Một số phương pháp lặp giải phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với hệ điều kiện biên phức tạp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP hồn thành nhận thức tơi, không trùng lặp với luận văn, luận án cơng trình cơng bố Thái Ngun, tháng năm 2019 Người viết Luận văn VŨ THỊ THẢO Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới TS.Vũ Vinh Quang, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phịng Sau Đại học, thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết luận văn VŨ THỊ THẢO ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu Một số ký hiệu viết tắt Một số kiến thức 1.1 1.2 Lý thuyết phương pháp lặp giải hệ đại số tuyến tính 1.1.1 Khơng gian Metric 1.1.2 Ánh xạ co 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co 1.1.4 Hệ đại số tuyến tính với ma trận chéo trội 1.1.5 Phương pháp lặp đơn 1.1.6 Phương pháp lặp Jacobi 1.1.7 Phương pháp lặp Gauss - Seidel 10 Phương pháp sai phân phương trình vi phân cấp 13 iii 1.2.1 Công thức Taylor 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ xác cấp bốn 1.2.3 1.3 13 14 Hệ phương trình sai phân 19 Phương pháp Runge - Kutta phương trình vi phân cấp cao 23 1.3.1 Mơ hình tốn tổng quát phương trình cấp cao 23 1.3.2 Xây dựng thuật tốn với độ xác cấp 24 1.3.3 Giới thiệu thư viện QH− 2015 26 Sự tồn nghiệm dương lớp toán biên với hệ điều kiện biên phi tuyến tính 29 2.1 Mơ hình tốn biên phi tuyến thứ 30 2.1.1 Sự tồn nghiệm 31 2.1.2 Nghiệm dương toán 32 2.2 Mơ hình tốn phi tuyến thứ hai 35 2.3 Mô hình tốn biên với hệ số phụ thuộc tích phân, điều kiện phi tuyến 37 2.3.1 Mơ hình toán 37 2.3.2 Sự tồn nghiệm 38 2.3.3 Phương pháp tìm nghiệm số 39 Phương pháp lặp tìm nghiệm số toán biên phi tuyến cấp bốn 42 3.1 42 Phương pháp phân rã giải tốn tuyến tính cấp iv 3.2 Dạng toán điều kiện đầu phi tuyến 44 3.3 Dạng toán điều kiện biên phi tuyến 48 3.4 Dạng toán biên chứa hệ số tích phân 51 Tài liệu tham khảo 57 v Mở đầu Phương trình vi phân dạng phi tuyến tính lớp phương trình quan trọng lý thuyết phương trình vi phân, lớp phương trình có ứng dụng quan trọng toán thực tế đặc biệt lý thuyết điều khiển ổn định Việc tìm nghiệm giải tích phương trình thực phương trình dạng đặc biệt cịn chủ yếu phải xác định nghiệm xấp xỉ qua phương pháp gần dựa sở thuật toán số việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính sơ đồ lặp thơng qua phương pháp sai phân Mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm hiểu số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp với hệ điều kiện biên phức tạp bao sơ đồ lặp, nghiên cứu tính chất hội tụ sơ đồ lặp kiểm tra tính đắn sơ đồ lặp thơng qua chương trình máy tính điện tử Nội dung đề tài: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Sự tồn nghiệm dương lớp toán biên với hệ điều kện biên phi tuyến tính Chương 3: Phương pháp lặp tìm nghiệm số toán biên phi tuyến cấp bốn Một số ký hiệu viết tắt R tập số thực R+ tập số thực không âm A ma trận A−1 ma trận khả nghịch A ||C|| chuẩn ma trận C d(x, y) khoảng cách từ phần tử x đến phần tử y limx→x0 giới hạn x đến x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc un đạo hàm cấp n tích vơ hướng U, K1 , K2 , F, Uα vecto n chiều Chương Một số kiến thức 1.1 Lý thuyết phương pháp lặp giải hệ đại số tuyến tính 1.1.1 Khơng gian Metric Định nghĩa 1.1.1 Tập X phần tử x, y, z, gọi không gian Metric với phần tử x, y tương ứng với số