Giải các phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình vô tỷ về dạng pt cơ bản 1... Giải phương trình bằng phương pháp đặt [r]
(1)Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân CHUYÊN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Vấn đề 1: Phương trình Một số dạng phương trình vô tỷ thường gặp : A 0, B A B A B B AB A B 3 A B A B3 Loại Giải các phương trình phương pháp biến đổi tương đương Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình vô tỷ dạng pt 25 x x 3x x x x2 x x 3x x x x2 x x 16 x 17 8x 23 x2 x x x x2 x x2 x x2 10 x4 2x 11 x x x 12 x2 x 12 x 36 13 2(1 x) x2 x x x 14 3x x 16 17 19 x 8x x x 16 x x x x 5 x 11 x x x 2x x 14 x x 21 x x x2 x 22 23 x 3x x 24 15 2 18 20 25 x x x 27 ( x 3)( x 1) 4( x 3) 26 x x 1 x2 3x x 3x x 13 x x 1 3 x 3 28 x x x x x Loại Giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Dạng Đặt ẩn phụ đưa phương trình đơn giản x2 x x 8x 12 ( x 1)( x 4) x 5x x x ( x 3)(6 x) 5x x x 5x x x x 3x x x 3x 2 x 5x 16 17 x 17 x 3x2 x 3x2 x 15 x2 5x 2 x 5x (2) Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân x x x2 x 10 12 13 11 1 x 10 x (2 x)2 (7 x)2 (7 x)(2 x) x2 3x x x2 x 14 x x x x Dạng Đặt ẩn phụ để đưa phương trình hệ đơn giản x x x 3x 18 3x2 x 15 3x2 x x3 x x 1 x x 17 x2 x 17 x 18 x x 12 x 14 x x2 10 x2 10 x2 x x3 3 3x 11 12 x x x x 3 x 3 Loại Giải phương trình phương pháp hàm số Loại Giải phương trình phương pháp đánh giá, điều kiện nghiệm, lượng giác hóa II Vấn đề 2: Hệ phương trình A Hệ phương trình gồm phương trình gồm phương trình bậc và phương trình bậc Cách giải: Dùng phương pháp thế: Bài Giải các hệ phương trình sau: 2 x y x xy y x y 2 x y xy x y x2 y ( x y ) 49 x y 3x y 84 x2 y 6x y 2 x y 2 2 x y x 3xy y 10 B Hệ phương trình đối xứng loại 1: f ( x; y ) f ( x; y ) f ( y; x) Hệ phương trình có dạng:(I) đó g ( x; y ) g ( x; y ) g ( y; x) thì hệ này gọi la hệ phương trình đối xứng loại S x y Cách giải: đặt thay vao hệ (I) tìm S,P P xy Khi đó x,y là nghiệm phương trình : t St P (*) Nhận xét: Do tính đối xứng x,y nên phương trình (*) có nghiệm t1 , t2 thì hệ (I) có nghiệm (t1; t2 ),(t2 ; t1 ) Bài Giải hệ sau: x y xy 11 x y xy 2 2 x y xy 2( x y ) 31 x xy y (3) Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 1 x y x y x2 y x2 y x y 3 x y 2 x y xy 2 x y xy x y 5 3 13( x y ) 12( x y ) x3 y x y xy 32 2 2 x y ( x y ) 128 x y x y 18 xy ( x 1)( y 1) 72 ( x y )(1 xy ) ( x y )(1 ) 49 x2 y x y y x 30 10 x x y y 35 2 x y 4 x y xy 11 12 x5 y5 x y 4 2 x x y x y x y y 18 13 2 x x y 1 x y x y 1 y x y 1 x xy 14 y x xy y xy 78 C Hệ phương trình đối xứng loại f ( x; y ) Hệ có dạng : (I) gọi là hệ phương trình đối xứng loại f ( y; x ) Cách giải thông thường: f ( x; y ) f ( y; x) ( x y ) g ( x; y ) (I) f ( x; y ) f ( x; y ) Nhận xét: + Hệ (I) cộng vế với vế pt(*) đối xứng ẩn x,y + Nếu phương trình g ( x; y) là đối xứng ẩn x;y thì