ĐLL và luật phân phối xác suất

ĐLL và luật phân phối xác suất

ThsThsThs. . . NguyễnNguyễnNguyễnCôngCôngCôngTrTrTríííCopyright 2001Copyright 2001Copyright 2001ĐĐAẠÏI LI LƯƯƠÏNG NGẪU NHIÊN NG NGẪU NHIÊN VAVÀØCACÁÙC LUAC LUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI XAI XÁÙC SUAC SUẤÁTT1.1.ĐĐAẠÏI LI LƯƯƠÏNG NGẪU NHIÊNNG NGẪU NHIÊN(XEM)(XEM)2.2.LUALUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI XAI XÁÙC SUAC SUẤÁT RƠT RỜØI RAI RẠÏCC(XEM)(XEM)3.3.HAHÀØM PHÂN PHOM PHÂN PHỐÁI CUI CỦÛA A ĐĐLNNLNN(XEM)(XEM)4.4.LUALUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI XAI XÁÙC SUAC SUẤÁT LIÊN TUT LIÊN TỤÏCC(XEM)(XEM)5.5.BIEBIỂÅU DIỄN U DIỄN ĐĐOỒÀTHỊTHỊCUCỦÛA A ĐĐLNN LIÊN TULNN LIÊN TỤÏCC(XEM)(XEM)6.6.LUALUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI I ĐĐOỒÀNG THƠNG THỜØII(XEM)(XEM)7.7.ĐĐLNN LNN ĐĐOỘÄC LAC LẬÄPP(XEM)(XEM)8.8.BABÀØI TAI TẬÄPP(XEM)(XEM)CHƯƠNG 2ThsThs. . NguyễnNguyễn CôngCông TrTrííqqGiaGiảûssửửtrongtrongkhôngkhônggiangianmẫumẫutatagagáùnnchochomỗimỗiphaphầànnttửửmẫumẫumomộättcon con sosốá, , sausađoóùtatđònhònhnghnghóóaamomộätthahàømmtrêntrênkhôngkhônggiangianmẫumẫunanàøyyththììhahàømmnanàøyưđươợïccgogọïiilalàøđđaạïiillưươợïngngngẫungẫunhiênnhiên(hay (hay biebiếánnngẫungẫunhiênnhiên) ) hay hay chchíínhnhxaxáùcchơnhơnlalàøhahàømmngẫungẫunhiênnhiên. . ThThưươờøngngkykýùhiehiệäuĐLNN LNN babằèngngmẫumẫuttựựin in hoahoa, , chachẳúngnghahạïnnX, Y hay Z.X, Y hay Z.X: X: ΩΩ→→ℜℜA A →→X(A)X(A)qqNoNóùiichungchung, , momộättĐĐLNN LNN chchỉỉraramomộättyýùnghnghóóaavavậättlylýù, , hhììnhnhhohọïcchay hay momộättyýùnghnghóóaananàøođoóù ĐĐAẠÏI LI LƯƯƠÏNG NGẪU NHIÊNNG NGẪU NHIÊNqqVVÍÍDUDỤÏ2.1.2.1.TungTungmomộättđđoồàngngxuxuhaihailalầànn, , tatacocóùkhôngkhônggiangianmẫumẫuΩΩ= {NN, NS, SN, SS}= {NN, NS, SN, SS} GoGọïiiX X lalàøsosốálalầànnmamặëttngngửửaaxuaxuấátthiehiệänn, , vơvớùiimỗimỗiphaphầànnttửửmẫumẫutatacocóùthethểågagáùnnmomộättsosốáchochoX X nhnhưưsausau: : BaBảûngng22--11qqMoMộättĐĐLNN LNN nhanhậänncacáùccgiagiáùtròtròhhưữũuhahạïnnhay hay cacáùccgiagiáùtròtròvôvôhahạïnnđđeếámmđưđươợïccththììđưđươợïccgogọïiilalàøĐĐLNN LNN rơrờøiirarạïcc; ; momộättĐĐLNN LNN nhanhậänncacáùccgiagiáùtròtròvôvôhahạïnnkhôngkhôngđđeếámmđưđươợïccththììđưđươợïccgogọïiilalàøĐĐLNN LNN khôngkhôngrơrờøiirarạïcc00111122XXSSSSSNSNNSNSNNNNPhaPhầànnttửửmẫumẫu((→→))((→→VD2.2)VD2.2)ĐĐAẠÏI LI LƯƯƠÏNG NGẪU NHIÊNNG NGẪU NHIÊNTRTRƯƯƠỜØNG HƠNG HÏP P ĐĐLNN RƠLNN RỜØI RAI RẠÏCCqqGoGọïiiX X lalàøbiebiếánnngẫungẫunhiênnhiênrơrờøiirarạïcc. . GiaGiảûssửửcacáùccgiagiáùtròtròcucủûaaX X lalàøxx11, x, x22,,……, , xxKK,,đưđươợïccxexếápptheotheomomộättththứứttựựnanàøođoóùvavàøcacáùccgiagiáùtròtròcucủûaaX X cocóùxaxáùccsuasuấáttnhnhưưsausauP(X = P(X = xxkk) = ) = f(xf(xkk), k = 1, 2, ), k = 1, 2, ……(1)(1)Hay Hay P(X = x) = P(X = x) = f(xf(x))(2)(2)qqVaVậäyyf(xf(x) ) lalàøhahàømmxaxáùccsuasuấáttkhikhi1) 1) f(xf(x) ) ≥≥0 0 vavàø2)2)QUY LUAQUY LUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI