên cứu nghiệm phương trình đa thức Đa thức biến có nghiệm? Câu hỏi trả lời cách rõ ràng "Định lý đại số" Nhưng ta xét trường hợp đa thức hai biến tập nghiệm vơ hạn Những tập vậy, xem đối tượng hình học Chính xác đường cong phẳng đại số Vì vậy, có hai đường để xét tính giao Một từ đại số, từ hình học nên khơng đáng ngạc nhiên tính chất đường cong nghiên cứu nhiều kỷ Mục đích luận văn trình bày lại số kết đường cong phẳng dựa theo tài liệu "Plane Algebraic Curves" Gerd Fischer "Elementary Algebraic Geometry" Klaus Hulek Luận văn chia làm ba chương: Chương 1, trình bày số kiến thức miền phân tích kết thức Đây công cụ dùng cho định nghĩa chứng minh chương sau Chương 2, dành để trình bày khái niệm đường cong affine đường cong xạ ảnh, lý thuyết giao Ngồi ra, cịn trình bày khái niệm điểm kì dị, điểm trơn, đường thẳng tiếp xúc đường cong Chương 3, trình bày phân loại đường cong bậc qua tương đương xạ ảnh phân loại đường cong bậc trơn cách sử dụng J−bất biến Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Trịnh Sao Linh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền phân tích Mục dành để nhắc lại định nghĩa số kết miền phân tích Trước hết ta có định nghĩa phần tử bất khả quy Định nghĩa 1.1.1 Cho A miền nguyên Một phần tử a ∈ A bất khả quy từ phân tích a = bc với b, c ∈ A, b c phần tử khả nghịch A Xét phần tử = a ∈ A Một phân tích a = an1 anr r với a1 , , ar ∈ A phần tử bất khả quy n1 , , nr ∈ N gọi phân tích bất khả quy Ta nói phân tích bất khả quy trường hợp a có phân tích bất khả quy khác ms a = bm bs , với b1 , , bs ∈ A phần tử bất khả quy, m1 , , ms N, s = r sau cách đánh số lại, ta ni = mi , bi = λi , i = 1, , r với λi phần tử khả nghịch A Định nghĩa 1.1.2 Một miền nguyên A miền phân tích phần tử khác không khả nghịch A có phân tích bất khả quy Ví dụ 1.1.3 Cho k trường Vành đa thức biến k[x] miền phân tích Bằng cách phân tích đa thức thành tích đa thức có bậc thấp hơn, ta thấy đa thức ln có phân tích bất khả quy Sự phân tích hệ thuật tốn chia Euclid Tính chất phân tích phổ biến có ứng dụng quan trọng toán học Một lý định lý sau Định lý 1.1.4 Vành đa thức miền phân tích miền phân tích Ví dụ 1.1.3 trường hợp riêng định lý Thật vậy, trường k miền phân tích Do đó, k[x] miền phân tích theo Định lý 1.1.4 Từ Ví dụ 1.1.3 Định lý 1.1.4, ta có hệ quan trọng sau phần cuối luận văn Hệ 1.1.5 Cho k trường, vành đa thức