THÔNG TIN TÀI LIỆU
PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN TRƢỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN BÁO CÁO SÁNG KIẾN “MỘT SỐ GỢI Ý ĐỂ ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ BỒI DƢỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI Ở TRƢỜNG THCS” Tác giả: Nguyễn Văn Tuyến Trình độ chun mơn: ĐHSP Tốn Chức vụ cơng tác: Tổ trƣởng tổ Khoa học Tự nhiên Nơi công tác: Trƣờng THCS Lê Qúy Đôn Ý Yên, ngày 25 tháng năm 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “ Một số gợi ý để đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Giảng dạy mơn Tốn bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn chun đề giải phương trình vơ tỷ Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ ngày 1/10/2013 – 20/3/2015 đội tuyển Toán Từ ngày 1/10/2014 – 10/5/2015 học sinh lớp 9A4, 9A5 Tác giả Họ tên: Nguyễn Văn Tuyến Năm sinh: 1980 Nơi thường trú: Yên Phong - Ý n - Nam Định Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm Chức vụ công tác: Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên Nơi làm việc: Trường THCS Lê Qúy Đôn – Huyện Ý Yên Điện thoại : 01234.834.309 Tỷ lệ đóng góp sáng kiến: 100% Đơn vị áp dụng sáng kiến Tên đơn vị: Trường THCS Lê Qúy Đôn – Huyện Ý Yên Địa liên hệ: Trường THCS Lê Qúy Đôn – Huyện Ý Yên Điện thoại : 03503.823.370 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến Đối với môn học nằm chương trình giáo dục phổ thơng nói chung trường THCS nói riêng, mơn Tốn mơn khoa học cơng cụ quan trọng, cầu nối ngành khoa học với đồng thời có tính thực tiễn cao phục vụ trực tiếp đời sống xã hội Từ trước đến môn Tốn thường coi mơn học khơ khan, nhàm chán, địi hỏi phải có trí thơng minh, khả nhớ tư cao, ngày có nhiều học sinh ngại, lười học mơn Tốn Do việc đổi phương pháp dạy học, tổ chức hoạt động tích cực dạy; khai thác cách giải ngắn gọn; kích thích, thúc đẩy hướng tư duy; khơi dậy lòng ham muốn; phát triển nhu cầu tìm tịi, khám phá hay, mới, khả tự học mơn Tốn việc làm vô cần thiết Vấn đề nêu khó khăn với khơng giáo viên Nhưng ngược lại, giải điều góp phần xây dựng cho thân phong cách phương pháp dạy học đại giúp cho học sinh có hứng thú có hướng tư việc lĩnh hội kiến thức môn Tốn Trong chương trình tốn lớp 9, phương trình vơ tỷ mảng kiến thức hay rộng Nó xuất hầu hết đề thi vào THPT; cấu trúc đề thi chọn HS giỏi tỉnh Nam Định đề thi vào trường THPT chuyên năm trở lại ln có dạng (chiếm tỷ lệ điểm từ 10% đến 15% điểm thi) Điều cho thấy vai trị mảng kiến thức “phương trình vơ tỷ” quan trọng Đối tượng học sinh THCS Lê Qúy Đôn, đa số em học sinh học khá, giỏi nhiều em tham gia kì thi chọn học sinh giỏi, kì thi tuyển sinh vào trường THPT chất lượng cao chuyên, nên việc trang bị cho em kiến thức phương trình phương trình vơ tỷ cần thiết Khi giải phương trình vơ tỷ, nhiều trường hợp dùng phép biến đổi tương đương cho ta phương trình phức tạp bậc cao Phương pháp hữu hiệu đặt ẩn phụ để chuyển phương trình cho phương trình hay hệ phương trình đơn giản dễ giải Chẳng hạn: Giải phương trình: x x 4 x 10 3x Nếu ta đặt y x 2 x , ta phương trình đơn giản là: Hoặc : Giải phương trình: x3 35 x x 35 x 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nếu