Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng chỉ tính đến khi nhận được kết quả đúng thì dừng lại: Trang 33/80... Phương pháp trắc nghiệm Nh[r]
(1)CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F là nguyên hàm f trên [a; b] Hiệu số F (b) − F (a ) gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] hàm số f ( x), kí hiệu là b ∫ f ( x)dx a b Ta dùng kí hiệu F (= x) a F (b) − F (a ) để hiệu số F (b) − F (a ) Vậy Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu b ∫ b )dx ∫ f ( x= a b F (= x) a F (b) − F (a ) f ( x)dx hay a b ∫ f (t )dt Tích phân đó a phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân b ∫ f ( x)dx là diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai đường a b thẳng= x a= , x b Vậy S = ∫ f ( x)dx a Tính chất tích phân a ∫ f ( x)dx = a b a ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx a c c b a ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c a b b ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = a b b a a b b b a a ) 4.= ∫ k f ( x)dx k.∫ f ( x)dx (k ∈ ) ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx B KỸ NĂNG CƠ BẢN Một số phương pháp tính tích phân I Dạng 1: Tính tích phân theo công thức Ví dụ 1: Tính các tính phân sau: 1 dx (1 + x ) a) I = ∫ b) I = ∫ dx (1 + x ) 1 d (1 + x) (1 + x ) x dx x +1 2x + dx + x x dx − x c) I = ∫ d) I = ∫ Hướng dẫn giải 2(1 + x) a) I = == − = ∫ ∫ 3 x dx = − ln ( x ln( x + 1) ) 10 = 1 − dx =− ∫ x +1 x + 0 b) I = ∫ 1 2x + dx = + 6ln − 3ln ( x + 3ln( x + 3) ) = 2+ dx = ∫ x+3 x +3 0 c) I = ∫ ( ) 1 x d 4− x d) I = − ∫ = ln | − x | = ln ∫ − x dx = 2 4− x Bài tập áp dụng 1) I = ∫ x ( x − 1) dx 2) = I ∫( ) x + x + dx Trang 1/80 (2) 3) I = 16 dx x+9 − x 4) I = ∫ ∫ x − xdx 0 II Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân b Sử dụng tính chất ∫ [f ( x) + g ( x)]dx = a b ∫ a ∫ | x + 1| dx −2 −1 a Ví dụ 2: Tính tích phân= I x + 1, Nhận xét: x + = − x − 1, b f ( x)dx + ∫ g ( x)dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối −1 ≤ x ≤ − ≤ x < −1 Hướng dẫn giải Do đó −1 −1 2 x2 x2 I =+ | x 1| dx | x 1| dx | x 1| dx x dx x dx x =+ + + = − + + + = − + + ( ) ( ) + x = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −2 −1 −2 −2 −1 −2 −1 Bài tập áp dụng ∫ | x − | dx 1) = I 2) = I −4 ∫| x − x − x + | dx −1 π ∫| 3) = I x − | dx ∫π | sin x | dx 4) I = − π ∫ 5)= I + cos xdx III Dạng 3: Phương pháp đổi biến số 1) Đổi biến số dạng Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u ( x) ≤ β Giả sử có thể = viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x ∈ [a;b], với g liên tục trên đoạn [α ; β ] Khi đó, ta có = I b u (b ) a u (a) f ( x)dx ∫= ∫ g (u )du π Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin x cos xdx Hướng dẫn giải π π Đặt u = sin x Ta có du = cos xdx Đổi cận: x = ⇒ u (0) = 0; x =⇒ u = 2 π Khi = đó I 2 xdx ∫ sin x cos= Bài tập áp dụng 1) I = u du ∫= 2 ∫ x x + 1dx 31 = u 3 2) I = 3) I = ∫ 1 + ln x dx x 4) I = Có f ( x) e2 x + 1dx ∫ 2x e dx + ln x Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Có thể đặt Ví dụ Dấu hiệu ∫x 0 e t= f ( x) I =∫ x3 dx Đặt= t x +1 x +1 Trang 2/80 (3) Có (ax + b) n dx Đặt t= x − e tan x +3 = t tan x + dx Đặt cos x e ln xdx Đặt= I =∫ t ln x + 1 x (ln x + 1) I =∫4 Có a Có Có e x dx t = e x biểu thức = I chứa e x Có sin xdx t = cos x Có cos xdx t = sin xdx Có dx cos x t = tan x Có dx sin x t = cot x t = ln x biểu thức chứa ln x dx và ln x x 2016 π t = f ( x) f ( x) ∫0 x( x + 1) = I = t ax + b ln 2 x ∫0 e 3e x + 1dx Đặt t = 3e x + π I = ∫ sin x cos xdx Đặt t = sin x sin x dx Đặt = t 2cos x + 2cos x + π π 1 (1 + tan x ) = = I ∫4 dx dx ∫ cos x cos x Đặt t = tan x I =∫ π π ecot x = ∫π − cos x dx = I ∫ ecot x dx Đặt t = cot x 2sin x 2) Đổi biến số dạng Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ](*) cho= ϕ (α ) a= ,ϕ ( β ) b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với t ∈ [α ; β ] Khi đó: b ∫ a β f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt α Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng π π a − x := đặt x | a | sin t ; t ∈ − ; 2 |a| π π x − a : đặt = x ; t ∈ − ; \ {0} sin t 2 π π x += a : x | a | tan t ; t ∈ − ; 2 a+x a−x : đặt x = a.cos 2t a−x a+x Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này các dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích phân I = biến dạng ∫ x dx x2 + thì phải đổi biến dạng còn với tích phân I = ∫ Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: a)= I ∫ x3 dx x2 + thì nên đổi dx 1+ x b) I = ∫ − x dx Hướng dẫn giải a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π π 2 0 π π Vậy I =∫ − x dx =∫ | cos t |dt =∫ cos tdt =sin t |02 =1 x = → t = π x = → t = b) Đặt x = tan t , ta có dx= (1 + tan t ) dt Đổi cận: Trang 3/80 (4) π dx Vậy = = I ∫ 1+ x ∫ dt= π π t= |04 IV Dạng 4: Phương pháp tính tích phân phần Định lí : Nếu u = u ( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì b ( x)v '( x)dx ∫ u= a b b ( u ( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx , a b b b a a a hay viết gọn là ∫ udv = uv |ba − ∫ vdu Các dạng bản: Giả sử cần tính I = ∫ P ( x).Q( x)dx Dạng hàm P(x): Đa thức Q(x): sin ( kx ) hay Cách đặt * u = P( x) * dv là Phần còn lại biểu thức dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x): ln ( ax + b ) P(x): Đa thức Q(x): e kx cos ( kx ) * u = P( x) * u ln ( ax + b ) * dv là Phần còn = lại biểu thức * dv = P ( x ) dx dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x): 1 hay sin x cos x * u = P( x) * dv là Phần còn lại biểu thức dấu tích phân Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” π Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : a) I = ∫ x sin xdx b) I = u = x ta có dv = sin xdx ∫ x ln( x + 1)dx 0 a) Đặt e −1 Hướng dẫn giải du = dx v = − cos x π π π π Do đó I = + sin x |02 = ( − x cos x ) |02 + ∫ cos xdx = ∫ x sin xdx = 0 = u ln( x + 1) b) Đặt ta có dv = xdx I= e −1 ∫ du = x + dx v = x − e −1 e −1 x2 − 1 e − 2e + x − − = − − x x ln( x + 1)dx = ln( x + 1) x dx ( 1) ∫ 0 2 2 e −1 e − 2e + e − 4e + e + = − = 2 Bài tập áp dụng 1) = I x ∫ (2 x + 2)e dx π 2) I = ∫ x.cos xdx 3) I = 2π ∫ x x sin dx 4)= I ∫ ( x + 1) 2x e dx Trang 4/80 (5) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b b a a C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx Câu b ∫ B a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx D Cho hàm số f liên tục trên và số thực dương a Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng? A a ∫ B f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = a ∫ C a a Câu a f ( x)dx = −1 D a ∫ f ( x)dx = f (a) a a Tích phân ∫ dx có giá trị A −1 Câu B Cho số thực a thỏa mãn a ∫e x +1 C D dx= e − , đó a có giá trị −1 Câu B −1 C D A Trong các hàm số đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị ? A f ( x) = cos x Câu x π x π C = D = f ( x) cos + f ( x) sin + 4 2 4 2 Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác ? A e2 ∫ ln xdx B ∫ 2dx Câu π C ∫ sin xdx A f ( x) = e B f ( x) = cos x D Trong các hàm số đây, hàm số nào thỏa mãn x Câu B f ( x) = sin x ∫ xdx −1 −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ? C f ( x) = sin x D f ( x)= x + dx có giá trị x Tích phân I = ∫ A 3ln B ln C ln D ln π Câu Tích phân I = ∫ π dx có giá trị sin x A 1 ln Câu 10 Nếu ∫ (4 − e B ln − x /2 C ln D ln ) dx = K − 2e thì giá trị K là −2 A 12,5 B Câu 11 Tích phân I = ∫ C 11 D 10 dx có giá trị x −x−2 Trang 5/80 (6) ln A B − ln C −2 ln Câu 12 Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] cho D ln ∫ f ( x)dx = và ∫ g ( x)dx = −4 Giá trị ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là A −6 B Câu 13 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] Nếu C D −2 ∫ f ( x)dx = thì tích phân ∫ [ x − f ( x)] dx có giá 0 trị A B Câu 14 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] Nếu C D 1 ∫ f ( x)dx = và ∫ f ( x)dx = trị B −5 C A Câu 15 Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 3 A ∫ e x dx = ( e x ) B C 2π −2 thì ∫ f ( x)dx có giá D −9 ∫ x dx = ( ln x ) −2 −3 −3 2π ∫ cos xdx = ( sin x ) π 2 x2 D ∫ ( x + 1) dx = + x 1 π Câu 16 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? A b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a B F '( x) = f ( x) với x ∈ (a; b) C b ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) a D Hàm số G cho G= ( x) F ( x) + thỏa mãn b ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) a Câu 17 Xét hàm số f liên tục trên và các số thực a , b , c tùy ý Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A C b b a a c c b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx B D b c b a a c b c c a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx Câu 18 Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? b A Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) a Trang 6/80 (7) b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) B Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì a C Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a D Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) a Câu 19 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] cho g ( x) ≠ với x ∈ [a; b] Xét các khẳng định sau: I b b b ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a II a b b ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx a III a b a b a b b a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx a b IV b ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b ∫ g ( x)dx a Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai? B C A Câu 20 Tích phân ∫ x( x − 1)dx D có giá trị với giá trị tích phân nào các tích phân đây? 3π A ∫ ( x + x − 3) dx B ∫ sin xdx C ln 10 ∫ 0 π D ∫ cos(3 x + π )dx e x dx 0 Câu 21 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , cho b ∫ f ( x)dx ≥ thì f ( x) ≥ ∀x ∈ [a; b] a ∫ f ( x)dx = B Với hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có −3 C Với hàm số f liên tục trên , ta có b ∫ a a f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) b D Với hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì ∫ [ f ( x)] [ f ( x)] dx = Câu 22 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu f là hàm số chẵn trên thì ∫ f ( x)dx = B Nếu −1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì ∫ f ( x)dx −1 f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] Trang 7/80 (8) ∫ f ( x)dx = thì C Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] −1 ∫ f ( x)dx = thì D Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] −1 Câu 23 Giả sử F là nguyên hàm hàm số y = x sin x trên khoảng (0; +∞) Khi đó ∫x sin xdx có giá trị A F (2) − F (1) B − F (1) C F (2) D F (1) − F (2) Câu 24 Cho hàm số f liên tục trên và hai số thực a < b Nếu b ∫ f ( x)dx = α thì tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị a α B 2α C α D 4α Câu 25 Giả sử F là nguyên hàm hàm số y = x sin x trên khoảng (0; +∞) Khi đó tích phân A ∫ 81x sin xdx có giá trị A [ F (6) − F (3) ] B F (6) − F (3) C [ F (2) − F (1) ] ∫ f ( x)dx = Câu 26 Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn D F (2) − F (1) Giá trị tích phân π ∫ f (2sin x) cos xdx là B A −6 e Câu 27 Bài toán tính tích phân I = ∫ C −3 ln x + ln x dx học sinh giải theo ba bước sau: x I Đặt ẩn phụ= t ln x + , suy dt = x t II I = e ln x + ln x = dx x ∫ ∫ D dx và x 1 e t ( t − 1) dt 2 III I = 1+ t − = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1 Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I Câu 28 Xét tích phân I = π sin x ∫ + cos x dx Thực phép đổi biến D Sai Bước III t = cos x , ta có thể đưa I dạng nào sau đây π A I = − ∫ 2t dt 1+ t B I = π ∫ 2t dt 1+ t 2t C I = − ∫ dt 1+ t 2t dt 1+ t D I = ∫ Trang 8/80 (9) Câu 29 Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A b ∫ f ( x) dx > a C b ∫ b ∫ B f ( x)dx a ∫ a a f ( x) dx ≥ b b ∫ D f ( x)dx b ∫ a a b f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x) dx a b f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx a Câu 30 Trong các khẳng định đây, khẳng định nào sai? 1 A ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx B ∫ (1 + x) x dx = 0 π π x C ∫ sin dx = ∫ sin xdx 0 D ∫x 2017 −1 (1 + x)dx = 