Họ tên học sinh:.. Số báo danh:.[r]
(1)Sở GD&ĐT Thành phố Đà Nẵng Trường THPT Trần Phú
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối: D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu I (2,0 ñiểm) Cho hàm số: y =3x2− x3+1
1) Khảo sát biến thiên vẽñồ thị (C) của hàm sốđã cho
2) Tìm điểm M đồ thị (C) cho tiếp tuyến tại M với (C) ñi qua gốc tọa ñộ O Câu II (2,0 điểm)
1) Giải phương trình : 1( cot cot2 ) 14 48
sin cos
+
+ =
x x
x x
2) Giải phương trình: 2
2x + +x x + +3 2x x + =3 Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
( )
2
2
0 2
− −
∫ x e x dx
x
Câu IV (1,0 ñiểm) Cho lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ∆ABC vng tại B Biết AB = a , AA’ = 2a và A’C = 3a Gọi M trung ñiểm A’C’ I giao điểm của AM với A’C Tìm thể tích tứ diện IABC khoảng cách từ B’ ñến mặt phẳng (IBC)
Câu V (1,0 ñiểm)
Cho ba số dương ,x y z th, ỏa x+ + =y z Chứng minh log log log
+ + ≥
+ + +
y x z y xz
x y y z z x PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2,0 ñiểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn ( )C :x2+ y2−2x−2y + =1 ñường thẳng
:x y
∆ − + = Tìm đường thẳng ∆ điểm M cho đường trịn (C’) tâm M có bán kính gấp
đơi bán kính đường trịn (C) tiếp xúc ngồi với (C).
2) Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A(2; 0; ,) M(0;−3; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, M cắt trục Oy, Oz tại ñiểm B,C cho khối tứ diện OABC có thể tích
Câu VIIa (2,0 ñiểm) Tổng kết học kỳ ở trường THPT có 50 học sinh giỏi dó có cặp anh em sinh đơi Nhà trường chọn nhóm gồm học sinh giỏi ñể báo cáo phương pháp học tập Hỏi có cách chọn khác nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi
B Theo chương trình Nâng cao Câu VI b (2,0 ñiểm))
1) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC∆ có H( )1; hình chiếu vng góc đỉnh A lên đường thẳng BC Phương tình đường phân giác BD x + y – = ñường cao CE 2x + y – = Viết phương trình hai cạnh AB BC của ∆ABC
2) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( )S :x2+ y2+ z2− 6x +8y + 2z + =1 mặt phẳng
( )P :x+2y− + =5z Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với trục Ox, vng góc với (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn có bán kính
Câu VII b (1,0 ñiểm) Ở khối 12 trường THPT có lớp ban tự nhiên , lớp ban lớp ban xã hội Chọn ngẫu nhiên lớp ñể tham dự Tư Vấn Mùa Thi Tìm xác suất để lớp chọn có đủ
cả ba ban
- Hết - Học sinh khơng sử dụng tài liệu
(2)D.2012-1 Sở GD&ĐT Thành phố Đà Nẵng
Trường THPT Trần Phú
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối: D
Câu Đáp án Điểm
I (2,0 ñiểm)
1 (1,0 ñiểm)
Tập xác ñịnh D = ℝ * y'=6x −3x 2 0,25
'= ⇔0
y , lim ; lim
2 → + ∞ → − ∞
= =
⇒ = −∞ = + ∞
= =
x x
x y
y y
x y 0,25
Bảng biến thiên
x −∞ +∞
y’ 0
y +∞ CT
1 CĐ −∞
0,25
Đồ thị 0,25
2 (1,0 ñiểm)
Gọi M a( , 3a2− a3 + ∈1) ( )C 0,25
Viết ñúng phương trình tiếp tuyến tại M: y =(6a −3a2)x − 3a2+ 2a3+1
0,25
3
2 1
2 ∈ ∆ ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −
O a a a a 0,25
Có hai điểm M :( )1; , 15; −
0,25
II (2,0 ñiểm)
1 (1,0 ñiểm)
Điều kiện: sin2x ,
π
≠ ⇔ ≠x k k∈ℤ 0,25
