Xấp xỉ diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình pell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Tuyết Mai XẤP XỈ DIOPHANTINE VÀ PHÂN SỐ LIÊN TỤC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Tuyết Mai XẤP XỈ DIOPHANTINE VÀ PHÂN SỐ LIÊN TỤC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNH Thái Nguyên - 2017 i Mục lục LỜI CẢM ƠN iii MỞ ĐẦU i PHƯƠNG TRÌNH PELL 1.1 Một số khái niệm kết phương trình Pell 1.1.1 Phương trình Pell Loại I 1.1.2 Phương trình Pell Loại II 1.1.3 Phương trình Pell với tham số n 1.2 Phân số liên tục - Phân số liên tục tổng quát - Phân số liên tục đơn giản 1.2.1 Một trường hợp phương trình Pell 1.2.2 Phân số liên tục 18 1.3 Bài toán ứng dụng 29 XẤP XỈ DIOPHANTINE, MỞ RỘNG PHƯƠNG TRÌNH PELL VÀ ỨNG DỤNG 35 2.1 Chu kì phân số liên tục 35 2.1.1 Bổ đề 2.1.2 Chu kì phân số liên tục 36 40 Xấp xỉ Diophantine phân số liên tục đơn giản √ 2.2.1 Phân số liên tục đơn giản D 46 2.2 46 ii 2.2.2 Xấp xỉ Diophantine phân số liên tục đơn giản 2.3 50 Về tiêu chuẩn cho tồn nghiệm phương trình Pell 54 2.4 Một số mở rộng xấp xỉ Diophantine 2.4.1 55 Tiêu chí vơ tỷ 55 2.4.2 Bất đẳng thức Liouville 59 2.4.3 Bất đẳng thức Liouville bậc hai 60 2.5 Một ứng dụng giải phương trình Pell âm 62 Tài liệu tham khảo 72 iii LỜI CẢM ƠN Được phân cơng khoa Tốn- Tin, trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên đồng ý thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Đình Bình, tơi thực đề tài "Xấp xỉ Diophantine phân số liên tục giải phương trình Pell" Để hồn thành luận này, xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, khoa Tốn - Tin phịng đào tạo trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo tận tình hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên Xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Đình Bình tận tình, chu đáo hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Dù bận rộn công việc, song thầy dành nhiều thời gian tâm huyết hướng dẫn, động viên, khuyến khích tơi q trình nghiên cứu đề tài Cuối tơi xin chân thành cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập nghiên cứu luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm Tác giả Nguyễn Thị Tuyết Mai i MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lịch sử phát triển Số học, phương trình Pell biết đến phương trình tiếng dạng tốn phương trình nghiệm nguyên Phương trình Pell phát minh cách 1000 năm Ấn Độ cổ đại Brahmaguta Trong nhiều năm sau đó, nhà tốn học bắt đầu nghiên cứu tìm lời giải cho phương trình Đến năm 1770, Lagrange phát triển lí thuyết tổng quát phương trình dựa phân số liên tục Bên cạnh đó, nhà tốn học lớn Legendre(1798), É Borel(1903) quan tâm nghiên cứu có nhiều đóng góp