XAI XÁÙC SUAC SUẤÁT T f(xf(xkk)) . . f(xf(x22))f(xf(x11))f(xf(x))xxkk xx22xx11XX( )1xfx=∑qqVVÍÍDUDỤÏ2.2.2.2.TTììmmlualuậättphânphânphophốáiixaxáùccsuasuấáttvơvớùiiđđaạïiillưươợïngngngẫungẫunhiênnhiênX X cucủûaavvíídudụï2.12.1 GiaGiảûssửửđđoồàngngxuxucôngcôngbabằèngng, , tatacocóùP(NN) = P(NN) = ¼¼, P(SN) = , P(SN) = ¼¼, P(NS) = , P(NS) = ¼¼, P(SS) = , P(SS) = ¼¼ththììP(X = 0) = P(SS) = P(X = 0) = P(SS) = ¼¼P(X = 1) = P(SNP(X = 1) = P(SN∪∪NSNS) = P(SN) + P(NS) = ) = P(SN) + P(NS) = ½½P(X = 2) = P(NN) = P(X = 2) = P(NN) = ¼¼LuaLuậättphânphânphophốáiixaxáùccsuasuấáttđưđươợïccchochobơbởûiiBaBảûngng22--22¼¼½½¼¼f(xf(x))221100XX((→→btbt15.)15.)((→→VD 2.3)VD 2.3)QUY LUAQUY LUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI XAI XÁÙC SUAC SUẤÁT T HaHàømmphânphânphophốáiittííchchlũylũy, , gogọïiitatắéttlalàøhahàømmphânphânphophốáiicucủûađaạïiillưươợïngngngẫungẫunhiênnhiênX X đưđươợïccđđònhònhnghnghóóaanhnhưưsausauF(xF(x) = P(X ) = P(X ≤≤x)x)(3)(3)trongtrongđđoóùx x lalàøsosốáththựựcc, , nghnghóóaalalàø--∞∞< x < < x < ∞∞ HaHàømmphânphânphophốáiiF(xF(x))cocóùcacáùccttíínhnhchachấáttsausau::1.1.F(xF(x))lalàøhahàømmkhôngkhônggiagiảûmmnghnghóóaalalàø, , F(xF(x) ) ≤≤F(yF(y) ) nenếáuux x ≤≤yy 2.2 .3.3.F(xF(x))lalàøhahàømmliênliêntutụïccphaphảûiiNghNghóóaalalàø, , , , vơvớùiimomọïiix].x].HAHÀØM PHÂN PHOM PHÂN PHỐÁI CUI CỦÛA A ĐĐLNNLNN( )lim0xFx→−∞=( )lim1xFx→∞=( ) ( )0limhFxhFx+→+=Nguyen Cong TriPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.comCHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT____________________________________________________________Ths. Nguyễn Công Trí______________________________http://nctri.co.cc qqHaHàømmphânphânphophốáiicucủûaĐLNN LNN rơrờøiirarạïccX X cocóùthethểåthuthưđươợïccttừừhahàømmxaxáùccsuasuấáttcucủûaanonóùbabằèngngcacáùchch, , vơvớùiimomọïiix x trongtrongkhoakhoảûngng((--∞∞,,∞∞),),(4)(4)NeNếáuuX X lalàøcacáùccgiagiáùtròtròhhưữũuhahạïnnxx11, x, x22, . . . , , . . . , xxnn, , ththììhahàømmphânphânphophốáiiđưđươợïccxaxáùccđđònhònhbơbởûiibiebiểåuuththứứcc(5)(5)( ) ( ) ( )uxFxpXxfu≤=≤=∑()( )( ) ( )( ) ( ) ( )11121223120nnxxfxxxxfxfxxxxFxfxfxfxxx−∞<<≤<+≤<=+++≤<∞MMLHAHÀØM PHÂN PHOM PHÂN PHỐÁI CUI CỦÛA A ĐĐLNNLNNqqVVÍÍDUDỤÏ2.3. 2.3. (a) (a) TTììmmhahàømmphânphânphophốáiicucủûađaạïiillưươợïngngngẫungẫunhiênnhiênX X trongtrongvvíídudụï2.22.2. (b) . (b) hãyhãyvẽvẽđđoồàthòthòhahàømmphânphânphophốáiicucủûaaX.X.qq(a) (a) hahàømmphânphânphophốáiicucủûaĐLNN X LNN X ()001014312412xxFxxx−∞<<≤<=≤<≤<∞HAHÀØM PHÂN PHOM PHÂN PHỐÁI CUI CỦÛA A ĐĐLNNLNNqqĐĐoồàthòthòhahàømmphânphânphophốáiicucủûaaX.X.HAHÀØM PHÂN PHOM PHÂN PHỐÁI CUI CỦÛA A ĐĐLNNLNNTRTRƯƯƠỜØNG HƠNG HÏP P ĐĐLNN LIÊN TULNN LIÊN TỤÏCCqqĐĐLNN LNN khôngkhôngrơrờøiirarạïccX X đưđươợïccgogọïiilalàøliênliêntutụïcc, , nenếáuuhahàømmphânphânphophốáiicucủûaanonóùcocóùthethểåđưđươợïccbiebiểåuudiễndiễnnhnhưưsausau(7)(7)qqTrongTrongđđoóùhahàømmmamậättđđoộäf(xf(x))cocóùttíínhnhchachấátt::§§f(xf(x) ) ≥≥00§§qqTheo