kết hợp với pt (*) hệ đối xứng loại Bài Giải hệ phương trình sau: 2 2 x xy 3x 3x y x y 2 2 2 y xy y 3 y x y x 2x y x x 3x y y y x 2 y x y (4) Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 2 x y y x 2 y 2 y x y 2 x x y x x3 x y 3 x y y y x D Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2,3 chứa ẩn Cách giải: C1: ( Dùng cho hệ đẳng cấp bậc chứa ẩn) 2 a1 x b1 xy c1 y d1 Cho hệ sau: 2 a2 x b2 xy c2 y d Nếu d1 (hoặc d ) tức là a1 x b1 xy c1 y (*) phương trình này giải tương đối đơn giản : + Xét y xem có là nghiệm hệ không + Xét y : chia vế phương trình (*) cho y ta : x x a1 ( )2 b1 ( ) c1 giải phương trình này sau đó vào phương y y trình còn lại hệ Nếu d1 và d thì ta khử hạng tử không chứa biến phương trình hệ cách nhân phương trinh với d1 và nhân phương trinh với d sau đó trừ vế với vế ta pt đẳng cấp bậc và cách giải trên C2: Giải hệ x=0 Khi x đặt y=tx khử x chia vế với vế phương trình ẩn t Bài Giải hệ phương trình sau: 2 x xy y 1 2 3x xy y 3x xy y 2 2 x 3xy y 1 x y xy 29 2 x y xy 11 3x xy 160 2 x 3xy y 2 x xy y 2 2 x xy y ( x y )( x y ) 16 2 ( x y )( x y ) 40 x3 xy x y y 2 x x y xy y 15 x3 3x y 3 x xy y x xy y x xy y y x 5 10 x y xy x x y y 2 E Một số cách giải hệ phương trình: 1) Phương pháp biến đổi tương đương Loại 1: hệ có pt có thể rút x theo y ngược lại (5) Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 2 x ( y 1)( x y 1) 3x x VD: Giải hệ xy x x (1) (2) x2 1 thay vào (1) x Loại 2: pt hệ có thể đưa phương trình tích xy x y x y VD: Giải hệ x y 2x y x 1 y Loại 3: Đưa pt hệ pt bậc ẩn và ẩn còn lại là tham số y (5 x 4)(4 x) (1) VD: Giải hệ pt: 2 (2) 5 x xy 16 x y y 16 Dễ thấy x=0 không là nghiệm từ (2) ta có: y Đưa pt (2) dạng: y y(2 x) 5x2 16 x 16 Coi pt(2) là pt bậc ẩn y tham số x ' y x 2) Phương pháp đặt ẩn phụ Điểm quan trọng pp này là phải tìm ẩn phụ có thể nhận từ pt hệ qua số biến đổi chia cho biểu thức khác xuất ẩn phụ x y ( y x) y (1) VD: Giải hệ: (2) ( x 1)( y x 2) y Dễ thấy y=0 không là nghiệm hệ x2 yx4 y Khi y , chia vế pt cho y ta hệ : x ( y x 2) y x2 a a b Chỉ cần đặt ẩn phụ ta hệ: y ab b x y 3) Phương pháp hàm số Loại Một phương trình hệ có dạng f ( x) f ( y) , pt còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên đó hàm f ( x) đơn điệu x3 x y y VD: Giải hệ : x y x x Từ pt(2) ta có y 1 y 1 Xét hàm f (t ) t 5t (1) (2) , t 1;1 có f '(t ) 3t , t 1;1 đó f (t ) nghịch biến khoảng (-1;1) nên pt(1) x y thay vào pt(2) Loại Là hệ đối xứng loại 2 y 1 (1) x x 2x 1 VD: Giải hệ x 1 (2) y y y 1 (6) Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân b a x a a Đặt Trừ vế với vế pt ta : a b y b b a a 3a b b2 3b (*) Xét hàm f (t ) t t 3t t f '(t ) 3t.ln t Do đó f (t ) đồng biến trên R nên pt t 1 (*) a b thay vào pt ta a a 3a ln(a a 1) a ln Đặt g (a) ln(a a 1) a ln hàm này nghịch biến trên R vì g '( x) Nên pt g ( x) có nghiệm a=0 từ đó ta x=y=1 4) Phương