Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết - Đặng Việt Đồng

Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất.. A.?[r]

(1)

MỤC LỤC

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

(2)

BÀI TẬP

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM Câu 1: Cho hàm số f x  xác định \ 1  thỏa mãn  

1

f x

x

 

 ,

 0 2017

f 

, f  2 2018 Tính S f  3  f  1

A S 1 B Sln C Sln 4035 D S 4

Câu 2: Cho hàm số f x  xác định \      

 thỏa mãn   2

f x

x

 

 f 0 1 Giá trị biểu thức f  1  f  3

A 4 ln15 B 3 ln15 C 2 ln15 D ln15

Câu 3: Cho hàm số f x( ) xác định \      

 thỏa mãn ( ) 2

f x x

 

 , f(0)1 f(1)2 Giá trị biểu thức f( 1)  f(3)

A 4 ln 5 B 2 ln15 C 3 ln15 D ln15

Câu 4: Cho hàm số f x  xác định  thỏa mãn f x 2x1 f  1 5 Phương trình  

f x  có hai nghiệm x1, x2 Tính tổng S log2 x1 log2 x2

A S 1 B S2 C S0 D S 4

Câu 5: Cho hàm số f x( ) xác định \

3      

 thỏa mãn   ,  0

f x f

x

  



2

f   

 

Giá trị biểu thức f  1  f  3

A 3 5ln 2 B  2 ln C 4 5ln 2 D 2 5ln 2

Câu 6: Cho hàm số f x  xác định \2; 2 thỏa mãn   24 ;  3

f x f

x

   

 ;

 0

f 

và f  3 2 Tính giá trị biểu thức P f 4 f  1  f  4

A ln

25

P  B P 3 ln C ln5

P  D ln5

3

P 

Câu 7: Cho hàm số f x  xác định \2;1 thỏa mãn   2

f x

x x

 

  ; f 3 f  3 0  0

3

f  Giá trị biểu thức f 4 f  1  f  4

A 1 1ln

33 B 1 ln 80 C

1 ln ln

3

  D 1 1ln8

3



f x

x

 

 ; f 3 f  3 0

và 1

2

f   f  

    Tính giá trị biểu thức P f  0  f  4

A ln3

5

P  B ln3

5

P  C 1ln3

2

P  D 1ln3

2

P

Câu 9: Cho hàm số f x  xác định \ 1 thỏa mãn   21

f x

x

 

 Biết f 3 f  3 0

và 1

2

f   f  

   

Giá trị T  f 2 f  0  f  4 bằng:

A 1ln5

2

T   B 1ln9

2

T   C 1ln9

2

T   D 1ln9

2

(3)

Câu 10: Cho hàm số f x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn  2 15

f 

và     2 

2

f x  x f x  Tính f  1  f  2  f  3

A

15 B

11

15 C

11

30 D

7 30

Câu 11: Cho hàm số f x  xác định liên tục  Biết 6   

12 13

f x f x  x f  0 2 Khi phương trình f x 3 có nghiệm?

A 2 B 3 C 7 D 1

Câu 12: Cho hàm số f x  xác định  thỏa mãn f x  exex2, f  0 5

ln

f 

 

Giá trị biểu thức S f ln16 f ln 4

A 31

2

S  B

2

S  C

2

S  D f    0 f 1

Câu 13: Cho hàm số f x  liên tục, không âm đoạn 0; 

 

 

 

, thỏa mãn f  0  3và

    2 

cos

f x f x  x  f x , 0;

2

x  

   

  Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số f x  đoạn ;

6  

 

 

 

A 21

2

m , M 2 2. B

2

m , M 3

C

2

m , M  D m 3, M 2

Câu 14: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục và thỏa mãn f x 0,  x  Biết f 0 1  

 

'

2

f x

x

f x   Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f x  m có hai

nghiệm thực phân biệt

A me B 0m1 C 0me D 1me

Câu 15: Cho hàm số f x  liên tục  f x 0 với x     2 

f x  x f x

 1 0,

f   Biết tổng f  1 f 2 f  3 f 2017 a

b

     ; a,b với a

b

tối giản Mệnh đề đúng?

A a b  1 B a  2017; 2017. C a

b   D b a 4035

Câu 16: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện '    2 

2

f x  x f x  0

2

f   Biết tổng

 1  2 2017 2018 a

f f f f

b

     với a,b* a

b phân số tối giản Mệnh

đề sau đúng?

A a

b   B

a b 

(4)

Câu 17: Cho hàm số y f x ,  x 0, thỏa mãn        

   

2 3

0 0;

f x f x f x xf x

f f

       

  



  

 

Tính  1

f

A 2

3 B

3

2 C

6

7 D

7

Câu 18: Giả sử hàm số f x( ) liên tục, dương ; thỏa mãn f  0 1  

 

1

f x x

f x x

 

 Khi hiệu T  f 2 22f  1 thuộc khoảng

A 2; 3 B 7; 9 C 0;1 D 9;12

Câu 19: Khi    

1

2

0

tan

d d

cos f t

t f x x t





  Vậy  

1

0

d

f x x

 Cho hàm số y f x  đồng biến 0;; y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn  3

3

f 

     

'

f x  x f x

 

  Mệnh đề đúng?

A 2 

2613 f 2614 B 2 

2614 f  2615

C 2 

2618 f 2619 D 2 

2616 f 2617

Câu 20: Giả sử hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0;  thỏa mãn f 1 1,

   

f x  f x x , với x0 Mệnh đề sau đúng?

A 4 f  5 5 B 2 f  5 3

C 3 f  5 4 D 1 f  5 2

Câu 21: Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 2 f x .f x 15x412x,  x   0  0

f  f  Giá trị 2 

f

A 9

2 B

5

2 C 10 D 8

Câu 22: Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn    

1

d

5

f x x

x C

x x

  

 

 

 Nguyên

hàm hàm số f 2x tập  là:

A

 

3

2

x

C x

 

 B

3

x

C x

 

 C  

2

4

x

C x

 

 D  

2

8

x

C x

 



DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN

Câu 23: Cho  

5

2

d 10 f x x

 Kết  

2

5

2 4 f x dx

 

 

 bằng:

A 34 B 36 C 40 D 32

Câu 24: Cho hàm số f x  liên tục  F x  nguyên hàm f x , biết  

9

0

d

f x x



 0

F  Tính F 9

(5)

Câu 25: Cho  

2

0

d

I  f x x Khi  

2

0

4 d

J  f x   x bằng:

A 2 B 6 C 8 D 4

Câu 26: Cho

 

2

d 10 f x x 

 

2

d g x x 

Tính

   

4

2

3 d

I  f x  g x  x

A I 5 B I 15 C I  5 D I10

Câu 27: Giả sử

 

0

d 37

f x x



 

9

d 16

g x x



Khi đó,

 

0

2 ( ) d

I  f x  g x  x

bằng:

A I 26 B I 58 C I 143 D I 122

Câu 28: Nếu

 

1

d f x x 

,

 

2

d

f x x  

 

1

d f x x 

bằng

A 2 B 2 C 3 D 4

Câu 29: Cho

 

1

d f x x 

 

2

d

f x x  

Giá trị

 

1

d f x x 

bằng

A 1 B 3 C 1 D 3

Câu 30: Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;10  

10

0

d

f x x

  

6

2

d f x x

 Tính

   

2 10

0

d d

P f x x f x x

A P7 B P 4 C P4 D P10

Câu 31: Cho

 

0

d

f x x



,  

2

1

d f x x

 ,

 

0

d

f x x



?

