Baøi 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC.Gọi H là hình chiếu của D leân tieáp tuyeá[r]
(1)Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M và N Chứng minh:BEDC nội tiếp Chứng minh: góc DEA=ACB Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phaân giaùc cuûa goùc MAN Chứng tỏ: AM2=AE.AB Giợi ý: 1.C/m BEDC noäi tieáp: C/m goùc BEC=BDE=1v Hia điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vuoâng 2.C/m goùc DEA=ACB Do BECD ntDMB+DCB=2v Maø DEB+AED=2v AED=ACB 3.Goïi tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) laø đường thẳng xy (Hình 1) y A x N E D O M B C Hình Ta phaûi c/m xy//DE Do xy laø tieáp tuyeán,AB laø daây cung neân sñ goùc xAB= sñ cung AB Maø sñ ACB= sñ AB goùc xAB=ACB maø goùc ACB=AED(cmt) xAB=AED hay xy//DE 4.C/m OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA là đường trung trực MN.(Đường kính vuông góc với dây)AMN cân A AO là phân giác cuûa goùc MAN 5.C/m :AM2=AE.AB Do AMN cân A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau);goùc MAB chung MA AE MAE ∽ BAM AB =MA MA2=AE.AB (2) Baøi 2: Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là trung điểm đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ I 1.Tứ giác ADBE là hình gì? 2.C/m DMBI noäi tieáp 3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’) Gợi ý: D I A M O B O’ E Hình C 1.Do MA=MB vaø ABDE taïi M neân ta coù DM=ME ADBE laø hình bình haønh Mà BD=BE(AB là đường trung trực DE) ADBE ;laø hình thoi 2.C/m DMBI noäi tieáp BC là đường kính,I(O’) nên Goùc BID=1v.Maø goùc DMB=1v(gt) BID+DMB=2vñpcm 3.C/m B;I;E thaúng haøng Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường troøn)BEDC; CMDE(gt).Do goùc BIC=1v BIDC.Qua ñieåm B coù hai đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC B;I;E thẳng hàng C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; EID vuông IMI là đường trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng DEI MI=MD C/m MC.DB=MI.DC hãy chứng minh MCI∽ DCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắn cung MI DMBI noäi tieáp) 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’) -Ta coù O’IC Caân goùc O’IC=O’CI MBID noäi tieáp MIB=MDB (cuøng chaén cung MB) BDE cân B góc MDB=MEB Do MECI nội tiếp góc MEB=MCI (cuøng chaén cung MI) Từ đó suy góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v Vậy MI O’I I nằm trên đường tròn (O’) MI là tiếp tuyến (O’) (3) Baøi 3: Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S C/m BADC noäi tieáp BC cắt (O) E.Cmr:MR là phân giác góc AED C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS Gợi ý: D A S M O B E C Hình 1.C/m ABCD noäi tieáp: C/m A vaø D cuøng laøm với hai đầu đoạn thẳng BC moät goùc vuoâng 2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED Haõy c/m AMEB noäi tieáp Goùc ABM=AEM( cuøng chaén cung AM) Goùc ABM=ACD( Cuøng chaén cung MD) Goùc ACD=DME( Cuøng chaén cung MD) AEM=MED 4.C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS -Goùc ACB=ADB (Cuøng chaén cung AB) -Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS) -Maø goùc DSM=DCM(Cuøng chaén cung MD) DMS=DCS(Cuøng chaén cung DS) Goùc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA Vaäy goùc ADB=SCAñpcm (4) Baøi 4: Cho ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC E.Đường thẳng BM cắt (O) D và đường thẳng AD cắt (O) S C/m ADCB noäi tieáp C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED C/m: Goùc ASM=ACD Chứng tỏ ME là phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy Gợi ý: 1.C/m ADCB noäi tieáp: A Hãy chứng minh: Goùc MDC=BDC=1v Từ đó suy A vad D S D cùng làm với hai đầu M đoạn thẳng BC góc vuoâng… B E C 2.C/m ME laø phaân giaùc Hình cuûa goùc AED Do ABCD noäi tieáp ABD=ACD (Cuøng chaén cung AD) neân Do MECD noäi tieáp neân MCD=MED (Cuøng chaén cung MD) Do MC là đường kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nội tiếpGóc MEA=ABD Goùc MEA=MEDñpcm 3.C/m goùc ASM=ACD Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD) Maø goùc SMD=SCD(Cuøng chaén cung SD) vaø Goùc SDM=SCM(Cuøng chaén cung SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD Vaäy Goùc A SM=ACD 4.C/m ME là phân giác góc AED (Chứng minh câu bài 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh điểm K;M;E thẳng hàng Do CAAB(gt);BDDC(cmt) và AC cắt BD MM là trực tâm tam giác KBCKM là đường cao thứ nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng haøng ñpcm (5) Baøi 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn và AB<AC nội tiếp đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’ C/m AEDB noäi tieáp C/m DB.A’A=AD.A’C C/m:DEAC Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF Gợi ý: A N E O I Hình B D M C F A’ 1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm với hai đầu đoạn AB…) 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C Chứng minh hai tam giác vuông DBA và A’CA đồng dạng 3/ C/m DEAC Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cuøng chaén cung BA’) suy goùc CDE=DCA’ Suy DE//A’C Maø goùc ACA’=1v neân DEAC 4/C/m MD=ME=MF Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE Do M;N là trung điểm BC và AB MN//AC(Tính chất đường trung bình) Do DEAC MNDE (Đường kính qua trung điểm dây…)MN là đường trung trực DE ME=MD Gọi I là trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình) A’BC=A’AC (Cuøng chaén cung A’C) Do ADFC noäi tieáp Goùc FAC=FDC(Cuøng chaén cung FC) Goùc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1vMIDF.Đường kính MIdây cung DFMI là đường trung trực DFMD=MF Vậy MD=ME=MF (6) Baøi 6: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi M là điểm trên cung nhỏ AC.Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE 1/C/m MFEC noäi tieáp 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M AMP∽FMQ 4/C/m goùc PQM=90o Giaûi: A M 1/C/m MFEC noäi tieáp: (Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…) 2/C/m BM.EF=BA.EM C/m:EFM∽ABM: F P B E C Ta coù goùc ABM=ACM (Vì Hình cuøng chaén cung AM) Do MFEC noäi tieáp neân goùc ACM=FEM(Cuøng chaén cung FM) Goùc ABM=FEM.(1) Ta laïi coù goùc AMB=ACB(Cuøng chaén cung AB).Do MFEC noäi tieáp neân goùc FME=FCM(Cuøng chaén cung FE).Goùc AMB=FME.(2) Từ (1)và(2) suy :EFM∽ABM đpcm 3/C/m AMP∽FMQ AB AM Ta coù EFM∽ABM (theo c/m treân) FE = MF AP AM AP AM = ⇒ = FQ MF FQ FM maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) và góc PAM=MFQ (suy từ EFM∽ABM) Vaäy: AMP∽FMQ 4/C/m goùc:PQM=90o Do goùc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽AFM goùc MQP=AFM Maø goùc AFM=1vMQP=1v(ñpcm) (7) Baøi 7: Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I đường tròn này C/m BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD C/m GEFB noäi tieáp Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G nằm trên đường tròn ngoại tiếp BCD.Coù nhaän xeùt gì veà I vaø F 1/C/m BGEC noäi tieáp: -Sử dụng tổng hai góc đối… -I laø trung ñieåm GC A 2/C/mBFC vuoâng caân: Goùc BCF=FBA(Cuøng chaén B O C cung BF) maø goùc FBA=45o (tính chaát hình vuoâng) Goùc BCF=45o F I Goùc BFC=1v(goùc noäi tieáp D chắn nửa đường tròn)đpcm C/m F là tâm đường tròn Hình ngoại tiếp BDC.ta C/m F G E cách các đỉnh B;C;D Xeùt hai tam giaùc FEB vaø FED coù:E F chung; Do BFC vuoâng caân neân BC=FC Goùc BE F=FED =45o;BE=ED(hai caïnh cuûa hình vuoâng ABED).BFE=E FD BF=FDBF=FC=FD.