pháp lượng giác x cosa x y y x2 VD: Giải hệ (HD Đặt ) y cos b (1 x)(1 y ) 5) Phương pháp đánh giá, sử dụng BĐT, đk có nghiệm pt… xy x2 y x x 2x VD1: Giải hệ xy y y2 x y 2y Cộng vế với vế ta được: xy x 2x 2 xy y 2y x2 y (1) Ta có: x x ( x 1) xy xy x2 x x2 2x xy Tương tự ta có : xy nên y 2y xy xy (1) x y xy mà x y xy nên (1) có nghiệm x=y y x3 3x VD2: Giải hệ x y y y ( x 1)2 ( x 2) Hệ xét dấu pt hệ ta có nghiệm x=y=2 x 2( y 1) ( y 2) Bài Giải hệ pt sau xy 3x y 16 x (2 y ) 2 x y x y 33 x( y 2) x 3y y 4(2 x 3) y 48 y 48 x 155 2( x x y 1) x ( y 1) y x ln( y x) (7) Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân x x x y 1 y y x y 2 2 x xy y y x y x y 44 y x e 2007 x2 y 2x y y2 1 2 x 3x y 12 x 13 e y 2007 x x2 1 F Một số bài tập khác hệ phương trình Bài Giải các hệ sau: 4 x2 y y x y 1 2 2 x y x y xy y x x xy y 19 2 y ( x y ) 3x 4 2 x x y y 931 x( x y ) 10 y 2y x2 y x x3 y 19( x y ) 3 x y 7( x y ) x y x 22 y III Bất phương trình vô tỷ Một số dạng bất phương trình vô tỷ bản: B +) A B A B +) B A B A A B2 +) B A B A A B2 B B AB A A B PP giải bpt tương đối giống pp giải pt Lưu ý: Khi giải bpt phải chú trọng đến điều kiện ẩn Bài Giải các bất phương trình sau: +) x2 x x 3x2 13 x x2 x x 2 x 3x x x2 x x (3 x) x x 3x 16 x 2 x 1 ( x 2) x 3x x 21 x x x4 10 x2 x2 3x 11 3x (8) Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 11 ( x 5)( x 2) x( x 3) 13 51 x x 1 1 x x2 15 3 x 17 x x 3 x 19 x x x 12 5x2 10 x x x 14 3x x 2 x 16 x 2x x 18 x 5 x 1 20 x 3x x x x x 21 3x x 3x x x x x 3x x 23 x 2x 4 2x x IV Tổng hợp các đề thi ĐH từ năm 2002-2010 (Khối B 2002) Giải hệ sau: (Khối D 2002) Giải bpt sau: 3 x y x y ( x 3x) x x x y x y (Khối A 2003) Giải hệ sau: (Khối B 2003) Giải hệ sau: y2 y x2 x x y y 2 y x3 3 x x y2 (Khối A 2004) Giải bpt sau: 22 2( x 16) 7x x 3 x 3 (Khối D 2004) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiêm: x y 1 x x y y 3m (Khối A 2005) Giải bpt sau: ( Khối D 2005) Giải pt sau: x 3 5x x x x x 1 x 1 (Khối A 2006) Giải hệ sau: x y xy x 1 y 1 10 ( Khối B 2006) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x2 mx x 11 (Khối D 2006) Giải pt sau: x x 3x 12 ( Khối A 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x 1 m x x2 1 13 ( Khối B 2007) CMR với m dương thì phương trình sau có nghiêm (9) Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân thực phân biệt: x2 x m( x 2) 14 ( Khối D 2007) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 1 x x y y x3 y 15m 10 x3 y3 15 (Khối A 2008) Giải hệ sau: 16 (Khối B 2008) Giải hệ sau: 5 x y x y xy xy x x3 y x y x x xy x x y xy (1 x) 17 (Khối D 2008) Giải hệ sau: 18 (Khối A 2009) Giải pt sau: 2 xy x y x y 3x x x y y x 1 2x y 19 (Khối B 2009) Giải hệ sau: 20.(Khối D 2009) Giải hệ sau: x( x y 1) xy x y 2 2 x y xy 13 y ( x y ) x 21 (Khối A 2010) Giải bpt sau: 22.(Khối B 2010) Giải pt sau: x x 3x x 3x2 14 x 1 2( x x 1) (10)