A 6 B 2 C 1 D 3

Câu 32: Cho hàm số f x  liên tục  có  

1

0

d

f x x

 ;  

3

1

d f x x

 Tính  

3

0

d

I  f x x

A I 8 B I 12 C I 36 D I4

Câu 33: Cho

 

1

d f x x



 

 

1

d

g x x



  

Tính

   

2

1

2 d

I x f x g x x



   

A 11

2

I  B

2

I  C 17

2

I  D

2

I 

Câu 34: Biết

 

1

d

f x x  

;

 

1

d f x x 

;

 

1

d g x x 

Mệnh đề sau sai?

A  

8

4

d f x x

 B    

4

1

d 10 f x g x x

 

 



C  

8

4

d

f x x 

 D    

4

1

4f x 2g x dx 2

 

 



Câu 35: Cho hàm số f x  có f x liên tục đoạn 1; 3, f  1 3và

3

1

( ) d 10 f x x



 

 giá trị

của f  3

(6)

Câu 36: Cho

 

0

d

f x x



Tính

 

2

0

1 d

f x  x



?

A 4. B 5 C 7 D 1

Câu 37: Choy f x , yg x  hàm số có đạo hàm liên tục 0; 2    

2

0

d

g x f x x



,    

2

0

d

g x f x x

 Tính tích phân    

2

0

d

I  f x g x  x

A I  1 B I 6 C I 5 D I 1

Câu 38: Cho hai tích phân

 

2

d f x x



 

 

5

d

g x x







Tính    

5

2

4 d

I f x g x x



    

A I  11 B I 13 C I 27 D I 3

Câu 39: Cho hàm số  

4

f x  x  x  x  x , x  Tính    

1

d

f x f x x



A 2

3 B 2 C

2

 D 2

Câu 40: Cho hàm số f x  liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn  

6

0

10

f x dx

  

4

2

6 f x dx

 Tính

giá trị biểu thức    

2

0

P f x dx f x dx

A P4.` B P16 C P8 D P10

Câu 41: Cho hàm số f x  liên tục đoạn [0; 1] có  

1

0

3 2 f x dx5

 

 

 Tính  

1

0

f x dx



A 1 B 2 C 1 D 2

Câu 42: Cho hai hàm số f x  g x  liên tục đoạn [0; 1], có  

1

0

4

f x dx

  

1

0

2

g x dx 



Tính tích phân I f x 3g x dx

A 10 B 10 C 2 D 2

Câu 43: Cho hàm số f x ln x x21 Tính tích phân  

1

0

'

I  f x dx

A I ln B I ln 1  2 C I ln D I 2ln

Câu 44: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn [1; ln3] thỏa mãn  

f e ,

  ln

2

'

f x dx e

 Tính I  f ln 3

A I  9 2e2 B I 9 C I  9 D I 2e29

Câu 45: Cho hai hàm số y f x  y g x  có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn

   

0

'

f x g x dx

 ,    

1

0

'

f x g x dx 

 Tính    

1

/

0

I  f x g x  dx

(7)

Câu 46: Cho hàm số f x  liên tục 0; thỏa  

0

.cos x

f t dt x x

 Tính f  4

A f 4 123 B  4

3

f  C  4

4

f  D  4

4

f 

Câu 47: Cho hàm số f x  thỏa mãn  

2

.cos f x

t dt x x

 Tính f  4

A f 4 2 B f  4  1 C  4

2

f  D  

4 12

f 

Câu 48: Cho hàm số    

0

.cos x

G x t x t dt Tính '

G  

 

A '

2

G   

  B G'



 



 

  C G'



 



 

  D G' 2



 



 

 

2

0

cos x

G x   t dt (x0) Tính G' x

A  

' cos

G x  x x B G' x  cosx x. C G' x cosx D G' x cosx1

1

1 x

G x  t dt Tính G' x

A

2

1

x x



B

1x C

2

1 1x

D x2 1 x21

1

sin x

F x   t dt (x0) Tính F' x

A sinx B sin

2 x

x C

2sinx

x D sin x

Câu 52: Tính đạo hàm f x , biết f x  thỏa    

0

x

f t f x

t e dte



A f ' x  x B  

'

f x  x  C f ' x x

 D ' 

1

f x

x





Câu 53: Cho hàm số y f x  liên tục 0;     

2

0

d sin x

f t tx x

 Tính f  4

A  

4

f   B  

2

f   C  

4

f   D  

2

f  

Câu 54: Cho hàm số f x  liên tục khoảng 2; 3 Gọi F x  nguyên hàm f x  khoảng 2; 3 Tính

 

1

2 d I f x x x



   

, biết F 1 1 F 2 4

A I 6 B I 10 C I 3 D I 9

Câu 55: Cho

 

1

d f x x



 

 

1

d

g x x



  

Tính

   

2

1

2 d

I x f x g x x



   

A 11

2

I  B

2

I  C 17

2

I  D

2

I 

Câu 56: Cho

   

2

1

3f x 2g x dx1

 

 



,

   

2

1

2f x g x dx 3

 

 



Khi đó,

 

1

d f x x 

(8)

A 11

7 B

5

 C 6

7 D

16

Câu 57: Cho f x , g x  hai hàm số liên tục đoạn 1;1 f x  hàm số chẵn, g x  hàm số lẻ Biết  

1

0

d

f x x

 ;  

1

0

d

g x x

 Mệnh đề sau sai?