ta đặt y 35 x , ta hệ phương trình đối xứng quen thuộc là: x y 35 xyx y 30 Kinh nghiệm thực tế cho thấy, phương pháp chung cho việc đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ, mà linh hoạt, sáng tạo giải tốn, việc đặt ẩn phụ cần phải đạt mục đích tạo điều kiện để giải toán cách ngắn dễ hiểu (chứ khơng phải đưa phương trình hay hệ phương trình đơn giản mà lại khơng giải được) Qua thực tế giảng dạy nhận thấy: Nếu giảng dạy tốt phần phương trình vơ tỷ, phương pháp đặt ẩn phụ ngồi việc nâng cao chất lượng kỳ thi, ta nâng cao lực giải toán (sự linh hoạt, thông minh đổi ẩn) bồi dưỡng cho học sinh khả tư tổng hợp Để làm điều trước hết ta cần cung cấp cho em sở để đặt ẩn phụ số phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng; cách nhận biết phương trình vơ tỷ phương pháp đặt ẩn phụ Từ gặp đề thi tập phương trình vơ tỷ, em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải Từ thực tế với kinh nghiệm rút trình giảng dạy mình, thơng qua việc bàn bạc trao đổi với đồng nghiệp, thấy việc trang bị cho học sinh kỹ giải phương trình vơ tỷ phương pháp đặt ẩn phụ cần thiết Với mong muốn trao đổi, sẻ chia kinh nghiệm nhỏ góp phần nâng cao lực giải tốn nói chung phương trình vơ tỷ nói riêng, từ thu hút học sinh ham mê học tốn, phát huy khiếu em đội tuyển Tôi xin mạnh dạn nghi lại kinh nghiệm mà thân tự tích lũy cơng tác giảng dạy qua sáng kiến : “ Một số gợi ý để đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS” II Thực trạng Qua nghiên cứu, tìm hiểu thực tiễn, dự giờ, điều tra GV dạy lớp học sinh lớp trường THCS Lê Quý Đôn, trường THCS Yên Phong trường THCS Thị Trấn Lâm (Ý Yên), qua thực tiễn giảng dạy mơn tốn lớp đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy: + Số học sinh học tốt mơn tốn (nắm vững kiến thức; có kỹ năng, kỹ xảo; có phương pháp tự học, tự bồi dưỡng) chiếm tỷ lệ thấp + Trong thực tế gặp phải tốn phương trình vơ tỷ nhiều học sinh lớp bỏ trắng, lúng túng xoay sở Một số em học, xong chưa linh hoạt việc vận dụng phương pháp, lời giải cịn dài dịng, khơng xác kỹ năng, chí số em cịn nhầm lẫn biến LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đổi dẫn đến thiếu nghiệm, thừa nghiệm; khơng tìm nghiệm tính nghiệm sai Một số học sinh tham gia thi chọn học sinh giỏi thi vào trường chuyên chậm việc vận dụng giải phương trình tương tự, làm thời gian để làm khác + Thực tế giảng dạy, ôn tập số giáo viên ngại dạy phương trình vơ tỷ, cho kiến thức nâng cao, học sinh giỏi cần phải học Một số giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỷ cịn thiếu linh hoạt, q sa đà vào phép biến đổi tương đương theo lối mịn dẫn đến phương trình thu số phức tạp, làm giảm hứng thú em dẫn đến học sinh ngày thấy học tốn khơ khan, phức tạp làm em tình u, đam mê với mơn Tốn Kết điều tra tâm lý dạy học chun đề phương trình vơ tỉ sau : Đối tượng Kết (tỷ lệ phần trăm) Tổng số Không hứng điều tra Rất hứng thú Hứng thú Bình thường Giáo viên 12,5% 12,5% 25% 50% Học sinh 98 15,3% 17,3% 20,4% 47% thú III Các giải pháp ứng dụng Để giúp người dạy người học thấy vai trò phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỉ, tơi đưa giải pháp kiến thức, kỹ gợi ý (biện pháp, kỹ thuật) để