xác định tọa độ các điểm cực trị 2 Chứng tỏ rằng có một điểm A duy nhất trên mặt phẳng tọa độ sao cho nó là điểm cực đại của đồ thị cùng với một giá trị thích hợp của m và cũng là điểm c[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA I Định nghĩa: Giả sử hàm số f ( x ) xác định trên tập D ⊂ \ và x ∈ D 1) x gọi là điểm cực trị f ( x ) tồn khoảng (a;b ) chứa điểm x cho (a;b ) ⊂ D và f ( x ) < f ( x ) , ∀x ∈ (a;b ) \ {x } Khi đó f ( x ) gọi là giá trị cực đại hàm số f ( x ) 2) x gọi là điểm cực tiểu hàm số f ( x ) tồn khoảng (a;b ) chứa điểm x cho (a;b ) ⊂ D và f ( x ) > f ( x ) , ∀x ∈ (a;b ) \ {x } Khi đó, f ( x ) gọi là giá trị cực tiểu hàm số f ( x ) Gọi chung là giá trị cực trị hàm số II Điều kiện để hàm số có cực trị 1) Điều kiện cần Gỉa sử hàm số f ( x ) đạt cực trị điểm x Khi đó,nếu f ( x ) có đạo hàm x thì f ' ( x ) = 2) Điều kiện đủ Dấu hiệu Gỉa sử hàm số f ( x ) liên tục trên (a;b ) chứa điểm x và có đạo hàm trên các khoảng (a; x ) vaø ( x ;b ) Khi đó: • Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x thì hàm số đạt cực tiểu điểm x • Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x thì hàm số đạt cực đại điểm x Dấu hiệu giả sử f ( x ) có đạo hàm trên (a;b ) chứa điểm x , f ' ( x ) = và f ( x ) có đạo hàm cấp hai khác điểm x Khi đó: • Nếu f '' ( x ) < thì hàm số đạt cực đại điểm x • Nếu f '' ( x ) > thì hàm số đạt cực tiểu x III các phương pháp tìm cực trị hàm số Phương pháp • Tìm f ' ( x ) • Tìm các điểm x i (i = 1,2, ) mà đó đạo hàm hàm số hàm số liên tục không có đạo hàm • Lập bảng xét dấu f ' ( x ) f ' ( x ) đổi dấu x qua x i thì hàm số đạt cực trị x i Phương pháp • Tìm f ' ( x ) • Giải phương trình f ' ( x ) = tìm các nghiệm x i (i = 1,2, ) • Tính f '' ( x i ) +Nếu f '' ( x i ) < thì hàm số đạt cực đại điểm x i +Nếu f '' ( x i ) > thì hàm số đạt cực tiểu điểm x i Trang Lop12.net (2) A CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ với giá trị nào tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 1) y = (m + ) x + 3x + mx + m 2) y = x + 2m 2x + m x +1 GIẢI 1) y = (m + ) x + 3x + mx + m • Tập xác định: D= R đạo hàm: y ' = (m + ) x + 6x + m • Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = hay g ( x ) = (m + ) x + 6x + m = có hai nghiệm phân biệt: ⎧⎪m ≠ −2 ⎧⎪m + ≠ ⎧⎪m ≠ −2 ⇔⎨ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩−3 < m < ⎪⎩Δ ' = − 3m (m + ) > ⎪⎩3 −m − 2m + > • Vậy giá trị cần tìm là: −3 < m < và m ≠ −2 x + 2m 2x + m 2) y = x +1 • Tập xác định: D= R\{-1} x + 2x + m Đạo hàm: y ' = ( x + 1)2 ( ) • Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = hay g ( x ) = x + 2x + m = có hai nghiệm phân biệt khác –1 ⎧⎪Δ ' = − m > ⎧⎪ −1 < m < ⇔⎨ ⇔ ⇔ −1 < m < ⎨m ≠ ±1 − = − + ≠ g 1 m ( ) ⎪ ⎪⎩ ⎩ • Vậy giá trị cần tìm là: −1 < m < VÍ DỤ với giá trị nào tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị 1) y = (m − ) x − 2mx + 2) y = mx + x + m x +m GIẢI 1) y = (m − ) x − 2mx + • Tập xác định: D = R Đạo hàm: y ' = (m − ) x − 4mx ; y ' = ⇔ (m − ) x − 4mx = (1) + Xét m = : y ' = ⇔ −12x = ⇔ x = ⇒ y ' đổi dấu x qua x = ⇒ Hàm số có cực trị ⇒ m = không thuộc + Xét m ≠ : Hàm số không có cực trị ⇔ y ' khômg đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm có nghiệm kép ⎧⎪m − ≠ ⎧⎪m ≠ ⇔ ⇔⎨ ⎨m = ⇔ m = ⎪⎩ ⎪⎩Δ ' = 4m ≤ • Vậy giá trị cần tìm là m = mx + x + m 2) y = x +m • Tập xác định: D = \ \ {−m} Trang Lop12.net (3) mx + 2m 2x ; y ' = ⇔ g ( x ) = mx + 2m 2x = (1) ( x ≠ −m ) (x + m ) • Hàm số không có cực trị ⇔ y ' không đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm có nghiệm kép + Xét m = : y ' = 0, ∀x ≠ −m ⇒ m = thỏa + Xét m ≠ : Yêu cầu bài toán ⇔ Δ ' = m ≤ : vô nghiệm ∀m ≠ • Vậy giá trị cần tìm là: m = Đạo hàm: y ' = x − mx + m chứng minh với mhàm số luôn luôn có cực trị và x −1 khoảng cách các điểm cực trị không đổi GIẢI • Tập xác định: D= R/1 ⎡x = ⇒ y = −m x − 2x • Đạo hàm y ' = y ' = ⇔ ; ⎢ (x − 1)2 ⎢⎣x = ⇒ y = − m Vậy y ' = luôn luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m ⇒ hàm số luôn có cực trị • Tọa độ các điểm cực trị A ( 0; −m ) , B ( 2; − m ) VÍ DỤ Cho hàm số y = • Khoảng cách hai điểm A, B là : AB = ( − )2 + ( − m + m )2 = = const (đpcm) x + mx + VÍ DỤ Cho hàm số y = định m để hàm số có cực trị x = x +m GIẢI • Tập xác định: D= R\{-m} x + 2mx + m − Đạo hàm: y ' = ( x + m )2 • Điều kiện cần: Hàm số có cực đại x = ⇒ y ' ( ) = ⎧⎪m + 4m + = ⎡m = −1 m + 4m + ⇔ ⇔ = ⇔ ⎢ ⎨ ( + m )2 ⎢⎣m = −3 ⎪⎩m ≠ −2 • Điều kiện đủ: ⎡x = x − 2x = ⇔ + Với m = −1 : y ' = ⎢ ( x − 1)2 ⎢⎣x = BBT x -∞ + y' _ _ -∞ -∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàn số đạt cực tiểu x = ⇒ m = −1 không thỏa ⎡x = x − 6x + =0⇔⎢ + Với m = −3 : y ' = ( x − )2 ⎢⎣x = Trang Lop12.net + +∞ +∞ C§ y +∞ (4) BBT x -∞ + y' _ _ -∞ -∞ + +∞ +∞ C§ y +∞ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại x = ⇒ m = −3 thỏa yêu cầu bài toán • Vậy giá trị cần tìm là: m = −3 Cách khác Ta có: y = x + x +m Tập xác định: D= R\ {-m} y' =1− = (x + m ) ( x + m )3 ⎧1 − ⎧m + 4m + = 0 = ⎪⎪ ⎧⎪y ' ( ) = ⎪⎪ (2 + m ) ⇔ ⎨m ≠ −2 Hàm số đạt cực đại x = ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪ ⎪⎩y '' ( ) < ⎪ <0 m < −2 ⎪⎩ ( + m )3 ⎩⎪ ⎧⎪m = −1 ∨ m = −3 ⇔⎨ ⎪⎩m < −2 ⇔ m = −3 Vậy giá trị cần tìm là: m = −3 VÍ DỤ Cho hàm số y = x = và x = ax + bx + ab Tìm các giá trị a, b cho hàm số đạt cực trị ax + b GIẢI a x + 2abx + b − a 2b • Hàm số xác định ax + b ≠ y ' = (ax + b )2 2 ⎧⎪y ' ( ) = • Điều kiện cần: Hàm số đạt cực trị x = và x = ⇒ ⎨ ⎪⎩y ' ( ) = ⎧b − a 2b = ⎧b − a 2b ⎧b = a > ⎪ =0 ⎪ ⎪ ⎪⎪b ≠ ⎧⎪a = −2 ⎪ b ⎪ ⇔ ⇔⎨ ⇔ + = a a ⇔ ( ) ⎨ ⎨ ⎨ 2 2 2 ⎪⎩b = ⎪16a + 8ab + b − a b = ⎪ 16a + 8ab + b − a b = ⎪ 2 + ≠ a a ⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ ( 4a + b ) ⎪⎩4a + b ≠ ⎡x = x − 4x = ⇔ • Điều kiện đủ: Với a = −2, b = , ta có: y ' = ⎢ ( −x + )2 ⎢⎣x = BBT: x -∞ + y' 0 _ _ -∞ -∞ + +∞ +∞ C§ y +∞ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại x = và cực tiểu x = Trang Lop12.net (5) • Vậy giá trị cần tìm là: a = −2, b = ( ) VÍ DỤ Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + m − 3m + x + Xác định m để đồ thị hàm số có hai hai điểm cực đại và cực tiểu nằm vềhai phía trục tung ) GIẢI • Tập xác định D = R Đạo hàm: y ' = 3x − ( 2m + 1) x + m − 3m + • Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục tung ⇔ y ' = hay g ( x ) = 3x − ( 2m + 1) x + m − 3m + = có hai nghiệm phân biệt x1, x thỏa x1 < < x ⇔ 3.g ( ) < ⇔ m − 3m + < ⇔ < m < • Vậy giá trị cần tìm là: < m < VÍ DỤ Cho hàm số y = 2x + ax − 12x − 13 (a là tham số) với giá trị nào a thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đểu trục tung GIẢI • Tập xác định: D= R Đạo hàm: y ' = 6x + 2ax − 12 = 3x + ax − ( ) • Hàm số có cực đại và cực tiểu cách trục tung ⇔ y ' = hay g ( x ) = 3x + ax − = có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa x1 + x = ⎧Δ = a + 72 > 0, ∀a ⎪ ⇔⎨ ⇔a =0 a ⎪x + x = − = ⎩ • Vậy giá trị cần tìm là: a = VÍ DỤ Cho hàm số y = điểm có hoành độ x > m x + x + mx định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu các GIẢI • Tập xác định: D= R Đạo hàm: y ' = x + x + m • Yêu cầu bài toán ⇔ y ' = hay g ( x ) = x + x + m = có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa m < x1 < x ⎧ ⎧ ⎪Δ = − 4m > ⎪m < ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨1.g (m ) = m + 2m > ⇔ ⎨m < −2 ∨ m > ⇔ m < −2 ⎪ ⎪ ⎪m < − ⎪S = − > m ⎪⎩ ⎪⎩ 2 • Vậy giá trị cần tìm là: m < −2 ( ) VÍ DỤ Cho hàm số y = −x + (m + 1) x − 3m + 7m − x + m − định m để hàm số đạt cực tiểu diểm có hoành độ nhỏ GIẢI • Tập xác định: D =R Đạo hàm: y ' = −3x + (m + 1) x − 3m + 7m − ( Trang Lop12.net ) (6) • Yêu cầu bài toán ⇔ y ' = hay g ( x ) = −3x + (m + 1) x − ( 3m + 7m − 1) = có hai ⎡x < < x (1) nghiệm phân biệt x1, x thỏa: ⎢ ⎢⎣x < x ≤ ( ) (1) ⇔ −3.g (1) < ⇔ ( 3m + m − ) < ⇔ − ⎧ ⎪Δ ' > ⎪⎪ ( ) ⇔ ⎨−3.g (1) ≥ ⎪ ⎪S < ⎪⎩ < m < (a) ( ) ⎧9 (m + 1)2 − 3m + 7m − > ⎪ ⎪ ⇔ ⎨3 3m + m − ≥ ⎪ ⎪⎩m + < ( ) ⎧m < ⎧−3m + 12 > ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⇔ ⎨m ≤ − ∨ m ≥ ⇔ ⎨3m + m − ≥ ⎪ ⎪ < m ⎪⎩m < ⎪⎩ • Kết hợp (a) và (b) ta có giá trị cần tìm là: m < ⇔m≤− (b) VÍ DỤ 10 Cho hàm số y = x − 3x + (C ) Hãy xác định tất các giá trị a để điểm cực đại và cực tiểu đồ thị (C) nằm hai phía khác đường tròn (phía và phía ngoài): x + y − 2ax − 4ay + 5a − = GIẢI • Tập xác định: D= R Đạo hàm: y ' = 3x − 6x ⎡x = ⇒ y = y' = ⇔ ⎢ ⇒ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A ( 0;2 ) , B ( 2; −2 ) ⎢⎣x = ⇒ y = −2 (Ca ) : x + y − 2ax − 4ay + 5a − = • Hai điểm A, B nằm hai phhía đường tròn (Ca ) ⇔ PA / (Ca ) PB / (Ca ) < ( )( ) ⇔ 5a − 8a + 5a + 4a + < ⇔ 5a − 8a + < (do 5a + 4a + > 0, ∀a ) <a <1 Cách khác • Phương trình đường tròn (Ca ) viết lại ⇔ (x − a )2 + (y − 2a ) = (Ca ) có tâm I (a;2a ) và bán kính R = • Ta có IB = (a − ) + ( 2a + ) 2 ⎞2 36 ⎛ = 5a + 4a + = ⎜ a + ⎟ + ≥ >1=R 5⎠ 5 ⎝ ⇒ Điểm B nằm ngoài (Ca ) Do đó điểm A nằm phía đường tròn (Ca ) ⇔ IA < ⇔ a + ( − 2a )2 < ⇔ 5a − 8a + < ⇔ < a < 1 mx − (m − 1) x + (m − ) x + với giá trị nào m thì hàm 3 số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu x1, x thỏa x1 + 2x = VÍ DỤ 11 Cho hàm số y = Trang Lop12.net (7) GIẢI • Tập xác định : D= R Đạo hàm: y ' = mx − (m − 1) x + (m − ) • Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = hay mx − (m − 1) x + (m − ) = có hai nghiệm phân biệt x 1, x ⎧⎪m ≠ ⎧⎪m ≠ ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎪⎩Δ ' = (m − 1) − 3m (m − ) > ⎪⎩ −2m + 4m + > ⎧m ≠ ⎪ ⇔ ⎨2 − + (∗) <m < ⎪ ⎩ • Theo định lí Vi-eùt và theo đề bài, ta có ( m − 1) (m − ) x1 + x = x1.x = (1) (2) x1 + 2x = (3) m m Từ (1) và (3), vào (2), ta ⎛ 3m − ⎞ ⎛ − m ⎞ = (m − ) ⇔ 3m − 8m + = (do m ≠ ) ⎜ ⎟⎜ ⎟ m ⎝ m ⎠⎝ m ⎠ ⎡m = 2 (thỏa (∗) ) Vậy giá trị cần tìm là: m = ∨ m = ⇔⎢ ⎢m = ⎢⎣ ( ) VÍ DỤ 12 Cho hàm số y = x − (m + 1) x + m + 7m + x − 2m (m + ) Tìm m để đò thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đó GIẢI • Tập xác định : D= R đạo hàm: y ' = 3x − (m + 1) x + m + 7m + ( ( ) ) y ' = ⇔ 3x − (m + 1) x + m + 7m + = 2 (1) • Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt ( ( ) ) ⇔ Δ ' = (m + 1)2 − m + 7m + > ⇔ m − 8m − > ⇔ m < − 17 ∨ m > + 17 lấy y chia cho y’ ta có 2 y = ( x − m − 1) y '− m − 8m − x + m + 5m + 3m + 3 • Gọi A ( x 1; y1 ) , B ( x ; y2 ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số thì x 1, x là nghiệm (1) Ta có: ⎧y = x − m − y ' x − m − 8m − x + m + 5m + 3m + ) ( 1) ⎪ 3( 3 ⎨ ⎪y ' ( x1 ) = ⎩ 2 ⇒ y1 = − m − 8m − x + m + 5m + 3m + 3 Tương tự ta có 2 y2 = − m − 8m − x + m + 5m + 3m + 3 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là: ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( ) Trang Lop12.net ) (8) y=− 2 m − 8m − x + m + 5m + 3m + 3 ( ) ( ) VÍ DỤ 13 Cho hàm số y = x − 6x + (m + ) x − m − định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu GIẢI • Tập xác định: D= R Đạo hàm: y ' = 3x − 12x + (m + ) y ' = ⇔ 3x − 12x + (m + ) = (1) • Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ ' = 36 − (m + ) > ⇔ − m > ⇔ m < (*) lấy y chia cho y’, ta có: y = ( x − ) y '+ (m − ) x + m − Gọi A ( x 1; y1 ) , B ( x ; y2 ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số thì x 1, x là nghiệm (1) Theo định lí Vi-eùt, ta có: x1 + x = 4, x1x = m + Ta có ⎧y = x − y ' x + (m − ) x + m − ) ( 1) ⎪ 3( ⇒ y1 = (m − ) x1 + m − ⎨ ⎪y ' ( x1 ) = ⎩ Tưng tự ta có : y2 = (m − ) x + m − Yêu cầu bài toán ⇔ y1.y2 > ⇔ [ ( m − ) x + m − ] [2 ( m − ) x + m − ] > ⇔ (m − )2 ( 2x1 + 1)( 2x + 1) > ⇔ (m − )2 ⎡⎣4x1x + ( x1 + x ) + 1⎤⎦ > ⇔ (m − )2 [ (m + ) + 2.4 + 1] > ⇔ (m − )2 ( 4m + 17 ) > ⎧m > − 17 17 ⎪ So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: − ⇔⎨ < m < ⎪m ≠ ⎩ VÍ DỤ 14 Cho hàm số y = x − 3x + m 2x + m Tìm tất các giá trị thamsố m để hàm số có cực đại, có cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y = x − 2 GIẢI Tập xác định: D= R Đạo hàm: y ' = 3x − 6x + m y ' = ⇔ 3x − 6x + m = (1) • Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ ' = − 3m > ⇔ − < m < Gọi A ( x 1; y1 ) , B ( x ; y2 ) là các điểm cực trị hàm số và I là trung điểm đoạn AB Do x1, x là nghiệm (1) nên theo định lí lí Vi-eùt, ta có: x1 + x = , x1.x = m2 Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng Δ : y = Trang Lop12.net x− 2 (9) ⎧⎪AB ⊥ Δ ⇔⎨ ⎪⎩I ∈ Δ Đường thẳng Δ và AB có hệ số góc là: k1 = 3 2 y2 − y1 x − x − x − x + m ( x − x ) k2 = = x − x1 x − x1 ( ) = ( x1 + x ) − x1x − ( x1 + x ) + m = − AB ⊥ Δ ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ 2m − m2 − + m2 = 3 ⎛ 2m − ⎞ ⎜ ⎟ = −1 ⇔ m = ⎝ ⎠ ⎡x1 = ⇒ y1 = Với m = : y ' = 3x − 6x = ⇔ ⎢ ⎢⎣x = ⇒ y2 = −4 ⇒ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A ( 0; ) , B ( 2; −4 ) ⇒ Trung điểm AB là I (1; −2 ) Ta có: I ∈ Δ Vậy: m = thỏa yêu cầu bài toán VÍ DỤ 15 Cho hàm số y = x − 2mx + 2m + m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành tam giác () GIẢI Tập xác định: D= R ⎡x = Đạo hàm: y ' = 4x − 4mx ; y ' = ⇔ ⎢ ⎢⎣x = m ( * ) HS có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu x qua các điểm này ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ m > ⎡x = ⇒ y = m + 2m Khi đó : y ' = ⇔ ⎢ ⎢x = ± m ⇒ y = m − m + 2m ⎣ Đồ thị hàm số có điểm cực đại là A 0; m + 2m và hai điểm cực tiểu là ( ) ( B − m ; m − m + 2m ,C ( m ; m − m + 2m ) ) ⎧⎪AB = AC các điểm A, B, C lập thành tam giác ⇔ ⎨ ⎪⎩AB = BC ⇔ AB = BC ⇔ m + m = 4m ⇔ m m − = ⇔ m = 3 ( ) (do m > ) Vậy giá trị cần tìm là: m = 3 VÍ DỤ 16 Cho hàm số y = kx + (k − 1) x + − 2k Xác định các giá trị tham số k để đồ thị hàm số có cực trị ) GIẢI Tập xác định: D= R Đạo hàm y ' = 4kx − (k − 1) x Trang Lop12.net (10) ⎡x = y' = ⇔ ⎢ ⎢⎣2kx + k − = ( * ) Hàm số có cực trị ⇔ y ' = có nghiệm và y’ đổi dấu x qua nghiệm đó ⇔ Phương trình (*) vô nghiệm có nghiệm x = ⎡k = ⎢ ⎡k = ⇔ ⎢ ⎧⎪k ≠ ⇔k ≤ 0∨k ≥1 ⇔⎢ ⎢⎨ ⎢⎣k < ∨ k ≥ ⎢⎣ ⎪⎩Δ ' = −2k (k − 1) ≤ Vậy giá trị cần tìm là: k ≤ ∨ k ≥ VÍ DỤ 17 Cho hàm số y = x − mx + Xác địnhmđể đồ thị hàm số có cực tiểu mà 2 không có cực đại ) GIẢI Tập xác định: D= R ⎡x = Đạo hàm: y ' = 2x − 2mx ; y ' = ⇔ ⎢ ⎢⎣x = m ( * ) Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ y ' = có nghiệm và y’ đổi dấu từ âm sang dương x qua nghiệm đó ⇔ Phương trình (*) vô nghiệm có nghiệm kép x = ⇔ m ≤ Vậy giá trị cần tìm là: m ≤ VÍ DỤ 18 Cho hàm số y = (P ) : y = x + x − x + mx + Tìm m để điểm cực tiểu hàm số nằm trên parabol x −1 GIẢI m+3 Ta có: y = x + m + + x −1 Tập xác định: D= R\{1} x − 2x − m − ; y ' = ⇔ g ( x ) = x − 2x − m − = ( x ≠ 1) (1) Đạo hàm: y ' = (x − 1)2 Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt khác ⎧⎪Δ ' = − ( −m − ) > ⎧⎪m + > ⇔ m > −3 (*) ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩m ≠ −3 ⎪⎩g (1) = −m − ≠ m+3 ⎡ ⎢x1 = − m + ⇒ y1 = − m + + m + + − m + = m + − m + Khi đó : y ' = ⇔ ⎢ ⎢x = + m + ⇒ y = + m + + m + + m + = m + + m + 2 m+3 ⎣⎢ BBT x -∞ x1 + y' y -∞ C§ y1 _ _ +∞ x2 +∞ +∞ y2 -∞ CT Trang 10 Lop12.net + (11) Từ BBT ta thấy xCT = x = + m + yCT = y2 = m + + m + ⇒ điểm cực tiểu là A (1 + m + 3; m + + m + ) A ∈ ( P ) ⇔ m + + m + = (1 + m + ) + + m + − ⇔ m + = ⇔ m + = ⇔ m = −2 (thỏa (*)) giá trị cần tìm là: m = −2 x − (m + 1) x − m + 4m − Tìm tất các giá trị củatham số m VÍ DỤ 19 Cho hàm số y = x −1 thì hàm số đã cho có cực trị Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ GIẢI m − 3m + Ta có: y = x − m − x −1 tập xác định: D= R\ {1} x − 2x + m − 3m + đạo hàm: y ' = ( x − 1)2 hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = hay g ( x ) = x − 2x + m − 3m + = ( x ≠ 1) có hai nghiệm phân biệt x1, x khác ⎧⎪−m + 3m − > ⎧⎪Δ ' > ⇔ < m < (*) ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩g (1) ≠ ⎪⎩m − 3m + ≠ gọi A ( x1; y1 ) , B ( x ; y2 ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số thì x1, x là nghiệm (1) Khi đó: ⎡x = − −m + 3m − ⇒ y = − m + −m + 3m − 1 y' = ⇔ ⎢ ⎢x = + −m + 3m − ⇒ y = − m − −m + 3m − 2 ⎢⎣ Ta có ( )( y1.y2 = − m + −m + 3m − − m − −m + 3m − ( = (1 − m )2 − −m + 3m − ) ) = 5m − 14m + 4 = ⎛⎜ m − ⎞⎟ − ≥ − 5⎠ 5 ⎝ ⇒ Min (y1.y2 ) = − , đạt m = 5 So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: m = x − (m + 1) x + 3m + với giá trị nào m thì hàm số đã cho có x −1 cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu VÍ DỤ 20 Cho hàm số y = () 2m + Ta có: y = x − m + x −1 Tập xác định: D= R\{1} GIẢI Trang 11 Lop12.net (12) Đạo hàm: y ' = x − 2x − 2m − ( x − 1)2 Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = hay g ( x ) = x − 2x − 2m − = có hai nghieäm phân biệt x1, x khác ⎧⎪Δ ' > ⎧⎪2m + > ⇔ m > −1 (*) ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩−2m − ≠ ⎪⎩g (1) ≠ Gọi A ( x 1; y1 ) , B ( x ; y2 ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số thì x 1, x là nghiệm (1) Khi đó: ⎡x = − 2m + ⇒ y = − 2m + − m + 2m + = − m − 2m + ⎢ − 2m + y' = ⇔ ⎢ ⎢x = + 2m + ⇒ y = + 2m + − m + 2m + = − m + 2m + 2 ⎢⎣ 2m + Hai giá trị cực trị cùng dấu ⇔ y1.y2 > ⇔ (1 − m − 2m + )(1 − m + 2m + ) > ⇔ (1 − m )2 − ( 2m + ) > ⇔ m − 10m − > ⇔ m < − ∨ m > + So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: −1 < m < − ∨ m > + Cách khác Tập xác định: D= R\ {1} x − 2x − 2m − Đạo hàm: y ' = ( x − 1)2 Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = hay g ( x ) = x − 2x − 2m − = có hai nghiệm phân biệt x1, x khác và y ' đổi dấu x qua hai nghiệm đó ⎧⎪Δ ' > ⎧⎪2m + > ⇔ m > −1 (∗) ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩ −2m − ≠ ⎪⎩g (1) ≠ Hai giá trị cực trị cùng dấu ⇔ đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt ⇔ y = hay x − (m + 1) x + 3m + = ( x ≠ 1) có hai nghiệm phân biệt khác ⎧⎪ Δ = (m + 1)2 − ( 3m + ) > ⎧⎪m − 10m − > ⇔⎨ ⇔⎨ − m + + m + ≠ ( ) ⎪⎩2m + ≠ ⎪⎩ ⎧⎪m < − ∨ m > + ⇔⎨ ⎪⎩m ≠ −1 So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: −1 < m < − ∨ m > + VÍ DỤ 21 xác định p cho hàm số y = vớii m − M = 4−p Ta có: y = −x − − x −4 Tập xác định: D= R\{4} −x + 8x − p − 12 Đạo hàm: y ' = ( x − )2 −x + 3x + p có giá trị cực đại M và giá tị cực tiểu m x −4 GIẢI y ' = ⇔ g ( x ) = −x + 8x − p − 12 = ( x ≠ ) (1) Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt khác Trang 12 Lop12.net (13) ⎧⎪Δ ' = 16 − ( p + 12 ) > ⎧⎪4 − p > ⇔ p < (*) ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩ p ≠ ⎪⎩g ( ) = − p ≠ Gọi A ( x 1; y1 ) , B ( x ; y2 ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số thì x1, x là nghiệm (1) Khi đó: ⎡x = − − p ⇒ y = − − − p − − − p = −5 + − p ⎢ − 4−p y' = ⇔ ⎢ ⎢x = + − p ⇒ y = − + − p − − − p = −5 − − p ⎢ 4−p ⎣ BBT x y' -∞ x1 _ +∞ y ( ) ( ) + + +∞ y1 CT +∞ x2 -∞ _ C§ y2 -∞ Từ bảng biến thiên ta thấy: M = y2 = −5 − − p m = y1 = −5 + − p Do đó: m − M = ⇔ −5 + − p − ( −5 − − p ) = ⇔ − p = ⇔ p = (thỏa (*)) Vậy giá trị cần tìm là: p = VÍ DỤ 22 Cho hàm số y = x ∈ ( 0;2m ) x + m 2x + 2m − 5m + Tìm m > để hàm số đạt cực tiểu x GIẢI tập xác định: D= R\{0} x − 2m + 5m − đạo hàm: y ' = x2 BBT x y' x2 _ +∞ 2m + y(2m) y CT Hàm số đạt cực tiểu x ∈ ( 0;2m ) ⇔ y ' = hay g ( x ) = x − 2m + 5m − = có hai nghiệm phân biệt x1, x ( x1 < x ) thỏa: x1 < < x < 2m ⎧m > ⎪⎪ ⇔ ⎨1.g ( ) < ⎪ ⎪⎩1.g ( 2m ) > ⎧m > ⎪ ⎪ ⇔ ⎨−2m + 5m − < ⎪ ⎪⎩2m + 5m − > Trang 13 Lop12.net (14) ⎧ ⎪m > ⎪ ⎪ ⇔ ⎨m < ∨ m > ⎪ ⎪m < −3 ∨ m > ⎪⎩ giá trị cần tìm là: VÍ DỤ 23 1) Cho hàm số y = ⎡1 < m < ⎢2 ⇔⎢ ⎢m > ⎣ < m < 1∨m > 2 u ' (x ) u (x ) u (x ) = chứng minh y ' ( x ) = vaø v ' ( x ) ≠ thì ta có: v ' (x ) v (x ) v (x ) 2x + 3x + m − đạt cực đại x1 và đạt cực tiểu x thì ta có : x +2 y ( x1 ) − y ( x ) = x1 − x 2) chứng minh hàm số: y = GIẢI 1) Ta có: u ' (x ) v (x ) − u (x ) v ' (x ) y' = [v ( x )]2 Do đó: y ' ( x ) = ⇔ u ' ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ' ( x ) = ⇔ u ' (x ) v (x ) = u (x ) v ' (x ) ⇔ u ' (x ) u (x ) (đpcm) = v ' (x ) v (x ) 2) Theo kết câu 1) nên ta có: y ( x ) = 4x1 + , y ( x ) = 4x + ⇒ y ( x1 ) − y ( x ) = x − x (đpcm) x + 2mx + x +1 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó tới đườngthẳng x + y + = VÍ DỤ 24 Cho hàm số y = () GIẢI Tập xác định : D= R\{-1} x + 2x + 2m − Đạo hàm: y ' = ( x + 1)2 Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = hay g ( x ) = x + 2x + 2m − = có hai nghiệm phân biệt x 1, x khác -1 ⎧⎪Δ ' > ⎧⎪3 − 2m > ⇔⎨ (*) ⇔m< ⇔⎨ ⎪⎩2m − ≠ ⎪⎩g ( −1) ≠ gọi A ( x 1; y1 ) , B ( x ; y2 ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số thì x1, x là nghiệm (1) Theo định lí Vi-eùt, ta có: x1 + x = −2, x1.x = −2m mặt khác: y1 = 2x1 + 2m , y2 = 2x + 2m đặt Δ : x + y + = yêu cầu bài toán ⇔ d ( A, Δ ) = d ( B, Δ ) ⇔ x1 + y1 + x + y2 + = 2 Trang 14 Lop12.net (15) ⇔ 3x + 2m + = 3x + 2m + ⇔ ( 3x1 + 2m + ) = ( 3x + 2m + ) 2 ⇔ ( 3x1 + 2m + ) − ( 3x + 2m + ) = ⇔ ( x1 − x ) ⎡⎣ ( x1 + x ) + 4m + ⎤⎦ = ⇔ ( x + x ) + 4m + = ( x1 ≠ x ) ⇔ ( −2 ) + 4m + = ⇔m = (thỏa (*)) giá trị cần tìm là: m = x + (m + ) x + 3m + VÍ DỤ 25 Cho hám số y = x +1 1) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 2 2) Giả sử y có giá trị cực đại và cực tiểu là y CÑ, yCT chứng minh: yCÑ + yCT > GIẢI 1) Tập xác định: D = R\{-1} x + 2x − 2m Đạo hàm: y ' = ( x + 1)2 hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = hay g ( x ) = x + 2x − 2m = có hai nghiệm phân biệt x1, x khác -1 ⎧⎪Δ ' > ⎧⎪2m + > ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔m >− − m − ≠ ⎪⎩ ⎪⎩g ( −1) ≠ giá trị cần tìm là: m > − 2) Gọi A ( x 1; y1 ) , B ( x ; y2 ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số thì x 1, x là nghiệm (1) Theo định lí Vi-eùt, ta có x1 + x = −2, x1.x = −2m mặt khác: y1 = 2x + m + , y2 = 2x + m + Do đó: 2 yCÑ + yCT = y12 + y22 = ( 2x1 + m + ) + ( 2x + m + ) ( ) = x12 + x 22 + (m + ) ( x1 + x ) + (m + )2 = ⎡( x1 + x ) − 2x 1x ⎤ + (m + ) ( x1 + x ) + (m + )2 ⎣ ⎦ = ( + 4m ) − (m + ) + (m + )2 = 2m + 16m + 1 f ' (m ) = 4m + 16 > 0, ∀m > − Xét hàm số: f (m ) = 2m + 16m + 8, m > − 2 BBT m +∞ + f'(m) +∞ f(m) Từ BBT, ta thấy f (m ) > 1 2 + yCT > , ∀m ∈ ⎛⎜ − ; +∞ ⎞⎟ Vậy : yCÑ 2 ⎝ ⎠ Trang 15 Lop12.net (đpcm) (16) VÍ DỤ 26 Cho hàm số y = ( ) mx + m + x + 4m + m Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số x +m có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( II ) và điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( IV ) mặt phẳng tọa độ GIẢI 4m x +m ⇒ tiệm