hai biến k[x, y] miền phân tích Chứng minh Ta coi k[x, y] = k[x][y] vành đa thức theo biến y vành k[x] Do đó, kết luận hệ trực tiếp Ví dụ 1.1.3 Định lý 1.1.4 Mệnh đề 3.2.7 Cho C ∈ P2 đường cong suy rộng bậc d L đường thẳng khơng chứa C Khi đó, C L giao d điểm (tính bội) Tức là, IP (C, L) = d P Chứng minh Cho L = {x2 = 0} C = {f = 0}, f = f (x0 , x1 , x2 ) đa thức bậc d Ta có f |L = f (x0 , 1, 0) = a0 xd0 + a1 x0d−1 x1 + + ad xd1 đa thức bậc d với biến Ta giả sử tọa độ lựa chọn với (1 : 0) ∈ L Từ phương trình IP (C, L) = multp (f |L ), số điểm giao C L tính bội, khơng điểm đa thức f (x) = a0 xd + a1 xd−1 + + ad Bây ta xét toán phân loại đường cong phẳng bậc Đầu tiên, ta nhắc lại phân loại đường bậc xạ ảnh Phương trình bậc viết dạng q(x0 , x1 , x2 ) = qA (x0 , x1 , x2 ) = xAt x với x = (x0 , x1 , x2 ) A = At ∈ M at(3 × 3, C) Khi ta có trường hợp tương đương (1) q(x0 , x1 , x2 ) = x20 + x21 + x22 (đường bậc trơn) (2) q(x0 , x1 , x2 ) = x20 + x21 ( hợp hai đường thẳng) (3) q(x0 , x1 , x2 ) = x20 (đường thẳng kép) Chú ý rằng, đường bậc hai x20 +x21 +x22 tương đương xạ ảnh với x0 x2 −x21 = 38 Trường hợp đường cong bậc xét hợp đường bậc đường thẳng Mệnh đề 3.2.8 Cho C đường cong phẳng bậc hợp đường bậc bất khả quy (đường cong bậc 2) đường thẳng Khi đó, C tương đương xạ ảnh với hai đường cong sau (1) C1 = {(x0 x2 − x21 )x1 = 0}; (2) C2 = {x0 x2 − x21 )x0 = 0} Chứng minh.Giả sử C = C0 + L, C0 đường bậc bất khả quy {q(x0 , x1 , x2 ) = 0} Theo bảng phân loại đường bậc trên, C0 tương đương xạ ảnh với đường bậc {x0 x2 −x21 = 0} Theo Định lý Bezout, đường thẳng L giao với đường bậc C0 điểm Vì C0 trơn nên ta có khả sau xảy (1) L giao hồnh C0 điểm (2) L tiếp xúc với C0 điểm P0 Đường cong C0 tham số hóa ϕ : P1k → C0 ⊂ P2k (t0 : t1 ) → (t20 : t0 t1 : t21 ) Một phép biến đổi t0 → at0 + bt1 , t1 → ct0 + dt1 cảm sinh ánh xạ t20 → a2 t20 + 2abt0 t1 + b2 t21 , t0 t1 → act20 + (ad + bc)t0 t1 + bdt21 , t21 → c2 t20 + 2cdt0 t1 + d2 t21 39 Từ ta có ma trận   2ab b2  a   ac ad + bc bd     2 c 2cd d  ánh xạ từ C0 → C0 Với ma trận thích hợp  a b   Trường c d hợp 1, ta có ánh xạ từ giao điểm tới điểm (1 : : 0) (0 : : 1) Trường hợp 2, ta có ánh xạ từ P0 tới điểm (0 : : 1) Khi đó, đường thẳng qua (1 : : 0) (0 : : 1) {x1 = 0} tiếp tuyến tới đường bậc hai C0 (0 : : 1) {x0 = 0} Hình 3.2: Đường cong phẳng bậc với phân tích đường cong bậc hai đường thẳng 