Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐẺ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Để xác định một điểm M ta xem nó như là ảnh của một điểm A nào đó đã biết qua phép v ị t ự , hoặc xem M như là giao của của m[r]
(1)I.Tóm tắt lý thuyết : PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ v a;b Phép tịnh tiến theo véc tơ MM' v biến hình , biến điểm M thành điểm M’ cho Ký hiệu : Tv v a;b là phép 2.Các tính chất phép tịnh tiến : a/ Tính chất 1: *Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’ b/ Tính chất 2: * Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó HỆ QUẢ : Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến tia thành tia , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó , biến tam giác thành tam giác nó , biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính , biến góc thành góc b ằng nó Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến v a;b - Giả sử cho và điểm M(x;y) Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’ x' a x thì M’ có tọa độ là : y ' y b Ứng dụng phép tịnh tiến BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài toán : Cho hình H , trên hình H có điểm M Tìm quỹ tích điểm M trên hình H có điểm A thay đổi (Thường điểm A chạy trên đường (C) cho sẵn) Cách giải : - Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ) - Sau đó dựa vào định nghĩa phép tịnh tiến ta suy M là ảnh A qua phép t ịnh tiến theo véc tơ cố định (2) - Dựa vào tính chất thay đổi A ta suy giới hạn quỹ tích Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và điểm A thay đ ổi trên đ ường tròn đó Chứng minh trực tâm tam giác ABC nằm trên đường tròn cố định Giải - Kẻ đường kính BB’ Nếu H là trực tâm tam giác ABC thì AH=B’C Do C,B’ c ố đ ịnh , cho nên B’C AH B'C Theo định nghĩa phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm là véc tơ cố định H Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v B'C - Cách xác định đường tròn (O’;R) Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C Sau đó d ựng véc t : OO' B'C Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta đường tròn cần tìm Ví dụ Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên đường tròn (O;R) Tìm quỹ tích đỉnh D C thay đổi Giải : - Theo tính chất hình bình hành : BA=DC AB CD Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên AB cố định Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh C qua phép tịnh tiến theo AB , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh đường tròn O OO' AB Từ O’ quay - Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc t đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích D Ví dụ Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) cho MM' AB Giải a Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R) Theo giả thiết , thì M’ là ảnh M qua phép t ịnh tiến theo véc tơ AB Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh (O;R) qua phép tịnh tiến Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì M’ là giao đường tròn ảnh v ới đ ường tròn (O’;R’) b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm N trên (O;R) là giao c (O;R) với đường tròn ảnh (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình số các giao điểm hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho Ví dụ Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Một đường kính MN thay đ ổi Các đ ường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến B là P,Q Tìm quỹ tích tr ực tâm các tam giác MPQ và NPQ ? (3) Giải - Tam giác MPQ có QA là đường cao , vì ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA trực tâm H OA là đường trung bình tam giác MNH suy : MH 2OA BA Vậy phép tịnh BA tiến theo biến điểm M thành điểm H Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đ ường tròn ảnh (O;AB) qua phép tịnh tiến BA - Tương tự tam giác NPQ - Giới hạn quỹ tích Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ hai điểm ảnh A,B BÀI TOÁN 2: TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN NHẤT (A,BCỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC) Cách giải Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d (Khi đó đ ường thẳng d là đường trung trực AB, suy M thuộc d thì MA=MA’) Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B, thì đường thằng này cắt d M M là điểm Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) A c ố đ ịnh, thì A’ cố định, suy A’B không đổi Chú ý : Trường hợp trên xảy A,B nằm trái phía với d Ngoài : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d hai đường thẳng // cách đoạn cho trước không đổi Ví dụ Hai thôn nằm hai vị trí A,B cách sông ( Xem hai bờ s ống là hai đường thẳng song song ) Người ta dự kién xây cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn th ẳng AM và BN Tìm vị trí M,N cho AM+BN là ngắn Giải MN U - Vì khoảng cách hai bờ sống là không đổi , cho nên U - Tìm A’ là ảnh A qua phép tịnh tiến theo Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM - Do đó : MA+NB ngắn Vì : MA+NB=A’N+NB Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia AB lấy điểm P , trên tia đối tia CD lấy điểm Q Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD cho MN//CD và PN+QM nh ỏ Giải - Giống bài toán trên là khoảng cách hai cạnh hình chữ nhật không đổi cho nên ta th ực theo cách bài toán trên sau : (4) CD U QQ' Khi đó MN=QQ’ , suy MQ=NQ’ Cho - Tìm ảnh điểm Q qua phép tịnh tiến theo nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn P,N,Q’ thẳng hàng - Các bước thực : +/ Tìm Q’ cho : CD U QQ' +/ Nối PQ’ cắt AD điểm N +/ Kẻ NM //CD cắt BC M Vậy tìm M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán BÀI TOÁN 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ) u a;b KHI BIẾT Cách giải : Bước 1: lấy điểm M(x;y=f(x) ) trên (C ) Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ phép tịnh tiến Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 Đó chính là phương trình (C’) cần tìm u 1; 2 Ví dụ Trong mặt phẳng (Oxy) cho a/ Viết phương trình ảnh đường trường hợp sau : +/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ? +/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0 2 b/ Viết phương trình đường tròn ảnh đường tròn (C ) : x y 4x y 0 x2 y 1 c/ Viết phương trình đường (E) ảnh (E) : x2 y 1 d/ Viết phương trình ảnh (H) : 16 Giải a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh c chúng Theo công x' 1 x thức tọa độ phép tịnh tiến ta có : y ' y x x' y y' Thay x,y vào phương trình các đường ta có : - Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 3x’-5y’-12=0 Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0 (5) x' 1 b/ Đường tròn (C’) : x' 1 c/ Đường (E’) : x' 1 y ' 2 x' y ' 0 y ' 2 y ' 2 16 d/ Đường (H’): x 1 1 x 1 1 9 16 y 2 y 2 1 2 hay : x y 6x 5y 10 0 1 Bài tập nhà : Bài Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O’;R’) và điểm A trên (O;R) Xác đ ịnh MN OA điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) cho Bài ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9) Bài ( Làm bài tập : 2;3- HH11CB-trang ) Gợi ý MN OA TOA :M N Bài Vì : Do đó N nằm trên đường tròn ảnh (O;R) Mặt khác N lại nằm trên (O’;R’) đó N là giao đường tròn ảnh với với (O’;R’) Từ đó suy cách tìm : - Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) N - Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy d cắt (O;R) M Bài a/ Bài 4-trang 9-HH11NC - Vì A,B cố định suy : AB U MM' MA MB MM' MB MA AB Chứng tỏ : TAB : M M' - Từ giả thiết : - Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh c (O;R) b/ Bài ' ' x1 x1cos y sin a x x 2cos y sin a M' ' ; N' ' y x1 sin y 1cos b y x sin y 2cos b - Tọa độ M’ và N’ là : - Khoảng cách d M,N và khoảng cách d’ M’N’ Ta có : MN x2 x1 y y M'N' 2 x2 x1 cos2 sin2 y y cos2 sin2 x x - Phép F là phép dời hình y2 y1 (6) x' x a 0 sin 0;cos 1 y ' y b Đây là công thức phép tịnh tiến - Khi : c/ Bài - Nếu F1 : M x;y M' y; x ;N x';y ' N' y '; x' 2 MN x' x y ' y ;M'N' y ' y x' x thì khoảng cách hai điểm MN và M’N’ là : Chứng tỏ MN=M’N’cho nên đó chính là phép dời hình - Nếu : F2 : M(x;y) M' 2x;y ;N x';y' N' 2x';y' MN x' x 2 y ' y ;M'N' x' x y' y Khi đó khoảng cách hai điểm là : - Rõ ràng : MN< M’N’ : Do đó đây không phải là phép dời hình vì theo đ ịnh nghĩa : Phép d ời hình là phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách chúng Bài a/ Bài 2- trang - Từ B và C kẻ các đường thẳng // với AG Sau đó đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ là hình bình hành ) - A’ trùng với G Tam giác GB’C’ là ảnh tam giác ABC qua phép t ịnh tiến theo véc t AG - Nếu D là ảnh phép tịnh tiến theo véc tơ AG thì : AG AD D phải trùng với G b/ Bài 3-trang x 3 2 A' A' A' 2;7 y A' 5 7 - Theo công thức tọa độ phép tịnh tiến : và tọa độ điểm x B' B' B' 2;3 y B' 1 3 - Nếu gọi M(x;y) thuộc đường thẳng d và M’(x’;y’) thuộc đường thẳng d’ : là ảnh c đ ường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v thì theo công thức tọa độ củ phép t ịnh tiến ta có : x' x M' y ' y x x' y y ' Thay vào phương trình d : (x’+1)-2(y’-2)+3=0 Hay d’: x’-2y’+8=0 Bài PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỊNH NGHĨA : * Cho đường thẳng d Phép biến điểm M thuộc d thành chính nó Biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ cho d là đường trung trực MM’ , gọi là phép đ ối x ứng qua đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) Đường thẳng d gọi là trục đối xứng (7) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox Với điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là ảnh M qua x' x phép đối xứng trục thì : y ' y ( Đó chính là biểu thức tọa độ ) TÍNH CHẤT a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó , biến tam giác thành tam giác nó , biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH Định nghĩa : * Đường thẳng d gọi là trục đối xứng hình H phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài toán : Cho hình H và điểm A thuộc hình H thay đổi Tìm quỹ tích điểm M A thay đ ổi Cách giải Bước 1: Xét vị trí A và M Sau dó tìm trên H có đường thẳng cố định là trung trực đoạn thẳng AM ( Chính là trục đối xứng ) Nếu A chạy trên đường (C ) nào đó , theo tính chất phép dối xứng tr ục , thì M chạy trên đường (C’) là ảnh (C ) qua phép đối xứng trục Ví dụ ( Bài 10-tr13-HH11NC ) Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh trực tâm H nằm trên đường tròn cố đ ịnh Giải - Vẽ hình Gọi H là giao ba đường cao tam giác ABC Kéo dài AH cắt (O;R) H’ N ối CH’ - Chứng minh IH=IH’ Thật Ta có : A BCH' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1) CH AB A BCH 2 CI AH' Mặt khác : Từ (1) và (2) suy : BCH BCH' (8) Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân Do BC vuông góc với HH’ , chứng t ỏ BC là đ ường trung trực HH’ Hay H và H’ đối xứng qua BC Cho nên A chạy trên đường tròn (O;R) thì H’ chạy trên (O;R) và H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh đ ường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục BC - Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đ ường th ẳng Vì th ế trên đường tròn (O’;R) bỏ điểm là ảnh B,C * Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng qua BC - Kẻ AA’ ( là đường kính (O) ) suy BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC qua trung ểm I A’H - A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH ) - Từ đó suy BC là đường trung bình tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC qua trung điểm c HH’ Mặt khác AH vuông góc với BC suy BC là trục đối xứng HH’ , hay H và H’ đ ối x ứng qua BC Ví dụ Cho tam giác ABC có trực tâm H a/ Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính b/ Gọi O1 ,O2 ,O3 là tâm các đường tròn nói trên Chứng minh đường tròn qua ba điểm O1 ,O2 ,O3 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải a/ Giả sử O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons ví d ụ O1 chính là ảnh (O) qua phép đối xứng trục BC Cho nên bán kính chúng Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác còn lại có bán kính bán kính (O) b/ Ta hoàn toàn chứng minh O1 ,O2 ,O3 là các ảnh O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB Vì bán kính các đường tròn này Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC b ằng tam giác O1O2O3 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB NHỎ MA MB NHẤT ( Khi A,B là hai điểm nằm phía d ), ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm hai phía d ) Cách giải : Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d M Là điểm cần tìm (9) Bước 3: Chứng minh M là điểm Ví dụ (Bài 9-tr13- HH11NC) Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm góc đó Hãy tìm điểm B trên Ox , ểm C trên Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Giải - Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox - Nối A’B’ cắt Ox B , cắt Oy C Đó chính là hai điểm cần tìm - Chứng minh B,C là hai điểm cần tìm Thật : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) Mặt khác : B’ đ ối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ ( t (1) và (2) ) Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d Tìm điểm M trên d cho MA+MB đạt giá trị nhỏ ? Giải - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d M M chính là điểm cần tìm - Thật : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1) Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B - Giả sử tồn M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B