PHÒNG GIÁO DỤC THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA Bài.. Từ đó suy ra điều phải chứng minh..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA ĐỀ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN – LỚP Năm học 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút Bài 1: ( điểm) x2 y z x2 y z 2 2 2 2 1) Cho a b c a b c x 2015 y 2015 z 2015 x 2015 y 2013 z 2015 2015 2015 2015 2015 2015 2015 a b c Chứng minh a b c 2) Giải các phương trình sau: a) ( 2x + 1)( x +1)2( 2x + 3) = 18 b) x 1 1 x x x 101x 1.5 5.9 9.13 397.401 Bài 2:( điểm) a) Tìm nghiệm nguyên không âm phương trình sau: ( + x2)( + y2) +4xy + 2(x + y)( + xy) = 25 n 3n b) Tìm số tự nhiên n để biểu thức là số nguyên tố Bài 3:( điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 - xy + y2 – x + y b) Cho a, b, c 1 và a + b + c = Tìm giá trị lớn P = a2 + b2 + c2 Bài 4:(6 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo Lấy điểm G thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD cho góc GOH 45 Gọi M là trung điểm AB Chứng minh rằng: a) Tam giác OHD đồng dạng với tam giác OGB b) MG song song với AH Bài 5:(1 điểm) Cho M = 19931997 + 19971993 Chứng minh rằng: M chia hết cho 15 (Cán coi thi không giải thích gì thêm) (2) PHÒNG GIÁO DỤC THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA Bài ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM OLYMPIC MÔN: TOÁN – LỚP Năm học 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút Nội dung Điểm 1) Từ gt => x2 x2 y2 y2 z2 z2 0 2 2 b2 a b2 c c a b c a a b c 1 1 1 2 2 2 2 2 Hay x2 a b c a +y2 a b c b +z2 a b c c = 0,5 đ (*) Suy luận để có 1 1 1 0 0 0 2 2 2 2 a b c a ; a b c b ; a b c c Và x2; y2; z2 (*) nên đẳng thức (*) sảy và x2= y2= z2 =0 hay x = y = z = Từ đó suy điều phải chứng minh 2) Bài ( điểm) a/ ( 2x + 1)( x +1) ( 2x + 3) = 18 ( 2x + 1)( 2x +2)2( 2x + 3) = 72 Đặt 2x + = y, ta có pt: ( y – 1)y2( y + 1) = 72 y4 – y2 – 72 = Giải pt tìm y = y = - => tìm x = 0,5 x = -2,5 và kết luận b/ suy luận để có x 0 => Mỗi biểu thức dấu gttđ luôn dương Ta có pt: 1 1 x x x 101x 1.5 5.9 9.13 397.401 100 101x 101x 401 Thu gọn dược pt: x Kết luận pt vô nghiệm Bài a) ( + x2)( + y2) +4xy + 2(x + y)( + xy) = 25 ( điểm) Biến đổi pt dạng ( x + 1)( y + 1) = Lập luận để tìm ( x;y) = ( 0;4), ( 4;0) A n 3n n( n 3) 4 b) Đặt Suy luận để có n( n + 3) chia hết cho Vì n và n+ không thể cùng chẵn =>n 4 n + 4 0,5 0,5 0,5 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 0,25 đ 1đ 1đ 0,25 đ 0,25 đ (3) 0,5 đ - TH1: n 4 Xét n = 0; n = 4; n = 4k( k N , k ) - TH2: n + 4 Xét n + = 4; n + = 4k( k N , k ) Kết luận : n = thì A là số nguyên tố 0,5 đ 0,5 đ Bài ( điểm) y 1 3 1 x y a) Biến đổi x2 - xy + y2 – x + y + = 2 1đ Suy luận để có GTNN biểu thức là và x = và y= b) Suy luận để có a( a – 1) a2 a tương tự b2 b; c2 c suy a2 + b2 + c2 a + b + c = 0,5 đ Tìm GTLN P và a = b = 1; c = b = c = 1; a = a = c = 1; b = A M 0,5 đ 0,25 đ 0,25đ 0,5 đ B O G Bài ( điểm) D H a) Suy luận để có DOH 135 BOG BGO 1350 BOG Chứng minh DOH BGO 0,5 đ 0,5 đ 1,5 đ Chứng minh HAB BMG => AH//MG 0,25 đ 1đ 1,25 đ 1, đ M (19931997 1) (19971993 1) M 3 0,25 đ b) Đặt BM = a => AB = AD = 2a; OB = OD = a Chứng minh được: HD.BG = AD.BM Chứng minh DAH BGM Bài ( điểm) C 1993.19931996 1997.19971992 1993.(19934 ) 499 1997.(1997 ) 498 5 Kết luận M 15 0,5 đ 0,25 đ (4) DUYỆT CỦA BỘ PHẬN CHUYÊN MÔN Người đề (5)