ñpcm 3/C/m GE FB noäi tieáp: Do BFC vuông cân F Cung BF=FC=90o sñgoùc GBF= Sñ cung BF= o o 90 =45 (Góc tiếp tuyến BG và dây BF) Maø goùc FED=45o(tính chaát hình vuoâng)Goùc FED=GBF=45o.ta laïi coù goùc FED+FEG=2vGoùc GBF+FEG=2v GEFB noäi tieáp 4/ C/m C;F;G thaúng haøng:Do GEFB noäi tieáp Goùc BFG=BEG maø BEG=1vBFG=1v.Do BFG vuông cân FGóc BFC=1v.Góc BFG+CFB=2vG;F;C thaúng haøng C/m G cuõng naèm treân… :Do GBC=GDC=1vtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là FG nằn trên đường tròn ngoại tiếp BCD Dễ dàng c/m I F Baøi 8: (8) Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O).Tiếp tuyến B và C đường tròn cắt D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn E và F,cắt AC I(E nằm trên cung nhỏ BC) C/m BDCO noäi tieáp C/m: DC2=DE.DF C/m:DOIC noäi tieáp Chứng tỏ I là trung điểm FE A 1/C/m:BDCO noäi tieáp(Duøng toång hai góc đối) 2/C/m:DC2=DE.DF Xeùt hai tam giaùc:DEC vaø DCF coù goùc D chung F O I B C SñgoùcECD= sñ cung EC(Goùc tiếp tuyến và dây) E Sñ goùc E FC= sñ cung EC(Goùc noäi tieáp)goùc ECD=DFC DCE ∽DFCñpcm 3/C/m DOIC noäi tieáp: D Hình Ta coù: sñgoùc BAC= sñcung BC(Goùc noäi tieáp) (1) Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chungBOD=CODGoùc BOD=COD 2sñ goùcDOC=sñ cung BC sñgoùc DOC= sñcungBC (2) Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu đoạn thẳng Dc góc nhau…đpcm 4/Chứng tỏ I là trung điểm EF: Do DOIC noäi tieáp goùc OID=OCD(cuøng chaén cung OD) Maø Goùc OCD=1v(tính chaát tieáp tuyeán)Goùc OID=1v hay OIID OIFE.Baùn kính OI vuông góc với dây cung EFI là trung điểmEF (9) Baøi 9: Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M trên cung AB(MA và MB),kẻ dây cung MN vuông góc với AB H.Gọi MQ là đường cao tam giác MAN C/m điểm A;M;H;Q cùng nằm trên đường tròn C/m:NQ.NA=NH.NM C/m Mn laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Giải:Có hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau đây C/m trên hình 9-a Hình 9a A M I Q H Hình 9b P B O N 1/ C/m:A,Q,H,M cùng nằm trên đường tròn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng các phương pháp sau:-Cùng làm với hai đàu …một góc vuông -Tổng hai góc đối 2/C/m: NQ.NA=NH.NM Xét hai vuông NQM và NAH đồng dạng 3/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ Coù hai caùch: Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân M Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH) Goùc NAH=NMB(Cuøng chaén cung NB)ñpcm 4/ xác định vị trí M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Ta coù 2SMAN=MQ.AN 2SMBN=MP.BN 2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN Ta laïi coù: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2 AB × MN =AB.MN Vaäy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN Mà AB không đổi nên tích AB.MN lớn MN lớn nhấtMN là đường kính M là điểm chính cung AB (10) Baøi 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E 1/ Chứng minh tam giác ABC vuông A 2/ O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên đường tròn 3/ Chứng tỏ : BC2= Rr 4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r Giaûi: B 1/C/m ABC vuoâng: Do BE vaø AE laø hai tieáp tuyeán caét nênAE=BE; Tương tự AE=ECAE=EB=EC= E C N O F A I Hình 10 BC.ABC vuoâng A 2/C/m A;E;N;F cuøng naèm treân… -Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét thì EO laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân AEBEO là đường trung trực AB hay OEAB hay góc ENA=1v Tương tự góc EFA=2vtổng hai góc đối……4 điểm… 3/C/m BC2=4Rr Ta có tứ giác FANE có góc vuông(Cmt)FANE là hình vuôngOEI vuông E và EAOI(Tính chất tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vuông có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao tích hai hình chiếu) BC BC2 =¿ RrBC2=Rr Maø AH= vaø OA=R;AI=r OB+IC × BC 4/SBCIO=? Ta coù BCIO laø hình thang vuoâng SBCIO= (r + R) √ rR S= (11) Baøi 11: Treân hai caïnh goùc vuoâng xOy laáy hai ñieåm A vaø B cho OA=OB Moät đường thẳng qua A cắt OB M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc với AM H,cắt AO kéo dài I C/m OMHI noäi tieáp Tính goùc OMI Từ O vẽ đường vuông góc với BI K.C/m OK=KH Tìm tập hợp các điểm K M thay đổi trên OB Giaûi: 1/C/m OMHI noäi tieáp: Sử dụng tổng hai góc đối 2/Tính goùc OMI A Do OBAI;AHAB(gt) vaø OBAH=M Nên M là trực tâm tam giác ABI IM là đường cao thứ IMAB góc OIM=ABO(Góc có cạnh tương ứng vuoâng goùc) Maø vuoâng OAB coù OA=OB OAB vuông cân O góc O M B OBA=45ogoùc OMI=45o 3/C/m OK=KH H Ta coù OHK=HOB+HBO (Góc ngoài OHB) K Do AOHB noäi tieáp(Vì goùc I AOB=AHB=1v) Goùc Hình 11 HOB=HAB (Cuøng chaén cung HB) vaø OBH=OAH(Cuøng chaén Cuøng chaén cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45o OKH vuông cân KOH=KH 4/Tập hợp các điểm K… Do OKKB OKB=1v;OB không đổi M di động K nằm trên đường tròn đường kính OB Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính cung AB.Vậy quỹ tích ñieåm K laø đường tròn đường kính OB (12) Baøi 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD E C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD C/m EFBM noäi tieáp Chứng tỏ:AC2=AE.AM Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I.C/m NI//CD Chứng minh N là tâm đường trèon nội tiếp CIM Giaûi: C N A F O B I D M 1/C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD Do ABCD AB laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân COD. COA=AOD Các góc tâm AOC và AOD neân caùc cung bò chaén baèng cung AC=ADcaùc goùc noäi tieáp chaén caùc cung naøy baèng nhau.Vaäy CMA=AMD 2/C/m EFBM noäi tieáp Ta coù AMB=1v(Goùc noäi tieáp chaén nửa đường tròn) EFB=1v(Do ABEF) AMB+EFB=2vñpcm 3/C/m AC2=AE.AM C/m hai ACE∽AMC (A chung;goùc ACD=AMD cuøng chaén cung AD vaø AMD=CMA cmt ACE=AMC)… 4/C/m NI//CD Do cung AC=AD CBA=AMD(Goùc noäi tieáp chaén caùc cung baèng nhau) hay NMI=NBIM và B cùng làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc baèng nhauMNIB noäi tieápNMB+NIM=2v maø NMB=1v(cmt)NIB=1v hay NIAB.Maø CDAB(gt) NI//CD 5/Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp ICM Ta phải C/m N là giao điểm đường phân giác CIM Theo c/m ta coù MN laø phaân giaùc cuûa CMI Do MNIB noäi tieáp(cmt) NIM=NBM(cuøng chaén cung MN) Goùc MBC=MAC(cuøng chaén cung CM) Ta laïi coù CAN=1v(goùc noäi tieápACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ACNI noäi tieápCAN=CIN(cuøng chaén cung CN)CIN=NIMIN laø phaân giaùc CIM Vậy N là tâm đường tròn…… (13) Baøi 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyeán ADE.Goïi H laø trung ñieåm DE C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên đường tròn C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø DE.C/m AB2=AI.AH BH cắt (O) K.C/m AE//CK Hình 13 B E H I D O A K C 1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên đường tròn: H là trung điểm EBOHED(đường kính qua trung điểm dây …)AHO=1v Mà OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) A;B;O;H;C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA 2/C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC Do AB;AC laø tieáp tuyeán caét BAO=OAC vaø AB=AC cung AB=AC(hai dây băøng đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chaén cung AB) vaø COA=CHA(cuøng chaén cung AC) maø cung AB=AC COA=BOH CHA=AHBñpcm 3/Xeùt hai tam giaùc ABH vaø AIB (coù A chung vaø CBA=BHA hai goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau) ABH∽AIBñpcm 4/C/m AE//CK Do goùc BHA=BCA(cuøng chaén cung AB) vaø sñ BKC= Sñ cungBC(goùc noäi tieáp) Sđ BCA= sđ cung BC(góc tt và dây) BHA=BKCCK//AB (14) Baøi 14: Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) B CD là đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm AC;AD với xy theo thứ tự là M;N Cmr:MCDN noäi