II.Các bước giải phương trình vô tỉ Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Lựa chọn phương pháp giải phù hợp Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.. Các kiến thức liên quan.[r]
(1)Trường THCS Hàn Thuyên – Lương Tài Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A.LÝ THUYẾT I Định nghĩa Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn các dấu II.Các bước giải phương trình vô tỉ Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Lựa chọn phương pháp giải phù hợp Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm III Các kiến thức liên quan Các phép biến đổi tương đương phương trình, các phép biến đổi hệ phương trình 2.Các phép biến đổi thức 3.Các dạng phương trình đã học -Phương trình bậc -Phương trình tích -Phương trình chứa ẩn mẫu -Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối -Phương trình bậc 2, pt bậc cao 4.Các phương pháp đánh giá giá trị biểu thức B.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I.Phương pháp nâng lên lũy thừa Dạng 1: f(x) g(x) f(x) g(x) 0 Dạng 2: f(x) g(x) g(x) 0 f(x) (g(x)) Dạng 3: f(x) g(x) h(x) f(x) 0 g(x) 0 f(x) g(x) f(x).g(x) h(x) Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 2x x (2) b) x x 2x 3 c) 2x x 1 Giải: a) ĐKXĐ: x ≥ 3/2 2x x 2x x Khi x ≥ bình phương vế không âm ta có: 2x – = x2 – 6x +9 x2 – 8x + 12 = (x – 2)(x – 6) = x1 = ( Không thỏa mãn ĐK) x2 = ( thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = b) x x 2x x 2x x Với ĐKXĐ: -4≤ x ≤ 1/2 ta có: x + = – 3x + 2x x 2x + = 2x x Khi x ≥ - ½ bình phương vế không âm ta có: (2x + 1)2 = (1 – x)(1 – 2x) 2x2+7x = x1 = 0; x2 = - 7/2 thử lại các điều kiện ta x = Vậy phương trình có nghiệm x = 3 c) 2x x 1 3x 3 2x x( 2x x ) 1 thay 3x 3 2x x 1 3 2x x 1 ta có: 2x x x (2x 1)x x x(x 1)2 0 x1 0;x Thử lại có x = thỏa mãn Vậy x = là nghiệm phương trình đã cho Nhận xét: Nếu dùng phép biến hệ thì sau tìm x ta phải thử lại kết luận nghiệm II.Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Giải phương trình : x x x x 2 Giải: ĐKXĐ: x ≥ (3) x x x x 2 x x x x 2 ( x 1)2 ( x 1)2 2 x x 2 +) Nếu x > ta có phương trình: x 1 x 2 không thỏa mãn +) 1≤ x ≤ ta có phương trình: = luôn đúng với 1≤ x ≤ Vậy: 1≤ x ≤ III.Phương pháp đặt ẩn phụ 1.Đặt ẩn phụ để đưa phương trình tích Ví dụ 1: Giải phương trình: x x3 x x 1 x Giải: Điều kiện x ≥ Đặt: a x 1;b x x x a.b x với a ≥ 0; b ≥ phương trình đã cho thành: a + b = + ab (a -1)(b – 1) =0 a= b = +) a = ta có: x =1 x = thỏa mãn đk +) b = ta có: x x x = 1 x3 + x2 + x = x(x2 + x + 1) = (Không thỏa mãn) x 0 x x 0 (Phương trình vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x = 2.Đặt ẩn phụ để đưa phương trình với ẩn phụ 2.1.Nếu bài toán có chứa f(x) và f(x) ta đặt t = f(x) ( t ≥ 0) đó f(x) = t2 2.2.Nếu bài toán có chứa Đặt t = f(x); g(x) f(x) ( t ≥ 0) thì 2.3.Nếu bài toán có chứa và g(x) f(x).g(x) k k t f(x) g(x); f(x).g(x) mà f(x)+g(x)=k đó: t k f(x).g(x) Đặt t = thì Ví dụ: Cho phương trình: 2(x2- 2x) + x 2x - = f(x) g(x) Giải: ĐKXĐ: x ≥ ; x ≤ -1 Đặt t = ( k là số) đó: x 2x với t ≥ ta có phương trình: (4) 2t2 + t – = t1 = ( thỏa mãn); t2 = - 3/2 ( không thỏa mãn) Với t = thì x 2x =1 x2 – 2x -3 =1 ( x - 1)2 = x = ( thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm là: x = 3.