Luận văn thạc sĩ HUS bài toán dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VŨ THỊ THANH HẰNG BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VŨ THỊ THANH HẰNG BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội - Năm 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị Các định nghĩa phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic Ký hiệu kiến thức bổ sung 2.1 Ký hiệu 2.2 Các không gian hàm 2.3 Một số kiến thức bổ sung Bài tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp 1.1 Định lý Lax Milgram 1.2 Bài toán Dirichlet phương trình Laplace 1.2.1 Không gian Sobolev H10 (Ω) 1.2.2 Bài toán Dirichlet nghiệm suy rộng 1.2.3 Toán tử toán Dirichlet 1.2.4 Sự tồn nghiệm suy rộng toán Dirichlet 1.3 Bài toán Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp 1.3.1 Điều kiện "bức" 1.3.2 Bài toán Dirichlet phương trình elliptic cấp 6 9 11 11 12 14 15 20 23 25 Bài toán Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp cao 29 2.1 Bất đẳng thức Garding tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp cao 29 2.1.1 Bất đẳng thức Garding 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.1.2 2.2 Bài toán Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp cao Lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder toán Dirichlet 2.2.1 Lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder 2.2.2 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào tốn Dirichlet phương trình elliptic cấp 2.2.3 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào tốn Dirichlet phương trình elliptic cấp cao 34 36 36 44 50 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phần quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Mặc dù nhiều mơ hình tốn học tốn học vật lý mơ tả phương trình vi phân khơng tuyến tính, việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hàng kỷ tiếp tục đến tận Những kết việc nghiên cứu vừa góp phần phát triển lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nói chung, vừa có nhiều ứng dụng để giải vấn đề liên quan đến vật lý học mà nhằm giải nhiều vấn đề tự nhiên, kinh tế xã hội, chẳng hạn mơ hình quần thể sinh thái, mơ hình phát triển dân số, Có nhiều phương pháp khác áp dụng để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng phương pháp ứng dụng giải tích, giải tích phức, phương trình tích phân, giải tích hàm, Trong luận văn chúng tơi trình bày vài ứng dụng phương pháp giải tích hàm để nghiên cứu tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính Nội dung luận văn bao gồm: Chương 1: Trình bày định lý Lax-Milgram áp dụng định lý vào chứng minh tồn nghiệm tốn Dirichlet phương trình Laplace phương trình elliptic cấp hai Chương 2: bao gồm chứng minh bất đẳng thức Garding áp dụng vào tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp cao, áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào toán Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính Trong trình viết luận văn, tác giả hướng dẫn nhiệt tình PGS.TS Hồng Quốc Tồn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô tổ giải tích khoa Tốn -Cơ -Tin học giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn hạn Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln cổ vũ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục làm quen với định nghĩa phương trình đạo hàm riêng, ký hiệu kiến thức bổ sung sử dụng phần sau Các định nghĩa phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic Định nghĩa 1.1 Cho k số nguyên dương, Ω tập mở Rn Một phương trình liên hệ ẩn hàm u(x1 , x2 , , xn ), biến độc lập xi đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng cho gọn viết tắt phương trình ĐHR) Nó có dạng: F (x, u(x), Du(x), , Dk u(x)) = 0, (x ∈ Ω) (1.1) k Trong F : Ω × R × Rn × Rn → R hàm cho trước u : Ω → R hàm cần tìm Cấp cao đạo hàm riêng u có mặt phương trình gọi cấp phương trình Ở (1.1) phương trình cấp k Ta nói phương trình (1.1) giải ta tìm tất hàm số u thỏa mãn (1.1) Định nghĩa 1.2 (i) Phương trình ĐHR (1.1) gọi tuyến tính có dạng: aα (x)Dα u = f (x) |α|≤k aα (x), f (x) hàm số cho Phương trình tuyến tính gọi f ≡ (ii) Phương trình (1.1) gọi nửa tuyến tính có dạng aα (x)Dα u + a0 (x, u, Du, , Dk−1 u) = |α|=k (iii) Phương trình (1.1) gọi tựa tuyến tính có dạng aα (x, u, Du, , Dk−1 u)Dα u + a0 (x, u, Du, , Dk−1 u) = |α|=k LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (iv) Phương trình (1.1) gọi phi tuyến hồn tồn phụ thuộc khơng tuyến tính vào đạo hàm cấp cao aα (x)Dα , aα (x) Định nghĩa 1.3 Xét toán tử vi phân A(x, D) = |α|≤m n hàm có giá trị phức đo được, x ∈ R Nếu aα (x) = với α mà |α| = m ngun dương m gọi bậc A Đa thức đặc trưng toán tử A aα (x)ξ α A0 (x, ξ) = |α|=m ξ = (ξ1 , , ξn ) ξ α = ξ1α1 · ξ2α2 · · · ξnαn Đó đa thức ξ với hệ số phụ thuộc vào x Toán tử A gọi elliptic điểm x0 A0 (x0 , ξ) khác với ξ ∈ Rn \ {0} Toán tử A gọi elliptic miền elliptic điểm miền Điều kiện elliptic viết dạng: |A0 (x, ξ)| ≥ γ0 |ξ|m γ0 = const > mặt cầu đơn vị |A0 (x, ξ)| ≥ γ0 A0 hàm bậc m ξ Hằng số γ0 gọi số elliptic Định nghĩa 1.4 Giả sử Ω miền Rn Phương trình A(x, D)u = f (x), x∈Ω (1.2) gọi phương trình elliptic miền Ω A toán tử elliptic miền Ω Hàm u(x) gọi nghiệm phương trình (1.2) đẳng thức Au = f thỏa mãn hầu khắp x ∈ Ω Định lý 1.5 Nếu số chiều khơng gian Rn lớn bậc phương trình elliptic chẵn Định nghĩa 1.6 Bài tốn tìm nghiệm phương trình ĐHR (1.2) cho u(x) = g(x) với x ∈ ∂Ω gọi tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính Khi u(x) = với x ∈ ∂Ω phương trình ĐHR (1.2) gọi tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ký hiệu kiến thức bổ sung 2.1 Ký hiệu (i) Rn không gian Euclide n chiều (ii) Ω tập mở Rn , ∂Ω biên Ω, Ω = Ω ∪ ∂Ω (iii) Ký hiệu ∂u ∂u , , = (Dx1 u, , Dxn u), ∂x1 ∂xn ∆u toán tử Laplace, Du = n ∆u = i=1 ∂2u ∂2u ∂2u = + ··· + ∂x2i ∂x21 ∂x2n (iv) Ký hiệu α = (α1 , , αn ) với αi ∈ N (i = 1, 2, , n), gọi đa số bậc |α| = α1 + · · · + αn Ta có Dα u = Dxα11 Dxα22 Dxαnn với α1 + α2 + · · · + αn = |α| 2.2 Các không gian hàm (i) C k (Ω) = {u : Ω → R| u liên tục khả vi k lần} ∞ (ii) C ∞ (Ω) = {u : Ω → R| u khả vi vô hạn Ω}, C ∞ (Ω) = ∩ C k (Ω) k=0 (iii) C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω)|supp u compact Ω} (iv) C0∞ (Ω) = {u ∈ C ∞ (Ω)| supp u compact Ω} (v) Lp (Ω) = {u : Ω → R| u đo Lebesgue, ||u||Lp (Ω) < +∞} p ||u||Lp (Ω) = |u(x)| dx p , ≤ p < +∞ Ω LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (vi) Hk (Ω) (k = 0, 1, 2, ), ký hiệu không gian Sobolev Hk (Ω) bổ sung đủ C ∞ (Ω) theo chuẩn α ||u||k = |D u| dx Ω |α|≤k 2.3 Một số kiến thức bổ sung 2.3.1 Không gian Banach Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 2.1 Ta nói dãy {uk }∞ k=1 ⊂ X hội tụ đến u ∈ X lim ||uk − u|| = 0, k→∞ ký hiệu uk → u Định nghĩa 2.2 (i) Dãy {uk }∞ k=1 ⊂ X gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn N > cho ||uk − ul || < ε với k, l ≥ N (ii) X đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ (iii) Không gian Banach X khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ 2.3.2 Không gian Sobolev Định nghĩa 2.3 (i) Không gian W m,p (Ω) không gian bao gồm hàm u(x) ∈ Lp (Ω) cho tồn đạo hàm suy rộng cấp α, |α| ≤ m, thuộc Lp (Ω) trang bị chuẩn α ||u||W m,p (Ω) = p |D u(x)| dx p 0≤|α|≤m Ω (ii) Khi p = 2, không gian W m,p (Ω) = W m,2 (Ω) ký hiệu Hm (Ω) Như Hm (Ω) = {u ∈ L2 (Ω), ∀ α : |α| ≤ m, Dα u ∈ L2 (Ω)} LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong Hm (Ω) đưa vào tích vơ hướng Dα uDα vdx (u, v)m = |α|≤m Ω (Dα u, Dα v)L2 (Ω) , với u, v ∈ Hm (Ω) = |α|≤m Do ||u||2m = (u, u)m = (Dα u, Dα u) = |α|≤m ||Dα u||2L2 (Ω) |α|≤m (iii) Khi m = có H0 (Ω) = L2 (Ω) 2.3.3 Định lý vết Giả sử Ω bị chặn ∂Ω C Khi tồn tốn tử tuyến tính bị chặn: T : H1 (Ω) → L2 (∂Ω) cho: (i) T u = u|∂Ω u ∈ H1 (Ω) ∩ C(Ω) (ii) ||T u||L2 (Ω) ≤ c||u||H1 (Ω) với u ∈ H1 (Ω) c số Khi T u gọi vết u ∂Ω 2.3.4 Định lý nhúng n Giả sử Ω ⊂ Rn tập đóng, bị chặn có biên trơn Nếu s > + j (j ∈ N) n s s j H (Ω) ⊂ C (Ω) có nghĩa s > + j u ∈ H (Ω) u khả vi liên tục đến cấp j, u ∈ C j (Ω) 2.3.5 Bất đẳng thức Poincare Tồn γ > cho ||Du||L2 (Ω) ≥ γ · ||u||L2 (Ω) , với u ∈ C0∞ (Ω), Du = ∂u ∂u ∂u , , , ∂x1 ∂x2 ∂xn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ký hiệu R miền giá trị tốn tử L, cịn R∗ miền giá trị L∗ , tức R = {v ∈ H : ∃u ∈ H, Lu = v}, R∗ = {v ∈ H : ∃u ∈ H, L∗ u = v} Khi đó, ta nhận được: Mệnh đề 2.18 Nếu R = H N = {0} Chứng minh Giả thiết R = H, tồn u0 = cho Lu0 = Vì R = H ta giả sử u1 , u2 , , un nghiệm phương trình Lu1 = u0 , Lu2 = u1 , Lu3 = u2 , , Lun = un−1 Khi Ln un = u0 = Ln+1 un = Lu0 = Như un ∈ / Nn un ∈ Nn+1 Điều có nghĩa Nn = Nn+1 với n Mâu thuẫn với mệnh đề 2.17 Định lý 2.19 R = H N = {0} Chứng minh Theo mệnh đề 2.18, R = H N = {0} Ta