A'B Dấu xảy A’M’B thẳng hàng Nghĩa là M trùng với M’ Ví dụ Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm hai phía d ) Tìm điểm M trên d cho MA MB đạt GTLN Giải - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d M M chính là điểm cần tìm - Thật : MA MB MA' MB A'B M'A M'B M'A' M'B A'B Giả sử tồn điểm M’ khác với M trên d , đó : Dấu xảy M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với M’ Ví dụ Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và đường thẳng d a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ nằm trên hai đường tròn đó cho d là đ ường trung tr ực đoạn thẳng MM’ (10) b/ Hãy xác định điểm I trên d cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ v ới (O’;R’) t ạo thành góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác ngoài Giải Vẽ hình : a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán - Vì d là trung trực MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh c đ ường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) M’ là giao (C’) với (O’;R’) - Từ đó suy cách tìm : Tìm hai đường tròn ảnh hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt là (C’) và (C’’) Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho M1 ,M2 Sau đó kẻ hai đường thẳng d’’ và d’’’ qua M1 ,M2 cắt (O;R) và (O’;R’) M'1 ;M'2 M1M'1 và M2M'2 Các điểm cần tìm là b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác ngoài góc TIT’ thì MT và MT’ đ ối x ứng qua d Từ đó suy cách tìm : - Gọi d’ là ảnh MT qua phép đối xứng d nghĩa là d’ là tiếp tuyến đường tròn (C ) là ảnh (O;R) qua phép đối xứng trục d Mặt khác d’ là tiếp tuyến (O’;R’) Cho d’ là ti ếp ến chung (C ) với (O’;R’) Từ đó ta suy cách tìm M : - Tìm (C ) là ảnh (O;R) qua phép đối xứng trục d Kẻ d’ là tiếp tuyến chung (C ) và (O’;R’) Khi đó d’ cắt d t ại M Chính là điểm cần tìm Tương tự áp dụng cho (O’;R’) Số nghiệm hình số giao điểm các tiếp tuyến chung cắt d BÀI TOÁN :3 TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài toán : Cho điểm A(x;y) và đường thẳng d : ax+by+c=0 Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ? Cách giải : Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm AB thì điều ki ện : AB.U 0 2 H d Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy tọa độ B Ví dụ Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y=x Giải (11) - Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm MN thì M,N đ ối x ứng qua d MN.U 0 Hd 2 thì điều kiện là : x 2 y 3 MN x 2;y 3 U 1;1 H ; 2 - Ta có : x 2 y 3 0 x 2 y 3 2 - Điều kiện (*) x y 5 x y y 2 N 3;2 x 3 Ví dụ Cho điểm M(2;-3) Tìm ảnh điểm M qua phép đối xứng trục d : y-2x=0 Giải - Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm MN thì M,N đ ối x ứng qua d MN.U 0 Hd 2 thì điều kiện là : x 2 y MN x 2;y 3 U 1;2 H ; 2 - Ta có : - Điều kiện (*) x 2 y 3 0 x 2 y 2 x 2y 0 y x y 3 14 N ; 14 3 x BÀI TOÁN :4 CHO ĐƯỜNG (C ) VÀ ĐƯỜNG THẲNG d HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C’) LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d CÁCH GIẢI Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d Bước 3: Viết phương trình đường (C’) qua A’,B’ Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d (12) Giải x 2y 0 x y - Tìm giao d và d’ A(x;y) là nghiệm hệ : x y A(-2;-2) - Trên d’ lấy điểm M (3;3) Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d Gọi H là trungđiểm c MN MN.U 0 H d 2 (*) thì điều kiện để M,N đối xứng qua d là : x 3 y 3 MN x 3;y 3 U 2;1 H ; 2 - Ta có : - Điều kiện (*) x 3 y 3 0 2x y 9 x 5 x 3 N 5; 1 y 3 x 2y y - Đường thẳng (m) là đường thẳng qua AN có véc tơ phương là AN 7;1 , nên (m) có x 2 y 2 x 7y 12 0 phương trình là : Ví dụ Cho hai đường thẳng d: 2x-y+2=0 ; d’ : x+3y-3=0 Lập phương trình đ ường thẳng (m) đ ối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’ Giải - Tìm tọa độ điểm A là giao d với d’ Khi đó tọa độ A là nghiệm hệ hai phương trình : x 2x y 0 A ; 7 x 3y 0 y 8 - Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2) - Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ Khi đó M,N đ ối x ứng qua d’ MN.U 0 1 Hd 2 U thì điều kiện : (*) Với H là trung điểm MN , là véc tơ phương d’ Ta x y 2 MN x;y 2 U 3; 1 H ; 2 có : - Điều kiện (*) 3x y 2 0 x y 2 0 2 x 3x-y 1 N ; 5 x 3y 0 y 1 (13) 1 N ; 5 và có véc tơ phương - Đường thẳng (m) =(AN) qua 33 AN ; / /U 2;11 35 35 y 5 0 11x 2y 0 11 x Do đó (m) : 2 Ví dụ Cho đường tròn (C ) : x y 4x 2y 0 và đường thẳng d : 2x-y+2=0 Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh (C ) qua phép đối xứng trục d Giải Do tính chất phép đối xứng trục biến (C ) thành (C’) có cùng bán kính Cho nên ta ch ỉ c ần tìm tọa độ tâm I’ (C’) đối xứng với tâm I (C ) Vậy từ giả thiết ta có tâm I (C ) có tọa độ : I(2;-1) và R=2 U 1;2 - Gọi I’(x;y ) là tâm (C’)H là trung điểm II’ , là véc tơ phương đường II'.U 0 1 Hd 2 (*) thẳng d Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện : x 2 y II' x 2;y 1 U 1;2 H ; -Ta có : x-2 y 0 x 2 y 2 0 - Điều kiện (*) - Vậy (C’): x 3 x+y 0 2x y 0 x 1 I' 3;3 y y 3 4 x2 y 1 Ví dụ Cho (E) : Và đường thẳng d : x+y-2=0 Lập phương trình (E’) là ảnh (E) qua phép đối xứng trục d Giải Vẽ (E) tọa độ các đỉnh trục lớn : A(3;0) ,A’(-3;0) và tọa đ ộ hai đ ỉnh c tr ục nh ỏ : B(0;2) ;B’(0;-2 ) - Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật sở là ảnh đỉnh hình chữ nhật sở (E) đã cho Bằng cách giải các bài toán nhỏ trên , dễ dàng tìm tạo độ O’(2;2) là ảnh O(0;0) , M’(4;5) là ảnh M(-3;-2 ) N’(4;-1 ) là ảnh N(3;-2) P’(0;-1) là ảnh c P(3;2) và Q’( 0;5) là ảnh Q(-3;2) - (14) - Áp dụng cách vữ (E) ta suy cách vẽ (E’) * Chú ý : Đây là bài toán tương đối khó , chưa gặp các đề thi đại học , lấy ví d ụ này là để mở rộng cho trường hợp đối xứng trục Dù đường (C ) cho là đường gì , ta cần sử dụng tốt kiến thức đã học là có thể giải BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Gọi m là đường phân giác ngoài góc A tam giác ABC Ch ứng minh với m ọi điểm M trên m , chu vi tam giác MBC không nhỏ chu vi tam giác ABC Bài Cho (E) với hai tiêu điểm F1 ,F2 Gọi M là điểm nằm trên (E) không nằm trên đường thẳng F1F2 và m là phân giác ngoài đỉnh M tam giác M F1F2 Chứng minh m cắt (E) M ( đường thẳng m gọi là tiếp tuyến E M ) 2 Bài Cho đường tròn (C ) : x y 6x 2y 0 Tìm phương trình đường tròn (C’) qua phép đối xứng trục d : x-y-0 Bài Cho hai đường thẳng d : x-y+2=0 và d’: 3x+4y-1=0 Tìm đường thẳng m là ảnh c đường thẳng d qua phép đối xừng trục là d’ Bài Cho đường thẳng d: x+y-2=0 và hai điểm A(-4;-3) ,B(2;-1) Tìm ểm M trên d cho MA+MB đạt giá trị nhỏ Bài Cho hai điểm A(4;3) và B(-2;0) Tìm trên đường thẳng d : x+y-2=0 ểm M cho MA MB đạt gía trị lớn Bài 7.