A  

1

d 10 f x x





 B    

1

d 10 f x g x x



 

 

 



C    

1

d 10 f x g x x



 

 

 

 D  

1

d 14 g x x







1

0

d

f x x

 ;  

1

0

d

g x x

A  

1

d 10 f x x





 B    

1

d 10 f x g x x



 

 

 



C    

1

d 10 f x g x x



 

 

 

 D  

1

d 14 g x x







Câu 59: Nếu

  10

0

d 17

f z z



 

0

d 12

f t t



  10

8

3f x dx





A 15 B 29 C 15 D 5

Câu 60: Cho

 

1

d f x x



 

,

 

1

d f t t



 

Giá trị

 

2

d f z z 

A 11 B 5 C 7 D 9

Câu 61: Cho hàm số y f x  liên tục, dương 0; 3 thỏa mãn  

3

0

d

I  f x x Khi giá trị tích phân     

3 ln

4 d f x

K  e  x là:

A 4 12e B 12 4e C 3e 14 D 14 3e

Câu 62: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  thỏa

   

       

0 1;

3 1, x,y

f f

f x y f x f y xy x y



 

  

       



 

Tính  

1

0

1 d

f x x



A 1

2 B

1

 C 1

4 D

7

Câu 63: Cho hàm số f x  hàm bậc thỏa mãn    

1

0

1 d 10

x f x x

 2f  1  f  0 2 Tính  

0 d

I  f x x

(9)

Câu 64: Cho hàm số f x  xác định \ 0 , thỏa mãn f  x 31 5

x x

 

 ,

 1

f a

f 2b Tính f  1  f  2

A f  1  f  2   a b B f  1  f  2 ab

C f  1  f  2 ab D f  1  f  2 ba

Câu 65: Cho hàm số f x  xác định \ 0  thỏa mãn f  x 21 4

x x

 

 ,

 1

f a

, f 2b Giá trị biểu thức f  1  f  2

A b a B a b C a b D  a b

Câu 66: Cho hàm số y f x  xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x 0 ,  x ;   2 

x

f x  e f x ,  x   0

f  Tính giá trị f ln 2

A ln 2

f  B ln 2

9

f   C ln 2

3

f  D ln 2

3

f 

Câu 67: Cho hàm số y f x  có đồ thị  C , xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x 0  x , f x x f x  2, x  f  0 2 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x1 đồ thị  C

A y6x30 B y 6x30 C y36x30 D y 36x42

Câu 68: Cho hàm số y f x 0 xác định, có đạo hàm đoạn 0;1 thỏa mãn:

   

0

1 2018 dt x

g x    f t ,   2 

g x  f x Tính  

1

0

d

g x x



A 1011

2 B

1009

2 C

2019

2 D 505

Câu 69: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;1, thỏa mãn f x 0, x  f ' x 2f x 0 Biết f 1 1, tính f  1

A  

1

f e

  B  

1

f  e C  

1

f  e D f  1 3

Câu 70: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f 0 9

   

9f x f x x 9 Tính T  f  1  f  0

A T  2 ln B T 9 C ln 2

T   D T  2 ln

Câu 71: Cho hàm số y f x  thỏa mãn    

4 '

f x f x  x x

Biết f  0 2 Tính  

2

f

A 2 2 313 15

f  B 2 2 332

15

f  C 2 2 324

15

f  D 2 2 323

15

f 

Câu 72: Cho f x( ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến 1; 4 thỏa mãn

       

2 , 1; ,

2

x xf x f x   x f  Giá trị f  4 bằng:

A 391

18 B

361

18 C

381

18 D

371 18

Câu 73: Cho hàm số y f x  có f x liên tục nửa khoảng 0; thỏa mãn    

3f x  f x  3.e  x

(10)

A    

1

e

2 e

f  f  



B    

2

1

e

4 e

f  f  



C      

2

3 e e

e

3

f  f     D e3f  1  f 0 e23 e2  3

Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f x  1, f  0 0 thỏa f x x2 1 2x f x 1 Tính  3

f

A 0 B 3 C 7 D 9

Câu 75: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện     2 

2

f x  x f x  0

2

f   Biết

tổng f  1 f  2 f  3 f 2017 f 2018 a

b

      với  *

,

a b a

b phân số

tối giản Mệnh đề sau đúng?

A a

b   B

a

b  C a b 1010 D b a 3029

Câu 76: Biết ln có hai số a b để  

4

ax b F x

x

 

 4ab0 nguyên hàm hàm số f x  thỏa mãn: 2f2 x F x 1 f x

Khẳng định đầy đủ nhất?

A a1, b4 B a1, b 1 C a1, b\ 4 . D a, b

Câu 77: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 1; 2 thỏa mãn f  1 4    

2

f x  xf x  x  x

Tính f  2

A 5 B 20 C 10 D 15

Câu 78: Cho   2

cos

x f x

x

 ; 2  

 



 

  F x  nguyên hàm xf  x

 thỏa mãn  0

F  Biết ; 2

a    

  thỏa mãn tana3 Tính   10

F a  a  a

A 1ln10

2

 B 1ln10

4

 C 1ln10

2 D ln10

Câu 79: Cho hàm số y f x  xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau  

f x  ,  x ,   2 

e x

f x   f x  x   0

f  Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 ln

A 2x9y2 ln 3 0 B 2x9y2 ln 3 0

C 2x9y2 ln 3 0 D 2x9y2 ln 3 0

Câu 80: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1, f x  f x nhận giá trị dương đoạn 0;1 thỏa mãn f  0 2,        

1

2

0

d d

f x f x x f x f x x

       

 

 

Tính  

1

3

0

d

f x x

 

 



A 15

4 B

15

2 C

17

2 D

(11)

Câu 81: Cho f x( )không âm thỏa mãn điều kiện

( ) '( ) ( )

f x f x  x f x  f(0)0 Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y f x( )trên 1; 3là

A 22 B 4 11 C 20 D 3 11

Câu 82: Cho hàm số f x  có đạo hàm đồng biến  thỏa mãn f  0 1  

f x 2 e f xx  , x  Tính tích phân  

1

0

f x dx



A e2 B e1 C e22 D e21

Câu 83: Cho hàm sốy f x  xác định liên tục \ 0  thỏa mãn

        2

2 1

x f x  x f x  xf x 

với  x \ 0 và f  1  2 Tính  

2

1

f x dx



A ln

2

  B ln

2

  C ln

2

  D ln

2

 

Câu 84: Cho hàm số y f x  Có đạo hàm liên tục  Biết f  1 e      

2

x f x  xf x x ,  x  Tính f  2

A

4e 4e4 B

4e 2e 1 C

2e 2e2 D

4e 4e 4

Câu 85: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  0 0 Biết

 

2

9 d

2

f x x

  

1

0

3 cos d

2

x

f x  x 

 Tích phân  

1

0

d

f x x



A

 B

4

 C

6

 D

2 

Câu 86: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 0; 1, thỏa mãn    

1

0

d d

f x x xf x x

 

 

2

0

d

f x x

 

 

 Giá trị tích phân  

1

3

0

d

f x x

 

 



A 1 B 8 C 10 D 80

Câu 87: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn f x 0 x1, 2 Biết  

2

1

' 10

f x dx

  

 

1

'

ln

f x

dx

f x 

 Tính f  2

A f 2  10 B f  2 20 C f  2 10 D f  2  20

Câu 88: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 4;8 f  0 0 với  x 4; 8 Biết  

 

4

1

f x

dx f x



 

  

 

 

  4 1,  8

4

f  f  Tính f  6

A 5

8 B

2

3 C

3

8 D

1

Câu 89: Cho hàm số f x  có đạo hàm xác định, liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 0  1 f x 2  f x Đặt T  f  1  f  0 , chọn khẳng định đúng?

(12)

Câu 90: Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp liên tục  thoả

 

   

2

0, ,

0 1,

,

f x x

f f

xy y yy x

  

 



 

 

 

   



 

Mệnh đề sau đúng?