tieáp Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN.Cmr:AOIH laø hình bình haønh Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường naøo? M C A O B K D H I N Hình 14 1/ C/m MCDN noäi tieáp: AOC cân OOCA=CAO; góc CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)goùc ACD=ANM Maø goùc ACD+DCM=2v DCM+DNM=2v DCMB noäi tieáp 2/C/m: AC.AM=AD.AN Haõy c/m ACD∽ANM 3/C/m AOIH laø hình bình haønh Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDNI laø giao ñieåm dường trung trực CD và MNIHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vuông góc với CD.Từ trung điểm H MN dựng đường vuông góc với MN.Hai đường này cách I Do H laø trung ñieåm MNAhlaø trung tuyeán cuûa vuoâng AMNANM=NAH.Maø ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD Goïi K laø giao ñieåm AH vaø DO ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD vuông KAHCD mà OICDOI//AH AHIO là hình bình hành 4/Quyõ tích ñieåm I: Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R không đổiCD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy khoảng R (15) Baøi 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi D là điểm trên cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG vuông góc với các cạnh AB;BC;AC.Gọi H là hình chiếu D leân tieáp tuyeán Ax cuûa (O) C/m AHED noäi tieáp Gọi giao điểm AH với HB và với (O) là P và Q;ED cắt (O) M.C/m HA.DP=PA.DE C/m:QM=AB C/m DE.DG=DF.DH C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn) A H Q P B E O F G C 1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E cùng làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD…) 2/C/m HA.DP=PA.DE Xét hai tam giác vuông đồng dạng: HAP vaø EPD (Coù HPA=EPD ññ) 3/C/m QM=AB: Do HPA∽EDPHAB=HDM Maø sñHAB= sñ cung AB; M D SñHDM= sñ cung QM cung AM=QMAB=QM Hình 15 4/C/m: DE.DG=DF.DH Xeùt hai tam giaùc DEH vaø DFG coù: Do EHAD noäi tieáp HAE=HDE(cuøng chaén cung HE)(1) Vaø EHD=EAD(cuøng chaén cung ED)(2) Vì F=G=90oDFGC noäi tieápFDG=FCG(cuøng chaén cung FG)(3) FGD=FCD(cuøng chaén cung FD)(4) Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)EDH=FDG(6) Từ (2);(4) và BCD=BAD(cùng chắn cungBD)EHD=FGD(7) ED DH = Từ (6)và (7)EDH∽FDG ñpcm DF DG 5/C/m: E;F;G thaúng haøng: Ta coù BFE=BDE(cmt)vaø GFC=CDG(cmt) Do ABCD noäi tieápBAC+BMC=2v;do GDEA noäi tieápEDG+EAG=2v EDG=BDC maø EDG=EDB+BDG vaø BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thaúng haøng (16) Baøi 16: Cho tam giaùc ABC coù A=1v;AB<AC.Goïi I laø trung ñieåm BC;qua I keû IKBC(K nằm trên BC).Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA=AK Chứng minh:ABIK nội tiếp đường tròn tâm O C/m goùc BMC=2ACB Chứng tỏ BC2=2AC.KC AI kéo dài cắt đường thẳng BM N.Chứng minh AC=BN C/m: NMIC noäi tieáp N M A K B I C Hình 16 1/C/m ABIK noäi tieáp (tự C/m) 2/C/m BMC=2ACB ABMK vaø MA=AK(gt)BMK cân BBMA=AKB Maø AKB=KBC+KCB (Góc ngoài tam giac KBC) Do I laø trung ñieåm BC vaø KIBC(gt) KBC cân K KBC=KCB Vaäy BMC=2ACB 3/C/m BC2=2AC.KC Xeùt vuoâng ACB vaø ICK coù C chungACB∽ICK AC BC = AC CB BC = IC= BC CK ñpcm IC CK 2 4/C/m AC=BN Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài IAC) và IAC Cân IIAC=ICA AIB=2IAC(1) Ta lại có BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB noäi tieáp) AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngoài tam giác MNA) Do MNA cân M(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3) Từ (1);(2);(3)IAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)… 5/C/m NMIC noäi tieáp: MNA=ACI hay MNI=MCI hai điểm N;C cùng làm thành với hai đầu…) (17) Baøi 17: Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia phaân giaùc cuûa ACB caét (O) tai M.Goïi H;K laø hình chieáu cuûa M leân AC vaø AB C/m:MOBK noäi tieáp Tứ giác CKMH là hình vuông C/m H;O;K thaúng haøng Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào? C H A O B I Q P K M Hình 17 1/C/m:BOMK noäi tieáp: Ta coù BCA=1v(goùc noäi tieáp chắn nửa đường tròn) CM laø tia phaân giaùc cuûa goùc BCAACM=MCB=45o cungAM=MB=90o daây AM=MB coù O laø trung ñieåm AB OMAB hay goùcBOM=BKM=1v BOMK noäi tieáp 2/C/m CHMK laø hình vuoâng: Do vuông HCM có góc 45o nên CHM vuông cân H HC=HM, tương tự CK=MK Do C=H=K=1v CHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề CHMK laø hình vuoâng 3/C/m H,O,K thaúng haøng: Goïi I laø giao ñieåm HK vaø MC;do MHCK laø hình vuoângHKMC taïi trung ñieåm I MC.Do I là trung điểm MCOIMC(đường kính qua trung điểm daây…) Vaäy HIMC;OIMC vaø KIMCH;O;I thaúng haøng 4/Do góc OIM=1v;OM cố địnhI nằm trên đường tròn đường kính OM -Giới hạn:Khi CB thì IQ;Khi CA thì IP.Vậy C di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên cung tròn PHQ đường tròn đường kính OM (18) Baøi 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác góc ACD,từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên 1/Chứng minhAHDC nt đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a 2/HB cắt AD I và cắt AC M;HC cắt DB N.Chứng tỏ HB=HC Và AB.AC=BH.BI 3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O) 4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC K và cắt (O) J.Chứng minh HOKD nt x A B M H I O N J K D C Xeùt hai HCAABI coù A=H=1v vaø ABH=ACH(cuøng chaén cung AH) HC AC = HCA∽ABI maø HB=HCñpcm AB BI 3/Goïi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O) laø Hx DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD màAOD cân OOHAD vaø OHHx(tính chaát tieáp tuyeán) neân AD//Hx(1) Do cung AH=HD ABH=ACH=HBDHBD=ACH hay MBN=MCN hay ñieåm B;C cùng làm với hai đầu đoạn MN góc MNCB nội tieápNMC=NBC(cuøng chaén cung NC) maø DBC=DAC (cuøng chaén cung DC) NMC=DAC MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx 4/C/m HOKD noäi tieáp: AD Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH= maø cung AD=BCcung BJ=JCH;O;J thẳng hàng tức HJ là đường kính HDJ= 1v Góc HJD=ACH(cùng chắn cung nhau)OJK=OCKCJ cùng làm với hai đầu đoạn OK góc nhauOKCJ noäi tieáp KOC=KJC (cuøng chaén cung KC);KJC=DAC(cuøng chaén cung DC)KOC=DACOK//AD maø ADHJOKHOHDKC noäi tieáp (19) Baøi 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OCAB.Gọi M là điểm trên cung BC.Kẻ đường cao CH tam giác ACM Chứng minh AOHC nội tiếp Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân giác góc COM Gọi giao điểm OH với BC là I.MI cắt (O) D.Cmr:CDBM là hình thang caân BM cắt OH N.Chứng minh BNI và AMC đồng dạng,từ đó suy ra: BN.MC=IN.MA C N 1/C/m AOHC noäi tieáp: (học sinh tự chứng minh) I M 2/C/mCHM vuoâng HìnhO 19 H B A caân: Sñ CMA= Do OCAB traïi trung sñcung o ñieåm OCung AC=45 CHM vuông cân M o C/m OH laø phaân giaùc cuûa goùc COM:Do CHM vuoâAC=CB=90 ng cân HCH=HM; Ta laïi coù: CO=OB(baùn kính);OH chungCHO=HOMCOH=HOMñpcm 3/C/m:CDBM laø thang caân: Do OCM cân O có OH là phân giácOH là đường trung trực CM mà IOHICM cân IICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắn cung BM) IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB cân IIDB=IBD và MBC=MDC(cùng chắn cungCM) neân CDB=MBDCDBM laø thang caân 4/C/m BNI và AMC đồng dạng: Do OH là đường trung trực CM và NOH CN=NM Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM maø CHAMCH//NM,coù goùc CMH=45oNHM=45oMNH vuông cân M CHMN là hình vuông INB=CMA=45o Do CMBD laø thang caânCD=BM cungCD=BM maø cung AC=CBcungAD=CM… vaø CAM=CBM(cuøng chaén cung CM) INB=CMA ñpcm D Baøi 20: Cho ABC nội tiếp (O;R).Trên cnạh AB và AC lấy hai điểm M;N cho BM=AN (20) Chứng tỏ OMN cân C/m :OMAN noäi tieáp BO kéo dài cắt AC D và cắt (O) E.C/m BC2+DC2=3R2 Đường thẳng CE và AB cắt F.Tiếp tuyến A (O) cắt FC I;AO keùo daøi caét BC taïi J.C/m BI ñi qua trung ñieåm cuûa AJ F A I E M B 1/C/m OMN caân: Do ABC là tam giác nội tiếp (O)AO vaø BO laø phaân giaùc cuûa ABC OAN=OBM=30o; OA=OB=R vaø BM=AN(gt)OMB=ONA OM=ON OMN cân O 2/C/m OMAN noäi tieáp: OBM=ONA(cmt)BMO=ANO maø BMO+AMO=2vANO+AMO=2v AMON noäi tieáp 3/C/m BC2+DC2=3R2 Do BO là phân giác đều BOAC hay BOD C vuông D.Aùp dụng hệ thức Pitago ta coù: BC2=DB2+CD2=(BO+OD)2+CD2= =BO2+2.OB.OD+OD2+CD2.