tháo gỡ (quy lạ quen) gặp phải phương trình phức tạp Hệ thống vấn đề lý thuyết cần cung cấp cho học sinh a) Các bước giải phương trình vơ tỷ phương pháp đặt ẩn phụ: Có bước giải phương trình vơ tỷ phương pháp đặt ẩn phụ - Bước 1: Đặt ẩn phụ tìm điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) - Bước 2: Chuyển phương trình cho phương trình (hệ phương trình) có biến ẩn phụ Giải phương trình (hệ phương trình) này, đối chiếu điều kiện có để chọn giá trị thích hợp ẩn phụ - Bước 3: Giải phương trình với giá trị vừa tìm ẩn phụ, đối chiếu ĐKXĐ (nếu có) kết luận tập nghiệm b) Các phương pháp đặt ẩn phụ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Đặt ẩn phụ theo số lượng ẩn: đặt ẩn phụ, ẩn phụ , ẩn phụ , … - Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho phương trình chứa ẩn hay hệ phương trình - Đặt ẩn phụ hồn tồn (phương trình khơng chứa ẩn cũ) hay khơng hồn tồn (phương trình cịn chứa ẩn cũ) Các giải pháp cụ thể Trước tiên người học cần nắm (tự hình thành hướng dẫn giáo viên) phương trình vơ tỉ có cấu trúc giải phương pháp đặt ẩn phụ thơng qua ví dụ Từ thấy vài trò phương pháp này, đồng thời bước đầu có kĩ thuật để chọn ẩn phụ A Một số dạng phƣơng trình vơ tỉ có cấu trúc giải đƣợc phƣơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: xx 5 23 x 5x (1) Lời giải: Đặt y x 5x y3 x 5x xx 5 y3 PT (1) trở thành: y y ( y 2)( y y 2) y 2 Với y 2, ta có PT x 5x 2 x 5x 8 x 5x x 2 x 3 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S 2; 3 *TQ (Dạng 1): Nếu biểu thức dấu biểu thị theo biểu thức dấu ta đặt thức làm ẩn (đặt điều kiện cho ẩn có) đưa phương trình cho phương trình đa thức Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x 2)( x 2) 4( x 2) x2 3 x2 (2) Lời giải: ĐKXĐ x x 2 Đặt y ( x 2) x2 y ( x 2)( x 2) x2 PT (2) trở thành: y y ( y 1)( y 3) y 1hoặc y 3 + Với y 1, ta có PT ( x 2) x2 1 ( x 2) ( x 2)( x 2) x x ( t / m) x2 + Với y 3, ta có PT ( x 2) x2 3 ( x 2) ( x 2)( x 2) x 13 x 13 ( t / m) x2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S 5; 13 *TQ (Dạng 2): Giải phương trình dạng: m( x a )( x b) n ( x a ) PP: Đặt y ( x a ) xb c0 xa xb y ( x a )( x b) xa PT cho trở thành my ny c 2 2 (3) Ta có 2 2 2 2 2 ( y 0) 2 1y x Ví dụ 3: Giải phương trình: Lời giải: Đặt y x x x x PT (3) trở thành: y 3 1 x ( y 0) y y y y + Với y 3, ta có PT + Với y 3, ta có PT 2 2 x 2 3 x 2 3 Vậy phương trình (3) có tập nghiệm S 2 2 2 x x 2 2 2 x2 x 2 *TQ (Dạng 3): Nếu tích hai biểu thức số k không đổi (k ≠ 0), ta đặt biểu thức y, biểu thức lại đưa phương trình cho phương trình bậc hai x x 2x x x x Lời giải: ĐKXĐ x 0; x 0;2x x x Ví dụ 4: Giải phương trình: PT (4) x 2x x x x x x (4) (*) x 1 x 5 x 4 x Đặt y x ; t 2x ( y, t 0) y t x 2x x PT (*) trở thành: y t y t ( y t )( y t 1) y t (do y; t 0) Với y t , ta có PT x 5 x x x x x 2( t / m) x x x x x x 2(không t / m) Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com *TQ (Dạng 4): Giải phương trình dạng: f ( x ) g( x ) a f ( x ) g( x ) PP: Đặt y f ( x ) ; t g( x ) ( y 0; t 0) PT cho trở thành y t a y t Tìm y theo t tìm nghiệm x (nếu có) Ví dụ 5: Giải phương trình: 2015 x 4x 2014 x 4x (5) Lời giải: ĐKXĐ x Đặt y 4x 3.