cần chứng minh N = {0} R = H Thật N = {0} M = H R∗ = H theo định lý 2.12, f ∈ H, tồn nghiệm v phương trình L∗ v = (I − T ∗ )v = f Mặt khác theo mệnh đề 2.11, T ∗ tốn tử hồn tồn liên tục, miền giá trị L∗ = I − T ∗ trùng với H nên N ∗ = {0} Điều có nghĩa M ∗ = H Theo hệ định lý 2.12, với f ∈ H tồn u ∈ H cho Lu = f chứng tỏ R = H Định lý 2.20 Các không gian ker L = N ker L∗ = N ∗ có số chiều hữu hạn nhau, tức dimN = dimN ∗ < +∞ Chứng minh Theo mệnh đề 2.8 mệnh đề 2.11, ta suy N N ∗ hữu hạn chiều Giả sử dimN = n, dimN ∗ = m Giả thiết m > n, ta chứng minh điều xảy Ký hiệu u1 , , un sở trực chuẩn N v1 , , vm sở trực chuẩn N ∗ Ta có (ui , uj ) = δij , (vi , vj ) = δij Đặt n (ui , u)vi , S : H → H Su = T u + i=1 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com n W u = u − Su = u − T u − (ui , u)vi i=1 Khi đó, tốn tử S hoàn toàn liên tục Thật (S − T ) ánh xạ dãy bị chặn H thành dãy bị chặn không gian N ∗ hữu hạn chiều Theo mệnh đề 2.7 dãy bị chặn N ∗ chứa dãy hội tụ Do suy ∞ {uk }∞ k=1 dãy bị chặn H dãy {Suk }k=1 = {T uk + n (ui , uk )vi } i=1 chứa dãy hội tụ Nếu W u = n (ui , u)(vi , vj ) = (L∗ vj , u) + (uj , u) = (uj , u) = (vj , W u) = (vj , Lu) + i=1 (j = 1, 2, , n) Vì vậy, ta có n (ui , u)vi = Lu = W u = Lu + i=1 Điều có nghĩa ker W ⊂ ker L Nếu u ∈ ker W (u, ui ) = (i = 1, 2, , n), tức u trực giao với N = ker L u ∈ ker L nên suy u = Phương trình W u = có nghiệm u = Theo định lý 2.19, phương trình W u0 = vn+1 có nghiệm u0 n (vn+1 , W u0 ) = (vn+1 , Lu0 ) + (ui , u0 )(vn+1 , vi ) = i=1 hay (vn+1 , vn+1 ) = ⇔ ||vn+1 || = 0, điều vô lý ||vn+1 || = Trường hợp m < n tương tự ta khảo sát S ∗ v = T ∗ v + m (vj , v)uj Vậy j=1 m = n Định lý 2.21 Phương trình u − λT u = có nghiệm khơng tầm thường tập đếm số thực λ khơng có điểm giới hạn hữu hạn Chứng minh Ta chứng minh tồn dãy bị chặn {λn }n∈N với λn = λm , n = m, n, m = 1, 2, cho phương trình u − λn T u = có nghiệm u = Ta chứng minh phản chứng Giả sử un = nghiệm phương trình un − λn T un = 0, (n = 1, 2, ) 42 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi với n, phần tử u1 , u2 , , un độc lập tuyến tính Thật vậy, ta chứng minh điều quy nạp Giả sử u1 , u2 , , uk−1 độc lập tuyến tính xét k c1 u1 + c2 u2 + · · · + ck uk = ci ui = (2.6) i=1 Ta có k k = λk ci T ui = i=1 i=1 λ k ci ui λi (2.7) Trừ hai vế (2.6) cho (2.7), ta k−1 1− i=1 λk ci ui = λi (2.8) Vì {ui }k−1 i=1 độc lập tuyến tính nên ta suy ci = 0, i = 1, 2, , k − Do từ (2.6), ta có ck uk = ⇒ ck = Do đó, u1 , u2 , , uk độc lập tuyến tính Ký hiệu En khơng gian sinh hệ vector độc lập tuyến tính u1 , u2 , , un Theo định lý phép chiếu tồn phần tử ∈ En cho ||vn || = (vn , En−1 ) = Ngồi w ∈ En w − λn T w ∈ En−1 Thật với w ∈ En n w= αi ui i=1 n n αi ui − λn w − λn T w = i=1 i=1 αi ui = λi n−1 1− i=1 λn αi ui λi từ ta w − λn T w ∈ En−1 Nếu {λn } dãy bị chặn {(λn )} dãy bị chặn H Do đó, dãy {T (λn )} chứa dãy