3.3 Đường cong bậc bất khả quy Các đường bậc bất khả quy mô tả định lý sau Mệnh đề 3.3.1 Cho C đường cong bậc bất khả quy Khi đó, C có điểm kỳ dị tương đương xạ ảnh với đường cong sau: (a) C = {x21 x2 − x30 − x20 x2 = 0} (b) C = {x2 x21 − x30 = 0} 40 Hình 3.3: Đường cong phẳng bậc ba với điểm kì dị Chứng minh Đường cong C có nhiều điểm kỳ dị Thật vậy, đường thẳng qua hai điểm kỳ dị nên đường cong giao nhiều điểm, tính bội Giả sử điểm kỳ dị C P = (0 : : 1) Nghĩa phương trình f có dạng f = x2 q(x0 , x1 ) + bx30 + cx20 x1 + dx0 x21 + ex31 với q(x0 , x1 ) = Phương trình bậc hai q có dạng q(x0 , x1 ) = l0 (x0 , x1 )l1 (x0 , x1 ), ta xét trường hợp sau: +) TH1: l0 (x0 , x1 ) = cl1 (x0 , x1 ) Bằng cách áp dụng phép biến đổi tọa độ giả thiết l0 (x0 , x1 ) = x0 ; l1 (x0 , x1 ) = x1 , để f có dạng f = x2 x0 x1 + b′ x30 + c′ x20 x1 + d′ x0 x21 + e′ x31 41 Vì f bất khả quy , b′ e′ = Đặt x2 = βγ (x′2 − 6x′0 ) d′ ′ c′ ′ ′ + (x0 + x1 ) + (x0 − x′1 ) β γ x0 = − (x′0 + x′1 ) β x1 = − (x′0 − x′1 ) γ Suy C tương đương xạ ảnh với x21 x2 − x20 x2 − x30 +) TH2: l0 (x0 , x1 ) = cl1 (x0 , x1 ) Ta giả sử l0 (x0 , x1 ) = cl1 (x0 , x1 ) = x1 cho f = x2 x21 + b′ x30 + c′ x20 x1 + d′ x0 x21 + e′ x31 Ta có b′ = 0, hay nói cách khác x1 chia hết f Đặt x0 = x′0 c′ − ′ x1 3b cho f = x2 x21 + b′ (x′0 )3 + d′′ x′0 x21 + e′′ x31 ; b′ = 0, đặt x2 = −b′ x′2 − d′′ x′0 − e′′ x1 suy f = −b′ (x′2 x21 − (x′0 )3 ), Vậy C tương đương xạ ảnh với x2 x21 − x30 3.4 Phân loại đường cong trơn bậc Trong tiết cuối xét toán phân loại đường cong bậc trơn thông qua số bất biến số 42 Định nghĩa 3.4.1 Cho C đường cong phẳng với bậc tùy ý Một điểm trơn P ∈ C gọi điểm uốn C IP (C, TP C) ≥ Tiếp tuyến TP C tới C điểm uốn P gọi đường tiếp tuyến uốn C Điểm uốn C xác định giao C với Hessian nó, ta định nghĩa sau Định nghĩa 3.4.2 Cho đường cong phẳng C = {f = 0}, Hessian C cho Hf = det ∂ 2f ∂xi ∂xj 0≤i,j≤2 Nếu Hf không triệt tiêu, Hf đa thức với bậc 3(d − 2) Cho H = {Hf = 0} ⊂ P2k Nếu d = H = ∅ Nói cách khác, H = P2 H đường cong phẳng bậc 3(d − 2) gọi đường cong Hessian C Mệnh đề 3.4.3 Cho C đường cong phẳng trơn có bậc d ≥ đường cong Hessian H Khi đó, H ∩ C với tập điểm trơn C Chứng minh Xét phép biến đổi     x0  x       x  , A ∈ Gl(3, C) → A A:  1 x      x2 x2 với f ∈ k[x0 , x1 , x2 ] Ký hiệu phép biến đổi f oA f ∗ Sử dụng quy tắc chuỗi, dễ thấy Hf ∗ = (det A)2 (Hf )∗ Ta chứng