Nghiên cứu sai lầm phổ biến của học sinh trung học phổ thông trong chứng minh hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM VĂN HOÀNG NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM VĂN HOÀNG NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC Chuyên ngành: Lý luận phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu trung thực chƣa đƣợc cơng bố cơng trình khác Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Phạm Văn Hồng i LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Cao Thị Hà, ngƣời tận tình hƣớng dẫn tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo Tổ môn Phƣơng pháp giảng dạy mơn Tốn Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thái Nguyên; Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, thực hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp trƣờng THPT Cầu Xe- huyện Tứ Kỳ- tỉnh Hải Dƣơng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi suốt trình nghiên cứu thực nghiệm Dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc góp ý thầy bạn Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Phạm Văn Hoàng ii MỤC LỤC Trang TRANG PHỤ BÌA LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN iv MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ chế tâm lí học việc hình thành sai lầm HS trình học tập 1.2 Năng lực chứng minh hình học 1.2.1 Khái niệm chứng minh- cấu trúc phép chứng minh 1.2.2 Cơ sở lơgic chứng minh hình học 1.2.3 Một số biểu lực chứng minh hình học 12 1.3 Quan niệm sai lầm HS giải toán 13 1.4 Cơ sở sai lầm HS từ số lý thuyết dạy học 14 1.4.1 Quan điểm DH thuyết hành vi 14 1.4.2 Quan điểm DH thuyết kiến tạo 14 1.5 Thực trạng sai lầm học sinh THPT giải tốn hình học 15 1.5.1 Điều tra từ giáo viên 15 1.5.2 Điều tra từ học sinh 15 1.6 Kết luận chƣơng 47 Chƣơng MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG TRÁNH CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC 48 2.1 Biện pháp 1: GV cung cấp cho HS kiến thức đầy đủ, xác 48 2.2 Biện pháp 2: GV tập luyện cho HS vẽ hình 55 iii 2.3 Biện pháp 3: GV tập luyện cho HS tìm hiểu luận đề, luận cứ, luận chứng tốn có lời giải 61 Kết luận chƣơng 80 Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 81 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 81 3.2 Nôi dung thực nghiệm 81 3.3 Tổ chức thực nghiệm 82 3.3.1 Đối tƣợng thực nghiệm: 82 3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 84 3.4 Phân tích kết thực nghiệm 85 3.4.1 Phân tích định tính 85 3.4.2 Phân tích định lƣợng 86 3.5 Kết luận chung thực nghiệm 89 KẾT LUẬN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 PHỤ LỤC iv DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN V STT iv DH Đccm GV HS PP PT SGK THPT VTCP 10 VTPT MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học giữ vị trí quan trọng sống, Tốn học khơng có ứng dụng to lớn sống mà cịn giúp việc rèn luyện PP suy nghĩ, PP suy luận, PP học tập, PP giải vấn đề, ngồi cịn giúp rèn luyện trí thơng minh sáng tạo Tốn học cịn giúp rèn luyện nhiều đức tính q báu khác nhƣ: cần cù nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vƣợt khó, u thích xác, ham chuộng chân lý Các nhà giáo dạy Toán huấn luyện viên mơn “thể thao trí tuệ” này, cơng việc dạy Tốn nhằm rèn luyện cho HS tƣ Toán học phẩm chất ngƣời lao động để em vững vàng trở thành chủ nhân tƣơng lai đất nƣớc Ở trƣờng phổ thơng DH Tốn dạy hoạt động Tốn học Đối với HS xem giải Tốn hình thức chủ yếu hoạt động Toán học Các Toán trƣờng phổ thơng phƣơng tiện có hiệu thay đƣợc việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào sống Dạy học giải Tốn mang chức năng: giáo dƣỡng, giáo dục, phát triển kiểm tra Vì vậy, hoạt động giải Toán điều kiện để thực tốt mục đích DH Tốn Do đó, tổ chức có hiệu việc DH giải Tốn có vai trị định chất lƣợng DH Tốn Trong chƣơng trình mơn Tốn trƣờng THPT, nội dung Hình học chiếm phần quan trọng, việc DH Hình học không cung cấp cho ngƣời học kiến thức đối tƣợng hình học quan hệ chúng mà cịn rèn luyện lực tƣ lơgic, phẩm chất trí tuệ, lực phát giải vấn đề khả vận dụng kiến thức Hình học vào thực tiễn sống cho HS Tuy nhiên thực tiễn DH cho thấy, hầu hết HS khẳng định Toán học, đặc biệt nội dung Hình học mơn học khó trừu tƣợng Một biểu khó khăn HS thƣờng mắc phải sai lầm q trình giải tốn, HS khơng tự tin giải tốn mà khơng có trợ giúp thầy giáo bạn học dẫn đến HS ngại học Hình học Đã có nhiều hƣớng nghiên cứu để nâng cao chất lƣợng DH Tốn trƣờng phổ thơng nhƣ: tổ chức hoạt động DH để gây đƣợc hứng thú cho HS trình DH, phát triển tƣ cho HS DH Toán, phát sai lầm HS DH Việc nghiên cứu sai lầm phổ biến HS trình DH Tốn trƣờng phổ thơng có nhiều tác giả nƣớc quan tâm, nghiên cứu tập trung vào hƣớng [15]: - Hƣớng thứ nhất: Tìm hiểu sai lầm HS, tìm hiểu nguyên nhân đề xuất biện pháp để giúp HS sửa chữa sai lầm Đại diện cho hƣớng nghiên cứu A.A Stoliar nói việc xử lí với sai lầm HS q trình DH nói: “Khơng tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh” - Hƣớng thứ hai: Tìm hiểu sai lầm, khó khăn HS trƣớc lĩnh hội kiến thức thiết kế tình học tập để HS vƣợt qua sai lầm, khó khăn hình thành tri thức Các đại diện cho hƣớng nghiên cứu nhà nghiên cứu trình DH theo quan điểm kiến tạo, đại diện tiêu biểu khác G Polya, ơng nói “Con người phải biết học sai lầm thiếu sót ”; B.V.Gờn hedencô nêu phẩm chất tƣ Tốn học có tới phẩm chất liên quan tới việc tránh sai lầm giải Toán: + Năng lực nhìn thấy đƣợc tính khơng rõ ràng suy luận; thấy thiếu mắt xích cần thiết chứng minh + Có thói quen lý giải lơgic cách đầy đủ + Sự xác suy luận Nhiều tác giả nƣớc có nghiên cứu sai lầm phổ biến HS q trình dạy học Tốn trƣờng phổ thơng nhƣ: Nguyễn Vĩnh Cận- Lê Thống Nhất- Phan Thanh Quang “Sai lầm phổ biến giải Toán”; Trần Phƣơng- Nguyễn Đức Tấn “Những sai lầm phổ biến giải tốn phổ thơng”; Trần Phƣơng -Nguyễn Đức Tấn “Sai lầm thƣờng gặp sáng tạo giải tốn”; n dạng phân tích sai lầm mà HS mắc phải q trình DH Toán, nhiên phạm vi nghiên cứu tác giả dàn trải toàn chƣơng trình mơn Tốn M 0x0 ; y0 ta có *) GV: Ta biết khoảng cách đối tƣợng cự ly ngắn đối tƣợng Vậy đối tượng có điểm chung khoảng cách chứng Cụ thể: Nếu M mp( ) mp( d ( M , ( )) *) Chú ý: Nếu mp( Nếu (trong cơng thức (**) điều ngƣợc lại thí dụ : Với hình lập phƣơng ABCD.A‟B‟C‟D‟ Ta có: (1) d ( A, ( ABCD)) (2) d ( AD, ( ABCD)) 0; (3) d (( ABB ' A '), ( ABCD)) (4) d ( A ', ( ABCD)) (5) d ( A' D ',( ABCD)) (6) d (( A ' B ' C ' D '), ( ABCD)) Hoạt động 4: Bài tốn liên quan: (tính cách mặt phẳng song song) Hoạt động GV&HS GV: Tại +) HS: +) GV điểm thuộc mp( tính khoảng cách từ đến mp( ) +) HS: ta có M +) GV với N d (N, ( )) +) HS: làm phần b tƣơng tự phần a +) GV(giành cho HS khá-Giỏi) tổng quát hóa yêu HS chứng minh rằng: Nếu PT mp( ), mp( mp( ) Ax By mp( ) Ax Thì d (( ), ( V) Củng cố: Công hai mặt phẳng song song +) Bài tập nhà: Bài 9,10 trang 81 Bài tập: Trong hệ Oxyz, cho ( ( ) mp ( ) GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM (giáo án thể việc áp dụng biện pháp biện pháp 3) Dụng ý soạn: Trong soạn yêu cầu HS ghi giả thiết, kết luận vẽ hình minh họa cho tốn Mục đích hoạt động để HS xác định luận đề phần luận quan trọng tốn, cịn hình vẽ để xác định cách giải xác cho tốn Từ hình vẽ gợi cho HS cách giải khác “Dùng PP tọa độ để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng” Bài soạn đƣa cách chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho số hình đa diện đặc biệt Bài soạn 4: Lớp 12 Tiết tự chọn 30 BÀI TẬP: Ứng dụng phƣơng pháp tọa độ không gian I) Mục tiêu: Kiến thức: - Củng cố cơng thức thể tích khối chóp, khối lăng trụ PP tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - HS biết cách chọn hệ trục tọa độ để giải số tập hình học khơng gian Kĩ năng: Tính thể tích khối chóp, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tƣ - Thái độ: lôgic, biết quy lạ quen, biết tƣơng tự hóa Tích cực, cẩn thận tính tốn Phát triển lực: Năng lực phân tích, phán đốn giải vấn đề : Máy chiếu III) Kiểm tra cũ: không Hoạt động 1: Bài tốn liên quan đến hình chóp: Bài tốn SA vng góc với mp(ABC), SA=a Đáy tam giác ABC vuông A, AB= c, AC= b a) Chứng minh tam giác SBC tam giác nhọn b) T A Hoạt động GV&HS GV: Hãy nêu giả thiết kết luận ? (SBC) theo a, b, c HS : Nêu thiết kết luận GV: Hãy vẽ hình cho tốn ? ( Hình vẽ quen thuộc ) GV: Tam giác SBC nhọn nghĩa nhƣ ? Nêu cách chứng minh SBC nhọn HS: Tam giác SBC nhọn có góc nhỏ 900 Ta chứng minh cơsin góc S, B, C dƣơng GV: Nêu cơng thức tính cơsin góc S, B, C theo a, b, c ? HS: Đây toán giải tam giác SBC biết độ dài cạnh GV: Có thể chứng minh SBC nhọn cách khác khơng? HS: có ( SBC nhọn trực tâm H nằm SBC ) *) Tính d (A, (SBC)) b) Tính d (A, (SBC)) GV: Hãy nêu số PP tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (đã biết) Để giải toán ta dung PP ? kẻ AI ta có HS: Chúng ta vận dụng PP trực tiếp AI SA GV: Nêu cách tìm vị trí H hình chiếu A mp(SBC) HS: Kẻ AI BC I Kẻ AH SI H Khi d (A, (SBC)) AH GV: Hãy chứng minh d ( A, ( SBC )) Mà BC, SI cắt BC , SI Từ (1), (2), (3) Nên *) Tính AH +) Trong AH HS: Nêu cách chứng minh chứng minh AI +) Trong GV: Kết luận AH GV: Hãy tính AH HS: Xét ABC; SAI AH Tính AI ; suy AH GV: Dùng phần mềm GeoGebra nhấn mạnh lại kết cách vẽ Vậy hình GV: Cịn cách làm khác khơng? Hãy z nêu cách làm S HS: V S.ABC A x B AH 3V S ABC S SBC Cách 2: Chọn hệ trục Oxyz cho: GV: Ngoài cách ta cách khác A O; S Oz; B Ox ; C Oy ( vào hình vẽ ) Nếu đặt hình chóp S.ABC vào hệ trục Oxyz cho A O; S Oz; B Ox ; C Oy mp(SBC) có PT ? d (A, (SBC)) =? HS: Tiếp thu kiến thức thực Khi A (0;0;0); B (c;0;0), C (0;b;0), S (0;0;a) Suy mp(ABC) x c theo yêu cầu GV thực cách GV: Chúng ta có cách nhanh d ( A, ( BCD)) hiệu Vậy tốn dạng nhƣ vận dụng đƣợc AP tọa độ ? Cách chọn hệ trục nhƣ cho tiện ? Để trả lời d ( A, ( SBC)) câu hỏi ta sang hoạt động Hoạt động 2: Một số ý chọn hệ trục Oxyz hình khơng gian (là sở - luận để vận dụng PP tọa độ giải tập hình khơng gian) Trên sở HS bị sai luận chứng không hợp lôgic Ta có: Ox , Oy , Oz vng góc đơi Do đó, mơ hình (hình đa diện) chứa cạnh vng góc ta ƣu tiên chọn đƣờng lần lƣợt thuộc trục tọa độ Cụ thể: Hoạt động GV& HS (GV: Trình chiếu số cách chọn hệ trục tọa độ cụ thể) (GV nhấn mạnh phải chọn gốc tọa độ trƣớc, sau chọn đến trục Ox, Oy, Oz) (1) Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA ( hình chóp S.ABD có ABD tam giác vuông A SA (ABD) Ta có cách chọn hệ trục Oxyz: +) Chọn gốc: O +) Chọn trục: S A (2) Với hình chóp tứ giác S.ABCD (hoặc SA=SC;SB=SD ; ABCD hình x B thoi) Ta có cách chọn hệ trục Oxyz: +) Chọn z S gốc: O I; ( I giao điểm hai đƣờng chéo AC; BD) +) Chọn trục: S Oz; C Ox ; D y Oy (3)Với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ B (hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’) A' Ta có cách chọn hệ trục Oxyz: +) Chọn gốc: O A; +) Chọn trục: A‟ Oz; B Ox ; D B' Oy C' A D (*) Một số trƣờng hợp khác ta xét sau) x B Hoạt động 3: Bài tốn liên quan đến hình hộp Bài tốn 2: a) Tính thể tích khối chóp A '.AMD D' y Hoạt động GV&HS GV: Hãy nêu giả thiết kết luận ? HS : Nêu thiết kết luận GV: Hãy vẽ hình cho tốn ? ( Hình vẽ quen thuộc ) GV: Từ kết luận (luận đề) suy cách chọn đặt thứ tự đỉnh (dùng phần mềm GeoGebra để vẽ hình) +) GV: Phần (a) tính VA‟ AMD Bài tốn tìm V quen thuộc Hãy Nêu cơng thức tìm VA‟ AMD , từ tìm yếu tố liên quan ? +) HS: V A‟.AMD Tam giác AMD có diện tích nửa diện tích hình vng +) GV: Nhận xét đƣa lời giải +) GV: để tính trực tiếp số PP gián tiếp Ở này, ta vận dụng PP trực tiếp (PP tổng hợp) khó khăn cho việc tính tốn O A; A‟ Oz; B Ox ; D Oy (GV phân tích cụ thể) Vậy ta nên vận dụng PP gián tiếp để giải Khi A PP gián tiếp tốt ? (0;0;0); B (1;0;0), C (1;1;0), D (0;1;0) HS: ta có ABCD A B C D hình lập phƣơng nên ta vận dụng PP tọa độ để giải A' (0;0;1), M Ta có GV: Hãy nêu cách chọn hệ Oxyz ? HS: chọn O A; A‟ Oz; B Ox ; D Oy GV: Hãy tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D, Suy mp(A‟MD) A‟ tọa độ M? Lập PT mp(A‟MD) GV: Với PP tọa độ ta dễ dàng d ( A,( tìm đƣợc d ( A, ( A ' MD)) Ta tính dễ dàng d (C', ( A ' MD)) V) Củng cố: Công thức thể tích khối chóp Cách chọn hệ trục tọa độ để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài tập: ABCD A B C D AB a, AD ' 2a, AA a M a) Tính thể tích khối chóp A ' AMD A A AMD C’ AMD ... BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sai lầm phổ biến HS THPT giải tốn hình học từ đề xuất số biện pháp sƣ phạm để phòng tránh sửa chữa sai lầm này,...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM VĂN HOÀNG NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC Chuyên ngành: Lý luận phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã... TRÁNH CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ chế tâm lí học việc hình thành sai lầm HS trình học tập