Theo khakháùiinieniệämmtrêntrên, , nenếáuuX X lalàøĐĐLNN LNN liênliêntutụïccththììP(X = x) = 0 P(X = x) = 0 vavàøxaxáùccsuasuấáttcucủûaaXX∈∈(a,b(a,b) ) lalàø(8)(8)QUY LUAQUY LUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI XAI XÁÙC SUAC SUẤÁT T ()1fxdx∞−∞=∫( ) ( ) () ( )xFXPXxfudux−∞=≤=−∞<<∞∫( ) ()baPaXbfxdx<<=∫qqVVÍÍDUDỤÏ2.4.2.4.ChoChọïnnngẫungẫunhiênnhiênmomộättngngưươờøiittừừmomộättnhonhóùmmgogồàmmcacáùccquiquiùùôngông, , xaxáùccsuasuấáttchiechiềàuucaocaoX X cucủûaangngưươờøiinanàøyychchíínhnhxaxáùcc68 inches 68 inches ththììbabằèngngkhôngkhông. . TuyTuynhiênnhiên, , cocóùmomộättxaxáùccsuasuấáttcucủûaachiechiềàuucaocaoX X nanằèmmgigiưữãa67,00067,000 inches inches vavàø68,50068,500 inches inches sẽsẽlalàømomộättsosốáddưươngơng qqMoMộätthahàømmf(xf(x))thothỏûaattíínhnhchachấátt1 1 vavàø2 2 ơởûtrêntrênsẽsẽđưđươợïccgogọïiilalàøhahàømmmamậättđđoộävavàøcôngcôngththứứccttíínhnhxaxáùccsuasuấáttsẽsẽđưđươợïccttíínhnhtheotheobiebiểåuuththứứcc(8).(8).QUY LUAQUY LUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI XAI XÁÙC SUAC SUẤÁT T qqVVÍÍDUDỤÏ2.5.2.5.(a) (a) TTììmmhahằèngngsosốác c saosaochochohahàømmlalàøhahàømmmamậättđđoộä, (b) , (b) ttíínhnhP(1 < X < 2).P(1 < X < 2).(a)(a)f(xf(x))thothỏûaattíínhnhchachấátt1 1 khikhic c ≥≥0, 0, đđeểåf(xf(x))lalàøhahàømmmamậättđđoộäththììf (x)f (x)phaphảûiithothỏûaattíínhnhchachấátt2. 2. Ta Ta cocóùf(xf(x))lalàøhahàømmmamậättđđoộäththìì9c = 1 9c = 1 ⇒⇒c = 1/9.c = 1/9.(b) (b) ()2030cxxfxkhac<<=()33320093cxfxdxcxdxc∞−∞===∫∫()232211181712927272727xPXxdx<<===−=∫QUY LUAQUY LUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI XAI XÁÙC SUAC SUẤÁT T Nguyen Cong TriPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.comCHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT____________________________________________________________Ths. Nguyễn Công Trí______________________________http://nctri.co.cc qqVVÍÍDUDỤÏ2.6.2.6.(a) (a) TTììmmhahàømmphânphânphophốáiicucủûađaạïiillưươợïngngngẫungẫunhiênnhiêntrongtrongVVÍÍDUDỤÏ2.5.2.5.(b) (b) DuDùøngngkekếáttquaquảûcâucâu(a) (a) ttììmmP(1 < x P(1 < x ≤≤22).).(a)(a)Ta Ta cocóùNeNếáuux < 0, x < 0, ththììF(xF(x) = 0. ) = 0. NeNếáuu0 0 ≤≤x < 3, x < 3, ththììNeNếáuux x ≥≥3, 3, ththììVaVậäyyhahàømmphânphânphophốáiicacầànnttììmmlalàø() ( ) ()xFxPXxfudu−∞=≤=∫() ()32001927xxxFxfuduudu===∫∫  33203031019xxFxfudufuduududu()300032713xxFxxx<=≤<≥QUY LUAQUY LUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI XAI XÁÙC SUAC SUẤÁT T (b)(b)Ta Ta cocóùTa Ta cocóùkekếáttquaquảûgiogiốángngnhnhưưtrongtrongvvíídudụï2.52.5qqChuChúùyýù TrongTrongtrtrưươờøngnghơhợïppf(xf(x))liênliêntutụïcc, , nenếáuukhôngkhôngcocóùmomộättphapháùttbiebiểåuunanàøookhakháùcc, P(X = x) , P(X = x) = 0. Do = 0. Do đđoóùtatacocóùthethểåthaythaythethếámomộätthoahoặëcccacảûhaihaikykýùhiehiệäuu““<<””trongtrongcôngcôngththứứcc(8) (8) bơbởûii““≤≤””. . VVììvavậäyy, , trongtrongvvíídudụï2.5, 2.5, tatacocóù( ) ( ) ( )() ()33122121217272727PXPXPXFF<≤=≤−≤=−=−=( ) ( ) ( ) ( )71212121227PXPXPXPX≤≤=≤<=<≤=<<=QUY LUAQUY LUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI XAI XÁÙC SUAC SUẤÁT T qqNeNếáuuf(xf(x) ) lalàøhahàømmmamậättđđoộäcucủûaĐLNN LNN liênliêntutụïccX X ththììđđoồàthòthòy = y = f(xf(x) ) biebiểåuudiễndiễnnhnhưưHHììnhnh. 