minh bất biến với thay đổi tọa độ 43 Giả sử rằng: P = (0 : : 1) TP C = {x1 = 0} Tọa độ affine x = x0 /x2 y = x1 /x2 , ta có f (x, y) = y(a + bx + cy + g(x, y)) + ex2 + h(x) a, b, c, e ∈ k, a = 0, Ord(g(x, y)) ≥ Ord(h) ≥ Ta có d−2 d−2 f (x0 , x1 , x2 ) = axd−1 x1 + bx2 x0 x1 + cx2 x1 + exd−2 x0 + bậc ≥ theo x0 , x1 Như vậy, ta có   b  2e    Hf (0 : : 1) = det  b 2c (d − 1)a     (d − 1)a = −2ea2 (d − 1)2 từ a = 0, ta có Hf (0 : : 1) = tương đương với e = Khi đó, OP2 ,P /(f, x1 ) ∼ = OA2 ,0 /(ex2 + h(x), y), suy IP (C, TP C) ≥ e = P ∈ H Bây giờ, ta tồn điểm uốn đường cong trơn bậc d ≥ Tức là, ta cần giao đường cong trơn với bậc d ≥ đường Hessian tập không rỗng Điều tầm thường Hessian P2 Nếu không ta sử dụng dạng yếu Định lý Bezout 44 Bổ đề 3.4.4 Giao hai đường cong phẳng C C ′ tập không rỗng Để chứng minh bổ đề, ta dùng kết sau Bổ đề 3.4.5 Phần bù P2 \C đường cong phẳng C affine Chứng minh Xét ánh xạ  v d : P2 → PN , N = d+2   − 1, cho d vd (x0 : x1 : x2 ) = (xd0 : xd−1 x1 : : x2 ) = ( : xI : )I∈Λd Λd = {(i0 , i1 , i2 ) ∈ N30 |i0 +i1 +i2 = d} xI = x(i0 ,i1 ,i2 ) = xi00 xi11 xi22   d+2  Kí hiệu tọa độ PN zI với I ∈ Λd , vd Dễ thấy, |Λd | =  ánh xạ nhúng với ảnh cho phương trình zI zJ = zK zL với ≤ |I|, |J|, |K|, |L| ≤ d |I| + |J| = |K| + |L| Cho f phương trình với bậc d Ta viết f= aI xI I∈Λd Xét siêu phẳng H= aI z I = PN Ta có vd (C) = vd (P2 ) ∩ H Vậy P2 \C affine 45 Chứng minh Bổ đề (3.4.4) Cho C đường cong bậc d Theo Bổ đề (3.4.5), P2 \C affine Nếu C ∩ C ′ = d, ta có C ′ ⊂ P2 \C ⊂ AN Khi đó, C ′ khơng chứa điểm, hàm tọa độ AN , hạn chế không liên tục C ′ Hệ 3.4.6 Mọi đường cong trơn C với bậc d ≥ Hessian C có giao điểm Chứng minh Từ Bổ đề (3.4.4) ta có C ∩ H = ∅ Chứng minh suy từ Mệnh đề (3.4.3) Nhận xét 3.4.7 Phát biểu hệ nói chung cho đường cong trơn bậc d ≥ trường đóng đại số Tuy nhiên, ta sử dụng Hệ (3.4.6) cho đường bậc Nhận xét 3.4.8 Sử dụng Định lý Bezout chứng minh Hệ (3.4.6), ta có kết xác hơn, cho H = P2 , ≤ Số giao điểm ≤ 3d(d − 2) Các dạng Weierstraβ đường bậc cho tọa độ affine y = 4x3 − g2 x − g3 Ta xét đường cong xạ ảnh tương ứng Cg2 ,g3 : x0 x22 − 4x31 + g2 x1 x20 + g3 x20 = Định nghĩa 3.4.9 Biệt số Disc(f ) đa thức n n f = αn x + αn−1 x n−1 + + α0 = αn i=1 với αn = định nghĩa Disc(f ) = αn2n−2 i=j 46 (αi − αj ) (x − αi ) biểu diễn đa thức hệ số f Ta định nghĩa biệt số Cg2 ,g3 biệt số 4x3 − g2 x − g3 