cm hai gãc b»ng nhau - Sử dụng yếu tố đốgc - hai tam gi¸c b»ng nhau - TÝnh chÊt c¸c h×nh D¹ng 2: Chøng minh: Quan hÖ song song, vu«ng gãc A, Hai ®o¹n th¼ng song song - Xét các cặp đồng v[r]
(1)Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Ph¬ng ph¸p gi¶i: √ A cã nghÜa <=> A Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ các biểu thức sau) √ 3x − 8¿ √ x2 +3 ¿ ¿ √5 − 2x 9¿ √ x − 2¿ ¿ √ 7x −14 Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Phơng pháp giải: áp dụng các công thức biến đổi thức ¿ A nÕu A ≥ − A NÕu A< ¿ √ A 2={ ¿ √ AB=√ A √ B Víi A vµ B A √A Víi A vµ B > = B √B √ A B=|A|√ B Víi B ¿ √ A B Víi A ≥ vµ B ≥ − √ A2 B Víi A ≤ vµ B≥ ¿ A √ B={ ¿ A vµ B = √ AB Víi AB B |B| A = A √ B Víi B > √B B C ( √ A ∓ B) C Víi A vµ A B2 = A ± B √ A−B C( √ A ∓ √ B) C Víi A vµ B 0, A = A−B √ A ± √B ¿ A + B=C Ngoài ra: √ C+2 √ D=√ A + √ B đó A B=D ¿{ ¿ √ √ B Bµi 1: §a mét thõa sè vµo dÊu c¨n a¿ ; √ b¿ x √ (víi x>0) ; x Bµi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh c¿ x √ ; d¿ d¿ √6+ √5+ √ −2 √ ; ¿ b ¿ ( x −5) √ x ; 25− x e¿ x √ x 0,4 a( √28 −2 √ 14+ √7)⋅ √7+ √ 8; Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh 3− 216 a¿ ( √ √ − √ )⋅ √ −2 √6 Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh b¿ √14 − √7 + √ 15− √5 ¿ : 1− √ 1− √ √7 − √5 c¿ ( √ −3 √ 2+ √ −2 √6 + √ 8− √15 √ 7+2 √10 (2) a(4+ √15)(¿ √ − √ 15 ¿ √10 − √¿ 3− √ ¿ ¿ 3+ √ ¿ √ 3+ √ − √ − √ 5− √ (¿ √3+ √5+( √ − √ ¿ c ) b) d) Bµi 5: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: ¿ a 1 − √7 − √24 +1 √ 7+ √ 24+1 b¿ Bµi 6: Rót gän biÓu thøc: √3 − √3 √ √3+ 1−1 √ √3 −1+1 ¿ c¿ √ 5+ √ −2 √ + 5− √ 5+ √ √ ¿ √ √ a 6+2 √ 5− √ 13+ √ 48 b¿ + √ 3+5 √ 48 − 10 √ 7+ √ ¿ c¿ Bµi 7: Rót gän biÓu thøc sau: 1 + 1+ √ √ 2+ ¿ a a √ b+b √ a : , víi a> 0, b> vµ a ≠ b ¿ b ¿ √ ab √ a − √b (1+ a+√ a+1√ a )(1 − a√ −a −1√ a ), víi a >0 vµ a ≠1 ¿ c ¿ a Bµi 8: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a=x −3x √ y +2y, x= 1 3 ;y= ¿ b ¿ B=x3 +12x − víi x=√ ( √5+ 1)− √ ( √ −1); ¿ c ¿ 9+4 √5 √ −2 D¹ng 3: Bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n Ph¬ng ph¸p: + Tìm đk để biểu thức có nghĩa + Quy đồng, trục thức mẫu x −3 Bµi 1: Cho biÓu thøc P= √ x −1 − √ a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu x = 4(2 - √ ) c) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi 2: XÐt biÓu thøc A= a + √ a − 2a + √ a +1 a − √ a+1 √a a) Rót gän A b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi | A| c) Tìm a để A = d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A Bµi 3: Cho biÓu thøc C= − + √ x √ x − 2 √ x +2 1− x a) Rót gän biÓu thøc C b) TÝnh gi¸ trÞ cña C víi x= c) Tính giá trị x để |C|= a a b Bµi 4: Cho biÓu thøc M = 2 − 1+ 2 : √a − b √ a − b a − √ a2 −b ( a) Rót gän M b) TÝnh gi¸ trÞ M nÕu a = b c) Tìm điều kiện a, b để M < ) (3) Bµi 5: XÐt biÓu thøc 1−x ¿ ¿ ¿ x −2 x +2 √ P= − √ ⋅¿ x −1 x +2 √ x +1 ( ) a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) T×m gi¸ trÞ l¬n nhÊt cña P Bµi 6: XÐt biÓu thøc Q= √ x − − √ x +3 − √ x +1 x − √ x +6 √ x − − √ x a) Rót gän Q b) Tìm các giá trị x để Q < c) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q là số nguyên 3 Bµi 7: XÐt biÓu thøc H= x − y − √ x − √ y : ( √ x − √ y ) + √ xy x−y √x −√ y √ x +√ y a) Rót gän H b) Chøng minh H ≥ c) So s¸nh H víi √ H 2√ a Bµi 8: XÐt biÓu thøc A= 1+ √ a : − a+1 √ a −1 a √ a+ √ a −a − a) Rót gän A b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a cho A > c) TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña A nÕu a=2007 −2 √ 2006 Bµi 9: XÐt biÓu thøc M =3x+ √ 9x −3 − √ x+ + √ x −2 x+ √ x −2 √ x+ 1− √ x a) Rót gän M b) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M là số nguyên Bµi 10: XÐt biÓu thøc P=15 √ x −11 + √ x −2 − √ x+ x+ √ x − − √ x √ x +3 a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x cho P= ( ( ) )( ) 2 c) So s¸nh P víi Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai Ph¬ng ph¸p: XÐt xem hÖ sè a+b+c=0 hoÆc a – b + c = Trong ph¬ng tr×nh cã khuyÕt nh÷ng hÖ sè nµo? KiÓm tra hÖ sè b NÕu b ⋮ th× dïng Δ ' ngîc l¹i dïng CTNTQ Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + √ x + = 3(x + √ ) ; 8) √ x2 + x + = √ (x + 1) ; 9) x2 – 2( √ - 1)x - √ = 10) x2 – 25 = Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3) x – (1 + √ )x + √ = ; 4) (1 - √ )x2 – 2(1 + √ )x + + √2 = ; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( √ + 1)x2 + √ x + √ - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 9) x – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = D¹ng 2: Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, v« nghiÖm Ph¬ng ph¸p: Cho ph¬ng tr×nh: ax2+bx+c = (4) + C\m +C\m +C\m +C\m a.c < th× kÕt luËn ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ¿ a≠0 Δ≥ th× pt cã nghiÖm ¿{ ¿ ¿ a≠ Δ> th× pt cã hai nghiÖm ¿{ ¿ ¿ a≠ Δ< th× ptvn ¿{ ¿ Bµi 1: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 2 3) x – (2m – 3)x + m – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 2 7) x – 2mx – m – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3+m=0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = Bµi 2: a) Chøng minh r»ng víi a, b , c lµ c¸c sè thùc th× ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm 1 ph©n biÕt: + + =0 (Èn x) x −a x − b x − c c) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = v« nghiÖm víi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác d) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh bËc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bµi 3: a) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bèn ph¬ng tr×nh (Èn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm c) Cho ph¬ng tr×nh (Èn x sau): 2b b+ c ax − √ x+ =0 (1) b+ c c +a 2c √ c +a bx2 − x+ =0 c +a a+b 2a √ a+b cx − x+ =0 a+b b+c ( 2) (3) víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng cho tríc Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Bµi 4: a) Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = Biết a ≠ và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình đã cho có hai nghiệm b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm nÕu mét hai điều kiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = (5) Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm ph¬ng tr×nh bËc hai cho tríc ax2 + bx + c = Ph¬ng ph¸p: c x1 x2 a x x b a n¾m v÷ng hÖ thøc viet Chó ý: x12 + x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1+x2) Bµi 1: Gäi x1 ; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 – 3x – = TÝnh: A=x + x2 ; 1 C= + ; x −1 x − E=x + x ; B=|x − x 2|; D=( 3x1 + x ) ( 3x2 + x ) ; F=x + x 1 vµ x −1 x −1 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 5x2 – 3x – = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: A=2x −3x x +2x −3x x ; x1 x1 x2 x2 1 B= + + + − − ; x2 x +1 x x 1+1 x1 x2 3x1 +5x1 x 2+3x C= 4x x + 4x x 3 ( ) 2 Bµi 3: a) Gäi p vµ q lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai: 3x2 + 7x + = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y thµnh lËp ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè b»ng sè mµ c¸c nghiÖm cña nã lµ p q vµ q −1 p −1 b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ 1 vµ 10 − √ 72 10+6 √ Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m -1)x – m = a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1 ; x2 víi mäi m 1 b) Víi m ≠ 0, lËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n y 1=x 1+ x vµ y 2=x 2+ x Bµi 5: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh 3x2 + 5x – = H·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: x1 x + ; x −1 x −1 x +2 x +2 D= + x1 x2 A=( 3x − 2x 2) ( 3x − 2x1 ) ; B= C=|x − x 2|; Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – 4x – 10 = cã hai nghiÖm x1 ; x2 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – 3x – = cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: ¿ a ¿ y 1=x 1+ 2¿ y 2=x +2 ¿ b¿ ¿ ¿ y 1= x1 x ¿ y2 = ¿ ¿ { ¿ x2 x1 2 Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh x2 + x – = cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: x1 x y y a ¿ y + y 2= + ¿ + =3x1 +3x ¿ ; x2 x y y ¿ b ¿ ¿ ¿ y 1+ y 2=x1 + x ¿ y + y +5x1 +5x 2= 2 2 Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + 4ax – a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: (6) y 1+ y 2= 1 + vµ x1 x2 1 + =x 1+ x2 y1 y2 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiÖm Ph¬ng ph¸p: Cho ph¬ng tr×nh: ax2+bx+c = + NÕu a = th× gi¶i cô thÓ + NÕu a.c < th× kÕt luËn ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ¿ a≠0 + §Ó pt cã nghiÖm Δ≥ ¿{ ¿ ¿ a≠ + §Ó pt cã hai nghiÖm Δ> ¿{ ¿ ¿ a≠ + §Ó ptvn Δ< ¿{ ¿ Bµi 1: a) Cho ph¬ng tr×nh (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (Èn x) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này b) Cho ph¬ng tr×nh (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phơng trình có nghiệm a) Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó b) Cho ph¬ng tr×nh: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bµi 2: a) Cho ph¬ng tr×nh: 4x4 x + 2x +1 − ( 2m− ) x + m2 − m−6=0 x +1 Xác định m để phơng trình có ít nghiệm b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phơng trình có ít nghiệm Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn ®iÒu kiÖn cho tríc Ph¬ng ph¸p: + Tìm ĐK để pt có nghiệm + ¸p dông hÖ thøc vi et x +¿ ¿ −b x 2= a ¿ ¿ Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại 3) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu (tr¸i dÊu) 4) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d¬ng (cïng ©m) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm này gấp đôi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận gi¸ trÞ nhá nhÊt Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 (7) c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 2 d) x – (2m + 1)x + m + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x1 = x22 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22 2 f) x – 4x + m + 3m = ; x12 + x2 = Bµi 4: a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm này gấp đôi nghiệm b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình có hai nghiÖm x1 ; x2 cho biÓu thøc R= 2x x +3 x + x +2(1+ x x 2) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau đây mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm là 9ac = 2b2 Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm (k > 0) là : kb2 = (k + 1)2.ac D¹ng 6: So s¸nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè (d¹ng to¸n khã dung BDHSG) Bài 1:Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phơng trình có hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 < a) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phơng trình có hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 tho¶ m·n: - < x1 < x2 < Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm víi mäi m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = cã hai nghiÖm lín h¬n Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè a, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp TÝnh c¸c nghiÖm kÐp