Viết phương trình của đường thẳng Δ nằm trong P, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến Δ bằng 3 √ 2 Câu VIIa 1,0 điểm : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số mà trong đó chữ số 2 [r]
(1)TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 21 -NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN-khối A-B-D (Thời gian: 180’- không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= x+2 x+ có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi M là điểm trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A và B Tìm tọa độ M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.( I là giao điểm các đường tiệm cận ) x x x π 1.Giải phương trình: 1+sin sin x − cos sin x =2cos ( − ) 2 x y x y 5 y2 5 y 2 x x Giải hệ phương trình: 2 x ( x sin x)sin x I dx sin x sin x Câu III(1 điểm): Tính tích phân: Câu II (2,0 điểm) Câu IV (1.0 điểm).Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, đỉnh A’ cách các điểm A, B, C Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện a √3 tích Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thoã mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức : 1 P a (a bc) 2b(b ac) b(b ac ) 2c(c ab) c (c ab) 2a (a bc ) B PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIa ( điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân đỉnh C biết phương trình đường 14 G ; thẳng AB là: x + y – = 0, trọng tâm tam giác ABC là 3 và diện tích tam giác ABC 65 (đvdt) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) x+ y − z +1=0 và đường thẳng: x −2 y − z −1 = = d: −1 −3 Gọi I là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng Δ nằm (P), vuông góc với d cho khoảng cách từ I đến Δ √ Câu VIIa (1,0 điểm) : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số mà đó chữ số có mặt đúng hai lần, chữ số có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần Theo chương trình Nâng cao Câu VIb ( điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, cạnh đáy BC có phương trình: x+ y + = (d1) phương trình đường cao kẻ từ B là d2 : x -2y – = Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ đỉnh C Viết phương trình các cạnh bên tam giác ABC 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x z1 y Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d cho khoảng cách từ d tới (P) là lớn x x 2 2 x3 16.2 x 8 2 x3 4 x ( x ) Câu VIIb (1,0 điểm): Giải phương trình HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN Câu Câu I (2 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 21 -NĂM 2011-2012 Môn: TOÁN-khối A-B-D Điểm Đáp án 1.