§Ị thi häc sinh giái líp Thêi gian lµm bài: 150 ( không kể thời gian giao đề ) Câu 1: ( điểm ) Giải phơng trình: x −5 − x − 14 =3 3+ x −5 C©u 2: ( điểm ) Rút gọn biểu thức: a) A= x8 + 3x + x4 + x2 + b) B= x − x −1 + x + x −1 x − 4( x − 1) (1 − ) x −1 C©u 3: ( 0.5 điểm ) Khoanh tròn vào đáp án đúng: Tỉ số bán kính đờng tròn ngoại tiếp đờng tròn nội tiếp tam giác vuông cân là: A + B + C D −1 2+ 2 C©u 4: ( 0.5 điểm ) Khoanh tròn vào đáp án Cho ABC vuông A, điểm I nằm tam giác vÏ ID ⊥ BC , IE ⊥ CA , IF ⊥ AB BiÓu thøc: ID + IE + IF nhỏ khi: A I tâm đờng tròn nội tiếp B I tâm đờng tròn ngoại tiếp C I trọng tâm tam giác D I trung điểm đ ờng cao AH ( H BC ) Câu 5: ( điểm ) Điền số thích hợp vào ô trống: a) − + = b 45 + 29 + 45 − 29 = C©u 6:(2 điểm)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cã cđa c¸c biĨu thøc sau: A = x − 2x + 2 B = x ( x − 3)( x + 1)( x + 4) Câu 7: ( điểm ) Gọi ha, hb, hc đờng cao tơng ứng với cạnh a, b, c tam giác ABC; r bán kính đờng tròn nội tiếp Chứng minh: + hb + hc ≥ 9r b + hb + hc ≥ 27r C©u 8: ( điểm ) Giải phơng trình: a 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x b x − + x + = x3 Câu 9: ( điểm ) Cho tứ giác ABCD, gọi I giao điểm cđa hai ®êng chÐo KÝ hiƯu S1 = S∆AIB ; S2 = S∆CID ; S = S ABCD a Chøng Minh: S1 + S2 ≤ S b Khi tø gi¸c ABCD hình thang hệ thức xảy nh nào? Câu 10: ( điểm ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: A= x2 + x + x2 + C©u 11: ( ®iĨm ) Cho P= 1 + + =0 a b c Tính giá trị biÓu thøc ab bc ac + + c2 a2 b2 Câu 12: ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D cho CD = 2BD So sánh ã BAC ã DAC Câu 13: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 4x = 19 3y2 Câu 14: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác x, y, z độ dài đờng phân giác góc đối diện với cạnh Chứng minh rằng: 1 1 1 + + > + + x y z a b c Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp Năm học: 2008-2009 Câu 1: (1 điểm) giải phơng trình: x5 x 14 =3 3+ x (1) Giải: đk: Đặt x5 x = t ≥ ⇔ x = t2 + t2 − (1) ⇔ t − = ⇔ 3t + t − t + = 3t + ⇔ 0t = 3+t v« số nghiệm với t phơng trình có Vậy phơng trình (1) có vô số nghiệm với x Câu 2: (2 điểm) rút gọn biÓu thøc sau a Ta A= x8 + 3x + x4 + x2 + cã: A = Gi¶i: x + x + x − x + 2x + x − x4 + 2x2 + 2x4 − 2x2 + = x4 + x2 + x4 + x2 + 8 6 x ( x − x + 2) + x ( x − x + 2) + 2( x − x + 2) ( x + x + 2)( x − x + 2) A= = = x4 − x2 + 4 x +x +2 x +x +2 b B = x − x −1 + x + x −1 x − 4( x − 1) (1 − ) x −1 (1) ®k: x > 1; x ≠ ta cã: ( x − − 1) + ( x − + 1) x − = x −1 ( x − 2) B= x −1 −1 + x −1 + x − x−2 x −1 NÕu: x > ta cã: B= x −1 −1 + x −1 +1 x − = x−2 x −1 x −1 NÕu: 1 ta cã: VT = x − + x + > −1 + = VP = 1- x3 < x > không thoả mãn Vậy nghiệm phơng trình x = B Câu 9: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD, gọi I giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo KÝ hiƯu S1 = S∆AIB ; S2 = S∆CID ; S = S ABCD S1 H a Chøng Minh: S1 + S2 ≤ S S3 I A b Khi tứ giác ABCD hình thang hệ thức xảy Cnh S4 nào? K S2 Gi¶i: a Gäi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S = S AID D KỴ Ta AH ⊥ BD; CK ⊥ BD S AIB = AH BI S BI ⇔ = (1) cã: S4 DI S AID = AH DI SCID = CK DI S BI ⇔ = (2) S2 DI S BIC = CK BI Tõ (1) vµ (2) suy ra: S1 S3 = ⇔ S1.S2 = S3 S (3) S4 S2 Ta cã: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4 ≥ S1 + S2 + S3 S4 (4) Tõ (3) vµ (4) ta suy ra: S ≥ S1 + S2 + S1.S2 = ( S1 + S2 )2 ⇔ S ≥ (®pcm) b Khi tứ giác ABCD hình thang ta xét: * NÕu AB // CD ta cã: S ACD = S BCD suy ra: S S1 + S2 = S ⇒ S = S1 + S * NÕu BC // AD ta cã: S ABC = S CAD Suy ra: S = S ⇒ S ≥ S1 = S 2 DÊu b»ng s¶y khi: S1 = S = S = S = S ABCD hình bình hành Câu 10: (2 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: A= x2 + x + x2 + Giải: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau: A= x2 + x + ⇔ Ax + A = x + x + ⇔ ( A − 1) x − x + A − = x2 + XÐt: A-1 = ⇔ A = ⇒ x = XÐt: A-1 ≠ A Để biểu thức A có giá trị lớn có giá trị nhỏ phơng trình có nghiệm: Ta có: = − 4( A − 1)( A − 1) = − A2 + A − = −4 A2 + A − ≥ ⇔ A2 − A + ≤ ∆ ' = 16 − 12 = ⇔ ∆ ' = ⇔ A1 = ; A2 = 2 VËy Amax = x = A = x = -1 1 + + = TÝnh C©u 11: cho a b c ab bc ac + + c2 a2 b2 giá tri biểu thức P = Giải: Ta cã: Mµ: 1 1 1 1 1 1 + + ÷ = + + + 3( + )( + )( + ) a b b c c a a b c a b c 1 1 1 1 + =− ; + =− ; + =− a b c b c a c a b 1 1 + 3+ 3− =0⇔ + + = a b c abc a b c abc ab bc ac abc abc abc 1 = + + = + + = abc( + + ) c a b c a b c a b =3 vµ (4) suy ra: P = abc abc Tõ (1) vµ (2) ta cã: Mµ: P Tõ (3) (1) (2) (3) (4) Vây P = Câu 12: : ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lÊy ®iĨm D cho CD = 2BD So sánh BAC DAC Giải: Gọi M trung điểm DC Trên tia đối A DC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA ta cã ∆ AMC = ∆ EMD (c.g.c) v×: MA = ME (c/d) ∠AMC = ∠EMD (® ®); MD = MC (cd) Do ®ã: AC = ED; ∠CAM = ∠DEM C B M D Mặt khác ADC > ABC (góc ABD ) Mà ABC = ACB ADC > ∠ACD ⇒ AC > AD Hay DE > AD ⇒ ∠A2 > ∠E Hay ¢2> ¢3 (1) Ta cã ∆ ABD = ∆ ACM (c.g.c) ⇒ ∠A1 = ∠A3 (2) Từ (1) (2) suy ra: Â2 > Â1 Mà: ¢2 +¢3 > ¢1+ ¢3 hay 2¢1 < ¢2 + ¢ VËy: ∠BAD < ∠CAD E ... trình: 2x2 + 4x = 19 3y2 Câu 14: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác x, y, z độ dài đờng phân giác góc đối diện với cạnh Chứng minh rằng: 1 1 1 + + > + + x y z a b c Đáp án đề thi học sinh giỏi... câu (A): I tâm đờng tròn nội tiếp ID + IE + IF nhá nhÊt C©u 5: (1 ®iĨm) a − − + = − b 45 + 29 + 45 − 29 = C©u 6: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt nÕu cã cđa c¸c biĨu thøc sau: A... x = B Câu 9: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD, gọi I giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo KÝ hiƯu S1 = S∆AIB ; S2 = S∆CID ; S = S ABCD S1 H a Chøng Minh: S1 + S2 ≤ S S3 I A b Khi tứ giác ABCD hình thang hệ thức