Bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampere phức trong lớp f (f)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– HỒNG THỊ HẢI YẾN BÀI TỐN DIRICHLET ĐỐI VỚI TỐN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG LỚP F ( f ) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– HOÀNG THỊ HẢI YẾN BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG LỚP F ( f ) Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Hồng Thị Hải Yến Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, phận sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2016 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC .iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa 1.2 Hàm đa điều hoà 1.3 Hàm cực trị tương đối .7 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức .10 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford Taylor .12 Chương 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE -AMPÈRE PHỨC TRONG LỚP F ( f ) 17 2.1 Dáng điệu biên hàm lớp Ep F 17 2.2 Định nghĩa toán tử Monge – Ampère lớp E( f ) 21 2.3 Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp F ( f ) 27 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức đặt sau: Cho WÌ £ n miền giả lồi chặt,  độ đo Borel W Hãy tìm lớp hàm đa điều hịa P (W) thích hợp toán tử Monge-Ampère phức (dd c )n xác định tốt cho với hàm h liên tục ¶ W, tốn sau có nghiệm nhất: ìï u Î P (W), (dd c u )n = m; ï í ïï lim u (z ) = h ( x), x ẻ ả W ùợ z đ x (1.1) Bi tốn Dirichlet hàm đa điều hịa nghiên cứu Brememann vào năm 1959 Sau đó, năm 1976, Bedford Taylor giới thiệu toán tử Monge-Ampère phức giải Bài toán Dirichlet (1.1) P (W) = PSH (W) ầ LƠloc (W) v độ đo  liên tục tuyệt đối độ đo Lebesgue Từ số tác U.Cegrell, L.Persson S.Kolodziej, Z.Blocki cố gắng giải tốn bỏ qua tính liên tục mật độ m Năm 1996, S.Kolodziej cho điều kiện đủ tính giải tốn Dirichlet tốn tử Monge-Ampère phức lớp PSH (W) Ç L¥loc (W) Đối với độ đo kỳ dị, tính giải tốn Dirichlet giải L Lempert, J.P.Demailly P Lelong Năm 2004, U Cegrell đưa định nghĩa tổng quát toán tử Monge-Ampère, định nghĩa lớp lượng F giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère lp ú Theo hướng nghiên cứu trên, chọn ”Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampere phức lớp F ( f ) ” làm đề tài nghiên cứu mình, trình bày kết gần P Ahag giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp F ( f ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp F ( f ) 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, tốn tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh + Trình bày kết nghiên cứu giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp F ( f ) Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 41 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, tốn tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh hệ Chương 2: Là nội dung luận văn Phần đầu chương, trình bày dáng điệu biên hàm lớp Ep , Định nghĩa toán tử Monge – Ampère lớp E( f ) F Trong mục 2.2 định nghĩa tốn tử Monge-Ampère lớp theo cách xấp xỉ Mục 2.3 dành để trình bày việc giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère lớp F ( f ) Đặc biệt, [8], Cegrell giải toán Dirichlet f = Phần Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn cuối chương trình bày chứng minh nguyên lý so sánh, nhờ sử dụng phương pháp chứng minh Định lý 2.3.3 Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u : X ® éëê- ¥ , + ¥ ) gọi nửa liên tục trên X với a Ỵ ¡ tập X a = {x Ỵ X : u (x ) < a } mở X Hm v : X đ (- Ơ , + Ơ ù ú û gọi nửa liên tục X - v nửa liên tục X Định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X ® éëê- ¥ , + ¥ ) Ta nói hàm u nửa liên tục x Ỵ X " e > tồn lân cận U x x X cho " e Ỵ U x ta có: 0 u (x ) < u (x ) + e u (x ) - Ơ u (x ) < - u (x ) = - ¥ e Giả sử E Ì X u : E ® éëê- ¥ , + ¥ ) hàm E Giả sử x Ỵ E Ta định nghĩa lim sup u(x ) = inf {sup{u(y ) : y ẻ V }} x đ x0 x ẻ E inf lấy V chạy qua lân cận x Khi thy rng hm u : X đ ộởờ- Ơ , + ¥ ) nửa liên tục x0 Î X lim sup u(x ) £ u(x ) Ta có kết sau x ® x0 Định nghĩa 1.1.2 Giả sử W tập mở £ Hm u : Wđ ộờở- Ơ , + Ơ ) gọi điều hịa W nửa liên tục trên W thỏa mãn bất đẳng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn thức trung bình W, nghĩa với w Ỵ W tồn d > cho với £ r £ d ta có u ( w) £ 2p ị 2p u ( w + re it )dt (1.2) Kí hiệu tập hàm điều hòa W SH (W) Mệnh đề 1.1.3 Giả sử u, v hàm điều hòa tập mở W £ Khi đó: (i ) m ax(u , v ) hàm điều hòa W (ii ) Tập hàm điều hòa W nón, nghĩa u, v Ỵ SH (W) a , b > a u + b v thuộc SH (W) Định lý 1.1.4 Giả sử {u n } dãy giảm hàm điều hòa tập mở W £ u = lim u n Khi u hm iu hũa di trờn W nđ Ơ Chng minh Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên W Với a Ỵ R, tập {z Ỵ W: u(z ) < a } = Ơ U{z ẻ W: un (z ) < e} n Do tập mở Vậy u nửa liên tục trên W Do u n thỏa mãn bất đẳng thức trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy u thỏa mãn bất đẳng thức trung bình W Do u hàm điều hịa W 1.2 Hàm đa điều hồ Định nghĩa 1.2.1 Cho W tập m ca Ê n v u : Wđ ộờở- Ơ , ¥ ) hàm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hồ với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u (a + l b) điều hoà trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 27 Giả sử u 1, u 2, , u n Î E( f ) Khi sử dụng ý tưởng chứng minh Định lý 2.2.7, để định nghĩa (dd cu1) Ù (dd cu2 ) Ù Ù (dd cun ) theo cách tương tự (dd cu )n xác định Định nghĩa 2.6 Mệnh đề 2.2.9 thu sử dụng Mệnh đề 2.2.5 với Hệ 5.2 [8]; sử dụng sau chứng minh Định lý 2.3.3 Mệnh đề 2.2.9 Giả sử u Ỵ F ( f ) {u j }, u j Ỵ E0 ( f ) , dãy giảm hội t im n u j đ + Ơ Khi j Ỵ PSH (W), j £ , ò (- j )(dd u ) c n < +Ơ W thỡ lim j đ + Ơ (- j )(ddcu j )n = (- j )(dd cu )n tơ pơ yếu* 2.3 Bài tốn Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức lớp F ( f ) Giả sử WÍ £ n miền siêu lồi b chn, v f : ả Wđ Ă l mt hàm liên tục cho lim z ® x U (0, f )(z ) = f ( x) với x ẻ ả W Trong phn ny, chỳng ta s chứng minh toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức Chính xác hơn: giả sử m độ đo không âm triệt tiêu tập đa cực có khối lượng tồn phần hữu hạn Khi tồn hàm xác định u Ỵ F ( f ) cho (dd cu )n = m (Định lý 