(1) Mà OB=R.AOC cân O có OAC=30o D K O N J Hình 20 AOC=120oAOE=60o AOE là tam giác có ADOEOD=ED= R Aùp duïng Pitago ta coù:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2) R Từ (1)và (2)BC2=R2+2.R +CD2-CD2=3R2 4/Gọi K là giao điểm BI với AJ Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)có B=60oBFC=30o BC= BF maø AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) vaø AJBCAI//BC coù A laø trung ñieåm BFI laø trung ñieåm CF Hay FI=IC AK BK = Do AK//FI.Aùp duïng heä quaû Taleùt BFI coù: AK KJ EI BI = FI CI KJ BK = Do KJ//CI.Aùp duïng heä quaû Taleùt BIC coù: CJ BI Maø FI=CIAK=KJ (ñpcm) Baøi 21: Cho ABC (A=1v)nội tiếp đường tròn tâm (O).Gọi M là trung điểm cạnh AC.Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC N và cắt (O) D (21) C/m ABNM noäi tieáp vaø CN.AB=AC.MN Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến (I) Tia IO cắt đường thẳng AB E.C/m BMOE là hình bình hành C/m NM laø phaân giaùc cuûa goùc AND 1/ C/m ABNM noäi tieáp: A (dùng tổng hai góc đối) M D C/m CN.AB=AC.MN I Chứng minh hai tam giác vuông ABC và NMC đồng dạng B O N C 2/C/m B;M;D thaúng haøng Ta coù MDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa E đường tròn tâm I) hay MD DC BDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa Hình 21 đường tròn tâm O) Hay BDDC Qua điểm D có hai đường thẳng BD và DM cùng vuông góc với DCB;M;D thaúng haøng C/m OM là tiếp tuyến (I):Ta có MO là đường trung bình ABC (vì M;O laø trung ñieåm cuûa AC;BC-gt)MO//AB maø ABAC(gt)MOAC hay MOIC;M(I)MO là tiếp tuyến đường tròn tâm I 3/C/m BMOE laø hình bình haønh: MO//AB hay MO//EB.Maø I laø trung ñieåm MC;O là trung điểm BCOI là đường trung bình MBCOI//BM hay OE//BMBMOE laø hình bình haønh 4/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc AND: Do ABNM noäi tieáp MBA=MNA(cuøng chaén cung AM) MBA=ACD(cuøng chaén cung AD) Do MNCD noäi tieáp ACD=MND(cuøng chaén cung MD) ANM=MNDñpcm Baøi 22: Cho hình vuông ABCD có cạnh a.Gọi I là điểm trên đường chéo AC.Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA P;Q;N;M (22) C/m INCQ laø hình vuoâng Chứng tỏ NQ//DB BI kéo dài cắt MN E;MP cắt AC F.C/m MFIN nội tiếp đường tròn.Xác định tâm Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích nó theo a C/m MFIE noäi tieáp A M 1/C/m INCQ laø hình vuoâng: MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN NC=IQ=PD NIC vuông N có ICN=45o(Tính chất đường chéo hình vuông)NIC vuông cân N INCQ laø hình vuoâng 2/C/m:NQ//DB: Do ABCD laø hình vuoâng DBAC Do IQCN laø hình vuoâng NQIC D F E P I B N Q C Hình 22 Hay NQACNQ//DB 3/C/m MFIN noäi tieáp: Do MPAI(tính chaát hình vuoâng)MFI=1v;MIN=1v(gt) hai điểm F;I cùng làm với hai đầu đoạn MN…MFIN nội tiếp Tâm đường tròn này là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN 4/C/m MPQN noäi tieáp: Do NQ//PMMNQP laø hình thang coù PN=MQMNQP laø thang caân.Deã daøng C/m thang caân noäi tieáp 1 1 TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= SAMIP+ SMDNI+ SNIQC+ SPIQB 1 = SABCD= a2 5/C/m MFIE noäi tieáp: Ta coù caùc tam giaùc vuoâng BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v PIB=IMN maø PBI=EIN(ñ ñ)IMN=EIN Ta laïi coù IMN+ENI=1vEIN+ENI=1vIEN=1v maø MFI=1vIEM+MFI=2v FMEI noäi tieáp Baøi 23: Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN.(O) cắt AC E.BE kéo dài cắt AD M;MN cắt (O) I C/m MDNE noäi tieáp (23) Chứng tỏ BEN vuông cân C/m MF qua trực tâm H BMN C/m BI=BC vaø IE F vuoâng C/m FIE laø tam giaùc vuoâng Q B A E M I H D N Hình 23 C 1/C/m MDNE noäi tieáp Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) MEN=1v;MDN=1v(t/c hình vuoâng) MEN+MDN=2vñpcm 2/C/m BEN vuoâng caân: NEB vuoâng(cmt) Do CBNE noäi tieáp ENB=BCE(cuøng chaén cung BE) maø BCE=45o(t/c hv)ENB=45oñpcm 3/C/m MF qua trực tâm H BMN Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtròn) BIMN Mà ENBM(cmt)BI và EN là hai đường cao BMNGiao điểm EN và BI là trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng Do H là trực tâm BMNMHBN(1) MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt)MAF=MBF=45oMABF noäi tieáp.MAB+MFB=2v maø MAB=1v(gt)MFB=1v hay MFBM(2) Từ (1)và (2)M;H;F thẳng hàng 4/C/m BI=BC: Xeùt 2vuoâng BCN vaø BIN coù caïnh huyeàn BN chung;NBC=NEC (cuøng chaén cung NC).Do MEN=MFN=1vMEFN noäi tieápNEC=FMN(cuøng chaén cung FN);FMN=IBN(cuøng phuï với góc INB)IBN=NBCBCN=BIN.BC=BI *C/m IEF vuoâng:Ta coù EIB=ECB(cuøng chaén cung EB) vaø ECB=45o EIB=45o Do HIN+HFN=2vIHFN noäi tieápHIF=HNF (cuøng chaén cung HF);maø HNF=45o(do EBN vuông cân)HIF=45o Từuvà vEIF=1v đpcm 5/ * C/mBM là đường trung trực QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ABI cân B.Hai vuông ABM và BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIABM=BIMABM=MBI;ABI cân B có BM là phân giác BM là đường trung trực QH *C/mMQBN là thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ nội tieápMAE=MQE(cuøng chaén cung ME) maø MAE=45o vaø ENB=45o(cmt) MQN=BNQ=45o MQ//BN.ta laïi coù MBI=ENI(cuøng chaén cungEN) vaø MBI=ABM vaøIBN=NBC(cmt) QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)MNB=MNE+ENB=MBI+45o MNB=QBNMQBN laø thang caân Baøi 24: Cho ABC có góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM vuông góc với AB;AC.Gọi J là giao điểm AH và MK C/m AMHK noäi tieáp (24) C/m JA.JH=JK.JM Từ C kẻ tia Cxvới AC và Cx cắt AH kéo dài D.Vẽ HI;HN vuông góc với DB và DC Cmr : HKM=HCN C/m M;N;I;K cùng nằm trên đường tròn A J M K B H C I N D Hình 24 1/C/m AMHK noäi tieáp: Dùng tổng hai góc đối) 2/C/m: JA.JH=JK.JM Xeùt hai tam giaùc:JAM vaø JHK coù: AJM=KJH (ññ).Do AKHM nt HAM=HKM( cuøng chaén cung HM) JAM∽JKH ñpcm 3/C/m HKM=HCN vì AKHM noäi tieáp HKM=HAM(cuøng chaén cung HM) Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH) Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH là hình chữ nhật MH//CN hay MHC=HCNHKM=HCN 4/C/m: M;N;I;K cùng nằm trên đường tròn Do BKHI nội tiếpBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH) Do IHND noäi tieápIDH=INH(cuøng chaén cung IH)BKI=HNI Do AKHM noäi tieápAKM=AHM(cuøng chaén cung AM);AHM=MCH(cuøng phuï với HAM) Do HMCN noäi tieápMCH=MNH(cuøng chaén cung MH)AKM=MNH maø BKI+AKM+MKI=2vHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v M;N;I;K cùng nằm trên đường tròn (25) Baøi 25: Cho ABC (A=1v),đường cao AH.