DE THI HSG TOAN THPT

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.. 2,5 điểm Giải phương trình và hệ phương trình: 4.[r]

§Ò thi häc sinh giái m«n to¸n líp 10 n¨m häc 2012-2013 (Thêi gian lµm bµi 150 phót) Së GD&§T PHÚ YÊN Trêng THPT TRẦN SUYỀN Câu (2 điểm) Cho phương trình: x   2m  1 x  m  0 a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt là độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền Câu (2,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình: a) x  16  x  17 1  x  y 5  2 b)  x  xy  y 7 Câu (1,5 điểm) Cho các tập hợp a) Khi a  A  0;1 , B  a ;  Hãy tìm: C  A  B b) Tìm a cho A  B  Câu (2 điểm) Qua đỉnh A hình vuông vẽ hai tia, góc lập hai tia đó 45 Một tia cắt đường chéo BD và cạnh CD hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC các điểm N và M a) Chứng minh các điểm C, M, N, Q, P nằm trên đường tròn b) Tính chu vi tam giác CMP Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC, với điểm M là trungđiểmAB, N thuộc đường thẳng AC cho    NA  NC 0 , P là điểm thuộc đường thẳng BC cho PB 4 PC Chứng minh M, N, P thẳng hàng a  b   b2  c   c  a  8a 2b c Câu (1 điểm) Cho a, b, c   Chứng minh rằng:  Dấu xảy nào? ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu (2 điểm) Cho phương trình: x   2m  1 x  m  0 a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm là độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền a) Giải phương trình với m  2 Điểm Với m = -2 Phương trình: x  x  0   13  x KL m b) Tìm để phương trình có nghiệm phân biệt là độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền  m     m          S 0 m 2m      1  m      m2    m 1  P 0    m 1 m    x12  x22 2     x1  x2   x1 x2 2   2m  1  m  2  ycbt Vô nghiệm  0,5 0,5 Điểm 0,5 0,5  Câu (2,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình: x  16  x  17 1 a)  x  y 5  2 b)  x  xy  y 7 a) Điểm x  16  x  17 1 +) x 16; x 17 là nghiệm phương trình +) x  17 phương trình vô nghiệm +) x  16 pt vô nghiệm +) 16  x  17 pt vô nghiệm KL (1)  x  y 5  2 b)  x  xy  y 7 (2) +) Từ  1  y 2 x  , thay vào (2) x  x  x  5   x   +) Ta có: +) x 1  y  18 x  y 7 +)  x 1 7    x 18  0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 KL Câu (1,5 điểm) Cho các tập hợp a) Khi A  0;1 , B  a ;  Hãy tìm: C  A  B a  b) Tìm a cho A  B  a  Hãy tìm: C  A  B a) Khi 1  B  ;  A  0;1 4  ; 1  C  A  B  ;1 4  b) Tìm a cho A  B   a 1 A  B   a    a   Điểm 0,25 0,25 Điểm 0,5 0,5 Câu (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a Qua đỉnh A hình vuông vẽ hai tia, góc lập hai tia đó 45 Một tia cắt đường chéo BD và cạnh CD hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC các điểm N và M Điểm a) Chứng minh các điểm C, M, N, Q, P nằm trên đường tròn C P D Q M N A B 0    Ta có QAM QBM 45 , nên tứ giác ABMQ nội tiếp đường tròn, suy AQM 90 , nghĩa là MQ  AP Chứng minh tương tự, ta có tứ giác ADPN nội tiếp Do đó MA  NP Đến đây, dễ thấy các tứ giác QPCM và PCMN nội tiếp đường tròn đường kính PM b) Tính chu vi tam giác CMP 0,5 0,5 Điểm P D C M A B K Vẽ phía ngoài hình vuông tam giác vuông ABK tam giác vuông ADP Suy ra:   AK=AP, BK=DP, MAP KAM 45 PAM KAM  c.g.c  Mặt khác Ta có MP=MK=MB+BK=MB+DP Chu vi tam giác CMP = CP+PM+MC=CP+MB+DP+MC=2a 0,25 0,5 0,25 Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC, với điểm M là trungđiểmAB, N thuộc đường thẳng AC cho    NA  NC 0 , P là điểm thuộc đường thẳng BC cho PB 4 PC Chứng minh M, N, P thẳng hàng Điểm Chứng minh M, N, P thẳng hàng  1 MA  AB +) 0,25  4 AN  AC +)  1 4 0,25 PA  AB  AC 3 +)  1  MN  AB  AC 0,25 +)  1 8 2  1  0,25 PN  AB  AC    AB  AC  15 3  +) +) KL a  b   b2  c   c  a  8a 2b c Câu (1 điểm) Cho a, b, c   Chứng minh rằng:  Dấu xảy nào? a  b b  c c  a 8a 2b 2c   Bất đẳng thức Côsi a  b 2 ab b  c 2 bc c  a 2 ca  Điểm 0,25 0,25 0,25 a     b b  c c  a 8 ab bc ca 8a 2b 2c Dấu xảy và a b c 0,25 Câu (2 điểm) Cho phương trình: x   2m  1 x  m  0 c) Giải phương trình với m  d) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt là độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền Câu (2 điểm) Giải phương trình: x  16  x  17 1 a) b) 15  x   x 6 2 c) x  x  4 x  x  Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình:  x y 13    y x  x  y 6 a)   x  y 5  2 b)  x  xy  y 7 Câu 10 (1 điểm) Trong lớp 10A có 15 học sinh giỏi môn Toán, 14 học sinh giỏi môn Văn và 12 học sinh giỏi môn tiếng Anh, biết có học sinh vừa giỏi Văn và Toán, có học sinh vừa giỏi Văn và tiếng Anh, có học sinh vừa giỏi Toán và tiếng Anh, đó có đúng 11 học sinh giỏi hai môn Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh lớp: e) giỏi môn Văn, Toán và tiếng Anh f) giỏi đúng môn Văn, Toán tiếng Anh A  0;1 , B  a ; 2 Câu 11 (2 điểm) Cho các tập hợp a  C  0;1   a ;  g) Khi Hãy tìm:  a; a  h) Khi a lớn nhất, biểu diễn đoạn  trên trục số  0;1   a ; 2  i) Tìm a cho (2 điểm) Qua đỉnh A hình vuông vẽ hai tia, góc lập hai tia đó 45 Một tia cắt đường chéo BD và cạnh CD hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC các điểm N và M j) Chứng minh các điểm C, M, N, Q, P nằm trên đường tròn k) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác AMP Câu 13 (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD Trên đường thẳng AB lấy điểm M cho  1  3 AM  AB AN  AD , gọi P là giao điểm MN và  , trên  đường thẳng AD lấy điểm N cho AC, đặt PN k PM Tìm k? a  b b  c c  a 8a 2b c Câu 14 (1 điểm) Cho a, b, c   Chứng minh rằng: Dấu xảy nào? Câu 12    