2. 2--2. 2. HHììnhnh. 2. 2--22qqDo Do f(xf(x))≥≥0,0,nênnênđưđươờøngngcong cong luônluônbênbêntrêntrêntrutrụïccx. x. ToaToàønnbobộädiediệännttííchchgiơgiớùiihahạïnnbơbởûiiđưđươờøngngcong cong vavàøtrutrụïccx x babằèngng1. 1. VeVềàyýùnghnghóóaahhììnhnhhohọïcc, , P(aP(a<X < b) <X < b) đưđươợïccbiebiểåuudiễndiễnbơbởûiidiediệännttííchchđưđươợïcctôtôđđaậämmtrongtrongHHììnhnh. 2. 2--2.2.BIEBIỂÅU DIỄN U DIỄN ĐĐOỒÀTHỊ CUTHỊ CỦÛA A ĐĐLNN LIÊN TULNN LIÊN TỤÏCCqqHaHàømmphânphânphophốáiiF(xF(x) = P(X ) = P(X ≤≤x) x) lalàøhahàømmđđơnơnđđieiệäuutăngtăng. . F(xF(x) ) tăngtăngttừừ0 0 đđeếánn1 1 vavàøđưđươợïccbiebiểåuudiễndiễnbơbởûiiđưđươờøngngcong cong nhnhưưtrongtrongHHììnhnh. 2. 2--3.3.HHììnhnh. 2. 2--33BIEBIỂÅU DIỄN U DIỄN ĐĐOỒÀTHỊ CUTHỊ CỦÛA A ĐĐLNN LIÊN TULNN LIÊN TỤÏCC1.1.TRTRƯƯƠỜØNG HƠNG HÏP P ĐĐLNN RƠLNN RỜØI RAI RẠÏC.C.NeNếáuuX X vavàøY Y lalàøhaihaiĐĐLNN LNN rơrờøiirarạïcc. Ta . Ta đđònhònhnghnghóóaahahàømmxaxáùccsuasuấáttđđoồàngngthơthờøiicucủûaaX X vavàøY Y nhnhưưsausauP(X= x, Y= y) = P(X= x, Y= y) = f(xf(x, y), y)(13)(13)trongtrongđđoóù1.1.f(x,yf(x,y) ) ≥≥0 0 2.2.qqGiaGiảûssửửX = {xX = {x11, x, x22, ., , ., xxmm} } vavàøY = {yY = {y11, y, y22, ., , ., yynn} } ththììxaxáùccsuasuấáttcucủûaabiebiếánncocốáX = X = xxjjvavàøY = Y = yykkchochobơbởûiibiebiểåuuththứứccP(X= P(X= xxjj, Y= , Y= yykk) = ) = f(xf(xjj, , yykk))(14)(14)LUALUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI I ĐĐOỒÀNG THƠNG THỜØI I ( ),1xyfxy=∑∑qqHaHàømmxaxáùccsuasuấáttđđoồàngngthơthờøiicucủûaaX X vavàøY. Y. qqHaHàømmxaxáùccsuasuấáttbiênbiên((lelềà) ) cucủûaaX, X, cucủûaaY; Y; hahàømmphânphânphophốáiixaxáùccsuasuấáttđđoồàngngthơthờøiicucủûaaX X vavàøY Y lalàøToTổångng11ff22(y(ynn)) ff22(y(y22))ff22(y(y11))ToTổångngcocộättff11(x(xmm))f(xf(xmm,y,ynn))f(xf(xmm,y,y22))f(xf(xmm,y,y11))xxmm ……ff11(x(x22))f(xf(x22,y,ynn)) f(xf(x22,y,y22))f(xf(x22,y,y11))xx22ff11(x(x11))f(xf(x11,y,ynn)) f(xf(x11,y,y22))f(xf(x11,y,y11))xx11ToTổångngdodòøngngyynn yy22yy11YYXX( ) ( ) ( )11,;njjjkiPXxfxfxy====∑( )()( )21,mkkjkjPYyfyfxy====∑( ) ( ) ( ),,,uxvyFxyPXxYyfuv≤≤=≤≤=∑∑LUALUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI I ĐĐOỒÀNG THƠNG THỜØI I Nguyen Cong TriPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.comCHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT____________________________________________________________Ths. Nguyễn Công Trí______________________________http://nctri.co.cc 2.2.TRTRƯƯƠỜØNG HƠNG HÏP P ĐĐLNN LIÊN TULNN LIÊN TỤÏC.C.CaCảûhaihaiĐĐLNN LNN