Đường tròn tâm H,bán kính HA cắt đường thaúng AB taïi D vaø caét AC taïi E;Trung tuyeán AM cuûa ABC caét DE taïi I Chứng minh D;H;E thẳng hàng C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O đường tròn này C?m AMDE C/m AHOM laø hình bình haønh 1/C/m D;H;E thaúng haøng: Do DAE=1v(goùc noäi tieáp chắn nửa đường tròn tâm E H)DE là đường kính I D;E;H thaúng haøng B H M C 2/C/m BDCE noäi tieáp: HAD cân H(vì HD=HA=baùn kính cuûa ñt D taâm H)HAD=HAD maø O HAD=HCA(Cùng phụ với Hình 25 HAB) BDE=BCEHai điểm D;C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BE… Xác định tâm O:O là giao điểm hai đường trung trực BE và BC 3/C/m:AMDE: A Do M laø trung ñieåm BCAM=MC=MB= BC MAC=MCA;maø ABE=ACB(cmt)MAC=ADE Ta laïi coù:ADE+AED=1v(vì A=1v)CAM+AED=1vAIE=1v vaäy AMED 4/C/m AHOM laø hình bình haønh: Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp BECDOM là đường trung trực BC OMBCOM//AH Do H là trung điểm DE(DE là đường kính đường tròn tâm H)OHDE mà AMDEAM//OHAHOM laø hình bình haønh (26) Baøi 26: Cho ABC có góc nhọn,đường cao AH.Gọi K là điểm dối xứng H qua AB;I là điểm đối xứng H qua AC.E;F là giao điểm KI với AB và AC Chứng minh AICH nội tiếp C/m AI=AK C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên đường tròn C/m CE;BF là các đường cao ABC Chứng tỏ giao điểm đường phân giác HFE chính là trực tâm ABC I A F E K M B H C Hình 26 1/C/m AICH noäi tieáp: Do I đx với H qua ACAC là trung trực cuûa HIAI=AH vaø HC=IC;AC chung AHC=AIC(ccc) AHC=AIC maø AHC=1v(gt)AIC=1v AIC+AHC=2v AICH noäi tieáp 2/C/m AI=AK: Theo chứng minh trên ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB là đường trung trực cuûa KHAH=AK AI=AK(=AH) 3/C/m A;E;H;C;I cùng nằm trên đường tròn: DoEABvà ABlà trung trực KHEK=EH;EA chung;AH=AKAKE=AHEAKE=EHA màAKI cân A(theo c/m trên AK=AI) AKI=AIK.EHA=AIE hai điểm I và K cung làm với hai đầu đoạn AE…A;E;H;I cùng nằm trên đường tròn ký hiệu là (C) Theo cmt thì A;I;CV;H cùng nằm trên đường tròn(C’) (C) vaø (C’) truøng vì coù chung ñieåm A;H;I khoâng thaúng haøng) 4/C/m:CE;BF là đường cao ABC Do AEHCI cùng nằm trên đường tròn có AIC=1vAC là đường kính.AEC=1v ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE là đường cao ABC.Chứng minh tương tự ta có BF là đường cao… 5/Gọi M là giao điểmAH và EC.Ta C/m M là giao điểm đường phân giác HFE EBHM nt MHE=MBE(cuøng chaén cungEM) EHM=MHF BEFC nt FBE=ECF (Cuøng chaén cung EF) HA laø pg… HMFC ntFCM=FMH(cuøng chaén cung MF) C/m tương tự có EC là phân giác FHEđpcm (27) Baøi 27: Cho ABC(AB=AC) noäi tieáp (O).Goïi M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Treân tia BM laáy MK=MC vaø treân tia BA laáy AD=AC C/m: BAC=2BKC C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm đường tròn này Gọi giao điểm DC với (O) là I.C/m B;O;I thẳng hàng C/m DI=BI D 1/Chứng tỏ:BAC=BMC (cuøng chaén cung BC) BMC=MKC+MCK(goùc ngoài MKC) Maø A MK=MC(gt)MKC cân MMKC=MCK I K BMC=2BKC M BAC=2BKC 2/C/mBCKD noäi tieáp: Ta coù B C BAC=ADC+ACD(goùc ngoài ADC) mà Hình 27 AD=AC(gt)ADC cân AADC=ACDBAC=2BDC Nhöng ta laïi coù:BAC=2BKC(cmt)BDC=BKC BCKD noäi tieáp öXaùc ñònh taâm:Do AB=AC=ADA laø trung ñieåm BD trung tuyeán CA= BDBCD vuông C Do BCKD noäi tieáp DKB=DCB(cuøng chaén cungBD).Maø BCD=1vBKD=1vBKD vuông K có trung tuyến KAKA= BD AD=AB=AC=AK A là tâm đường troøn… 3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I(O) BI là đường kính B;O;I thẳng haøng 4/C/mBI=DI: ưCách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường tròn)hay AIDB,có A là trung điểmAI là đường trung trực BDIBD cân IID=BI ưCách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)ADC cân DACI=ADIBDC=ACDIDB=IBDBID cân Iđpcm Baøi 28: (28) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I là điểm chính cung AB(Cung AB không chứa điểm C;D).IC và ID cắt AB M;N C/m D;M;N;C cùng nằm trên đường tròn C/m NA.NB=NI.NC DI kéo dài cắt đường thẳng BC F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E.C/m:EF//AB C/m :IA2=IM.ID E F I A 1/C/m D;M;N;C cuøng naèm treân moät đường tròn B Sñ IMB= sñcung(IB+AD) M N O D C Hình 28 Sñ NCD= Sñ cungDI Maø cung IB=IAIMB=NCD IMB=NCD Ta laïi coù IMN+DMN=2v NCD+DMN=2vMNCD noäitieáp 2/Xeùt 2NBC vaø NAI coù: IAB=ICB(cuøng chaén cung BI) INA=BNC(ñ ñ)NAI∽NCBñpcm 3/C/m EF//AB: Do IDA=ICB(cuøng chaén hai cung hai cung baèng IA=IB) hay EDF=ECF hai điểm D và C cùng làm với hai đầu đoạn EF…EDCF nội tiếp EFD=ECD(cuøng chaén cung ED),maø ECD=IMN(cmt) EFD=FMN EF//AB 4/C/m: IA2=IM.ID AIM∽DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai goùc nt chaén hai cung baèng nhau) ñpcm ÐÏ( Baøi 29: &(ÐÏ (29) Cho hình vuông ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax caét caïnh CD keùo daøi taïi F.Keû trung tuyeán AI cuûa AEF,AI keùo daøi caét CD taïi K.qua E dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI G C/m AECF noäi tieáp C/m: AF2=KF.CF C/m:EGFK laø hình thoi Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi CKE có giá trị không đổi Gọi giao điểm EF với AD là J.C/m:GJJK Giaûi: F A J D I K G B E C 1/C/m AECF noäi tieáp: FAE=DCE=1v(gt) AECF noäi tieáp 2/C/m: AF2=KF.CF Do AECF noäi tieáp DCA=FEA(cung chaén cung AF).Maø DCA=45o (Tính chaát hình vuoâng) FEA=45oFAE vuoâng cân A có FI=IEAIFE FAK=45o FKA=ACF=45o.Vaø KFA chung FKA∽FCA FA FK ñpcm = FC FA Hình 29 3/C/m: EGFK là hình thoi -Do AK là đường trung trực FEGFE cân G GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vuông góc với AD)GEF=EFK(so le) GFI=IFKFI là đường trung trực GKGI=IK,mà I F=IEGFKE là hình thoi 4/C/m EK=BE+DK: vuoâng ADF vaø ABE coù AD=AB;AF=AE.(AE F vuoâng caân)ADF=ABE BE=DF naø FD+DK=FK VAØ FK=KE(t/v hình thoi)KE=BE+DK ưC/m chu vi tam giác CKE không đổi:Gọi chu vi là C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+(BE+EC)=2BC không đổi 5/C/m IJJK: Do JIK=JDK=1vIJDK noäi tieáp JIK=IDK(cuøng chaén cung IK) IDK=45o(T/c hình vuông) JIK=45oJIK vuông vân IJI=IK,mà IK=GI JI=IK=GI= GKGJK vuông J hay GJJK Baøi 30: (30) Cho ABC.Gọi H là trực tâm tam giác.Dựng hình bình hành BHCD Gọi I laø giao ñieåm cuûa HD vaø BC C/m:ABDC nội tiếp đường tròn tâm O;nêu cáh dựng tâm O So saùnh BAH vaø OAC CH caét OD taïi E.C/m AB.AE=AH.AC 4.Goïi giao ñieåm cuûa AI vaø OH laø G.C/m G laø troïng taâm cuûa ABC 1/c/m:ABDC noäi tieáp: Gọi các đường cao ABC laø AN;BM;CN Do Q M AQH+HMA=2vAQHM H G B noäi tieápBAC+QHM=2v C N I maø QHM=BHC(ñ ñ) BHC=CDB(2 góc đối D Hình 30 hình bình haønh) Vaø BHACCDAC hay ACD=1v,maø A;D;CèBAC+CDB=2VABDC nằm trên đường trònAD là noäi tieáp đường kính.Vậy O là trung điểm AD Caùch xaùc ñònh taâm O:do 2/So saùnh BAH vaø OAC: CD//BH(t/c BAN=QCB(cùng phụ với ABC) mà CH//BD( BHCD laø hình hình bình bình haø haønnh) h) QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cuøng chaén cung CD)BAH=OAC 3/c/m: AB.AE=AH.AC: Xét hai tam giác ABH và ACE có EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cùng phụ với BAC)ABH∽ACEñpcm 4/C/m G là trọng tâm ABC.ta phải cm G là giao điểm ba đường trung tuyến A hay GJ= AI Do IB=ICOIBC maø AHBCOI//AH.Theo ñònh lyù Ta Leùt AGH OI GI OI = = (T/c Do I laø trung ñieåm HDO laø trung ñieåm AD AH AG AH OI GI 1 đường trung bình) AH = AG = GI= AG Hay GI= AIG là trọng taâm cuûa ABC ÐÏ( &(ÐÏ Baøi 31: Cho (O0 và cung AB=90o.C là điểm tuỳ ý trên cung lớn AB.Các đường cao AI;BK;CJ ABC cắt H.BK cắt (O) N;AH cắt (O) M.BM và AN gặp D C/m:B;K;C;J cùng nằm trên đường tròn (31) c/m: BI.KC=HI.KB C/m:MN là đường kính (O) C/m ACBD laø hình bình haønh C/m:OC//DH Baøi naøy coù hai hình veõ tuyø vaøo vò trí cuûa C.Caùch c/m N tương tự 1/C/m B;K;C;J cuøng naèm trên đường tròn D A -Söû dúng toơng hai goùc ñoẫi O -Sử dụng hai góc cùng làm M với hai đầu đoạn thẳng K goùc vuoâng B C 2/C/m: BI.KC=HI.KB I J Xeùt hai tam giaùc vuoâng BIH vaø BKC coù IBH=KBC(ñ ñ) ñpcm 3/ C/m MN là đường kính H cuûa (O) Hình 31 Do cung AB=90o.ACB=ANB=45o Tam giaùc vuoâng caânKBC=45oIBH=KBC=45oIBH cuõng laø tam giaù vuoânngg caân.Ta KBC;AKN là cnhữ laïi coù: AMD=MAB+ABM(góc ngoài tam giác MAB).Mà sñMAB= sñMB SñABM= sñAM vaø cung MA+AM=AB=90o.AMD=45o vaø AMD=BMH(ñ ñ) BMI=45oBIM vuoâng caânMBI=45oMBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1vMN laø đường kính (O) 5/C/m OH//DH Do MN là đường kính MAN=1v(góc nt chắn nửa đtròn) mà CAN =45o MAC=45o hay cung MC=90oMNC=45o.Góc tâm MOC chắn cung MC=90oMOC=90oOCMN Do DBNH;HADN;AH và DB cắt MM là trực tâm DNH MNDHOC//DH ÐÏ( Baøi 32: &(ÐÏ (32) Cho hình vuoâng ABCD.Goïi N laø moät ñieåm baát kyø treân CD cho CN<ND;Veõ đường tròn tâm O đườn kính BN.