Đang tải... (xem toàn văn)
Đôi khi phải cùng thêm và bớt một số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞ − ∞, rồi mới thực hiện phép nhân liên hợp như trên.. Bài tập tự luyện: Tìm các giới hạn sau:..[r]
(1)GIỚI HẠN HÀM SỐ (Trích tạp chí THTT) LaTeX: phong36a@gmail.com 02/10/2012 Mục lục Giới hạn hàm số dạng vô định 0 1.1 Dạng 1: Dạng vô định hàm phân thức đại số 0 1.2 Dạng 2: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức bậc hai 0 1.3 Dạng vô dịnh hàm phân thức chứa thức bậc 0 1.4 Dạng 4: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức bậc cao 0 1.5 Dạng 5: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức không cùng bậc 1.6 Dạng 6: Dạng vô định hàm hàm số lượng giác 0 1.7 Dạng 7: Dạng vô định hàm số mũ và hàm số logarit 1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm Giới hạn hàm số dạng ∞ 2.1 Dạng vô dịnh ∞ 2.2 Dạng vô định ∞ − ∞ 2.3 Dạng vô định 1∞ 2.4 Dạng vô định 0.∞ ∞ , ∞ − ∞, 1∞ , 0.∞ ∞ vô định 2 3 4 6 7 Một số dạng toán liên quan 3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm 3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm hàm số điểm 7 (2) Giới hạn hàm số dạng vô định 1.1 Dạng 1: Dạng vô định 0 hàm phân thức đại số f (x) đó f (x), g(x) là các hàm đa thức khác nhận x = x0 là nghiệm g(x) f (x) (x − x0 )f1 (x) f1 (x) fk (x) fk (x0 ) Cách giải: Ta có lim = lim = lim = = lim = Với x→x0 g(x) x→x0 (x − x0 )g1 (x) x→x0 g1 (x) x→x0 gk (x) gk (x0 ) điều kiện fk2 (x0 ) + gk2 (x0 ) x3 + x2 − Thí dụ 1: Tính lim x→1 x − x3 + x2 + x − Bài tập tự luyện Tìm các giới hạn sau: 8x3 − 2x4 − 5x3 + 3x2 + x − a lim1 b lim x→1 3x4 − 8x3 + 6x2 − x→ 6x − 5x + √ √ 2x3 − (4 + 1)x2 + (4 + 2)x − √ √ c lim √ x→ x3 − (2 + 1)x2 + (2 + 2)x − Tìm lim x→x0 1.2 Dạng 2: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức bậc hai p p f (x) − a Tìm lim đó f (x0 ) = a và g(x0 ) = x→x0 g(x) p p f (x) − a Cách giải: Khi đó thực phép nhân biểu thức liên hợp f (x) + a ta lim = x→x0 g(x) f1 (x0 ) (x − x0 )f1 (x) f1 (x) f (x) − a2 p = lim p = lim p = lim x→x0 ( x→x0 g(x)( f (x) + a) 2a.g1 (x0 ) f (x) p + a)(x − x0 )g1 (x)p x→x0 ( pf (x) + a)g1 (x) p p f (x) − a f1 (x) − f2 (x) f1 (x) − f2 (x) p , lim p Chú ý: Việc tìm các giới hạn lim p , lim x→x0 x→x0 g(x) g(x) − b x→x0 g1 (x) − g2 (x) hoàn toàn tương tự √ x+8−3 Thí dụ 2: Tính lim x→1 x + 2x √− √ x+ x−1−1 √ Thí dụ 3: Tính lim x→1 x2 − Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa bậc dạng đôi ta tách thành tổng các phân thức dạng trên nhân lượng liên hợp Bài tập tự luyện Tính các√giới hạn √ sau: x + − 2x x−1 √ a lim √ b lim √ x→2 x→1 x + + x3 − 3x √ x − − 43 − x x − + x − 3x + x + √ c lim x→2 2x − 2 (3) 1.3 Dạng vô dịnh hàm phân thức chứa thức bậc p p f (x) − a Tìm lim đó f (x0 ) = a và g(x0 ) = x→x0 g(x) p p (x) + a f (x) + a2 Cách giải: Thực phép nhân biểu thức liên hợp f p p 3 f (x) + a f (x) ± a Chú ý: Việc tìm các giới hạn dạng lim ; lim p ; x→x0 x→x0 g(x) ± b g(x) p p p 3 f (x) ± a f1 (x) ± f2 (x) p lim p ; lim p ; x→x0 x→x0 g(x) − b g (x) − g (x) p p f1 (x) ± f2 (x) p lim p hoàn toàn tương tự x→x0 g (x) ± g (x) √ 4x − Thí dụ 4: Tính lim ĐS: x→2 √ x−2 3 x + x2 + x + Thí dụ 5: Tính lim x→−1 x+1 Bài tập tự luyện: Tính các giới√ hạn