2019 Câu 31 Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A ∫ B ∫ f ( x)dx = 0 −2 2 −2 −2 −2 C f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx D ∫ f ( x)dx = −2 ∫ ( x + 1) Câu 32 Bài toán tính tích phân= I 2 −2 ∫ f ( x)dx dx học sinh giải theo ba bước sau: −2 t ( x + 1) , suy = dt 2( x + 1)dx , I Đặt ẩn phụ = II Từ đây suy dt dt = dx ⇒ = dx Đổi cận 2( x + 1) t x −2 t 4 t III Vậy I =∫ ( x + 1) dx =∫ dt = t = 3 −2 t Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A Sai từ Bước I B Sai Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải đúng Câu 33 Một học sinh định lên bảng làm bài toán tích phân Mỗi bài giải đúng 2,5 điểm, bài giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh đã giải bài toán đó sau: Bài Đề bài Bài giải học sinh ∫e x2 xdx ∫0 x − x − dx π ∫ sin x cos xdx 1 x2 ( ) e x e −1 e = xdx e d= x = ∫0 ∫ 20 2 x2 ∫x dx= −x−2 [ln x − x − ] 0= ln − ln 2= Đặt t = cos x , suy dt = − sin xdx Khi x = thì t = ; x = π thì t = −1 Vậy π π −1 2t sin x cos xdx = sin x cos xdx = − t dt == ∫0 ∫0 ∫1 −1 2 Trang 9/80 (10) e + (4 − 2e) ln x dx = ∫1 x e + (4 − 2e) ln x dx ∫1 x e ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) e = x + (4 − 2e) ln x =3 − e Số điểm mà học sinh này đạt là bao nhiêu? A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm D 10,0 điểm Câu 34 Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a; b] Gọi F và G là nguyên hàm f và g trên đoạn [a; b] Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A b f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx ∫= a a B b f ( x)G ( x)dx ∫= a C a b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx b a b b ( x)G ( x)dx [ f ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx ∫ f= b a a D b b b a b f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx ∫= b a a Câu 35 Tích phân I = ∫ xe −x a dx có giá trị −2 B 3e − C −e − D −2e + A −e + Câu 36 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? A b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b b a a C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx B b ∫ a D a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx Câu 37 Cho hàm số f liên tục trên và số thực dương a Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A a ∫ f ( x)dx = B a a ∫ f ( x)dx = C a ∫ f ( x)dx = −1 D ∫ f ( x)dx = f (a) a a a a Câu 38 Tích phân ∫ dx có giá trị A Câu 39 Cho số thực a thỏa mãn B −1 a ∫e x +1 C D dx= e − , đó a có giá trị −1 A B −1 D D Câu 40 Trong các hàm số đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị ? A f ( x) = cos x B f ( x) = sin x x π x π C = D = f ( x) cos + f ( x) sin + 4 2 4 2 Câu 41 Tích phân nào các tích phân sau có giá trị khác ? π A ∫ sin xdx B ∫ 2dx B e2 ∫ ln xdx D ∫ xdx Trang 10/80 (11) Câu 42 Trong các hàm số đây, hàm số nào thỏa mãn ∫ −1 ∫ f ( x)dx ? −2 x B f ( x) = sin x A f ( x) = cos x f ( x)dx = C f ( x) = e D f ( x)= x + C 3ln D ln dx có giá trị x Câu 43 Tích phân I = ∫ ln A B ln 2 π Câu 44 Tích phân I = ∫ π dx có giá trị sin x A ln ∫ (4 − e Câu 45 Nếu B ln − x /2 C ln D 1 ln ) dx = K − 2e thì giá trị K là −2 B 10 A Câu 46 Tích phân I = ∫ C 11 D 12,5 dx có giá trị x −x−2 A −2 ln B ln C − ln Câu 47 Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] cho ∫ D Không xác định f ( x)dx = và ∫ g ( x)dx = −4 Giá trị 1 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là A −2 B Câu 48 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] Nếu C ∫ D −6 f ( x)dx = thì tích phân ∫ [ x − f ( x)] dx có giá trị A B Câu 49 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] Nếu C ∫ f ( x)dx = và D ∫ f ( x)dx = thì x2 A ∫ ( x + 1) dx = + x 1 C 2π 2π ∫π cos xdx = ( sin x ) π ∫ f ( x)dx có giá trị A −9 B C Câu 50 Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? D −5 B ∫ e x dx = ( e x ) D −2 ∫ x dx = ( ln x ) −2 −3 −3 Câu 51 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? A F '( x) = f ( x) với x ∈ (a; b) Trang 11/80 (12) b ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) B a b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) C a b ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) D Hàm số G cho G= ( x) F ( x) + thỏa mãn a Câu 52 Xét hàm số f liên tục trên và các số thực a , b , c tùy ý Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? b c b a c b b a a c c ∫ A a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx B ∫ D c b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx C b a c b c c a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx Câu 53 Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) a b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) B Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì a C Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a b D Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) a Câu 54 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] cho g ( x) ≠ với x ∈ [a; b] Một học sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau: I b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx II b b b a a ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx a b III b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx IV b ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b ∫ g ( x)dx a Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai? A B C Câu 55 Tích phân ∫ x( x − 1)dx D có giá trị với tích phân nào các tích phân đây ? π A ∫ cos(3 x + π )dx 3π C ∫ ( x + x − 3) dx B ∫ sin xdx 0 D ln 10 ∫ e x dx Câu 56 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Với hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có ∫ f ( x)dx = −3 b a a b B Với hàm số f liên tục trên , ta có ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) Trang 12/80 (13) C Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , cho b ∫ f ( x)dx ≥ thì f ( x) ≥ ∀x ∈ [a; b] a D Với hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì ∫ [ f ( x)] [ f ( x)] dx = Câu 57 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu f là hàm số chẵn trên thì ∫ f ( x)dx = 0 −1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì B Nếu ∫ f ( x)dx = thì C Nếu ∫ f ( x)dx −1 f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] −1 ∫ f ( x)dx = thì D Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] −1 Câu 58 Giả sử F là nguyên hàm hàm số y = giá trị A F (2) − F (1) sin x trên khoảng (0; +∞) Khi đó x B − F (1) C F (2) sin x dx có x ∫ D F (2) + F (1) Câu 59 Cho hàm số f liên tục trên và hai số thực a < b Nếu b ∫ f ( x)dx = α thì tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị a A α B 2α C α D 4α sin x trên khoảng (0; +∞) Khi đó Câu 60 Giả sử F là nguyên hàm hàm số y = x giá trị A F (6) − F (3) Câu 61 Giả sử hàm số B [ F (6) − F (3) ] f C [ F (2) − F (1) ] liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn sin 3x dx có x ∫ D F (2) − F (1) ∫ f ( x)dx = Giá trị π ∫ f (2sin x) cos xdx là A B e Câu 62 Bài toán tính tích phân I = ∫ C −3 ln x + ln x dx học sinh giải theo ba bước sau: x I Đặt ẩn phụ= t ln x + , suy dt = x t II I = e ∫ ln x + ln x = dx x ∫ D −6 dx và x 1 e t ( t − 1) dt Trang 13/80 (14) 2 III I = 1+ t − = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1 Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A Bài giải đúng B Sai từ Bước II Câu 63 Xét tích phân I = π C Sai từ Bước I sin x ∫ + cos x dx Thực phép đổi biến D Sai Bước III t = cos x , ta có thể đưa I dạng nào sau đây 2t A I = ∫ dt 1+ t B I = π ∫ π 2t C I = − ∫ dt 1+ t 2t dt 1+ t D I = − ∫ 2t dt 1+ t Câu 64 Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A b ∫ a C b ∫ b f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x) dx B a f ( x) dx > a b ∫ b ∫ b ∫ f ( x)dx f ( x) dx ≥ a D f ( x)dx b ∫ a a a b f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx a Câu 65 Trong các khẳng định đây, khẳng định nào sai? A ∫ (1 + x) x dx = 0 π π 1 0 B ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx x C ∫ sin dx = ∫ sin xdx 0 D ∫x 2017 −1 (1 + x)dx = 2019 Câu 66 Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A ∫ −2 C f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx B −2 −2 ∫ −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx D f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = −2 ∫ ( x + 1) Câu 67 Bài toán tính tích phân= I dx học sinh giải theo ba bước sau: −2 t ( x + 1) , suy = dt 2( x + 1)dx , I Đặt ẩn phụ = II Từ đây suy dt dt = dx ⇒ = dx Bảng giá trị 2( x + 1) t x −2 t 4 t dt = t = 3 −2 t Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? III Vậy I =∫ ( x + 1) dx =∫ A Sai Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải đúng Trang 14/80 (15) Câu 68 Một học sinh định lên bảng làm bài toán tích phân Mỗi bài giải đúng 2,5 điểm, bài giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh đã giải bài toán đó sau: Bài Đề bài Bài giải học sinh ∫e x2 xdx 1 ∫0 x − x − dx= ∫0 x − x − dx ∫ sin x cos xdx [ln x − x − ] 0= π ln − ln 2= π −1 2t sin cos sin cos x xdx x xdx t dt = = − == ∫0 ∫0 ∫1 −1 e + (4 − 2e) ln x dx = ∫1 x e Đặt t = cos x , suy dt = − sin xdx Khi x = thì t = ; x = π thì t = −1 Vậy π e −1 x2 ( ) e x = xdx e d= x ∫0 e = ∫ 20 2 x2 + (4 − 2e) ln x dx ∫1 x 2 e ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) e = x + (4 − 2e) ln x =3 − e Số điểm mà học sinh này đạt là bao nhiêu? A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm D 10,0 điểm Câu 69 Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm là F và G trên đoạn [a; b] Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A b a a B b a b b a b ( x)G ( x)dx [ f ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx ∫ f= b a a D a f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx ∫= b a C b f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx ∫= b b b a Câu 70 Tích phân I = b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ f ( x) g ( x)dx f ( x)G ( x)dx ∫= a a ∫ xe −x dx có giá trị −2 A −2e + C −e + B 3e − Câu 71 Ta đã biết công thức tích phân phần b D −e − b F ( x) g ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x)G ( x)dx , ∫= a b a a đó F và G là các nguyên hàm f và g Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân phần trên, biến đổi nào là sai? e e e ( ln x ) xdx x ln x − ∫ xdx , đó F ( x) = ln x , g ( x) = x A ∫ = 1 1 1 B ∫ = xe dx ( xe x ) − ∫ e x dx , đó F ( x) = x , g ( x) = e x π x π π C ∫= x sin xdx ( x cos x ) − ∫ cos xdx , đó F ( x) = x , g ( x) = sin x 0 Trang 15/80 (16) 1 x +1 x +1 D ∫= x dx x dx , đó F ( x) = x , g ( x) = x +1 − ∫ ln 0 ln x +1 Câu 72 Tích phân π π ∫ x cos x + dx có giá trị (π − ) (π − ) (π + ) (π + ) B − C D − 2 2 Câu 73 Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm là F và G trên đoạn [0; 2] Biết A ∫ F ( x) g ( x)dx = Tích phân F (0) = , F (2) = , G (0) = −2 , G (2) = và ∫ f ( x)G( x)dx có giá trị A B C −2 D −4 Câu 74 Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm là F và G trên đoạn [1; 2] Biết F (1) = , F (2) = , G (1) = , G (2) = và giá trị 11 A 12 B − ∫ 145 12 67 Tích phân f ( x)G ( x)dx = 12 C − Câu 75 Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và 11 12 b ∫ x sin xdx = π , D ∫ F ( x) g ( x)dx có 145 12 đồng thời a cos a = và a b b cos b = −π Tích phân ∫ cos xdx có giá trị a A 145 12 B π e Câu 76 Cho tích phân: I = ∫ C −π − ln x dx Đặt = u 2x − ln x Khi đó I A I = ∫ u du B I = − ∫ u du 1 Câu 77 Tích phân I = ∫ D 0 u2 du D I = − ∫ u du C I = ∫ x2 dx có giá trị x − 7x + 12 A 5ln − ln B + ln − ln C + 5ln − ln D + 25ln − 16 ln Câu 78 Tích phân I = ∫ x dx có giá trị là: A 19 B 32 C 16 D C D 12 21 xdx ( x + 1)3 Câu 79 Tích phân I = ∫ A − B Trang 16/80 (17) π 2 − x, dv = sin xdx thì I ∫ (2 − x) sin xdx Đặt u = Câu 80 Cho tích phân= I π π π A −(2 − x) cos x − ∫ cos xdx B −(2 − x) cos x + ∫ cos xdx 0 Câu 81 Tích phân D (2 − x) + ∫ cos xdx x ∫ (1 + x ) A (t − 1)3 dt ∫1 t Câu 82 Tích phân I = ∫ x( x A ln dx 0 π C (2 − x) cos x + ∫ cos xdx 0 π π π π B + 1) (t − 1)3 ∫1 t dt C (t − 1)3 dt ∫1 t D (t − 1)3 dt ∫1 t C ln D ln dx B 3 ln 2 Câu 83 Cho hai tích phân I = ∫ x dx , J = ∫ xdx Tìm mối quan hệ I và J A I J = B I J = 128 C I − J = 32 64 D I + J = a Câu 84 Cho số thực a thỏa mãn ∫ e x +1dx= e − e , đó a có giá trị A −1 B C D 2 Câu 85 Tích phân ∫ ke x dx (với k là số )có giá trị A k (e − 1) Câu 86 B e − C k (e − e) D e − e Với số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ? A ∫ k (e − 1)dx B ∫ ke x dx C ∫ 3ke3 x dx D ∫ ke x dx 0 Câu 87 Với số thực k , xét các phát biểu sau: (I) ∫ dx = ; −1 Số phát biểu đúng là A (II) ∫ kdx = 2k ; −1 B (III) ∫ xdx = x ; −1 C Câu 88 Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] cho (IV) ∫ 3kx dx = 2k D ∫ f ( x)dx = −7 và 19 Giá trị k ∫ [ g ( x) − kf ( x)] dx = ∫ g ( x)dx = và là: A B C D −2 Trang 17/80 (18) Câu 89 Cho hàm số f liên tục trên Nếu ∫ f ( x)dx = và bằng: A B −6 Câu 90 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] Nếu ∫ ∫ ∫ f ( x)dx có giá trị C f ( x)dx = thì D −9 f ( x)dx = và tích phân −1 ∫ [ kx − f ( x)] dx = giá trị k A B C D e Câu 91 Tích phân ∫ (2 x − 5) ln xdx e e A − ( x − x) ln x − ∫ ( x − 5)dx 1 e e C ( x − x) ln x − ∫ ( x − 5)dx 1 e e B ( x − x) ln x + ∫ ( x − 5)dx e e D ( x − 5) ln x − ∫ ( x − x)dx π Câu 92 Tích phân I = ∫ cos x cos xdx có giá trị A −5π B π Câu 93 Tích phân I = ∫ A Câu 94 Tích phân = I 2π ∫ π 4sin x dx có giá trị + cos x B C 3π C D π D 1 + sin xdx có giá trị A B C D − π Câu 95 Tích phân I = ∫ sin x tan xdx có giá trị 3 A ln − B ln − C ln − D ln − cos x với x ∈ Giá trị tích phân Câu 96 Cho hàm số f(x) liên tục trên và f ( x) + f (− x) = π I= ∫ f ( x)dx là −π A −2 Câu 97 Nếu ∫ (5 − e B −x 3π 16 C ln − D ln − C D 12,5 ) dx = K − e thì giá trị K là: −2 A 11 B π Câu 98 Cho tích phân= I ∫ .