(O) cắt AC F;BF cắt AD M;BN cắt AC E C/m BFN vuoâng caân C/m:MEBA noäi tieáp Gọi giao điểm ME và NF là Q.MN cắt (O) P.C/m B;Q;P thẳng haøng Chứng tỏ ME//PC và BP=BC C/m FPE laø tam giaùc vuoâng 1/c/m:BFN vuoâng caân: ANB=FCB(cuøng chaén cung FB).Maø FCB=45o F (tính chaát hình vuoâng) M Q ANB=45o O P Maø NFB=1v(goùc nt chaén E D N C nửa đường tròn) BFN vuông cân F Hình 32 2/C/m MEBA Noäi tieáp: FME=45o vaø MAC=45o(tính chaát hình vuoâng)FME=MAC=45o DoFBN vuông cân F MABE noäi tieáp 3/C/m B;Q;P thaúng haøng: Do MABE ntMAB+NEB=2v;maø MAB=1v(t/c hình vuoâng)MEB=1v hay MEBN.Theo cmt NFBMQ là trực tâm BMNBQMN(1) Ta lại có BPN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BPMN(2) Từ (1)và(2)B;Q;P thẳng hàng 4/C/m MF//PC Do MFN=MEN=1vMFEN noäi tieápFNM=FEM(cuøng chaén cung MF) Maø FNP=FNM=FCD(cuøng chaén cung PF cuûa (O) FEM=FCPME//CP C/m:BP=BC:Do ME//CP và MEBNCPBN.Đường kính MN vuông góc với dây CPBN là đường trung trực CP hay BCP cân BBC=BP 5/C/m FPE vuoâng: Do FPNB noäi tieápFPB=FNB=45o(cmt) Dễ dàng cm QENP nội tiếpQPE=QNE=45ođpcm A B ÐÏ( &(ÐÏ (33) Baøi 33: Trên đường tròn tâm O lấy bốn điểm A;B;C;D cho AB=DB.AB và CD cắt E.BC cắt tiếp tuyến A đường tròn(O) Q;DB cắt AC K Cm: CB laø phaân giaùc cuûa goùc ACE c/m:AQEC noäi tieáp C/m:KA.KC=KB.KD C/m:QE//AD Q E B A K C O D 1/C/m CB laø phaân giaùc cuûa goùc ACE: Do ABCD noäi tieáp BCD+BAD=2v Maø BCE+BCD=2VBCE=BAD Do AB=AC(gt)BAD cân BBAD=BDA.ta laïi coù BDA=BCA (Cuøng chaén cung AB)BCE=BCA ñpcm 2/C/m AQEC noäi tieáp: Ta có sđ QAB= SđAB(góc tiếp Hình 33 tuyeán vaø moät daây) QAB=ADB=BCE(cmt) QAE=QCDhai điểm A1và C cùng làm với hai đầu Sñ ADB=Sñ AB đoạn QE…đpcm 3/C/m: KA.KC=KB.KD C/m KAB∽KDC 4/C/m:QE//AD: Do AQEC ntQEA=QCA(cuøng chaén cung QA) maø QCA=BAD(cmt) QEA=EADQE//AD ÐÏ( &(ÐÏ (34) Baøi 34: Cho (O) vaø tieáp tuyeán Ax.Treân Ax laáy hai ñieåm B vaø C cho AB=BC.Keû caùt tuyến BEF với đường tròn.CE và CF cắt (O) M và N.Dựng hình bình haønh AECD C/m:D nằm trên đường thẳng BF C/m ADCF noäi tieáp C/m: CF.CN=CE.CM C/m:MN//AC Gọi giao điểm AF với MN là I.Cmr:DF qua trung điểm NI C D B E N J O I A F M 1/C/m:D nằm trên đường thẳng BF Do ADCE laø hình bình hànhDE và AC là hai đường cheùo.Do B laø trung ñieåm cuûa AC B cuõng laø trung ñieåm DE hay DBE thaúng haøng.Maø B;E;F thaúng haøng D naèm treân BF 2/C/m ADCF noäi tieáp: Do ADCf laø hình bình haønh DCA=CAE(so le) Sđ CAE= Cung AE(góc tt vaø moät daây) maø EFA=sñ AE hai điểm F và C cùng làm với đầu đoạnCAE=EFADFA=DCA AD…ñpcm 3/C/m: CF.CN=CE.CM ta c/m CEF∽CNM 4/C/m:MN//AC Do ADCF ntDAC=DFC(cuøng chaén cung CD).Maø ADCE laø hình bình haønh DAC=ACE(so le),ta laïi coù CFD=NME(cuøng chaén cung EN)ACM=CMN AC//MN 5/C/m:DF qua trung điểm NI:Gọi giao điểm NI với FE là J Do NI//AC(vì MN//AB) Hình 34 JE NJ NJ//CB,theo heä quaû taleùt FB = BC Tương tự IJ//AB MaØ AB=AC(gt)JI=NJ JF JI = FB AB JI NJ = AB BC (35) ÐÏ( &(ÐÏ (36) Baøi 35: Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với nhau.Gọi M là điểm trên cung nhoû CB C/m:ACBD laø hình vuoâng AM cắt CD ;CB P và I.Gọi J là giao điểm DM và AB.C/m IB.IC=IA.IM Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác góc CJM Tính dieän tích AID theo R 1/C/m:ACBD laø hình vuoâng: C Vì O laø trung ñieåm cuûa AB;CD neân M ACBD laø hình bình haønh Mà AC=BD(đường kính) và ACDB P I (gt)hình bình haønh ACBD laø hình A O vuoâng B J 2/C/m: IB.IC=IA.IM Xeùt IAC vaø IBM coù CIA=MIB(ñ ñ) IAC=IBM(cuøng chaén cung CM) IAC∽IBMñpcm D 3/C/m IJ//PD Do ACBD laø hình vuoâng CBO=45o Hình 35 Vaø cung AC=CB=BD=DA AMD=DMB=45o o IMJ=IBJ=45 M và B cùng làm với hai đầu đoạn IJ…MBIJ nội tiếp IJB+IMB=2v maø IMB=1v IJB =1v hay IJAB.Maø PDAB(gt) IJ//PD C/m IJ laø phaân giaùc cuûa goùc CMJ: -Vi IJAB hay AJI=1v vaø ACI=1v(t/c hình vuoâng)ACIJ noäi tieáp IJC=IAC(cuøng chaén cung CI) maø IAC=IBM(cuøng chaén cungCM) -Vì MBJI noäi tieáp MBI=MJI(cuøng chaén cung IM) IJC= IJMñpcm 4/Tính dieän tích AID theo R: Do CB//AD(tính chất hình vuông) có ICB khoảng cách từ đến AD chính CA.Ta lại có IAD và CAD chung đáy và đường cao 1 SIAD=SCAD.Maø SACD= SABCD. SIAD= SABCD.SABCD= AB.CD (dieän tích có đường chéo vuông góc)SABCD= 2R.2R=2R2SIAD=R2 ÐÏ( &(ÐÏ (37) Baøi 37: Cho ABC(A=1v).Kẻ AHBC.Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC.Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tạ M;N C/m: OHO’ laø tam giaùc vuoâng C/m:HB.HO’=HA.HO C/m: HOO’∽HBA C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp C/m AMN vuoâng caân 1/C/m:OHO’ vuoâng: Do AHB=1v và O là tâm đường troøn noäi tieáp AHBO laø giao M O O’ N điểm ba đường phân giác tam giaùcAHO=OHB=45o B H C Tương tự AHO’=O’HC=45o Hình 36 O’HO=45o+45o=90o hay O’HO vuông H 2/C/m: HB.HO’=HA.HO Do ABC vuông A và AHBCABH=CAH(cuøng phuï o Phaân giaùc cuûa hai goùc treânOBH=O’AH vaø là vớiOHB=O’HA=45 goùc C) maø OB;O’A A HB OH HBO∽HAO’ HA = O ' H (1) ñpcm 3/c/m HOO’∽HBA HB HO HO ' HO Từ (1) HA = HO ' HA =HB (Tính chất tỉ lệ thức).Các cặp cạnh HO và HO’ HOO’tỉ lệ với các cặp cạnh HBA và góc xen BHA=O’HO=1v HOO’∽HBA 4/C/m:BMOH nt:Do HOO’∽HBAO’OH=ABH maø O’OH+MOH=2vMBH+MOH=2vñpcm C/m NCHO’ noäi tieáp: HOO’∽HBA(cmt) vaø hai tam giaùc vuoângHBA vaø HAC có góc nhọn ABH=HAC(cùng phụ với góc ABC) nênHBA∽HAC HOO’ ∽HACOO’H=ACH.Maø OO’H=NO’H=2v NCH+NO’H=2v ñpcm 5/C/m AMN vuoâng caân:Do OMBH ntOMB+OHB=2v maø AMO+OMB=2vAMO=OHB mà OHB=45oAMO=45o.Do AMN vuông A có AMO=45o.AMN vuông cân A (38) ÐÏ( &(ÐÏ (39) Baøi 37: Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D.Gọi giao điểm IK với tieáp tuyeán taïi M laø N C/m:AIMD noäi tieáp C?m CM.CA=CI.CD C/m ND=NC Cb cắt AD E.C/m E nằm trên đường tròn (O) và C là tâm đường troøn noäi tieáp EIM Giả sử C là trung điểm IK.Tính CD theo R D 1/C/m AIMD noäi tieáp: Sử dụng hai điểm I;M cùng làm với hai đầu đoạn AD… 2/c/m: CM.CA=CI.CD C/m hai CMD vaø CAI đồng dạng 3/C/m CD=NC: N M K E sñNAM= sñ cung AM (góc tt và dây) C A I O sñMAB= sñ cung AM NAM=MAB B Hình 37 Mà MBA=ACI(cùng phụ với góc CAI);CAI=KCM(đ đ)NCM+NMC NMC cân NNC=NM Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v và NCM=NMC NDM=NMDNMD cân NND=NMNC=ND(đpcm) 4/C/m C là tâm đường tròn nội tiếp EMI.Ta phải c/m C là giao điểm đường phaân giaùc cuûa EMI (xem caâu baøi 35) 5/Tính CD theo R: Do KI là trung trực AOAKO cân KKA=KO mà KO=AO(bán kính) KI R √3 R √3 CI=KC= = Aùp duïng PiTaGo R2 R R √ + = tam giaùc vuoâng ACI coù:CA= √ CI2 +AI2 = CIA∽BMA( hai 16 4 AKO là đềuKI= √ (40) CA IA tam giaùc vuoâng coù goùc CAI chung) BA =MA AB × AI MA= AC = 2R R R √7 : =¿ 4 R √7 R √7 R √3 = MC=AM-AC= áp dụng hệ thức câu 2CD= 28 ÐÏ( &(ÐÏ Baøi 38: Cho ABC.Goïi P laø moät ñieåm naèm tam giaùc cho goùc PBA=PAC.Gọi H và K là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC C/m AHPK noäi tieáp C/m HB.KP=HP.KC Gọi D;E;F là trung điểm PB;PC;BC.Cmr:HD=EF; DF=EK C/m:đường trung trực HK qua F A H K P D B E F Hình 38 C 1/C/m AHPK nội tiếp(sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m: HB.KP=HP.KC C/m hai vuoâng HPB vaø KPC đồng dạng 3/C/m HD=FE: Do FE//DO vaø DF//EP (FE vaø FD là đường trung bình PBC)DPEF laø hình bình haønh.DP=FE.Do D laø trung ñieåm cuûa BPDH laø trung tuyeán cuûa vuoâng HBPHD=DPDH=FE C/m tương tự có:DF=EK 4/C/m đường trung trực HK qua F Ta phải C/m EF là đường trung trực