( y 0) PT (5) trở thành: 2015 x 2014 xt y ( y x )(2015 x y) y x (do x 0; y 0) Với y x, ta có PT 4x x x 3 x 4x ( x 1)( x 3) x 1( t / m) x 3(t / m) 4 Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S 1; 3 *TQ (Dạng5): Giải phương trình dạng: f ( x ) g( x ) f ( x ) h ( x ) PP: Đặt y f ( x ) ( t 0) PT cho trở thành t t.g( x ) h ( x ) Tìm y theo t tìm nghiệm x (nếu có) Ví dụ 6: Giải phương trình: x x 3x x 1 Lời giải: ĐKXĐ x PT (6) x x x x (6) ** Đặt y x ; t x ( y 0; t 0) t y x x PT (**) trở thành: 8yt 3t y y 3t 3y t t 3ydo y 0; t 0 Với t 3y, ta có PT x x x 0 x 9x x 77 ( t / m) 77 Vậy phương trình (6) có tập nghiệm S *TQ (Dạng 6): Giải phương trình dạng: a f ( x ) g( x ) b.f ( x ) c.g( x ) PP: Đặt y f ( x ) , t g( x ) ( y 0, t 0) PT cho trở thành ayt by2 ct Tìm y theo t tìm nghiệm x (nếu có) Ví dụ 7: Giải phương trình: x x Lời giải: ĐKXĐ x Đặt y x ( y 0) y x (7) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x y x y Ta có hệ PT 2 x y x y x y x y 1 y x x y x y y x x y y x Từ ta tìm x 21 ( t / m) 21 Vậy phương trình (6) có tập nghiệm S *TQ (Dạng 7): Giải phương trình dạng: x x a a PP: Đặt ẩn phụ đưa hệ PT đơn giản giải PP Đặt y x a ( y 0) y x a x y a Ta có hệ PT Tìm y theo x tìm nghiệm x (nếu có) y x a Ví dụ 8: Giải phương trình: 25 x 3 x (8) Lời giải: Đặt y 25 x , t 3 x y3 t 28 y t y t 3 yt y t 28 y t y t 3yt 28 y t Ta có hệ PT Do a,b nghiệm (nếu có) phương trình t t X 4X X 1X 3 y y Giải hệ phương trình ta có nghiệm x=1, x=2 Vậy phương trình (8) có tập nghiệm S 1; 2 *TQ (Dạng 8): Giải phương trình dạng: m a f ( x ) m b f ( x ) c PP: Đặt ẩn phụ đưa hệ PT đối xứng Đặt y m a f ( x ) , t m b f ( x ) ( y 0, t 0) y m t m a b y t c Ta có hệ đối xứng loại n m y t a b Ví dụ 9: Giải phương trình: x 23 x Tìm y theo t tìm nghiệm x (nếu có) (9) Lời giải: Đặt y 2x x y x y Ta có hệ PT 3 y 2x x y 2 x y y x x y x xy y 1 x y Từ ta tìm x1 1; x x x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1 Vậy phương trình (9) có tập nghiệm S 1; *TQ (Dạng 9): Giải phương trình dạng: x n b a.n ax b PP: Đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng Đặt y n ax b x n ay b Ta có hệ đối xứng loại 2: n y ax b Bài tập áp dụng : Bài 1: Giải phương trình : a ) 3x 21x x 7x 16 c, x 3x 1 4x 3 b) x 4x x 4x x 1 30 x 3 d) 2x 1 2 1 x 2x b) 6 Bài 2: Giải phương trình : a) 5 x 5 x 10 35 x 6 35 x 12 c) 5x x x (Đề thi toán chuyên tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 20112012) d) 4x 5x x x 9x x e) x 8x x 8x Bài 3: Giải phương trình : a ) x x 3x b) x x 8x x 8x x 1 2 x 3x 10 x (Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT tỉnh Nam Định 2012-2013) c) x 11x x (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Nam Định năm học 2013-2014) d) x 1 x 2x x e) x 3 x 8x 48 28 x f ) 3x 1 x x 3x 4x 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (Đề thi toán chuyên tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 20152016) Bài 4: Giải phương trình : a) x 16 x b) 57 x x 40 1 x 1 2 d) x 23 x c) x e) 23 6x 23 3x Bài 5: Giải phương trình : b) x x 2014 2014 a ) 4x 2x 15 15 c) x 33 3x Tuy nhiên giải toán giải phương trình vơ tỉ, khơng phải lúc ta gặp phải phương trình có cấu trúc dạng phương trình Làm để giải chúng hay biến đổi chúng dạng biết