2.3.3) Chương này kết thúc với nguyên lý so sánh, chứng minh nhờ sử dụng phương pháp chứng minh Định lý 2.3.3 Bằng cách sử dụng phần tồn Định lý 2.3.3 nguyên lý so sánh Bedford-Taylor cho hàm đa điều hòa bị chặn, Cegrell chứng minh nguyên lý so sánh lớp F a ( f ) ; Hệ quả, suy phần Định lý 2.3.3 Bổ đề 2.3.1 Cho u Î E0 ( f ) f Î E( f ) I C(W) Nếu A = {z Ỵ W: u (z ) > f (z )}, Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 28 c A (dd cu )n = c A (dd c max{u, f })n , c A hàm đặc trưng A Chứng minh Nếu u = U (0, f ) , bổ đề suy trực tiếp Từ giả sử u ¹ U (0, f ) Điều đủ để chứng minh đẳng thức hai độ đo hai tập compact tuỳ ý K Í W(K ¹ f ) Lấy a số xác định ìï , max x Î ¶ W f ( x) £ a = ùớ ùù max x ẻ ả W f ( x) , max x ẻ ả W f ( x) > ợ Theo nh lý 2.2.7, tn ti u W ΠE0 cho u W¢ = u - a lân cận W¢Í W tập K Nu A%= {z ẻ W: uW > f - a }, theo Bổ đề 5.4 [7] ta có c A%(dd cuW¢)n = c A%(dd c (max {uW¢, f - a }))n W W¢ Do ta có c A (dd cu )n = c A (dd c (u - a ))n = c A (dd c (max {u - a , f - a }))n = c A (dd c (max{u, f } - a ))n = c A (dd c (max {u, f }))n K , A I W¢= A%I W¢ Định lý 2.3.2 Giả sử m độ đo không âm xác định miền siêu lồi bị chặn W Khi tồn hàm y Ỵ E0 j Ỵ L1loc ((dd c y )n ), j ³ cho m = j (dd c y )n + n, n độ đo không âm cho tồn tập đa cực A Í W với n(W\ A ) = Chứng minh Xem Định lý 5.11 [8] W Định lý 2.3.3 Cho WÍ £ n (n ³ 2) miền siêu lồi bị chặn Giả sử m độ đo không âm xác định W với m(W) < + ¥ m(A) = với tập đa cực A Í W Khi đó, với hàm liờn tc f : ả Wđ Ă cho lim z ® x U (0, f )(z ) = f ( x) vi mi x ẻ ả W, tn ti hàm u Ỵ F ( f ) cho (dd cu )n = m Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh tồn u Ỵ F ( f ) thoả mãn định lý Vì m triệt tiêu tập đa cực có khối lượng tồn phần hữu hạn, nên theo Định lý 2.3.2 tồn hàm y Ỵ E0 j Î I L1((dd c y )n ), j ³ cho m = j (dd c y )n Vi mi k ẻ Ơ , ly mk l đo xác định mk = min{j , k }(dd c y )n Khi mk £ (dd c (k 1/ n y ))n theo Định lý Kolodziej [10], tồn hàm wk Ỵ E0 cho (dd cwk )n = mk (2.15) Dãy {wk } giảm Điều kéo theo (wk + U (0, f )) ẻ LƠ (W) ầ PSH (W) , lim z ® x (wk + U (0, f ))(z ) = f ( x) với x Î ¶ W, U ((dd c (wk + U (0, f )))n , f ) = wk + U (0, f ) Đẳng thức (2.15) kéo theo (dd c (wk + U (0, f )))n ³ mk Theo Định lý 8.1 [7] ta có (dd cU (mk , f ))n = mk U (0, f ) ³ U ( mk , f ) ³ wk + U (0, f ) (2.16) Vì thế, U ( mk , f ) Ỵ E0 ( f ) Điều kéo theo {U ( mk , f )} dãy giảm Vì m(W) < + ¥ theo giả thiết, nên ta suy sup ò (dd cwk )n = sup ò (dd cU ( mk , f ))n £ sup mk (W) £ m(W) < + ¥ k W k W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN k http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 limk đ + Ơ wk ẻ F t u = limk đ + Ơ U (mk , f ) Khi theo (2.16) u Ỵ PSH (W) U (0, f ) u limk đ + Ơ wk + U (0, f ) Suy u Î F ( f ) Từ Định lý 2.2.7 suy (dd cu )n = m Bây ta chứng minh tính u thoả mãn định lý Giả sử tồn v Ỵ F ( f ) thoả mãn (dd cv )n = m Khi giả thiết m(W) < + ¥ theo ị (dd u ) c n < + ¥ W ò (dd v ) c n kéo < + ¥ Ta chứng minh u = v W Vì nguyên lý so sánh chưa chứng minh có hiệu lực F a ( f ) , nên ta sử dụng dãy xấp xỉ nghiệm u v , sau sử dụng nguyên lý so sánh xấp xỉ Đối với hàm u dãy {u k }, u k Î E0 ( f ) , phần chứng minh tồn sử dụng Lấy {K j } với K j Í W int (K j ) ¹ f dãy tập compact cho K j Í int (K j + 1) U¥j = K j = W vi mi j ẻ Ơ Ký hiệu h K hàm cực trị tương đối lấy s j số nguyên dương j { } Dãy max {v, s j hK + U (0, f )} xây dựng cho j max {v, s j hK + U (0, f )} Î E0( f ) j giảm đến v W j đ + Ơ Bng cỏch s dụng hàm phụ a j , thu x jk + max {v, s j hK + U (0, f )} £ uk £ y jk , j x jk Ỵ E0(0) y jk Ỵ E0( f ) xây dựng cách thích hợp Khi xây dựng hàm a j , ý tưởng từ chứng minh Bổ đề 5.14 [8] sử dụng Khi để hồn thành chứng minh ta cần chứng minh x jk hội tụ đến y jk hội tụ đến v W k j dần đến + ¥ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 Theo Định lý 2.3.2, tồn hàm y Ỵ E0 j Ỵ L1((dd c y )n ), j ³ cho (2.17) m = j (dd c y )n điều suy m triệt tiêu tập đa cực m(W) < ¥ , theo gi thit Vi mi k ẻ Ơ , ly mk độ đo xác định mk = min{j , k }(dd c y )n (2.18) Từ phần chứng minh suy tồn dãy giảm {u }, Ỵ k uk Ỵ E0( f ) , cho (dd cuk )n = mk (2.19) v u = limk đ + Ơ uk Dãy {K j } compact có tính chất hàm cực trị tương đối hK Ỵ E0 I C (W) Nhắc lại j hK (z ) = sup{ v (z ) : v Ỵ PSH (W), v < v £ - K j } j Lấy {s j } dãy tăng nghiêm ngặt số nguyên dương, định nghĩa hàm a j a j = - hK j ìï v - U (0, f ) ü ï ï , hK ïý + max í j ï ùù sj ù ợ ỵ Chỳ ý rng hm a j nói chung, khơng phải hàm đa điều hịa Định nghĩa a j kéo theo lim j ® + ¥ (1 - a j ) = W\ {v = - ¥ } Như chọn dãy tăng {l j }¥j = số nguyên dương cho, với j Ỵ ¥ , bất đẳng thức c n ị (1 - a j )(dd v ) £ W j (2.20) xảy theo Định lý hội tụ đơn điệu giả thiết (dd cv )n triệt tiêu tập đa cực Để đơn giản ta ký hiệu {K j } {s j } sử dụng thay cho {K l } {sl } j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn j 32 Nếu A j = {v > s j hK + U (0, f )} j £ a j £ c A £ 1, (2.21) j c A hàm đặc trưng tập hợp A j Vì s j hK Ỵ E0 , nên suy j j ( s j hK + U (0, f )) Ỵ E0( f ) Dãy j {max{v, s h } giảm + U (0, f )} j Kj n v j đ + Ơ Ly j ẻ Ơ c nh v s ẻ ¥ cho s ³ s j Khi Bổ đề 2.3.1 suy c A (dd c max{v, shK + U (0, f )})n = c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n , (2.22) j j j j max{max{v, shK + U (0, f )}, s j hK + U (0, f )} = max{v, s j hK + U (0, f )} j j j Từ (2.21) (2.22) suy £ a j (dd c max{v, shK + U (0, f )})n j £ c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j j £ (dd c max{v, shK + U (0, f )})n (2.23) j Các giới hạn yếu* sau xảy ra: lim (dd c max{v, shK + U (0, f )})n = (dd cv )n , s® + ¥ j lim (- hK )(dd c max{v, shK + U (0, f )})n = (- hK )(dd cv )n , sđ + Ơ j j j ùỡ v U (0, f ) ïü ï (dd c max{v, sh + U (0, f )})n = lim max ïí , hK + ý Kj j sđ + Ơ ùù s j s j ùù ợ ỵ ùỡù v U (0, f ) ïü ï (dd cv )n , = max í , hK + ý j ïï s j s j ùù ợ ỵ ổ U (0, f ) ổ U (0, f ) ữ ữ ỗỗ ỗ c n ữ ữ lim ỗ(dd max{v, shK + U (0, f )}) = ỗỗ(dd cv )n ữ ữ ữ ữ j sđ + Ơ ỗ sj ứ sj ứ ữ ữ ố ốỗ S húa bi Trung tõm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 Giới hạn thứ suy Định lý 2.2.7 ba giới hạn sau suy Mệnh đề 2.2.9 Có thể biểu diễn hàm a j sau a j = - hK j ìï v ïï U (0, f ) U (0, f ) ü ï ; + max í , hK + ýj ïï s j s j ïï sj ợ ỵ Khi ú, da vo (2.23) cựng vi cỏc giới hạn trước đó, suy a j (dd cv )n £ c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n £ (dd cv )n j (2.24) j s đ + Ơ Bt ng thức (2.21) (2.24) suy (1 - a j )(dd cv )n + (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j ³ (1 - a j )(dd cv )n + c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j j ³ (dd cv )n ³ a j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n (2.25) j Giả sử (dd cv )n = m với (2.17)-(2.19) cho ta min{j , k }(dd cv )n = j (dd cuk )n (2.26) Đặt ìï , j (z ) = ïï r k (z ) = ïí {j (z ), k } ïï , j (z ) ùùợ j (z ) £ r k £ Theo (2.25) (2.26) ta có r k (1 - a j )(dd cv )n + r k (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j ³ r k (dd cv )n = (dd cuk )n ³ r ka j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n (2.27) j Lại theo Định lý Kolodziej, vi mi j , k ẻ Ơ , tn hàm x jk Ỵ E0(0) cho (dd cx jk )n = r k (1 - a j )(dd cv )n , r k (dd cv )n = (dd cuk )n Từ phần chứng minh suy tồn hàm y jk Ỵ E0 (0) cho Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 (dd cy jk )n = r ka j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j { Lấy j Ỵ ¥ cố định Khi (dd cx jk )n ¥ } k= { (dd cy jk )n ¥ } dãy tăng k= {x jk }k¥ = {y jk }k¥ = dãy giảm theo nguyên lý so sánh Vi mi j ẻ Ơ , t v x j = lim x jk kđ + Ơ y j = lim y jk kđ + Ơ Bõy gi ta s chng minh j đ + Ơ , dóy {x j } hội tụ đến W dãy {y j } hội tụ đến v W Từ việc xây dựng (2.20) suy sup k ò (dd x c jk )n £ / j , W điều kéo theo x j Ỵ F Tồn hàm f Ỵ PSH (W) I C (W) cho (dd cf )n = dV , lim f (z ) = vi mi x ẻ ả W (xem [6]) zđ x zẻ W Theo H qu 2.2 [5] định nghĩa F suy ò (- x ) dV n W j = ò (- x ) (dd f ) n W c n j £ Cf ò (dd x ) c n j W £ Cf , j C f ³ số phụ thuộc vào f n Do lim x j = (2.28) jđ + Ơ yu trờn W Khi ú bt đẳng thức (2.27) cho ta (dd c (x jk + max{v, s j hK + U (0, f )})n j ³ (dd cx jk )n + r k (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j ³ (dd cu k )n ³ (dd cy jk )n vi mi j , k ẻ Ơ Khi ú, theo Định lý 2.3.2, ta có x jk + max{v, s j hK + U (0, f )} £ uk £ y jk j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (2.29) 35 Vì (dd cy jk )n £ (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n , j nên theo Định lý 2.3.2 suy U (0, f ) ³ y jk ³ max {v, s j hK + U (0, f )} j Như vậy, U (0, f ) ³ y j = lim y jk ³ max{v, s j hK + U (0, f )} kđ + Ơ j T ú y j ẻ LƠ (W) v theo Mệnh đề 2.2.4, suy lim z ® x y j (z ) = f ( x) với x Î ¶ W Theo Mệnh đề 6.1 [7] với j ẻ Ơ , tn ti w j ẻ F I L¥ (W) cho (dd cw j )n = (1 - a j )(dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n (2.30) j (dd c (y j + w j ))n ³ (dd cy j )n + (dd cw j )n = (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n ³ (dd cy j )n j Theo nguyên lý so sánh, ta có y j + w j £ max{v, s j hK + U (0, f )})n £ y j (2.31) j y j , w j ẻ LƠ (W) v y j + w j £ max{v, s j hK + U (0, f )})n = y j ¶ W j Theo Định lý 2.2.7 ta có (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n £ (dd cv )n ; j sau nhân bất đẳng thức