HK.Hay cần c/m FK=FH Do HD=DP+DBHDP=2ABP(góc ngoài tam giác cân ABP) Tương tự KEP=2ACP HDP=KEP(1) Maø ABP=ACD(gt) Do PEFD laø hình bình haønh(cmt)PDF=PEF(2) Từ (1) và (2)HDF=KEF mà HD=FE;KE=DFDHF∽EFK(cgc)FK=FH (41) ñpcm ÐÏ( &(ÐÏ Baøi 39: Cho hình bình hành ABCD(A>90o).Từ C kẻ CE;Cf;CG vuông góc với AD;DB;AB C/m DEFC noäi tieáp C/m:CF2=EF.GF Goïi O laø giao ñieåm AC vaø DB.Keû OICD.Cmr: OI ñi qua trung ñieåm cuûa AG Chứng tỏ EOFG nội tiếp A G B E F O D J I C Hình 39 1/C/mDEFC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F cùng làm với hai đầu đoạn thẳng CD) 2/C/m: CF2=EF.GF: Xeùt ECF vaø CGF coù: -Do DE FC ntFCE=FDE(cùng chắn cung FE);FDE=FBC(so le).Do GBCF nt (tự c/m)FBC=FGC(cuøng chaén cung FC)FGC=FCE -Do GBCF ntGBF=GCF(cuøng chaén cuøngG) maø GBF=FDC(so le).DoDEFC noäi tieáp FDC=FCE(cuøng chaén cuøngC)FCG=FECECF∽CGFñpcm (42) 3/C/m Oi qua trung điểm AG.Gọi giao điểm đường tròn tâm O đường kính AC là J Do AG//CJ và CGAGAGCJ là hình chữ nhật AG=CJ Vì OICJ nên I là trung điểm CJ(đường kính với dây…)đpcm 4/C/m EOFG noäi tieáp:Do CEA=AGC=1vAGCE nt (O)AOG=2GCE (góc nt nửa góc tâm cùng chắn cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối tứ giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc đối hbh)EOG=2.ADC(1) Do DEFC ntEFD=ECD(cuøng chaén cungDE);ECD=90o-EDC(2 goùc nhoïn cuûa vuông EDC)();Do GBCF ntGFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90oGBC(ßß).Từ (ß)và(ßß)EFD+GFB=90o-EDC+90o-GBC=180o-2ADC mà EFG=180o-(EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC(2) Từ (1) và (2)EOG=EFGEOFG nt ÐÏ( &(ÐÏ (43) Baøi 40: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B.Các đường thẳng AO cắt (O) C và D;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) E và F C/m:C;B;F thaúng haøng C/m CDEF noäi tieáp Chứng tỏ DA.FE=DC.EA C/m A là tâm đường tròn nội tiếp BDE Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O);(O’) D E A O I O’ C B F Hình 40 1/C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có:ABF=1v;ABC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường troøn) ABC+ABF=2vC;B;F thaúng haøng 2/C/mCDEF nội tiếp:Ta có AEF=ADC=1vE;D cùng làm với hai đầu đoạn CF… ñpcm 3/C/m: DA.FE=DC.EA Hai vuoâng DAC vaø EAF coù DAC=EAF(ñ ñ) DAC ∽ø EAFñpcm 4/C/m A là tâm đường tròn ngoại tiếp BDE.Ta phải c/m A là giao điểm đường phaân giaùc cuûa DBE (Xem caùch c/m baøi 35 caâu 3) 5/Để DE là tiếp tuyến chung đường tròn cần điều kiện là: Nếu DE là tiếp tuyến chung thì ODDE và O’EDE.Vì OA=OD AOD cân OODA=OAD.Tương tự O’AE cân O’O’AE=O’EA.Mà O’AE=OAD(đ đ) ODO’=OEO’D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ góc nhauODEO’ nt ODE+EO’O=2v.Vì DE laø tt cuûa (O) vaø (O’)ODE=O’ED=1vEO’O=1vODEO’ là hình chữ nhật DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A Vậy để DE là tt chung hai đường tròn thì hai đường tròn có bán kính nhau.(hai đường tròn nhau) (44) ÐÏ( &(ÐÏ Baøi 41: Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) E và F.Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB và AC với (O).Gọi H là trung điểm EF Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên đường tròn Đường thẳng BC cắt OA I và cắt đường thẳng OH K.C/m: OI.OA=OH.OK=R2 Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào? C/m KE vaø KF laø hai tieáp tyueán cuûa (O) B O I F y H E A C Hình 41 1/ C/m:A;B;C;H;O cuøng naèm treân đường tròn: Ta coù ABO=ACO(tính chaát tieáp tuyeán).Vì H l;aø trung ñieåm daây FE neân OHFE (đường kính qua trung ñieåm daây) hay kính AO K OHA=1v5 điểm A;B;O;C;H cùng nằm trên đường tròn đường kính AO 2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2 Do ABO vuông B có BI là đường cao.Aùp dung hệ thức lượng tam giác vuoâng ta coù:OB2=OI.OA ;maø OB=R.OI.OA=R2.(1) OA OH Xeùt hai vuoâng OHA vaø OIK coù IOH chung.AHO∽KIO OK =OI OI.OA=OH.OK (2) Từ (1) và (2)đpcm 4/C/m KE và KF là hai tt đuờng tòn (O) (45) OH OE -Xeùt hai EKO vaø EHO.Do OH.OK=R2=OE2 OE =OK vaø EOH chung EOK∽HOE(cgc)OEK=OHE maø OHE=1vOEK=1v hay OEEK taïi ñieåm E naèm treân (O)EK laø tt cuûa (O) -c/m ÐÏ( &(ÐÏ Baøi 42: Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt D.Qua A kẻ AE và AF vuông góc với BN và CM.Các đường thẳng AE và AF cắt BC I;K C/m AFDE noäi tieáp C/m: AB.NC=BN.AB C/m FE//BC Chứng tỏ ADIC nội tiếp Chú ý bài toán đúng AB>AC A N F E M D K B I C Hình 42 1/C/m AFDE nội tiếp.(Hs tự c/m) 2/c/m: AB.NC=BN.AB BD AB Do D là giao điểm các đường phân giác BN và CM củaABN DN = AN (1) BD BC Do CD laø phaân giaùc cuûa CBN DN =CN (2) BC AB Từ (1) và (2) CN = AN đpcm (46) 3/c/M fe//bc: Do BE là phân giác ABI và BEAIBE là đường trung trực AI.Tương tự CF là phân giác ACK và CFAKCF là đường trung trực AK E là F là trung điểm AI và AK FE là đường trung bình AKIFE//KI hay EF//BC 4/C/m ADIC nt: Do AEDF ntDAE=DFE(cuøng chaén cung DE) DAI=DCIADIC noäi tieáp Do FE//BCEFD=DCI(so le) ÐÏ( &(ÐÏ Baøi 43: Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài).Dựng đường tròn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC.Hai đường tròn (O) và (O’) cắt điểm thứ hai D Chứng tỏ D nằm trên BC Gọi M là điểm chính cung nhỏ DC.AM cắt DC E và cắt (O) N C/m DE.AC=AE.MC C/m AN=NE vaø O;N;O’ thaúng haøng Goïi I laø trung ñieåm MN.C/m goùc OIO’=90o Tính dieän tích tam giaùc AMC 1/Chứng tỏ:D nằm trên đường thẳng A BC:Do ADB=1v;ADC=1v O N O’ (góc nt chắn nửa đường tròn) ADB+ADC=2v I D;B;C thaúng haøng B D E C Hình 43 M 2 2 -Tính DB: Theo PiTaGo vuoâng ABC coù: BC= √ AC + AB =√ 15 +20 =25 Aùp duïng hệ thức lượng tam giác vuông ABC có: AD.BC=AB.ACAD=20.15:25=12 2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xeùt hai tam giaùc ADE vaø AMC.Coù ADE=1v(cmt) vaø AMC=1v (goùc nt chắn nửa đường tròn).Do cung MC=DB(gt)DAE=MAC(2 góc nt chắn cung nhau) DAE∽MAC DA DE AE = = MA MC AC (1)Ñpcm 3/C/m:AN=NE: Do BAAO’(ABC Vuông A)BA là tt (O’)sđBAE= sñ AM (47) SñAED=sñ (MC+AD) maø cung MC=DMcung MC+AD=AM AED =BAC BAE cân B mà BMAENA=NE C/m O;N;O’ thẳng hàng:ON là đường TB ABEON//BE và OO’//BE O;N;O’ thaúng haøng 4/Do OO’//BC và cung MC=MD O’MBCO’MOO’NO’M vuông O’ có O’I là trung tuyến INO’ cân IIO’M=INO’ mà INO’=ONA(đ đ);OAN cân OONA=OANOAI=IO’OOAO’I ntOAO’+OIO’=2v maø OAO’=1v OIO’=1v AB =9 DC=16 5/ Tính dieän tích AMC.Ta coù SAMC= AM.MC Ta coù BD= BC Ta laïi coù DA2=CD.BD=16.9AD=12;BE=AB=15DE=15-9=6AE= √ AD2 + DE2=6 √ Từ(1) tính AM;MC tính S ÐÏ( &(ÐÏ Baøi 44: Trên (O;R),ta đặt theo chiều,kể từ điểm A cung AB=60 o, cung BC=90o và cung CD=120o C/m ABCD laø hình thang caân Chứng tỏ ACDB Tính các cạnh và các đường chéo ABCD Goïi M;N laø trung ñieåm caùc caïnh DC vaø AB.Treân DA keùo daøi veà phía A laáy ñieåm P;PN caét DB taïi Q.C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc PMQ P A J N K I O B Q D M C E 1/C/m:ABCD laø hình thang caân:Do cung BC=90o BAC=45o (goùc nt nửa cung bị chắn).do cung AB=60o;BC=90o;CD=120o AD=90o ACD=45o BAC=ACD=45o.AB//CD Vì cung DAB=150o.Cung ABC =150o. BCD=CDA ABCD laø thang caân 2/C/mACDB: Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD.sñAID= sñ cung(AD+BC)=180o=90o.ACDB 3/Do cung AB=60oAOB=60oAOB là tam giác đềuAB=R o o Do cung BC=90 BOC=90 BOC vuông cân OBC=AD=R √ Do cung CD=120o Hình 44 DOC=120o.Keû OKCDDOK=60osin 60o= DK R √3 DK= CD=2DK=R OD √3 (48) -Tính AC:Do AIB vuông cân I2IC2=AB2IA=AB 1+ √¿ ¿ R √2 DB=IA+IC = ¿ R √2 R √6 + =¿ 2 √2 = R √2 Tương tự IC= R √6 ; AC = 4/PN caét CD taïi E;MQ caét AB taïi I;PM caét AB taïi J JN PN = ME PE AN PN = Do AN//DE DE PE NI NQ = Do NI//ME ME QE NB NQ = NB//ME DE QE Do JN//ME AN JN = DE ME Vì NB=NA JN NI ME =ME NI NB = ME DE NI=NJ.Mà MNAB(tc thang cân)JMI cân ởp MMN là phân giác… ÐÏ( &(ÐÏ Baøi45: Cho ABC có cạnh a.Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B tam giấcBC.Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB.Trên Dx lấy điểm E cho ED=DB(D và E nằm hai phía đường thẳng AB).Từ E kẻ EFBC Goïi O laø trung ñieåm EB C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a Kéo dài FE phía F,cắt (D) M.EC cắt (O) N.C/m EBMC là thang caân.Tính dieän tích c/m EC laø phaân giaùc cuûa goùc DAC C/m FD là đường trung trực MB Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng Tính diện tích phần mặt trăng tạo cung nhỏ EB hai đường troøn E A (49) N O D B F C M 1/Do ABC là tam giác có D là giao điểm đường phân giác góc A và BBD=DA=DC mà DB=DEA;B;E;C cách DAEBC nt (D) Tính DB.Aùp dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác AB ta coù: DB= 180 Sin n o AB =¿ o 2sin 60 = a √3 Do góc EDB=EFB=1vEDFB nội tiếp đường tròn tâm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go tam giaùc vuoâng EDB coù:EB2=2ED2=2.( EB= a √3 ) a √6 a √6 OE= 2/C/m EBMC laø thang caân: Góc EDB=90o là góc tâm (D) chắn cung EBCung EB=90ogóc ECN=45o.EFC vuông cân FFEC=45oMBC=45o(=MEC=45o) EFC=CBM=45oBM//EC.Ta có FBM vuông cân FBC=EM EBMC là thang caân Do EBMC là thang cân có hai đường chéo vuông gócSEBMC= BC.EM (BC=EM=a)SEBMC= a2 3/C/m EC laø phaân giaùc cuûa goùc DCA: Ta coù ACB=60o;ECB=45oACE=15o Do BD;DC là phân giác đều ABC DCB=ACD=30o và ECA=15o ECD=15o ECA=ECDEC laø phaân giaùc cuûa goùc ECA 4/C/m FD là đường trung trực MB: Do BED=BEF+FED=45o vaø FEC=FED+DEC=45oBEF=DEC vaø DEC=DCE=15o.Maø BE F=BDF(cuøng chaén cung BF) vaø NED=NBD(cuøng chaén cung ND)NBD=BDFBN//DF mà BNEC(góc nt chắn nửa đuờng tròn (O) (50) DF EC.Do DC//BM(vì BMCE laø hình thang caân)DFBM nhömg BFM vuông cân FFD là đường trung trực MB 5/C/m:A;N;D thaúng haøng: Ta coù BND=BED=45o (cuøng chaén cung DB) vaø ENB=90o(cmt);ENA là góc ngoài ANCENA=NAC+CAN=45o ENA+ENB+BND=180oA;N;D thaúng haøng 6/Goïi dieän tích maët traêng caàn tính laø:S S =Snửa (O)-S viên phân EDB a √6 S(O)=.OE2=.( )2= Ta coù: π × BD2 90 o 360o a2 SEBD= DB2= S quaït EBD= 2 a π a π S (O)= 12 π a √6 a2 π = = × 12 ( ) a2 (π − 2) a2 π a2 Svieân phaân=S quaït EBD - SEDB= = 12 12 2 a ( π − 2) a π a S = 12 - 12 = ÐÏ( &(ÐÏ Baøi 46: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gọi a là điểm trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F.Gọi D là điểm chính cung AC;DB kéo dài cắt tieáp tuyeán Cy taïi E C/m BD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC vaø OD//AB C/m ADEF noäi tieáp Gọi I là giao điểm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB C/m goùc AFD=AED F A 1/* C/mBD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC:Do cung AD=DC(gt)ABD= DBC(hai goùc nt chaén hai cung baèng nhau)BD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC *Do cung AD=DC (51) D E I B O F A C Hình 47 Hay OD laø phaân giaùc cuûa caân AOCODAC OD//BA Vì BAC là góc nt chắn nửa đường tròn BAAC 2/C/m ADEF noäi tieáp: Do ADB=ACB(cuøng chaén cung AB) ADB=AFE Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC) Maø ADB+ADE=2vAFE+ADE=2vADEF noäi tieáp 3/C/m: *CI=CE: 1 Ta coù:sñ DCA= sñ cung AD(goùc nt chaén cung AD) Sñ ECD= sñ cung DC (góc tt và dây) Maø cung AD=DCDCA=ECD hay CD laø phaân giaùc cuûa ICE.Nhöng CDDB (góc nt chắn nửa đt)CD vừa là đường cao,vừa là phân giác ICEICE cân CIC=CE *C/m IAD∽IBC(coù DAC=DBC cuøng chaén cung DC) 4/Tự c/m: ÐÏ(&(ÐÏ Baøi47: Cho nửa đtròn (O);đường kính AD.Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C cho cung AB<AC.AC cắt BD E.Kẻ EFAD F C/m:ABEF nt Chứng tỏ DE.DB=DF.DA C/m:I là tâm đường tròn nội tiếp CJD Gọi I là giao điểm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC 1/Sử dụng tổng hai góc đối 2/c/m: DE.DB=DF.DA Xeùt hai tam giaùc vuoâng BDA vaø FDE coù goùc D chung BDA∽FDEñpcm 3/C/m IE là tâm đường tròn ngoại tiếp FBC: (52) C B E I A F O M D Hình 47 Goïi M laø trung ñieåm ED *C/m:BCMF noäi tieáp: Vì FM laø trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng FEDFM=EM=MD= EDCác tam giác FEM;MFD cân MMFD=MDF và EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngoài MFD) Vì CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCF2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF BMF=BCFBCMF noäi tieáp *Ta coù BFM∽BIC vì FBM=CBI(BD laø phaân giaùc cuûa FBC-cmt) vaø BF BM BMF=BCI(cmt) BI = BC BF.BC=BM.BIu * IFM∽IBC vì BIC=FIM(ññ).Do BCMF noäi tieápCFM=CBM(cuøng chaén cung IB IC CM) FI =IM IC.IF=IM.IB v Lấy utrừv vế theo vế BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 48: Cho (O) đường kính AB;P là điểm di động trên cung AB cho PA<PB Dựng hình vuông APQR vào phía đường tròn.Tia PR cắt (O) C C/m ACB vuoâng caân Veõ phaân giaùc AI cuûa goùc PAB(I naèm treân(O);AI caét PC taïi J.C/m ñieåm J;A;Q;B cùng nằm trên đường tròn (53) Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP RR I P J Q A R ÂO B C Hình 48 1/ C/mABC vuoâng caân: Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa ñt) Vaø APB=1v ;Do APQR laø hvuông có PC là đường chéo PC laø pg cuûa goùc APB cung AC=CB daây AC=CB ABC vuoâng caân 2/C/m JANQ noäi tieáp: Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQPAJ=QPJ goùc PAJ=PQJ maø JAB=PAJ vaø PQJ+JQB=2v JAB+JQB=2vJQBA nt 3/C/m: CI.QJ=CJ.QP Ta cần chứng minh CIJ∽QPJ vì AIC=APC(cùng chắn cung AC) và APC=JPQ=45oJIC=QPJ Hơn PCI=IAP( cùng chắn cung PI);IAP=PQJ(cmt) PQJ=ICJ 4/ ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 49: (54) Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Trên nửa đường tròn lấy điểm M cho cung AM<MB.Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt tt Ax và By D và C Chứng tỏ ADMO nội tiếp Chứng tỏ AD.BC=R2 Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB N;MO cắt Ax F;MB cắt Ax E Chứng minh:AMFN là hình thang cân Xác định vị trí M trên nửa đường tròn để DE=EF F Hình 49 C E M D N A O B 1/C/m ADMO nt:Sử dụng tổng hai góc đối 2/C/m: AD.BC=R2 ßC/m:DOC vuông O: Theo tính chất hai tt cắt ta có ADO=MDO MOD=DOA.Tương tự MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v ßAùp dụng hệ thức lượng tam giác vuông DOC có OM là đường cao ta coù:DM.MC=OM2.Maø DM=AD;MC=CB(t/c hai tt caét nhau) vaø OM=R ñpcm 3/Do AD=MD(t/c hai tt cắt nhau)và ADO=ODM OD là đường trung trực AM hay DOAM Vì FAON;NMFO(t/c tt) vaø FA caét MN taïi D D là trực tâm FNODOFN.Vậy AM//FN Vì OAM cân OOAM=OMA.Do AM//FN FNO=MAO và AMO=NFO FNO=NFO vaäy FNAM laø thang caân 4/Do DE=FE neân EM laø trung tuyeán cuûa vuoâng FDMED=EM.u Vì DMA=DAM vaø DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1vEDM=DEM hay EDM cân D hay DM=DEv.Từ uvà vEDM là ODM=60oAOM=60o.Vậy M nằm vị trí cho cung AM=1/3 nửa đường tròn ÐÏ(&(ÐÏ (55) Baøi 50: Cho hình vuông ABCD,E là điểm thuộc cạnh BC.Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE ,đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự H và K Chứng minh:BHCD nt Tính goùc CHK C/m KC.KD=KH.KB Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào? A D B E C H K 1/ C/m BHCD nt(Sử dụng H và C cùng làm với hai đầu đoạn thaúng DB…) 2/Tính goùc CHK: Do BDCE nt DBC=DHK(cuøng chaén cung DC) maø DBC=45o (tính chaát hình vuoâng)DHC=45o maø DHK=1v(gt)CHK=45o 3/C/m KC.KD=KH.KB Chứng minh hai tam giác vuông Hình 50 KCB và KHD đồng dạng 4/Do BHD=1v không đổi E di chuyển trên BC thì H di động trên đường tròn đường kính DB ÐÏ(&(ÐÏ (56) Heát phaàn I (57)