A 1 ln  1

2  f  B   ln

2

f

  C 3 ln  1

2 f  D   ln

2

f

 

Câu 91: Cho f g, hai hàm liên tục 1; 3 thỏa mãn điều kiện    

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

 đồng

thời    

3

1

2f x g x dx6

 

 

 Tính    

3

1

d f x g x x

 

 



A 9 B 6 C 7 D 8

Câu 92: Cho hàm số y f x  liên tục a b; ,  d d

a

f x x

  d

d

b

f x x

 (với adb )  d

b

a

f x x



A 3 B 7 C 5

2 D 10

Câu 93: Cho f x  g x  hai hàm số liên tục đoạn 1; 3, thỏa mãn:

   

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

    

3

1

2f x g x dx6

 

 

 Tính    

3

1

d I f x g x  x

A I 8 B I 9 C I 6 D I 7

Câu 94: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x liên tục đoạn 0; 5 đồ thị hàm số y f x

trên đoạn 0; 5 cho hình bên

Tìm mệnh đề

A f  0  f  5  f  3 B f  3  f  0  f  5

C f  3  f  0  f  5 D f  3  f  5  f  0

Câu 95: Cho hàm số liên tục có đạo hàm đồng thời thỏa mãn điều kiện:

Khi đó, nằm khoảng nào?

A B C D

 

f x x0;

  sin '  cos

f x  x x f x  x  

3

2

sin d f x x x 



 

 f  

6; 7 5; 6 12;13 11;12

5 

3

x O

(13)

Câu 96: Cho hàm số f x  xác định 0; 

 

 

 

thỏa mãn

   

2

2 sin d

4

f x f x x x



 

   

    

 

 

 

2

0

d f x x 



A

4 

B 0 C 1 D

2 

Câu 97: Cho hàm số y f x( ) liên tục  thỏa mãn       2

3f x  f 2x 2 x1 ex x 4 Tính

tích phân  

2

0

d

I  f x x ta kết quả:

A I  e B I 8 C I 2 D I e

Câu 98: Suy    

2

0

4 f x dx 8  f x dx2 Cho hàm số y f x  liên tục \ 0; 1 thỏa mãn điều kiện f  1  2 ln      

1

x x f x  f x  x x Giá trị f  2 abln 3, với ,

a b Tính a2b2

A 25

4 B

9

2 C

5

2 D

13

Câu 99: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  f  x x4 22 2x x

     x f  1  1 Khẳng định sau đúng?

A Phương trình f x 0 có nghiệm 0;1

B Phương trình f x 0 có nghiệm 0;

C Phương trình f x 0 có nghiệm 1; 2

Hươngd dẫn giải Chọn C

 

2

f x x x

x

   

6

2

x x x  

  

2

1

x x

 

  ,  x

 

y f x

  đồng biến 0;  

f x

  có nhiều nghiệm khoảng 0;  1 Mặt khác ta có:

 

2

f x x x

x

     ,  x  

2

4

1

2 21

d d

5

f x x x x x

x

 



      

 

 

 2  1 21

f f

    2 17

5

f

 

Kết hợp giả thiết ta có y f x  liên tục 1; 2 f    2 f 0  2

Từ  1  2 suy phương trình f x 0 có nghiệm khoảng 1; 

Câu 100: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x liên tục  thỏa mãn f x   1;1 với 0; 2

x

  Biết f  0  f  2 1 Đặt  

2

0

d

I  f x x, phát biểu đúng?

(14)

Câu 101: Cho hàm số y f x  liên tục 0; 1 thỏa mãn  

1

0

d

xf x x

  

[0; 1]

max f x 1 Tích

phân  

1

0

ex d

I  f x x thuộc khoảng khoảng sau đây?

A ;

4

 

 

 

  B

3

; e

 



 

  C

5 ;

 



 

  D e 1;  

Câu 102: Cho hàm số f x  có đạo hàm dương, liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 1

       

1

2

0

1

3 d d

9

 

     

 

 

  Tính tích phân  

1

3

0

d

f x x

 

 

 :

A 3

2 B

5

4 C

5

6 D

7

Câu 103: Cho hai hàm số f x  g x  có đạo hàm đoạn 1; 4 thỏa mãn hệ thức

   

       

1

;

f g

g x x f x f x x g x

 

  

 

   

 

Tính    

4

1

d I f x g x  x

(15)

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM Câu 1: Cho hàm số f x  xác định \ 1  thỏa mãn  

1

f x

x

 

 ,

 0 2017

f 

,  2 2018

f 

Tính S  f  3  f  1

A. S 1 B S ln C Sln 4035 D S 4

Hươngd dẫn giải Chọn A

Cách 1: Ta có  d d ln 1

f x x x x C

x

   



 

Theo giả thiết f  0 2017, f  2 2018 nên    

   

ln 2017 ln 2018

f x x x

    

 

   

 

Do S  f  3  f  1 ln 2018 ln 2017   1

Cách 2:

Ta có:

0

1

3

2

1

(0) ( 1) '( ) ln | ln (1)

1

(3) (2) '( ) ln | ln (2)

dx

f f f x dx x

x dx

f f f x dx x

x



 



      



 

 

     

 



 

Lấy (1)+(2), ta f(3) f(2) f(0) f( 1) 0S 1

Câu 2: Cho hàm số f x  xác định \      

 thỏa mãn   2

f x

x

 

 f  0 1 Giá trị biểu thức f  1  f  3

A 4 ln15 B 3 ln15 C. ln15 D ln15

Ta có    

 

1

2

2 2

ln

2

d x

f x f x dx dx x c

x x

 

     

 

  

 0

f  c1  f x ln 2x 1

   

1 ln 3 ln

f f

  

  

 

 

 1  3 ln15

f f

    

 thỏa mãn ( ) 2

f x x

 

 , f(0)1 f(1)2 Giá trị biểu thức f( 1)  f(3)

A 4 ln 5 B 2 ln15 C. ln15 D ln15

Cách 1: • Trên khoảng 1;

 



 

 

: ( ) ln(2 1) 1

f x dx x C

x

   





Lại có f(1) 2 C12 • Trên khoảng ;1

2

 



 

 :

2

( ) ln(1 )

2

f x dx x C

x

   



(16)

Lại có f(0) 1 C2 1

Vậy

1 ln(2 1)

2 ( )

1 ln(1 )

2 x khi x f x

x khi x 

  

   

   

 

Suy f( 1)  f(3) 3 ln15 Cách 2:

Ta có:

0

1

3

1

2

(0) ( 1) '( ) ln | ln (1)

2

(3) (1) '( ) ln | ln (2)

dx

f f f x dx x

x dx

f f f x dx x

x



 



      



 

 

     

 



 

