ĐỀ CHÍNH THỨC PHỊNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG Câu a) Tính: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013 52 2 94 b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc Tính giá trị biểu thức: A a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) abc Câu Giải phương trình sau: a) x x x x b) 2(x2 + 2) = x3 Câu Tìm tất số nguyên dương x; y; z thỏa mãn x y 2013 y z 2013 số hữu tỉ, đồng thời x y z số nguyên tố Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB0 Khi phương trình cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab � (2a-b)(a-2b)=0 � 2a=b a=2b Với a=2b � x =2 x x � 4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm Với b=2a � x x =2 x � x2-5x-3 = � x � 37 (thỏa mãn đk x �-1.) x y 2013 m m, n ��* , m, n n y z 2013 nx my � x y m � � xz y � nx my mz ny 2013 � � mz ny y z n � Ta có Câu x y z x z xz y x z y x y z x z y 2 �x y z x y z Vì x y z x y z số nguyên tố nên � �x y z Từ suy x y z (thỏa mãn) A E F G O H B C M D Câu Câu � = BEC � = 900 ( nhìn cạnh BC) BFC Suy B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC � = 900 � DC AC Ta có ACD Mà HE AC; suy BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến AHD � G trọng tâm AHD GM � AM GM Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, AM Suy G tâm ABC a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 ( ).( x y z ) �( x y z )2 = x y z x y z ( a b c )2 �(a+b+c)2 � đpcm b) (1 điểm) Vế trái Đặt 2(1 x ) 2(1 y ) 2(1 z ) � M 2(1 z ) (1 y ) 2(1 x ) (1 z ) 2(1 y ) (1 x ) x a,1 y b,1 z c với a, b,c >0 2a 2b 2c 2a 2b 2c 2c b 2a c 2b a 2ac ab 2ab bc 2bc ac Sau áp dụng bđt phần a) bđt (a b � c ) 3(ab bc ca) M Từ có đpcm Khi M= Gọi xi số tơ đỏ dịng thứ i xi ( xi 1) x13 ( x13 1) x1 ( x1 1) x2 ( x2 1) Vậy tổng số cặp ô đỏ A= 2 Chiếu cặp ô đỏ xuống hàng ngang đó, theo giả thiết khơng có cặp đỏ có hình chiếu trùng x ( x 1) x ( x 1) x2 ( x2 1) 13 13 Vậy C213=78 �A= 1 2 Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; hàng thứ i số cặp ô đỏ C2xi = � 13 i 1 Câu 13 �x �x i i 1 i �156 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 13 13 s2 (�xi ) �13(�xi2 ) � s �156 13 i 1 i 1 � s -13s-2028 �0 � S �52 Dấu = xảy x1 = x2 = …= x13 = (mỗi dịng có tơ đỏ) (Học sinh lập luận S �52 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Vậy giá trị lớn S=52 x x x x x X x x x x x x x x x x x X x x x X x x Xx x x x x x x Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa./ ...PHÒNG GD&ĐT VT Câu HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG NĂM HỌC 2013 - 2014 Ý Nội Dung 2 2 (2 1) 2 Câu ( 1) 2 ( ... y z (thỏa mãn) A E F G O H B C M D Câu Câu � = BEC � = 90 0 ( nhìn cạnh BC) BFC Suy B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC � = 90 0 � DC AC Ta có ACD Mà HE AC; suy BH//DC (1) Chứng minh... 1) x1 ( x1 1) x2 ( x2 1) Vậy tổng số cặp ô đỏ A= 2 Chiếu cặp đỏ xuống hàng ngang đó, theo giả thi? ??t khơng có cặp đỏ có hình chiếu trùng x ( x 1) x ( x 1) x2 ( x2 1) 13