đđeềàuuliênliêntutụïcc, , ttưươngơngttựựnhnhưưtrtrưươờøngnghơhợïpprơrờøiirarạïcc, , tatathaythaykykýùhiehiệäuutotổångngbabằèngngkykýùhiehiệäuuttííchchphânphân. . HaHàømmphânphânphophốáiixaxáùccsuasuấáttđđoồàngngthơthờøiicucủûaahaihaiĐĐLNN X LNN X vavàøY (Y (cocòønnđưđươợïccgogọïiilalàøhahàømmmamậättđđoộäđđoồàngngthơthờøiicucủûaaX X vavàøY) Y) đưđươợïccxaxáùccđđònhònhbơbởûii1.1.f(x,yf(x,y) ) ≥≥002.2.qqTrênTrênđđoồàthòthòz =z =f(x,yf(x,y) ) biebiểåuudiễndiễnmomộättmamặëtt, , đưđươợïccgogọïiilalàømamặëttxaxáùccsuasuấátt, , đưđươợïccminhminhhoahoạïtrongtrongHHììnhnh. 2. 2--4. 4. ( ),1fxydxdy∞∞−∞−∞=∫∫LUALUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI I ĐĐOỒÀNG THƠNG THỜØI I HHììnhnh. 2. 2--44qqToaToàønnbobộäthethểåttííchchgiơgiớùiihahạïnnbơbởûiimamặëttnanàøyyvavàømamặëttphaphẳúngngxyxyththììbabằèngng1. 1. qqXaXáùccsuasuấáttcucủûaaXX∈∈(a(a, b) , b) khikhiYY∈∈((c,dc,d) ) trêntrênđđoồàthòthòlalàøthethểåttííchchđưđươợïcctôtôđđaậämmtrongtrongHHììnhnh. 2. 2--4.4.qqToTổångngquaquáùtt, , nenếáuuA A lalàømomộättbiebiếánncocốáththììtotồànntatạïiimomộättmiemiềànnAAcucủûaamp mp xyxyttưươngơngứứngngvơvớùiiA,A,( ) ( ),,bdxaycPaXbcYdfxydxdy==<<<<=∫∫( ) ( ),APAfxydxdyℜ=∫∫LUALUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI I ĐĐOỒÀNG THƠNG THỜØI I qqHaHàømmphânphânphophốáiiđđoồàngngthơthờøiicucủûaaX, Y X, Y trongtrongtrtrưươờøngnghơhợïppnanàøyưđươợïccđđònhònhnghnghóóaanhnhưưsausau(22)(22)Ta Ta cocóù(23)(23)TTừừ(22) (22) tatacocóùlalầànnllưươợïtthahàømmphânphânphophốáiibiênbiên((hahàømmphânphânphophốáiilelềà) ) cucủûaaX X vavàøY.Y.(24)(24)(25)(25)( ) ( ) ( ),,,xyuvFxyPXxYyfuvdudv=−∞=−∞=≤≤=∫∫( )2,Ffxyxy∂=∂∂( ) () ( )1,xuuPXxFxfuvdudv∞=−∞=−∞≤==∫∫( ) () ( )2,yuuPYyFyfuvdudv∞=−∞=−∞≤==∫∫LUALUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI I ĐĐOỒÀNG THƠNG THỜØI I qqLaLấáyđaạïoohahàømmcucủûaa(24) (24) đđoốáiivơvớùiix x vavàø(25) (25) đđoốáiivơvớùiiy y ththììlalầànnllưươợïtttatacocóùhahàømmmamậättđđoộäbiênbiên((hahàømmmamậättđđoộälelềà)), hay , hay đđơnơngiagiảûnnlalàøhahàømmmamậättđđoộäcucủûaaX X vavàøcucủûaaY Y đưđươợïccchochobơbởûiibiebiểåuuththứứcc(26)(26)() ( )1,vfxfxvdv∞=−∞=∫() ( )2,ufyfxudu∞=−∞=∫LUALUẬÄT PHÂN PHOT PHÂN PHỐÁI I ĐĐOỒÀNG THƠNG THỜØI I 1.1.TRTRƯƯƠỜØNG HƠNG HÏP P ĐĐLNN RƠLNN RỜØI RAI RẠÏC.C.NeNếáuubiebiếánncocốáX= x X= x vavàøbiebiếánncocốáY= y Y= y lalàøcacáùccbiebiếánncocốáđđoộäcclalậäppvơvớùiimomọïiix x vavàøy, y, ththììtatanonóùiiX X vavàøY Y lalàøcacáùccĐĐLNN LNN nhiênnhiênđđoộäcclalậäpp. . TrongTrongtrtrưươờøngnghơhợïppnhnhưưvavậäyyththììP(X= x, Y = y) = P(X = P(X= x, Y = y) = P(X = x)P(Yx)P(Y= y)= y)(27)(27)hay hay f(xf(x, y) = f, y) = f11(x)f(x)f22(y)(y)(28)(28)qqNgNgưươợïcclalạïii, , vơvớùiimomọïiix x vavàøy, y, hahàømmxaxáùccsuasuấáttđđoồàngngthơthờøiif(x,yf(x,y))cocóùthethểåđưđươợïccbiebiểåuudiễndiễnqua qua ttííchchcucủûaamomộätthahàømmtheotheobiebiếánnx x vavàømomộätthahàømmtheotheobiebiếánny y ththììX X vavàøY Y lalàøđđoộäcclalậäpp. . NeNếáuuf(x,yf(x,y))khôngkhôngthethểåbiebiểåuudiễndiễnđưđươợïccnhnhưưvavậäyyththììX