sau: √ √ 2x − − x 2x − + x2 − 3x + √ a lim b lim √ x→1 x→1 x−1 x − + x2 − x + 1.4 hàm phân thức chứa thức bậc Dạng 4: Dạng vô định cao √ n + ax − Dạng thường gặp: Tìm lim x→0 x √ tn − n n Cách giải: Đặt t = + ax → t = + ax → x = và x → thì t → a √ n a(t − 1) a + ax − Khi đó lim = lim n = x→0 t→1 t − x √ n + 5x − Thí dụ 6: Tính lim x→0 x Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau: √ √ √ 4 2x + − 4x − − 2−x−1 a lim b lim c lim x→0 x→1 x→1 x x−1 x−1 1.5 Dạng 5: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức không cùng bậc Cách giải: Thêm và bớt số hạng thích hợp, tách thành hai giới hạn dạng vô định 0 √ √ 1+x− 38−x Thí dụ 7: Tính lim (Hướng dẫn: thêm bớt tử số) x→0 √ x √ + 2x − + 3x (Hướng dẫn: thêm bớt 1+x tử số) Thí dụ 8: Tính lim x→0 x2 Bài tập tự luyện:√Tính các giới hạn √ sau: √ √ 3 8x + 11 − x + + x2 − − 2x a lim b lim x→2 √ x2 − 3x√ x→0 +2 x + x√2 √ + 4x − + 6x 2x − + x − c lim d lim x→0 x→1 x2 x−1 (4) √ (x2 + 2004) − 2x − 2004 e lim x→0 x √ (x2 + 2001) − 5x − 2001 f lim x→0 x 1.6 hàm hàm số lượng giác Dạng 6: Dạng vô định sin x =1 x sin u(x) x tan x Hệ quả: lim = (nếu lim = 0); lim = 1; lim =1 x→a u(x) x→a x→0 sin x x→0 x Thí dụ 9: Tìm limπ ( − tan x) Làm theo cách x→ cos x √ sin x − cos x Thí dụ 10:Tìm limπ x→ sin 3x Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau: √ √ sin x − − cos x cos 2x a) lim ; b) limπ x→0 x→ tan x − x √ cos4 x − sin4 x − 1 − cos x √ c) lim d) lim x→0 x→0 tan2 x x2 + − π √ cos ( cos x) − 2x + + sin x e) lim g) lim √ x x→0 x→0 3x + − − x sin2 − |1 + sin 3x| − cos 3x cos 5x cos 7x √ h) lim i) lim x→0 x→0 sin2 7x − cos x √ tan x − 1 − cos x cos 2x k) limπ m) lim x→0 x→ sin x − x2 Định lí: lim x→0 1.7 Dạng 7: Dạng vô định x = e; Định lý: lim + x→∞ x hàm số mũ và hàm số logarit lim (1 + x) x = e; x→∞ eax − ebx x→0 x π ln tan + ax Thí dụ 12: Tính lim x→0 sin bx ln (sin x + cos x) Thí dụ 13:Tính lim x→0 x Bài tập luyện tập : Tính các giới hạn sau: esin 2x − esin x e2x − √ a lim ; lim √ x→0 x→0 sin x 1+x− 1−x 2 e3x cos2 x − 3x − cos x c lim ; d lim x→0 x→0 x x2 √ −2x2 cos x−cos 3x e − 1+x e − cos 2x e lim ; g lim x→0 x→0 ln (1 + x2 ) x2 Thí dụ 11 : Tính lim ln + x = 1; x→0 x lim ex − = x→0 x lim (5) 1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 √ (x2 + 2010) − 9x − 2010 Thí dụ 14 :Tìm A = lim x→0 x √ − 2x + + sin x √ Thí dụ 15 :Tìm B = lim x→0 3x + − Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn √ sau: √ √ 2x − + x − − 2x + + sin x √ ; b lim a lim x→0 x→1 x−1 3x + − √ esin 2x − esin x tan x − c lim ; d limπ x→0 x→ sin x − sin x √ e−2x − + x2 e lim x→0 ln (1 + x2 ) Một số bài √ các √ đề thi 2x − − x (HVNH-98) Bài 1: lim x→1 x√− x3 − 3x − (ĐHQG-98) Bài 2: lim x→1 √ x − √ 1+x− 38−x (ĐHQG KA-97) Bài 3: lim x→0 √ x √ 2x − + x − Bài 4: lim (ĐHSP II KA-99) x→1 x−1 − cos2 2x (ĐH ĐN KD-97) Bài 5: lim x→0 x sin x − |1 + sin 3x| √ Bài 6: lim (ĐHQG KB 97) x→0 − cos x Bài 7: lim − cot x (ĐHL-98) x→0 sin 2x tan x − sin x (HVKTQS-97) Bài 8: lim x→0 x π cos cos x Bài 9: lim (ĐHTN-KA-97) x x→0 sin2 − sin 2x − cos 2x Bài 10: lim x→0 + sin 2x − cos 2x tan(a + x) tan(a − x) − tan2 a Bài 11: lim (ĐHTN-98) x→0 x2 98 − cos 3x cos 5x cos 7x Bài 12: lim (ĐHAN KA00) x→0 83 sin2 7x √ − 2x + + sin x Bài 13: lim √ (ĐHGTVT 98) x→0 √ 3x + − − x + x2 − cos x Bài 14: lim (ĐHTM-99) x→0 √ x2 − cos x √ (ĐHHH-97) Bài 15: lim x→0 − cos x √ √ + tan x − + sin x Bài 16: lim (ĐHHH 00) x→0 x3 sin 2x sin x e −e Bài 17: lim (ĐHHH 99) x→0 sin x Ta có f (x0 ) = lim (6) Bài 18: Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: x3 + x2 − lim (ĐHQG KD-99) x→1 sin(x − 1) √ e−2x − + x2 lim (GTVT 01) 2) x→0 ln(1 + x √ √ 2x + − x2 + (ĐHQG-00) lim x→0 √ sin√ x − x − x2 + lim (TCKT-01) x→1 √ x2 − 1√ + 2x − + 3x lim (ĐH Thủy Lợi -01) x→0 x2 lim tan 2x tan π4 − x (ĐHSP II-00) π x→ 3x − cos x lim (ĐHSP II-00) x→0 x2 cos x − sin4 x − (ĐHHH-01) lim √ 2+1−1 x→0 x √ √ x+1+ 3x−1 (TK-02) lim x→0 x x6 − 6x + lim (TK-02) x→1 (x√ − 1)2 − 2x2 + lim (ĐHBK-01) x→0 − cos x Giới hạn hàm số dạng vô định 2.1 Dạng vô dịnh ∞ , ∞ − ∞, 1∞, 0.∞ ∞ ∞ ∞ Cách giải : Để khử dạng vô định ∞ ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao ∞ biến p √ x+ x Thí dụ : Tính lim √ x→+∞ x+1 x2 + 2x + √ Thí dụ : Tính lim x→+∞ x x + Bài tập tự luyện : Tính các giới hạn: √ √ √ x+1 x+ 3x+ 4x √ ; b lim √ a lim √ x→+∞ x x + x→+∞ x 2x + 2.2 Dạng vô định ∞ − ∞ Cách giải: Thực phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞ − ∞ Đôi phải cùng thêm và bớt số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞ − ∞, thực phép nhân liên hợp trên √ Thí dụ 3: Tìm lim ( x2 − − x) x→+∞ √ √ Thí dụ : Tìm lim ( x3 + 3x2 − x2 − x + 1) x→+∞ Bài tập tự luyện: Tìm các giới hạn sau: (7) √ √ a lim ( x2 + x + − x2 − x + 1) √ √ b lim ( 4x2 + 3x − − 8x3 − 5x2 + 3) x→+∞ 2.3 x→+∞ Dạng vô định 1∞ Tìm lim x→+∞ f (x) g(x) x , đó lim x→+∞ f (x) =1 g(x) f (x) Cách giải: Biến đổi = + , đó x → +∞ ⇔ t → +∞ Đưa giới hạn g(x) t t =e lim + t→+∞ t x x+3 Thí dụ : Tìm lim x→+∞ x+1 Bài tập tự luyện: Tìm các giới hạn: x x 2x + x+3 a lim b lim x→+∞ x→+∞ 2x − x−1 2.4 Dạng vô định 0.∞ ∞ ∞r x Thí dụ 6: (Đưa dạng ) Tìm lim + (x3 + 1) x→−1 r x −1 ∞ x+1 Thí dụ 7: (Đưa dạng Tìm lim (x − 2) x→+∞ ∞ x3 − x Bài tập tự luyện: Tìm các giới hạn: r x−1 √ x b lim x+2 a lim+ (x − 16) x→+∞ x + x→4 x − 64 Cách giải: Biến đổi đưa dạng Một số dạng toán liên quan 3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm Cách giải (Sử dụng định nghĩa) • Hàm số y = f (x) liên tục điểm x = x0 và lim f (x) = f (x0 ) x→x0 • Đôi ta phải sử dụng đến tính liên tục phía điểm x = x0 Hàm số y = f (x) liên tục điểm x = x0 và lim+ f (x) = lim− f (x) = f (x0 ) x→x0 x→x0 Thí dụ8: √ Tìm a để √ hàm số sau liên tục điểm x = : x − + 2x − x 6= f (x) = x − a x = x e x < Thí dụ 9: Cho f (x) = Hãy tìm a cho hàm số f (x) liên tục a + x x ≥ Bài tập tự luyện: Tìm m để hàm số f (x) liên tục: (8) tan x − cot x x 6= π 3x − π a f (x) = π m x = x e x < b f (x) = mx − x ≥ 3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm hàm số điểm Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Thí dụ 10:Tính đạo hàm hàm số sau điểm x = 0: etan x−sin x − x 6= y = f (x) = x x = Bài tập tự luyện: ( ln (cos 2x) x 6= Tính đạo hàm hàm số sau điểm x = 0: y = f (x) = sin x x = x x ≤ Cho hàm số y = f (x) = ax + b x > Tìm a, b để f (x) có đạo hàm điểm x = x2 − 2|x + 3| liên tục x = −3 không có đạo hàm Chứng minh hàm số y = 3x − điểm này —————– Hết ——————– (9)