Lấy (2)-(1), ta f(3) f(1) f(0) f( 1) ln15 f( 1)  f(3) 3 ln15

Câu 4: Cho hàm số f x  xác định  thỏa mãn f x 2x1 f  1 5 Phương trình  

f x  có hai nghiệm x1, x2 Tính tổng S log2 x1 log2 x2

A. S 1 B S 2 C S 0 D S 4

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: f x  f x dx2x1 d xx2 x C

Mà    

1 1 3

f    C C   f x x  x

Xét phương trình:   5 2

2 x

f x x x x x

x             

  

2 2 2

log log log log

S  x  x    

 thỏa mãn   ,  0

f x f

x

  



2

f   

 

Giá trị biểu thức f  1  f  3

A. 5ln 2 B  2 ln C 4 5ln 2 D 2 5ln 2

Cách 1: Từ    

1

1 ln x ;

3

dx=

3 1

ln x ;

x C

f x f x

x x

x C

  

     

  

    

    

   

  





Ta có:

 

1

2

0

0 1

2

0 2

2 f

C C

f  

  

 



 

    

  

  

  

  

 

1 ln 1 x ;

3 ln x ;

3 x

f x

x

  

     

  

  

 

    

 

  



Khi đó: f  1  f  3 ln ln 8  2 3 ln 32 3 ln

Cách 2: Ta có

         

       

0

1

3

2

3 2

3

0 dx dx ln ln

3

2

3 dx dx ln ln

3

f f f x f x x

x

f f f x f x x

x

 





       



 

  

         



  



 

(17)

Lấy    2  , ta được:  3  1  0 ln 32  1  3 ln

f  f   f  f    f   f  

 

Câu 6: Cho hàm số f x  xác định \2; 2 thỏa mãn   24 ;  3

f x f

x

   

 ;

 0

f 

f  3 2 Tính giá trị biểu thức P f 4 f  1  f  4

A ln

25

P  B. P 3 ln C ln5

P  D ln5

3

P 

Hươngd dẫn giải Chọn B

Từ   24

f x

x

 

  

4

dx f x

x

 



  x 24dxx 2

 



 

1

2

3

2

ln ;

2

ln 2;

2

ln 2;

2

x

C x x

x

C x x

x

C x x

 

   

 



 

   

 

 

  

  

Ta có

     

3 0 2

f f f

 

 

 



 

1

3

ln

0

1

ln

5 C C

C 

   

   

   

1

ln

2 ln C

C C

     

   

 

f x



 

2

ln -ln5 ;

2

ln 2;

2

ln ln 2;

x

khi x x

x

khi x x

x

khi x x

 

  

 



 

   

 

 

   

  

Khi P f4 f  1  f  4 ln ln ln ln1 ln

        3 ln

f x

x x

 

  ; f 3 f  3 0  0

3

f  Giá trị biểu thức f 4 f  1  f  4

A. 1ln

33 B 1 ln 80 C

1 ln ln

3

  D 1 1ln8

3



 

1

f x

x x

 

      

 

1

2

3

1

ln ;

3

d d 1

ln 2;1

2

1

ln 1;

3

x

C khi x

x

x x x

f x C khi x

x x x x x

x

C khi x

x

 

   

 



 

      

     

 

  



 

 

Do  3  3 1ln 1 1ln2 3 3 1 1ln10

3

(18)

Và  0 1ln1 2 2 1ln

3 3 3

f   C  C  

 

1

ln ;

3

1 1

ln ln 2;1

3 3

1 1

ln ln10 1;

3

x

C khi x

x x

f x khi x

x x

C khi x

x

 

   

 



 

     

 

 

   



 

Khi đó:

      1

1 1 1 1 1

4 ln ln ln ln ln10 ln

3 3 3 3

f   f   f  C         C   

     

f x

x

 

 ; f 3 f  3 0

và 1

2

f   f  

    Tính giá trị biểu thức P f  0  f  4

A ln3

5

P  B ln3

5

P  C. 1ln3

2

P  D 1ln3

2

P

 

  

   

 

1

2

1

ln ; 1;

2

1 d d

1 1 1

ln 1;1

2

x

C khi x x

x x

f x

x x x x x

C khi x x

 

     

 



     

     

  

 



 

Ta có  3  3 1ln 1 1ln1 1 1

2 2

f   f   C  C  C 

Và 1 1ln 2 1ln1 2 2

2 2

f  f    C  C  C 

   

Suy  

   

 

1

ln ; 1;

2

1

ln 1;1

2

x

khi x x

f x

x

khi x x

 

    

 

  



   

 



Vậy P f  0  f  4 =1 1ln3



Câu 9: Cho hàm số f x  xác định \ 1 thỏa mãn   21

f x

x

 

 Biết f 3 f  3 0

và 1

2

f   f  

    Giá trị T  f 2 f  0  f  4 bằng:

A 1ln5

2

T   B. 1ln9

2

T   C 1ln9

2

T   D 1ln9

2

T 

Ta có  d 21 d

f x x x

x

 



  1 d

2 x x x

 

   

 

 

 1ln

2

x

C x



 

(19)

Do  

1

2

1

ln 1,

2

1

ln 1

2

x

C x x

x

C x

f

x x x



   

 

    

  

  

Do f 3 f  3 0 nên C10, 1

2

f   f  

   

nên C2 1

Nên  

1

ln 1,

2

1

ln 1

2

x

x x

x f



   

  

   

   

  

T  f 2 f 0  f  4 1ln9

 

Câu 10: Cho hàm số f x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn

 2 15

f      2 

2

f x  x f x  Tính f  1  f  2  f  3

A

15 B

11

15 C

11

30 D.

7 30

Hươngd dẫn giải Chọn D

Vì     2 

2

f x  x f x  f x 0, với x0; nên ta có  

 

2

f x

x

f x



  

Suy

 

1

4 x x C

f x    Mặt khác  

15

f  nên C3 hay   2

f x

x x



 

Do f  1  f  2  f 3 1 15 24

  

30



Câu 11: Cho hàm số f x  xác định liên tục  Biết 6   

12 13

f x f x  x f  0 2 Khi phương trình f x 3 có nghiệm?

A. B 3 C 7 D 1

Từ 6   

12 13

f x f x  x  f6 x f  x dx12x13dx  f6 x df x 6x213x C

 

2

6 13

f x

x x C

     0 2

7 f

C



 

Suy ra: 7 

42 91

f x  x  x

Từ f x 3 f7 x  218742x291x 2 2187   42x 91x 2185 *

   

Phương trình  * có nghiệm trái dầu ac0

Câu 12: Cho hàm số f x  xác định  thỏa mãn f x  exex2, f  0 5

ln

f 

  Giá trị biểu thức S f ln16 f ln 4

A 31

2

S  B

2

S  C.