X vavàøY Y đưđươợïccgogọïiilalàøphuphụïthuothuộäcc ĐĐAẠÏI LI LƯƯƠÏNG NGẪU NHIÊN NG NGẪU NHIÊN ĐĐOỘÄC LAC LẬÄPP2.2.TRTRƯƯƠỜØNG HƠNG HÏP P ĐĐLNN LIÊN TULNN LIÊN TỤÏC.C.NeNếáuuX, Y X, Y liênliêntutụïcc, , tatanonóùiiX, Y X, Y đđoộäcclalậäppnenếáuucacáùccbiebiếánncocốáX X ≤≤x x vavàøY Y ≤≤y y đđoộäcclalậäppvơvớùiimomọïiix x vavàøy. Ta y. Ta cocóùP(X P(X ≤≤x, Y x, Y ≤≤y) = P(X y) = P(X ≤≤x)P(Yx)P(Y≤≤y)y)(29)(29)hayhayF(xF(x, y) , y) = = FF11(x)F(x)F22(y)(y)(30)(30)trongtrongđđoóùFF11(x) (x) vavàøFF22(y) (y) lalầànnllưươợïttlalàøcacáùcchahàømmphânphânphophốáii((biênbiên) ) cucủûaaX X vavàøY.Y.qqVơVớùiicacáùccĐĐLNN LNN đđoộäcclalậäppliênliêntutụïcccocóùhahàømmmamậättđđoộäđđoồàngngthơthờøiif(x,yf(x,y))= = ff11(x)f(x)f22(y)(y)ththììcacáùcchahàømmff11(x), f(x), f22(y)(y)lalầànnllưươợïttlalàøhahàømmmamậättđđoộäbiênbiên((lelềà) ) cucủûaaX X vavàøY.Y.ĐĐAẠÏI LI LƯƯƠÏNG NGẪU NHIÊN NG NGẪU NHIÊN ĐĐOỘÄC LAC LẬÄPPNguyen Cong TriPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.comCHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT____________________________________________________________Ths. Nguyễn Công Trí______________________________http://nctri.co.cc CHƯƠNG 2 ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐLNN RỜI RẠC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1. Giả sử tung một cặp xúc xắc công bằng và gọi đại lượng ngẫu nhiên X là tổng số điểm trên hai mặt xuất hiện của cặp xúc xắc. Tìm luật phân phối xác suất của X. Hướng dẫn: X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f (x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/362.2. Tìm luật phân phối xác suất của con trai và con gái trong một gia đình có 3 con, giả sử xác suất sinh con trai và con gái bằng nhau. Hướng dẫn: X 0 1 2 3f (x) 1/8 3/8 3/8 1/8HÀM PHÂN PHỐI RỜI RẠC 2.3. (a) Tìm hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X trong bài tập 2.1, (b) hãy vễ đồ thò của phân phối này. 2.4. (a) Tìm hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X trong bài tập 2.2, (b) hãy vễ đồ thò của phân phối này. ĐLNN LIÊN TỤC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.5. Một đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = c/(x2 + 1), trong đó - < x < .(a) Tìm giá trò của hằng số c. (b) Tìm xác suất của X2 nằm giữa 1/3 và 1. Đs: (a) c = 1/ , (b) 1/6.2.6. Tìm hàm phân phối ứng với hàm mật độ của bài tập 2.5. Đs: ½ + (1/ )tan-1x2.7. Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là21,0, 0xexFxx0Tìm (a) hàm mật độ, (b) xác suất của X > 2 và (c) xác suất của 3 < X 4. Đs: (b) e-4LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI VÀ ĐLNN ĐỘC LẬP2.8. Hàm xác suất đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X và Y là f(x,y)= c(2x + y), trong đó x và y đều là số nguyên sao cho 0 x 2, 0 y 3û và ngược lại f(x,y) = 0. Nguyen Cong TriPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.comCHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT____________________________________________________________Ths. Nguyễn Công Trí______________________________http://nctri.co.cc (a)Tìm giá trò của hằng số c. (b)Tìm P(X = 2, Y = 1). (c)Tìm P(X 1, Y 2). Đs: (a) c = 1/42,(b)5/42, (c) 4/7.2.9. Tìm hàm xác suất biên (a) của X và (b) của Y với các đại lượng ngẫu nhiên củabài tập 2.8. 