cho việc hồn thiện phát triển phương trình Pell Ngày nhiều tài liệu nghiên cứu sâu phương trình Pell đời như: Computational aspects of number theory( H Cohen, 2001), The higher arithmetic (H Davenport, 2008), Solving the Pell equation (M.J.Jacobson, Jr and H.C.Williams, 2009) tham khảo tài liệu [4] Tuy có nhiều cơng trình nghiên cứu phương trình Pell phương trình nghiệm ngun, song cịn ẩn số thách thức nhà tốn học bạn trẻ u thích mơn tốn Có thể nói, phương trình Pell phong phú đa dạng lịch sử đời, định nghĩa, phương pháp giải ứng dụng Số học Bản thân đóng góp nhiều ứng dụng việc giải toán Số học hay khó Nhiều tốn phương trình Pell qua kì thi Olimpic tốn quốc ii tế, khu vực nước ngày lạ thu hút quan tâm thách thức trí tuệ, sáng tạo bạn trẻ Và để giải khơng cần nắm lí thuyết mà cịn cần kĩ Tuy nhiên bạn học sinh, đặc biệt bạn học sinh lớp chuyên, lớp chọn cịn biết dạng phương trình Pell Đặc biệt, có sách phương trình Pell ứng dụng nó, chủ yếu tham khảo tài liệu, báo nước Do vậy, góp ý thầy hướng dẫn TS Nguyễn Đình Bình, tác giả chọn đề tài “Xấp xỉ Diophantine phân số liên tục giải phương trình Pell” Do phương trình Pell khơng cịn đề tài nên luận văn tác giả trình bày ngắn gọn kết ví dụ phương trình Pell bản, xấp xỉ Diophantine phân số liên tục giải phương trình Pell Đồng thời luận văn phân tích mở rộng phương trình ứng dụng Do thời gian có hạn trình độ hạn chế nên luận văn dừng lại việc trình bày kết nghiên cứu xấp xỉ Diophantine phân số liên tục giải phương trình Pell, giới thiệu ứng dụng giải phương trình Pell âm Mục tiêu nghiên cứu luận văn Mục tiêu luận văn nghiên cứu phương trình Pell bản, nghiên cứu xấp xỉ Diophantine, phân số liên tục giải phương trình Pell Đồng thời luận văn phân tích mở rộng phương trình Pell ứng ụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu luận văn phương trình Pell - Phạm vi nghiên cứu luận văn giới thiệu xấp xỉ Diophantine phân số liên tục giải phương trình Pell, ứng dụng giải phương trình Pell âm iii Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách liên quan đến đề tài tìm kiếm tài liệu - Đọc, hiểu dịch tài liệu từ tiếng Anh sang tiếng Việt - Sử dụng phương pháp tổng quát để hệ thống trình bày kết tài liệu tham khảo Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành chương: - Chương trình bày số khái niệm kết phương trình Pell bản, hệ thống lí thuyết phân số liên tục - Chương trình bày xấp xỉ Diophantine, phân số liên tục đơn giản giải phương trình Pell ứng dụng giải phương trình Pell Chương chương trọng tâm luận văn Chương PHƯƠNG TRÌNH PELL Trong chương tác giả trình bày số khái niệm kết phương trình Pell bản, phân số liên tục Đồng thời tác giả trình bày số tập ứng dụng tốn kì thi học sinh