2

S D f    0 f 1

(20)

Ta có f x  exex2 e e x

x  

2

e e

x x





 

  

  



Do  

2

1

2

2e 2e

x x

C x

f x

C x





  

  

   



Theo đề ta có f  0 5 nên 0

2e 2e C 5 C11

 

ln ln

2

ln 2e 2e

f 

    6

Tương tự ln1

f     nên

1

ln ln

4

2

2e 2e C

   

   

   



    C2 5

 

 ln16  ln16

2

ln16 2e 2e

f

 



     

2

 

Vậy  ln16 ln 4

S  f   f 

Câu 13: Cho hàm số f x  liên tục, không âm đoạn 0; 

 

 

 

, thỏa mãn f  0  3và

    2 

cos

f x f x  x  f x , 0;

2

x  

   

  Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số f x  đoạn ;

6  

 

 

 

A 21

2

m , M 2 2. B

2

m , M 3

C

2

m , M  D m 3, M 2

Từ giả thiết f x .f x cos 1x  f2 x

   

 

d sin

f x f x

x x C f x



  

 

Đặt 2  2 

1

t  f x t   f x t td  f x f    x dx

Thay vào ta dtsinx C  t sinx C  1 f2 x sinxC Do f  0  C2

Vậy 2  2 

1 f x sinx 2 f x sin x4 sinx3  

sin 4sin

f x x x

    , hàm số f x  liên tục, khơng âm đoạn 0; 

 

 

 

Ta có sin

6 x 2 x

 

     , xét hàm số  

4

g t t  t có hồnh độ đỉnh t 2 loại Suy    

1 ;1

1 max g t g

 

 

 

  ,  

1 ;1

1 21

2

g t g

 

 

 

    

 

   

 

cos



 



f x f x

x

(21)

Suy  

;

2 2

max f x f  



 

 

 

    

  , ;  

21

6

f x g

 



 

 

 

 

  

 

Câu 14: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục và thỏa mãn f x 0,  x  Biết  0

f   

 

'

2

f x

x

f x   Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f x m

có hai nghiệm thực phân biệt

A me B 0m1 C. 0me D 1me

Ta có  

  2

f x

x f x



   

 d 2 d

f x

x x x

f x



  

 

ln f x 2x x C

     f x A e 2x x Mà f  0 1 suy f x e2x x2

Ta có 2xx2  1 x22x1  1 x12 1 Suy 0e2x x e ứng với giá trị thực

t phương trình

2xx t có hai nghiệm phân biệt

Vậy để phương trình f x m có nghiệm phân biệt

0me e

Câu 15: Cho hàm số f x  liên tục  f x 0 với x     2 

f x  x f x

 1 0,

f   Biết tổng f 1 f  2 f  3 f 2017 a

b

     ; a,b với a

b

tối giản Mệnh đề đúng?

A a b  1 B a  2017; 2017 C a

b   D. b a 4035

Ta có     2 

f x  x f x  

   

2

f x

x

f x



    

   

2 d d

f x

x x x

f x



  

 

1

x x C f x

     Mà  1

2

f   nên C0  

1 1

1

f x

x x x x

    

 

Mặt khác  1  2  3 2017 1 1 1 1

2 2018 2017

f  f  f   f              

       

 1  2  3 2017 1 2017

2018 2018

f f f f 

         a 2017; b2018

Khi b a 4035

Câu 16: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện '    2 

2

f x  x f x  0

2

f   Biết tổng

 1  2 2017 2018 a

f f f f

b

     với a,b* a

b phân số tối giản

A a

b   B

a b

C a b 1010 D. b a 3029

(22)

Biến đổi '    2 

f x  x f x  

  '

2

f x x f x

    

   

'

2

f x

dx x dx

f x

  

   

2

1

3

3 x x C f x

f x x x C

       

  Mà  

2

f  nên 2 Do  

  

2

1

3 2

f x

x x x x

   

   

Khi a f  1 f  2 f 2017 f 2018

b     

1 1

2.3 3.4 2018.2019 2019.2020

 

      

 

1 1 1 1

2 3 2018 2019 2020

 

         

 

1 2020

 

   

 

1009 2020 



Với điều kiện a b, thỏa mãn toán, suy ra: 1009 2020 a

b    

 

3029 b a

  

Câu 17: Cho hàm số y f x ,  x 0, thỏa mãn        

   

2 3

0 0;

f x f x f x xf x

f f

       

  



  

 

Tính  1

f

A 2

3 B

3

2 C.

6

7 D

7

Ta có: f   x f x 2f x 2xf3 x 0      

 

2

3

f x f x f x

x f x

    

  

   

f x

x f x

       

 

   

2

f x x

C

f x



     

  2

0

f

C f



    C0

Do  

  2

2

f x x

f x



 

   

1

2

0

d d

2

f x x

x x

f x



  

 

1

3

0

1

6

x f x

 

    

     

1 1

1

f f

      1

f

 

Câu 18: Giả sử hàm số f x( ) liên tục, dương ; thỏa mãn f  0 1  

 

1

f x x

f x x

 

 Khi hiệu T  f 2 22f  1 thuộc khoảng

A 2; 3 B 7; 9 C. 0;1 D 9;12

Ta có  

 d

f x

x f x





 d

1

x x

x  

      

2

d

d 1

2

x f x

f x x

 



 

Vậy ln   1ln 1

(23)

Câu 19: Khi    

1

2

0

tan

d d

cos f t

t f x x t





  Vậy  

1

0

d

f x x

 Cho hàm số y f x  đồng biến 0;; y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn  3

3

f 

     

'

f x  x f x

 

  Mệnh đề đúng?

A. 2 

2613 f 2614. B 2 

2614 f  2615

C 2 

2618 f 2619. D 2 

2616 f 2617

Hàm số y f x  đồng biến 0; nên suy f x 0, x 0; Mặt khác y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0; nên

   1      1  

f x  x f x  f x  x f x

 

  ,  x 0;

 

   1

f x

x f x



   ,  x 0;;

 

   1

f x

dx x dx f x



      13

f x x C

    ;

Từ  3

f  suy 3 C 

Như    

2

1

3 3

f x  x   

 

 

Bởi thế:

   

2

3

1 8

8

3 3 3

f         

   

   

 

4

2

8 2613, 26

3

f  

     

 

 

Câu 20: Giả sử hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0;  thỏa mãn f  1 1,

   

f x  f x x , với x0 Mệnh đề sau đúng?

A 4 f  5 5 B 2 f  5 3

C. 3 f  5 4 D 1 f  5 2

Hươngd dẫn giải

Chọn C Cách 1:

Với điều kiện tốn ta có

   

f x  f x x  

 

   

1

d d

3

f x f x

x x

f x x f x x

 

   

   

 

     

1

d

3 d 3

f x

x x

f x





     ln  

3

f x x C

     

2 3

e x C

f x  

 

Khi  

4

3

1 e

3 C

f     C   

2

3

e x

f x  

     

4

5 e 3, 79 3;

f

    

(24)

Chú ý: Các bạn tính d

x x

 cách đặt t 3x1 Cách 2:

Với điều kiện tốn ta có

   

f x  f x x  

 

1

f x

f x x



 



   

5

1

d d

3

f x

x x

f x x



 



     

5

1

d 4

3

f x f x

  

 

1

4 ln

3 f x

   

 

5 ln

1

f f

       

4

5 e 3, 79 3;

f f

    

Câu 21: Cho hàm số f x  thỏa mãn      

15 12

f x  f x f x  x  x

 

  ,  x 

 0  0

f  f  Giá trị 2 

f

A 9

2 B

5

2 C 10 D.

Ta có: f x 2 f x f   x 15x412x,  x 

   

15 12

f x f x  x x

    ,  x     

f x f x x x C

   

Do f  0  f 0 1 nên ta có C11 Do đó:    

f x f x  x  x 

 

2

1

3

2 f x x x



 

    

   

2

4

f x x x x C

    

Mà f 0 1 nên ta có C2 1 Do 2 

4

f x  x  x  x

Vậy 2 

f 

Câu 22: Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn    

1

d

5

f x x

x C

x x

  

 

 

 Nguyên

hàm hàm số f 2x tập  là:

A

 

3

2

x

C x

 

 B

3

x

C x

 

 C  

2

4

x

C x

 

 D.  