Đặt u + 3cos x sin xdx = 3cos x + Khi đó I Trang 18/80 (19) 2 A ∫ u du 31 B ∫ u du 30 e Câu 99 Tích phân I = ∫ B Câu 100 Tích phân ∫x D ∫ u du C ln − D ln − C D 12,5 C D C −2 D 8ln x + dx x A −2 2 C u 13 − x − dx có giá trị −1 A 64 B Câu 101 Tìm a để ∫ (3 − ax)dx = −3 ? A B Câu 102 Nếu ∫ k ( − x3 ) dx = −549 thì giá trị k là: A ±2 B Câu 103 Tích phân ∫ A x −x+4 dx x +1 + ln 3 + ln B C − ln Câu 104 Cho hàm số f liên tục trên thỏa f ( x) + f (− x) = D + ln + cos x , với x ∈ Giá trị π tích phân I = ∫ f ( x)dx là −π A B −7 C D −2 122 Câu 105 Tìm m để ∫ (3 − x) dx = ? m A B C 4.2 TÍCH PHÂN I VẬN DỤNG THẤP Câu 106 Giá trị tích phân I = ∫ A π B dx là − x2 π D.2 C π D π dx là + x2 Câu 107 Giá trị tích phân I = ∫ AI = π Câu 108 Giá trị tích phân I = B I = −1 ∫ A I = 5π 12 3π C I = π D I = 3π 12 D I = 5π dx là x + 2x + 2 B I = π C I = π 12 Trang 19/80 (20) ∫x Câu 109 Tích phân I = x + 5dx có giá trị là A 10 6− 3 Câu 110 Tích phân ∫ 10 7− B C 10 6− D 10 6− − x dx có giá trị là A π Câu 111 Tích phân = I π B ∫x C π D π x + 1dx có giá trị là A −1 Câu 112 Tích phân = I 2 −1 B ∫x C 2 −1 D −1 C 28 D 28 C 16 − 10 D 16 − 11 C 166 D 165 C 52 D 51 x + 1dx có giá trị là −1 A − 28 B − 28 x dx là ( x + 1) x + Câu 113 Giá trị tích phân I = ∫ A 16 − 10 B 16 − 11 ∫ x (1 − x ) dx là Câu 114 Giá trị tích phân = I A 167 B 168 2x2 + x −1 dx là x +1 Câu 115 Giá trị tích phân I = ∫ A 53 Câu 116 Giá trị tích phân I = ∫ A π 3− x dx là 1+ x B − 2+2 Câu 117 Giá trị tích phân 54 B π ∫ ( x + 1) − 2+2 C π − 3+2 D π − 3+2 dx là A 30 Câu 118 Giá trị tích phân B 60 ∫x A ln Câu 119 Giá trị tích phân C ln D ln 4x + dx là + x +1 dx ∫ (2 x − 1) D 30 B ln 2 C 60 là Trang 20/80 (21) A B 3 A + 3ln B + ln Câu 121 Giá trị tích phân: I = ∫ x +1 ( 1+ 1+ 2x A ln − C D x −3 dx là x +1 + x + ∫ Câu 120 Giá trị tích phân ) B −3 + ln 2 D −3 + 3ln dx là B ln − C ln − D ln − ( x − 1)99 Câu 122 Giá trị tích phân: I = ∫ dx là 101 ( x + 1) A 2100 − 1 900 B 2101 − 1 900 C 299 − 1 900 D 298 − 1 900 C 2001.21002 D 2002.21002 x 2001 dx có giá trị là (1 + x )1002 Câu 123 Tích phân I = ∫ A 2002.21001 Câu 124 Giá trị tích phân B 2001.21001 2π ∫ cos(3x − π 2π )dx là 3 A − B − C − D − D 2 π Câu 125 Giá trị tích phân I = ∫ cos x cos xdx là A π B π C π π π x sin x dx là cos + x Câu 126 Giá trị tích phân: I = ∫ A π2 B π2 C π2 D π2 π Câu 127 Giá trị tích phân = J ∫ ( sin x + 1) cos xdx là A B D C ln D ln C π Câu 128 Giá trị tích phân I = ∫ π sin x − cos x dx là + sin x A ln B ln Trang 21/80 (22) π sin x dx là + 3cos x Câu 129 Giá trị tích phân I = ∫ A ln B ln C ln D ln Câu 130 Giá trị tích phân = I ∫ − cos3 x sin x.cos5 xdx là A 21 91 B 12 91 C 21 19 D 12 19 C D C D π cos x dx là (sin x + cos x)3 Câu 131 Giá trị tích phân I = ∫ A B π Câu 132 Giá trị tích phân I = sin xdx ∫ ( sin x + cos x) A B là π Câu 133 Giá trị tích phân I = ∫ cos x sin xdx là A I = π 32 B I = π C I = 16 π D I = π π 4 6 Câu 134 Giá trị tích phân I = ∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x)dx là A I = 32 π 128 B I = 33 π 128 C I = 31 π 128 D I = 30 π 128 π sin x Câu 135 Giá trị tích phân I = ∫ sin x + cos x B A dx là C D π xdx là sin x + Câu 136 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π B I = π C I = π D I = π π sin 2007 x dx là sin 2007 x + cos 2007 x Câu 137 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π B I = π C I = 3π D I = 5π π Câu 138 Giá trị tích phân ∫ cos11 xdx là Trang 22/80 (23) A 250 693 254 693 B C 252 693 D 256 693 C 63π 512 D 65π 512 π Câu 139 Giá trị tích phân ∫ sin10 xdx là A 67π 512 61π 512 B dx là + ex Câu 140 Giá trị tích phân I = ∫ 2e A ln e +1 e B ln e +1 Câu 141 Giá trị tích phân I = ln e x dx ∫ ex −1 10 B e C ln e +1 2e D ln e +1 là ln A Câu 142 Giá trị tích phân = I ln ∫ e x − 1dx là B −π C 20 D C −π D −π A −π Câu 143 Giá trị tích phân I = ln ∫ A 2 − (e B Câu 144 Giá trị tích phân I = e2 ex x + 1) dx là C −1 dx ∫ x ln x −2 D 2 − là e A ln B ln Câu 145 Giá trị tích phân: I = ln ∫e A ln − Câu 146 Cho M = ∫e A e dx −1 + ex − B 2ln3 – ln ln 2x 3x x C ln D ln C ln − D ln − là 2x 2e + e − dx Giá trị e M là + e2 x − e x + 3x B C 11 D B 3 − 8 C 3 − 8 D 3 4 − 8 e ln x + ln x Câu 147 I = ∫ dx x A 3 5 − 8 ln(1 + x) dx là + x Câu 148 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π ln B I = π ln C I = π ln D I = π ln Trang 23/80 (24) Câu 149 Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f (− x) + f ( x) = cos x Giá trị tích phân π I= ∫π − f ( x)dx là II VẬN DỤNG CAO A I = B I = C I = D I = Câu 150 Tìm hai số thực A, B cho = f ( x) A sin π x + B , biết f '(1) = và ∫ f ( x)dx = A = −2 A B = − π A = B B = − π Câu 151 Giá trị a để đẳng thức A = −2 C B = π ∫ a + (4 − 4a) x + x dx = ∫ xdx là đẳng thức đúng A a ∫x A π 4a B Câu 152 Giá trị = tích phân I B A = − D π B = 2 C D dx ( a > 0) là + a2 π2 4a C − π2 4a D − π 4a π cos x dx là + cos x Câu 153 Giá trị tích phân I = ∫ A π B π 2 C 4π D −π dt Tích phân nào sau đây có giá trị với giá trị tích phân đã cho + t x Câu 154 Cho I = ∫ x x dt 1+ t dt 1+ t2 A − ∫ B ∫ x x dt 1+ t dt 1+ t D − ∫ C ∫ π Câu 155 Giá trị tích phân I = ∫ π ln(sin x)dx là sin x A − ln + + π C − ln − − π π B ln + − D − ln + − π Câu 156 Giá trị tích phân I = ∫ {1, x } dx là −3 dx Câu 157 Giá trị tích phân I = ∫ dx là −8 x − x A B C 3 D − Trang 24/80 (25) A ln B C − ln D ln a x3 − ln x Câu 158 Biết I= ∫ + ln Giá trị của a là dx= x A C π B ln Câu= 159 Cho I1 π sin x dx Khẳng định nào sau đây là sai ? + x (sin 2) ∫ cos x 3sin x + 1dx , I = ∫ A I1 = D π 14 3 B = I 2 ln + 2 B I1 > I D I 2 ln − = m là ∫ ( x + 5) dx = Câu 160 Tất các giá trị tham số m thỏa mãn A m = 1, m = −6 B m = −1, m = −6 C m = −1, m = D = m 1,= m π Câu 161 Cho hàm số h( x) = sin x a cos x b cos x Tìm để và tính = + h x ( ) I = ∫0 h( x)dx (2 + sin x) (2 + sin x) 2 + sin x 3 A a = B a =4, b =−2; I =− − ln −4, b = 2; I = + ln 3 3 D a = C a= 2, b= 4; = I − + ln −2, b = 4; I = + ln 3 Câu 162 Giá trị trung bình hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ] , kí hiệu là m ( f ) tính theo công b thức m ( f ) = f ( x ) dx Giá trị trung bình hàm số f ( x ) = sin x trên [ 0; π ] là b − a ∫a A π B π C π D π π dx , J = 3x + Câu 163 Cho ba tích phân I = ∫ nào có giá trị A K 21 ? ∫ ( sin B I B ln ∫ (x ∫x a−2 a −1 2 + x + 1) dx Tích phân −1 C J a a−2 2a − x − cos x ) dx và K= Câu 164 Với < a < , giá trị tích phân sau A ln D J và K dx dx là: − 3x + C ln a−2 ( a − 1) D ln a−2 2a + 1 x3 dx = Khi đó giá trị 144m − bằng ( x + 2) Câu 165 Cho 3m − ∫ −2 3 B − C D − 3 Câu 166 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm liên tục trên ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn A f (a ) = f (b) Lựa chọn khẳng định đúng các khẳng định sau A b ∫ f '( x).e a f ( x) dx = B b ∫ f '( x).e f ( x) dx = a Trang 25/80 (26) C b ∫ f '( x).e f ( x ) dx = −1 D a b ∫ f '( x).e f ( x) dx = a Câu 167 Kết phép tính tích phân I = ∫ dx có dạng = I a ln + b ln ( a, b ∈ ) Khi đó x 3x + a + ab + 3b có giá trị là A B C D π ∫ (1 − cos x ) Câu 168 Với n ∈ , n ≥ , tích phân= I n sin xdx có giá trị A 2n B n −1 C n +1 D n π Câu 169 Với n ∈ , n > , giá trị tích phân ∫ A − π B Câu 170 Giá trị tích phân 2017π ∫ π sin x dx là cos x + n sin x n n C 3π D − 3π − cos 2xdx là B −4043 C 3043 D 4034 (1 + sin x)1+ cos x Câu 171 Giá trị tích phân ∫ ln dx là + cos x A ln − B −2 ln − C ln − D −2 ln − A 3034 π b Câu 172 Có giá trị b thỏa mãn ∫ (3 x − 12 x + 11)dx = A B b Câu 173 Biết ∫ 6dx = và A Câu 174 Biết ∫x C ∫ xe dx = a Khi đó biểu thức b x D + a + 3a + 2a có giá trị B C D bπ a A 2π a B dx = A , ∫ 2dx = B (với a, b > ) Khi đó giá trị biểu thức 4aA + 2b +a B π C 3π D 4π Trang 26/80 (27) C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D A C B 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D D C A 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A D A B A D B C B D C D C A D B A C B B 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 C B B C B C D D C D B A A C D B A A C A 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 A D A B A D B C B D C D C A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b b a a C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx Câu B b ∫ a D a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx Cho hàm số f liên tục trên và số thực dương a Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng? A a ∫ f ( x)dx = B a Câu a ∫ f ( x)dx = a C a ∫ f ( x)dx = −1 a D a ∫ f ( x)dx = f (a) a Tích phân ∫ dx có giá trị A −1 Câu Cho số thực a thỏa mãn B a ∫e x +1 C D dx= e − , đó a có giá trị −1 A B −1 C D Trang 27/80 (28) Hướng dẫn giải Ta có a ∫e a x +1 = dx e x +1= e a +1 − e Vậy yêu cầu bài toán tương đương −1 −1 Câu e a +1 − = e − ⇔ a = Trong các hàm số đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị ? A f ( x) = cos x B f ( x) = sin x x π x π C = D = f ( x) sin + f ( x) cos + 4 2 4 2 Hướng dẫn giải Tính tích phân cho hàm số các đáp án: π π = xdx = sin x 0, ∫0 cos • π π 2, − cos x = ∫0 sin 3xdx = • π π x π x π ∫0 cos + dx = 4sin + = ( − ) , • π π x π x π −4 cos + = 2 ∫0 sin + dx = 4 0 • Vậy chọn f ( x) = cos x Câu Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác ? A e2 ∫ ln xdx B ∫ 2dx π C ∫ sin xdx D ∫ xdx Hướng dẫn giải Dù giải máy tính hay làm tay, ta không nên thử tính đáp án từ A đến D, mà nên chọn các tích phân đơn giản để thử trướC Ví dụ • dx ∫ 2= x0 2, 2= • 2 x2 xdx = = ∫0 π • − cos x ∫ sin xdx = π = 2, nên nhận e2 ∫ ln xdx Câu Trong các hàm số đây, hàm số nào thỏa mãn ∫ −1 A f ( x) = e x B f ( x) = cos x f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ? −2 C f ( x) = sin x D f ( x)= x + Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận Tính tích phân (cho đến nhận kết đúng), ta được: • 1 − cos x −1 = 0= ∫ sin xdx = ∫ sin xdx nhận, −1 −2 Trang 28/80 (29) • 1 = = xdx sin x −1 2sin1 , và ∫ cos −1 • ∫ e dx= x e x −1= e − e −1 , và = xdx ∫ cos = sin x −2 2sin loại, −2 ∫ e dx= x e x −= e − e −2 loại, −2 −1 • 2 1 ( x + 1) = , và dx ∫−1 ( x + 1)= −1 2 ( x + 1) + = = loại x dx ( 1) ∫ −2 −2 Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x Cách 2: Phương pháp tự luận Ta đã biết f là hàm số lẻ và liên tục trên thì a ∫ f ( x)dx = với số thực a Trong −a các lựa chọn đây, có hàm số y f ( x) sin x là lẻ, nên đó là đáp án bài toán Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực các phép tính sau trên máy tính (đến thu kết thì ngưng) Phép tính Kết −1 −2 −1 −2 ∫ sin xdx − ∫ sin xdx ∫ cos xdx − ∫ cos xdx −1 −2 ≠0 x x ∫ e dx − ∫ e dx −1 −2 ≠0 ∫ ( x + 1)dx − ∫ ( x + 1)dx ≠0 Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x Câu dx có giá trị x Tích phân I = ∫ A 3ln B ln C ln Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận D ln 5 dx = ln x = ln − ln = ln x 2 I =∫ Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị 0,91629 Bước 2: Lấy e0,91629 cho kết 5 chọn ln 2 Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực các phép tính sau trên máy tính (đến thu kết thì ngưng) Phép tính Kết Phép tính Kết Trang 29/80 (30) 5 dx ∫2 x − ln dx − 3ln x ∫ dx ∫2 x − ln chọn ln ≠0 dx − ln x ∫ ≠0 ≠0 π Câu Tích phân I = ∫ π dx có giá trị sin x 1 B ln ln Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận C A ln D ln π x 2x cos + sin dx x x 2 2 = = I ∫= ∫ dx cot + tan dx ∫ x x 2π 2 π sin x π 2sin cos 3 2 π π 2 π x x2 = ln sin − ln cos 2π 2 3 = ln − ln − ln − ln 2 2 = ln Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị 0,549306 Bước 2: Lấy e0,549306 cho kết 1, 732050808 ≈ chọn ln Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực các phép tính sau trên máy tính (đến thu kết thì ngưng) Phép tính Kết Phép tính Kết π dx ∫π sin x − ln π 3 π π dx ∫π sin x − ln 2 ≠0 dx − ln ∫ π sin x dx 1 − ln ∫ π sin x ≠0 ≠0 ln Nhận xét: Ở bài này cách làm máy tính có vẻ nhanh chọn Trang 30/80 (31) ∫ (4 − e Câu 10 Nếu − x /2 ) dx = K − 2e thì giá trị K là −2 B A 12,5 C 11 D 10 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận 0 K =∫ ( − e − x /2 ) dx + 2e =( x + 2e − x /2 ) −2 + 2e =2 − ( −8 + 2e ) + 2e =10 −2 Phương pháp trắc nghiệm Dùng máy tính tính ∫ (4 − e − x /2 ) dx + 2e hình −2 bên, thu giá trị K = 10 Câu 11 Tích phân I = ∫ dx có giá trị x −x−2 2 ln 2 ln B − 3 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận A 1 dx ∫0 x − x − 2= C −2 ln D ln 1 1 1 ln [ ] dx − = dx ln x − − ln x + = − ∫0 ( x − 2)( x + 1)= ∫ x − x + 3 Học sinh có thể áp dụng công thức x−a ln + C để giảm bước a −b x −b dx ∫ ( x −= a )( x − b) tính: 1 I= ∫ dx = x −x−2 1 x−2 ∫0 ( x − 2)( x + 1) dx = ln x + 1 = − ln Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị −0.4620981 ln Bước 2: Loại đáp án dương và loại đáp án nhiễu “Không xác định” Bước 3: Chia giá trị −0.4620981 cho ln , nhận − ln chọn − Câu 12 Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] cho ∫ f ( x)dx = và ∫ g ( x)dx = −4 Giá trị 1 5 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là A −6 Hướng dẫn giải B C 5 1 D −2 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx =∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx =−4 − =−6 Trang 31/80 (32) Câu 13 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] Nếu ∫ f ( x)dx = thì tích phân ∫ [ x − f ( x)] dx có giá 0 trị A B Hướng dẫn giải C 3 0 D − 2× = 2 ∫ [ x − f ( x)] dx = ∫ xdx − 2∫ f ( x)dx = Câu 14 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] Nếu ∫ f ( x)dx = và trị A Hướng dẫn giải ∫ f ( x)dx = thì B −5 ∫ f ( x)dx có giá C D −9 5 3 1 − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = −7 + = −5 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = Câu 15 Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 3 A ∫ e dx = ( e x ) x B C 2π 2π ∫π cos xdx = ( sin x ) π −2 −2 ( ) dx ln x = −3 ∫x −3 2 x2 D ∫ ( x + 1) dx = + x 1 Hướng dẫn giải Phép tính −2 −2 ∫−3 x dx = ( ln x ) −3 là sai Phép tính đúng là −2 ∫ x dx = ( ln x ) −2 −3 −3 Câu 16 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? A b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a B F '( x) = f ( x) với x ∈ (a; b) C b ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) a D Hàm số G cho G= ( x) F ( x) + thỏa mãn b ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) a Câu 17 Xét hàm số f liên tục trên và các số thực a , b , c tùy ý Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A C b b a a c c b c b a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ∫ a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx B D b c b a a c b c c a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ∫ a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx Câu 18 Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Trang 32/80 (33) b A Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) a b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) B Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì a C Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a D Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) a Hướng dẫn giải Mệnh đề “Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) ” sai, mệnh đề đúng phải là a “Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) ” a Câu 19 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] cho g ( x) ≠ với x ∈ [a; b] Xét các khẳng định sau: I b ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = a II b ∫ a b a b b ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx a III b f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a b a b b a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx a b IV b ∫ a ∫ f ( x)dx f ( x) dx = g ( x) a b ∫ g ( x)dx a Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai? A B C Hướng dẫn giải D b Các công thức b ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b và ∫ g ( x)dx b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx là sai a Câu 20 Tích phân ∫ x( x − 1)dx có giá trị với giá trị tích phân nào các tích phân đây? A ∫ ( x + x − 3) dx 3π B ∫ sin xdx C ln 10 ∫ e x dx π D ∫ cos(3 x + π )dx Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Tính rõ phép tính tích phân để tìm kết đúng (chỉ tính đến nhận kết đúng thì dừng lại): Trang 33/80 (34) • • ln 10 ln 10 e2 x e 2ln 10 − , e dx = = = ∫0 2 2x 3π 3π −3cos x = ∫ sin xdx = 6, • π • x x ∫ ( x + x − 3) dx = + − 3x = + − =− , + π )dx ∫ cos(3x= Vậy chọn ln 10 ∫ 0 3 1 π ( sin 4π − sin(3= x +π) sin π ) = 3 e x dx Phương pháp trắc nghiệm Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết ln 10 0 ∫ x( x − 1)dx − ∫ e x dx 3π − 0 0 35 π 0 ∫ x( x − 1)dx − ∫ ( x + x − 3) dx ∫ x( x − 1)dx − ∫ cos(3x + π )dx Vậy chọn ln 10 ∫ ∫ x( x − 1)dx − ∫ sin xdx e x dx Câu 21 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , cho b ∫ f ( x)dx ≥ thì f ( x) ≥ ∀x ∈ [a; b] a ∫ f ( x)dx = B Với hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có −3 C Với hàm số f liên tục trên , ta có b a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) D Với hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì ∫ [ f ( x)] f ( x)] [ dx = Hướng dẫn giải Vì d (− x) =− ( 1)dx nên b ∫ a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx= b a ∫ f ( x)(−1)dx= b a ∫ f ( x)d (− x) b Câu 22 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu f là hàm số chẵn trên thì ∫ f ( x)dx = 0 ∫ f ( x)dx −1 Trang 34/80 (35) B Nếu ∫ −1 C Nếu f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] ∫ f ( x)dx = thì f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] −1 D Nếu ∫ f ( x)dx = thì f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] −1 Hướng dẫn giải x thỏa Hàm số y = x − • ∫ −1 1 ∫ f ( x)dx = , nó là hàm lẻ trên f ( x)dx = ∫ f ( x)dx và −1 [−1;1] 1 thỏa ∫ f ( x)dx = , nó làm hàm chẵn trên [−1;1] −1 • Hàm số = y x2 − • ) f (− x) với x ∈ Đặt t =− x ⇒ dt =−dx Còn f là hàm chẵn trên thì f ( x= và suy 1 1 0 0 −1 0 −1 d (− x) − ∫ f (− x)d (− x) = − ∫ f ( x)(= −1)dx − ∫ f ( x)= − ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt Câu 23 Giả sử F là nguyên hàm hàm số y = x sin x trên khoảng (0; +∞) Khi đó ∫x sin xdx có giá trị A F (2) − F (1) B − F (1) C F (2) D F (1) − F (2) Hướng dẫn giải Áp dụng công thức b )dx ∫ f ( x= F (b) − F (a ) , đó F là nguyên hàm f trên đoạn a [a; b] , ta có ∫x sin xdx = F (2) − F (1) Câu 24 Cho hàm số f liên tục trên và hai số thực a < b Nếu b ∫ f ( x)dx = α thì tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị a α B 2α Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Đặt t = x ⇒ dt = 2dx và A b2 Vậy f (2 x)dx ∫= a b2 C α x a b t a b D 4α b 1 α f= (2 x)2dx = f (t )dt ∫ ∫ 2a2 2a Phương pháp trắc nghiệm Phương pháp tự luận tốt cả, học sinh không nắm rõ, có thể thay f hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán Trang 35/80 (36) Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [0;1] Khi đó = α 1 0 xdx )dx ∫= ∫ f ( x= , suy 1/2 ∫ f (2 x)dx= 1/2 ∫ xdx= 0 α = Câu 25 Giả sử F là nguyên hàm hàm số y = x sin x trên khoảng (0; +∞) Khi đó tích phân ∫ 81x sin xdx có giá trị A [ F (6) − F (3) ] C [ F (2) − F (1) ] B F (6) − F (3) Hướng dẫn giải Đăt t = x ⇒ dt = 3dx và đổi cận x t Vậy ∫ 81x3 sin 3= xdx 1 3 dx ∫ (3x) (sin 3x)3= D F (2) − F (1) 6 ∫t sin 5= tdt F (6) − F (3) Câu 26 Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn ∫ f ( x)dx = Giá trị tích phân π ∫ f (2sin x) cos xdx là A −6 B Hướng dẫn giải Đặt= = cos xdx và t 2sin x ⇒ dt x π t π Vậy ∫ C −3 f (t ) dt ∫= f (2sin x)= cos xdx 0 e Câu 27 Bài toán tính tích phân I = ∫ x t e ∫ ln x + ln x = dx x ∫ = f (t )dt ∫0 ln x + ln x dx học sinh giải theo ba bước sau: x I Đặt ẩn phụ= t ln x + , suy dt = II I = D dx và x 1 e t ( t − 1) dt 2 III I = 1+ t − = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1 Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I Hướng dẫn giải Bước III sai Phép tính đúng là I = ∫ D Sai Bước III ( + 1) 2 3 t ( t − 1) dt= t − t = 15 5 1 Trang 36/80 (37) Câu 28 Xét tích phân I = π sin x ∫ + cos x dx Thực phép đổi biến t = cos x , ta có thể đưa I dạng nào sau đây π A I = − ∫ 2t dt 1+ t B I = π ∫ 2t dt 1+ t D I = ∫ 2 Hướng dẫn giải Ta có t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Khi x = thì t = , x = π 2t C I = − ∫ dt 1+ t 2t dt 1+ t π π thì t = 12 Vậy sin x 2sin x cos x 2t 2t −∫ I= dt = dt ∫0 + cos x dx = ∫0 + cos x dx = ∫ 1+ t 1+ t 12 Câu 29 Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A b ∫ f ( x) dx > a C b ∫ b ∫ f ( x)dx B a f ( x) dx ≥ a b ∫ f ( x)dx D a b b a a b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ ∫ f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx f ( x) dx Câu 30 Trong các khẳng định đây, khẳng định nào sai? 1 B ∫ (1 + x) x dx = A ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx 0 π π x C ∫ sin dx = ∫ sin xdx 0 D ∫x 2017 −1 (1 + x)dx = 2019 Hướng dẫn giải Cách 1: Tính trực tiếp các tích phân 1 • Đặt t =− x ⇒ dt =−dx ⇒ ∫ sin(1 − x)dx =− ∫ sin tdt =∫ sin tdt π π x x • Đặt t = ⇒ dt = dx ⇒ ∫ sin dx = ∫ 2sin tdt 2 0 • 1 ∫x −1 2017 x 2018 x 2019 12018 12019 (−1) 2018 (−1) 2019 (1 + x)dx= + + + = − = 2019 2019 2018 2019 −1 2018 2019 2018 Vậy ∫ (1 + x) x dx = sai Cách 2: Nhận xét tích phân Ta thấy (1 + x) x ≥ với x ∈ [0;1] nên 1 0 x , “ ∫ (1 + x) x dx = ” là ∫ (1 + x) dx ≥ ∫ 1dx = khẳng định sai Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết ∫ (1 + x) x dx >0 Trang 37/80 (38) 1 0 ∫ sin(1 − x)dx − ∫ sin xdx π π x ∫0 sin dx − ∫0 sin xdx ∫x 2017 (1 + x)dx − −1 2019 suy ∫ (1 + x) x dx = là khẳng định sai Câu 31 Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A ∫ −2 C ∫ −2 f ( x)dx = ∫ f ( x)dx B ∫ f ( x)dx = −2 0 f ( x)dx = ∫ f ( x)dx D −2 ∫ −2 f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Với hàm số f và số thực dương a , ta luôn nằm lòng tính chất sau đây: Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [-a; a ] thì • a ∫ f ( x)dx = , −a Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a ] thì • a ∫ −a Vậy bài này ta chọn a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = −2 Phương pháp trắc nghiệm Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f hàm số đơn giản, xác định trên [−2; 2] và tính toán Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [−2; 2] Khi đó ∫ f ( x)dx = , −2 ∫ −2 −2 ∫ f ( x)dx ≠ 2∫ f ( x)dx , f ( x)dx ≠ ∫ f ( x)dx , Vậy chọn −2 ∫ −2 f ( x)dx ≠ −2 ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = −2 ∫ ( x + 1) Câu 32 Bài toán tính tích phân= I dx học sinh giải theo ba bước sau: −2 t ( x + 1) , suy = dt 2( x + 1)dx , I Đặt ẩn phụ = II Từ đây suy dt dt dx ⇒ dx Đổi cận = = 2( x + 1) t x −2 t 1 −2 III Vậy I =∫ ( x + 1) dx =∫ t 4 dt = t = 3 t Trang 38/80 (39) Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A Sai từ Bước I B Sai Bước III C Sai từ Bước II Hướng