giỏi năm chọn lọc Nội dung tham khảo từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4] 1.1 Một số khái niệm kết phương trình Pell Trong mục này, tác giả đưa hệ thống định nghĩa định lí cơng thức nghiệm phương trình Pell bản, số ví dụ có kèm lời giải cho loại phương trình Pell Nội dung tham khảo tài liệu [1], [3] 1.1.1 Phương trình Pell Loại I Phương trình Pell loại I phương trình có dạng: x2 − Dy = 1, ( D số ngun dương) (1.1) Định lí 1.1 Nếu D số phương, D = m2 , m ∈ Z (1.1) khơng có nghiệm nguyên dương Nếu D số nguyên âm (1.1) khơng có nghiệm ngun dương Phương trình (1.1) có nghiệm nguyên dương D số ngun dương khơng phương Định lí 1.2 Giả sử (a, b) nghiệm nhỏ phương trình x2 −Dy = nghĩa b số nguyên bé để + Db2 số phương Xét dãy xn yn cho hệ thức truy hồi sau:  x = 1, x = a, x n+2 = 2axn+1 − xn , n = 0, 1, y = 0, y = b, y = 2ay − y , n = 0, 1, n+2 n+1 (1.2) n Khi (xn , yn ) tất nghiệm nguyên dương phương trình Pell x2 − Dy = Định lí 1.3 Cho phương trình Pell x2 − Dy = Gọi r chu kì biểu √ √ pk phân số đơn giản thứ k D diễn phân số liên tục D, qk Nếu r chẵn tất nghiệm phương trình Pell là: x = pkr−1 , y = qkr−1 Nếu r lẻ tất nghiệm phương trình Pell là: x = p2tr−1 , y = q2tr−1 , t ∈ N∗ Lưu ý Nếu r số chẵn (pr−1 , qr−1 ) nghiệm nhỏ Nếu r số lẻ (p2r−1 , q2r−1 ) nghiệm nhỏ Ví dụ 1.1 Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 − 7y = √ Lời giải Ta có = [2, 1, 1, 1, 4] Chu kì r = số chẵn Vậy ta có nghiệm nhỏ (8;3) 58 Thì ta có < q = q2 − q1 ≤ N − ≤ Q |qϑ − q| = |{q2 ϑ} − {q1 ϑ}| < 1/N ≤ 1/Q Nhận xét 2.2 Với số thực ϑ, cho số thực Q > tồn số nguyên q khoảng ≤ q < Q số nguyên p cho p |ϑ − | ≤ q qQ Các chứng minh đưa đến bất đẳng thức ngặt |qϑ − p| ≤ 1/Q trường hợp Q không số nguyên, trường hợp Q số nguyên ϑ hữu tỉ, kết không với bất đẳng thức nói chung Ví dụ ϑ = a/b với gcd(a, b) = b ≥ 2, nghiệm p/q với bất đẳng thức ngặt cho Q = b + không cho Q = b Tuy nhiên Q số nguyên ϑ số vô tỉ, số |qϑ − p| vô tỉ ( q > 0) không 1/Q Chứng minh (iv) ⇒ (v) Giả sử (iv) Ta biết (iv) ⇒ (i) Do ϑ số vô tỉ Cho {q1 , , qN } tập hữu hạn số nguyên dương Ta biểu diễn tồn số nguyên dương q không thuộc {q1 , , qN } thỏa mãn điều kiện (v) Biểu diễn ||.|| khoảng cách đến số nguyên gần nhất: Cho x ∈ R ||x|| = |x − a| a∈Z Từ ϑ số vô tỉ, cho ≤ j ≤ N , số ||qj ϑ|| số khác không Cho Q > thỏa mãn Q> ||qj ϑ|| 1≤j≤n −1 Từ (iv) suy tồn số nguyên q khoảng ≤ q ≤ Q cho < ||qϑi || ≤ Q Phía bên vế phải < 1/q lựa chọn Q có kéo theo q khơng thuộc {q1 , , qN } 59 2.4.2 Bất đẳng thức Liouville Bổ đề 2.11 Cho α số đại số bậc d ≥ đa thức tối thiểu P ∈ Z[X] Xác đinh c = |P ′ (α)| Cho ε > tồn số nguyên q0 cho, p/q ∈ Q với q > q0 , p |α − | ≥ q (c + ε)q d Chứng minh Kết tầm thường