2

8

x

C x

 



Theo đề ta có:

   

     

 2

1 3

d d

5

1 1 4

f x x x

x C f x x C

x

x x

    

      



  

 

Hay  d 22 3  d 2

4

t t

f t t C f t t C

t t

 



    

 

 

Suy      

 2

1 3

2 d d

2 2 8

x x

f x x f x x C C

x x

   

     

   

 

(25)

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN

Câu 23: Cho  

5

2

d 10 f x x

 Kết  

2

5

2 4 f x dx

 

 

 bằng:

A. 34 B 36 C 40 D 32

Tacó    

2 2

5 5

2 4 f x dx2 dx4 f x dx

 

 

      

5

2

2x f x dx 4.10 34         

Câu 24: Cho hàm số f x  liên tục  F x  nguyên hàm f x , biết  

9

0

d

f x x



và F 0 3 Tính F 9

A F 9  6 B F 9 6 C. F 9 12 D F 9  12

Ta có:    

9

9 0

d

I  f x xF x F 9 F 0 9  F 9 12

Câu 25: Cho  

2

0

d

I  f x x Khi  

2

0

4 d

J  f x   x bằng:

A 2 B. C 8 D 4

Ta có    

2 2

2

0 0

4 d d d 4.3

J  f x   x  f x x  x  x 

Câu 26: Cho  

4

2

d 10 f x x

  

4

2

d g x x

 Tính    

4

2

3 d

I  f x  g x  x

A. I 5 B I 15 C I  5 D I10

Có:    

4

2

3 d

I  f x  g x  x    

4

2

3 f x dx g x dx     

Câu 27: Giả sử  

9

0

d 37

f x x

  

0

9

d 16

g x x

 Khi đó,  

9

0

2 ( ) d

I  f x  g x  x bằng:

A. I 26 B I 58 C I 143 D I 122

Ta có:          

9 9

0 0

2 ( ) d d d d d 26

I  f x  g x  x f x x g x x  f x x g x x

Câu 28: Nếu  

2

1

d f x x

 ,  

5

2

d

f x x 

  

5

1

d f x x



A 2 B 2 C 3 D 4

Ta có      

5

1

3 f x dx  f x dx f x dx  

(26)

Câu 29: Cho  

2

1

d f x x

  

3

2

d

f x x 

 Giá trị  

3

1

d f x x 

A 1 B 3 C. 1 D 3

 

1

d f x x

    

2

1

d d

f x x f x x    1

Câu 30: Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;10  

10

0

d

f x x

  

6

2

d f x x

 Tính

   

2 10

0

d d

P f x x f x x

A P7 B P 4 C. P4 D P10

Ta có  

10

0

d

f x x

      

2 10

0

d d d

f x x f x x f x x

   

   

2 10

0

d d

f x x f x x

    

Vậy P4

Câu 31: Cho  

1

0

d

f x x

 ,  

2

1

d f x x

 ,  

2

0

d

f x x

 ?

A. B 2 C 1 D 3

     

2

0

d d d

f x x f x x f x x

  

Câu 32: Cho hàm số f x  liên tục  có  

1

0

d

f x x

 ;  

3

1

d f x x

 Tính  

3

0

d

I  f x x

A. I 8 B I12 C I 36 D I 4

 

0

d

I  f x x    

1

0

d d

f x x f x x

    2

Câu 33: Cho  

2

1

d f x x





  

2

1

d

g x x



 

 Tính    

2

1

2 d

I x f x g x x



   

A 11

2

I  B

2

I  C 17

2

I  D.

2

I 

Ta có:    

2

1

2

2 d d

1

2 2

x

I f x x g x x

 

      

  

Câu 34: Biết  

8

1

d

f x x 

 ;  

4

1

d f x x

 ;  

4

1

d g x x

(27)

A.  

4

d f x x

 B    

4

1

d 10 f x g x x

 

 



C  

8

4

d

f x x 

 D    

4

1

4f x 2g x dx 2

 

 



Ta có      

8

4 1

d d d

f x x f x x f x x    

  

Câu 35: Cho hàm số f x  có f x liên tục đoạn 1; 3, f  1 3và

3

1

( ) d 10 f x x



 

 giá trị

của f  3

A 13 B 7 C 13 D 7

Ta có

3

1

( ) d 10 f x x



 

 f x 31 10



   f  3  f  1 10  f  3  f  1 1013

Câu 36: Cho  

2

0

d

f x x

 Tính    

2

0

1 d

f x  x

 ?

A 4. B. C 7 D 1

Hươngd dẫn giải

Chọn B

Ta có      

2 2

0 0

1 d d d

f x  x f x x x  

  

Câu 37: Choy f x , yg x  hàm số có đạo hàm liên tục 0; 2

   

2

0

d

g x f x x

 ,    

2

0

d

g x f x x

 Tính tích phân    

2

0

d

I  f x g x  x

A I  1 B I 6 C. I 5 D I 1

Xét tích phân            

2

0

d d

I f x g x  xf x g x  f x g x  x

       

2

0

d d

g x f x x g x f x x

    

Câu 38: Cho hai tích phân  

5

2

d f x x





  

2

5

d

g x x





 Tính    

5

2

4 d

I f x g x x



    

A I  11 B. I 13 C I 27 D I 3

Ta có:    

5

2

4 d

I f x g x x



        

5

2

d d

f x x g x x x



 

     8 4.35213

4

f x  x  x  x  x , x  Tính    

1

d

f x f x x

(28)

A 2

3 B 2 C.

2

 D 2

Ta có        

1

2

0

d d

f x f x x f x f x 

   

1

0

3

f x

    

3

1

3

f  f



3

 

Câu 40: Cho hàm số f x  liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn  

6

0

10

f x dx

  

4

2

6 f x dx

 Tính

giá trị biểu thức    

2

0

P f x dx f x dx

A P4.` B P16 C P8 D P10

Hươngd dẫn giải:

Ta có:          

2 6

0

P f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

 

    

           

6 6

0 4

f x dx  f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

     

 

      10 6 4

Chọn A

Câu 41: Cho hàm số f x  liên tục đoạn [0; 1] có  

1

0

3 2 f x dx5

 