2.10. Chứng minh các đại lượng ngẫu nhiên X và Y trong bài tập 2.8 là phụ thuộc. 52.11. Hàm mật độ đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục X và Y là 04,1,0cxy x yfxyngủọûclại(a)Tìm giá giá trò của hằng số c. (b) Tìm P(1 < X < 2, 2 < Y < 3).(c) Tìm P(X 3, Y 2).Đs: (a) c=1/96, (b) 5/128, (c) 7/128.BÀI TẬP BỔ SUNG ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.12. Tung một đồng xu ba lần. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên thể hiện số lần xuất hiện mặt ngửa, lập bảng phân phối xác suất của X. Đs:X 0 1 2 3f (x) 1/8 3/8 3/8 1/82.13. Một lọ chứa 5 bi trắng và 3 bi đen. Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại 2 bi và gọi X là số bi trắng có trong 2 bi được chọn ra, tìm luật phân phối xác suất của X. Đs:X 0 1 2f (x)3/28 15/28 5/142.14. Làm bài tập 2.13, với hai bi được chọn ra có hoàn lại. Đs:X 0 1 2f (x)9/64 15/3225/642.15. Gọi Z là đại lượng ngẫu nhiên thể hiện số lần xuất hiện mặt ngửa trừ số lần xuất hiện mặt sấp trong hai lần tung một đồng xu công bằng. Tìm luật phân phối xác suất của Z. Hãy so sánh kết quả này với ví dụ 2.1 và 2.2. Đs:Z 2 0 2f (z)¼ ½ ¼2.16. Rút ngẫu nhiên 4 lá bài từ một bộ bài 52 lá. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên thể hiện số lá xì rút được trong 4 lá được rút ra, lập bảng phân phối xác suất của X. Nguyen Cong TriPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.comCHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT____________________________________________________________Ths. Nguyễn Công Trí______________________________http://nctri.co.cc Đs:X 0 1 2 3 4f (x) 194.580/270.72569.184/270.7256.768/270.725192/270.7251/270.725HÀM PHÂN PHỐI RỜI RẠC 2.17. Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X được thể hiện trong Bảng 2-7. Hãy lập bảng thể hiện hàm phân phối của X. Bảng 2-7 X 1 2 3f(x)½ 1/3 1/6Đs:X 1 2 3F(x)½ 5/6 12.18. Tìm hàm phân phối của (a) bài tập 2.12, (b) bài tập 2.13, (c) bài tập 2.14. 2.19. Tìm hàm phân phối của (a) bài tập 2.15, (b) bài tập 2.16. 2.20. Bảng 2-8 thể hiện hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X. Hãy xác đònh (a) hàm xác suất, (b) P(1 X 3), (c) P(X 2), (d) P(X < 3), (e) P(X > 1,4). Bảng 2-8 X 1 2 3 4F(x)1/8 3/8 ¾ 1Đs: a) b) ¾ c) 7/8d) 3/8e) 7/8.X 1 2 3 4f(x)1/8 ¼ 3/8 ¼ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.21. Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ là 3000xce xfxxTìm (a) hằng số c, (b) P(1 < X < 2), (c) P(X 3), (d) P(X < 1). 2.22. Tìm hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên trong bài tập 2.21. Hãy vẽ đồ thò hàm mật độ và hàm phân phối, mô tả mối quan hệ giữa chúng. 