b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn – Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ và nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - ≤ x2 D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè Ph¬ng ph¸p: + ChØ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm + ¸p dông hÖ thøc viet + giải hệ phơng trình sau đó làm tham số đa pt không chứa tham số Bµi 1: a) Cho ph¬ng tr×nh: x2 – mx + 2m – = T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo tham sè m b) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí các nghiệm hai số – và Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx – m2 – = a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 víi mäi m b) T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m (8) c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x2 + =− x2 x1 Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m b) Khi ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - T×m m cho |x1 – x2| ≥ Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = D¹ng 8: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai KiÕn thøc cÇn nhí: 1/ Định giá trị tham số để phơng trình này có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kia: XÐt hai ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (1) a’x2 + b’x + c’ = (2) đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta có thể làm nh sau: i) Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) th× kx0 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2), suy hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ ax + bx +c=0 a'k x + b'kx0 +c'=0 (∗) ¿{ ¿ 2 Giải hệ phơng trình trên phơng pháp cộng đại số để tìm m ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với XÐt hai ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4) Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với và hai phơng trình có cùng tập nghiÖm (kÓ c¶ tËp nghiÖm lµ rçng) Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xÐt hai trêng hîp sau: i) Trêng hîp c¶ hai ph¬ng trinhg cuïng v« nghiÖm, tøc lµ: ¿ Δ(3) <0 Δ(4 )< ¿{ ¿ Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị tham số ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau: ¿ Δ(3) ≥0 Δ(4) ≥ S(3) =S(4 ) P(3) =P(4 ) ¿{{{ ¿ Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) có thể đa hệ phơng trình bậc ẩn nh sau: (9) ¿ bx+ay =−c b'x+a'y=− c' ¿{ ¿ §Ó gi¶i quyÕt tiÕp bµi to¸n, ta lµm nh sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - T×m m tho¶ m·n y = x2 - KiÓm tra l¹i kÕt qu¶ Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 4x2 – (9m – 2)x + 36 = Bài 2: Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 2 c) x – mx + 2m + = 0; mx – (2m + 1)x – = Bµi 3: XÐt c¸c ph¬ng tr×nh sau: ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có nghiệm chung nhÊt Bµi 4: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 4m = (1) x2 – mx + 10m = (2) Tìm các giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) Bµi 5: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = x2 + ax + = a) Tìm các giá trị a hai phơng trình trên có ít nghiệm chung b) Với giá trị nào a thì hai phơng trình trên tơng đơng Bµi 6: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phơng trình có ít nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bµi 7: Cho c¸c ph¬ng tr×nh: x2 – 5x + k = (1) x2 – 7x + 2k = (2) Xác định k để các nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần các nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) Chủ đề 3: Hệ phơng trình A - HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax by c Dạng 1: Giải hệ phơng trình và đa đợc dạng a ' x b ' y c ' Ph¬ng ph¸p: + ThÕ + Cộng đại số Bµi 1: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh 1¿ 3x −2y=4 ¿ 2x+ y =5 ¿; ¿ ¿ ¿ 4x −2y=3¿ 6x −3y=5 ¿ ; ¿ ¿ ¿ 2x+ 3y=5 ¿ 4x+ 6y=10 ¿ ¿ ¿ Bµi 2: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: 1¿ ( 3x +2 ) ( 2y −3 )=6xy ¿ ( 4x+5 )( y −5 ) =4xy ¿; ¿ ¿ ¿ ( 2x-3 ) (2y + ) =4x ( y −3 )+54 ¿ ( x+1 ) ( 3y − )= Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ Phơng pháp: Đa dạng hpt (bằng cách đặt ản phụ) Giải hpt sau đó vào phơng trình đặt để tìm x,y Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau (10) 1¿ + =3 ¿ − =1 ¿; x+ 2y y+ 2x x+2y y +2x 2¿ ¿¿ 3x 2x − =4 ¿ − =9 ¿ ; x+ y +4 x +1 y +4 Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Ph¬ng ph¸p: Thay các giá trị nghiệm ẩn vào pt ban đầu, sau đó giải hpt chứa tham số, tham số lúc này đóng vai trò là ẩn Bµi 1: a) Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1) ¿ 2mx − ( n+1 ) y=m −n ( m+ ) x +3ny=2m −3 ¿{ ¿ b) §Þnh a vµ b biÕt ph¬ng tr×nh: ax2 - 2bx + = cã hai nghiÖm lµ x = vµ x = -2 Bài 2: Định m để đờng thẳng sau đồng quy: a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – Bµi 3: Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ mx+ 4y=10 −m x +my=4 (m lµ tham sè) ¿{ ¿ √2 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh m = b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m c) Xác định các giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y > d) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm (x ; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ (c©u hái t¬ng tù víi S = xy) f) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) th× ®iÓm M(x ; y) lu«n n»m trªn đờng thẳng cố định m nhận các giá trị khác ¿ ( m− ) x −my=3m− Bµi 4: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 2x − y=m+5 ¿{ ¿ a) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m b) Víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2) e) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) th× ®iÓm D(x ; y) lu«n lu«n n»m trên đờng thẳng cố định m nhận các giá trị khác Bµi 5: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x +my=2 mx −2y=1 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn m = b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > và y < c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y là các số nguyên d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn Dạng 4: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm Ph¬ng ph¸p: HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt a b a' b' 3¿ ¿¿ x x (11) a b c Hpt v« nghiÖm a ' b ' c ' a b a ' b ' a b c a ' b ' c ' Hpt cã nghiÖm Mét sã vÝ dô s¸ch híng dÉn «n thi vµo líp 10 cña BGD&§T B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I – tìm hai số u, v biết Ph¬ng ph¸p: Dïng hÖ thøc vi Ðt, ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai VÝ dô: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: 2 ¿ x + y + xy=11 2 x + y +3 ( x + y )=28 ¿{ ¿ 2 1¿ x + y + x+ y=8 ¿ x + y + xy=7 ¿ 2 ¿ ¿ ¿ x +xy + y =4 ¿ x+ xy + y=2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ xy + x + y= Dạng 2: Hệ đối xứng loại II Ph¬ng ph¸p: Lấy hai phơng trình trừ cho đợc phơng trình giải phơng trình nµy thÕ nghiÖm vµo mét hai ph¬ng ban ®Çu ¿ x +1=2y y +1=2 x ¿{ ¿ VÝ dô: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: ¿ ¿ x −3x= y ¿ y − 3y=x ¿ 2 10 ¿ ¿ ¿ x3 =7x+3y ¿ y 3=7y+ 3x ¿ ¿ { ¿ 1¿ x +1=3y ¿ y +1=3x ¿ 2 3 ¿ ¿ ¿ x y +2= y ¿ xy +2=x ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x =2x+ y ¿ y =2y + x Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: 1¿ x + y −1=0¿ x + xy+3=0 ¿ 2¿ ¿ ¿ x − xy − y 2=12 ¿ xy − x 2+ y =8 ¿ ¿ ¿3 ¿ Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (d) Phơng pháp: vẽ giao điểm đờng thẳng với hai trục toạ độ b ;0 d c¾t ox t¹i A a 0;b d c¾t oy t¹i B y = ax2 (p) Ph¬ng ph¸p: (p) nhận trục oy làm trục đối xứng NÕu a > bÒ lâm quay lªn phÝa trªn a < bÒ lâm quay xuèng phÝa díi LËp b¶ng gi¸ trÞ Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x – ; b) y = - 0,5x + Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = ; b) a = - (12) Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- ; - 5) b) (d) qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) ®i qua D(1 ; 3) vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox mét gãc 300 e) (d) qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x t¹i mét ®iÓm g) (d) qua K(6 ; - 4) và cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k là tham số a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6) b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = d) Chứng minh không có đờng thẳng (d) nào qua điểm A(-1/2 ; 1) e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng và parabol Ph¬ng ph¸p: + (d ) ( P) A (d) là tiếp tuyến (p) (tức pt hoành độ giao điểm hai đồ thị cã nghiÖm kÐp) + (d ) ( P) A, B (d) cắt (P) điểm (Tức pt hoành độ giao điểm hai đồ thị cã2 nghiÖm) + (d ) ( P) (d) không cắt (P)(Tức pt hoành độ giao điểm hai đồ thị vô nghiÖm) Bµi 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là và - Tìm toạ độ A và B từ đó suy phơng trình đờng thẳng AB Bµi 2: Cho hµm sè y=− x 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P) Bµi 3: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): y=− x và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P) b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) c) Chứng tỏ (D) luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Bµi 4: Cho hµm sè y=− x 2 a) Vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; Viết phơng trình đờng th¼ng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) nó song song với đờng thẳng MN vµ chØ c¾t (P) t¹i mét ®iÓm Bµi 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b 1) T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc câu 1) và câu 2) 4) Gọi (d) là đờng thẳng qua điểm C ; −1 (2 ) vµ cã hÖ sè gãc m a) ViÕt ph¬ng tr×nh cña (d) b) Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vu«ng gãc víi Chủ đề 5: Giải bài toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy) (13) Ph¬ng ph¸p: VËn dông c«ng thøc s = v.t Bµi 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu Bµi 2: Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trớc Sau đợc quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết ngời đó đến B sớm dự định 24 phút Bµi 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc tõ B trë vÒ A Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc giê 20 phót TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B BiÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ km/h vµ vËn tèc riªng cña can« lóc xu«i vµ lóc ngîc b»ng Bµi 4: Mét can« xu«i mét khóc s«ng dµi 90 km råi ngîc vÒ 36 km BiÕt thêi gian xu«i dßng s«ng nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ giê vµ vËn tèc xu«i dßng h¬n vËn tèc ngîc dßng lµ km/h Hái vËn tèc can« lóc xu«i vµ lóc ngîc dßng D¹ng 2: To¸n lµm chung – lµn riªng (to¸n vßi níc) Ph¬ng ph¸p: ……………… Bµi 1: Hai ngêi thî cïng lµm chung mét c«ng viÖc giê 12 phót th× xong NÕu ngêi thø làm và ngời thứ hai làm thì hai ngời làm đợc công việc Hỏi ngời làm công việc đó thì xong? Bµi 2: Nếu vòi A chảy và vòi B chảy thì đợc hồ Nếu vòi A chảy và vòi B chảy 30 phút thì đợc hå Hái nÕu ch¶y mét m×nh mçI vßi ch¶y bao l©u míi ®Çy hå Bµi 3: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ th× sau giê ®Çy bÓ NÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh cho ®Çy bÓ th× vßi II cÇn nhiÒu thêi gian h¬n vßi I lµ giê TÝnh thêi gian mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm Bµi 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy? Bµi 2: N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vµ B lµ triÖu ngêi D©n sè tØnh A n¨m t¨ng 1,2%, cßn tØnh B t¨ng 1,1% Tæng sè d©n cña c¶ hai tØnh n¨m lµ 045 000 ngêi TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay? D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc Bµi 1: Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 280 m Ngêi ta lµm lèi ®i xung quanh vên (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất còn lại vờn để trồng trọt là 4256 m2 Bµi 2: Cho mét h×nh ch÷ nhËt NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2 NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m2 TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu Bµi 3: (14) Cho mét tam gi¸c vu«ng NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn cm vµ cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm2 NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè Bµi 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho thì số đó tăng thêm 27 đơn vị Bµi 2: Tìm số có hai chữ số, biết số đó gấp lần chữ số hàng đơn vị nó và số cần tìm chia cho tổng các chữ số nó thì đợc thơng là và số d là Bµi 3: Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm thì giá trị phân số NÕu tö sè thªm vµ mÉu sè t¨ng gÊp th× gi¸ trÞ ph©n sè b»ng T×m ph©n sè 24 đó Bµi 4: NÕu thªm vµo tö vµ mÉu cña mét ph©n sè th× gi¸ trÞ cña ph©n sè gi¶m NÕu bít vµo tử và mẫu, phân số tăng Tìm phân số đó Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã Èn sè ë mÉu Ph¬ng ph¸p: + tìm đk để mẫu có nghĩa + Quy đồng mẫu thức + khö mÉu, gi¶i ph¬ng tr×nh + Thử các nghiệm vừa giải đợc thay vào điều kiện Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: ¿ 2 x x+ 2x − x +3 t 2t +5t a + =6 ¿ b ¿ +3= ¿c ¿ +t = ¿ x −2 x −1 x 2x −1 t−1 t+1 D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc Lo¹i ¿ Lo¹i √ A=√ B ⇔ A ≥0 (hayB ≥0) A=B ¿ Lo¹i √ A=B ⇔ B≥0 A=B2 ¿ ¿{ ¿ ⇔ A≥0 B≥0 HoÆc dïng pp §Æt Èn phô √ A + √ B=C C≥0 A + B+2 √ AB=C ¿{{{ Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a √ 2x2 −3x − 11= √ x − Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Ph¬ng ph¸p: -AnÕu A < A A nÕu A 0 b¿ 2 √ ( x+2 ) = √3x − 5x+14 ¿ c ¿ √ 2x +3x −5=x +1 (15) NÕu A = B th× A B 0 A B A B B NÕu + = C thì lập bảng bỏ dấu giá trị tuyệt đối Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: ¿ b¿ |x +2|−2x +1=x +2x+3 ¿ c ¿ a|x − 1|+ x 2=x +3 |x +2x +2|+ x 2+ x = D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng Ph¬ng ph¸p: §Æt x2 = t Gi¶i pt Èn t Thay giá trị t thoả mãn vào pt đặt Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; c) 2x + 5x + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh bËc cao Ph¬ng ph¸p: Ph©n tÝch ®a thóc thµnh nh©n tö NhÈm nghiÖm b»ng hÖ thøc viet bËc cao Chia hai đa thức đã đợc xếp Giải các phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng tr×nh bËc hai: Bµi 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ; c) x + x – 2x – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2 Bµi 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = ( c x ¿ − x+ √ x − x +3=0 d¿ x + 1 x 2+ x −5 3x −16 x + +23=0 ¿ e ¿ + x x x2 x +x− ) ( ) Bµi 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = Bµi tËp vÒ nhµ: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: ¿ ¿ + =1 a1 ( x − ) x −1 a) x4 – 34x2 + 225 = c) 9x4 + 8x2 – = e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = 4x x+ b¿ + =6 ¿ x +1 x c¿ 2x+2 x −2 − x= x−4 b) x4 – 7x2 – 144 = d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = (a ≠ 0) a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = a) x3 – x2 – 4x + = c) x3 – x2 + 2x – = e) x3 – 2x2 – 4x – = b) 2x3 – 5x2 + 5x – = d) x3 + 2x2 + 3x – = a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = (16) c) x2 – 4x – 10 - √ ( x+2 ) ( x − ) = d) ( 2x − 2x −1 −4 +3=0 x +2 x +2 ) ( ) e) √ x+ √ − x + √ x ( − x )=5 a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 1 c) x + −16 x+ +26=0 1 d) x 2+ −7 x − +2=0 ( ( x) x ) ( x ) ( x) a √ x2 − 4x=√ x +14 Định a để các phơng trình sau có nghiệm a) x4 – 4x2 + a = c) 2t4 – 2at2 + a2 – = b¿ √2x + x − 9=| x −1|¿ c ¿ √ 2x2 +6x+ 1=x +2 b) 4y4 – 2y2 + – 2a = PhÇn II: H×nh häc Lý thuyÕt: D¹ng 1: Chøng minh quan hÖ b»ng cña hai ®o¹n th¼ng, hai gãc, hai cung A, cm hai ®o¹n th¼ng b»ng - hai ®o¹n th¼ng cã cïng sè ®o - hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng mét ®o¹n th¼ng thö - Hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng tæng hoÆchiÖu cña hai ®o¹n th¼ng b»ng tõng đôi - Hai tam gi¸c b»ng - Hai c¹nh bªn cña tam gi¸c c©n - trung điểm đoạn thẳng, đờng trung trực, đờng trung tuyến tam gi¸c - bán kính đờng tròn - ĐN, TC các hình tứ giác, đờng tròn b cm hai gãc b»ng - Sử dụng yếu tố đốgc - hai tam gi¸c b»ng - TÝnh chÊt c¸c h×nh D¹ng 2: Chøng minh: Quan hÖ song song, vu«ng gãc A, Hai ®o¹n th¼ng song song - Xét các cặp đồng vị, so le, cùng phía bù - hai đờng thẳng cùng song vuông góc - Tính chất đờng trung bình tam giác, hình thang - Định lý ta lét đảo B, Hai ®o¹n th¼ng vu«ng gãc - Góc tạo hai đờng thẳng là vuông góc - đờng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng song song - Đờng cao, đờng trung trực - hai c¹nh cña h×nh cn, hv - hai đờng chéo ht, hv - định lý pytago đảo - đờng kính qua trung điểm dây cung không qua tâm - đờng kính qua