Đặt ẩn phụ để đưa phương trình bậc hai với ẩn phụ và tham số là x (Áp dụng ∆ là bình phương) 2 Ví dụ: Giải phương trình: x 2x x 2x : Đkxđ: x ≤ ; x ≥ 2 Đặt t = x 2x với t ≥ ta có pt: x2 – 2tx – = có ∆’ = t2 +1 =( x-1)2 đó x = t±(x – 1) ta có trường hợp sau : +) trường hợp : x = x 2x + (x – 1) x 2x =1 x2 – 2x -1= x = ( thỏa mã điều kiện) 2 +) trường hợp : x = x 2x - (x – 1) x 2x = 2x -1 Với x ≥ 1/ ta có : 3x2 – 2x + = có ∆’ = -2 nên pt này vô nghiệm KL : Vậy pt đã cho có nghiệm là : x = 4.Đặt ẩn phụ để đưa phương trình ban đầu hpt với ẩn phụ và ẩn x Ví dụ 1: Giải phương trình: x x 5 Giải: ĐK: x ≥ -5 đặt x =a ( a ≥ 0) suy x + = a2 a2 – x = Ta có hệ phương trình sau: (1) x a 5 (2) a - x Trừ vế (1) cho (2) ta có : x a a + x 0 (x a)(x a 1) 0 x a x a +) Với x = a ta có: x = x Khi x ≥ bình phương hai vế ta có: x – x -5 = ∆ = 21 phương trình có nghiệm : 21 x1 ( Không thỏa mãn đk) (5) 21 x2 ( Thỏa mãn đk) +) Với x = -a – ta có : x= - x - 1 x = -x – Khi x ≤ -1 bình phương vế ta x + = x2 + 2x + x2 + x – = ∆ = 17 phương trình có nghiệm : 17 x1 ( Không thỏa mãn đk) x2 17 ( Thỏa mãn đk) 21 17 x1 x2 2 KL : Vậy phương trình có hai nghiệm : ; 5.Đặt ẩn phụ để đưa phương trình ban đầu hpt với ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình 8 x 5 x 5 Giải: ĐKXĐ: ≤ x ≤ 25 đặt x a (a 2 2); x b (b 0) ta có hpt: a b 5 a b 5 a b 5 2 a b 13 (a b) 2ab 13 ab 6 Vậy a, b là nghiệm phương trình: X2 – 5X + = X1 = 2, X2 = (a;b){(2;3);(3;2)} đối chiếu với điều kiện a 2 Suy a = 3; b =2 ta có hệ: x 3 x 1 x 1 x 2 x 1 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình có nghiệm x = IV.Phương pháp nhân liên hợp Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải:ĐK x 3x ( x 1 1) x 10 x 0 3x ( x 1) 3x 3x 1 x 10 x 10 (1) (2) (1) (2) 3x 3x 10 3x 4 x 5 Đối chiếu với ĐKXĐ suy phương trình có nghiệm là : x = ; x=5 (6) Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 2x x x x (2) x 0 x 0 x 2x 0 x Đk: (2) biến đổi thành x 2x x x x x 1 4 x 2x x 2x x x x x 1 4 x 2x x x x x x x 4 x 2x x 0 x x x x 1 1 2x x x x x 4 x 0 (do 2x x 0) x x x x 2 Đối chiếu với điều kiện xác định suy x = là nghiệm phương trình Nhận xét: ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp pt có dạng: f(x) g(x) h(x)(f(x) – g(x)) = V.Phương pháp đánh giá Ví dụ 1: Giải phương trình : ĐKXĐ: x > ; x < − 2x 2x 2 2x 2x Áp dụng BĐT Cô si suy VT ≥ 2x 2x 2 2x 2x Giải: (7) Dấu “=” xảy 4x2 = 4x2 + 4x + ⇔ x=− không thỏa mãn ĐKXĐ Vậy pt vô nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: √ x+ √ x +1=1 ( Sách bài tập toán tập 1) Giải: ĐKXĐ: x ≥ Với x ≥ phương trình có VT ≥ dấu “ =” xảy x = Vậy nghiệm phương trình là x = Ví dụ 3:Giải phương trình: x2 + x - 2x + 1= Giải: ĐKXĐ: x ≥ -1 phương trình biến đổi thành (x 1) 0 x 1 x (x – 1)2 + x =0 x 0 không