cận xiên: y = mx + (m ≠ ) tập xác định: D = R\ {-m} mx + 2m 2x − 3m đạo hàm: y ' = ( x + m )2 y ' = ⇔ g ( x ) = mx + 2m 2x − 3m = ( x ≠ −m ) (*) Ta có: y = mx + + giả sử A ( x 1; y1 ) , B ( x ; y2 ) ( x1 < x ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số thì x 1, x là nghiệm (*) ⎧⎪A thuộc góc phần tư thứ (II) Yêu cầu bài toán ⇔ ⎨ ⎪⎩B thuộc góc phần tư thứ (IV) ⎧• x < < x (1) ⎪⎪ ⇔ ⎨• y2 < < y1 (2 ) ⎪ ⎪⎩• Heäsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn ( ) (1) ⇔ m.g ( ) < ⇔ −3m < ⇔ m ≠ (a) ( ) ⇔ đồ thị hàm số không cắt trục Ox ( ) ⇔ y = hay mx + m + x + 4m + m = (x ≠ −m ) vô nghiệm ⎧m ≠ ⎧⎪m ≠ ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩ −15m − 2m + < ⎪⎩Δ = m + − 4m 4m + m < ⎧m ≠ 1 ⎪ (b) ∨m > ⇔⎨ ⇔m<− 5 ⎪⎩m > ( ) ⇔ m < (c) từ (a), (b) và (c) ta có giá trị cần tìm là: m < − ( ) ( ) x − m ( m + 1) x + m + VÍ DỤ 27 Cho hàm số y = x −m 1) Chứng minh đồ thị hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu với giá trị m xác định tọa độ các điểm cực trị 2) Chứng tỏ có điểm A trên mặt phẳng tọa độ cho nó là điểm cực đại đồ thị cùng với giá trị thích hợp m và là điểm cực tiểu đồ thị với giá trị thích hợp khác Tìm tọa độ A ) GIẢI 1) Tập xác định: D= R\ {m} Trang 16 Lop12.net (17) x − 2mx + m − ( x − m )2 y ' = ⇔ x − 2mx + m − = ( x ≠ m ) Đạo hàm: y ' = ( ) Ta có: Δ ' = m − m − = > 0, ∀m ⎡x = m − ⇒ y = −m + m − Do đó: y ' = ⇔ ⎢ Vậy đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu ⎢x = m + ⇒ y = −m + m + ⎣ Tọa độ các điểm cực trị là: m − 1; −m + m − , m + 1; −m + m + ( )( ) 2) Đặt A ( x ; y ) Giả sử cùng giá trị m = m1 thì A laf điểm cực đại và cùng với giá trị m = m2 thì A là điểm cực tiểu đồ thị hàm số Ta có: ⎧⎪x = m1 − ⎧⎪x = m2 + ; ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩y = −m1 + m1 − ⎪⎩y = −m2 + m2 + Do đó: ⎧⎪m1 − = m2 + ⎧⎪m1 − m2 = ⇔ ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩(m1 − m2 )(m1 + m2 − 1) = −4 ⎪⎩−m1 + m1 − = −m2 + m2 + ⎧m = ⎧ ⎧⎪m1 − m2 = ⎪x = − ⎪ ⇔⎨ ⇒⎨ ⇔⎨ m + m = − ⎪y = − ⎪m2 = − ⎩⎪ ⎩ ⎩ Vậy có điểm A thỏa yêu cầu bài toán là: A ⎛⎜ − ; − ⎞⎟ ⎝ 4⎠ x + mx − VÍ DỤ 28 Cho hàm số y = Xác định m để hàm số có cực trị, đó viết phương x −m trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu đồ thị hàm số ( GIẢI Cách 2m − x −m Tập xác định: D= R\{1} x − 2mx − m + Đạo hàm: y ' = ( x − m )2 • Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = hay g ( x ) = x − 2mx − m + = (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x khác m • Ta có: y = x + 2m + ⎧⎪2m − > ⎧⎪Δ ' > ⇔⎨ ⇔ m < −2 ∨ m > (*) ⇔⎨ ⎪⎩g (m ) ≠ ⎪⎩−2m + ≠ • Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x ; y2 ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số thì x1, x là nghiệm (1) Khi đó: ⎡x = m − 2m − y' = ⇔ ⎢ ⎢x = m + 2m − ⎣⎢ Trang 17 Lop12.net (18) tọa độ điểm A thỏa hệ: ⎧x = m − 2m − ⎪⎪ ⎨ 2m − 2m − = x1 + 2m + = x1 + m + m − 2m − = 2x1 + m ⎪y1 = x1 + 2m + x m − − 2m − ⎩⎪ ⎧⎪x = m − 2m − ⇔⎨ ⎪⎩y1 = 2x1 + m ⎧⎪x = m − 2m − Tương tự ta có tọa độ B: ⎨ ⎪⎩y2 = 2x + m Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là : y = 2x + m Cách • Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu : m < −2 ∨ m > • Tọa độ các điểm cực trị thỏa hệ: ⎧x − 2mx − m + = ⎧x − 2mx − m + = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ x + mx − + x − 2mx − m + x + mx − 2x − mx − m ⎪y = ⎪y = = x −m ⎩ x −m x −m ⎩ 2 ⎧x − 2mx − m + = 2 ⎪⎧x − 2mx − m + = ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ( x − m ) ( 2x + m ) ⎪⎩y = 2x + m ( x ≠ m ) ⎪y = x −m ⎩ ) ( ( ) ⇒ y = 2x + m là phương trịnh đường thẳng qua các điểm cực trị Cách • Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu : m < −2 ∨ m > • Gọi