( Bài 39-tr106-BTHH10NC) 7 ;5 Hai đường phân giác hai góc B và C có Cho tam giác ABC có đỉnh A phương trình x-2y-1=0 và x+3y-1=0 Viết phương trình cạnh BC tam giác GỢI Ý CÁCH GIẢI Bài Kẻ đường phân giác ngoài góc A Tìm điểm C’ đối xứng với C qua m T a có : MB+MC=MB+MC’ BC' Mà BC’=AB+AC Suy MB+MC+BC AB AC BC Đó chính là điều phải chứng minh Bài Giả sử trục lớn (E) là 2a , tức là M nằm trên E : MF1 MF2 2a Theo cách chứng minh bài , M’ nằm trên phân giác m thì : M'F1 M'F2 MF1 MF2 2a Dấu xảy M’ trùng với M Vậy M’ khác M thì M’ không nằm trên E Suy m cắt E t ại điểm M Bài Đường tròn (C ) có tâm I(3;-1) và bán kính R=3 Gọi I’ là tâm c đ ường tròn (C’) N ếu I và I’ đối xứng qua d thì ta có hệ : (15) x y 0 x y 4 x 0 I' 0;4 x 3 y x y y 2 Vậy đường tròn (C’): x y 9 đối xứng với (C ) qua trục đối xứng d Bài Gọi A là giao d và d’ thì tọa độ A là nghiệm hệ : x y 0 3x 4y 0 x A 1;1 y 1 Trên d lấy điểm M(0;2) Tìm M’(x;y) là ảnh M qua U 4; 3 phép đối xứng trục d’ ( có Khi đó tọa độ M’ là nghiệm hệ : 4x y 2 0 x 1 y 2 4 0 3 33 x 4x 3y 0 33 25 M' ; 25 25 3x 4y 0 y 25 Khi đó đường thẳng m đối xứng với d qua d’ là đường thẳng AM’ qua A(-1;1) có véc t ch ỉ 19 x 1 y AM' ; / /U 8; 19 25 25 19 Hay đường thẳng (m) : 19xphương suy (m) : 8y+27=0 Bài Tìm tọa độ A’(x;y) đối xứng với A(-4;-3) qua phép đối xứng tr ục d: x+y-2=0 x y 3 0 x y Suy hệ : x y 0 x y 11 0 x 5 A' 5;6 y 6 Lập đường thẳng (A’B) qua A’(5;6) có véc tơ phương A'B 3; / /U 3;7 Do đó (A’B): x 5 3t t R y 6 7t Vậy M là giao (A’B) với d cho nên tọa độ M là nghiệm hệ : t 10 x 5 3t 23 23 M ; y 6 7t x 10 10 10 x y 0 y 10 (16) Bài Tương tự cách làm bài tập , ta có tạo độ A’(x;y) đối xứng với A(4;3) qua d là nghiệm c hệ : x y 3 0 x y 0 x y x y x A' ; 2 y 3 3 A'B ; / /U 7;3 2 Đường thẳng (A’B) qua B(-2;0) có véc tơ phương : Do đó (A’B): x 7t t R y 3t Điểm M cần tìm là giao (A’B) với d , cho nên tọa độ M là nghiệm hệ : t 5 x 7t 6 x M ; y 3t 5 5 x y 0 y 5 Bài Tìm tọa độ hai điểm M,N là ảnh A qua phép đối xứng trục là hai đường phân giác hai góc B và C , thì M,N phải nằm trên BC Từ đó đường thẳng (BC) chính là đường thẳng (MN) : y+1=0 Bài PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Định nghĩa phép quay * Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM=OM’và góc (OM;OM’)= Được gọi là phép quay tâm O góc quay là Định lý : Phép quay là phép dời hình Phép đối xứng tâm * Định nghĩa : Phép đối xứng qua điểm O là phép biến hình , biến điểm M thành điểm M’ OM OM' 0 đối xứng với M qua O , có nghĩa là : * Ký hiệu và các thuật ngữ : Phép đối xứng tâm O ký hiệu : DO Trong đó O là tâm đối xứng *Biểu thức tọa độ : (17) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(a;b) Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M(x;y) thành ểm x' 2a x M’(x’;y’) thì : y ' 2b y ( Đó chính là biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm ) * Tâm đối xứng hình : Là điểm cho biến hình H thành chính nó *Biểu thức tọa độ phép quay có tâm I(a;b) điểm M(x;y) , điểm M’(x’;y’) và góc quay là : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I, ) , với I(a; b) Khi đó Q(I, ) biến điểm M (x; y) thành M’(x’; y’) xác định bởi: x' a ( x a) cos ( y b) sin y ' b ( x a) sin ( y b) cos (IVb) ( Chứng minh cho HS ) Các ứng dụng phép quay và đối xứng tâm BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM Bài toán : Cho hình H và điểm M thay đổi trên đường (C ) ( thuộc H ) Tìm quỹ tích điểm N M thay đổi Cách giải : Bước 1: Tìm điểm I cố định cho I là trung điểm MN Bước 2: Dựa vào tính chất phép đối xứng tâm I ta suy quỹ tích N Ví dụ ( bài toán 2-tr17-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B cố định Với điểm M , ta xác đ ịnh ểm M’ cho MM' MA MB Tìm quỹ tích điểm M’ điểm M chạy trên (O;R) Giải - G ọi Ilà trung điểm củ a AB Theo tính chất véc tơ trung tuyến thì : MA MB 2MI , suy : MM' 2MI Có nghĩa là I là trung điểm MM’ Ví A,B cố định , cho nên I cố định Do đó DI : M M' Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ là ảnh M qua phép đối xứng tâm I chạy trên đường tròn ảnh (O;R) - Cách xác định (O’;R) sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO Sau đó l O’ làm tâm , quay đường tròn có bán kính R Ví dụ ( Bài 17-tr19-HH11NC) - Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R)và điểm A thay đổi tren đường tròn đó Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh trực tâm H tam giác ABC nằm trên đ ường tròn cố định ( Hay : tìm quỹ tích H A thay đổi ) (18) Giải Vẽ hình theo giả thiết cho Nối đường kính AM , tìm vị trí H Ta thấy CH ∟AB và MB∟AB suy CH//BM Tương tự BH//MC và tứ giác BHCM là hình bình hành , đoa hai đường chéo BC và MH cắt trung điểm I BC - Do B,C cố định cho nên I cố định Vậy H là ảnh M qua phép đối xứng tâm I Mặt khác M chạy trên (O;R) đó H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh c (O;R) qua phép đ ối xứng tâm I Ví dụ ( Bài 34-tr10-BTHH11NC) - Cho đường thẳng a và điểm G không nằm trên a Với điểm A nằm trên a ta d ựng tam giác ABC có tâm là G Tìm quỹ tích hai điểm B và C A chạy trên a? Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ và tính chất tam giác ta thấy góc AGC AGB 120 Như phép quay tâm G với góc quay 120 bién A thành C và biến A thành B Nhưng A chạy trên d vì B và C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh d qua phép quay 120 Ví dụ ( Bài 35-tr10-BTHH11NC) Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đổi trên (O) Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua A, M2 là điểm đối xứng với M1 qua B và M3 là điểm đối xứng với M2 qua C Tìm quỹ tích điểm M3 ? Giải BM1 BM2 - Vẽ hình Từ hình vẽ ta có : Do M1 , M2 đối xứng qua B cho nên 1 - Vì M2 và M3 đối xứng qua C cho nên : CM2 CM3 (2) Từ (1) và (2) chứng tỏ BC là đường trung bình tam giác M1M2M3 , có nghĩa là BC// M1M3 (3) - Gọi D là trung điểm M M3 thì AD là đường trung bình tam giác MM1M3 AD / /M1M3 (4) Từ (3) và (4) suy AD//BC và tứ giác ABCD là hình bình hành Có nghĩa là D c ố đ ịnh Nh : DD : M M3 Mà M chạy trên (O) cho nên M3 Chạy trên đường tròn (O’) là ảnh (O) qua phép đối xứng tâm D BÀI TOÁN 2: DỰNG HÌNH Hãy tham khảo vài ví dụ sau Ví dụ ( Bài toán 3-tr17-HH11NC) (19) Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt hai điểm B,C Hãy dựng đ ường thẳng d qua A và cắt (O;R) và (O’;R’) M và N cho A là trung điểm c MN Giải - Giả sử đường thẳng d đã dựng xong , A là trung điểm MN cho nên N là ảnh c M qua phép đối xứng tâm A vì N phải nằm trên đường tròn (O’’) là ảnh đ ường tròn (O;R) ( vì M chạy trên (O) ) Mặt khác N lại thuộc (O’;R’) vì cho nên N là giao (O’’) v ới (O’;R’) T đó suy cách dựng +/ Dựng đường tròn (O’’) là ảnh đường tròn (O) : Nối OA , đặt OA=O’’A +/ Đường tròn (O’’) cắt đường