(1.0 điểm) *Tập xác định: R\{-2} *Sự biến thiên x+ 2¿ ¿ ¿ y'= ¿ -Chiều biến thiên: 0,25 x≠-2 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;-2) và (-2;+) -Cực trị: hàm số không có cực trị -Giới hạn và tiệm cận: lim y= lim y =3⇒ y=3 là x →− ∞ x→+ ∞ tiệm cận ngang đồ thị +¿ x → −2 y=− ∞ ⇒ x=2 lim y =+ ∞ ; lim x →− − 0,25 là ¿ tiệm cận đứng đồ thị Bảng biến thiên x y ’ y ++ + + 0,25 * y f(x)=(3x+2)/(x+2) x=-2 y=3 0,25 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 x=0y=1; y=0x=- (1 điểm) Gọi 0,25 a+2 M (a ; )∈( C) ,a ≠ −2 a+2 Phương trình tiếp tuyến (C) M là: x (3) a+2 ¿ ¿ ¿ y= ¿ Câu II (2 điểm) ()Đồ thị: Đường thẳng d1:x+2=0 và d2:y3=0 là hai tiệm cận đồ thị a− 0,25 ¿ , d1=A(-2; a+2 d2=B(2a+2;3) Tam giác IAB vuông I AB là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB diện tích hình tròn S= a+ 2¿ 0,25 ¿≥8π 64 a+2 ¿2 + ¿ 4¿ AB2 π π = ¿ 4 Dấu xảy và chi a+2¿ ¿ ⇔ ¿ a=0 ¿ a=− 0,25 ¿ ¿ ¿ 16 a+2 ¿2= ¿ ¿ ¿ Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán M(0;1) và M(-4;5) 1.(1 điểm) Phương trình O π 1+cos ( − x ) x x ⇔ 1+sin sin x − cos sin x=20,25 2 x x ⇔ 1+sin sin x − cos sin x=1+sin x 2 x x ⇔ sin x (sin − cos sin x −1)=0 2 ⇔ sin x=0 ⇔ x=kπ , k ∈ Z ¿ (*) x x 0,25 sin − cos sin x − 1=0 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,25 x x x x x x (*) sin 2sin cos 0 sin 2sin (1 sin ) 0 2 2 2 x x x 2sin sin 0 sin 1 x k 4 2 (4) Vậy phương trình đã 0,25 cho có nghiệm x=k,kZ 2.(1 điểm) x y x y 5 (*) y2 5 y 2 x x Điều kiện : 3x y 0; x y 0 x 0 0,5 2 x xy y 0 (*) x y x y 5 x y x y 0 x y x y 5 y 2 x x y x y 5 x 2 y x y x y 5 0.25 y 2 x x x 5(VN ) y 1 x 2 x 2 y 0,5 y y 5 Vậy hệ có nghiệm (2;1) Câu III (1,0 đ) 2 I 2 x ( x sin x)sin x x(1 sin x) sin x dx dx (1 sin x)sin x (1 sin x)sin x 2 2 x dx dx sin x sin x u x du dx dx v cot x dv sin x * Đặt 2 2 * 0,25 2 2 2 x 3 dx x cot x| cot xdx x cot x ln sin x |3 sin x 3 3 2 dx 3 sin x 3 x tan | 2 2 dx dx x 2 cos x 2cos 2 2 2 0,25 0,25 4 I Vậy 4 3 0,25 1,0 H×nh kh«ng gian A’ C’ (5) B’ H A C C©u IV O M B ( điểm ) - Do A’A = A’B = A’C nên hình chiếu vuông góc A’ lên (ABC) trùng với 0,25 trọng tâm O tam giác ABC Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên AA’, Khi đó (P) (BCH) Gọi M là trung điểm BC thì MH AA’ và A ' AM nhọn H nằm AA’ Thiết diện lăng trụ cắt (P) là tam giác BCH ABC cạnh a nên AM= a √ , AO= AM= a √ ; HB = HC = 3 2 0,25 a AH HM BC Theo bài ra: S BCH= a2√ a2 √ a √3 ⇒ HM BC= ⇒ HM= 8 AH=√ AM2 − HM2= √ a2 a2 a − = 16 Hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng A ' O= Suy A ' O HM = AO AH 0,25 AO HM a √ a √ a = = AH 3a 1 a a √3 a3√ Thể tích khối lăng trụ : V = A ' O S ABC= A ' O AM BC= a= 23 12 ( đvtt) Tìm giá trị lớn 1 + + 2 a +2 b +3 b +2 c +3 c + 2a 2+3 1 1 = 2 ≤ Ta cã a2+b2 2ab, b2 + 2b 2 ab+ b+1 a +2 b + a +b +b +1+2 1 1 1 ≤ , ≤ Tương tự: 2 b +2 c +3 bc+c +1 c +2 a +3 ca +a+1 1 1 1 ab b P≤ + + = + + = ab+b+1 bc+ c+ ca +a+1 ab+b +1 b+1+ab 1+ ab+b 1 P= a = b = c = VËy P lớn a = b = c = 2 Ta có: Câu V ( điểm) P= 0,25 1,00 0,25 ( ) ( ) 0,25 0,25 0,25 Theo chương trình chuẩn Viết phơng trình đờng tròn 1,0 (6) C G A C©u VI.a (2 điểm) H B Gọi H là trung điểm AB CH AB CH có pt : x-y-3=0 1 H CH AB H ; 2 CG 2GH C (9;6) Gọi A(a;2-a) B( 5-a; a-3) 13 13 AB (5 2a; 2a 5); CH ; 2 65 65 SABC AB.CH 8a 40a 0 2 Theo gt : *a=0 A 0; ; B 5; 3 *a=5 A 5; 3 ; B 0; 0,25 0,25 a 0 a 5 Đường tròn (c ) cần tìm có pt dạng: x y 2ax 2by c 0 (a b c 0) (c ) qua A, B, C nên: 4b c a 137 / 26 10a 6b c 34 b 59 / 26 18a 12b c 117 c 66 /13 x2 y 0,25 0,25 137 59 66 x y 0 13 13 13 Vậy đường tròn cần tìm có pt: 1,0 2.Viết phơng trình đờng thẳng n(P )=(1; ; −1) và d có véc tơ phương • (P) có véc tơ pháp tuyến u=( 1; −1 ; −3) 0,25 I =d ∩( P)⇒ I (1 ; ; 4) n(P) ; u ] =(− ; ; −2) • vì Δ ⊂(P); Δ ⊥ d ⇒ Δ có véc tơ phương uΔ=[ • Gọi H là hình chiếu I trên Δ ⇒ H ∈mp(Q) qua I và vuông góc Phương trình (Q): −2( x −1)+( y −2)−(z −4 )=0 ⇔ − x + y − z +4=0 Gọi d 1=(P) ∩(Q) ⇒d có véctơ phương n(P) ; n(Q) ]=(0 ; ; 3)=3( 0; ; 1) [ Ta có và d ⇒ ptd : x=1 qua I y=2+t z =4+ t ¿{{ H ∈ d ⇒ H (1; 2+t ; 4+ t)⇒ IH=(0 ; t ; t) IH=3 √2 ⇔ √ t 2=3 √ ⇔ t=3 ¿ t=−3 • ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Δ 0,5 (7) x −1 y − z −7 • TH1: t=3 ⇒ H (1 ; 5; 7)⇒ pt Δ : − = = − x −1 y +1 z −1 TH2: t=−3 ⇒ H (1 ; −1 ; 1) ⇒ pt Δ: −2 = = −1 0,25 1,0 Tìm số các số tự nhiên gồm chữ số… x a1a2 a3a4 a5a6 a7 Câu VIIA Gọi số cần tìm là: (a1 0) a · Giả sử có thể 0: ( điểm) + Số cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C72 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số là: C53 + Số cách xếp cho vị trí còn lại là: 2! · xét 0,5 C82 0,25 a1 = 0: + Số cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C62 C43 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số là: + Số cách xếp cho vị trí còn lại là: Vậy số các số cần tìm là: C72 C53 2!C82 C62 C43 11340 (số) C©u VI.b Theo chương trình nâng cao Viết phương trình đường thẳng AB, AC 0,25 1,0 B d1 d B(0; –1) BM (2; 2) MB BC ( 2điểm) Kẻ MN // BC cắt d2 N , tam giác ABC cân BCNM là hình chữ nhật 0,25 1 N ; PT đường thẳng MN: x y 0 N = MN d2 3 5 C ; x y 0 NC BC