Tính thể tích theo a của hình nón được tạo thành khi quay ∆ABC một vòng quanh cạnh AC cố định... 1 Chúng minh tứ giác BFEC nội tiếp.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề gồm có 01 trang, có 05 câu) Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x + x − 10 = 2) Giải phương trình x + x − = 2 x − y = 3) Giải hệ phương trình x + y = Câu (2,25 điểm) 1) Vẽ đồ thị hàm số ( P ) : y = x 2) Tìm giá trị tham số thực m để Parabol ( P ) : y = x và đường thẳng (d) : = y x − 3m có đúng điểm chung 3) Cho phương trình x + x − = Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình Không giải phương trinh, hăy tính giá trị biểu thức Q = x12 + x22 + x1 x2 x−4 x−2 x Câu (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A = + : x (với x > 0; x ≠ ) x x −2 Câu (1,75 điểm) 1) Hằng ngày bạn Mai học xe đạp, quảng đường từ nhà đến trường dài km Hôm nay, xe đạp hư nên Mai nhờ mẹ chở đến trường xe máy với vận tốc lớn vận tốc di xe đạp là 24 km / h , cùng thời điểm khởi hành ngày Mai đã đến trường sớm hon 10 phút Tinh vận tốc bạn Mai học xe đạp 2) Cho ∆ABC vuông tai A , biết= AB a= , AC a (với a là số thực dương) Tính thể tích theo a hình nón tạo thành quay ∆ABC vòng quanh cạnh AC cố định Câu (3,0 điểm) (2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) Ba đường cao AD , BE , CF cắt H 1) Chúng minh tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm O đường tròn ngoại tiểp tứ giác BFEC 2) Gọi I là trung điểm AH Chứng minh IE là tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Vẽ CI cẳt đường tròn (O) M ( M khác C ), EF cắt AD K Chứng minh ba diể B , K , M thẳng hàng -HẾT - (3) HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x + x − 10 = Lời giải Phương trình: x + x − 10 = có: a = , b = , c = −10 Ta có: ∆= 32 − ⋅ ⋅ ( −10)= 49 Phương trình có hai nghiệm phân= biệt: x1 −3 + 49 −3 − 49 = , x2 = = −5 ⋅1 ⋅1 2) Giải phương trình x + x − = Lời giải Giải phương trình: x + x − = (1) Đặt t = x , điều kiện ( t ≥ ) Khi đó phương trình đã cho trở thành: 3t + 2t − = (2) Ta có: ∆= 2 − ⋅ ⋅ ( −5)= 64 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: = t1 t2 = −2 + 64 = (thỏa điều kiện) 2⋅3 −2 + 64 = − (không thỏa điều kiện) 2⋅3 Với t = ⇒ x = 1⇔x= x = −1 Tập nghiệm phương trình là S = {1; −1} 2 x − y = 3) Giải hệ phương trình x + y = Lời giải 2 x − y = −7 y = y = 2 x − y = 1 −7 ⇔ ⇔ ⇔ 2y 4y 3y = x + = 2 x + = 2 x − = x (4) Vậy nghiệm hệ phương trình là ( 2;1) Câu (2,25 điểm) 1) Vẽ đồ thị hàm số ( P ) : y = x Lời giải Tập xác định: D = a= > , hàm số đồng biến x > , hàm số nghịch biến x < Bảng giá trị x y = x2 −2 0 −1 1 Đồ thị hàm số y = x là đường cong Parabol qua điểm O , nhận Oy làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên 2) Tìm giá trị tham số thực m để Parabol ( P ) : y = x và đường thẳng (d) : = y x − 3m có đúng điểm chung Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm ( P ),(d) ta được: x = x − 3m ⇔ x − x + 3m = (1) Để ( P ) cắt (d) có đúng điểm chung và chi (1) có nghiệm kép (5) ⇔ ∆′ = ⇔ − m = ⇔ m = Vậy m = thỏa mãn yêu cầu bài toán 3) Cho phương trình x + x − = Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình Không giải phương trinh, hăy tính giá trị biểu thức Q = x12 + x22 + x1 x2 Lời giải Vì x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt phương trình đã cho nên áp dụng hệ thức Vi-et với x + x2 = −5 phương trình x + x − = ta có: x1 x2 = −4 Ta có: Q =x12 + x22 + x1 x2 =( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 =( x1 + x2 ) + x1 x2 2 ⇒ Q =− ( 5)2 + 4( −4) =9 Vậy Q = x−4 x−2 x Câu (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A = + : x (với x > 0; x ≠ ) x −2 x Lời giải x−4 x−2 x = + A : x x −2 x ( x + 2)( x − 2) x ( x − 2) + A : x x − x A= ( x + + x − 2) ⋅ A= x⋅ x x = Vậy với x > 0, x ≠ thì A = Câu (1,75 điểm) (6) 1) Hằng ngày bạn Mai học xe đạp, quảng đường từ nhà đến trường dài km Hôm nay, xe đạp hư nên Mai nhờ mẹ chở đến trường xe máy với vận tốc lớn vận tốc di xe đạp là 24 km / h , cùng thời điểm khởi hành ngày Mai đã đến trường sớm hon 10 phút Tinh vận tốc bạn Mai học xe đạp Lời giải Gọi vận tốc Mai học xe đạp là x( km / h)( x > 0) Thời gian Mai xe đạp hết quẫng đường km là ( h) x Hôm nay, Mẹ chở Mai đến trường xe máy với vận tốc là x + 24( km / h) Thời gian xe máy hết quầng đường km là ( h) x + 24 Vi củng thời điểm khởi hành ngày Mai đã đến trường sớm 10 3 = phút = h nên ta có phương trình: − x x + 24 ⇔ 18( x + 24) − 18 x = x( x + 24) ⇔ x + 24 x − 432 = Ta có ∆=′ 12 + 432 = 576 > nên phương trinh có nghiệm phân biệt x = −12 + 576 = 12 (tm) x = −12 − 576 = −36( ktm) Vậy vận tốc Mai học bẳng xe đạp là 12 km / h 2) Cho ∆ABC vuông tai A , biết= AB a= , AC a (với a là số thực dương) Tính thể tích theo a hình nón tạo thành quay ∆ABC vòng quanh cạnh AC cố định Lời giải Hình nón tạo thành quay ∆ABC vòng quanh cạnh AC cố định có đường cao= h AC = a và bán kinh đường tròn đáy = R AB = a 1 2π a 2 Vậy thể tích khối nón tạo thành là V = π R h = π ⋅ a ⋅ a = 3 Câu (3,0 điểm) Cho ∆ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) Ba đường cao AD , BE , CF cắt H (7) 1) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm O đường tròn ngoại tiểp tứ giác BFEC 2) Gọi I là trung điểm AH Chứng minh IE là tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Vẽ CI cẳt đường tròn (O) M ( M khác C ), EF cắt AD K Chứng minh ba điểm B , K , M thẳng hàng Lời giải A E I F H B D O C 1) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC = 90° Vì CF ⊥ AB nên CFB = 90° Vì BE ⊥ AC nên BEC = BEC = 90° Xét tứ giác BEFC có: E , F là hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh BC và CFB nên tứ giác BFEC nội tiếp Tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC là trung điểm cạnh BC 2) Gọi I là trung điểm AH Chứng minh IE là tiếp tuyến đường tròn (O) (8) A E I F H B D O C Xét ∆AEH vuông H , có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh AH nên = EI = AH IH = Suy ra: ∆IEH cân I ⇒ IEH IHE = BHD (Hai góc đối đỉnh) Mà IHE = BHD (1) Suy ra: IEH Ta lại có: OB = OE = R ⇒ ∆OEB cân O = (2) ⇒ OBE OEB + OEB = BHD + OBE Từ (1) và (2), ta có: IEH + OBE =° Mặt khác: BHD 90 (vì ∆BHD vuông D ) + OEB = + OBE =° = 90° Suy ra: IEH BHD 90 hay OEI ⇒ OE ⊥ EI Và E ∈ (O) Do đó: IE là tiếp tuyến đường tròn (O) (9) 3) Vẽ CI cắt đường tròn (O) M ( M khác C ), EF cắt AD K Chứng minh ba điểm B , K , M thẳng hàng A E I M K F H B D O C Ta có: góc BMC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc BMC = 90 độ ⇒ BM ⊥ IC Xét ∆IEK và ∆IDE có: là góc chung EIK ) IDE = IEK =( ECF Do đó: ∆IEK ∽ ∆IDE (g.g) ⇒ IE IK = ⇒ ID.IK = IE2 ID IE Mặt khác: IM.IC = IE2 (Bạn đọc tự chứng minh) ⇒ ID.IK = IM.IC ⇒ IM IK = ID IC Xét tam giác IMK và tam giác IDC có: Góc MIK là góc chung IM IK = ID IC (10) ⇒ ∆IMK ∽ ∆IDC = =° ⇒ KMI CDI 90 ⇒ KM ⊥ IC BM ⊥ IC ⇒ B , M , K thẳng hàng KM ⊥ IC (11)