tròn (O’) N Nối NA cắt (O) t ại M - Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình số giao điểm (O’’) cắt (O’) Ví dụ ( Bài 18-tr19-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) , đường thẳng d và điểm I Tìm điểm A trên (O;R) và điểm B trên d cho I là trung điểm đoạn thẳng AB Giải - Vẽ hình Do I là trung điểm AB cho nên B là ảnh A qua phép đ ối x ứng tâm I M ặt khác A chạy trên (O;R) vì B chạy trên đường tròn (O’’) là ảnh (O) qua phép đ ối xứng tâm I Nhưng B lại nằm trên d vì B là giao d với (O’’) -Từ đó suy cách tìm Nối IO đặt IO=IO’’ , sau đó dựng đường tròn (O’’) bán kính R , cắt d t ại B Nối BI cắt (O;R) A - Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình số giao điểm (O’’) với d BÀI TOÁN 3: BÀI TOÁN CHỨNG MINH Để làm dạng bài toán chứng minh ta cần phải kiến thức phép đ ối xứng tâm và phép quay Đồng thời phải nhớ lại các kiến thức tam giác , tứ giác : Hình bình hành , hình vuông , hình chữ nhật Ví dụ ( Bài toán 1-tr17-HH11NC) Cho hai tam giác OAB và OA’B’ Gọi C và D là trung điểm các đoạn thẳng AA’ và BB’ Chứng minh OCD là tam giác ? Giải Xét phép quay tâm O với góc quay góc lượng giác ( OA,OB)= 60 Rõ ràng A biến thành B và A’ biến thành B’ , vì cho nên phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ Từ đó suy phép quay đã biến C thành D , đó OC=OD Vì góc quay 60 cho nên tam giác cân OCD là tam giác (20) Ví dụ ( Bài 43-tr11-BTHH11NC)Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm là O và O’ a/ Chứng minh cố định hai điểm A,B và cho C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn qua điểm cố định b/ Gọi I là trung điểm AB Chứng minh IOO’ là tam giác vuông cân Giải a/ Vẽ hình theo giả thiết đã cho Từ hình vẽ , giải cho học sinh bài toán phụ : Cho hai điểm A,B c ố dịnh , với điểm M và với hai phép quay tâm A , tâm B có cùng góc quay thì phép h ợp c hai phép quay là phép đối xứng mà tâm đối xứng là đỉnh goác vuông tam giác vuông cân OAB ( O là tâm đối xứng ) - Như : Q A : C N Q B :C Q NQ qua tâm đối xứng H xác định cách dựng tam giác vuông cân HAB Q :C B ;Q O' :C A AB b/ Tương tự trên : O qua tâm đối xứng I xác định tam giác vuông cân OO’I ( với I là đỉnh góc vuông ) Như tam giác O’OI là tam giác vuông cân BÀI TOÁN 4: TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH BẰNG PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM CÁCH GIẢI Sử dụng các định nghĩa , tính chất phép quay và phép đối xứng tâm cùng v ới biểu thức t ọa độ chúng Ví dụ ( Bài 1-tr15-HH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d có phương trình : x-2y+3=0 Tìm ảnh A và d qua phép đối xứng tâm O Giải - Gọi A’(x;y) là ảnh A qua phép đối xứng tâm O(0;0) Theo công thức t ọa đ ộ c phép đ ối xứng ta có : x' 0 x x x' y ' 0 y y y ' x' 1 A' 1; 3 y ' - Tương tự Gọi M(x;y) là điểm thuộc d và M’(x’;y’) là m ột điểm b ất kỳ thu ộc d’ là ảnh d qua phép đối xứng tâm O Theo công thức tọa độ phép đối xứng ta có : x' 0 x x x' x' 2 y ' 0 x' 2y ' 0 y ' 0 y y y ' Do đó d’ có phương trình là : x-2y3=0 (21) x2 y 1 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R) : x y 2x 6y 0 và (E) : điểm I(1;2) Tìm ảnh (O;R) và (E’) qua phép đối xứng tâm I 2 Giải Gọi M(x;y) là điểm thuộc (O;R) và (E) Từ công thức chuyển tr ục ta có : x' y ' x' y' 0 x' 2.1 x x 2 x' x' y ' 1 y ' 2.2 y y 4 y' x y 6x 2y 0 x2 y 1 *Chú ý : (O;R) : x 1 2 y 3 4 J( 1;6),R 2 Ta tìm J’(x;y) là ảnh J qua phép đối xứng tâm I(1;2) công thức chuyển tr ục t ọa độ : x' 2 ( 1) y ' 4 (3) x' 3 J' 3;1 y ' 1 x 3 Do đó (O’) : 2 y 4 là ảnh (O;R) qua phép đối xứng tâm I Ví dụ 3.( Bài 1.13-BTHH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x-2y+2=0 và d’: x-2y-8=0 Tìm phép đ ối x ứng tâm bi ến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó Giải Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta làm sau : - Gọi M(x’y) thuộc d , M’(x’;y’) thuộc d’ Giả sử tâm đ ối xứng là I(a;b) , thì theo công th ức chuy ển x' 2a x 2a x 2 2b y 0 x 2y 4b 2a 0 trục : y' 2b y - Để trục Ox thành chính nó thì tâm đối xứng phải có dạng : I(a;0) tức là b=0 4b 2a 2 b - Từ hai kết trên ta có : Ví dụ ( Bài 1.14 –tr-21-BTHH11CB) a 3 I 3;0 b 0 (22) Cho ba điểm không thẳng hàng I,J,K Hãy dựng tam giác ABC nhận I,J,K lần l ượt là trung ểm c các cạnh BC,CA,AB Giải - Phân tích : Giả sử tam giác ABC đã dựng xong thỏa mãn điều kiện đầu bài Vì I,J,K là trung diểm cho nên Ị là đường trung bình suy Ị=KB , tương tự KJ=IC Từ đó suy cách d ựng : +/ Tìm điểm P là ảnh J qua phép đối xứng tâm I +/ Kẻ Px //KJ và đặt PQ=KJ Từ Q kẻ Qy //Ị và đặt QC=IP +/ Tìm B đối xứng với C qua I và A đối xứng với B qua K Như vậ tam giác ABC đã d ựng xong * Chú ý : Ngoài cách trên ta còn có cách khác sau +/ Lấy điểm N Tìm các điểm M đối xứng với N qua I , P đối xứng với N qua J và Q đ ối xứng với P qua K ( Vẽ hình ) CM BN AP CQ Do đó C là trung điểm MQ Từ đó suy cách dựng +/ Từ đó suy : Ví dụ ( Bài 1-tr19-HH11NC) Cho hình vuông ABCD a/ Tìm ảnh điểm C qua phép quay tâm A góc quay 90 b/ Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay 90 Giải a/ Từ hình vẽ ta thấy ảnh C qua phép quay tâm A góc 90 là C’ C’’ cho các tam giác ACC’ và ACC’’ là các tam giác vuông cân b/ Ta nhận thấy ảnh C qua phép quay tâm O góc quay 90 là B D Còn ảnh B qua phép quay tâm O góc quay 90 là A C , đó ảnh BC là AB DC Ví dụ ( Bài 2-tr19-HH11-NC) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (2;0) và đường thẳng d : x+y-2=0 Tìm ảnh điểm A và d qua phép quay tâm O góc quay 90 Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ ta thấy A thuộc d Ảnh A qua phép quay tâm O góc quay 90 Là B(0;-2) B’(0;2) Điểm B’ có ảnh qua phép quay là A(2;0) A’(-2;0) - Vì B’ và A nằm trên d cho nên ảnh d qua phép quay này là (AB) ho ặc (A’B’) l ần l ượt có x y x y 1 x y 0; 1 x y 0 2 phưng trình : 2 (23) PHÉP VỊ TỰ I ĐỊNH NGHĨA Cho điểm O và số k 0 Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho OM' kOM gọi là phép vị tự tâm , tỉ số vị tự là k Ký hiệu : V(O,k ) : M M' , hay : M’= V O,k M M V 1 O, k M' II TÍNH CHẤT - Tính chất Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì : M'N' kMN - Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k : a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm b/ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng âý , biến tia thành tia , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c/ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó , biến góc thành góc nó d/ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính III TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Định lý : Với hai đường tròn luôn có phép vị tự biến đường tròn này thành đ ường tròn và ngược lại Tâm phép vị tự gọi là tâm vị