ta dễ tính ∆ = g23 − 27g32 Mệnh đề 3.4.10 Cg2 ,g3 trơn ∆ = Chứng minh Ta xét f (x0 , x1 , x2 ) = x0 x22 − 4x31 + g2 x1 x20 + g3 x30 đạo hàm riêng ∂f = x22 + 2g2 x1 x0 + 3g3 x20 , ∂x0 ∂f (2) = −12x21 + g2 x20 , ∂x1 ∂f = 2x0 x2 (3) ∂x2 (1) Đồng thức Euler 3f = i=0 ∂f xi , ∂xi suy rằng, điểm P kì dị Cg2 ,g3 đa thức (1), (2), (3) P Từ (3) x0 = x2 = +) Nếu x0 = (2) suy x1 = P = (0 : : 1) P khơng ∂f điểm kì dị (P ) = = Như x2 = 0, phương trình (1) (2) trở ∂x0 thành (1)′ 2g2 x1 x0 + 3g3 x20 = (2)′ − 12x21 + g2 x20 = +) Nếu g2 = g3 = P = (1 : : 0) điểm kì dị +) Nếu g3 = 0, g2 = 0, ta x0 = 0, từ (1)′ rút gọn x1 = Nhưng (2)′ P = (1 : : 0) điểm trơn 47 +) Nếu g2 = 0, g3 = từ (1)′ ta có x0 = ta giải xong Bây giả sử, g2 g3 = ta thấy x0 = Từ (2)′ ta có x1 = Từ (1)′ ta có x0 = − g2 x1 g3 Thay vào (2)′ , ta −12x21 g23 + x1 = g3 Phương trình có nghiệm khơng tầm thường −12 + g23 = 0, hay ∆ = g32 Mệnh đề 3.4.11 Cho C đường bậc trơn Khi đó, C tương đương xạ ảnh với đường cong Cg2 ,g3 Chứng minh Theo Hệ (3.4.6), C có điểm uốn P Giả sử P = (0 : : 1) đường tiếp tuyến uốn P {x0 = 0} Nghĩa là, phương trình f C hạn chế tới {x0 = 0}, (0 : : 1), ta có phép nhân vơ hướng f = −x31 + x0 (ax20 + bx21 + cx22 + dx0 x1 + ex0 x2 + gx1 x2 Do (0 : : 1) điểm trơn C, c = Đặt x′2 = √ cx2 + √ (ex0 + gx1 ) c biến đổi f để f ′ = x0 (x′2 )2 − (x31 + b′ x21 x0 + d′ x1 x20 + a′ x30 ) eg e2 g2 ′ ′ − b; d = − d; a = − a với b = 4c 2c 4c Đặt x′1 = x1 + b′ x0 , biến đổi f ′ để ′ f ′′ = x0 (x′2 )2 − ((x′1 )3 + d′′ x′1 x20 + a′′ x30 ) 48 ′ ′ ′′ (b ) − b d ; d′′ = d′ − (b′ )2 27 Cuối cùng, đặt ′ x1 x′′1 = √ ta có dạng tiêu chuẩn Weierstraβ với a′′ = a′ − f ′′′ = x0 (x′2 )2 − 4(x′′1 )3 + d′′′ x′′1 x20 + a′′′ x30 với a′′′ = a′′ ; d′′′ = √ 4d′′ Cho C C ′ đường bậc trơn ϕ phép biến đổi xạ ảnh từ C vào C ′ cho ϕ ánh xạ từ điểm uốn P C vào điểm uốn P ′ C ′ Ta giả sử C vào C ′ đường cong dạng Weierstraβ với P = P ′ = (0 : : 1) Khi đó, ánh xạ ϕ từ đường tiếp tuyến uốn {x = 0} vào Phép biến đổi đường bậc dạng tiêu chuẩn Weierstraβ , ta thu hẹp dạn biến đổi affine Bổ đề 3.4.12 Một phép biến đổi affine ϕ ánh xạ từ đường cong Weierstraβ y = 4x3 − g2 x − g3 tới đường cong Weierstraβ khác có dạng x → u2 x; y → u3 y, với u ∈ k ∗ Định nghĩa 3.4.13 Một phép biến đổi xạ ảnh ϕ ánh xạ từ đường bậc Weierstraβ Cg2 ,g3 vào đường bậc Weierstraβ khác Cg2′ ,g3′ thỏa mãn ϕ(0 : : 1) = (0 : : 1) Khi