Biến đổi phương trình thành: 14 14 48
sin x+cos x= 0,25
4 2
48 sin cos sin cos
⇔ x x+ x x− = sin2 cos2 sin2 cos2
8
−
⇔ x x= ∨ x x= 0,25
1 sin
2
x= ± (thích hợp)
8
π π
⇔ = +x k 0,25
2 (1,0 ñiểm)
Đặt t = +x x2+3 ⇒2x2+ 2x x2+ = −3 t2 3 0,25
Biến đổi phương trình thành: t2+ −t 12= ⇔ = − ∨ =0 t t 0,25 4:
= −
t phương trình vơ nghiệm 0,25
3
= ⇒ =
t x 0,25
III (1,0 ñiểm)
(1,0 ñiểm)
( )
( )
2
2
2
2
− −
= = −
⇒
=
=
− −
x x
u x e du x x e dx dx
dv v
x x
0,25
2 1
1
0 0 x
2
−
−
⇒ = −
− ∫
x
x
x e
I x e d
x 0,25
6
4
2
1
2
O x
(3)D.2012-2
− −
= =
⇒
= = −
x x
u x du dx
dv e dx v e
1 1 1
0
0
− − −
⇒ ∫ x e xdx= −x e x − e x
0,25
Tính I = −1
e 0,25
IV (1,0 ñiểm)
1 (1,0 ñiểm)
Gọi H hình chiếu của I lên AC Lý luận được IH đường cao tính IH = 4a
3 0,25
Tính
3
1
3 ∆
= ABC = a
V S IH 0,25
Lý luận ñược d C( ' ;(IBC))= d C( ' ;(A BC' ))= d A( ;(A BC' )) 0,25
( )
( ) '
'
3 2a
; '
5 ∆
⇒ = A A BC =
A BC
V d A A BC
S 0,25
V (1,0 ñiểm)
1 (1,0 ñiểm)
Suy 0<x y z, , <1 Chứng minh ñược số logy x, logz y, logx z dương 0,25 Áp dụng bñt TBC-TBN cho số dương: log , log , log
+ + +
yx z y x z
x y y z z x ta có:
( )( )( )
3
log log log
+ + ≥
+ + + + + +
y x z y xz
x y y z z x x y y z z x (1)
0,25
Vì ( ) ( ) ( ) 33( )( )( )
2
+ + = + + + + + ≥ + + +
x y z x y y z z x x y y z z x 0,25
( )( )( ) ( )
3 2
3
+ +
⇒ x+ y y +z z + x ≤ x y z = (2) Thay (2) vào (1) biến ñổi ñến kết cuối
0,25
VIa (2,0 ñiểm)
1 (1,0 ñiểm)
(C) có tâm I(1;1) có bán kính R = Khi đó bán kính của (C1) R1 = 0,25
( ; 3)
∈ ∆ ⇒ +
M M a a ⇒ IM = 2a2+ 2a + 0,25
(C1) tiếp xúc với (C) ⇔ IM = R + R1 =3 0,25
2
2
⇔ a + a − =
2
=
⇔
= −
a
a Kết luận có hai ñiểm : M1( )1; , M2(−2;1) 0,25
2 (1,0 ñiểm)
Gọi B(0; ; 0b ) C(0; 0;c) Giả thiết
6
= = =
OABC
V OA OB OC b c
0 ,
⇒b ≠ c≠
0,25 H
I
M B
C
A' C'
(4)D.2012-3 Ta có phương trình (P):
2
x y z b c
+ + = M(0; 3; 6) ( )P 1( ) b c
− ∈ ⇒ − + = 0,25
Giả thiết
OABC
b c V
b c =
= ⇒
= −
( )2 ( ) ( )
3
1 , 3
,
2 b c
b c
= =
⇒
= − = −
0,25
Kết luận ñúng hai phương trình (P): 2
3
x y z x y z
+ + − =
− − − =
0,25
VIIa (1,0 ñiểm)
1 (1,0 ñiểm)
Chọn học sinh từ 50 học sinh: Có C503 cách 0,25 Chọn cặp anh em sinh đơi: Có C31 cách
Chọn học sinh cịn lại: Có 48
C cách 0,25
Số cách chọn học sinh có cặp anh em sinh đơi: 1 48
C C cách 0,25
Số cách chọn học sinh khơng có cặp anh em sinh đơi:
3 1
50− 48 =
C C C 19.456 cách 0,25
VIb (2,0 ñiểm)
1 (1,0 ñiểm)
Gọi K ñiểm ñối xứng của H qua BD I = KH∩BD ; 2
I 0,25
Xác ñịnh ñược K(2 ; 2) viết ñúng phương trình: AB: x – 2y – = 0,25 Xác ñịnh ñược ;
3
B Viết phương trình BC: 2x − − =y 0,25 2 (1,0 ñiểm)
(S) có tâm I(3; 4; 1− − ), bán kinh R = Tọa ñộ VTPT của (P): =(1 ; ; 5− )
n VTCP của Ox: =(1; 0; 0)
i 0,25
VTPT của (Q): = 1∧ =(0 ;−5 ; −2)
n n i Phương trình (Q): 5y + 2z + d = 0,25 (Q) cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn có bán kính
⇒ ( ) 2
, ( ) = −4 =3
d I Q 0,25
22
3 29
−
⇔ d = Hai pt mp(Q) : 5y+2z+22 29± =0 0,25
VIIb (1,0 ñiểm)
1 (1,0 ñiểm)
Gọi A: “Chọn lóp tham gia Tư vấn mùa thi có đủ ban” Ta có Ω =C184 0,25 Tính Ω =A C C C81 71 32 +C C C81 72 31 + C C C82 71 31 0,50 Tính ( )
17 Ω
= =
Ω
A
P A 0,25