tự hai đường tròn Cách tìm tâm vị tự hai đường tròn Trường hợp : I trùng với I’ Khi đó phép vị tự tâm I tỉ số R’/Rvà phép vị t ự tâm I t ỉ s ố -R’/R biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I;R’) Trường hợp I I';R R' Trên (O;R) lấy diểm M , trên (O’;R’) lấy điểm M’ cho IM//I’M’ và I’M’’//IM Hai đường thẳng MM’ và MM’’ cắt đường thẳng nối hai tâm II’ hai điểm O và O’ Khi đó O nằm ngoài II’ gọi là tâm vị tự ngoài , còn O’ n ằm đo ạn II’ gọi là tâm vị tự Trường hợp I khác I’ và R=R’ Khi đó MM’//II’ nên có phép vị t ự tâm O’ với k=-1 Đó chính là phép đối xứng IV CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BÀI TOÁN : TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP VỊ TỰ Sử dụng định nghĩa và các tính chất phép vị tự Từ định nghía tâm vị tự là I(a;b) , điểm M(x;y) điểm M’(x’;y’) thì ta có : (24) x' a k x a IM' kIM y ' b k y b x' k x a a y ' k y b b (*) Chính là biểu thức tọa độ phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y-6=0 Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số vị tự k=-2 ? Giải Gọi M(x;y) thuộc d ,M’(x’;y’) là điểm bát kỳ thuộc d’ thì theo bi ểu th ức t ọa đ ộ c phép v ị t ự ta có : x' x y ' y x' x' x y y ' y ' 2 2 x' y ' 3 2 0 3x' 2y ' 0 Thay vào phương trình đường thẳng d: Do d’: 3x+2y-9=0 Ví dụ ( Bài 1.23-tr33-BTHH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y-4=0 a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k=3 b/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh d qua phép vị tự tâm I (-1;2) t ỉ s ố vị t ự k=-2 Giải x' 3 x 0 y ' 3 y 0 a/ Từ công thức tọa độ : Do đó đường thẳng d’: 2x+y-12=0 x' x y y ' x' y ' 2 0 2x' y ' 12 0 3 3 (25) b/ Tương tự : x' x' x x' x 2 2 y ' 2 y 2 y y ' y ' 2 2 x' y ' 2 0 2x' y ' 0 2 2 Do đó đường thẳng d’’: 2x+y+8=0 Ví dụ ( Bài 1.24-tr33-BTHH11-CB) 2 x 3 y 9 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) t ỉ s ố k=-2 Giải Đường tròn (C ) có tâm O(3;-1) bán kính R=3 Gọi O’ (x’;y’) là tâm c (C’) ,R’ là bán kính c (C’) Ta có tọa độ O’ thỏa mãn biểu thực tọa độ phép vị tự : x' x y ' 2 y 2 R' 2 R x' x' x y ' y ' x' 2 y 2 2 2 R' 2.3 6 x' 3 y ' 36 Vậy (C’) : 2 y ' 3 9 2 x 3 y 36 BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐẺ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Để xác định điểm M ta xem nó là ảnh điểm A nào đó đã biết qua phép v ị t ự , xem M là giao của đường cố định với ảnh đường đã biết qua phép vị tự Ví dụ Cho tam giác ABC có hai góc B,C nhọn Dựng hình chữ nhật DEEG có EF=2DE v ới hai đỉnh D,E nằm trên BC và hai đỉnh F,G nẵm trên hai cạnh AC và AB Giải - Vẽ hình ( đã thỏa mãn yêu cầu bài toán ) * Phân tích : + Giả sử hình chữ nhật đã dựng xong , trên AB lấy điểm G’ , dựng hình chữ nhật G’F’E’F’ có E’F’=2D’E’ và hai đỉnh D’,E’ thuộc BC , nối BF’ cắt AC F , đó ta có : (26) BG GD 2GF GF BG' GD' 2G'F' G'F' Chứng tỏ B,F’F thẳng hàng Ta có thể xem hình chữ nhật DEFG là ảnh BG k hình chữ nhật D’E’F’G’ qua phép vị tự tâm B tỉ số vị tự : BG' Từ đó suy cách dựng * Cách dựng : - Lấy điểm G’ tùy ý trên AB , sau đó dựng hình chữ nhật G’F’E’D’ có E’F’=2 D’E’, hai đ ỉnh D’E’ n ẵm trên BC - Nối BF’ cắt AC F , đường thẳng qua F song song với BC cắt AB G Gọi D và E là hình chiếu G và F trên BC Thì hình chữ nhật DEFG là hình chữ nhật cần dựng * Chứng minh : GF BG GD Thật : Vì GF //G’F’ , GD//G’D’ nên : G'F' BG' G'D' Từ đó suy : GD G'D' 2 GF G'F' Như hình chữ nhật đã dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán Ví dụ ( Bài 1.25-tr33-BTHH11CB) Cho nửa đường tròn đường kính AB Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn , hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB nửa đường tròn đó Giải Vẽ hình , từ hình vẽ ta có các bước sau * Phân tích Giả sử hình vuông MNPQ đã dựng xong thỏa mãn yêu cầu bài toán ( với M,N nẵm trên AB , còn P,Q nằm trên nửa đường tròn ).Gọi O là trung điểm AB Nối OQ và OP, dựng hình vuông M’N’P’Q’ cho M’,N’ nằm trên AB và O là trung điểm c M’N’ Khi đó ta có : OQ OP PQ k OQ' OP' P'Q' Ta xem MNPQ là ảnh M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm O t ỉ s ố k= PQ P'Q' Từ đó suy : * Cách dựng - Dựng hình vuông M’N’P’Q’ ( có M’N’ thuộc AB và O là trung điểm c M’N’ ) - Nối OP’ và OQ’ chúng cắt (O,AB) P và Q - Hình chiếu P và Q trên AB là N và M Khi đó MNPQ chính là hình vuông cần d ựng (27) * Chứng minh : Do M’N’P’Q’ là hình vuông , cho nên M’N’//AB Tam giác OM’N’ đ ồng d ạng v ới tam PQ OP OQ PN QM k P'N' Q'M' giác OPQ suy : P'Q' OP' OQ' Ví dụ ( Bài 1.26-tr33-BTHH11CB) Cho góc nhọn Oxy và điểm C nằm góc đó Tìm trên Oy điểm A cho kho ảng cách t A đến trục Ox = AC Giải - Vẽ hình Căn vào hình vẽ ta có phân tích sau * Phân tích : Gọi B là hình chiếu A trên Ox theo đầu bài thì tam giác ABC là tam giác cân đ ỉnh A ( AB=AC ) Giả sử tam giác A’B’C là tam giác cân đỉnh là A’ có A’B’ vuông góc với Ox D ễ dàng nhận thấy hai tam giác này đồng dạng vì ta có : AC OC AB k A'C' OC' A'B' Ta coi tam giác ABC là ảnh tam giác A’B’C’ qua phép vị t ự tâm OP t ỉ s ố vị tự là k Từ đó suy cách dựng : * Cách dựng : - Nối OC , sau đó trên Oy lấy điểm A’ , tìm B’ là hình chiếu A’ trên Ox ( k ẻ A’B’ vuông góc v ới Ox) - Dùng com pa lấy A’ làm tâm , quay cung tròn có bán kính A’B’ cắt OC C’ - Từ C kẻ hai đường thẳng song song với hai cạnh A’C’ và C’B’ chúng cắt hai cạnh Oy và Ox t ại A và B Tam giác ABC là tam giác cần tìm * Chứng minh : Giống cách phân tích Ví dụ ( Bài tập O.11-tr76-BTHH10 –T6-2000) Cho tam giác nhọn ABC Hãy dựng hình vuông MNPQ cho M,N nằm trên cạnh BC , P,Q n ằm trên hai cạnh còn lại tam giác Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ ta có cách phân tích : Gọi hình vuông M’N’P’Q’ có cạnh M’N’ thuộc BC và M’N’=N’P’=P’Q’=Q’M’ và b ằng a c ố đ ịnh Nếu ta coi hình vuông MNPQ là ảnh phép vị tự tâm B với tỉ số vị tự nào đó thì : PQ PM PQ P'Q' 1 PQ PM P'Q' P'N' PM P'N' Suy cách dựng - Trên AB lấy điểm Q’ , kẻ đường thẳng qua Q’ vuông góc với BC cắt BC t ại M’ Sau đó đặt M’N’=A’M’ , dựng hình vuông M’N’P’Q’ (28) - Nối BP’ cắt AC P , kẻ hai đường thẳng qua P // với N’P’ và M’N’ chúng cắt BC và AB N và Q Cuối cùng kẻ qua Q đường thẳng vuông góc với BC cắt BC M ta hình vuông MNPQ cần dựng * Chú ý : Ta còn có cách khác - Dựng hình vuông BCM’N’ nằm ngoài tam giác ABC Gọi B’C’ lần l ượt là giao c AB và AC v ới AB M’N’ Như phép vị tự tâm A tỉ số vị tự : k= AB' biến tam giác AB’C’ thành tam giác ABC , Cho nên biến hình vuông BCPQ thành hình vuông MNPQ cần tìm Vì ta cần kẻ qua B’ và C’ hai đường thẳng vuông góc với BC chúng cắt các cạnh Ac và AB các điểm P và Q , cắt BC N và M Hình vuông MNPQ tìm Ví dụ Gọi A là giao hai đường đường tròn cắt O và O’ Hãy dựng qua A đường thẳng