ϕ gọi phép biến đổi chấp nhận Định nghĩa 3.4.14 J -bất biến đường bậc trơn Cg2 ,g3 định nghĩa 49 g23 g23 = J(g2 , g3 ) = ∆ g2 − 27g32 Định lý 3.4.15 Hai đường cong bậc trơn Cg2 ,g3 Cg2′ ,g3′ tương đương qua phép biến đổi chấp nhận J(g2 , g3 ) = J(g2′ , g3′ ) Chứng minh Nếu ϕ : Cg2 ,g3 → Cg2′ ,g3′ phép biến đổi chấp nhận g2′ = g2 ; u4 g3′ = g3 u6 Do đó, J(g2 , g3 ) = J(g2′ , g3′ ) Giả sử J(g2 , g3 ) = J(g2′ , g3′ ) Xét trường hợp: g3 +TH1: J(g2 , g3 ) = Trong trường hợp g2 = = g3 Lấy u cho g3′ = u Khi đó, ta có phép biến đổi chấp nhận x → u x, y → u y từ Cg2 ,g3 tới Cg2′ ,g3′ g2 u4 + TH3: J(g2 , g3 ) = 0, g2 , g3 = Điều kiện J(g2 , g3 ) = J(g2′ , g3′ ) ⇔ g23 (g2′ )3 = ′ g32 (g3 ) Nếu g2 = αg2′ ; g3 = βg3′ có nghĩa α3 = β tức α = v , β = v với g3 g2 β v = Chọn u, với u2 = v cho g2′ = ; g3′ = phép biến α u u đổi x → u x, y → u y điều cần tìm + TH2: J(g2 , g3 ) = ⇔ g3 = = g2 Chọn u cho g2′ = 50 Kết luận Tóm lại, luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết kết kì dị đường cong phẳng Luận văn gồm nội dung sau: • Nhắc lại số kiến thức miền phân tích nhất, kết thức • Trình bày kiến thức đường cong phẳng: Định nghĩa đường cong phẳng affine đường cong xạ ảnh, chứng minh Bổ đề Study, thành phần bất khả quy • Trình bày lý thuyết giao: bội giao, định lý Bezout • Định nghĩa điểm trơn, điểm kì dị, đường thẳng tiếp xúc đường cong • Mở rộng khái niệm kết cho đường cong mở rộng • Phân loại đường cong bậc qua tương đương xạ ảnh • Phân loại đường cong bậc trơn cách sử dụng J−bất biến 51 Tài liệu tham khảo [1] Gerd Fischer, Plane Algebraic Curves Translated by Leslie Kay Student Mathematical Library 15 American Mathematical Society 2001 [2] Klaus Hulek, Elementary Algebraic Geometry Translated by Helena Verrill Student Mathematical Library 20 American Mathematical Society 2003 52 ... 3.3: Đường cong phẳng bậc ba với điểm kì dị Chứng minh Đường cong C có nhiều điểm kỳ dị Thật vậy, đường thẳng qua hai điểm kỳ dị nên đường cong giao nhiều điểm, tính bội Giả sử điểm kỳ dị C P... Trường hợp đường cong bậc xét hợp đường bậc đường thẳng Mệnh đề 3.2.8 Cho C đường cong phẳng bậc hợp đường bậc bất khả quy (đường cong bậc 2) đường thẳng Khi đó, C tương đương xạ ảnh với hai đường. .. Đường cong phẳng bậc 32 iii 3.1 Đường cong phẳng suy rộng 32 3.2 Bội giao đường cong suy rộng 35 3.3 Đường cong bậc bất khả quy 40 3.4 Phân loại đường