dẫn giải Khi đặt = t ( x + 1) với −2 ≤ x ≤ thì không suy D Bài giải đúng t= x + được, vì x + có thể bị âm −2 ≤ x ≤ −1 Câu 33 Một học sinh định lên bảng làm bài toán tích phân Mỗi bài giải đúng 2,5 điểm, bài giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh đã giải bài toán đó sau: Bài Đề bài Bài giải học sinh ∫e x2 xdx 1 ∫0 x − x − dx π ∫ sin x cos xdx 1 ∫0 x − x − dx= [ln x − x − ] 0= π π ln − ln 2= −1 2t −2 ∫ t dt == ∫ sin x cos xdx = ∫0 sin x cos xdx = −1 e + (4 − 2e) ln x dx ∫1 x Đặt t = cos x , suy dt = − sin xdx Khi x = thì t = ; x = π thì t = −1 Vậy e e −1 x2 ( ) e x x e = xdx e d= x = ∫0 ∫ 20 2 + (4 − 2e) ln x dx = ∫1 x 2 e ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) e = x + (4 − 2e) ln x =3 − e Số điểm mà học sinh này đạt là bao nhiêu? A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm Hướng dẫn giải Bài toán giải sai Cách giải đúng là 1 ∫0 x − x − dx = 1 x−2 ∫0 ( x + 1)( x − 2) dx = ln x + D 10,0 điểm = − ln Bài toán kết đúng, cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn Lời giải đúng là: e e e + (4 − 2e) ln x ) ( dx = + (4 − e ) ln x d ln x = ln x + (2 − e ) ln x =3 − e ] [ ∫1 ∫1 x Kinh nghiệm Kết đúng thì chưa bài giải đúng Câu 34 Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a; b] Gọi F và G là nguyên hàm f và g trên đoạn [a; b] Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A b ∫ f ( x)G ( x)dx = a B b f ( x)G ( x)dx ∫= a C b b a b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx b a b ( x)G ( x)dx [ f ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx ∫ f= a D b [ F ( x) g ( x)] a − ∫ F ( x)G ( x)dx b b a a b f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx ∫= a b a a Trang 39/80 (40) Câu 35 Tích phân I = ∫ xe −x dx có giá trị −2 B 3e − A −e + Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Sử dụng tích phân phần, ta ∫ xe I= −x C −e − D −2e + dx −2 0 0 0 = − ∫ xd ( e − x ) = − ( xe − x ) −2 − ∫ e − x dx = − ( xe − x ) −2 + ∫ e − x dx = − ( xe − x ) −2 − ( e − x ) −2 = −e − −2 −2 −2 Phương pháp trắc nghiệm ∫ xe Dùng máy tính tính −x dx hình bên, thu kết −2 hình bên Loại đáp án 3e − Sau đó thử đáp án còn lại để tìm kết Câu 36 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? A b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b b a a C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx B b ∫ a D a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx Câu 37 Cho hàm số f liên tục trên và số thực dương a Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A a ∫ B f ( x)dx = a a ∫ f ( x)dx = a C a ∫ f ( x)dx = −1 a D a ∫ f ( x)dx = f (a) a Câu 38 Tích phân ∫ dx có giá trị A B −1 Câu 39 Cho số thực a thỏa mãn a ∫e x +1 C D dx= e − , đó a có giá trị −1 A B −1 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có a ∫e x +1 D D a = dx e x +1= e a +1 − e Vậy yêu cầu bài toán tương đương −1 −1 e a +1 − = e − ⇔ a = Câu 40 Trong các hàm số đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị ? A f ( x) = cos x B f ( x) = sin x x π x π C = D = f ( x) sin + f ( x) cos + 4 2 4 2 Hướng dẫn giải Tính tích phân cho hàm số các đáp án: Trang 40/80 (41) π π xdx = sin x = ∫0 cos • π π − cos x = ∫0 sin 3xdx = • π π x π x π ∫0 cos + dx = 4sin + = ( − ) • π π x π x π −4 cos + = 2 ∫0 sin + dx = 4 0 • Vậy chọn f ( x) = cos x Câu 41 Tích phân nào các tích phân sau có giá trị khác ? π B ∫ 2dx A ∫ sin xdx e2 ∫ ln xdx B Câu 42 Trong các hàm số đây, hàm số nào thỏa mãn ∫ xdx ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ? −2 x B f ( x) = sin x −1 A f ( x) = cos x D C f ( x) = e D f ( x)= x + Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Tính tích phân (cho đến nhận kết đúng), ta được: • − cos x ∫ sin xdx = −1 • 1 −1 = 0= ∫ sin xdx nhận, −2 = xdx sin = x −1 2sin1 , và ∫ cos −1 • 1 x x −1 ∫ e dx= e −1= e − e , và −1 • = xdx ∫ cos sin = x −2 2sin loại, −2 2 x x −2 ∫ e dx= e −=2 e − e loại, −2 ( x + 1) = , và dx ∫−1 ( x + 1)= −1 2 ( x + 1) ( x + 1) = dx = loại ∫ −2 −2 Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x [Phương pháp trắc nghiệm] Thực các phép tính sau trên máy tính (đến thu kết thì ngưng) Phép tính −1 −2 −1 −2 ∫ sin xdx − ∫ sin xdx ∫ cos xdx − ∫ cos xdx −1 −2 x x ∫ e dx − ∫ e dx −1 −2 ∫ ( x + 1)dx − ∫ ( x + 1)dx Kết ≠0 ≠0 ≠0 Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x Trang 41/80 (42) dx có giá trị x Câu 43 Tích phân I = ∫ B ln ln Hướng dẫn giải [Cách 1: Phương pháp tự luận] C 3ln A D ln 5 dx = ln x = ln − ln = ln x 2 I =∫ [Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị 0,91629 Bước 2: Lấy e0,91629 cho kết 5 chọn ln 2 [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Thực các phép tính sau trên máy tính (đến thu kết thì ngưng) Phép tính Kết Phép tính Kết dx ∫2 x − ln dx − 3ln x ∫ dx ∫2 x − ln chọn ln ≠0 dx − ln x ∫ ≠0 ≠0 π Câu 44 Tích phân I = ∫ π dx có giá trị sin x 1 A ln B ln C ln Hướng dẫn giải [Cách 1: Phương pháp tự luận] π π π x x + sin 2 cos dx 2 x x 2 = I ∫= ∫ = dx cot + tan dx ∫ x x 2π 2 π sin x π 2sin cos 3 2 D 1 ln π x x2 2 3 = ln sin − ln cos = ln − ln − ln − ln = ln 2π 2 2 [Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị 0,549306 Bước 2: Lấy e0,549306 cho kết 1, 732050808 ≈ Trang 42/80 (43) chọn ln [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Thực các phép tính sau trên máy tính (đến thu kết thì ngưng) Phép tính Kết Phép tính Kết π π dx ∫π sin x − ln 2 3 π π dx ∫π sin x − ln 2 dx − ln ∫ π sin x dx 1 − ln ∫ π sin x ≠0 ≠0 ≠0 ln Nhận xét: Ở bài này cách làm máy tính có vẻ nhanh chọn Câu 45 Nếu ∫ (4 − e − x /2 ) dx = K − 2e thì giá trị K là −2 A B 10 C 11 D 12,5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 0 K =∫ ( − e − x /2 ) dx + 2e =( x + 2e − x /2 ) −2 + 2e =2 − ( −8 + 2e ) + 2e =10 −2 [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng máy tính tính ∫ (4 − e − x /2 ) dx + 2e hình bên, thu −2 giá trị K = 10 Câu 46 Tích phân I = ∫ dx có giá trị x −x−2 A −2 ln B Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 1 dx ∫0 x − x − 2= ln ln D Không xác định 1 1 1 ln [ ] dx − = dx ln x − − ln x + = − ∫0 ( x − 2)( x + 1)= ∫ x − x + 3 Học sinh có thể áp dụng công thức C − tính: I = ∫ dx = x −x−2 1 dx ∫ ( x −= a )( x − b) 1 x−2 ∫0 ( x − 2)( x + 1) dx = ln x + 1 x−a ln + C để giảm bước a −b x −b = − ln [Phương pháp trắc nghiệm] Trang 43/80 (44) Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị −0.4620981 ln Bước 2: Loại đáp án dương và loại đáp án nhiễu “Không xác định” Bước 3: Chia giá trị −0.4620981 cho ln , nhận − ln chọn − Câu 47 Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] cho ∫ ∫ g ( x)dx = f ( x)dx = và −4 Giá trị ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là B A −2 Hướng dẫn giải C 5 1 D −6 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx =∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx =−4 − =−6 Câu 48 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] Nếu ∫ f ( x)dx = thì tích phân ∫ [ x − f ( x)] dx có giá 0 trị A B Hướng dẫn giải C 3 0 D − 2× = 2 ∫ [ x − f ( x)] dx = ∫ xdx − 2∫ f ( x)dx = Câu 49 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] Nếu ∫ f ( x)dx = và trị A −9 Hướng dẫn giải ∫ ∫ f ( x)dx = thì ∫ f ( x)dx có giá B 5 C D −5 5 1 f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = −7 + = −5 ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = Câu 50 Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 2 x2 A ∫ ( x + 1) dx = + x 1 C 2π 2π ∫ cos xdx = ( sin x ) π 3 B ∫ e x dx = ( e x ) D π −2 −2 ( ) dx ln x = −3 ∫−3 x Hướng dẫn giải Phép tính −2 −2 ∫−3 x dx = ( ln x ) −3 là sai Phép tính đúng là −2 ∫ x dx = ( ln x ) −2 −3 −3 Câu 51 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? Trang 44/80 (45) A F '( x) = f ( x) với x ∈ (a; b) b ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) B a b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) C a b ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) ( x) F ( x) + thỏa mãn D Hàm số G cho G= a Câu 52 Xét hàm số f liên tục trên và các số thực a , b , c tùy ý Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? b c b a a c b b a c c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx A ∫ C a c b a a c b c c a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx B f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx b ∫ D a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx Câu 53 Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) a b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) B Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì a C Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a b D Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) a Hướng dẫn giải Mệnh đề “Nếu f ( x) ≥ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ M (a − b) ” sai, mệnh đề đúng phải là a “Nếu f ( x) ≥ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ M (b − a) ” a Câu 54 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] cho g ( x) ≠ với x ∈ [a; b] Một học sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau: I b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx II b b b a a ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx a b III b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx IV b ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b ∫ g ( x)dx a Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai? A B C Hướng dẫn giải D Trang 45/80 (46) b b ∫ Các phát biểu a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b và ∫ g ( x)dx b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx là sai a Câu 55 Tích phân ∫ x( x − 1)dx có giá trị với tích phân nào các tích phân đây ? 3π π C ∫ ( x + x − 3) dx B ∫ sin xdx A ∫ cos(3 x + π )dx 0 D ln 10 ∫ e x dx Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Tính rõ phép tính tích phân để tìm kết đúng (Chỉ tính đến nhận kết đúng thì dừng lại): • • ln 10 ln 10 e2 x e 2ln 10 − , e dx = = ∫0= 2 2x 3π 3π −3cos x = ∫ sin xdx = 6, • 2 x3 x ( ) x + x − dx = + − x = + − =− , ∫0 0 π • + π )dx ∫ cos(3x= Vậy chọn ln 10 ∫ 1 π ( sin 4π − = x +π) sin(3= sin π ) 3 e x dx [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết ln 10 0 ∫ x( x − 1)dx − ∫ Vậy chọn ∫ 3π ∫ x( x − 1)dx − ∫ sin xdx − 0 + x − 3) dx 35 ∫ x( x − 1)dx − ∫ cos(3x + π )dx ∫ x( x − 1)dx − ∫ ( x ln 10 e x dx 0 π 0 e x dx Câu 56 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Với hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có ∫ f ( x)dx = −3 Trang 46/80 (47) b a B Với hàm số f liên tục trên , ta có ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) a b C Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , cho b ∫ f ( x)dx ≥ thì f ( x) ≥ ∀x ∈ [a; b] a D Với hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì ∫ [ f ( x)] [ f ( x)] dx = 1 Hướng dẫn giải b a a a a b b b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx= ∫ f ( x)(−1)dx= ∫ f ( x)d (− x) Vì d (− x) =− ( 1)dx nên Câu 57 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu f là hàm số chẵn trên thì ∫ f ( x)dx = B Nếu C Nếu −1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì ∫ f ( x)dx = thì ∫ f ( x)dx −1 f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] −1 D Nếu ∫ f ( x)dx = thì f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] −1 Hướng dẫn giải • x Hàm số y = x − thỏa −1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = , nó là hàm lẻ trên và −1 [−1;1] 1 thỏa ∫ f ( x)dx = , nó làm hàm chẵn trên [−1;1] −1 • Hàm số = y x2 − • Còn f là hàm chẵn trên thì f ( x= ) f (− x) với x ∈ Đặt t =− x ⇒ dt =−dx và suy 1 0 − ∫ f ( x)(−1) = dx − ∫ f ( x)d (− x) ∫ f ( x)dx = −1 0 −1 = − ∫ f (− x)d (− x) = − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt Câu 58 Giả sử F là nguyên hàm hàm số y = giá trị A F (2) − F (1) B − F (1) sin x trên khoảng (0; +∞) Khi đó x C F (2) sin x dx có x ∫ D F (2) + F (1) Hướng dẫn giải Áp dụng công thức b )dx ∫ f ( x= F (b) − F (a ) , đó F là nguyên hàm f trên đoạn a [a; b] , ta có sin x dx = F (2) − F (1) x ∫ Trang 47/80 (48) Câu 59 Cho hàm số f liên tục trên và hai số thực a < b Nếu b ∫ f ( x)dx = α thì tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị a A α B 2α C α Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đăt t = x ⇒ dt = 2dx và x a b a b t b2 Vậy b2 D 4α b 1 α (2 x)2dx = f= f (t )dt ∫ ∫ 2a2 2a f (2 x)dx ∫= a [Phương pháp trắc nghiệm] Phương pháp tự luận tốt cả, học sinh không nắm rõ, có thể thay f hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán suy ∫ f (2 x)dx= 1/2 0 )dx ∫= xdx ∫ f ( x= Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [0;1] Khi đó = α 1/2 1 α = ∫ xdx= Câu 60 Giả sử F là nguyên hàm hàm số y = giá trị A F (6) − F (3) sin x dx ∫1 x = sin x trên khoảng (0; +∞) Khi đó x C [ F (2) − F (1) ] B [ F (6) − F (3) ] Hướng dẫn giải Đăt t = x ⇒ dt = 3dx và Vậy x t sin x 3dx ∫1 3x = Câu 61 Giả sử hàm số f sin 3x dx có x ∫ D F (2) − F (1) 6 sin t = dt F (6) − F (3) t ∫ liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn ∫ f ( x)dx = Giá trị π ∫ f (2sin x) cos xdx là A B Hướng dẫn giải Đăt= t 2sin x ⇒ dt = cos xdx và x C −3 t π Vậy ∫ f (2sin x)= cos xdx f (t ) dt ∫= D −6 π 2 = f (t )dt ∫0 Trang 48/80 (49) e Câu 62 Bài toán tính tích phân I = ∫ ln x + ln x dx học sinh giải theo ba bước sau: x I Đặt ẩn phụ= t ln x + , suy dt = x t II I = e ∫ ln x + ln x = dx x ∫ dx và x e 1 t ( t − 1) dt 2 III I = 1+ t − = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1 Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A Bài giải đúng B Sai từ Bước II Hướng dẫn giải Bước III sai Phép tính đúng là I = ∫ Câu 63 Xét tích phân I = π C Sai từ Bước I D Sai Bước III ( + 1) 2 3 t ( t − 1) dt= t − t = 15 5 1 sin x ∫ + cos x dx Thực phép đổi biến t = cos x , ta có thể đưa I dạng nào sau đây 2t dt 1+ t A I = ∫ B I = π ∫ 2t dt 1+ t 2t dt 1+ t D I = − ∫ Hướng dẫn giải Ta có t = − sin xdx Khi x = thì t = , x = cos x ⇒ dt = π π C I = − ∫ π π thì t = 12 2t dt 1+ t Vậy sin x 2sin x cos x 2t 2t I= −∫ dt = dt ∫0 + cos x dx = ∫0 + cos x dx = ∫ 1+ t 1+ t 12 Câu 64 Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A C b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ b ∫ a f ( x) dx > f ( x) dx b ∫ f ( x)dx B b ∫ f ( x) dx ≥ a D a b ∫ f ( x)dx a b b a a ∫ f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx Câu 65 Trong các khẳng định đây, khẳng định nào sai? A ∫ (1 + x) x dx = 0 π π x C ∫ sin dx = ∫ sin xdx 0 1 0 B ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx D ∫x −1 2017 (1 + x)dx = 2019 Hướng dẫn giải [Cách 1: Tính trực tiếp các tích phân] Trang 49/80 (50) 1 • Đặt t =− x ⇒ dt =−dx ⇒ ∫ sin(1 − x)dx =− ∫ sin tdt =∫ sin tdt π π x x • Đặt t = ⇒ dt = dx ⇒ ∫ sin dx = ∫ 2sin tdt 2 0 • 1 ∫x 2017 −1 x 2018 x 2019 12018 12019 (−1) 2018 (−1) 2019 + = + + (1 + x)dx= − = 2019 2019 2018 2019 −1 2018 2019 2018 Vậy ∫ (1 + x) x dx = sai [Cách 2: Nhận xét tích phân] Ta thấy (1 + x) x ≥ với x ∈ [0;1] nên 1 0 x , “ ∫ (1 + x) x dx = ” là ∫ (1 + x) dx ≥ ∫ 1dx = khẳng định sai [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết ∫ (1 + x) x dx >0 1 0 ∫ sin(1 − x)dx − ∫ sin xdx π π x ∫0 sin dx − ∫0 sin xdx ∫x 2017 (1 + x)dx − −1 2019 suy ∫ (1 + x) x dx = là khẳng định sai Câu 66 Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A ∫ −2 C f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx B −2 −2 ∫ −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx D f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = −2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Với hàm số f và số thực dương a , ta luôn nằm lòng tính chất sau đây: • Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [-a; a ] thì a ∫ f ( x)dx = , −a • Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a ] thì a ∫ −a Vậy bài này ta chọn a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = −2 [Phương pháp trắc nghiệm] Trang 50/80 (51) Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f hàm số đơn giản, xác định trên [−2; 2] và tính toán Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [−2; 2] Khi đó ∫ f ( x)dx = , 2 −2 ∫ −2 ∫ −2 f ( x)dx ≠ ∫ f ( x)dx , ∫ −2 −2 f ( x)dx ≠ ∫ f ( x)dx , f ( x)dx ≠ −2 ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = Vậy chọn −2 ∫ ( x + 1) Câu 67 Bài toán tính tích phân= I dx học sinh giải theo ba bước sau: −2 I Đặt ẩn phụ = dt 2( x + 1)dx , t ( x + 1) , suy = II Từ đây suy dt dt = dx ⇒ = dx Bảng giá trị 2( x + 1) t x −2 t 4 t dt = t = 3 1 t −2 Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? III Vậy I =∫ ( x + 1) dx =∫ A Sai Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải đúng Hướng dẫn giải t ( x + 1) với −2 ≤ x ≤ thì không suy Khi đặt = t= x + được, vì x + có thể bị âm −2 ≤ x ≤ −1 Câu 68 Một học sinh định lên bảng làm bài toán tích phân Mỗi bài giải đúng 2,5 điểm, bài giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh đã giải bài toán đó sau: Bài Đề bài Bài giải học sinh ∫e x2 xdx 1 ∫0 x − x − dx π ∫ sin x cos xdx 1 ∫x dx= −x−2 [ln x − x − ] 0= π ln − ln 2= π −1 2t x xdx = x xdx = − t dt == sin cos sin cos ∫0 ∫0 ∫1 −1 e + (4 − 2e) ln x dx ∫1 x Đặt t = cos x , suy dt = − sin xdx Khi x = thì t = ; x = π thì t = −1 Vậy e 1 x2 ( ) e x e −1 e = xdx e d= x = ∫0 ∫ 20 2 x2 + (4 − 2e) ln x dx = ∫1 x 2 e ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) e = x + (4 − 2e) ln x =3 − e Số điểm mà học sinh này đạt là bao nhiêu? A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm Hướng dẫn giải D 10,0 điểm Trang 51/80 (52) Bài toán giải sai Cách giải đúng là 1 ∫0 x − x − dx = 1 x−2 ∫0 ( x + 1)( x − 2) dx = ln x + 1 = − ln Bài toán kết đúng, cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn Cách tính đúng là: e e e + (4 − 2e) ln x ( ) = + − = + − =3 − e dx (4 e ) ln x d ln x ln x (2 e ) ln x ] [ ∫1 ∫1 x [Kinh nghiệm] Kết đúng thì chưa bài giải đúng Câu 69 Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm là F và G trên đoạn [a; b] Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A b ∫ b a B a b b ∫ b a b [ f ( x) g ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx b f= ( x)G ( x)dx a D b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx f ( x)G ( x)dx ∫= a C b [ F ( x) g ( x)] a − ∫ F ( x)G ( x)dx = f ( x)G ( x)dx a b b f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx ∫= b a a Câu 70 Tích phân I = ∫ xe −x a dx có giá trị −2 A −2e + B 3e − Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Sử dụng tích phân phần, ta I= ∫ xe −x C −e + D −e − dx −2 0 0 0 = − ∫ xd ( e − x ) = − ( xe − x ) −2 − ∫ e − x dx = − ( xe − x ) −2 + ∫ e − x dx = − ( xe − x ) −2 − ( e − x ) −2 = −e − −2 −2 −2 [Phương pháp trắc nghiệm] ∫ xe Dùng máy tính tính −x dx hình bên, thu kết −2 hình bên Loại đáp án 3e − Sau đó thử đáp án còn lại để tìm kết Câu 71 Ta đã biết công thức tích phân phần b F ( x) g ( x)dx ∫= a b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ f ( x)G ( x)dx , b a đó F và G là các nguyên hàm f và g Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân phần trên, biến đổi nào là sai? e e e ( ln x ) xdx x ln x − ∫ xdx , đó F ( x) = ln x , g ( x) = x A ∫ = 1 1 1 B ∫ = xe dx ( xe x ) − ∫ e x dx , đó F ( x) = x , g ( x) = e x x Trang 52/80 (53) π π π C ∫= x sin xdx ( x cos x ) − ∫ cos xdx , đó F ( x) = x , g ( x) = sin x 0 1 x +1 x +1 D ∫= x x +1 dx x − dx , đó F ( x) = x , g ( x) = x +1 ∫ ln ln 0 Câu 72 Tích phân π π ∫ x cos x + dx có giá trị (π − ) (π − ) B − 2 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân phần, ta có A π π C (π + ) π π π π 5π ∫0 x cos x + dx= x sin x + − ∫0 sin x + dx= π sin π 5π = − + cos [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng máy tính tính π π ∫ x cos x + dx D − (π + ) π π + cos x + (π + ) π − − cos = 4 hình bên, thu kết hình bên Loại các đáp án dương (π + ) (π − ) và Sau đó thử đáp án còn lại 2 để tìm kết Câu 73 Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm là F và G trên đoạn [0; 2] Biết ∫ F ( x) g ( x)dx = Tích phân F (0) = , F (2) = , G (0) = −2 , G (2) = và giá trị B A Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân phần, ta có ∫ C −2 ∫ f ( x)G( x)dx có D −4 2 0 f ( x)G ( x)dx = [ F ( x)G ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx = F (2)G (2) − F (0)G (0) − ∫ F ( x) g ( x)dx = 1×1 − × (−2) − = −2 Câu 74 Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm là F và G trên đoạn [1; 2] Biết F (1) = , F (2) = , G (1) = , G (2) = và giá trị 145 11 A B − 12 12 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân phần, ta có 2 ∫ F ( x) g ( x)dx = [ F ( x)G( x)] − ∫ f ( x)G( x)dx = 1 ∫ 67 Tích phân f ( x)G ( x)dx = 12 C − 11 12 D ∫ F ( x) g ( x)dx có 145 12 F (2)G (2) − F (1)G (1) − ∫ f ( x)G ( x)dx 67 11 = × − 1× − = 12 12 Trang 53/80 (54) Câu 75 Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và b ∫ x sin xdx = π , đồng thời a cos a = và a b b cos b = −π Tích phân ∫ cos xdx có giá trị a 145 B π 12 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân phần, ta có A b b b a a C −π D b − [ x cos x ] a + ∫ cos xdx ⇒ ∫ cos xdx = [ x cos x ] a + ∫ x sin xdx ∫ x sin xdx = b a b a = b cos b − a cos a + π = −π − + π = e − ln x Câu 76 Cho tích phân: I = ∫ dx Đặt = u − ln x Khi đó I 2x 0 A I = ∫ u du B I = − ∫ u du 1 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đặt u = − ln x ⇒ u =− ln x ⇒ u2 C I = ∫ du D I = − ∫ u du dx = −2udu Với x =1 ⇒ u =1 , x = e ⇒ u = x Khi đó I = − ∫ u du [Phương pháp trắc nghiệm] e − ln x dx 2x Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A Bước 3: Bấm A − − ∫ u du =0 Vậy đáp án là A 2 x Câu 77 Tích phân I = ∫ dx có giá trị x − 7x + 12 Bước 1: Bấm máy tính để tính ∫ A 5ln − ln B + ln − ln C + 5ln − ln D + 25ln − 16 ln Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2 16 Ta có I =∫ 1 + − dx =( x + 16 ln x − − ln x − ) =1 + 25ln − 16 ln x −4 x −3 1 [Phương pháp trắc nghiệm] x2 Bấm máy tính ∫ dx − (1 + 25ln − 16 ln 3) đáp số là x − 7x + 12 Câu 78 Tích phân I = ∫ x dx có giá trị là: 19 Hướng dẫn giải A B 32 C 16 D 21 Trang 54/80 (55) 2 x6 21 Ta có:= I ∫ x= dx = xdx x + ( 1) Câu 79 Tích phân I = ∫ 1 A − B C D 12 Hướng dẫn giải x x +1−1 −2 −3 ( x + 1) −2 − ( x + 1) −3 dx = = + − + x x ( 1) ( 1) Ta có ⇒ = = I 3 ∫ ( x + 1) ( x + 1) π 2 − x, dv = sin xdx thì I ∫ (2 − x) sin xdx Đặt u = Câu 80 Cho tích phân= I π π π A −(2 − x) cos x 02 − ∫ cos xdx B −(2 − x) cos x 02 + ∫ cos xdx 0 π π π π 2 π C (2 − x) cos x 02 + ∫ cos xdx D (2 − x) 02 + ∫ cos xdx 0 Hướng dẫn giải π π 2− x −dx u = du = Đặt Vậy I = −(2 − x) cos x 02 − ∫ cos xdx ⇒ dv = sin xdx v = − cos x x7 Câu 81 Tích phân ∫ dx (1 + x )5 A (t − 1)3 dt ∫1 t B (t − 1)3 ∫1 t dt Hướng dẫn giải Câu 82 Tích phân I = ∫ x( x 1 + 1) Hướng dẫn giải A ln (t − 1)3 dt ∫1 t 4 D (t − 1)3 dt ∫1 t D ln 2 (t − 1)3 1 = dt = 5 ∫ 21 t 128 Đặt t =1 + x ⇒ dt =2 xdx Vậy = I C dx B ln Đặt t = x ⇒ dt = xdx Vậy I = 2 2 0 C 1 ∫ t − t ln t dt = ln +1 Câu 83 Cho hai tích phân I = ∫ x3 dx , J = ∫ xdx Tìm mối quan hệ I và J A I J = Hướng dẫn giải = I = J x3 dx và ∫= B I J = xdx ∫= 32 128 C I − J = 64 D I + J = , suy I J = Trang 55/80 (56) a Câu 84 Cho số thực a thỏa mãn ∫ e x +1dx= e − e , đó a có giá trị B A −1 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] a a 1 Ta có ∫ e x +1dx = e x +1 C D = e a +1 − e = e − e ⇒ a = [Phương pháp trắc nghiệm] Thế đáp án vào và bấm máy ∫e x +1 ∫e dx − ( e − e −1 )= ∫e x +1 dx − ( e − e ) ≈ −53,5981 x +1 dx − ( e − e 2 ) ≈ −51,8798 ∫e x +1 dx − ( e − e ) ≈ −34,5126 Câu 85 Tích phân ∫ ke x dx (với k là số )có giá trị B e − A k (e − 1) D e − e C k (e − e) Hướng dẫn giải π x Ta có ∫ ke x= dx ke= k (e − 1) Câu 86 Với số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ? A ∫ k (e − 1)dx B ∫ ke x dx C ∫ 3ke3 x dx D ∫ ke x dx 0 Hướng dẫn giải 2 k x k 43 x Ta có ∫ ke 2= dx e= (e − 1) 2 0 (I) ∫ dx = ; −1 Số phát biểu đúng là A Hướng dẫn giải (III): sai (II) x ke= k (e − 1) ∫ k (e − 1)dx = Câu 87 Với số thực k , xét các phát biểu sau: x 3x x dx ke3= k (e − 1) ∫ 3ke = π dx ∫ ke = ∫ kdx = 2k ; (III) ∫ xdx = x ; −1 −1 B C Câu 88 Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] cho kx(e − 1) = k (e − 1) (IV) ∫ 3kx dx = 2k D ∫ f ( x)dx = −7 và 19 Giá trị k ∫ [ g ( x) − kf ( x)] dx = ∫ g ( x)dx = và là: A Hướng dẫn giải B C 5 1 D −2 Ta có ∫ [ g ( x) − kf ( x) ] dx = 19 ⇔ ∫ g ( x)dx − k ∫ f ( x)dx = 19 ⇔ − k ( −7 ) = 19 ⇔ k = Trang 56/80 (57) ∫ f ( x)dx = và Câu 89 Cho hàm số f liên tục trên Nếu bằng: B −6 A Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] ∫ ∫ f ( x)dx có giá trị C 5 f ( x)dx = thì D −9 Ta có ∫ f ( x)dx = f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = −7 + = −6 ∫ 3 1 Câu 90 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] Nếu ∫ f ( x)dx = và tích phân −1 ∫ [ kx − f ( x)] dx = giá trị k A B Hướng dẫn giải C 2 1 Ta có ∫ [ kx − f ( x) ] dx =−1 ⇔ k ∫ xdx − ∫ f ( x)dx =k D − =−1 ⇔ k =2 e Câu 91 Tích phân ∫ (2 x − 5) ln xdx e e A − ( x − x) ln x − ∫ ( x − 5)dx e B ( x − x) ln x + ∫ ( x − 5)dx 1 e e C ( x − x) ln x − ∫ ( x − 5)dx e e e D ( x − 5) ln x − ∫ ( x − x)dx 1 Hướng dẫn giải e e e u = ln x du = dx Đặt Vậy ∫ (2 x − 5) ln xdx = ( x − x) ln x − ∫ ( x − 5)dx ⇒ x dv (2 x − 5)dx = 1 = v x x − π Câu 92 Tích phân I = ∫ cos x cos xdx có giá trị −5π π B Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] A π π 2 C 3π D π π 12 cos cos (1 cos ) cos (1 + cos x + cos x)dx I= x xdx = + x xdx = ∫0 ∫0 ∫0 π 1 π = ( x + sin x + sin x) = 4 [Phương pháp trắc nghiệm] Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE π Bấm máy I = ∫ cos π π = x cos xdx − Vậy đáp án là 8 Trang 57/80 (58) π Câu 93 Tích phân I = ∫ 4sin x dx có giá trị + cos x B A C Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 4sin x 4sin x(1 − cos x) = = 4sin x − 4sin x cos x = 4sin x − 2sin x + cos x sin x ∫ = ⇒I π D (4sin x − 2sin= x)dx [Phương pháp trắc nghiệm] Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE π 4sin x Bấm máy tính ∫ dx − = Vậy đáp án là + cos x Câu 94 Tích phân = I 2π ∫ + sin xdx có giá trị A B Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2π C 2π D − 2π x x x x x π I = ∫ sin + cos dx = ∫ sin + cos dx = ∫ sin + dx 2 2 2 4 0 32π 2π x π x π = ∫ sin + dx − ∫ sin + = dx 2 4 2 4 3π [Phương pháp trắc nghiệm] 2π Bấm máy tính I = ∫ + sin xdx − đáp số là Vậy đáp án là π Câu 95 Tích phân I = ∫ sin x tan xdx có giá trị C ln − A ln − B ln − Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] π π D ln − 1− u2 sin x (1 − cos x) sin x Đặt t = cos x ⇒ I = − du =ln − = x dx dx sin ∫ ∫0 ∫ u cos x cos x [Phương pháp trắc nghiệm] Ta có I = 3 π Bấm máy tính I = ∫ sin Câu 96 3 x tan xdx − ln − đáp số là Vậy đáp án là ln − 8 cos x với x ∈ Giá trị tích phân Cho hàm số f(x) liên tục trên và f ( x) + f (− x) = π I= ∫ f ( x)dx là −π A −2 B 3π 16 C ln − D ln − Trang 58/80 (59) Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] π − ∫ Đặt= x −t ⇒ = f ( x)dx −π π π 2 ∫ ∫π = f (−t )(−dt ) π − π π π 2 ] dx ∫ [ f ( x) + f (− x)= ⇒ ∫ f ( x= )dx −π − π π f (−t )= dt ∫π − ∫π cos − f (− x)dx 3π xdx ⇒ I = 16 [Phương pháp trắc nghiệm] π ∫π cos Bấm máy tính xdx − − Câu 97 Nếu ∫ (5 − e 3π 3π đáp số là Vậy đáp án là 16 16 ) dx = K − e thì giá trị K là: −x −2 A 11 B C D 12,5 Hướng dẫn giải ∫ (5 − e K= −x ) dx + e2 = ( x + e− x ) −2 + e2 = 11 −2 π Câu 98 Cho tích phân= I ∫ .Đặt u + 3cos x sin xdx = 3cos x + Khi đó I A 2 u du ∫1 2 u du ∫0 B C Hướng dẫn giải Đặt u = 3 u 3cos x + ⇒ 2udu = −3sin xdx Khi x = ⇒ u = 2; x = D ∫ u du π ⇒ u =1 2 2 = u du u ∫ 31 Khi đó I = e Câu 99 Tích phân I = ∫ 8ln x + dx x A −2 B Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 13 C ln − D ln − 3 t3 13 Đặt = t 8ln x + ⇒= tdt dx Với x = ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = Vậy= I t = dt = ∫ x 41 12 [Phương pháp trắc nghiệm] e 8ln x + 13 13 Bấm máy tính I = ∫ Vậy đáp án là dx đáp số là x 6 Câu 100 Tích phân ∫x − x − dx có giá trị −1 A B 64 C D 12,5 Trang 59/80 (60) Hướng dẫn giải ∫ −1 5 x − x − dx = − ∫ ( x − x − 3) dx + ∫ ( x − x − 3) dx ∫ ( x − 3)( x + 1) dx = −1 −1 3 x3 x3 64 = − − x − x + − x − x = −1 3 Câu 101 Tìm a để ∫ (3 − ax)dx = −3 ? A Hướng dẫn giải B C D C −2 D 2 a 2 ∫1 (3 − ax)dx =−3 ⇔ 3x − x =−3 ⇔ a =4 Câu 102 Nếu ∫ k ( − x3 ) dx = −549 thì giá trị k là: B A ±2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 5 x4 −549 ( ) 549 4⇔k = k − x dx = − ⇔ k x − −549 ⇔ k = = ±2 = ∫2 −549 2 x −x+4 Câu 103 Tích phân ∫ dx x + 2 + ln 3 Hướng dẫn giải A x2 − x + ∫2 x + dx = B + ln C − ln D + ln 3 x2 ∫2 x − + x + dx = − x + ln x + = + ln [Phương pháp trắc nghiệm] x2 − x + Bước 1: Bấm máy tính để tính ∫ dx x +1 Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A 4 1 Vậy đáp án là + ln Bước 3: Bấm A − + ln = 3 2 Câu 104 Cho hàm số f liên tục trên thỏa f ( x) + f (− x) = + cos x , với x ∈ Giá trị π tích phân I = ∫ f ( x)dx là −π A B −7 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] π Ta có I = f ( x)dx ∫= − π ∫π − C D −2 π f ( x)dx + ∫ f ( x)dx (1) Trang 60/80 (61) Tính I1 = ∫π − f ( x)dx Đặt x =−t ⇒ dx =−dt ⇒ I1 = π π 2 0 ∫ f (−t )dt = ∫ f (− x)dx π π π π 2 2 0 0 ∫ [ f (− x) + f ( x)] dx= ∫ Thay vào (1), ta I= (1 + cos x = ) ∫ cos x dx= ∫ cos xdx= 2 122 Câu 105 Tìm m để ∫ (3 − x) dx = ? m A Hướng dẫn giải B A= ∫ (3 − x) dx =− m I VẬN DỤNG THẤP Câu 106 Giá trị tích phân I = ∫ π B Hướng dẫn giải dx là − x2 π D.2 1 122 (3 − x)5 = − (3 − 4)5 − (3 − 2m)5 = ⇒ m = m 10 10 4.3 TÍCH PHÂN A C C π D π π π π = x sin t , t ∈ − ; ⇒= dx cos tdt Đổi cận : x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = Đặt 2 π π cos t ∫ Vậy I = − sin t ∫ dt = π cos t dt = cos t π ∫ dt = t 06 = π −0 = π dx là + x2 Câu 107 Giá trị tích phân I = ∫ AI = π B I = Hướng dẫn giải 3π C I = π D I = 5π π π Đặt = x tan t , t ∈ − ; ⇒= dx (tan x + 1)dt 2 π π π tan t + Đổi cận x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = , suy ra= = I ∫ dt + t tan Câu 108 Giá trị tích phân I = −1 ∫ 5π 12 Hướng dẫn giải A I = = I −1 Câu 109 Tích phân = I ∫x −1 ∫ dt ∫= π dx là x + 2x + 2 B I = dx = ∫0 x + x + π C I = 3π 12 D I = π 12 dx Đặt x + =tan t + ( x + 1) x + 5dx có giá trị là Trang 61/80 (62) 10 10 10 10 B C D 7− 6− 6− 6− 9 9 Hướng dẫn giải Ta có t = x3 + ⇒ dt = x dx Khi x = thì t = ; x = thì t = A ∫x Vậy I = x + 5dx = Câu 110 Tích phân ∫ +1 6 dt 1 (t ) 10 dt = t = t = t t = 6− ( ) ∫ 3 35 +1 9 ∫ − x dx có giá trị là A π B Hướng dẫn giải π C π D π π π π Đặt = x 2sin t , t ∈ − ; Khi x = thì t = Khi x = thì t = 2 Từ = x 2sin t ⇒ dx= cos tdt Vậy ∫ π π 2 0 − x dx = ∫ − 4sin t cos tdt = ∫ cos tdt = π Câu 111 Tích phân I = ∫x x + 1dx có giá trị là −1 Hướng dẫn giải A B 2 −1 Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ x = t − ⇒ dx = = I Vậy t dt ∫= Câu 112 Tích phân = I C 2 −1 D −1 tdt x t3 2 −1 = 31 ∫x x + 1dx có giá trị là −1 28 Hướng dẫn giải A − Đặt t = B − 28 C 28 D 28 C 16 − 10 D 16 − 11 x + ⇒ t = x + ⇒ dx = 3t dt t7 t4 3 Vậy I = t t − dt = − − = ∫0 ( ) 28 7 40 x dx là ( x + 1) x + Câu 113 Giá trị tích phân I = ∫ 16 − 10 Hướng dẫn giải A Đặt t = B 16 − 11 x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx Trang 62/80 (63) ∫ Ta có I= (t − 1) t3 2 t3 16 − 11 1 2tdt= ∫ t − dt= − 2t − = t t 1 3 ∫ x (1 − x ) dx là Câu 114 Giá trị tích phân = I 167 Hướng dẫn giải B A 168 C 166 D 165 −dt Đặt t = − x3 ⇒ dt = −3 x dx ⇒ dx = , ta có 3x 1 6 t7 t8 t − t dt = t − t dt = ( ) ( ) − = ∫ ∫ 30 30 168 I= 2x2 + x −1 dx là x +1 Câu 115 Giá trị tích phân I = ∫ 53 Hướng dẫn giải B A Vậy I= ∫ ( t − 1) + ( t − 1) − t Câu 116 Giá trị tích phân I = ∫ π C 52 D 51 x + = t ⇒ x = t − ⇒ dx = 2tdt Khi x = t = 1, x = t = Đặt A 54 B − 2+2 Hướng dẫn giải Đặt = t 4t 128 54 2tdt= ∫ ( 2t − 3t ) dt= − 2t 12= − − 16 + 2= 5 3− x dx là 1+ x π − 2+2 C π − 3+2 D π − 3+2 π 3− x t dt ; đặt t = tan u ĐS: I = − + ⇒ = I 8∫ 2 1+ x (t + 1) 1 Chú ý: Phân tích I = ∫ Câu 117 Giá trị tích phân 3− x t dx , đặt = 1+ x ∫ ( x + 1) + x tính nhanh dx là 1 A 30 B 60 C 60 3 Hướng dẫn giải Đặt = u x + x = thì u = Khi x = thì u = du Ta có: du = 2dx ⇒ dx = u6 Do đó: ∫ ( x + 1) dx= (3 − 1)= 60 u du = = ∫ 21 12 12 Câu 118 Giá trị tích phân ∫x A ln 2 D 30 4x + dx là + x +1 B ln C ln D ln Trang 63/80 (64) Hướng dẫn giải Đặt u = x + x + Khi x = thì u = Khi x = thì u = Ta có: du = (2 x + 1)dx Do đó: ∫ 2du ln | u | = = 2(ln − ln1) = ln ∫1 u 4x + dx = x + x +1 Câu 119 Giá trị tích phân dx ∫ (2 x − 1) là 1 A B C Hướng dẫn giải Đặt = u x − Khi x = thì u = Khi x = thì u = du Ta có du = 2dx ⇒ dx = 2 dx du 1 Do đó ∫ = = − = − ( − 1) = 2 ∫ (2 x − 1) 21u 2u 3 Câu 120 Giá trị tích phân ∫ 3 A + 3ln Hướng dẫn giải Đặt u = D x −3 dx là x +1 + x + 3 B −3 + ln B + ln D −3 + 3ln x = ⇒ u =1 x + ⇒ u − = x ⇒ 2udu = dx ; đổi cận: x =3 ⇒ u = Ta có 2 x −3 2u − 8u = dx ∫0 x + + x + ∫1 u + 3u + 2du = ∫1 (2u − 6)du + 6∫1 u + 1du ( = u − 6u ) + ln u + 1 =−3 + ln 32 Câu 121 Giá trị tích phân: I = ∫ Hướng dẫn giải A ln − (1 + 2 x +1 1+ 2x ) B ln − dx là C ln − D ln − dx t − 2t ⇒ dx =(t − 1)dt và x = 1+ 2x Đổi cận: x t Đặt t =1 + + x ⇒ dt = Ta có 4 (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t − 2 = = = I dt dt t − + − dt 2 ∫ ∫ ∫ t t t t 22 22 2 = t2 2 − 3t + ln t + = ln − t 2 Trang 64/80 (65) ( x − 1)99 Câu 122 Giá trị tích phân: I = ∫ dx là 101 ( x + 1) 1 2100 − 1 900 Hướng dẫn giải B A 2101 − 1 900 99 C 299 − 1 900 99 D 100 dx x −1 7x −1 x −1 1 x −1 ⋅ I= d = ∫0 x + ( x + 1)2 = ∫ 2x +1 x + 100 x + 298 − 1 900 1 [ 100 ] = −1 900 x 2001 dx có giá trị là (1 + x )1002 Câu 123 Tích phân I = ∫ 2002.21001 Hướng dẫn giải A B 2 x 2004 = I ∫= dx x (1 + x )1002 Câu 124 Giá trị tích phân 2001.21001 ∫ 1002 x + 1 x 2π ∫ cos(3x − π C 2001.21002 D 2002.21002 dx Đặt t = + ⇒ dt = − dx x x 2π )dx là 3 3 B − C − 3 Hướng dẫn giải 2π π 2π 4π π Đặt = Khi x = thì u = , x = thì u = u 3x − 3 3 du Ta có du = 3dx ⇒ dx = Do đó: A − 2π ∫ π 4π D − 2 4π π 1 2π 1 4π 3 − sin =− − = − cos(3 x − )dx =∫ cos udu =sin u = sin π 3π 3 3 2 3 π Câu 125 Giá trị tích phân I = ∫ cos x cos xdx là A π Hướng dẫn giải B π π 2 π C π D π π 12 I= (1 + cos x) cos xdx =∫ (1 + cos x + cos x)dx ∫0 cos x cos xdx = ∫0 40 1 π = ( x + sin x + sin x) |π0 /2 = 4 π x sin x dx là + cos2 x Câu 126 Giá trị tích phân: I = ∫ Trang 65/80 (66) A π2 B Hướng dẫn giải π2 π x =π − t ⇒ dx =−dt ⇒ I =∫ π C (π − t ) sin t dt =π π π2 sin t ∫ + cos + cos t D t π2 dt − I π d (cos t ) sin t π2 π π dt I ⇒ 2I = π∫ = − π = π + ⇒ = ∫0 + cos2 t 4 + cos t π Câu 127 Giá trị tích phân = J ∫ ( sin x + 1) cos xdx là Hướng dẫn giải B A D C ln D ln D ln C π π 1 2 J = ∫ ( sin x + 1) cos xdx = sin x + sin x = 5 0 π Câu 128 Giá trị tích phân I = ∫ π sin x − cos x dx là + sin x ln Hướng dẫn giải A ln B Đặt t = + sin x ⇒ t =1 + sin x ⇒ 2tdt =2 cos xdx tdt ⇒= ⇒= dx I t ( cos x − s inx ) dt ∫ t= 1 ln t = ln( = 2) ln 2 π sin x dx là + 3cos x Câu 129 Giá trị tích phân I = ∫ ln Hướng dẫn giải A B ln C ln ln t −dt 1 Đặt t =+ 3cos x ⇒ dt =−3sin xdx ⇒ dx = ⇒ I = ∫ dt = = ln 3sin x 31t 3 Câu 130 Giá trị tích phân = I ∫ − cos3 x sin x.cos5 xdx là 21 A 91 Hướng dẫn giải B 12 91 C 21 19 D 12 19 Đặt t =6 − cos3 x ⇔ t =1 − cos3 x ⇒ 6t dt =3cos x sin xdx t t13 12 2t dt 6 I t t dt ⇒ dx = ⇒ = − = ( ) − = ∫0 cos x sin x 13 91 π cos x dx là (sin x + cos x)3 Câu 131 Giá trị tích phân I = ∫ Trang 66/80 (67) Hướng dẫn giải A = I B π π cos x dx ∫0= (sin x + cos x)3 4 C ∫ (tan x + 1) cos x D D dx Đặt = t tan x + π Câu 132 Giá trị tích phân I = sin xdx ∫ ( sin x + cos x) Hướng dẫn giải A π Đặt: x= Vậy I B là C − u ⇒ dx = −du Đổi cận: x = ⇒ u = π sin − u du 2 ∫0= π π − + − u u sin cos 2 2 π π 2 π ;x= π ⇒ u = cos xdx ∫ ( sin x + cos x ) π tan x − π dx sin x + cos x dx 4 Vậy: 2I = ∫ = ∫= = dx = ∫ 2 π (sin x + cos x) 2cos x − ( sin x + cos x ) 0 4 π π π 2 π Câu 133 Giá trị tích phân I = ∫ cos x sin xdx là A I = π 32 Hướng dẫn giải π B I = π 16 C I = π π π D I = π π 12 12 2 (1 cos x ) dx cos x sin 2 xdx = − + = I ∫= cos x sin xdx cos x sin xdx ∫ ∫ ∫ 16 40 40 π x sin x π =− + x sin = 24 32 16 64 π 4 6 Câu 134 Giá trị tích phân I = ∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x)dx là 32 π 128 Hướng dẫn giải A I = B I = 33 π 128 C I = 31 π 128 D I = 30 π 128 33 33 Ta có: (sin x + cos x)(sin x + cos x) = + cos x + cos8 x ⇒ I = π 64 16 64 128 π Câu 135 Giá trị tích phân I = ∫ sin x sin x + cos x B dx là A C D Trang 67/80 (68) Hướng dẫn giải π I=∫ sin x dt = dx Đặt t = − sin 2 x ⇒ I = ∫ − t t 1 − sin x 1 = π xdx là sin x + Câu 136 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π B I = π C I = π Hướng dẫn giải Đặt: x =π − t ⇒ dx =−dt Đổi cận: x = ⇒ t = π , x = π ⇒ t = 0 ⇒ I =− ∫ π π D I = π π π (π − t )dt t dt dt π π =∫ − I⇒I = −= dt π ∫ ∫ sin(π − t ) + sin t + sin t + sin t + sin t + t π d − π dt dt π π π π 4 t π = = tan − = π = π π ∫0 ∫0 ∫0 2 t 2 t 2 0 t t cos − cos − sin + cos 2 4 2 4 2 π π Tổng quát: π ∫ xf (sin x)dx = π π π ∫0 f (sin x)dx π sin 2007 x dx là 2007 2007 + x x sin cos Câu 137 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π B I = Hướng dẫn giải π π C I = π 3π D I = 5π π Đặt x = − t ⇒ dx =−dt Đổi cận x = ⇒ t = , x = ⇒ t = Vậy 2 π π sin 2007 − t cos 2007 t 2 I= dx = J (1) −∫ ∫0 sin 2007 t + cos2007 t dx = 2007 π 2007 π π sin − t + cos − t 2 2 π Mặt khác I + J= ∫ dx= π (2) Từ (1) và (2) suy I = π Tổng quát: π n sin x dx ∫0 sin n x + cosn x= π π cos n x dx , n ∈ + ∫0 sin n x + cosn x= π Câu 138 Giá trị tích phân ∫ cos11 xdx là 250 693 Hướng dẫn giải A B 254 693 C 252 693 D 256 693 π ∫ cos 11 xdx = 10!! 2.4.6.8.10 256 = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 Trang 68/80 (69) π Câu 139 Giá trị tích phân ∫ sin10 xdx là 67π 512 Hướng dẫn giải 61π 512 B A C 63π 512 D 65π 512 π xdx ∫ sin= 10 9!! π 1.3.5.7.9 π 63π = = 10!! 2.4.6.8.10 512 Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm): π π (n − 1)!! 2 n !! , neáu n leû n n cos xdx ∫= sin xdx ∫0 = − π n ( 1)!! , neáu n chaün n !! Trong đó: n!! đọc là n walliss và định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: = 0!! 1;= 1!! 1;= 2!! 2;= 3!! 1.3;= 4!! 2.4;= 5!! 1.3.5; = 6!! 2.4.6; = 7!! 1.3.5.7; = 8!! 2.4.6.8; = 9!! 1.3.5.7.9; = 10!! 2.4.6.8.10 dx là + ex Câu 140 Giá trị tích phân I = ∫ 2e A ln e +1 Hướng dẫn giải e B ln e +1 d (1 + e ex Vì = − ⇒ I =∫ dx − ∫ x x 1+ e 1+ e + ex 0 Câu 141 Giá trị tích phân I = ln ∫ e x dx ex −1 10 B e C ln e +1 x ) =1 − ln + e x 2e D ln e +1 2e =1 − ln(1 + e) + ln =ln e +1 là ln Hướng dẫn giải A C 20 D t 20 2tdt e − ⇔ t = e − ⇒ dx = ⇒ I = t + dt = ( ) +t = ∫1 ex 1 x Đặt t = x Câu 142 Giá trị tích phân = I ln ∫ e x − 1dx là B −π −π Hướng dẫn giải A C e x − ⇒ t = e x − ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx = Đặt t = −π D −π 2tdt 2tdt = ex t +1 2t −π ⇒= I ∫ dt = ∫ 1 − dt = t +1 t +1 0 Câu 143 Giá trị tích phân I = ln ∫ (e ex x + 1) dx là Trang 69/80 (70) A 2 − Hướng dẫn giải B C −1 D 2 − 2 −2 2tdt tdt 12 = −1 Đặt t = e + ⇔ t =e + ⇔ 2tdt =e dx ⇒ dx = x ⇒ I =2 ∫ =−2 e t t 2 x x Câu 144 Giá trị tích phân I = x e2 dx ∫ x ln x là e A ln Hướng dẫn giải B ln C ln 2 Đặt t = ln x ; x = e ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = ⇒ I= ∫ Câu 145 Giá trị tích phân: I = ln ∫e e dx −1 + ex − ln B 2ln3 – A ln − Hướng dẫn giải e x − , Khi x = Đặt= t 2x x ln ⇒ t = 0; x = D ln 2 dt = ln t 1= ln t là C ln − D ln − ln3 ⇒ t = 1; e x = t + ⇒ e x dx = 2tdt (t + 2)tdt 2t + d (t + t + 1) = ∫ (t − + I = 2∫ )dt = ∫ (t − 1)dt + ∫ t + t +1 t + t +1 t + t +1 0 0 = (t − 2t ) + 2ln(t2 + t + 1) = 2ln3 – 0 Câu 146 Cho M = ln ∫ 2e3 x + e x − dx Giá trị e M là e3 x + e x − e x + Hướng dẫn giải A B ln 2e3 x + e x − = ∫0 e3 x + e2 x − e x + dx = M ln ∫ = ln ∫ C 11 D 3e3 x + 2e x − e x − (e3 x + e x − e x + 1) dx e3 x + e x − e x + ln 3e + 2e − e 11 11 ln − 1dx = ln ( e3 x + e x − e x + 1) − x = ln ⇒ e M = 3x x x 4 e + e − e +1 3x 2x x e ln x + ln x dx x Câu 147 I = ∫ 3 5 − 8 Hướng dẫn giải A B e 3 − 8 e C 3 − 8 D 3 4 − 8 e ln x + ln x 2 3 d + ln x = ln + ln ln = + ln I= dx x xd x x ( ) ( ) ( ) ∫1 ∫ ∫ x 21 = ( + ln x ) e = 34 − 24 8 ln(1 + x) dx là + x2 Câu 148 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π ln Hướng dẫn giải B I = π ln C I = π ln D I = π ln Trang 70/80 (71) Đặt x =tan t ⇒ dx =(1 + tan t )dt Đổi biến: x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = π π ln(1 + tan t ) ∫0 + tan t (1 + tan t ) dt= 4 ⇒= I π ∫ ln(1 + tan t )dt π π π Đặt t = − u ⇒ dt =−du ; Đổi cận: t = ⇒ u = , t = ⇒ u = 4 π π ⇒ I =∫ ln(1 + tan t )dt =− ∫ ln 1 + tan − u du 4 π π π − tan u =+ ∫0 ln 1 + tan u du = ∫0 ln + tan u du = 4 Vậy I = π π 4 0 ∫ ln 2du − ∫ ln (1 + tan u ) du = π ln − I π ln Câu 149 Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f (− x) + f ( x) = cos x Giá trị tích phân π I= ∫π − f ( x)dx là Hướng dẫn giải A I = B I = C I = D I = π Xét tích phân= J ∫π − Đổi cận: x =− f (− x)dx Đặt x =−t ⇒ dx =−dt π π π π ⇒ t = , x = ⇒ t =− 2 2 π − π π 2 Suy ra: J = − ∫ f (t )dt = I ∫ f (− x )dx = ∫ f (t )dt = − π π 2 Do đó: 3I = J + I = − π π π π 2 ∫π [ f (− x ) + f ( x )] dx = ∫π cos xdx = 2∫ cos xdx = − − 2 II VẬN DỤNG CAO Vậy I = = f ( x) A sin π x + B , biết f '(1) = và ∫ f ( x)dx = Câu 150 Tìm hai số thực A, B cho A = −2 A B = − π Hướng dẫn giải A = B B = − π A = −2 C B = π A = − D π B = Trang 71/80 (72) '( x) A cos π x = f ( x) A sin π x + B ⇒ f= f '(1) = ⇒ Aπ cos π = ⇒ A =− π ∫ f ( x)dx = ⇒ ∫ ( A sin π x + B)dx = ⇒ − A π cos 2π + B + A π cos = ⇒ B = Câu 151 Giá trị a để đẳng thức ∫ a + (4 − 4a ) x + x dx = ∫ xdx là đẳng thức đúng A Hướng dẫn giải ∫ a 12= B a ∫x A D + (4 − 4a ) x + x dx= a x + (2 − 2a ) x + x ⇒ a= Câu 152 Giá trị = tích phân I π C B 4a Hướng dẫn giải dx ( a > 0) là + a2 π2 4a C − π2 4a D − π π Đặt x = a tan t ; t ∈ ; − ⇒ dx = a (1 + tan t )dt Đổi cận 2 2 π π 4a x = ⇒ t = π x = a ⇒ t = π π a (1 + tan t ) 14 = dt ∫0 a tan t + a a= ∫0 dt 4a Vậy = I π Câu 153 Giá trị tích phân I = ∫ A π Hướng dẫn giải B cos x dx là + cos x π 2 C 4π D −π x = ⇒ t = Đặt t= sin x ⇒ dt= cos xdx Đổi cận : π ⇒t = x = π Vậy I = ∫ cos x = dx + cos x dt ∫0= − 2t 2 dt −t ∫ π t =0→u = 3 Đặt t =cos u ⇒ dt = , suy − sin udu Đổi cận : 2 π t= → u= I = ∫ π dt = −t 2 π∫ sin udu = − cos u ) ( π du = π∫ π π u = π Trang 72/80 (73) dt Tích phân nào sau đây có giá trị với giá trị tích phân đã cho + t x Câu 154 Cho I = ∫ dt 1+ t dt 1+ t dt 1+ t dt 1+ t2 B ∫ A − ∫ x x x x D − ∫ C ∫ Hướng dẫn giải 1 1 Đặt u = ⇒ t = ⇒ dt =− du Đổi cận t = x ⇒ u = ; t =1 ⇒ u =1 t u u x 1 du 1 − x x dt du du dt dt − u = = = ⇒ = ∫x + t ∫1 ∫1 u + ∫1 u + ∫x + t ∫1 + t 1+ x x u π Câu 155 Giá trị tích phân I = ∫ π ln(sin x)dx là sin x A − ln + + π C − ln − − π π B ln + − D − ln + − Hướng dẫn giải u ln(sin x) ⇒= = du cot xdx dv = dx ⇒ v =− cot x sin x π π π π 2 I= ln(s in x ) dx = − cot x ln(sin x ) − cot xdx π ∫π sin x ∫ π 6 π π π 2 = − x − x − ln + − ln cot π = π 6 Câu 156 Giá trị tích phân I = ∫ {1, x } dx là A B Hướng dẫn giải C 3 D − Xét hiệu số − x trên đoạn [0; 2] để tìm {1, x } 2 x3 Vậy I = ∫ {1, x } dx = ∫ x dx + ∫ dx = + x1 = 3 0 Câu 157 Giá trị tích phân I = −3 ∫x −8 A ln Hướng dẫn giải dx 1− x B dx là C − ln D ln Trang 73/80 (74) x =−8 ⇒ t =3 Đặt t = − x ⇒ x =− t ⇒ dx = −2tdt Đổi cận x =−3 ⇒ t =2 −3 dx Vậy I ∫ dx = = x x − −8 3 tdt dt t +1 −2tdt 2∫ = 2= ln= ln ∫3 (1= ∫ 2 1− t t −1 − t )t (1 − t ) t a x3 − ln x Câu 158 Biết I= ∫ dx= + ln Giá trị a là 2 x A Hướng dẫn giải a I= ∫ C π B ln a D a x3 − ln x ln x dx = + ln = xdx − ∫ dx = + ln 2 ∫ x x 2 1 a2 1 = − − ln a + − 1 = + ln ⇒ a = a 2 a HD casio: Nhập ∫ Câu = 159 Cho I1 x − ln x dx − − ln = nên a = x π π sin x dx Khẳng định nào sau đây là sai ? (sin x + 2) 2 ∫ cos x 3sin x + 1dx , I = ∫ 14 Hướng dẫn giải A I1 = 3 B = I 2 ln + 2 B I1 > I D = I 2 ln − π = I1 ∫ cos x 3sin x + 1dx= ∫ t 14 dt = π sin x 1 I =∫ dx =2 ∫ − dt =2 ln − (sin x + 2) t t 2 Câu 160 Tất các giá trị tham số m thỏa mãn m là ∫ ( x + 5) dx = A m = 1, m = −6 −1, m = −6 B m = −1, m = C m = m 1,= m D = Hướng dẫn giải m ∫ ( x + 5) dx = ⇒ ( x m + x) = ⇒ m + 5m − = ⇒ m = 1, m = −6 Hướng dẫn casio: Thay m = và m = −6 vào thấy thỏa mãn π Câu 161 Cho hàm số h( x) = a cos x b cos x sin x Tìm để và tính = h ( x ) + = I ∫0 h( x)dx (2 + sin x) 2 + sin x (2 + sin x) 2 A a = −4, b = 2; I = + ln 3 C a= 2, b= 4; = I − + ln Hướng dẫn giải Sử dụng đồng thức, ta thấy B a =4, b =−2; I =− − ln 3 D a = −2, b = 4; I = + ln Trang 74/80 (75) b a = −4 sin x a cos x b cos x a cos x + b cos x(2 + sin x) =1 h( x)= + = = ⇒ 2 ⇒ 2 b=2 (2 + sin x) + sin x (2 + sin x) (2 + sin x) a + 2b = π π π −4 cos x cos x 2 Vậy ∫ h( x)dx = + = − + + dx x ln sin ∫0 (2 + sin x)2 + sin x + sin x 0 2 =− + ln + − ln = + ln 3 Câu 162 Giá trị trung bình hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ] , kí hiệu là m ( f ) tính theo công b thức m ( f ) = f ( x ) dx Giá trị trung bình hàm số f ( x ) = sin x trên [ 0; π ] là b − a ∫a A B π π C π D π Hướng dẫn giải π m( f ) = sin xdx = ∫ π −0 π π dx Câu 163 Cho ba tích phân I = ∫ = , J 3x + nào có giá trị A K Hướng dẫn giải 21 ? ∫ ( sin x − cos x ) dx và K= ∫ (x + x + 1) dx Tích phân −1 B I C J D J và K 1 dx 1 = I ∫ = ln x + 1= ln 3x + 0 π π 4 4 2 − = − J= sin x cos x dx ( ) ∫0 ∫0 ( cos x − sin x ) dx = K= ∫ (x + x + 1) dx= −1 21 Câu 164 Với < a < , giá trị tích phân sau a ∫x A ln a−2 2a − B ln dx dx là: − 3x + a−2 a −1 C ln a−2 ( a − 1) D ln a−2 2a + D − Hướng dẫn giải a a a dx x−2 a−2 ∫0 x − 3x + =∫0 x − − x − dx =ln x − =ln a − 1 x3 dx = Khi đó giá trị 144m − ( x + 2) Câu 165 Cho 3m − ∫ −2 Hướng dẫn giải A B − C Trang 75/80 (76) 1 d ( x + 2) 1 1 3.m − ∫ = ⇔ 3.m + = ⇔ 3m + − = ⇔ m = ( x + 2) ( x + 2) 12 −2 Vậy = 144m − 144 = −1 12 Câu 166 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm liên tục trên ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn f (a ) = f (b) Lựa chọn khẳng định đúng các khẳng định sau A b ∫ f '( x).e f ( x ) dx = B a C b ∫ b ∫ f '( x).e f ( x) dx = a f '( x).e f ( x ) dx = −1 D a b ∫ f '( x).e f ( x) dx = a Hướng dẫn giải b ∫e f ( x) a b b f '( x)dx = ∫ e f ( x ) d ( f ( x)) = e f ( x ) = e f (b ) − e f ( a ) = a a Câu 167 Kết phép tính tích phân I = ∫ dx có dạng = I a ln + b ln ( a, b ∈ ) Khi đó x 3x + a + ab + 3b có giá trị là A B Hướng dẫn giải C D 4 1 dx Ta có I = 2∫ 2 ln − ln , dt = − dt = ∫1 x 3x + = ∫ t −1 t −1 t +1 2 suy a = 2, b = −1 Vậy a + ab + 3b = − + = π ∫ (1 − cos x ) Câu 168 Với n ∈ , n ≥ , tích phân= I n sin xdx có giá trị 2n Hướng dẫn giải A n −1 B C π n +1 D n t n +1 = I= ∫0 (1 − cos x ) sin xdx = ∫0 t dt = n +1 n +1 n n π Câu 169 Với n ∈ , n > , giá trị tích phân ∫ A − π Hướng dẫn giải B π sin x dx là cos x + n sin x n n C 3π D − 3π π Đặt t = − x ⇒ dx =−dt Trang 76/80 (77) π ∫ π π − ∫ f sin − t dt = = f (sin x)dx = f t dt (cos ) ∫0 ∫0 f (cos x)dx π π ∫ π π sin x dx = I = n cos x + n sin x Câu 170 Giá trị tích phân 2017π ∫ π n ∫ dx ⇒ I = − cos 2xdx là B −4043 A 3034 Hướng dẫn giải ) Do hàm số f ( x= C 3043 − cos x là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T = π nên ta có T 2T 3T nT T 2T ( n −1)T f ( x)dx ∫= ⇒ nT ∫ f ( x)dx ∫= f (= x)dx ⇒ T ∫ )dx f ( x= ∫= f ( x)dx + ∫ 2T ∫ ∫ f ( x)dx + + T 2017π D 4034 f ( x)dx nT ∫ ( n −1)T T f (= x)dx n ∫ f ( x)dx π π 0 − cos xdx = 2017 ∫ − cos xdx = 2017 ∫ sin xdx = 4034 π (1 + sin x)1+ cos x Câu 171 Giá trị tích phân ∫ ln dx là + cos x A ln − B −2 ln − C ln − Hướng dẫn giải D −2 ln − π π π 2 0 1+ cos x ∫ ln(1 + sin x) − ln(1 + cos x) dx = ∫ (1 + cos x) ln(1 + sin x)dx − ∫ ln(1 + cos x)dx π π π Đặt x = − t ⇒ dx =−dt Đổi cận x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 2 π π π π I = ∫ ln (1 + cos x )dx = − ∫ ln 1 + cos − t dt = ∫ ln (1 + sin t )dt = ∫ ln(1 + sin x)dx π 0 2 π π π 2 ∫ (1 + cos x) ln(1 + sin x)dx − ∫ ln(1 + sin x)dx = ⇒ I= 0 ∫ cos x ln(1 + sin x)dx = ln − b Câu 172 Có giá trị b thỏa mãn ∫ (3 x − 12 x + 11)dx = A Hướng dẫn giải b ∫ (3x B − 12 x + 11)dx = ( x − x + 11x ) b Câu 173 Biết ∫ 6dx = và A C a b D b = = b − 6b + 11b − = ⇔ b = b = 3 ∫ xe dx = a Khi đó biểu thức b x + a + 3a + 2a có giá trị B C D Trang 77/80 (78) Hướng dẫn giải b +Ta có ∫ 6dx = ⇒ b = a +Tính ∫ xe x dx = u x= du dx Đặt Khi đó, ⇒ x = dx v e x dv e= a x x ∫ xe dx = xe a a − ∫ e x dx = e a − e a + = a ⇒ a = Vậy b + a + 3a + 2a = Câu 174 Biết a A 2π Hướng dẫn giải +Tính a ∫x bπ B dx ∫0 x + a = A , ∫0 2dx = B (với a, b > ) Khi đó giá trị biểu thức 4aA + 2b D 4π C 3π B π dx + a2 π π Đặt t = a tan x; a ∈ ; − ⇒ dx = a (1 + tan t )dt 2 2 π Đổi cận : x = ⇒ t = 0; x = a ⇒ t = +Tính: bπ ∫ 2dx = 2bπ , suy π Vậy π π a (1 + tan t ) 14 = dt ∫0 a tan t + a a= ∫0 dt 4a B =π 2b Trang 78/80 (79)