HSG Toan 8

phßng GD&§T thêng xu©n trêng thcs l¬ng s¬n.. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.[r]

phßng GD&§T thêng xu©n trêng thcs l¬ng s¬n đề thi học sinh giỏi n¨m häc 2009 – 2010 m«n: to¸n (Thêi gian lµm bµi: 120 phót) Bµi 1: (5 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: x  x  2 x  2008 x  2007 x  2008 Bµi 2: (6®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  x   x  0 2 1   1     x     x     x    x    x   x  x  x    x  Bµi 3: (2®iÓm) CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã: (a+b+c)( + + ¿ ≥ a b c Bài 4: (7 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H  BC) Trên tia HC lÊy ®iÓm D cho HD = HA §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m  AB Gọi M là trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM và BEC đồng d¹ng TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD  Tia AM c¾t BC t¹i G Chøng minh: BC AH  HC Bµi 1 C© u Néi dung §iÓm 2,0 1.1 (0,75 ®iÓm) 0.5 x  x   x  x  x   x  x  1   x  1  x  1  x   1.2 0,5 (1,25 ®iÓm) x  2008 x  2007 x  2008 x  x  2007 x  2007 x  2007  0,25  x  x   2007  x  x  1  x  1  x  2007  x  x  1  x  x  1  x  x  1  2007  x  x  1  x  x  1  x  x  2008  2 2 2 2.1 x  3x   x  0 0,25 0,25 2,0 (1) + NÕu x 1 : (1)   x  1 0  x 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x 1 ) x  1: + NÕu (1)  x  x  0  x  x   x  1 0   x  1  x  3 0 0,5  x 1; x 3 (cả hai không bé 1, nên bị lo¹i) VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm nhÊt lµ x 1 2.2 2 0,5 1   1     x     x     x    x    x   x x  x  x    (2) x  Điều kiện để phơng trình có nghiệm: (2) 1     x     x2  x x   1         x     x     x   x   x      0,25 1  2     x     x    x     x   16 x x     x 0 hay x  vµ x 0 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x  0,5 0,25 2.0 3.1 Ta cã: A= (a+ b+c )( + + )=1+ a + a + b +1+ b + c + c +1 a b c b c a a b a c c b = 3+( + )+( + )+( + ) b a c a b c x y + ≥ (B§T C«-Si) Mµ: y x Do đó A 3+2+2+2=9 Vậy A 3.2 0,5 c a b 0,5 Ta cã: P ( x )  x    x    x    x    2008  x  10 x  16   x  10 x  24   2008 0,5 Đặt t  x  10 x  21 (t  3; t  7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: P ( x )  t    t  3  2008 t  2t  1993 Do đó chia t  2t  1993 cho t ta có số d là 1993 0,5 4,0 4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung CD CA  CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) 1,0 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)   Suy ra: BEC  ADC 135 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt)  Nên AEB 45 đó tam giác ABE vuông cân A Suy ra: 4.2 BE  AB m BM BE AD     Ta cã: BC BC AC (do BEC ADC ) mµ AD  AH (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BM AD AH BH BH       AB BE (do ABH CBA ) nªn BC AC AC BHM BEC Do đó (c.g.c), suy   BHM BEC 1350  AHM 450 4.3 0,5 0,5 ra: 0,5 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC Suy ra: GB AB  GC AC , 0,5 mµ 0,5 AB ED AH HD   ABC DEC    ED // AH   AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD      Do đó: GC HC GB  GC HD  HC BC AH  HC 0,5