PT đường thẳng NC: C = NC d1 3 AB qua B và AB CM PT đường thẳng AB: x y 0 0,25 0,25 AC qua C và AC BN PT đường thẳng AC: x y 0 Câu VIIb 0,25 1,0 Viết phương trình mặt phẳng… * Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên d =>H cố định và AH = const Do 0,25 (P)//d nên khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (p) 0,25 d ( H , p ) HI HA HI * Gọi I là hình chiếu vuông góc H trên (p) lớn A ≡ I => (p) là mặt phẳng qua A nhận AH làm VTPT 0,25 u=(2 ; 1; 3) H ∈ d ⇒ H (1+2 t ; t ; 1+3 t) Và là véc tơ AH ⊥ d ⇒ AH u =0 ¿ phương d) ⇒ H (3 ; ; 4) ⇒ AH(−7 ;− 1; 5) 0,25 (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x +y - 5z -77 = 1,0 Giải pt…… 0,25 x x 2 x3 2 x 2 x3 4 x 4 2 4 2 ĐK: x Với đk đó pt 2 4 x 2 (24 x 1) x (24 x 1) 0 (2 x 1)(42 x 1 x 0 x 1 TH1: 3 42 x 2 2 x x 2 x TH2: x 2 x ) 0 0,25 (8) ( x 2)( x x 4) x 2( x 2) x 0 (*) x 2x x2 2 2 Giải (*):VT = x x ( x 1) 3 ; VP = Vậy nghiệm PT là: x = 1; x = 2( x 2) x2 2 0,25 1 x2 2 (*) VN 0,25 - Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng cho điểm tối đa- Trường THPT Triệu Sơn 4: Hướng dẫn làm bài thi khảo sát chất lượng lần năm học 2011- 2012 Môn: Toán Câu 1: 1.( điểm): HS tự khảo sát và vẽ đồ thị a+2 )∈( C) ,a ≠ −2 ; Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) M ; 2.( điểm): Gọi M (a ; a+2 tìm các giao điểm A, B (d) với các tiệm cận Tam giác IAB vuông I AB là đường kính (9) a+ 2¿ ¿≥8π 64 a+2 ¿2 + ¿ đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB diện tích hình tròn S= Dấu xảy và chi 4¿ AB2 π π = ¿ 4 a+2¿ ¿ ⇔ ¿ a=0 ¿ M(0;1) và M(-4;5) a=− ¿ ¿ ¿ 16 a+2 ¿2= ¿ ¿ ¿ π 1+cos ( − x ) x x Câu 2: ( điểm): pt ⇔1+sin sin x − cos sin x=2 2 x k x x sin x.(sin cos sin x 1) 0 2 x k 4 x = k, kZ 2( điểm): Đk : x 0;3x y 0; x y 0 x y x y 0(1) 2 x xy y 0 3x y x y 5 x y x y 5(2) Từ (1) y=2x x = 2y vào (2) từ đó suy nghiệm hệ phương trình là: (2;1) Câu 3(1 đ): 2 * I 2 x ( x sin x)sin x x(1 sin x) sin x dx (1 sin x)sin x dx (1 sin x)sin x 2 2 2 2 x 3 dx x cot x| cot xdx x cot x ln sin x | 3 sin x 3 3 2 2 2 dx sin x 2 x dx dx 3 sin x sin x C ’ A ’ 2 dx dx 3 2 I 2 x 3 2cos cos x 2 2 B ’ H Câu 4(1 điểm): Từ gt suy hình chiếu vuông góc A’ trên (ABC) C trùng với trọng tâm O tam giác ABC Gọi H là hình chiếu vuông góc A O M B lên AA’ , thiết diện là tam giác HBC Gọi M là trung điểm BC a a AM= √ , AO= AM= √ HM BC ; B 3 2 a2√ a2 √ a √3 ; AH=√ AM2 − HM2= a − a = a S BCH= ⇒ HM BC= ⇒ HM= 8 4 16 A ' O HM A ' O AO.HM a a a = AH 3a AH Do hai tam giác A’AO và MAH AO √ 1 a a √3 a √3 Thể tích khối lăng trụ : V = A ' O S ABC= A ' O AM