hội tụ Tuy nhiên với n > m T (λn − λm vm ) = − (vn − λn T + λm T vm ) vm thuộc En−1 Ta có − λn T + λm T vm ∈ En−1 λm Từ suy (vn , − λn T + λm T vm ) = Do mà − λn T T vm = ||T (λn − λm vm )|| = ||vn ||2 + ||vn − λn T + λm T vm || ≥ ||vn ||2 = suy {T (λn )} chứa dãy hội tụ Vậy tồn dãy giá trị phân biệt {λn }∞ n=1 , λn = λm với m, n 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.2.2 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào tốn Dirichlet phương trình elliptic cấp Cho Ω tập mở, bị chặn Rn Trong Ω xét toán tử vi phân elliptic tuyến tính cấp n n ∂ ∂u ∂u Au = − (aij (x) )+ bj + c(x)u ∂x ∂x ∂x j i j i,j=1 j=1 (2.9) Trong aij = aji ∈ C (Ω), bj ∈ C (Ω) c ∈ C(Ω) hàm nhận giá trị thực cho ∃γ > n aij ξi ξj ≥ γ|ξ|2 , ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn i,j=1 Ta có dạng song tuyến tính liên tục n a(u, v) = Ω n ∂u ∂v ∂u aij + bj · v + cuv dx, ∀ u, v ∈ C0∞ (Ω) (2.10) ∂x ∂x ∂x i j j i,j=1 j=1 Dạng song tuyến tính mở rộng với u, v ∈ H10 (Ω) Ta xác định toán tử A : H10 (Ω) → H−1 (Ω) cho (Au, v)L2 (Ω) = a(u, v), ∀v ∈ H10 (Ω) Ta có ∂ ∂u ∂ ∂u ∂u ∂u aij (x) v= aij v − aij ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj Do ∂ ∂u aij (x) vdx = ∂xj ∂xi Ω aij v ∂u cos(xi , v)dx − ∂xi aij ∂u ∂v dx ∂xi ∂xj Ω ∂Ω ∂u ∂v dx aij ∂xi ∂xj =− Ω =− u ∂ ∂v aij dx ∂xi ∂xj Ω 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tương tự, ta có  bj  ∂u vdx = −  ∂xj Ω u ∂bj vdx + ∂xj Ω ubj ∂v  dx ∂xj Ω Kết hợp lại ta có n n ∂u ∂v ∂u aij + bj v + cuv dx ∂x ∂x ∂x i j j i,j=1 j=1 a(u, v) = Ω n n ∂ ∂u ∂u aij v+ bj v + cuv dx − ∂x ∂x ∂x j i j j=1 i,j=1 = Ω = Auvdx = (Au, v)L2 (Ω) Ω Vậy toán tử A xác định theo cơng thức (2.9) liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) Ta lại có n (Au, v) = Ω ∂ ∂v aij ∂xi ∂xj i,j=1 n n ∂v ∂bj − bj + c− v udx ∂x ∂x j j j=1 j=1 = (u, A∗ v) Với n ∂ ∂v A v= aij ∂xi ∂xj i,j=1 ∗ n n ∂bj ∂v + c− − bj v ∂x ∂x j j j=1 j=1 tốn tử liên hợp hình thức tốn tử A Tổng qt ta có định nghĩa: Định nghĩa 2.22 (i) Toán tử vi phân A∗ gọi tốn tử vi phân liên hợp hình thức toán tử A (Au, v) = (u, A∗ v) (ii) Dạng song tuyến tính liên hợp a∗ a: a∗ : H × H → R định nghĩa a(u, v) = a∗ (v, u), ∀u, v ∈ H10 (Ω) 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (iii) Ta nói v ∈ H10 (Ω) nghiệm suy rộng toán liên hợp A∗ v = f Ω, v = ∂Ω a∗ (v, u) = (f, u), ∀u ∈ H10 (Ω) Ta có định lý sau: Định lý 2.23 Tồn α, β > số γ ≥ cho i, |a(u, v)| ≤ α||u||H10 (Ω) ||v||H10 (Ω) , ∀u, v ∈ H10 (Ω) ii, β||u||2H1 (Ω) ≤ a(u, u) + γ||u||2L2 (Ω) , ∀u, v ∈ H10 (Ω) Chứng minh i, Ta có: n n |a(u, v)| ≤ ||aij || |Du||Dv|dx + L∞ i,j=1  j=1 Ω n ≤ c ||bj ||L∞ Ω i,j=1 |u||v|dx Ω  n ||aij ||L∞ + |Du||v|dx + ||c||L∞ ||bj ||L∞ + ||c||L∞  ||u||H10 (Ω) ||v||H10 (Ω) j=1 ≤ α||u||H10 (Ω) ||v||H10 (Ω) , ∀u, v ∈ H10 (Ω) ii, Với điều kiện elliptic, ta có: n ∂u ∂u dx ∂x ∂x i j Ω i,j=1   n ∂u = a(u, u) −  bj u + cu2  dx ∂x j j=1 |Du| dx ≤ θ Ω aij Ω n ≤ a(u, u) + ||bj ||L∞ j=1 u2 dx |Du||u|dx + ||c||L∞ Ω Ω Từ bất đẳng thức Cauchy với ε > 0, ta có: |Du|2 dx + |Du||u|dx ≤ ε Ω Ω 4ε u2 dx Ω = ε||Du||L2 (Ω) + ||u||L2 (Ω) 4ε 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta chọn ε đủ nhỏ cho n ||bj ||L∞ < ε j=1 θ Do đó, ta có θ |Du|2 dx ≤ a(u, u) + c Ω u2 dx Ω Từ bất đẳng thức Poicare tồn c > cho ||u||L2 (Ω) ≤ c||Du||L2 (Ω) Vậy ta có bất đẳng thức Garding: β||u||2H1 (Ω) ≤ a(u, u) + γ||u||2L2 (Ω) với β > 0, γ ≥ Định lý 2.24 (i) Mỗi khẳng định sau (α) Hoặc f ∈ L2 (Ω) tồn nghiệm suy rộng toán Dirichlet Au = f Ω, u = ∂Ω (2.11) (β) Hoặc tồn nghiệm suy rộng không tầm thường toán Dirichlet Au = Ω, u = ∂Ω (2.12) (ii) Hơn xảy (β), số chiều không gian N ⊂ H10 (Ω) nghiệm suy rộng toán (2.12) hữu hạn số chiều không gian N ∗ ⊂ H10 (Ω) nghiệm suy rộng toán A∗ v = Ω, v = ∂Ω (iii) Cuối tốn (2.11) có nghiệm suy rộng (f, v) = 0, ∀v ∈ N ∗ 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh Theo định lý 2.5, với λ0 đủ lớn, f ∈ L2 (Ω) tồn nghiệm suy rộng u0 ∈ H10 (Ω) toán (A + λ0 )u = f Ω, u ∈ H10 (Ω) cho a1 (u0 , v) = (u, A∗ v + λ0 v) = (f, v), ∀v ∈ C0∞ (Ω) Với ký hiệu a1 (u, v) = a(u, v) + λ0 (u, v), ∀u, v ∈ H10 (Ω) Theo bất đẳng thức Garding a1 (u0 , u0 ) ≥ a(u0 , u0 ) + λ0 ||u0 ||2L2 (Ω) ≥ c1 ||u0 ||2H1 (Ω) ⇒ c1 ||u0 ||2H1 (Ω) ≤ a1 (u0 , u0 ) = |(f, u0 )| ≤ ||f ||L2 (Ω) · ||u0 ||L2 (Ω) ⇒ ||u0 ||H10 (Ω) ≤ c||f ||L2 (Ω) Đặt u0 = (A + λ0 )−1 f ta có ||(A + λ0 )−1 f ||H10 (Ω) ≤ c||f ||L2 (Ω) ⇒ (A + λ0 )−1 : L2 (Ω) → H10 (Ω) ánh xạ liên tục Vì H10 (Ω) ⊂ L2 (Ω) ánh xạ nhúng compact nên coi (A + λ0 )−1 ánh xạ hoàn toàn liên tục L2 (Ω) Do ta áp dụng lý thuyết FredholmRiesz-Schauder cho tốn Dirichlet phương trình Au = f (2.13) A∗ v = f (2.14) Au = (2.15) A∗ v = (2.16) T = (A + λ0 )−1 : L2 (Ω) → L2 (Ω) toán tử hoàn toàn liên tục Tương tự, T ∗ = (A∗ + λ0 )−1 : L2 (Ω) → L2 (Ω) hồn tồn liên tục Ta có Au = ⇔ λ0 u = (A + λ0 )u ⇔ λ0 (A + λ0 )−1 u = u Vậy phương trình (2.15) viết lại u − λ0 T u = (2.17) 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tương tự (2.16) viết lại v − λ0 T ∗ v = (2.18) Ta có Au = f ⇔ Au + λ0 u = f + λ0 u ⇔ (A + λ0 )u = f + λ0 u ⇔ u = (A + λ0 )−1 f + λ0 (A + λ0 )−1 u ⇔ u − λ0 T u = T f Như phương trình (2.13) viết lại dạng tương đương u − λ0 T u = T f (2.19) Phương trình (2.14) viết lại dạng tương đương u − λ0 T ∗ u = T ∗ f (2.20) Ta có T T ∗ tốn tử liên hợp L2 (Ω) Ta có (Au, v) = (u, A∗ v), ∀u, v ∈ C0∞ (Ω) Với u, v ∈ C0∞ (Ω) (T u, v) = (T u, (A∗ + λ0 )T ∗ v) = (T u, A∗ T ∗ v + λ0 T ∗ v) = (T u, A∗ T ∗ v) + (T u, λ0 T ∗ v) = (AT u0 + λ0 T u, T ∗ v) = (u, T ∗ v) Do T ∗ liên hợp T Áp dụng lý thuyết Fredholm ta có: (α) Hoặc f ∈ L2 (Ω) tồn nghiệm u ∈ L2 (Ω) tốn (2.19), (β) phương trình (2.17) có nghiệm không tầm thường L2 (Ω) Điều vừa viết tương đương với R = L2 (Ω) ⇔ N = {0}, 49 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với R miền