α không số thực Một giá trị chấp nhận cho q0 q0 = (c|ℑm(α)|)−1/d Giả sử α số thực Cho q số nguyên dương đủ lớn p số nguyên gần đến qα Đặc biệt: p |α − | ≤ q 2q Biểu diễn a0 hệ số hàng đầu p α1 , , αd nghiệm với α1 = α Do P (X) = a0 (X − α1 )(X − α2 ) (X − αd ), d d q P (p/q) = a0 q d p ( − αi ) q i=1 (2.13) Cũng d ′ P (α) = a0 i=2 (α − αi ) Vế bên trái (2.13) số ngun Nó khác khơng P khơng rút gọn bậc ≥ Cho i ≥ ta sử dụng ước tính p |αi − | ≤ |αi − α| + q 2q 60 Ta suy : n p |(αi − α)| + ≤ q a0 |α − | q i=2 2q d Đối với q đủ lớn bên vế phải bị chặn từ p q d |α − |(|P ′ (α)| + ε) q 2.4.3 Bất đẳng thức Liouville bậc hai Xét bổ đề 2.11 trường hợp đặc biệt d = α số đại số bậc hai Viết đa thức tối thiểu f (X) = aX + bX + c cho ∆ := b2 − 4ac biệt thức √ Ta quan tâm đến xấp xỉ α bởi√số hữu tỉ, giả sử ∆ > Nếu −b ± ∆ −b ∓ ∆ α= nghiệm khác α′ = 2a 2a √ f ′ (α) = a(α − α′ ) = ± ∆ Bổ đề 2.12 Cho α đại số bậc đa thức tối thiểu P ∈ Z[X] Xác định c = |P ′ (α)| Cho ε > tồn số nguyên q0 cho p/q ∈ Q với q ≥ q0 , p |α − | ≥ √ q ( ∆ + ε)q Biệt thức dương nhỏ đa thức bậc hai không rút gọn với hệ số Z 5, mà giá trị biệt thức X − X − 1, với nghiệm Φ −Φ−1 Φ = 1, 6180339887499 biểu thị tỉ lệ Gold Kết với dãy Fibonacci (Fn )n≥0 : F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 Bổ đề 2.13 Cho q ≥ p ∈ Z, p |Φ − | > √ q q 5q + (n ≥ 2) 61 Mặt khác, |Φ − lim Fn−1 n→∞ Fn |= √ Fn−1 Chứng minh Nó đủ để chứng minh bị chặn thấp p số nguyên gần qΦ Từ X − X − = (X − Φ)(X + Φ−1 ) ta suy p p p2 − pq − q = q ( − Φ)( + Φ−1 ) q q Vế trái số nguyên khác khơng, có giá trị tuyệt đối nhỏ 1 Ta ràng buộc giá trị tuyệt đối vế phải từ Từ p < qΦ + √ Φ + Φ−1 = ta có: √ p + Φ−1 < + q 2q Phần bổ đề 2.13 sau: Không gian véctơ thực dãy (vn )n≥0 thoản mãn = vn−1 + vn−2 có hai chiều, sở cho hai chuỗi (Φn )n≥0 ((−Φ−1 )n )n≥0 Từ cách dễ dàng suy công thức: Fn = √ (Φn − (−1)n Φ−n ) Theo A.De.Moivre (1730), L.Euler (1765) J.P.M.Binet (1843), Fn số nguyên gần đến Do vậy, chuỗi (un )n≥2 √ Φn thương số Fibonacci un = Fn /Fn−1 , thoả mãn lim un = Φ Dễ dàng kiểm tra n→∞ = (−1)n−1 , Fn2 − Fn Fn−1 − Fn−1 chọn n ≥ Vế trái Fn−1 (un − Φ)(un + Φ−1 ), ta thấy Do Fn−1 |Φ − un | = , Φ−1 + un 62 1 =√ −1 Φ+Φ Nhận xét 2.3 Chuỗi un = Fn /Fn−1 xác định giới hạn vế phải u2 = 2, un = + Do vậy, un = + 1+ un−2 un−1 (n ≥ 3) =1+ 1+ = 1+1 un−3 Nhận xét 2.4 Nó biết đến k số nguyên dương, số thực vô tỉ ϑ có dạng khai triển phân số liên tục [a0 ; a1 , a2 , ] với an ≥ k vơ số n p lim inf q |ϑ − | ≤ √ q→∞ q + k2 Kết luận: Tác giả trình bày số mở rộng xấp xỉ Diophantine số bậc hai Từ áp dụng kết để giải phương trình Pell 2.5 Một ứng dụng giải phương trình Pell âm Trong phần tác giả giới thiệu ứng dụng giải phương trình Pell âm