cắt hai đường tròn B và C cho AC=2AB Giải Vẽ hình minh họa Từ hình vẽ ta có phân tích sau AC 2AB VA : B C Như phép vị tự tâm A đã biến B thành C Từ - Từ giả thiết , ta có : đó ta có cách dựng : - Dựng đường tròn ảnh đường tròn (O) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2 Giao đường tròn ảnh với đường tròn (O’) là C Đường thẳng AC chính là đường thẳng d cần dựng - Chứng minh : Do C là ảnh B qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2 cho nên AC=2AB Ví dụ Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với A( có bán kính khác ) Một điểm M nằm trên đường tròn (O) Dựng đường tròn qua M và tiếp xúc với O và O’ Giải - Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ đó có phân tích - Gọi S là tâm vị tự ngoài (O) và (O’) ,N là ảnh M qua phép vị t ự tâm S M’ là giao ểm th ứ hai AN với (O’) , Gọi O’’ là giao OM với O’M’ ( Chú ý : OM//O’N ) ta có : O''M O''M' O'N O'M' O'N M'O' nên O’’M=O’’M’ Chứng tỏ (O’’) tiếp xúc với (O) và (O’) M và M’ - Cách dựng : Tìm tâm S ( kẻ tiếp tuyến chung O và O’ cắt OO’ t ại S Nối SA cắt (O’) N và M’ O’ chính là giao OM với O’M’ BÀI TOÁN 3: QUỸ TÍCH ĐIỂM Để giải bài toán quỹ tích điểm M điểm A thay đổi trên đường (C ) cho sẵn Tr ước hết ta cần phải làm số việc sau (29) Trong hình H đã cho , ta tìm điểm A thay đổi trên đường (C ) cho s ẵn nào đó ( có thể là đường tròn , có thể là đường thẳng ) cho AM nằm trên đường thẳng qua điểm cố định I nào đó Gán cho A và M cùng với I hai tam giác dồng dạng , từ đó tìm t ỉ s ố không đ ối k Viết đẳng thức véc tơ : IM kIA để kết luận M là ảnh A qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự là k Nếu A chạy trên (C ) thì M chạy trên (C’) là ảnh (C ) qua phép vị t ự tâm I t ỉ s ố k Nêu cách dựng (C’) Ví dụ ( Bài 29-tr29-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) và điểm I cố định khác O Một điểm M thay đ ổi trên đ ường tròn Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹ tích điểm N Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ và tính chất đường phân giác chia cạnh đối diẹn làm hai doạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai cạnh đó Ta có kết sau : * Do O,I cố định cho nên OI=a không đổi Gọi N là chân đường phân giác c góc MOI ( N thu ộc NI OI a NI a a IN IM NM NI a R a R IM) , từ đó ta có : NM OM R Hay : IN a a IM IN IM a R a R V :M N Vì I cố định cho nên I,k Nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên N chạy trên đường tròn (C’) là ảnh (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k * Cách xác định (O’;R’) sau IO' kOI , từ đó suy O’ - Nối OI , tìm O’ cho : - Bán kính R’ xác định công thức : k= R’/R suy : R’=kR ( Hoặc : lấy O’ làm tâm quay đường tròn có bán kính là O’N ) Ví dụ ( Bài ÔN chương I-tr35-HH11-NC) Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ là đ ường kính thay đổi (O)khác với đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA ,PB M và N a/ Chứng minh Q là trung điểm CM , N là trung điểm CQ b/ Tìm quỹ tích các điểm M,N đường kính PQ thay đ ổi Giải (30) a Vẽ hình Từ hình xẽ ta thấy : Nối AQ, BQ , C đối xứng với A qua B cho nên ta có B là trung điểm AC : BA=BC (1) Mặt khác BQ vuông góc với AQ ( góc nội tiếp chắn nửa đ ường tròn ) PA vuông góc với AQ ( góc nội tiếp chắn ½ đường tròn ) suy PA // BQ đó BQ là đ ường trung bình tam giác ACM , nghĩa là Q là trung điểm CM - Tương tự BN là đường trung bình tam giác ACQ cho nên N là trung điểm CQ : NC=NQ (2) b/ Từ (1) và (2) ta có các đẳng thức véc tơ : 1 CM 2CQ V C;2 :Q M Cho nên M chạy trên đường tròn (O’) là ảnh (O) qua phép v ị tự tâm C , tỉ số vị tự 1 2 CN CQ V 1 C :Q N Vậy N chạy trên đường tròn (O’’) là ảnh (O) qua phép vị tự tâm C tỉ số k=1/2 - Hướng dẫn học sinh cách xác định hai tâm O’ và O’’ Ví dụ ( Bài 9-tr35-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định Một dây cung thay đổi (O;R) có đ ộ dài m không đổi Tìm quỹ tích các điểm G cho GA GB GC 0 Giảỉ * Vẽ hình cho học sinh Từ hình vẽ lấy I là trung điểm BC , nối OI ( OI vuông góc với BC ) A là điẻm cố định ( có thể nằm trên (O) hay không cần nằm trên (O) Do B,O c ố đ ịnh , góc OIB vuông cho nên BC thay đổi I chạy trên đường tròn tâm O bán kính R’= ( Xét tam giác vuông BOI ) R2 m2 * Từ giả thiết G là trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có : 2 AG AG AI V : I G AI 3 A; Do đó : G chạy trên đường tròn (O’) là ảnh đường tròn (O;R’) qua phép vị tự tâm A ,tỉ số vị tự 2/3 Ví dụ ( Bài toán 6-tr39-HH11CB) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)bán kính R , các d ỉnh B,C c ố đ ịnh còn A thay đ ổi trên (O) Chứng minh trọng tâm G tam giác ABC chạy trên đ ường tròn Giải - Vẽ hình , Gọi I là trung điểm BC , thì I cố định B,C cố định Theo tính chất tr ọng tâm : 1 IG IA IG IA VI3 : A G 3 Nhưng A chạy trên (O) đó G chạy trên (O’) là ảnh (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số 1/3 (31) IO' IO R ' R - Xác định (o’;R’) hệ : O'; R Ví dụ Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;3R) tiếp xúc với A Nếu O biến thành O’ phép vị tự tâm A thì tỉ số vị tự bao nhiêu ? Giải - Vẽ hình Từ giả thiết : AO’=R’, AO=R suy AO’=3AO AO' 3OA VA3 :O O' Hay : Do đó tỉ số vị tự là k=3 Ví dụ Cho đường tròn O và điểm P cố định ngoài (O) Từ P kẻ tiếp tuyến thay đổi PBC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC ? Giải Vẽ hình Gọi I là trung điểm BC thì theo tính chất đường kính qua điểm gi ữa dây cung : OI vuông góc với BC Như I nằm trên đường tròn đường kính OP Mặt khác theo tính chất trọng tâm , thì G nằm trên AI và cách A khoảng 2/3 AI , hay : 2 AG AI VA3 : I G Nhưng I chạy trên đường tròn đường kính OP cho nên G chạy trên đường tròn (O’) là ảnh đường tròn đường kính OP qua phép vị tự tâm A tỉ số 2/3 2 AO' AH R' 2 OP OP 3 ( Với H là trung điểm OP ) - Cách xác định O’ hệ : Ví dụ Cho đường tròn (O;R) và điểm I cố định với OI=2R M là điểm di đ ộng trên O , phân giác góc IOM cắt IM M’ Tìm quỹ tích điểm M’ M chạy trên đường tròn O Giải - Vẽ hình Theo tính chất đường phân giác : 2 M'I OI 2R IM' 2 IM' 2 2 IM' IM IM' IM MM' OM R IM' M'M IM 3 Vậy : Qua phép vị tự tâm I tỉ số 2/3 biến điểm M thành điểm M’ , M chạy trên đ ường tròn (O;R) cho nên M’ chạy trên (O’;R’) là ảnh (O;R) qua phép v ị t ự tâm I 2 IO' 3 IO R ' 2 R - Để xác định (O’;R’) : (32) Ví dụ Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với A , đường kính k ẻ t A cắt (O) , (O’) theo thứ tự B,C Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O);(O’) M,N Tìm quỹ tích giao điểm T BN và CM , d thay đổi ? Giải Vẽ hình minh họa Căn hình vẽ , ta có phân tích : BM và CN cùng vuông góc với đ ường thẳng d , suy BM//CN (1) Hai tam giác OCN đồng dạng với tam giác OBM cho