tương đồng? Sau đây, xin đưa số ví dụ phân tích, gợi ý với mong muốn góp phần giải vấn đề nêu B Một số gợi ý để đặt ẩn phụ giải phƣơng trình vơ tỉ khơng có cấu trúc Ví dụ 10: Giải phương trình: x x 4 x 10 3x (10) Gợi ý: x2 x x Nhận xét 1: Với x Ta có Do đặt a x , b x x a.b a 4b 10 3x Ta có cách giải 1: ĐKXĐ: x Với x PT(1) x x 2 x 2 x 10 3x Đặt a x , b x (a, b 0) PT cho trở thành: 3a 6b 4ab a 4b 2b a 32b a 2b a 2b a 3 a 2b a 2b Với a 2b, ta có PT x 2 x x 2 x 4x x ( t / m) Với a 2b 3, ta có PT x 2 x (Vô nghiệm) 6 5 Vậy phương trình (10) có tập nghiệm S 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhận xét 2: Với x PT(10) x 2 x 4 x 10 3x Do đặt y x 2 x y x 4 x 4(2 x) 10 3x 4 x Ta có cách giải 2: ĐKXĐ: x Với x PT(10) x 2 x 4 2 x 2 x 10 3x Đặt y x 2 x PT cho trở thành: 3y y yy 3 y y 6 5 Giải phương trình trường hợp, ta có tập nghiệm S * CHÚ Ý Từ ví dụ ta thấy: + Đặt hay hai ẩn phụ tùy thuộc vào tư người học Việc đánh giá đặt ẩn phụ tốt hay dở không phụ thuộc vào số lượng ẩn phụ mà phụ thuộc vào phương trình tạo thành phương trình dễ giải + Trong nhiều trường hợp để làm xuất ẩn phụ, ta thường sử dụng phối hợp phép phân tích thành nhân tử hay sử dụng số phép biến đổi tương đương (như nâng lên lũy thừa, nhân chia hai vế phương trình cho biểu thức khác 0,…) Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a) b) x4 x4 x x 16 3x x2 3x x 4x c) 6x x x2 x 1 x d) x 1 x 1 1 x x x Ví dụ 11: Giải phương trình: x x x 3x x (11) Gợi ý: Xét tương quan hệ số biểu thức dấu dấu ta thấy, chia vế phương trình cho x ta đưa phương trình cho phương trình quen thuộc (Dạng 1) 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 0, x x Chia vế phương trình cho x Ta có phương trình Ta có lời giải : ĐKXĐ: x 1 3 x x x2 x Đặt y x x 1 x (*) x x y x PT (*) trở thành: y 2y y 3y 1 y 1( y 0) Với y , ta có PT x 1` 1 t / m 1 x x 1 Vậy phương trình (11) có tập nghiệm S Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a) x 4x x 3 5 x (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Nam Định năm học 2012-2013) b) x x x x c) x 23 x x 3x Ví dụ 12: Giải phương trình: x x x 3x 6x 19 (12) Gợi ý: Ta nhận thấy đa thức x x x 3x 2, đa thức 3x 6x 19 khơng phân tích thành nhân tử với hệ số nguyên nên ta tìm cách bỏ dấu chứa (chuyển vế bình phương hai vế) Khi thu gọn hạng tử đồng bậc hoán vị linh hoạt thừa số dấu căn, ta phương trình quen thuộc (Dạng 6) Ta có lời giải : ĐKXĐ: x Với x 2, PT(12) x x x 3x 6x 19 x x x x x 9x 1 3x 6x 19 x 3x 2 x x 8x 17 x 3x 1 x x 8x 17 Đặt a x 3x 1, b x (a 0, b 0) a 10b x 8x 17 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PT cho trở thành: 3ab a 10b a 5b a 2b a 5b (do a 0, b 0) Với a 5b , ta có PT x 3x 1 x2 x 23 341 t / m 23 341 S Vậy phương trình (12) có tập nghiệm Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a) x x x (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Nam Định năm học 2014-2015) b) x x x 5x c) 5x 14x 96 x x 20 x d) 10x 36x 33 x 2x 3x Ví dụ 13: Giải phương trình: 2x 2x 4x 1 x (13) Gợi ý: Quan sát hệ số x hai ta nhận thấy nhân hai vế PT(13) với ta có 4x 4x 24x 1 x Khi ta nhận hai ẩn phụ phương trình 4x x Sau đổi ẩn (đặt ẩn phụ hồn tồn) ta đưa phương trình cho phương trình tích