Trong đó, vai trị x y đổi chỗ cho Nội dung tham khảo tài liệu [5] Dễ thấy phương trình y = 3x2 − 1, y = 7x2 − khơng có nghiệm nguyên y = 65x2 − 1, y = 202x2 − có nghiệm nguyên Đặc biệt hơn, cách cho giá trị D phương trình Pell âm y − Dx2 = −1 giải hay không Trong phần này, phương trình Pell âm đưa y = 45x2 − 11 xem xét vô số nghiệm nguyên thu Một số quan hệ thú vị số giải pháp diện Phương pháp phân tích: 63 Phương trình Pell âm miêu tả hypebon xem xét là: (2.14) y = 45x2 − 11 Cho nghiệm nguyên dương nhỏ x0 = 2, y0 = 13 Các nghiệm khác thu (2.14), xét phương trình Pell y = 45x2 + cho nghiệm tổng ∼ ∼ ∼ ∼ quát (x, y ) đưa x = 2√145 gn , y = 12 fn Nơi mà √ √ fn = (161 + 24 45)n+1 + (161 − 24 45)n+1 ; (2.15) √ √ gn = (161 + 24 45)n+1 − (161 − 24 45)n+1 (2.16) √ 90xn+1 = 90fn + 13 45gn (2.17) √ 2yn+1 = 13fn + 45gn (2.18) ∼ ∼ Đặt nằm (x0 , y0 ) (x0 , y0 ), nghiệm nguyên khác (2.14) đưa bởi: Một số ví dụ y thỏa mãn (2.14) đưa bảng sau n xn yn 13 634 4253 204146 1369453 65734378 440959613 21166265570 141987625933 Lời nhận xét: Từ bảng trên, ta quan sát số quan hệ thú vị nghiệm xuất đây: 1) Giá trị x chẵn giá trị y lẻ 2) Mối quan hệ phép truy toán thỏa mãn nghiệm (2.14) đưa bởi: xn+3 − 322xn+2 + xn+1 = 0; (2.19) 64 yn+3 − 322yn+2 + yn+1 = (2.20) 3) xn+3 = 322xn+2 − xn+1 4) 24yn+1 = xn+2 − 161xn+1 5)24yn+2 = 161xn+2 − xn+1 6) 24yn+3 = 51841xn+2 − 161xn+1 7) 51841xn+1 = xn+3 − 7728yn+1 8) 25920xn+2 = 3864yn+2 − 24yn+1 9) 25920xn+2 = 24yn+3 − 3864yn+2 10) xn+2 = 161xn+3 − 24yn+3 11) 51840xn+2 = 24yn+3 − 24yn+1 12) 161xn+2 = xn+3 − 24yn+2 13) 51841xn+2 = 161xn+3 − 24yn+1 14) 25920xn+1 = 24yn+2 − 3864yn+1 15) 51841x2n+2 = 161xn+3 xn+2 − 24yn+1 xn+2 16) 51841x2n+1 = xn+1 xn+3 − 7728xn+1 yn+1 17) 24yn+1 xn+1 = 3864yn+2 xn+1 − 25920xn+1 xn+2 18) 3864yn+1 xn+2 = 24yn+2 xn+2 − 25920xn+1 xn+2 180x2n+2 − 26y2n+2 + 22 19) phương hoàn toàn 11 Chứng minh: Loại bỏ gn (2.17) (2.18), ta được: 180xn+1 − 26yn+1 = 11fn Tương tự bỏ fn (2.17) (2.18), ta được: √ √ 45yn+1 − 26 45xn+1 = 11gn Thay n 2n + (2.21) ,nó trở thành 180x2n+2 − 26y2n+2 = 11[fn2 − 2] 180x2n+2 − 26y2n+2 + 22 Hơn nữa, số phương hồn chỉnh 11 Tương tự, ví dụ sau số phương hồn chỉnh: (2.21) (2.22) 65 1369453x2n+2 − 13x2n+4 + 85008 42504 1369453x2n+3 − 4253x2n+4 + 264 ii) 132 57060x2n+2 − 26y2n+3 + 3542 iii) 1771 18373140x2n+2 − 26y2n+4 + 1140502 iv) 570251 4253x2n+2 − 13x2n+3 + 264 v) 132 180x2n+3 − 8506y2n+2 + 3542 vi) 1771 57060x2n+3 − 8506y2n+3 + 22 viii) 11 180x3n+3 − 26y3n+3 + 10626 số nguyên bậc ba 20) 11 Chứng minh: i) Thay n 3n + (2.21), trở thành 180x3n+3 − 26y3n+3 + 10626 số nguyên bậc ba 11 Nhận xét quan trọng: I: Nó trở thành (2.23) fn2 − gn2 = √ √ Xác định (X = 180xn+1 − 26yn+1 , Y = 45yn+1 − 