nên : TN CN CA 2R ' R ' TN TB R' R BN R' R R k BT BN TB BM CB 2R R BT R BT R R' R R R BT BN VBR R ' : N T R R' Hay : Nhưng N chạy trên (O’;R’) cho nên T chạy trên đường tròn R ảnh (O’) qua phép vị tự tâm B tỉ số k = R R ' ( HD học sinh cách tìm giới hạn quỹ tích ) Ví dụ ( Bài 73-tr17- Ôn CI-BTHH11-NC) Cho điểm P nằm đường tròn (O) Một đường thẳng thay đổi qua P , cắt (O) t ại hai điểm PM PA PB A,B Tìm quỹ tích các điểm M cho Giải Vẽ hình minh họa choi học sinh Căn hình vẽ ta có phân tích : - Gọi I là trung điểm AB Theo tính chất trung điểm dây cung thì OI vuông góc với AB , có nghĩa là I chạy trên đường tròn đường kính OP (1) - Theo quy tắc véc tơ trung tuyến ta có : PM PA PB 2MI M phải nằm trên d I,P nằm trên PM 2PI VP2 : I M d Ví : PM=2MI=2(PM-PI) suy PM=2PI hay : Vậy phép vị tự tâm P biến điểm I thành thành M Nhưng I lại chạy trên (O;OP) vì M phải chạy trên đường tròn ảnh (O) qua phép vị tự tâm P tỉ số k=2 Ví dụ 10 Cho đường tròn (O) và điểm P ngoài O M là điểm thay đ ổi trên O H là hình chiếu vuông góc của O trên PM a/ Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác POM ? b/ Tìm quỹ tích các điểm H và trung điểm I PH ? c/ Tìm quỹ tích trọng tâm K tam giác OPH ? (33) Giải Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ hình vẽ phân tích cho HS biết : -Vì H là hình chiếu O trên PM cho nên OH vuông góc với PM , cho nên H nằm trên đ ường tròn O’ có đường kính OP - Gọi J là trung điểm PO ( J là tâm đường tròn O’) thì G phải nằm trên MJ và theo tính ch ất c 1 JG JM VJ3 : M G trọng tâm : Nhưng M lại chạy trên đường tròn O cho nên G chạy trên đường tròn O’’ là ảnh O qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 1 PI PH VP2 : H I - Vì I là trung điểm PH cho nên PI=1/2PH hay : Nhưng H lại chạy trên OP tâm J bán kính , cho nên I chạy trên đường tròn ảnh đường tròn tâm J qua phép vị tự tâm P tỉ số k= ½ - Trọng tâm K tam giác OPH phải nằm trên JH và theo tính chất trọng tâm , ta có : 1 OP JK JH VJ3 : H K Do K chạy trên đường tròn ảnh đường tròn tâm J bán kính qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 Ví dụ 11 Cho đường tròn O và điểm A nằm O , M là m ột điểm di đ ộng trên đ ường tròn O a/ Tìm quỹ tích trung điểm I AM ? b/ Đường trung trực AM cắt đường tròn O P và P’ Tìm quỹ tích chân đường vuông góc H kẻ từ O đến PP’ ? c/ Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APP’ ? Giải - Vẽ hình minh họa cho học sịnh Từ hình vẽ hãy cho học sinh số kết : 1 AI AM VA2 : M I * Vì I là trng điểm AM cho nên : Như qua phép vị tự tâm A tỉ số ½ đã biến M thành I , M chạy trên đường tròn O , cho nên I chạy trên đường tròn ảnh c O qua phép vị tự tâm A tỉ số k=1/2 * Đường trung trực AM phải qua I và vuông góc với AM (34) BÀI TOÁN CHỨNG MINH Ta hay gặp bài toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định , hay điểm nằm trên đường tròn cố định , hình vuông …tóm lại hình H cố định nào đó Khi đó ta ch ỉ cần chứng minh đường thẳng đó qua tâm vị tự hai hình H và H’ chứng minh M nằm trên đường tròn ảnh hình H qua phép vị tự tâm I tỉ số k Ví dụ Cho hai đường tròn (O ) và ( O2 ) ngoài , đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc ngoài O ;R O ;R với 1 và tiếp xúc ngoài với 2 Chứng minh đường thẳng nối hai tiếp điểm qua điểm cố định Giải Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ hình vẽ , phân tích cho học sinh thấy : O ;R O ;R * Gọi M,N thứ tự là hai tiếp điểm (O) với hai đường tròn 1 ; 2 Thì O1O O2O O O M O2M' O M'/ /O M Kẻ Thì ta có cho nên MM’ qua tâm vị tự ngoài hai đường tròn Do O2M' O2N R' k đó : O1M O1M R ON OM ON O2N 1 ON OM O NM' O N O M' OM O M' 2 2 * Hai tam giác : ONM đồng dạng với suy : Vậy MN qua tâm vị tự ngoài cố định hai đường tròn : O1 ;R1 ; O2 ;R Ví dụ Cho hai đường tròn O và O’ tiếp xúc ngoài với A Một góc vuông xAy quay xung quanh A , tia Ax cắt O M , tia Ay cắt O M’ Chứng minh đường thẳng MM’ luôn qua m ột điểm cố định Giải Nối MM’ cắt O’ N ta thấy : O'N song song cùng chiều với AM Tương tự A’ là giaocủa OO’ với A'M' / /AM OM / /O'M' Suy MM’ qua tâm vị tự hai đường tròn với O’ ta cùng thấy : Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC với trọng tâm G Gọi A’,B’,C’ lần l ượt là trung ểm c các c ạnh BC,CA,AB a/ Phép vị tự nào biến A thành A’,B thành B’ và C thành C’ ? b/ Chứng minh tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm tam giác A’B’C’ 1 GO GH c/ Gọi H là trực tâm tam giác ABC , chứng minh : Suy G,O,H nằm trên đường thẳng ( Đường thẳng Ơ-le ) Giải (35) a/ Theo tính chất trọng tâm tam giác : 1 1 1 GA' GA VG : A A';GA' GA VG : A A';GB' GB VG : B B' 2 1 GC' GC VG :C C' Như phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 biến ba điểm A,B,C thành ba điểm A’,B,C’ b/ Vì O là giao ba đường trung trực , cho nên OB’ ∟AC , AC//A’C’ cho nên OB’∟A’C’ Chứng tỏ OB’ là đường cao tam giác A’B’C’ Tương tự OA’ và OC’ vì O là trực tâm tam giác A’B’C’ c/ Do tam giác A’B’C’ là ảnh tam giác ABC qua phép vị tự tâm G t ỉ s ố k=-1/2 cho nên H bi ến 1 GO GH thành O và : BÀI TOÁN TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM – MỘT ĐƯỜNG QUA PHÉP VỊ TỰ * Sử dụng đẳng thức véc tơ phép vị tự và tính chất hai véc tơ , ta tìm kết 2 x 1 y 1 4 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (O) : Tìm phương trình đường tròn (O’) là ảnh (O) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2 Giải Tâm I (O) có tọa độ I(1;1) bán kính R=2 Nếu (O’) có tâm là J và bán kính R’ là ảnh c (O) qua phép vị tự tâm O ta có đẳng thức véc tơ : x' 2.1 OJ 2OI y' 2.1 Vậy (O’) : x 2 x' 2 J 2;2 y ' 2 R’=2R=2.2=4 y 2 16 Ví dụ ( Bài 1.23-BTHH11-CB-tr33) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x+y-4=0 a/ Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3 b/ Viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh d qua phép vị tự tâm I(-1;2) t ỉ s ố k=-2 Giải (36) a/Gọi M(x;y) là điểm thuộc d và M’(x’;y’) là ảnh c M qua phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k=3 Nếu M chạy trên d thì M’ chạy trên đường thảng d’ x' 3x OM' 3OM y ' 3y Theo tính chất phép vị tự : x' x y y ' x' y ' 2 0 2x' y ' 12 0 Thay (x;y) vào d: Vậy d’: 2x+y-12=0 x' x' x x' 2 x 2 2 IM' 2IM y y ' y ' y ' 2 y 2 2 b/ Tương tự trên ta có : x' y ' 2 0 2x' y ' 0 Thay vào d : Do đó d’’: 2x+y+2=0 Ví dụ ( Bài 1.24-tr33-BTHH11) 2 x 3 y 1 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ): Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) t ỉ s ố k=-2 Giải Gọi O(3;-1) là tâm (C ) có bán kính R=3 Đường tròn (C’) có tâm J(x;y) bán kính R’ là ảnh c (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 Theo tính chất phép vị t ự ta có : x 2 x IJ 2IO J 3;8 y y R’=2R=2.3=6 x 3 Vậy (C’) : 2 y 36 (37)