quen thuộc Ta có lời giải 1: PT(13) 4x 4x 24x 1 x 4(x 1) (4x 1) 24x 1 x Đặt a x 1, b 4x 1(a 1do x 0) PT cho trở thành: 4a b 2ab (*) 4a 1 b 2ab 2a 12a 1 b1 2a 2a 12a b b 2a do a 2a 1 2 Với b 2a , ta có PT 4x x x 2x 1 x 2 3 x t / m. Vậy phương trình (13) có tập nghiệm S 4 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tuy nhiên: Nếu ta biến đổi PT(13) 2x 1 2x 24x 1 x đặt a x (a 1do x 0) ta đưa phương trình cho kiểu phương trình quen thuộc (Dạng - đặt ẩn phụ khơng hồn tồn) Ta có lời giải 2: Đặt a x (a 1do x x) PT cho trở thành: 2a 2x 4x 1.a (**) 2a 1a x 1 a x do a 2a Với a 2x 1, ta có PT 1 x 2x 1 x 2 t / m. Vậy phương trình (13) có tập nghiệm S 4 CHÚ Ý Từ cách chọn ẩn phụ ta thấy: x + Đặt hai ẩn phụ PT(*) lại dễ dàng đưa phương trình tích so với PT(**) + Tuy nhiên PT (* *) giải cách coi (**) phương trình bậc hai ẩn a (tham số x) Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a ) 2x x 4x 1 x b) x 3x x 23 6x c) 2x x 3x x d) 3x 11x 3x 24x 8x 8x Ví dụ 14: Giải phương trình: 2x x 9x 16 (14) (Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT tỉnh Nam Định năm học 2005-2006) Gợi ý: PT(14) có nhiều cách giải: Chẳng hạn: Nếu sử dụng hai lần phép nâng lên lũy thừa ta có lời giải là: Cách 1: ĐKXĐ: x 9x Khi PT(14) 2x x 16 16 2x 9x 8x 32 16 2x 9x 2 8x 32 (ĐK : 9x 8x 32 0) 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 81x 144 x 512 x 1024 9x 16 x 32 9x 32 ( t / m) Tuy nhiên cách giải có hạn chế : x với điều kiện bổ sung 9x 8x 32 + Các hệ số phương trình sau bình phương hai vế lần sau lớn Ta giải phương trình cách đưa phương trình tích sau: Cách 2: ĐKXĐ: x + Phải đối chiếu nghiệm vô tỷ x 9x Khi PT(14) 2x x 16 2x 9x 8x 32 16 (*) x 8x 16 2x 16 2x 16 x 4 2x Tuy nhiên việc đưa PT(*) phương trình không đơn giản với số học sinh Nếu ta để ý chút đến hệ số tự biểu thức chứa PT(*) 32:8=4, ta có cách chọn ẩn phụ hợp lý Cách 3: ĐKXĐ: x 9x Khi PT(14) 2x x 16 16 2x 9x 8x 32 (*) 16 2x 32 8x x 8x 16 2x 2x x 8x Đặt y 2x ( y 0) PT cho trở thành: y 16 y x 8x * * 4 y x 16 y 8x 2 y x 2 y x 8 x y do y 0; x 2 y x Với x y, ta có phương trình x 2x x 0 x 2x 9x 32 x ( t / m) PT(**) dễ dàng đưa phương trình tích Như cách đặt ẩn phụ chiếm ưu khắc phục tất nhược điểm hai cách làm Bài tập áp dụng : Giải phương trình : 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3 4x 4x 2 x x 12 x b) x 2 x 9x 16 6x c) x 2 x x2 a ) 12 d) 3x 6x (2 x ) (7 x 19) x (Đề thi toán chung tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 20152016) Ví dụ 15: Giải phương trình: x3 35 x x 35 x 30 (15) Gợi ý: Trong vế trái PT(15) x 35 x có vai trị nhau, xét bậc bậc chúng (cùng có bậc 1) Do đặt PT đối xứng quen thuộc Ta có lời giải : Đặt y 35 x y3 35 x 35 x y ta hệ x y 35 x y x xy y 35 x y Ta có hệ phương trình : xy xyx y 30 xyx y 30 Do x,y nghiệm (nếu có) phương trình X X X X 3 Giải phương trình ta có nghiệm x=2: x=3 Vậy phương trình (15) có tập nghiệm S 2; 3 Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a) x3 25 x x 25 x 30 b) 1 2 x x2 Ví dụ 16: Giải phương trình: 3x 12 3x 12 Gợi ý: Trong vế trái PT(16) 3x 93 9x (16) 3x có vai trị Nếu đặt a 3x b 3x a b3 3x 1 3x 1 hệ PT quen thuộc Ta có lời giải : Đặt a 3x b 3x Ta có hệ phương trình : 