bên trái (2.24) với a j ta a 2j (dd cv )n £ a j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j Do ị (1 - a j )(dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n £ j W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ò (1 - a 2j )(dd cv )n W http://www.lrc.tnu.edu.vn 36 Bây theo (2.20) (2.30) điều suy ị (dd w ) c n j W £ ò (1 W a j2 )(dd cv )n £ ò (1 - a j )(dd cv )n £ W j Từ theo Hệ 2.2 [5], ta có n ò (- w j ) dV = W n c n c n ¢ ¢ £ £ f dd C dd C ( w ) ( ) ( w ) , ò j f ò f j j W W C f¢ ³ số phụ thuộc vào f n Điều suy (2.32) lim w j = j® + ¥ yếu W Cho k j dần đến + ¥ , từ (2.28), (2.29), (2.31), (2.32) suy u = v W W Định nghĩa 2.3.4 F a ( f ) lớp hàm đa điều hịa u Ỵ F ( f ) cho (dd cu )n triệt tiêu tất tập hợp đa cực Hệ 2.3.5 Cho WÍ £ n (n ³ 2) miền siêu lồi bị chn, v f , g : ả Wđ Ă l hàm liên tục cho lim z ® x U (0, f ) = f ( x) lim z ® x U (0, g)(z ) = g( x) vi mi x ẻ ả W Gi s u ẻ F ( f ) v Ỵ F a (g), f £ g , ị (dd u ) c n < + ¥ , (dd cu )n ³ (dd cv )n Khi u £ v W Chứng minh Tồn hàm y 1, y Ỵ E0 , với j Ỵ L1((dd c y 1)n ), j ³ 0, j Ỵ L1((dd c y )n ), j ³ 0, cho (dd cu )n = j 1(dd c y 1)n + n (dd cv )n = j 1(dd c y )n ; (2.33) n độ đo không âm, theo Định lý 2.3.2 mang tập đa cực, (dd c (y + y ))n ³ (dd c y 1)n (dd c (y + y ))n ³ (dd c y )n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 Các độ đo (dd c y 1)n (dd c y )n liên tục tuyệt đối (ddc (y + y ))n Từ tồn hàm t Ỵ L1(dd c (y + y ))n , t ³ 0, t Ỵ L1(dd c (y + y ))n , t ³ 0, cho t 1(dd c (y + y ))n = (dd c y 1)n , t 2(dd c (y + y ))n = (dd c y )n , (2.34) Theo đẳng thức độ đo (2.33) (2.34) điều kéo theo (dd cu )n = j 1t 1(dd c (y + y ))n + n (dd cv )n = j 2t 2(dd c (y + y ))n (2.35) Do j 1t ³ j 2t W, (dd cu )n ³ (dd cv )n theo giả thiết Xét độ đo j 1t 1(dd c (y + y ))n ; có khối lượng tổng cộng hữu hạn triệt tiêu tập đa cực Từ theo Định lý 2.3.3 tồn hàm w Î F a (g) cho (dd cw)n = j 1t 1(dd c (y + y ))n Từ (2.35) suy (dd cv)n £ (dd cw)n = j 1t 1(dd c (y + y ))n £ (dd cu )n , j 1t ³ j 2t trờn W Vi mi j ẻ Ơ , lấy độ đo mvj mwj xác định mvj = min{j 2t 2, j }(dd c ( y + y ))n , mwj = min{j 1t 1, j }(dd c ( y + y ))n Theo chứng minh phần tồn Định lý 2.3.3, tồn hàm v j , w j Ỵ E0(g) cho (dd cv j )n = mvj (dd cw j )n = mwj Suy (dd cv j )n £ (dd cw j )n Khi theo nguyên lý so sánh ta vj ³ wj Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN (2.36) http://www.lrc.tnu.edu.vn 38 {v j } {w j } dãy giảm Đặt v%= lim v j w%= lim w j jđ + Ơ jđ + Ơ S dng ý tng tương tự dùng phần tồn chứng minh Định lý 2.3.3, chứng minh v%% , w Ỵ F a (g), (dd cv%)n = j 2t 2(dd c (y + y ))n (dd cw%)n = j 1t 1(dd c (y + y ))n % Từ Nhưng v w xác định v = v% w = w (2.36) điều kéo theo v ³ w (2.37) Lấy {s j } {K j } chứng minh phần Định lý 2.3.3 Theo cách tương tự, ta định nghĩa hàm bj W ïì u - U (0, f ) ïü bj = - hK + max ïí , hK ùý j j ù ùù sj ùỵ ỵ Chú ý u Ỵ F ( f ) (dd cu )n có khối lượng tập đa cực Bất đẳng thức (2.24) cho ta bj (dd cu )n £ (dd c max{u, s j hK + U (0, f )})n (2.38) j Nói riêng, Điều kéo theo độ đo khơng âm bj (dd cu )n triệt tiêu