không âm d(x, y) thoả mãn điều kiện sau: + d(x, y) > 0, d(x, y) = x = y + d(x, y) = d(y, x) + d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y hay thường gọi Metric Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn } gọi dãy ∀ε > 0, tồn số N > cho với m, n > N ta có d(xn , xm ) ≤ ε Nếu dãy không gian X hội tụ đến phần tử thuộc X Có thể kiểm tra điều kiện định lý (2.2.1), toán thỏa mãn điều kiện tồn nghiêm Nghiệm toán ud = x5 − 2x4 + x3 Bảng 3.4: Giá trị sai số ε sau bước lặp, số điểm lưới N=100 k ε = ud − uk k ε = ud − uk ∞ 0.3078 7×e−4 0.021 4×e−5 ∞ Bài tốn    u(4) (x) = 4x4 + 5x3 + sin u, x ∈ (0, 1)       u′′ (0) = 0; u′′ (L) = 0,   u′′′ (0) = −g(u(0)), u′′′ (L) = g(u(L))       g(t) = −9t2 − 63t − Trong trường hợp này, tốn khơng tìm nghiệm xác, sử dụng thuật tốn, xác định nghiệm xấp xỉ toán Sai số trường hợp ε = uk+1 − uk ∞ Bảng 3.5: Giá trị sai số ε sau bước lặp, số điểm lưới N=100 k ε = uk+1 − uk k ε = uk+1 − uk ∞ 0.09 × e − 11 5×e−4 × e − 13 1×e−6 × e − 15 8×e−9 × e − 17 50 ∞ Nhận xét: + Thông qua kết thực nghiệm, ta thấy thuật toán đề xuất hội tụ với tốc độ nhanh, độ xác đạt xấp xỉ cấp so với bước lưới + Với điều kiện thỏa mãn điều kiện Định lý (2.2.1) nghiệm toán dương + Sự hội tụ phụ thuộc vào dạng hàm g + Thuật tốn mở rộng trường hợp vế phải hàm phi tuyến phức tạp f = f (x, u, u′ ) 3.4 Dạng toán biên chứa hệ số tích phân Chúng ta xét dạng tốn tổng quát sau  L   (4)  u (x) − m( |u′ (s)|2 ds)u′′ (x) = f (x, u(x)), < x < L,     u(0) = A; u′ (0) = B;    L   ′′ ′′′  |u′ (s)|2 ds)u′ (L) = g(u(L)) u (L) = C; u (L) − m(  (3.5) Đây dạng tổng quát toán chương đưa Để giải toán này, cần xác định giá trị điều kiện biên u′′′ (L) Thuật toán 3: Đặt v = u′′ , Bước 1: Xuất phát từ u0 = 0; Bước 2: Với k = 0, 1, 2, Tính đạo hàm u′k Sau giải hai tốn cấp hai tuyến tính 51      vk′′ − m L u′k (x) dx × vk = f (x, uk ); < x < L,   ′   vk (0) = C; vk (L) = m L u′k (x) dx × u′k (L)+g(uk )   u′′ = vk ; < x < L, k  u (0) = A; u′ (0) = B k k Bước 3: Xác định uk+1 cho bước lặp sau Sự tồn nghiệm toán đưa chương Để kiểm tra độ xác phương pháp lặp tìm nghiệm tốn (3.5), sử dụng lược đồ sai phân với bước lưới h chuyển toán cấp hai tốn sai phân với độ xác cấp Để kiểm tra độ xác lược đồ xây dựng, kí hiệu uk nghiệm xấp xỉ thu giải hệ phương trình sai phân, ε = ud − uk ∞ sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ toàn lưới sai phân Trong trường hợp trước nghiệm đúng, điều kiện dừng lặp thuật toán ε = uk+1 − uk ∞ Sau xem xét số ví dụ cụ thể Các kết thực chương trình qh5.m Bài tốn  L  (4)   u (x) − m( |u′ (s)|2 ds)u′′ (x) =        u(0) = 1; u′ (0) = ; 21 x2 80 e + 51 u, < x < 1, L   ′′ ′′′  u (L) = |u′ (s)|2 ds)u′ (L) = ; u (L) − m(        m(t) = (t + 1) 100 u(L) ; x Bài tốn có nghiệm ud = e Kết chạy thuật toán cho kết bảng sau 52 Bảng 3.6: Giá trị sai số ε sau bước lặp, số điểm lưới N=100 k ε = ud − uk k ε = ud − uk ∞ 0.11 2×e−6 0.007 4×e−7 4×e−4 5×e−8 3×e−5 ∞ Bài toán  L  (4)  u (x) − m( |u′ (s)|2 ds)u′′ (x)         (x5 − 2x4 + 2x2 − u) + 120x − 48, < x < 1, = − 25    u(0) = 0; u′ (0) = 0;    L   ′′ ′′′  |u′ (s)|2 ds)u′ (L) = 12 − u(L)−1 u (L) = 0; u (L) − m(  20 ;       m(t) = (t + 1) 200 Bài tốn có nghiệm ud = x5 − 2x4 + 2x3 Kết chạy thuật toán cho kết bảng sau Bảng 3.7: Giá trị sai số ε sau bước lặp, số điểm lưới N=100 k ε = ud − uk k ε = ud − uk ∞ 0.11 7×e−4 0.02 2×e−5 53 ∞ Bài toán  L  (4)   u (x) − m( |u′ (s)|2 ds)u′′ (x) = sin xex +       ′  u(0) = 0; u (0) = 0; u 100 , L   ′′ ′′′  u (L) = 0; u (L) − m( |u′ (s)|2 ds)u′ (L) = +        m(t) = + t + sin4 t 2 < x < 1, u(L) ; Trong trường hợp này, không xác định nghiệm tốn Kết tìm nghiệm xấp xỉ thuật toán cho kết bảng sau Bảng 3.8: Giá trị sai số ε sau bước lặp, số điểm lưới N=100 k ε = uk+1 − uk k ∞ ε = uk+1 − uk 0.0016 17 1×e−9 1×e−4 19 × e − 10 1×e−5 21 × e − 11 11 2×e−6 23 × e − 12 13 1×e−7 25 × e − 14 15 1×e−8 27 × e − 15 ∞ Nhận xét: + Thông qua kết thực nghiệm, ta thấy thuật tốn đề xuất hội tụ với tốc độ nhanh, độ xác đạt xấp xỉ cấp so với bước lưới Nếu sử dụng phương pháp lặp Jacobi đạt tới độ xác cấp + Với điều kiện thỏa mãn Định lý (2.2.1) nghiệm tốn dương Sự hội tụ phụ thuộc vào dạng hàm g(t) hàm m(t) Thuật tốn mở rộng trường hợp vế phải hàm phi tuyến phức tạp 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết sau: Đã nghiên cứu tìm hiếu phương pháp lưới giải số phương trình vi phân tuyến tính với hệ điều kiện đầu điều kiện biên với độ xác bậc cao (Phương pháp Runge− kutta, phương pháp truy đuổi, ) Các kết đươc sử dụng để cài đặt tất thuật toán luận văn Tìm hiểu mơ hình số tốn biên với hệ điều kiện biên phi tuyến tính dạng điều kiện đầu điều kiện biên Sự tồn nghiệm tồn nghiệm dương cho số lớp toán biên (Ba lớp toán), thuật toán giải số toán Trên sở thuật toán phân rã toán cấp hai toán cấp 2, đưa thuật tốn tìm nghiệm xấp xỉ lớp tốn phi tuyến tính cấp dựa lý thuyết phương trình tốn tử Sự hội tụ thuật toán kiểm tra thực nghiệm Tiến hành cài đặt tất thuật tốn mơi trường Matlab Các kết thực nghiệm chứng tỏ thuật toán hội tụ tốt, tốc độ nhanh Hướng 55 phát triển luận văn tiếp tục nghiên cứu lớp phương trình vi phân phi tuyến cấp cấp với hệ điều kiện biên phức tạp 56 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, năm 2001 [2] Tạ Văn Đĩnh,Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2005 [3] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thanh Hường, Ngô Thị Kim Quy Kết xây dựng thư viện số QH2015 giải phương trình vi phân, Hội thảo Quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc CNTT TT", Đại học Nguyễn Tất Thành, 9/2015 Tài liệu tiếng Anh [4] Haier, E; Norsett, S P.; Wanner, G Runge-Kutta and Extrapolation Methods, Solving Ordinary Differential Equations Nonstiff Problem, 1993, XV, 528 p., Softcover ISBN: 978-3-642-05163-0 [5] Samarskij A and Nikolaev E (1989),Numerical Methods for Grid Equations, Vol 2, Birkhauser, Basel [6] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York 57 [7] T F Ma, Existence Results and numerical solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions, Applied Numerical Mathematics 47 (2003) 189-196 [8] ToFuMa, Andre Luis Machado Martinez, Positive solution for a fourth order equation with nonlinear buondary conditions, Mathematics and Coputers in Simulation 80 (2010) 2177-2184 [9] T F Ma, Existence Results for a Model of Nonlinear Beam on Elastic Bearings, Applied Mathematics Letters1] 13 (2000) 11-15 58 (Các chương trình nguồn Matlab) Chương trình qh4.m Chương trình giải tốn phương pháp lặp tìm etak = u′ Dạng toán u′′′′ = f (x, u, u′ ); u(a) = A, u′ (a) = B; u′′ (b) = C; u′′′ (b) = g(u(b)); function qh4=qh4(a,b,n,k,saiso); clc; epxilon=saiso; h=(b-a)/n; for i=0:n; etak(i+1)=0; w(i+1)=0; end; Tính nghiệm for i=0:n; ud(i+1)=udung(a+i*h); end; ss=10;count=-1; while and(ss>epxilon,count