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2 2 a b 2 3ab a b a b ab a b ab 3 2 a b a b a b a b a ab b Do a, - b nghiệm (nếu có) phương trình X 2X X 12 Giải phương trình ta có nghiệm x=0 Vậy phương trình (16) có tập nghiệm S 0 Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a ) x 1 x 1 x 2 b) 3x 1 3x 1 9x 2 c) 7x x 8x x 8x 2 Ví dụ 17: Giải phương trình: 3x x x7 (17 ) Gợi ý: Ta có 3x 6x 3x 1 Nếu đặt y x7 x7 2 y 1 3y 1 x Kết hợp với 3 phương trình ban đầu ta hệ PT đối xứng quen thuộc Ta có lời giải : ĐKXĐ: x 7 Đặt y x7 ( y 0) Ta có hệ phương trình 3y 12 x 3x 12 y 3y 12 3x 12 x y y x 3x 3y 3x 12 y 3x 1 y x y 3x 3y 3x 12 y x y Giải hệ phương trình cho ta tập nghiệm PT(17) 73 73 S ; 2 Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a )16 x x 1 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b) 27 x 18 x c) x x 3x 4x 28 d) x x 1000 8000 x 1000 Từ ví dụ ta thấy, để giải phương trình vơ tỷ không mẫu mực ta thường: + Sử dụng phối hợp phép phân tích thành nhân tử hay số phép biến đổi tương đương để đưa phương trình cho dạng phương trình quen thuộc (có cấu trúc tương đồng) + Nếu cấu trúc ẩn biểu thức phương trình có vai trị ta thường đặt ẩn phụ để đưa phương trình cho hệ phương trình + Ngoài việc xét đối xứng hay tỷ lệ hệ số biểu thức hay ngồi dấu quan trọng, gợi ý cho ta thêm (hoặc bớt), tách, nhân (hoặc chia hai vế) phương trình với biểu thức khác 0, … kỹ thuật để tạo ẩn phụ III Hiệu mà sáng kiến đem lại Trong trình giảng dạy mơn tốn, cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi thân năm qua, ý thức tầm quan trọng phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vơ tỷ Tơi tiến hành thực sáng kiến đội tuyển Toán năm học 2013-2014; 2014-2015 đem lại hiệu thiết thực Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2013-2014; 2014-2015 gặp phải đề thi giải phương trình vơ tỷ có sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ (đã đưa vào phần tập áp dụng sáng kiến trên), 100% học sinh làm tốt đạt điểm tuyệt đối, góp phần đưa kết chung toàn đội năm 2014-2015 lên giải Nhì tỉnh Nhiều em đạt đạt giải cao, đỗ vào trường chuyên Hà Nội trường chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trong em Trần Hồng Chuẩn cựu học sinh đội tuyển Tốn trường THCS Lê Qúy Đôn năm học 2013-2014, học lớp 10 chyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định học sinh chọn tham dự kì thi học sinh giỏi mơn Tốn Đồng Sơng Hồng đạt huy chương đồng 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để kiểm tra tính khả thi hiệu giải pháp nêu học sinh lớp thi vào THPT (khơng học đội tuyển Tốn), tơi tiến hành thực nghiệm lớp mà dạy (2 lớp có trình độ học sinh tương đối đồng đều) + Lớp thực nghiệm: Lớp 9A4 + Lớp đối chứng: Lớp 9A5 Phương pháp tiến hành: Tôi tiến hành dạy chun đề giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ (với mức độ từ 70% đến 85% kiến thức nêu) buổi luyện thi vào THPT + Ở lớp 9A4, dạy giải pháp nêu sáng kiến + Ở lớp 9A5, dạy theo phương pháp truyền thống: đưa dạng tổng quát, cho học sinh làm ví dụ minh họa, giáo viên lưu ý sai lầm cho làm tập áp dụng Sau dạy xong theo kế hoạch, tiến hành điều tra tâm lí cho làm kiểm tra 15 phút lớp ĐỀ BÀI: Giải phương