Công thức mang tên của nhà toán học Italia Cacđanô G.[r]
(1)I, PHƯƠNG TRÌNH BẬC - Phương trình bậc là các dạng phương bậc lẻ, nó luôn có ít nghiệm và có nhiều là nghiệm - Phương trình bậc có dạng tổng quát : ax3 + bx2 + cx + d = ==> Pt <=> f(x) = x3 + Bx2 + Cx + D = **Có thể phân tích thành nhân tử ==> nghiệm phương trình ** Phương trình này có tâm đối xứng là điểm uốn nó I(-b/3a,f(b/3a)) Dùng phương pháp đổi trục : , ta biến đổi thu phương trình bậc : g(X) = X + pX +q = Đây là dạng pt có thể giải : 1, Trường hợp p>0:-Ta có g'(X) = 3X2 + p > => pt có nghiệm -Áp dụng đẳng thức sau : a3 + b3 +c3 - 3abc = (a +b +c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc).Đặt a=X =>ta tìm b,c thỏa hệ: Khi đó ta tìm nghiệm pt X=a= -(b+c) * Ta xét ví dụ sau : giải pt : x3 + 3x +1 =0 => b, c là nghiệm pt : =>t3=(1+ )/2 =>b = ( vì b, c có vai trò nhau) ,c= =>x = -(b+c) = - + ) 2, Trường hợp p<0 : Cách : -Ta có thể dùng phương pháp lượng giác hoá sau: đặt X=2acost, (có thể đặt theo sint) với a>0 , t thuộc [0, PT <=> 8a3cos3t + 2apcost + q = <=> 2a3(4cos3t + p/a2cost) + q = Tìm a thỏa p/a2 = -3 => a= 2a3cos3t = -q *Qua đó ta thấy điều kiện để áp dụng cách này là * Ví dụ : Giải phương trình : x3 - 3x -1 =0 Theo cách đặt trên thì ta có a=1 => cos3t= 1/2 => t=20 => x= 2cos (đây là nghiệm ,với t thuộc khoảng cho trước ta có thể tìm các nghiệm còn lại có) Cách : - Ta có thể dùng lại cách trường hợp 1, song cách này có trường hợp không nghiệm thực bài toán (2) II PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Phương trình bậc bốn có khá nhiều dạng đặc biệt, có thể giải tổng quát sau : x4 + bx3 + cx2 + dx + e = Đặt x = t - b/4 pt trở thành : x4 = Ax2 + Bx + C Cộng vế cho 2ax2 + a2 (a là số thực) pt ↔ x4 + 2ax2 + a2 = (2a + A)x2 + Bx + C + a2 Ta thấy vế trái có dạng (x2 + a)2, đó ta chọn a cho vế phải có dạng bình phương nhị thức : Xét vế phải là tam thức bậc hai theo x Δ = B2 - 4(2a + A)(C + a2) = : đây là pt bậc theo a nên chắn có nghiệm thực (chọn a giá trị) Lúc đó, ta có pt: (x2 + a)2 = Y2 Đây là công thức Ferrari (Theo Minh Tuấn ) **Lưu ý : nhiều trường hợp B=0 ta có thể có phương trình trùng phương CÔNG THỨC CACĐANÔ: công thức biểu diễn nghiệm phương trình bậc ba: x3 + px + q = ( * ) qua các hệ số nó Mọi phương trình bậc ba tổng quát a0y3 + a1y2 + a2y + a3 = 0, a0 ≠ có thể đưa dạng ( * ) nhờ phép đổi ẩn số CTC viết sau: đó thức bậc ba vế sau có ba giá trị, phải chọn các cặp giá trị có tích để cộng với Công thức mang tên nhà toán học Italia Cacđanô (G Cardano) (3)