NÕu bít ®i mét ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại.[r]
(1)§Ò thi kh¶o s¸t häc sinh giái ( 2008-2009) M«n: To¸n Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Phßng GD- §T PHÚC THỌ TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN ========== Bµi (1,5 ®iÓm) Rót gän c¸c biÓu thøc sau : 1 a)A = + + 1+ √ √5+ √9 b) B = x3 - 3x + 2000 víi x = 1 + + √9+ √13 √ 2001+ √ 2005 √3 3+2 √2 + √3 3− √2 √2005+ √2009 Bài (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) 3x2 + 4x + 10 = 14 x b) 4 x2 x 16 x x y y 5 y c) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - = 0; (với x ; y nguyên) Bµi 3: (2,0 ®iÓm) a b ab a , b a) Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× ta lu«n cã: Dấu đẳng thức xảy nào ? b) Cho ba sè thùc a, b, c kh«ng ©m cho a b c 1 Chứng minh: b c 16abc Dấu đẳng thức xảy nào ? 6 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña gãc nhän th× biÓu thøc P sin cos cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt ? Cho biÕt gi¸ trÞ bé đó Bµi 4: (1,5 ®iÓm) Mét ®oµn häc sinh ®i c¾m tr¹i b»ng « t« NÕu mçi « t« chë 22 ngêi th× cßn thõa mét ngêi NÕu bít ®i mét ô tô thì có thể phân phối tất các học sinh lên các ô tô còn lại Hỏi có bao nhiêu học sinh cắm trại vµ cã bao nhiªu « t« ? BiÕt r»ng mçi « t« chØ chë kh«ng qu¸ 30 ngêi Bµi ( 3,0 ®iÓm ) 1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD vµ ABC 1 2 r a a) Chøng minh : R 8R 3r ( R r ) ; ( KÝ hiÖu S ABCD lµ diÖn tÝch tø gi¸c ABCD ) b) Chøng minh : BC BAC 1080 2) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã Chøng minh : AC lµ sè v« tØ S ABCD =============================================== TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN Bµi Hd chÊm §Ò thi kh¶o s¸t häc sinh giái ( 2008-2009) M«n: To¸n -S¬ lîc lêi gi¶i Cho (2) ®iÓm Bµi 1.b (1,5 ®) a Bµi 2a (2,0®) ¸p dông c«ng thøc (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), víi a= √3 3+2 √2 , b= √3 3− √2 và biến đổi => x3 = + 3x Suy B = 2006 Cã A = √ −1 + √ − √ + √ 13 − √ + + √2005 − √ 2001 + −1 −5 13 −9 2005 −2001 2009 − 2005 √ √ 2009 −2005 Rút gọn, đợc A = √ 2009 −1 2 x ;x 2 Giải, xác định đúng điều kiện: 2 x x x 2 x = 0,75 0,75 0,25 ( x 2) ( x 7) 0 x x 0 x 2 x 2 x x 0 (Thỏa mãn) b c Bµi 3a (2,0®) x 0 (1) (2) x 16 0 (3) x 0 x y y 0 (4) Điều kiện : Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) 0 x 0 kết hợp với (1) và (3) suy x = Thay vào (4): y2 – 2y + 0 ; Đúng với giá trị y Thay x = vào phương trình và giải đúng, tìm y = 1,5 Vậy nghiệm phương trình: (x = 2; y = 1,5) Biến đổi đưa pt dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = x2 – 2y – = x2 = 2y2 + x lẻ Đặt x = 2k + ; ( k Z ) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 2y2 = 4k2 + 4k – y2 = 2(k2 + k – 1) y chẵn Đặt y = 2n; (n Z ) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + là hai số nguyên liên tiếp) (*) vô nghiệm pt đã cho vô nghiệm Ta cã: 0,25 0.5 0,25 0,25 0,25 a 2ab b a 2ab b a b ab ab 4 a b 0, a, b R b 0,25 a b ab, a, b R a b 4ab, a, b R VËy: Dấu đẳng thức xảy a b Theo kÕt qu¶ c©u 3.a, ta cã: 2 a b c a b c 4a b c mµ a b c 1 (gi¶ thiÕt) 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) nªn: 4a b c b c 4a b c (v× a, b, c kh«ng ©m nªn b + c kh«ng ©m) c b c 4bc (kh«ng ©m) Nhng: Suy ra: b c 16abc a b c 1 b c , a Dấu đẳng thức xảy khi: b c Ta cã: P sin cos sin co s 0,25 P sin cos sin sin cos cos P sin cos 3sin cos 1 3sin cos ¸p dông kÕt qu¶ c©u 3.1, ta cã: sin 2 cos 4sin cos 4sin cos sin cos P 1 3sin cos 1 Suy ra: Pmin Bµi (1,5®) Bµi (3,0®) 1a 4 vµ chØ khi: sin cos sin cos (v× lµ gãc nhän) 0,25 0,25 Do đó: sin 0,25 1 tg 1 450 cos + Gäi sè « t« lóc ®Çu lµ x ( x nguyªn vµ x 2) Sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22x + 0,25 + Theo giả thiết: Nếu số xe là x thì số học sinh phân phối cho tất các xe, 0,25 mçi xe chë sè häc sinh lµ y (y lµ sè nguyªn vµ < y 30) 22 x 23 22 x 1 y 22 x y x x + Do đó ta có phơng trình: 0,25 x + Vì x và y là số nguyên dơng, nên ph¶i lµ íc sè cña 23 x x Mµ 23 nguyªn tè, nªn: hoÆc x 23 x 24 NÕu x 2 th× y 22 23 45 30 (tr¸i gi¶ thiÕt) 0,25 y 22 23 x 24 NÕu th× < 30 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n) 0,25 + VËy sè « t« lµ: 24 vµ tæng sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22 24 23 23 529 häc sinh 0,25 Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đờng 0,25 trung trực đoạn thẳng BD,BD là đờng B E trung trùc cña AC.Do vËy nÕu gäi M,I,K lµ giao điểm đờng trung trực đoạn M th¼ng AB víi AB,AC,BD th× ta cã I,K lµ O tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác C A I ADB,ABC Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy K điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đờng chéo EI D vµ AB vu«ng gãc víi vµ c¾t t¹i trung điểm đờng ) 0,25 0 Ta cã BAI EBA mµ BAI ABO 90 EBA ABO 90 0,25 Xét EBK có EBK 90 ,đờng cao BM.Theo hệ thức tam giác vuông ta có 1 2 BE BK BM (4) 1b a 1 2 R r a (§pcm) Mµ BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn XÐt AOB vµ AMI cã AOB AMI 90 vµ A chung AOB AMI AO AM AM AB AB AO AB AI AI 2R BM AB AB BO BK 2r Chứng minh tơng tự ta đợc AB S ABCD 2 AO.OB 2 Rr Ta cã Mà theo định lí Pi ta go tam giác vuông AOB ta có 2 1 r AB OA2 OB AB AB 4R R r R r2 8R 3r S ABCD 2 (R r ) Từ đó ta có : 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 B A x C D Kẻ tia Cx cho CA là tia phân giác BCx , tia Cx cắt đờng thẳng AB D.Khi đó Ta có DCA ACB 36 DCA cân C , BCD cân B AB AC DC Theo tính chất đờng phân giác tam giác BCD ta có CB AB BC CA ; BC BD CD AD CA BD CA BC CA BC ( BC CA) CA2 BC BC.CA CA2 0 CA BC CA 0,25 0,25 BC BC BC 0 CA CA CA BC BC BC 0) CA ( V× CA VËy AC lµ sè v« tØ 0,25 (5)