26 45xn+1 ) Nên fn = Y X , gn = 11 11 Thay giá trị (fn , gn ) (2.23), ta có X − Y = 484 biểu diễn hypebon Tương tự, sử dụng kết hợp tuyến tính số nghiệm (2.14), nghiệm nguyên tổng quát cho lựa chọn khác hypebon biểu diễn bảng sau: Bảng 66 (X, Y ) S.NO HYPEBON X − Y = 7226360064 X − Y = 484 X − Y = 69696 (1369453xn+2 − 4253xn+3 , 28530xn+3 − 9186570xn+2 √ ) 45 X − Y = 1300744812004 (18373140xn+1 − 26yn+3 , 180yn+3 − 123250770xn+1 √ ) 45 X − Y = 12545764 X − Y = 69696 X − Y = 12545764 X − Y = 484 (1369453xn+1 − 13xn+3 , (180xn+1 − 26yn+1 , (57060xn+1 − 26yn+2 , (4253xn+1 − 13xn+2 , (180xn+2 − 8506yn+1 , (57060xn+2 − 8506yn+2 , 90xn+3 − 9186570xn+1 √ ) 45 180yn+1 − 1170xn+1 √ ) 45 180yn+3 − 382770xn+1 √ ) 45 90xn+2 − 28530xn+1 √ ) 45 57060yn+1 − 1170xn+2 √ ) 45 57060yn+2 − 382770xn+2 √ ) 45 √ √ II: Xác định (X = 180x2n+2 − 26y2n+2 + 22, Y = 45yn+1 − 26 45xn+1 ) Do fn2 X Y2 = , gn = 11 11 67 Thay giá trị (fn2 , gn2 ) (2.23), ta có Y = 11X − 484 biểu diễn parabol Tương tự, sử dụng kết hợp tuyến tính số nghiệm (2.14), nghiệm nguyên tổng quát cho lựa chọn khác parabon biểu diễn bảng sau: 68 (X, Y ) S.NO PARABOL Y = 42504X − 7226360064 Y = 11X − 484 Y = 132X − 69696 (1369453x2n+3 − 4253x2n+4 + 264, Y = 570251X − 1300744812004 (18373140x2n+2 − 26y2n+4 + 1140502, Y = 1771X − 12545764 Y = 132X − 69696 Y = 1771X − 1254564 Y = 11X − 484 (1369453x2n+2 − 13x2n+4 + 85008, (180x2n+2 − 26y2n+2 + 22, 180yn+1 − 1170xn+1 √ ) 45 (57060x2n+2 − 26y2n+3 + 3542, (4253x2n+2 − 13x2n+3 + 264, (180x2n+3 − 8506y2n+2 + 3542, (57060x2n+3 − 8506y2n+3 + 22, 90xn+3 − 9186570xn+1 √ ) 45 28503xn+3 − 9186570xn+2 √ ) 45 180yn+3 − 123250770xn+1 √ ) 45 180yn+3 − 382770xn+1 √ ) 45 90xn+2 − 28530xn+1 √ ) 45 57060yn+1 − 1170xn+2 √ ) 45 57060yn+2 − 382770xn+2 √ ) 45 III: Cho p, q với p > q > phần tử sinh ba Pytago T (α, β, γ) , α = 2pq, β = p2 − q , γ = p2 + q , p > q > Cho A, P biểu diễn 69 diện tích chu vi T , A = pq(p2 − q ), P = 2p(p + q) Chú ý γ − β = 2q ; γ − α = (p − q)2 Do vậy, 2(γ − α) = 45(γ − β) − 22, (2.24) (p − q)2 = 45q − 11 (2.25) đưa So sánh (2.25) với (2.14), ta có p = xn+1 + yn+1 , q = xn+1 (2.26) Do dó, ba Pytago T với phần tử sinh p, q đưa (2.26) cho 2α − 45β + 43γ = 22 Trong cách tương tự, quan hệ khác cho ba Pytago T biểu diễn sau: a) 47β − 45γ − 8A P = −22 4A + β = (2xn+1 + yn+1 )2 b) 2α − P 4A − α + β = 2yn+1 c) γ − P 2A = xn+1 yn+1 d) P Mỗi ví dụ sau số khó: 4A 6(β − ) P 4A + β) 6(2α − P 4A − α + β) 3(γ − P Như vậy, mục tác giả trình bày phương pháp giải cho phương trình Pell âm y = 45x2 −11 Như ta thấy phương trình Diophantine đa dạng, tìm kiếm cho khả phương trình 70 Pell âm cách xác định nghiệm nguyên chúng với thuộc tính phù hợp khó Kết luận: Trong chương 