điểm chính cung - TiÕp tuyÕn - đờng nối tâm đờng tròn cắt - góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng đồng quy A, ®iÓm th¼ng hµng - Tạo thành nột góc 180 độ - điểm nằm trên đờng thẳng qua điểm còn lại - hai đầu đờng kính và tâm đờng tròn - hai tâm đờng tròn tiếp xúc và tiếp điểm B, cm đờng thẳng đồng quy - giao điểm đờng thẳng nằm trên đờng thẳng còn lại - ba đờng trung tuyến, phân giác, trung trực tam giác (17) Dạng 4: cm điểm nằm trên đờng tròn - điểm cách đỉnh tứ giác - hai góc đối tứ giác bù - góc tứ giác góc ngoài đỉnh đối diện - tø gi¸c lµ h×nh thang c©n - hai đỉnh liên tiếp tứ giác nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dới góc b»ng Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình Bµi 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D và E lần lợt là điểm chính c¸c cung AB vµ AC DE c¾t AB ë I vµ c¾t AC ë L a) Chøng minh DI = IL = LE b) Chøng minh tø gi¸c BCED lµ h×nh ch÷ nhËt c) Chøng minh tø gi¸c ADOE lµ h×nh thoi vµ tÝnh c¸c gãc cña h×nh nµy Bµi 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có các đờng chéo vuông góc với I a) Chứng minh từ I ta hạ đờng vuông góc xuống cạnh tứ giác thì đờng vuông góc này qua trung điểm cạnh đối diện cạnh đó b) Gọi M, N, R, S là trung điểm các cạnh tứ giác đã cho Chứng minh MNRS lµ h×nh ch÷ nhËt c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này qua chân các đờng vuông gãc h¹ tõ I xuèng c¸c c¹nh cña tø gi¸c Bµi 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH là đờng cao Hai đờng tròn đờng kính AB và AC có tâm là O1 và O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng tròn (O1) và (O2) lần lît t¹i M vµ N a) Chøng minh tam gi¸c MHN lµ tam gi¸c vu«ng b) Tø gi¸c MBCN lµ h×nh g×? c) Gọi F, E, G lần lợt là trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách ®iÓm E, G, A, H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch đờng nh nào? Bµi 4: Cho hình vuông ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía hình vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía hình vuông Gọi P là điểm tuú ý trªn cung AC ( kh«ng trïng víi A vµ C) H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña P trªn AB và AD, PA và PB cắt nửa đờng tròn lần lợt I và M a) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chøng minh PM = PK = AH d) Chøng minh tø gi¸c APMH lµ h×nh thang c©n đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên đờng tròn Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt các điểm E, F Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chøng minh tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh vµ OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc đờng tròn c) KÐo dµi AB vÒ phÝa B mét ®o¹n CB = AB Chøng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp Bµi 2: Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE và CF cắt H.Gọi D là điểm đối xứng H qua trung ®iÓm M cña BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng tròn.Xác định tâm O đờng tròn đó b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ là I Chứng minh điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên đờng tròn Bµi 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt A và B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đờng tròn (O) D Chứng minh rằng: a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp (18) b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên đờng tròn Bµi 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC và BD cắt t¹i E VÏ EF vu«ng gãc AD Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc b) Tia CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc Bµi 5: Từ điểm M bên ngoài đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Trªn cung nhá AB lÊy mét ®iÓm C VÏ CD AB, CE MA, CF MB Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ DE, K lµ giao ®iÓm cña BC vµ DF Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bµi 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn Vẽ hai đờng cao BD và CE a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đờng tròn b) Chứng minh xy// DE, từ đó suy OA DE Bµi 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đờng th¼ng qua A song song víi BM c¾t CM t¹i N a) Chứng minh tam giác AMN là tam giác b) Chøng minh r»ng MA + MB = MC c)* Gäi D lµ giao ®iÓm cña AB vµ CM Chøng minh r»ng: + = AM MB MD Bµi 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A và C Một đờng tròn (O) thay đổi qua B và C Vẽ đờng kính MN vuông góc với BC D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai là F Hai dây BC và MF cắt E Chứng minh r»ng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN c) Đờng thẳng MF qua điểm cố định Bµi 9: Từ điểm A bên ngoài đờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Gọi M là trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN b) Chøng minh r»ng AB// CD c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC là hình thoi Tính diện tích cử hình thoi đó Bµi 10: Cho đờng tròn (O) và dây AB Gọi M là điểm chính cung nhỏ AB Vẽ đờng kính MN Cắt AB I Gọi D là điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đờng tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc b) Chứng minh tích MC MD có giá trị không đổi D di động trên dây AB c) Gọi O' là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chøng minh r»ng MAB = AO'D d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACD Bµi 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD ( E AD) a) Chøng minh r»ng AHEC lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chøng minh r»ng CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE d) Tính diện tích hình giới hạn các đoạn thẳng CA CH và cung nhỏ AH đờng trßn nãi trªn biÕt AC= 6cm, ACB = 300 Bµi 12: (19) Cho đờng tròn tâm O có đờng kính BC Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D lµ ®iÓm thuéc b¸n kÝnh OC §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC ë E, c¾t tia BA ë F a) Chøng minh r»ng ADCF lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña EF Chøng minh r»ng AME = ACB c) Chứng minh AM là tiếp tuyến đờng tròn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC đờng trßn (O) biÕt BC= 8cm, ABC = 600 Bµi 13: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đờng tròn Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H là tiếp điểm) Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D lµ tiÕp ®iÓm) a) Chøng minh r»ng C, M, D th¼ng hµng b) Chứng minh CD là tiếp tuyến đờng tròn (O) c) TÝnh tæng AC + BD theo R d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt AOM = 600 Bµi 14: Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (A = 900), trung ®iÓm I cña c¹nh BC XÐt mét ®iÓm D trên tia AC Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA các điểm tơng ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm trên đờng tròn b) Chøng minh r»ng ba ®iÓm N, I, P th¼ng hµng c) Gäi giao ®iÓm cña tia BO víi MN, NP lÇn lît lµ H, K Tam gi¸c HNK lµ tam gi¸c g×, t¹i sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí trên tia AC Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt hai điểm A và B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) và (O') lần lợt C và C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) và (O') lần lợt D vµ D' a) Chøng minh C, B, D' th¼ng hµng b) Chøng minh tø gi¸c ODC'O' néi tiÕp c) Đờng thẳng CD và đờng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bµi 2: Từ điểm C ngoài đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ là đờng kính vuông góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM và AB đồng quy điểm D b) Chứng minh các tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E cña CD Bµi 3: Cho hai đờng tròn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngoài A ( R> R' ) Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) và (O') theo thứ tự B và C ( B và C khác A) EF là dây cung đờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O') D a) Tø gi¸c BEFC lµ h×nh gi? b) Chøng minh ba ®iÓm A, D, F th¼ng hµng c) CF cắt đờng tròn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF và CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O’) Bµi 4: Cho đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài C AC và BC là đờng kính (O) và (O’), DE lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi (D (O), E (O’)) AD c¾t BE t¹i M a) Tam gi¸c MAB lµ tam gi¸c g×? b) Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O’) c) KÎ Ex, By vu«ng gãc víi AE, AB Ex c¾t By t¹i N Chøng minh D, N, C th¼ng hµng d) Về cùng phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB và OO’ Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn trên I, K Chứng minh OI // AK Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định Bµi 1: Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngoài (O) Từ điểm chính P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB c¾t IQ t¹i K (20) a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD c) Chøng minh IC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng luôn qua A, B Chứng minh IQ luôn qua điểm cố định Bµi 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động trên AB N di động trên tia đối tia CA cho BM = CN a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A và D Chứng minh D cố định b) TÝnh gãc MDN c) MN c¾t BC t¹i K Chøng minh DK vu«ng gãc víi MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn Bµi 3: Cho (O ; R) Điểm M cố định ngoài (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A và B Tiếp tuyÕn cña (O) t¹i A vµ B c¾t t¹i C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H cát tuyến quay quanh M c) CH c¾t AB t¹i N, I lµ trung ®iÓm AB Chøng minh MA.MB = MI.MN d) Chøng minh: IM.IN = IA2 Bµi 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB tâm O C là điểm chính cung AB M di động trên cung nhá AC LÊy N thuéc BM cho AM = BN a) So s¸nh tam gi¸c AMC vµ BCN b) Tam gi¸c CMN lµ tam gi¸c g×? c) KÎ d©y AE//MC Chøng minh tø gi¸c BECN lµ h×nh b×nh hµnh d) Đờng thẳng d qua N và vuông góc với BM Chứng minh d luôn qua điểm cố định Bµi 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C và D Điểm M tuỳ ý trên d, kÎ tiÕp tuyÕn MA, MB I lµ trung ®iÓm cña CD a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B cùng thuộc đờng tròn b) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB, tø gi¸c OAHB lµ h×nh g×? c) Khi M di đồng trên d Chứng minh AB luôn qua điểm cố định d) §êng th¼ng qua C vu«ng gãc víi OA c¾t AB, AD lÇn lît t¹i E vµ K Chøng minh EC = EK Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học Bµi 1: Cho đờng tròn (O) và dây AB M là điểm chính cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chøng minh MA2 = MC.MD b) Chøng minh MB.BD = BC.MD c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Gọi R1, R2 là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD Chứng minh R1 + R2 không đổi C di động trên AB Bµi 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R và điểm M trên nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt các tiếp tuyến A, B lần lợt C và E a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE b) Chøng minh AC.BE = R2 c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB và CE cắt F Gọi H là hình chiếu vuông gãc cña M trªn AB + Chøng minh r»ng: HA = FA HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi M di động trên nửa đờng tròn Bµi 3: Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P bất kì Các đờng thẳng AP và BC cắt Q Chứng minh rằng: = + PQ PB PC Bµi 4: (21) Cho góc vuông xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox t¹i A vµ c¾t Oy t¹i hai ®iÓm B, C Chøng minh c¸c hÖ thøc: a) 1 + 2= AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2 Chủ đề 6: Các bài toán tính số đo góc và số đo diện tích Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) và (O’;1 cm) tiếp xúc ngoài A Vẽ tiếp tuyến chung ngoµi BC (B (O); C (O’)) a) Chøng minh r»ng gãc O’OB b»ng 600 b) Tính độ dài BC c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC và các cung AB, AC hai đờng tròn Bµi 2: Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm VÏ vÒ mét phÝa AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K) a) Chøng ming r»ng EC = MN b) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung các nửa đờng tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bµi 3: Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn Từ mét ®iÓm M trªn cung nhá BC kÎ mét tiÕp tuyÕn thø ba c¾t hai tiÕp tuyÕn t¹i P vµ Q a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi b) Cho biết BAC = 600 và bán kính đờng tròn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB và diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhá BC Bµi 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp , K là tâm đờng tròn bàng tiÕp gãc A, O lµ trung ®iÓm cña IK a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K cùng thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến đờng tròn (O) c) Tính bán kính đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bµi 5: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R E là điểm trên đờng tròn mà AE > EB M lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n AE cho AM.AE = AO.AB a) Chøng minh AOM vu«ng t¹i O b) OM cắt đờng tròn C và D Điểm C và điểm E cùng phía AB Chứng minh ACM đồng dạng với AEC c) Chứng minh AC là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Gi¶ sö tØ sè diÖn tÝch hai tam gi¸c Acm vµ AEC lµ TÝnh AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Toán quỹ tích Bµi 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) và M là điểm di động trên đờng tròn đó Gọi D là hình chiếu B trên AM và P là giao điểm BD với CM a) Chøng minh BPM c©n b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển trên đờng tròn (O) Bµi 2: Đờng tròn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M trên d và ngoài đờng tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ a) Chứng minh góc QMO góc QPO và đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động trên d b) Xác định vị trí M để MQOP là hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm các đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động trên d Bµi 3: (22) Hai đờng tròn tâm O và tâm I cắt hai điểm A và B Đờng thẳng d qua A cắt các đờng tròn (O) và (I) lần lợt P, Q Gọi C là giao điểm hai đờng thẳng PO và QI a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp b) Gọi E, F lần lợt là trung điểm AP, AQ, K là trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đờng nào? c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu hình học không gian Bµi 1: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’ BiÕt AB = cm; AC = cm vµ A’C = 13 cm Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật đó Bµi 2: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA’B’C’D’ cã diÖn tÝch mÆt chÐo ACC’A’ b»ng 25 √ cm2 Tính thể tích và diện tích toàn phần hình lập phơng đó Bµi 3: Cho h×nh hép chø nhËt ABCDA’B’C’D’ BiÕt AB = 15 cm, AC’ = 20 cm vµ gãc A’AC’ 600 Tính thể tích và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật đó Bµi 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh và thể tích nó biết cạnh đáy dài cm và góc AA’B 300 Bµi 5: Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC b) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp S.ABC, cho biÕt SG = 2a Bµi 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy là a và đờng cao là a √2 a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác b) TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp Bµi 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên a a) TÝnh diÖn tÝch to¸n phÇn cña h×nh chãp b) TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp Bµi 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp Bµi 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm 2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là cm Tính thể tích hình chóp cụt đó Bµi 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp b) Chøng minh r»ng bèn mÆt bªn lµ nh÷ng tam gi¸c vu«ng a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp Bµi 11: Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diÖn tÝch xung quanh cña nã Bµi 12: Một hình nón có bán kính đáy cm và diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích hình nón đó Bµi 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm và đờng sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt đó Bµi 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm2 Tính thể tích hình cầu đó (23) (24)