giá trị toán tử L = I − λ0 T N ker toán tử L Điều chứng minh định lý 2.19 Khi (β) xảy ta có, theo định lý 2.20, số chiều không gian N nghiệm phương trình (2.17) số chiều khơng gian N ∗ nghiệm phương trình (2.18) Cuối tốn (2.11) có nghiệm suy rộng (f, v) = với v nghiệm phương trình A∗ v = Thật vậy, ta có phương trình (2.11) viết dạng tương đương phương trình (2.19) T = (A+λ0 )−1 tốn tử hồn tồn liên tục L2 (Ω) Theo định lý Fredholm, phương trình (2.19) giải (T f, v) = 0, với v nghiệm phương trình (2.18) Từ suy (2.11) giải (f, v) = với v nghiệm phương trình A∗ v = 2.2.3 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào tốn Dirichlet phương trình elliptic cấp cao aα (x)Dα Giả sử Ω tập mở Rn với biên ∂Ω trơn A(x, D) = |α|≤2m ∞ toán tử elliptic cấp 2m, aα (x) ∈ C (Ω) Bài toán Dirichlet: Cho f (x) ∈ L2 (Ω) Tìm nghiệm tốn  A(x, D)u = f (x) Ω j (j = 0, 1, 2, , m − 1) ∂ u = ∂Ω ∂ν j ∂ đạo hàm theo pháp tuyến ν ∂Ω ∂ν Theo định lý 2.4 với λ0 đủ lớn, f (x) ∈ L2 (Ω) tồn nghiệm u0 thuộc Hm (Ω) toán: (A + λ0 )u = f (x) Ω, u ∈ Hm (Ω) 50 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cho: a1 (u0 , v) = (u0 , A∗ v + λ0 v) = (f, v), ∀v ∈ C0∞ (Ω) Từ ước lượng |a1 (u0 , u0 )| ≥= a1 (u0 , u0 ) ≥ a(u0 , u0 ) + λ0 ||u0 ||2L2 (Ω) ≥ c1 ||u0 ||2Hm (Ω) Ta có c1 ||u0 ||2Hm ≤ |a1 (u0 , u0 )| = |(f, u0 )| ≤ ||f ||L2 (Ω) · ||u0 ||L2 (Ω) (Ω) Do ||u0 ||2Hm ≤ c||f ||2L2 (Ω) (Ω) Đặt u0 = (A + λ0 )−1 f Ta có ||(A + λ0 )−1 f ||2Hm ≤ c||f ||2L2 (Ω) (Ω) m Như (A + λ0 )−1 : L2 (Ω) → Hm (Ω) ánh xạ liên tục Vì H0 (Ω) ⊂ L (Ω) ánh xạ nhúng compact nên coi (A + λ0 )−1 tốn tử hồn tồn liên tục L2 (Ω) Điều cho phép ta áp dụng lý thuyết Fredholm-Schauder cho toán Dirichlet phương trình Au = f (2.21) A∗ v = f (2.22) Au = (2.23) A∗ v = (2.24) Ký hiệu T = (A + λ0 )−1 : L2 (Ω) → L2 (Ω) tốn tử hồn toàn liên tục Tương tự T ∗ = (A∗ + λ0 )−1 : L2 (Ω) → L2 (Ω) tốn tử hồn tồn liên tục Hơn nữa, ta có Au = ⇔ λ0 u = (A + λ0 )u ⇔ λ0 (A + λ0 )−1 u = u 51 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Như vậy, phương trình (2.23) viết lại là: u − λ0 T u = (2.25) Tương tự, phương trình (2.24) viết lại là: u − λ0 T ∗ u = (2.26) Các phương trình (2.21) (2.22) viết lại dạng tương đương là: u − λ0 T u = T f (2.27) u − λ0 T ∗ u = T ∗ f (2.28) T ∗ , T tốn tử hồn tồn liên tục L2 (Ω) T ∗ , T toán tử liên hợp L2 (Ω) Thật từ (2.25), (Au, v) = (u, A∗ v) với u, v ∈ C0∞ (Ω) Với u, v ∈ C0∞ (Ω) (T u, v) = (T u, (A∗ + λ0 )T ∗ v) = (T u, A∗ T ∗ v + λ0 T ∗ v) = (T u, A∗ T ∗ v) + (T u, λ0 T ∗ v) = (AT u0 + λ0 T u, T ∗ v) = (u, T ∗ v) Điều chứng tỏ T ∗ liên hợp T Áp dụng lý thuyết Fredholm-Schauder, ta có định lý: Định lý 2.25 Các phương trình Au = A∗ v = có số hữu hạn nghiệm độc lập tuyến tính Chứng minh Thật phương trình (2.23) (2.24) tương đương với phương trình (2.25) (2.26), T tốn tử compact L2 (Ω) T ∗ toán tử liên hợp Theo lý thuyết Fredholm-Schauder, hai phương trình (2.25) (2.26) có số hữu hạn nghiệm độc lập tuyến tính Từ có kết cần chứng minh Định lý 2.26 Phương trình Au + λu = có nghiệm khơng tầm thường tập đếm giá trị λ khơng có điểm giới hạn hữu hạn Chứng minh Thật vậy, ta có Au + λu = ⇔ (A + λ0 )u + (λ − λ0 )u = ⇔ u + (λ − λ0 )T u = 52 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương trình Au + λu = tương đương với phương trình u + λ T u = với λ = λ − λ0 Trong T tốn tử hồn tồn liên tục L2 (Ω) Theo định lý Fredholm, phương trình u + λ T u = có nghiệm không tầm thường tập hợp đếm giá trị λ khơng có điểm giới hạn hữu hạn Định lý 2.27 Phương trình Au = f giải (f, v) = với nghiệm v phương trình A∗ v = Chứng minh Với f ∈ L2 (Ω), phương trình Au = f viết dạng tương đương phương trình (2.27), T = (A + λ0 )−1 tốn tử hồn tồn liên tục L2 (Ω) Theo định lý Fredholm, phương trình (2.25) giải (T f, v) = với nghiệm v phương trình v − λ0 T ∗ v = Do (f, v) = λ0 (f, T ∗ v) = λ0 (T f, v) = Từ suy phương trình (2.27) giải (f, v) = với nghiệm v phương trình (2.26) Vì A∗ v = v − λ0 T ∗ v = Do đó, phương trình Au = f giải (f, v) = với nghiệm v phương trình A∗ v = Hệ 2.28 Phương trình Au = f giải với f ∈ L2 (Ω) phương trình A∗ v = có nghiệm tầm thường 53 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KẾT LUẬN Luận văn trình bày thu Trình bày số kết giải tích hàm: Định lý Lax-Milgram không gian Hilbert thực, không gian Hilbert phức, chứng minh bất đẳng thức Garding cho toán tử elliptic tập mở, bị chặn Rn , lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder Ứng dụng vài kết giải tích hàm để chứng minh tồn nghiệm toán Dirichlet phương trình Laplace, phương trình elliptic tuyến tính cấp 2, phương trình elliptic tuyến tính cấp cao, xét toán Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính 54 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2011), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, ĐH KHTN (2004),Seminar phương trình đạo hàm riêng, Tập 1, Hà Nội Tiếng anh Evans L.C (1998), Partial Differential Equations, AMS Press L Bers, F John, M.Schechter (1964), Partial Differential Equations, NewyorkLondon-Sydney Taylor M (1997), Partial Differential Equations, Vol II, Springer-Verlag 55 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... 1.3.2 Bài toán Dirichlet phương trình elliptic cấp 6 9 11 11 12 14 15 20 23 25 Bài toán Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp cao 29 2.1 Bất đẳng thức Garding toán Dirichlet phương trình. .. 1.2.2 Bài toán Dirichlet nghiệm suy rộng 1.2.3 Toán tử toán Dirichlet 1.2.4 Sự tồn nghiệm suy rộng toán Dirichlet 1.3 Bài toán Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính. .. Fredholm-Riesz-Schauder vào toán Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính 2.1 2.1.1 Bất đẳng thức Garding toán Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp cao Bất đẳng thức Garding Cho toán tử elliptic đến