Biết với mọi giá trị nguyên của x thì fx chia hết cho 7... Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và AF cắt nhau tại H.[r]
(1)Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý: a) 16 200 ( ) 1000 () và b) (-32)27 và (-18)39 Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) ||x +3|−8|=20 Bài 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = x y z b) = = và x2 + y2 + z2 = 116 Bài 4: (1,5 điểm): Cho đa thức : A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2) a) Xác định bậc A b) Tính giá trị A 15x - 2y = 1004z x y z t Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M = x+ y + z + x + y +t + y + z+ t + x + z +t phải là số tự nhiên.( x, y, z, t N ❑ ) có giá trị không Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, M là trung điểm BC Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC H và I thứ tự là hình chiếu B và C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi c) Đường thẳng DN vuông góc với AC d) IM là phân giác góc HIC Bài (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và a+ c d) = 2bd Chứng minh ( b+d Bài (2điểm) ) 8= 8 a +c b8 +d a/ Tìm x biết: |3 | − x - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 0,25 + (-0,25)2} b/ Tìm x , y biết: |3+ y| + |2 x+ y| = c( b + (2) Bài (2điểm) a/ Tìm nghiệm đa thức 7x2 - 35x + 42 b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và a Biết với giá trị nguyên x thì f(x) chia hết cho Chứng minh a, b, c chia hết cho Bài (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41 b/ Biết x Bài (2điểm) Q và < x < Chứng minh xn < x với n N, n ❑ Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và AF cắt H Lấy điểm M trên cạnh AB cho AM = AC Gọi N là hình chiếu M trên AC ; K là giao điểm MN và CE a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD x x 03y A x x y ; y là số nguyên âm lớn Bài 1: (1,5 điểm) Cho biết (3) x 11 x x 16 y 25 z 2 16 25 Bài 2: (2 điểm) Cho và Tìm x+y+z Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x, y Z biết 2xy+3x = 16 - 72 + 90 Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= là nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB Tia phân giác góc BAC cắt đường trung trực CE F a/ Chứng minh tam giác BFC b/ Biết góc ACB 300.Chứng minh tam giác BFE Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz Bài 2: (1 điểm) Biết a2 +ab+ và a biết: 2 x y z = = 25 b2 b2 =25 ; c 2+ =9 3 0; c ≠ 0; a ≠ -c Chứng minh rằng: , và x – y + z = ; a2 +ac +c 2=16 c b+c = a a+c Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị m để đa thức sau là đa thức bậc theo biến x: f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + x2 - b/ Tìm giá trị nhỏ đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết số bị chia 112 và thương Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC Các tia phân giác góc A và góc C cắt O Gọi F là hình chiếu O trên BC; H là hình chiếu O trên AC Lấy điểm I trên đoạn FC cho FI = AH Gọi K là giao điểm FH và AI a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI (4) b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng Đáp án Toán Bài 1: (1,5 điểm): (5) a) Cách 1: Cách 2: 16 16 200 ( ) ( ) 200 = > 200 800 1000 () () > () (321 ) = ( 12 ) =( 12 ) = 200 200 1000 (0,75điểm) 27 b) 3227 = ¿¿ = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 ⇒ -3227 > -1839 ⇒ (-32)27 > (-18)39 (0,25điểm) Bài 2: (1,5 điểm): a) (2x-1)4 = 16 Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 c) ||x +3|−8|=20 ⇒ |x +3|−8=20 ; |x +3|−8=−20 ⇒ x = 25; x = - 31 |x +3|−8=20 ⇒ |x +3|=28 (0,25điểm) |x +3|−8=−20 ⇒ |x +3|=−12 : vô nghiệm (0,25điểm) Bài 3: (1,5 điểm): a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = ⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = (0,25điểm) ⇒ (0,5điểm) x 3x - = 0; y2 - = ; x - z = y ⇒ (0, 5điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) x = z = ;y = -1;y = z b) = = và x2 + y2 + z2 = 116 Từ giả thiết ⇒ x y z x 2+ y 2+ z 116 = = = = =4 16 4+ 9+16 29 Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = ); (x = - 4; y = - 6; z = - ) Bài 4: (1,5 điểm): ⇒ A có bậc a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 ⇒ A = 15x - 2y = 1004z b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) (0,725điểm) Bài 5: (1 điểm): x x x Ta có: x + y + z +t < x+ y+ z < x + y y y y < < x + y + z +t x+ y+ t x + y z z z < < x + y + z +t y + z+ t z +t t t t < < x + y + z +t x+ z +t z +t (0,25điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (6) ⇒ x + y + z +t < M <¿ x + y + z +t ( x y z t + )+( + ) x+ y x+ y z +t z +t (0,25điểm) hay: < M < Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên Bài 6: (3 điểm): a AIC = BHA BH = AI b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 c AM, CI là đường cao cắt N N là trực tâm DN AC d BHM = AIM HM = MI và BMH = IMA mà : IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900 HMI vuông cân HIM = 450 mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM là phân giác HIC B H D M I N A C (0,25điểm) (0,5điểm) (0,75điểm) (0,75điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (7) Bài (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và a+ c d) = 2bd Chứng minh ( b+d Bài (2điểm) ) 8= c( b + a +c b8 +d a/ Tìm x biết: |3 | − x - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 0,25 + (-0,25)2} b/ Tìm x , y biết: |3+ y| + |2 x+ y| = Bài (2điểm) a/ Tìm nghiệm đa thức 7x2 - 35x + 42 b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và a Biết với giá trị nguyên x thì f(x) chia hết cho Chứng minh a, b, c chia hết cho Bài (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41 b/ Biết x Bài (2điểm) Q và < x < Chứng minh xn < x với n N, n ❑ Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và AF cắt H Lấy điểm M trên cạnh AB cho AM = AC Gọi N là hình chiếu M trên AC ; K là giao điểm MN và CE a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài (2đ) Từ c( b+d ) = 2bd suy b + d = bd c (0,5đ) (8) a+ c bc c = = b+d bd d a c a+ c Suy = = b d b+d Viết (0,5đ) (0,5đ) Biến đổi để có điều phải chứng minh Bài (2đ) a/ Tính Tìm x = |34 − 23 x| ,x= = (0,5đ) ❑ và |2 x+ y| b/ Nêu |3+ y| ❑ Để có |3+ y| + |2 x+ y| Suy |3+ y| = và |2 x+ y| = Tìm x = (0,5đ) (0,5đ) ❑ và y = -3 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài (2đ) a/ Viết 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2) Tìm x = , x = và trả lời b/ Từ giả thiết suy f(0) = c chia hết cho f(1) và f(-1) chia hết cho , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho Suy 2a + 2c chia hết cho để có a chia hết cho Suy b chia hết cho (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài (2đ) a/ Viết (x+1)2 = 42 + 8y2 Suy (x+1)2 là số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho Nêu 42 + 8y2 không chia hết cho Kết luận: không có số nguyên x, y nào thõa mãn đề bài b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - ) + < x < nên xn-1 < và x > Suy ra: xn - x < + Suy điều phải chứng minh (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài (2đ) MI a/ Nêu AK MC Suy hai góc KAH và MCB b/ Chứng minh CE = MN Viết AB - AC > BD - CE Suy ra: BM > BD – MN BD và chứng minh BM > BI (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Hạ (9) Kết luận AB + CE > AC + BD Sở GD & ĐT Đà Nẵng Trường THCS Nguyễn Khuyến - (0,25đ) KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán Thời gian: 90 phút - (10) x x 03y A x x y ; y là số nguyên âm lớn Bài 1: (1,5 điểm) Cho biết x 11 x x 16 y 25 z 2 16 25 và Bài 2: (2 điểm) Cho Tìm x+y+z Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x, y Z biết 2xy+3x = 16 - 72 + 90 Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= là nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB Tia phân giác góc BAC cắt đường trung trực CE F a/ Chứng minh tam giác BFC b/ Biết góc ACB 300.Chứng minh tam giác BFE GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII ĐÁP ÁN TOÁN Bài1: (1,5 điểm) (11) + Tìm được: x = ; y = -1 (0,5đ) + Với x = - ; y = -1 A = - (0,5đ) + Với x = ; y = -1 A= - (0,5đ) Bài 2: (2 điểm) + Từ + = Û (2 – x)( + ) = Û x = + Thay x = = = = = (0,75đ) = (1đ) + x + y + z = 100 (0,25đ) Bài 3: (2 điểm) + Biến đổi được: x(2y + 3) = (0,5đ) + Chỉ x, y Z x Ư(4) và 2y + lẻ (0,5đ) + Lập bảng (1đ) x -4 -2 -1 2y + -1 -2 -4 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm) a) Chỉ được; a + b + c + d = đpcm (hoặc tính P(1) = đpcm) b) + Rút được: (0,5đ) + x = (1) (0,25đ) + Biến đổi P = (3 = 3x( +3 )+( + x) + ( + x) – 9x + + x) – 9x + (1đ) + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ) (Học sinh có thể giải đúng cách khác cho điểm) Bài 5: (2,5 điểm) + Hình vẽ (phục vụ câu 1): a) Chỉ F là giao điểm trung trực BEC (0,25đ) (0,5đ) F trung trực BC BFC cân (0,5đ) (12) (học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm) K F b) + Tính EBC = 15 + Hạ FK (0,5đ) AB FKB = FHC (ch + cgv) B (0,75đ) BFC vuông cân FBC = 45 + Kết luận BFE (0,25đ) (0,25đ) A Sở GD & ĐT Đà Nẵng Trường THCS Nguyễn Khuyến - F H KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VII Năm học 2006 – 2007 Môn: Toán Thời gian: 90 phút C (13) - Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz Bài 2: (1 điểm) Biết a2 +ab+ và a biết: x2 y z2 = = 25 , và x – y + z = b2 b2 =25 ; c 2+ =9 3 0; c ≠ 0; a ≠ -c Chứng minh rằng: ; a2 +ac +c 2=16 c b+c = a a+c Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị m để đa thức sau là đa thức bậc theo biến x: f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + x2 - b/ Tìm giá trị nhỏ đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết số bị chia 112 và thương Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC Các tia phân giác góc A và góc C cắt O Gọi F là hình chiếu O trên BC; H là hình chiếu O trên AC Lấy điểm I trên đoạn FC cho FI = AH Gọi K là giao điểm FH và AI a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài 1: (1điểm) x2 y2 z2 = = 25 và x, y, z x y z N, x ≠ = = 0,5đ (14) x y z x − y +z 0,25đ 0,25đ = = = −3+5 = =1 x = 2; y = 3; z = Vậy xyz = 235 Bài 2: (1,5 điểm) b Ta có: c 2+ +a 2+ ac+c 2=¿ a2 +ab+ b2 0,5đ 0,25đ 0,25đ (vì + 16 = 25) Suy ra: 2c = a(b – c) c = b −c (vì a ≠ 0; c ≠ 0) a c c b −c c+ b− c b+c = = = (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0) a c a+c a+c 0,5đ Bài 3: (2,5điểm) a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - là đa thức bậc biến x khi: m2 - 25 = và 20 + 4m ≠ m = ± và m ≠ -5 Vậy m = thì f(x) là đa thức bậc biến x 0,5đ 0,25đ 0,25đ b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + g(x) = (4x2 – 9)2 + Với giá trị x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ g(x) = (4x2 – 9)2 + ≥ Giá trị nhỏ g(x) là Khi và (4x2 – 9)2 = 0,25đ 0,25đ 4x2 - = 4x2 = x2 = 0,25đ x = ±2 0,25đ 0,5đ Bài 4: (2 điểm) Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r 0,5đ 5a < 112 a 22 (1) *a > r 5a + r < 5a + a 112 < 6a a > 112 : a ≥ 19 (2) Từ (1) và (2) a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số: 0,5đ a 19 20 21 22 r = 112 – 5a 17 12 (15) 0,5đ Bài 5: (3 điểm) a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra: CH = CF Kết luận FCH cân C -Vẽ IG //AC (G FH) Chứng minh FIG cân I 0,25đ 0,25đ - Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK - Chứng minh AHK = IGK (g-c-g) - Suy AK = KI 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b/ (1,5 điểm) Vẽ OE ^ AB E Tương tự câu a ta có: AEH, BEF thứ tự cân A, B Suy ra: BE = BF và AE = AH BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI Suy ra: ABI cân B Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng 0,5đ 0,5đ A E H K O B G F I C 0,5đ (16)