2.23. Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ là 212230cx xfx cx xkhácTìm (a) hằng số c, (b) P(X > 2), (c) P(½ < X < 3/2). 2.24. Tìm hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X trong bài tập 2.23. 2.25. Hàm2100cx xFxkhác1có phải là hàm phân phối không? Hãy giải thích. Nguyen Cong TriPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.comCHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT____________________________________________________________Ths. Nguyễn Công Trí______________________________http://nctri.co.cc PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI VÀ ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 2.26. Hàm xác suất đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X và Y là f(x,y) = cxy, với x = 1, 2, 3; y = 1, 2, 3 và f(x,y)= 0 khi x, y có giá trò khác. Tìm (a) hằng số c, (b) P(X = 2, Y = 3), (c) P(1 X 2, Y 2), (d) P(X 2), (e) P(Y < 2), (f) P(X = 1), (g) P(Y = 3). Đs: (a)1/36, (b) 1/6, (c) ¼, (d) 5/6, (e) 1/6, (f) 1/6, (g) ½ .2.27. Tìm hàm xác suất biên của (a) X và (b) Y với đại lượng ngẫu nhiên trong bài tập 2.26. (c) Hãy xác đònh X và Y có độc lập hay không? 2.28. Gọi X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ đồng thời là 2201,0,0cx y x yfxykhác1Hãy xác đònh (a) hằng số c, (b) P(X < ½ , Y > ½ ), (c) P(Y < ½ ). (d) X và Y có độc lập không? CÁC BÀI TOÁN TỔNG HP2.29. Giả sử f(x) = c/3x, x = 1, 2 là hàm xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X. (a) Hãy xác đònh c. (b) Tìm hàm phân phối. (c) vẽ đồ thò hàm xác suất và hàm phân phối. (d) Tìm P(2 X < 5). (e) Tìm P(X 3). 2.30. Giả sử200xcxe xfxkháclà hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X. (a) Xác đònh c. (b) Tìm hàm phân phối. (c) vẽ đồ thò hàm mật độ và hàm phân phối. (d) Tìm P(X 1). (e) Tìm P(2 X < 3). 2.31. Hàm xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là 212430p xpxfxpxkháctrong đó p là hằng số. Tìm (a) P(0 X < 3), (b) P(X > 1). Đs: (a)3/7, (b) 5/7.2.32. Hàm xác suất đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y được cho trong Bảng 2-9. (a) Tìm hàm xác suất biên của X và Y. (b) Tìm P(1 X < 3, Y 1). (c) X và Y có độc lập không? Bảng 2-9 YX0 1 20 1/18 1/9 1/61 1/9 1/18 1/92 1/6 1/6 1/18Đs: (b) 7/18.Nguyen Cong TriPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.comCHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT____________________________________________________________Ths. Nguyễn Công Trí______________________________http://nctri.co.cc . ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐLNN RỜI RẠC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1. Giả sử tung một cặp xúc xắc công bằng và gọi đại lượng ngẫu. RẠC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.12. Tung một đồng xu ba lần. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên thể hiện số lần xuất hiện mặt ngửa, lập bảng phân phối xác suất