phßng GD&§T thêng xu©n trêng thcs l¬ng s¬n.. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.[r]
(1)phßng GD&§T thêng xu©n trêng thcs l¬ng s¬n đề thi học sinh giỏi n¨m häc 2009 – 2010 m«n: to¸n (Thêi gian lµm bµi: 120 phót) Bµi 1: (5 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: x x 2 x 2008 x 2007 x 2008 Bµi 2: (6®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x x 0 2 1 1 x x x x x x x x x Bµi 3: (2®iÓm) CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã: (a+b+c)( + + ¿ ≥ a b c Bài 4: (7 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lÊy ®iÓm D cho HD = HA §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M là trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM và BEC đồng d¹ng TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD Tia AM c¾t BC t¹i G Chøng minh: BC AH HC (2) Bµi 1 C© u Néi dung §iÓm 2,0 1.1 (0,75 ®iÓm) 0.5 x x x x x x x 1 x 1 x 1 x 1.2 0,5 (1,25 ®iÓm) x 2008 x 2007 x 2008 x x 2007 x 2007 x 2007 0,25 x x 2007 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008 2 2 2 2.1 x 3x x 0 0,25 0,25 2,0 (1) + NÕu x 1 : (1) x 1 0 x 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x 1 ) x 1: + NÕu (1) x x 0 x x x 1 0 x 1 x 3 0 0,5 x 1; x 3 (cả hai không bé 1, nên bị lo¹i) VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm nhÊt lµ x 1 2.2 2 0,5 1 1 x x x x x x x x x (2) x Điều kiện để phơng trình có nghiệm: (2) 1 x x2 x x 1 x x x x x 0,25 1 2 x x x x 16 x x x 0 hay x vµ x 0 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x 0,5 0,25 (3) 2.0 3.1 Ta cã: A= (a+ b+c )( + + )=1+ a + a + b +1+ b + c + c +1 a b c b c a a b a c c b = 3+( + )+( + )+( + ) b a c a b c x y + ≥ (B§T C«-Si) Mµ: y x Do đó A 3+2+2+2=9 Vậy A 3.2 0,5 c a b 0,5 Ta cã: P ( x ) x x x x 2008 x 10 x 16 x 10 x 24 2008 0,5 Đặt t x 10 x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: P ( x ) t t 3 2008 t 2t 1993 Do đó chia t 2t 1993 cho t ta có số d là 1993 0,5 4,0 4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung CD CA CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) 1,0 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: BEC ADC 135 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt) Nên AEB 45 đó tam giác ABE vuông cân A Suy ra: 4.2 BE AB m BM BE AD Ta cã: BC BC AC (do BEC ADC ) mµ AD AH (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BM AD AH BH BH AB BE (do ABH CBA ) nªn BC AC AC BHM BEC Do đó (c.g.c), suy BHM BEC 1350 AHM 450 4.3 0,5 0,5 ra: 0,5 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC Suy ra: GB AB GC AC , 0,5 mµ 0,5 (4) AB ED AH HD ABC DEC ED // AH AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC 0,5 (5)