A ( x 1; y1 ) , B ( x ; y2 ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số thì x 1, x là nghiệm (1) đặt u ( x ) = x + mx − 8, v ( x ) = x − m u ( x1 ) u ' ( x ) 2x + m = = ⇒ y1 = 2x1 + m v ( x1 ) v ' ( x1 ) Tương tự ta có : y2 = 2x + m • Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y = 2x + m Ta có: y1 = VÍ DỤ 29 Xác định tham số a để hàm số sau có cực đại : y = −2x + + a x − 4x + GIẢI • Tập xác định : D = R a (x − ) • y ' = −2 + x − 4x + y '' = a (x − 4x + ) ⎧ a (x − ) ⎧ x − 4x + a ⎧⎪y ' ( x ) = =2 ⎪ ⎪ = (1 ) • HS đạt cực đại x = x ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ x − 4x + ⇔⎨ x0 − ⎪a < ⎪⎩y '' ( x ) < ⎪a < ⎩ ⎩ Với a < nên từ (1) suy x < Xét hàm số: f ( x ) = x 02 − 4x + ,với x < x0 − Trang 18 Lop12.net (19) f ' (x ) = −2 (x − ) BBT x0 x 02 − 4x + < 0, ∀x ∈ ( −∞;2 ) -∞ _ f'(x0) -1 f(x0) -∞ a < −1 ⇔ a < −2 A BÀI TẬP TỰ LUYỆN • Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (1) có nghiệm x < ⇔ BÀI xác định tham số m để các hàm số sau đây đạt cực đại và cực tiểu 1) y = x + mx + 3mx + Đáp số: m < ∨ m x + 2mx − m 2) y = x +m Đáp số: −1 < m mx + (m + 1) x + 3) y = mx + Đáp số: m < 2, m BÀI 1) Tìm m để hàm số y = x − (m + ) x + mx + m + đạt cực tiểu x = Đáp số: m 2) cho hàm số y = − m + 5m x + 6mx + 6x − ( ) với giá trị nào m thì hàm số đạt cực đại x = 3) Tìm m để hàm số y = x + ( m − 1) x + đạt cực đại x = x +m −1 > < ≠ = Đáp số: m = Đáp số: m = −2 BÀI 1) Cho hàm số y = x + ax + bx + c Xác định a, b, c để hàm số có giá trị x = và đạt cực đại x = và giá trị cực trị là – đáp số : a = −3, b = 0, c = 2) Cho hàm số y = y = x −1 x + ax + b Tìm a và b để hàm số đạt cực trị tạu x = và có tiệm cận xiên là x −2 Đáp số : a = −3, b = ax + bx + c Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị x = và đường x −2 1−x tiệm cận xiên đồ thị vuông góc với đường thẳng y = Đáp số: a = 2, b = −3, c = BÀI 3) Cho hàm số y = Trang 19 Lop12.net (20) 1) Cho hàm số y = 4x − mx − 3x + m chứng minh với m hàm số luôn luôn có cực đại , cực tiểu đồng thời chứng minh hoành độ cực đại và hoành độ cực tiểu luôn trái dấu Đáp số : xC Ñ xCT = − < 2 2) Cho hàm số y = x + 3mx + m − x + m − 3m chứng minh với m hàm số ( ) luôn có cực đại và cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định Đáp số : y = ±2 3) Cho hàm số y = 2x − ( 2a + 1) x + 6a (a + 1) x + chứng minh với a, hàm số luôn đạt cực trị x1, x với x − x1 không phụ thuộc vào tham số a định a để y CÑ > Đáp số: x − x1 = 1, − < a ≠ BÀI 1) Cho hàm số y = x + (m − 1) x + m − 4m + x − m + Tìm m để hàm số đạt cực ( ) đại và cực tiểu hai điểm x1, x thỏa điều kiện: ( ) 1 + = ( x1 + x ) x1 x 2 Đáp số: m = ∨ m = m 2) Cho hàm số y = x − (m + 1) x + (m − ) x − với giá trị nào m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ x1, x các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện: ⎧⎪x1x + ( x1 + x ) − < ⎨ 2 x + x > 24 ⎪⎩ 1 < m < 3) Cho hàm số y = x − 6x + 3mx + − m Xác định m để đồ thị hàm số cóđiểm cực đại y1 − y2 M ( x1; y1 ) và điểm cực tiểu M ( x ; y2 ) thỏa điều kiện: < (x1 − x )(x1x + ) Đáp số: − Đáp số : −2 < m < BÀI 1) Cho hàm số y = 2x + (m − 1) x + (m − ) x − a) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu x1, x và: x1 + x = Đáp số : m = −1 b) Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng Đáp số : m = ∨ m = 2x − 3x + m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa mãn điều kiện: 2) Cho hàm số y = x −m y CÑ − yCT > Đáp số : m < 1− 1+ ∨m > 2 BÀI x − mx + − m với giá trị nào tham số m thì hàm số có cực đại và cực x −m tiểu đồng thời các giá trị cực trị cùng dấu Đáp số : m < −2 − ∨ −2 + < m < 1) Cho hàm số y = Trang 20 Lop12.net (21)