2, tác giả trình số kết xấp xỉ Diophantine phân số liên tục giải phương trình Pell Đồng thời tác giả giới thiệu tiêu chuẩn cho tồn nghiệm phương trình Pell, số mở rộng xấp xỉ Diophantine ứng dụng giải phương trình Pell âm 71 KẾT LUẬN Luận văn “ Xấp xỉ Diophantine phân số liên tục giải phương trình Pell” trình bày vấn đề sau: - Khái quát số khái niệm kết phương trình Pell - Hệ thống lí thuyết phân số liên tục - Sưu tầm số tốn qua kì thi học sinh giỏi ứng dụng phương trình Pell - Khái quát kết chu kì phân số liên tục - Hệ thống kết xấp xỉ Diophantine phân số liên tục - Giới thiệu tiêu chuẩn cho tồn nghiệm phương trình Pell số mở rộng xấp xỉ Diophantine - Giới thiệu ứng dụng giải phương trình Pell âm Tuy nhiên, luận văn số vấn đề chưa hoàn chỉnh chưa giải Do vậy, tác giả mong góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Trong thời gian tới, tác giả tiếp tục sâu nghiên cứu để hệ thống cách đầy đủ phương pháp sử dụng xấp xỉ Diophantine phân số liên tục giải phương trình Pell, nghiên cứu thêm ứng dụng phương trình Pell âm Tác giả mong muốn luận văn góp phần giúp bạn đọc có thêm tài liệu tham khảo nghiên cứu, tìm hiểu phương trình Pell ứng dụng 72 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Điển, (2004), Giải phương trình vơ định nghiệm ngun, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, Bùi Công Huấn, Đặng Hùng Thắng, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, (2004), Một số chuyên đề toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQGHN, Hà Nội [3] Trần Văn Trung, Phương trình Pell số áp dụng, trường THCS Chuyên Lê Qúy Đôn - Ninh Thuận https://dethimoi.com/toan-hoc/lop12/phuong-trinh-Pell-va-ung-dung-1447645571 Tiếng Anh ´ [4] M Waldschmidt, Pell’s equation, Ecole de recherche CIMPA, February 18, 2016, https://webusers.imj-prg.fr/michel.waldsmidt/articles/pdf/ ˜ BamakoPell2010.pdf [5] M A Gopalan, S Vidhyalaksmi, V Pandichelvi, P Sivakamasundari, C Privadharsini, On the negative Pell equation, International Journal of Pure Mathematical Sciences, Vol 16, pp 30-36, 2016, https://www.scipress.com/IJPMS.16.30.pdf ... 1.2 Phân số liên tục - Phân số liên tục tổng quát - Phân số liên tục đơn giản Trong mục tác giả trình bày hệ thống lí thuyết phân số liên tục, cụ thể phân số liên tục tổng quát, phân số liên tục. .. niệm kết phương trình Pell bản, hệ thống lí thuyết phân số liên tục - Chương trình bày xấp xỉ Diophantine, phân số liên tục đơn giản giải phương trình Pell ứng dụng giải phương trình Pell Chương... ? ?Xấp xỉ Diophantine phân số liên tục giải phương trình Pell? ?? Do phương trình Pell khơng cịn đề tài nên luận văn tác giả trình bày ngắn gọn kết ví dụ phương trình Pell bản, xấp xỉ Diophantine phân