tập đa cực bj (dd cu )n = bj j 1t 1(dd c ( y + y ))n = bj (dd cw )n Tồn mt hm xỏc nh nht wÂj ẻ E0(g) (dd cw j¢)n = r jbj (dd cu )n , ìï , j ( z ) t 1( z ) = ïï r j (z ) = ïí {j 1(z )t 1(z ), j } ïï , j ( z ) t 1( z ) ¹ ïï j t ( z ) ( z ) 1 ỵ Ngun lý so sánh (2.38) suy Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn cho 39 w j¢ = max{u, s j hK + U (0, f )} (2.39) j W Nhắc lại f £ g theo giả thit Ly w%Â= lim j đ + Ơ w j Khi ú %Âẻ F (g) v (dd cw%Â)n = (dd cw )n w Vỡ th, w%Âẻ F a (g) w%¢ = w W, w xác định Như vậy, điều kéo theo w ³ u W, theo (2.39) Vì v ³ w W theo (2.37), nên suy v ³ u W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN W http://www.lrc.tnu.edu.vn 40 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh hệ + Giải toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère lớp F ( f ) Nội dung trình bày Định lý 2.3.3, cụ thể là: Giả sử WÍ £ n (n ³ 2) miền siêu lồi bị chn, v f : ả Wđ Ă l hm liờn tục cho lim z ® x U (0, f )(z ) = f ( x) với x Ỵ ¶ W m độ đo không âm W với khối lượng toàn phần hữu hạn m triệt tiêu tập đa cực Khi tồn hàm xác định u Ỵ F ( f ) cho (dd cu )n = m Trường hợp đặc biệt, [9], Cegrell giải toán Dirichlet f = + Chứng minh định nghĩa tốn tử Monge-Ampère lớp theo cách xấp xỉ + Chứng minh Hệ 2.3.5 nguyên lý so sánh lớp F ( f ) nhờ sử dụng phương pháp chứng minh Định lý 2.3.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH P Ahag (2007), “A Dirichlet problem for the complex Monge-Ampere operator in F ( f ) ”, Michigan Math J 55, 123-138 D.H Armitage and S.J Gardiner (2001), Classial potential theory, Springer Monogr Math., Springer-Verlag, london E Bedford and B.A Taylor (1976), “The Dirichlet problem for a complex Monge – Ampère equation”, Invent Math 37, 1-44 Z Blocki (1993), “Estimates for the comlex Monge – Ampère operator”, Bull Polish Acad Sci Math 41, 151 -157 Z Blocki (1995), “On the Lp stability for th complex Monge – Ampère operator”, Michigan Math J 42, 269 – 275 U Cegrell (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math 180, 187 -217 U Cegrell (2004), “The general definition of the complex Monge – Ampère”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, 159 – 179 U Cegrell and S Kolodziej (2006), “The equation of complex Monge – Ampère type and stability of solutions”, Math Ann 334, 713 -729 10 S Kolodziej (1995), “The range of the complex Monge – Ampère operator”, II, Indiana Univ Math J 44, 765 -782 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... quát toán tử Monge- Ampère, định nghĩa lớp lượng F giải toán Dirichlet toán tử Monge- Ampère lp ú Theo hướng nghiên cứu trên, chän ? ?Bài toán Dirichlet toán tử Monge- Ampere phức lớp F ( f ) ” làm... đối .7 1.4 Toán tử Monge- Ampère phức .10 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford Taylor .12 Chương 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE -AMPÈRE PHỨC TRONG LỚP F ( f. .. 17 2.1 Dáng điệu biên hàm lớp Ep F 17 2.2 Định nghĩa toán tử Monge – Ampère lớp E( f ) 21 2.3 Bài toán Dirichlet toán tử Monge- Ampère phức lớp F ( f ) 27 KẾT LUẬN 40