trình : a ) x 3x x 3x b) 10 x x HƢỚNG DẪN CHẨM - BIỂU ĐIỂM Hướng dẫn Câu Điểm ĐKXĐ: x PT (1) x 3x x 3x 1,0 3 7 Đặt y x 3x y Vì x 3x x 2 4 1,0 1) điểm PT cho trở thành: 1,0 y y y 1y 3 y do y 0 Với y 3, ta có PT x 3x x 3x x 29 2,0 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 29 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S 1,0 ĐKXĐ: x 1 0,5 PT (2) 10 x 1x x 1 3x x x 0,5 Đặt 1 a x ; b x x , a 0; b x x x 2 1,0 2) điểm PT (2) trở thành: 0,5 10ab a b 3a b 3a b b 3a do a 0; b 0 Với b 3a, ta có PT x x x x 1 x 10 x x 1,0 33 ( t / m) 33 Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S 0,5 Kết nhƣ sau: Về tâm lý: Lớp Kết (tỷ lệ phần trăm) Tổng số học Không hứng sinh Rất hứng thú Hứng thú Bình thường 9A4 28 67,9% 14,3% 17,8% 0% 9A5 28 25% 35,7% 21,5% 17,8% thú Từ bảng kết điều tra tâm lý thấy, việc dạy học theo hướng gợi mở thông qua giải pháp giúp học sinh đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ đem lại hứng thú cho học sinh lớp thực nghiệm khác Lớp 9A4 hiệu lớp 9A5, số học sinh hứng thú lớp thực nghiệm tăng 42,9% (từ 25% lên 67,9%) so với lớp đối chứng Khơng cịn học sinh khơng có hứng thú lớp thực nghiệm Kết làm: 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lớp Kết (tỷ lệ phần trăm) Tổng số học sinh Tù đến Dưới Trên Từ đến 10 9A4 28 0% 7,2% 92,8% 53,6% 9A5 28 10,7% 42,9% 57,2% 21,4% Kết làm lớp thực nghiệm có tỷ lệ điểm trung bình tăng 35,6% tỷ lệ điểm giỏi tăng 32,2% so với lớp đối chứng Trong lớp đối chứng cịn 10,7 % học sinh điểm Trong trình học tập mơn tốn dù học sinh đại trà hay học sinh giỏi, trang bị kỹ thuật đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ theo định hướng phát triển lực người học, thấy em hứng thú, tự tin, khắc phục phần tâm lý trán nản đồng thời nâng cao chất lượng dạy học, chất lượng kiểm tra Quan trọng làm cho em khơng cịn cảm giác khơ khan, cứng nhắc học mơn Tốn, rèn tư linh hoạt giải toán việc học môn khoa học tự nhiên khác; IV Cam kết không chép vi phạm quyền Tôi xin cam kết với hội đồng khoa học, với cấp sáng kiến kinh nghiệm thân đúc rút kinh nghiệm qua nhiều năm dạy học sinh giỏi lớp ôn thi vào 10 THPT với mục đích giúp học sinh dễ hiểu, đạt kết cao học tập rèn luyện Tơi khơng chép hình thức Trên số kinh nghiệm tơi q trình giảng dạy, cố gắng cịn nhiều thiếu sót mà thân chưa nhận thấy, mong nhận góp ý đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! Ý Yên, ngày 25 tháng 05 năm 2015 ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Tác giả sáng kiến CỦA NHÀ TRƯỜNG Nguyễn Văn Tuyến 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... “ Một số gợi ý để đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Giảng dạy mơn Tốn bồi dưỡng học sinh giỏi Toán chuyên đề giải phương trình. .. phụ theo số lượng ẩn: đặt ẩn phụ, ẩn phụ , ẩn phụ , … - Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho phương trình chứa ẩn hay hệ phương trình - Đặt ẩn phụ hồn tồn (phương trình khơng chứa ẩn cũ) hay khơng... “ Một số gợi ý để đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS? ?? II Thực trạng Qua nghiên cứu, tìm hiểu thực tiễn, dự giờ, điều tra GV dạy lớp học sinh lớp trường THCS
Ngày đăng: 10/10/2022, 14:53
Xem thêm:
