tai lieu t6

A/ §ÆT VÊN §Ò Phần i/ lý do chọn đề tài Cïng víi mét sè d¹ng to¸n quan träng cña ch¬ng tr×nh To¸n líp 9 phÇn §¹i sè nh : gi¶i ph¬ng tr×nh, gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh, ph¬ng trình bậc hai chứa t[r]

A/ §ÆT VÊN §Ò Phần i/ lý chọn đề tài Cïng víi mét sè d¹ng to¸n quan träng cña ch¬ng tr×nh To¸n líp phÇn §¹i sè nh : gi¶i ph¬ng tr×nh, gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh, ph¬ng trình bậc hai chứa tham số, … thì các dạng toán liên quan đến thức bậc hai, thức bậc ba thuộc kiến thức chơng I đại số là nội dung quan trọng và điển hình, nó chứa đựng nhiều kiến thức tổng hợp Qua tìm hiểu, nghiên cứu các đề thi toán vào THPT (cả Chuyªn vµ kh«ng Chuyªn) t«i thÊy tØ lÖ c¸c bµi to¸n thuéc kiÕn thøc chơng I Đại số là vào khoảng 20% đề bài các kiến thức và dạng toán nó còn đợc áp dụng làm sở, tảng cho kiến thức cña c¸c ch¬ng sau, cña c¶ ch¬ng tr×nh to¸n cÊp III Phần ii/ đối tợng và phạm vi nghiên cứu  §èi tîng : C¸c d¹ng to¸n n©ng cao ch¬ng I §¹i sè vµ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i chóng  Ph¹m vi nghiªn cøu : Ch¬ng I §¹i sè mức độ giảI toán nâng cao học sinh khối trêng thcs v©n xu©n §a sè häc sinh khèi trêng THCS V©n Xu©n lµ em n«ng d©n cha hoµn toµn cã nhiÒu thêi gian dµnh cho viÖc häc tËp nh÷ng bµi to¸n n©ng cao H¬n n÷a, khèi n¨m gÇn nh kh«ng cã em nµo thùc có tố chất môn Toán kể các em đội tuyển dự thi học sinh giái To¸n còng vÉn cha nhän MÆt kh¸c cã thÓ thÊy r»ng c¸c d¹ng toán nâng cao thờng tổng hợp nhiều kiến thức từ các lớp dới, đó đòi hỏi học sinh muốn làm đợc thì cần phải kiên trì làm toán khó từ các lớp 6, 7, Có thể nói mức độ giải toán nâng cao học sinh trêng THCS V©n Xu©n cßn nhiÒu h¹n chÕ nh÷ng viÖc lµm cña b¶n th©n Để giúp cho đối tợng học sinh khá, giỏi tiếp xúc, làm quen và tiến tới làm đợc số dạng toán nâng cao chơng I Đại số tôi đã nghiên cứu, đa số kinh nghiệm thân nhằm giúp các em có phơng pháp, kỹ tốt để giải toán khó B) néi dung Trớc hết, ta cùng xem lại các đơn vị bài học có chơng này Chơng I Đại số có tiêu đề là : Căn bậc hai, bậc ba §1 C¨n bËc hai Đ2 Căn thức bậc hai và đẳng thức A  A §3 Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng §4 Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng §5 B¶ng c¨n bËc hai Đ6 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai Đ7 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai (tiếp theo) §8 Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai §9 C¨n bËc ba ¤n tËp ch¬ng I Chóng ta còng yªu cÇu häc sinh ph¶i n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc vµ kü n¨ng sau ®©y : + đẳng thức đáng nhớ ( vận dụng hai chiều) + C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö + Các công thức biến đổi tơng đơng các thức Bây ta cùng xây dựng sơ đồ t đơn giản số dạng to¸n n©ng cao cho ch¬ng nµy *d¹ng to¸n 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh Yêu cầu : HS cần phải nắm thành thạo các công thức biến đổi tơng đơng và có kỹ thực phép tính tốt Bµi TÝnh 2 2 1+ ⋅ 1+ ⋅ 1+ ⋅⋅ 1+ 2006 Thi vµo THPT Chuyªn NguyÔn Tr·i, H¶i D¬ng 2006-2007 √ √ √ Híng dÉn: Ta cã √ 2 2 1+ ⋅ 1+ ⋅ 1+ ⋅⋅ 1+ 2006 √ √ √ √ = 2008 ⋅ ⋅ ⋅⋅ 2006 = ⋅ ⋅ ⋅⋅ 2008 2006 √ √ √ √ √( ) = 2007⋅ 2008 3⋅4 = √ 502⋅669 √ NhËn xÐt: Từ bài toán trên ta có thể khai thác sâu để có đề toán sau: Bµi 1.1 T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt cho biÓu thøc T= 1+ ⋅ 1+ ⋅ 1+ ⋅ ⋅ 1+ n cã gi¸ trÞ kh«ng nhá h¬n 2009 (KQ n 2 2009  ) Bµi TÝnh √ √ √ √ 1+ √ √ 84 84 + 1− √ 9 √ Thi vào THPT Chuyên đại học KHTN, ĐHQG Hà Néi NhËn xÐt : đây ta không thể dùng các phép biến đổi tơng đơng mà phải sử dông kiÕn thøc quy vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh Híng dÉn: §Æt x= 1+ √ 84 + 1− √84 √ th× x =¿ √ √ 2+3 ⋅ − 84 ⋅x 2  x  x  x  0 ⇔ ( x −1 ) ( x2 + x +2 )=0 > víi x + x +2 DÔ thÊy mäi x nªn x=1 *d¹ng to¸n 2: So s¸nh hai sè Bµi Sè √ 4+ √7 − √ − √7 − √2 vµ sè 0, sè nµo lín h¬n ? Híng dÉn: §Æt P= √ 4+ √7 − √ − √7 − √2 P = √ 8+2 √7 − √ 8− √7 −2 = √ 7+1− ( √ −1 ) −2 = Từ đó P = Bµi So s¸nh √ a+9+ √ a vµ √ a+7+ √a+ víi Thi vô địch CHDC Đức, 1974 ⇒√2 a>7 Thi HSG líp 9, TØnh Thõa Thiªn HuÕ, 1994 Híng dÉn: §Æt x=¿ √ a+9+ √ a y=¿ √ a+7+ √ a+ , a>7 th× x> , y > vµ x − y =1+ [ √ a ⋅ ( a+ ) − √ ( a+1 ) ( a+7 ) ] Ta CM đợc a ( a+9 )> ( a+1 ) ( a+7 ) Từ đó x 2> y2 ⇒ x> y ( x> , y > ) VËy √ a+9+ √ a > √ a+7+ √a+ víi a>7  d¹ng to¸n Rót gän biÓu thøc; Bµi Rót gän biÓu thøc P= Híng dÉn: §iÒu kiÖn √ a+ √ b − √ ab − √ ab+2 √ a −3 √ b −6 √ ab+ √ a+ √b+ Thi vµo THPT Chuyªn VÜnh phóc, 2001-2002 a , b>0 ,a ≠ √ a+3 √ b √ ab − P= + ( √ b+2 ) ( √ a −3 ) ( √ b+2 ) ( √ a+3 ) a+ √b +a √ b+18 ¿ ( √ b+ ) ( a− ) ( √ b+2 ) ( a+ ) ¿ ( √ b+ ) ( a −9 ) a+ ¿ a− Bµi Rót gän biÓu thøc : P= x y x+ y + − √ xy + y √ xy − x √ xy Thi vµo THPT Chuyªn Lam S¬n, Thanh Ho¸, 2001-2002 NhËn xÐt : §©y ch¾c ch¾n lµ mét bµi “kh«ng dÔ” víi nhiÒu HS ( kÓ c¶ HS khá) Phơng pháp đợc dùng đây không phải là quy mẫu thức chung mµ ph¶i dïng lîng liªn hîp cña tõng mÉu x+ y P=− KQ : x− y ( Víi §K xy >0, √ xy + y ≠0, √ xy − x ≠ ) Bµi Thu gän biÓu thøc A 7  7  3 2  11 Thi vµo líp 10 THPT chuyªn Tp Hå ChÝ Minh, 2010-2011( ngµy 21/6/2010.) Híng dÉn: ë bµi nµy ta kh«ng nh×n thÊy sù liªn hÖ nµo gi÷a c¸c thµnh phÇn biểu thức A Có thể vấn đề ta đặt 7  7 ? x  7  7 thì x        x 14   x 14  44  x 14  11  x  14  11 Từ đó A   7  7 14  11  11   14  11   11  2 1 3 2   11  21 1 1 *d¹ng to¸n TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Bµi Cho M =x −2 x 3+3 x − x +2 TÝnh gi¸ trÞ cña M biÕt r»ng x − x= √2 −1 Thi HSG To¸n 9, huyÖn vÜnh Têng, 2004-2005 Híng dÉn: Phơng pháp tính trực tiếp xem x băng bao nhiêu sau đó thay vào biểu thøc M trêng hîp nµy lµ kh«ng hîp lý ! Ta cã : x − x= √2 −1  x2  x 1  2 ⇒ ( x − x+1 ) =2 ⇒ x −2 x +3 x − x +1=2 Từ đó M =3 Bµi Cho 1 12  135 12  135  x  1   3 3   Kh«ng dïng m¸y tÝnh cÇm tay, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M  x3  x  Thi vµo Líp 10 THPT Chuyªn NguyÔn Tr·i, H¶i D¬ng, 2010-2011 (ngµy 08 th¸ng n¨m 2010.)   Híng dÉn: bài này chúng ta cần sử dụng khéo léo các đẳng thức và các kỹ thuật biến đổi Tõ gi¶ thiÕt, suy 3x   12  135 12  135  3 Sử dụng đẳng thức  a  b a3  b3  3ab  a  b  Ta đợc   3x  1  12  135  12  135      12 12  135 12  135  12  135 12  135  2     3  3    144  135  x  1 8   x  1 8  3 Hay 9 x  27 x  27 x  x  9 x   27 x  27 x  0  x  x  0 Suy M  x3  x2     x  x   1       1 1 2 Bµi 10 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A  x 31  x  x 2010   2009 Víi x  2  17  38  14  Thi HSG Tp Hµ Néi, 2009-2010( ngµy 31 th¸ng n¨m 2010.) Híng dÉn ë bµi nµy cã ®iÒu thó vÞ lµ ngêi ta lÊy ngµy thi (31-3-2010) lµ c¸c sè mò biÓu thøc cÇn tÝnh to¸n Híng gi¶i ë ®©y lµ ta tÝnh trùc tiÕp x xem nó có giá trị bao nhiêu, sau đó thay vào biểu thức cần tính Ta cã    5 5      2   22  23 = 5  5  12  17  38 Từ đó x  2  17  38  14       2   3 5       2 5 3  Thay x 1 5  1  vào biểu thức A, ta đợc A  x 31  x  x 2010   2009  131  13  12010     1  2009 2009 12009 1 * d¹ng to¸n Gi¶i ph¬ng tr×nh Cã thÓ nãi c¸c kú thi HSG, thi vµo THPT chuyªn th× d¹ng toán giải phơng trình thờng xuyên có mặt, chí các đề thi vµo §¹i häc còng thÊy nã kh«ng Ýt D¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh chøa đựng kỹ cần thiết cho học sinh việc học toán Ta cïng xÐt mét vµi vÝ dô sau Bµi 11 Gi¶i ph¬ng tr×nh  x  y  z Thi vµo líp 10 chuyªn Tin, THPT chuyªn Lam S¬n - Thanh Hãa, 2009 - 2010 ( Ngµy 19 th¸ng n¨m 2009 ) x   y  2009  z  2010  Híng dÉn §iÒu kiÖn: Ta cã x 2; y  2009; z 2010 x   y  2009  z  2010    x  y  z  2  x  y  z 2  x  y  z  z  2010  0 x   y  2009  z  2010 x   y  2009     x    x   1    y  2009   y  2009  1    z  2010   z  2010  1 0        2        x   1 0  x   0      y  2009  1 0   y  2009  0    z  2010   z  2010  0     x 2  y  2009   z  2010  0 2  x  1    y  2009 1    z  2010 1  x  1   y  2009 1   z  2010 1   x 3 (thoûa maõn ñieàu kieän)   y  2008 (thoûa maõn ñieàu kieän) z 2011 (thoûa maõn ñieàu kieän)  Kết luận: Phơng trình đã cho có nghiệm  x; y; z   3;  2008; 2011 NhËn xÐt: Bµi to¸n nµy ¸p dông tÝnh chÊt A 0 với A Từ đó, tổng các bình phơng thì bình phơng phải b»ng Bµi 12 Gi¶i ph¬ng tr×nh x    x x  16 x  66 Thi HSG To¸n huyÖn VÜnh Têng, 2010-2011 Híng dÉn : Ta dùng tính chất bất đẳng thức : NÕu  A  x  c với x thuộc tập xác định A  x    B  x  c với x thuộc tập xác định B  x   c là số thực Khi đó phơng trình A  x  = B  x  coù nghieäm vaø chæ A  x  B  x  c Trë l¹i bµi to¸n, ta cã §Æt A x  x    x §KX§ : x 9 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có A  x   x    x 1  x   1  x    12  12     x     x    x    x   2 2   VËy A  x  2  1 §Æt B  x  x  16 x  66  x  16 x  64     x  8  2 với x VËy B  x  2  2 Từ (1) và (2) suy phơng trình đã cho có nghiệm và  A  x  B  x  2   x 9 x   x 8  thoûa maõn ñk     x   0  đã cho có nghiệm x 8 VËy ph¬ng tr×nh Nhận xét: bài tập 11 và bài tập 12 ta đã dùng tính chất bất đẳng thức để giải phơng trình ( mức độ trung bình) Bây ta xét vài phơng trình giải cách đặt ẩn phụ kết hợp đa phơng trình tÝch, sö dông l¬ng liªn hîp, … Bµi 13 Gi¶i ph¬ng tr×nh x   x  x  3  x  Thi vµo líp 10 THPT chuyªn §HKHTN-§HQGHN, 2010-2011, vßng I Híng dÉn: Vì hai vế phơng trình dơng nên ta có thể nghĩ đến bình phơng hai vế nhng đó chắn không phải là cách giải tối u x   x  1 x  x  NhËn thÊy §KX§ cña ph¬ng tr×nh lµ:   x  0  x  §Æt 1 A  x  1; B  x  x  với điều kiện A 0, B  Khi đó phơng trình đã cho tơng đơng với A  3B 3  AB Ta cã A  3B 3  AB  AB   A  3B 0   AB  A    3B   0  A  B  1   B  1 0   B  1  A  3 0  B  0    A  0  1   B 1   A 3  1  2 x  x  1  x  x  1  x  x 0  x 0  x  x  1 0    x     2   x 0 (thoûa maõn ñk)   x  (thoûa maõn ñk)  2 x  3  x  9  x 8  x 4 ( thoûa maõn ñk ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x1 0, x2  , x3 4 Bµi 14 Gi¶i ph¬ng tr×nh  x 3  Híng dÉn ë bµi nµy ta còng nhËn thÊy   x  x  x 3 Thi vµo líp 10 THPT chuyªn tØnh Hµ TÜnh, 2010-2011 x  3x   x  3 x  x 3 x Do vậy, ta đặt nh bài 13 thì ta có  A  B    AB  3 Nhng mµ chóng ta khai triÓn th× ta kh«ng t×m thÊy híng ®i kh¶ quan nµo c¶, vËy c¸ch gi¶i nh bµi 13 cã vÎ kh«ng hîp lý? Ta nhËn thÊy    x    x  3  x  x 3  x 3  x  x 3  x  Do đó ta có hớng giải nh sau §KX§ cña ph¬ng tr×nh : x 0 Ta cã  x 3     x  x  x 3    Do x   x với x nªn Nên từ (1) ta đợc  x 3  x 3   x 3  x 3   x    x  x   x     x  x    x  x   x   x  x   x   x  x  x  x  3  x 2 x 0 2 (1)  x  3x  x   x (2) Bây ta dùng cách giải nh bài 13 thì đúng hớng rồi!   AB A  B  AB   A  B 0   A  1  B  1 0  Phần lời giải còn lại xin đợc không đa nữa, kết phơng trình đã x 1 cho ( bµi 14) cã nghiÖm nhÊt * Dạng toán Chứng minh bất đẳng thức Trong mục này tôi đa số bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng kiến thức chơng I Đại số và số bất đẳng thức đơn giản kh¸c Bµi 15 Cho a, b  lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n a  b 1 Chøng minh r»ng a  b a  b3  2010 2011 Híng dÉn Tõ gi¶i thiÕt suy  a, b  a  a2 Víi  a  ta chøng minh ThËt vËy, a  a2  a  a2     b 1 Víi ThËt vËy, ta chøng minh  1   a   a   a 1 a a   a  a  Đúng b  b3   từ  b  ta có b8  18 hay b8    b8  Tõ Tõ b  b3    b  b 3  b  b9  b  b9   b  b8  Đúng!  1 suy a a2 a2   2010 2010 2011  3 b b3 b3   2010 2010 2011  4   suy Tõ   3 vaø   cộng hai vế cùng chiều, ta đợc a  b a  b3  2010 2011 Bµi 16 Chøng minh r»ng (®pcm)  1 1 88      2010 2009 45 Thi vµo líp 10 chuyªn To¸n, Tin THPT chuyªn Th¸i B×nh, 2009-2010 Híng dÉn Tríc hÕt ta chøng minh víi k lµ sè nguyªn d¬ng bÊt kú th×  k  1   2  k  k  k  1  k   k 1 k k 1  k  k 1    k 1  ThËt vËy, ta cã  k  1 k     k 1  k 1  k k  k k 1 k 1     k k 1  k k 1  k  2   k    k 1  Từ đó  1   2  2   1  2    1  2     ; 2   ; 3   ; 4   2  2010 2009  2009   2010  Cộng cùng chiều các bất đẳng thức trên ta đợc 1 1     2010 2009   1 1 1    2          2    2 3 2009 2010  2010        88  1  ñpcm   2    45 45 2025     x , y 17 Gi¶ sö , z lµ nh÷ng sè d¬ng tháa m·n ®iÒu kiÖn x  y  z 1 Bµi Chøng minh r»ng xy  z  x  y 1  xy Thi vµo líp 10 THPT chuyªn §HKHTN-§HQG Hµ Néi, 2010-2011(vßng 2) Híng dÉn : Trong bất đẳng thức cần chứng minh, ta thấy h¬n c¶, v× x  y2 lµ quen thuéc x  y  x  y    x , y  1 ThËt vËy, 2 x  y  x  y   x  y  x  xy  y    x  y 2 xy  x  y  xy 0   x  y  0 Đúng! Tõ (1) ta cã x  2y2  x  y2    x  y  x  y  x, y   Từ đó xy  z  x  y  xy xy  z  x  y   xy  * Ta sÏ chøng minh xy  z  x  y  xy 1  ** ThËy vËy  **  xy  z  x  y 1  xy  xy  z  x  y  x  y  z  xy  xy  z z  xy   xy  z    z  xy   xy  z z  2z xy  xy  z z2  z xy  z  xy  z  0  x  y  z z  xy  x  y 2 xy  x  y  xy 0   x y  0 Đúng! Từ (*) và (**) ta có bất đẳng thức đã cho đợc chứng minh Một dạng toán gần với chứng minh bất đẳng thức là tìm cực trị, chóng ta cïng xÐt mét vÝ dô Bµi 18 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P x 1 x  y 1 y Víi c¸c sè d¬ng x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn x  y 1 Thi GVG TØnh Hµ TÜnh, 2009-2010 Ta sÏ ®a c¸ch gi¶i cho bµi to¸n nµy *Híng gi¶i 1: Thiªn vÒ khai th¸c gi¶ thiÕt, kÕt hîp sö dông mét sè bÊt đẳng thức bản, nhng mấu chốt là ý “đặt ẩn phụ”  x y;  y x , đó Tõ gi¶ thiÕt cã thÓ thÊy P x 1 x  y 1 y x  y  y x B©y giê ta khai th¸c gi¶ thiÕt x  y 1 Ta cã x  y 1 x  1 y  12  12    x  y  2.1   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, x  y 1 L¹i cã x y y x x  y 2 y  x 2 y x  y 2 x  x 2 y  Áp dụng bất đẳng thức Cô  si cho hai số dương  x P 1 x  y 1 y  x y Từ đó suy Nhng mµ theo lý luËn trªn ta l¹i cã x y Kh«ng cïng chiÒu! B©y giê ta thö ®i theo mét híng kh¸c - §Æt Èn phô §Æt  Khi đó x u;  y v víi ®iÒu kiÖn  u, v  1  x u2  x 1  u2 ;  y v2  y 1  v VËy  u2  v2 P  u v 1   u  v u v  1      u  v  u v L¹i cã u  v  1 x  1 y 1  x  1  y  12  12   x   y      x  y      1    Mặt khác ta chứng minh đợc 1   u v uv Từ đó víi mäi  1 P      u  v    uv u v 2 u, v   2  2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ đạt đợc u v   x y 1 y  1 x    x y    x  y 1  x  y    *Híng gi¶i 2: Sö dông ph¬ng ph¸p “®iÓm r¬i” chøng minh bÊt đẳng thức Dự đoán P đạt giá trị nhỏ  x y  x y    x  y 1 Khi đó  x 1  y  Ta cã P x 1 x  y 1 y x  y    x    y  21      x y     1 1 x    1 x 2            x x y  2x 2y  y          2  1 x  1 y   2 3 x 3 y   x     2 2  2   2 §Æt Q Th× x  x  y  y    y        x   y  Q   1    1    x    y  2  2  3   2 3  x  y 2   3 1      2  y    x 2  4    2   2   1 3   x  y 3  x  y 2 P  2.Q  2.1  Từ đó *Mét sè d¹ng to¸n kh¸c Bµi 19 T×m tËp hîp c¸c sè h÷u tû x cho √ x2 +9 lµ mét sè h÷u tû Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Hải Dơng, 2005-2006 Híng dÉn: §Æt √ x2 +9 ¿ x+t víi Suy x 2+ 9=( x +t )2 ⇒ x= t ∈Q , t≠0 −t 2t VËy tËp hîp c¸c sè h÷u tû x cÇn t×m lµ { −t , t ∈ Q, t ≠ 2t Nhận xét: Cách đặt Bµi tËp t¬ng tù } x  x  t lµ mét sù kh«n ngoan ! Bµi 19.1 T×m tËp hîp c¸c sè h÷u tû x cho sè h÷u tû Híng dÉn: §Æt x Khi đó  2010 x  2011  x  1005  t víi t  Q, t 0 x  2010 x  2011  2011  10052  t   1005, t  Q, t 0   2t   lµ mét x  2010 x  2011  x  1005  t  x  2010 x  2011  x  1005  t  2  x  2010 x  2011  x  1005   x  1005 t  t  x  2010 x  2011  x  2010 x  10052   x  1005  t  t  2011 10052   x  1005 t  t   x  1005 t 2011  10052  t  x  1005  2011  10052  t 2t 2011  10052  t  2010t 2011   t  1005  2011  10052  t  x  1005   2t 2t 2t  2011   t  1005    , t  Q, t 0   2t   VËy tËp hîp c¸c sè h÷u tû x cÇn t×m lµ   x  2011 2010 DÔ thÊy cho t 1005 th× là giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bµi ( dÔ dµng kiÓm tra!) Tõ c¸ch gi¶i phÇn trªn ta cã thÓ x©y dùng bµi to¸n tæng qu¸t h¬n Bµi 19.2 T×m tËp hîp c¸c sè h÷u tû x cho x  mx  n lµ mét sè h÷u tỷ, đó m, n là các số hữu tỷ cho trớc Bµi 20 Chøng minh r»ng : Sè x 0= 3√5 −1 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 −5 x − 2=0 √ √5 −2 Thi HSG To¸n 9, tØnh Yªn b¸i, 2008-2009 Híng dÉn: DÔ thÊy nÕu ta thay trùc tiÕp sè x 0= 3√5 −1 vµo ph¬ng tr×nh th× sÏ gÆp √ √5 −2 khó khăn, không thử tìm cách biến đổi tơng đơng nó? x0  5 5   x0        51       5 3 5  16 5   5  5 8 23 Suy x0 2 thay x0 2 vµo ph¬ng tr×nh x −5 x − 2=0 Ta đợc 22  2  0  12  10  0  0 Đúng! VËy ta cã ®pcm c) kÕt luËn Cµng ®i s©u t×m hiÓu c¸c bµi to¸n thi chóng ta thÊy c¸c d¹ng toán nâng cao Chơng I Đại số càng đợc khai thác nhiều khía cạnh và đáng chú ý Nó có thể tích hợp với nhiều dạng toán khác tạo nên nh÷ng bµi to¸n hay Trên đây là số kinh nghiệm tôi vấn đề Hớng dẫn học sinh số dạng toán nâng cao chơng I Đại số Rất mong đợc các đồng chí đồng nghiệp tham gia góp ý T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n