tìm x KL: Phương trình vô nghiệm 3 Ví dụ 4: Giải phương trình 2x x 1 (Tính đơn điệu hàm số) Giải: Ta thấy vế trái phương trình là hàm số đồng biến Với x < thìVT < Với x = thì VT = VP Với x > Thì VT > VP Vậy x = là nghiệm phương trình VI.Phương pháp điều kiện cần và đủ Áp dụng với bài toán tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm vô số nghiệm Dựa vào tính chất hàm số Ví dụ 1: Tìm m để pt sau có nghiệm nhất: x x m (nếu pt có nghiệm x0 thì có nghiệm –x0) Gải: Ta thấy pt có nghiệm x0 thì có nghiệm –x0 Vậy để phương trình có nghiệm thì x0 = - x0 x0 = Thay x0 = vào phương trình suy m = Thử lại: Với m = ta có phương trình: x x 3 ĐK 1- x2 ≥ 2 Ta thấy: x 1; x 1 x x 3 x 1 x 0 3 Do đó pt có nghiệm và khi: x 1 (đúng) Vậy phương trình có nghiệm và m = (8) Ví dụ 2: Tìm m để pt sau nghiệm đúng với x ≥ x 2x m 2m x m Giải: Nếu pt có nghiệm đúng với x ≥ thì có nghiệm x = nên ta có: m 2m m m ≥ bình phương vế ta có: -m2 + 2m + = m2 – 4m + 2m( m – 3) = m ≥ suy m = Thử lại: Với m = ta có phương trình: x 2x x x x x 0 x x (Luôn đúng) Vậy với m = thì phương trình có nghiệm đúng với x ≥ VII Một số bài toán khác Ví dụ 1:Giải phương trình x(3x 1) x(x 1) 2 x Giải: Đkxđ: x ≤ -1/3; x = 0; x ≥ +) x = là nghiệm phương trình đã cho +) x ≤ -1/3 phương biến đổi thành: x( 3x 1) x( x 1) 2 ( x)2 ( 3x 1) ( x 1) 2 x ( 3x 1) 2 x ( x 1) (do x 0) x(x 1) 2x vì VT > mà VP < suy phương trình này vô nghiệm +)Khi x ≥ chia vế cho x ta có: 3x x 2 x 3x 2 x x x 2 x x Do x ≥ thì VP ≥ 0; VT ≤ nên phương trình có nghiệm 1 x 0 x 1 2 x x 0 ( thỏa mãn đk) KL: Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = Ví dụ 2: Giải phương trình x x 5x 14 (1) Giải: ĐKXĐ: x ≥ -1 (9) 1 x2 5x 14 x 0 x 6x x x 0 (x 3)2 ( x 2)2 0 (x 3)2 0 x 0 x 3 (Thỏa mãn Đkxđ) x ( x 2) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình : x 20 x 4 Giải: ĐK: ≤ x ≤ 20 Đặt t= 20 x ( t ≥ 0) suy x = 20 –t4 Phương trình trở thành : 20 t t 4 20 t 4 t Đk: t ≤ bình phương vế ta có: 20 – t4 = 16 – 8t + t2 t4 + t2 – 8t – = (t – 2)(t3 + 2t2 + 5t + 2) = t ≥ Suy t = 2 20 x 2 20 x 16 x 4 ( thỏa mãn đk) Vậy phương trình có nghiệm x = C.CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải các phương trình sau: a) x x 1 b) 15 x x 6 3 d) x x 5x c) 4x 3x 1 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) x x x 1 b) x 2x x c) x 2x x 2x 2x 2 d) x 6x x 6x Bài 3: Giải các phương trình sau: 2 a) x 3x x x x 2x b) ( x x 2)(1 x 7x 10) 3 c) x 3x 2x d) x x 2x 11 e) x x x 2 Bài 4: Giải các phương trình sau: 2 a) x 3x x 3x 3 (10) 2 b) 25 x x 2 2 c) x 3x 2x 6x d) x 1 x Bài 5: Giải các phương trình sau: a) x x 2004 2004 b) x x 2x 11 2 c) x 4x 2x 8x 2 d) 3x 6x 5x 10x 14 4 2x x Bài 6: Giải các phương trình sau: x x 1 x a) b) x 1 3x 2x 2 c) 3x 7x x 3x 5x 4 d) x x 2 x 2011x 2011 Bài 7: Giải các phương trình sau: 2 (x 1) x 2x 0 a) x 3x b) (4x 1) x 2x 2x Bài 7: Tìm m để pt sau có nghiệm x x x x m x 1 m Bài 9:Cho phương trình: (x – 3)(x + 1) + 4(x – 3) x a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm (11)