BC= ( đvtt) a= 23 12 (10) 1 + + 2 a +2 b +3 b +2 c +3 c + 2a 2+3 1 1 = 2 ≤ Ta có: a2+b2 2ab, b2 + 2b 2 a +2 b + a +b +b +1+2 ab+ b+1 1 1 1 ≤ , ≤ Tương tự 2 b +2 c +3 bc+c +1 c +2 a +3 ca +a+1 1 1 1 ab b P≤ + + = + + = ab+b+1 bc+ c+ ca +a+1 ab+b +1 b+1+ab 1+ ab+b 1 P= a = b = c = 1.VËy P lớn a = b = c = 2 Câu 6a ( 2điểm) Câu 5( điểm): P= ( ) ( ) 1 H CH AB H ; 2 1( điểm) Gọi H là trung điểm AB CH AB CH : x-y-3=0 ; 13 13 AB (5 2a; 2a 5); CH ; CG 2GH C (9;6) ; Gọi A(a;2-a) B( 5-a; a-3) 2 a 0 65 65 SABC AB.CH 8a 40a 0 2 a 5 * a = A 0; ; B 5; 3 Theo gt : 137 59 66 x y 0 13 13 13 *a=5 PT đường tròn qua điểm A, B, C là: n(P )=(1; ; −1) và d có véc tơ phương u=( 1; −1 ; −3) 2( điểm): (P) có véc tơ pháp tuyến ; I =d ∩(P)⇒ I (1 ; ; 4) u Δ =[ n(P) ; u ] =(− ; ; −2) • vì Δ ⊂(P); Δ ⊥ d ⇒ Δ có véc tơ phương • Gọi H là hình chiếu I trên Δ ⇒ H ∈mp (Q) qua I và vuông góc Δ Phương trình (Q): x y z 0 ; Gọi d 1=( P)∩(Q) ⇒d có véctơ phương ⇒ ptd : x=1 n(P) ; n(Q) ]=(0 ; ; 3)=3(0; ; 1) và d qua I y=2+t [ z =4+ t ¿{{ Ta có H ∈ d ⇒ H (1; 2+t ; 4+ t)⇒ IH=(0 ; t ; t) ; • IH 3 2t 3 t= x −1 y − z −7 x −1 y +1 z −1 t=3 ⇒ H (1 ; 5; 7)⇒ pt Δ : = = = = ; t=−3 ⇒ H (1 ; −1 ; 1)⇒ pt Δ : −2 −1 −2 −1 x a1a2 a3a4 a5 a6 a7 Câu 7a ( điểm):Gọi số cần tìm là: (a1 0) · Giả sử a1 có thể 0: + Số cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C7 x2 y A 5; 3 ; B 0; Số cách xếp vị trí cho ba chữ số là: C5 ; Số cách xếp cho vị trí còn lại là: · xét a1 = 0: + Số cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C6 2! C8 C4 ; + Số cách xếp cho vị trí còn lại là:7 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số là: 2 Vậy số các số cần tìm là: C7 C5 2!C8 C6 C4 11340 (số) Câu 6b : 1(1 điểm): B(0; –1) BM (2; 2) MB BC Kẻ MN // BC cắt d N thì BCNM là hình 8 1 N ; chữ nhật ; PT đường thẳng MN: x y 0 N = MN d2 3 x y 0 5 C ; C = NC d1 3 NC BC PT đường thẳng NC: AB CM PT đường thẳng AB: x y 0 AC BN PT đường thẳng AC: x y 0 2( điểm) : Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên d ; Gọi I là hình chiếu vuông góc H trên (p) d ( H , p ) HI HA HI lớn A ≡ I => (p) là mặt phẳng qua A nhận AH làm VTPT (11) u =(2 ; 1; 3) AH(−7 ;− 1; 5) ) ⇒ H (3 ; ; 4)⇒ AH ⊥ d ⇒ AH u =0 ¿ (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x +y - 5z -77 = H ∈ d ⇒ H (1+2 t ; t ; 1+3 t) Và 2 x 2 (24 x 1) x (24 x 1) 0 (24 x 1)(4 2 Câu 7b : Với x PT 4 x 1 x 0 x 1 TH1: 3 x 2 x ) 0 ( x 2)( x x 4) 2 x 2 x x 2 x x 2( x 2) TH2: x=2 Vậy nghiệm PT là: x = 1; x = Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng cho điểm tối đa 2( x 2) x2 2 (12)