 

 Tính  

1

0

f x dx



A 1 B 2 C 1 D 2

Ta có:  

1

0

3 2 f x dx5

 

 

    

1 1

1

0 0

3dx f x dx 3x f x dx

       

   

1

0

2 f x dx f x dx

        

Chọn A

Câu 42: Cho hai hàm số f x  g x  liên tục đoạn [0; 1], có  

1

0

4

f x dx

  

1

0

2

g x dx 



Tính tích phân I f x 3g x dx

A 10 B 10 C 2 D 2

         

1 1

0 0

3 10

I f x  g x dx f x dx g x dx   

Chọn B

ln

f x  x x  Tính tích phân  

1

0

'

I  f x dx

A I ln B I ln 1  2 C I ln D I 2ln

Ta có:      

1 1

1 2

0

' ln ln

I  f x dx f x  x x   

(29)

Câu 44: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn [1; ln3] thỏa mãn  

f e ,

  ln

2

'

f x dx e

 Tính I  f ln 3

A I  9 2e2 B I 9 C I  9 D I 2e29

Ta có:        

ln

ln 2

1

' ln

f x dx f x  f  f  e

 (gt)

  2  

ln ln

f e e f

     

Chọn B

Câu 45: Cho hai hàm số y f x  y g x  có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn

   

0

'

f x g x dx

 ,    

1

0

'

f x g x dx 

 Tính    

1

/

0

I  f x g x  dx

A I  2 B I 0 C I 3 D I2

           

1

/

0

.g ' ' g

I f x x  dxf x g x  f x x dx

       

1

0

' ' 1

f x g x dx f x g x dx

    

Chọn B

Câu 46: Cho hàm số f x  liên tục 0; thỏa  

0

.cos x

f t dt x x

 Tính f  4

A f  4 123 B  4

3

f  C  4

4

f  D  4

4

f 

Ta có: F t  f t dt  F t'  f t 

Đặt        

2

0 x

G x  f t dtF x F

   2 /  2

'

G x F x  x f x

  

  (Tính chất đạo hàm hợp: f 'u x  f '   u u x ' ) Mặt khác, từ gt:    

2

0

.cos x

G x   f t dt x x

   

' cos ' sin cos

G x x x x x x

    

 2

2 x f x xsinx cosx

    (1)

Tính f  4  ứng với x2

Thay x2 vào (1) 4.f  4  2 sin 2  cos 2 1  4

f

 

Chọn D

Câu 47: Cho hàm số f x  thỏa mãn  

2

.cos f x

t dt x x

 Tính f  4

A f  4 2 B f  4  1 C  4

2

f  D  

4 12

f 

(30)

   

 

3

0

cos cos

3

f x f x

f x t

t dt    x xf x   x x 

   

3 cos 12

f x x x f

   

Chọn D

Câu 48: Cho hàm số    

0

.cos x

G x t x t dt Tính '

G 

 

A '

2

G   

  B G'



 



 

  C G'



 



 

  D G' 2



 



 

 

Cách 1: Ta có: F t t.cosx t dt  F' x t.cosx t 

Đặt        

0

.cos

x

G x t x t dt F x F

      /       /

' ' ' cos '

G x F x F F x F x x x x

            '

2

G  

  

 

Chọn B

Cách 2: Ta có    

0

.cos x

G x t x t dt Đặt u t dudt, dvcosxt dx chọn  

sin

v  xt

   0      0

0

.sin sin sin cos cos cos cos

x x

G x t x t x t dt x t dt x t x x

             

 

' sin ' sin

2

G x x G   

     

 

Chọn B

2

0

cos x

G x  t dt (x0) Tính G' x

A  

' cos

G x  x x B G' x 2 cosx x C G' x cosx D G' x cosx1

Ta có F t cos tdtF t' cos t      

2

cos

x

G x tdt F x F

    

   2   /  2 /   /  2 /  2

' 0 F'

G x F x F  F x  F F x  x x

          

2

2 cosx x cosx x

 

Chọn B

1

1 x

G x  t dt Tính G' x

A

2

1

x x



B

1x C

2

1 1x

D  

1

x  x 

Đặt F t  1t dt2 F t'  1t2

             

2

1 ' ' ' '

1 x

x G x t dt F x F G x F x F F x

x

        

 

(31)

1

sin x

F x   t dt (x0) Tính F' x

A sinx B sin

2 x

x C

2sinx

x D sin x

Đặt F t sint dt2 ,      

1

sin

x

G x   t dtF x F

           2 sin

' ' ' ' '.sin

2 x

G x F x F F x x x

x

     

Chọn B

Câu 52: Tính đạo hàm f x , biết f x  thỏa    

0

x

f t f x

t e dte



A f ' x  x B  

'

f x  x  C f ' x

x

 D ' 

1

f x

x





Đặt F t t e f t dtF t' t e f t         

0

x f t

G x t e dt F x F

   

     

' ' f x

G x F x e

   (gt) x e f x ef x      /

f x f x

x e e

   

   

         

' e '

f x f x f x

e x f x f x e

   '  '  ' 

1

x f x f x f x

x

    



Chọn D

Câu 53: Cho hàm số y f x  liên tục 0;     

2

0

d sin x

f t tx x

 Tính f  4

A  

4

f   B.  

2

f   C  

4

f   D  

2

f  

Ta có  f t dtF t  F t  f t 

Khi    

2

0

d sin x

f t t x x

    

2

0 sin

x

F t x x

   2    

0 sin

F x F x x

  

 2    

.2 sin cos

F x x x x x

    f x 2 2xsinxx.cosx

 4

f 

 

Câu 54: Cho hàm số f x  liên tục khoảng 2; 3 Gọi F x  nguyên hàm f x  khoảng 2; 3 Tính

 

1

2 d I f x x x



   

, biết F 1 1 F 2 4

A. I 6 B I 10 C I 3 D I 9

 

1

2 d I f x x x



    2 2

1

F x x

 

(32)

Câu 55: Cho

 

1

d f x x



 

 

1

d

g x x



  

Tính

   

2

1

2 d

I x f x g x x



   

A 11

2

I  B

2

I  C. 17

2

I  D

2

I 

Ta có:    

2

1

2 d

I x f x g x x



        

2 2

1 1

xdx f x dx g x dx

  

     

2

1

17

2

x



   

Câu 56: Cho

   

2

1

3f x 2g x dx1

 

 



,

   

2

1

2f x g x dx 3

 

 



Khi đó,

 

1

d f x x 

A 11

7 B.

5

 C 6

7 D

16

Đặt  

2

1

d

a f x x,  

2

1

d

b f x x, ta có hệ phương trình

2

a b a b

  



   

5 11

7 a b 

     

    Vậy  

2

1

5 d

7 f x x 



1

0

d

f x x

 ;  

1

0

d

g x x

A  

1

d 10 f x x





 B    

1

d 10 f x g x x



 

 

 



C    

1

d 10 f x g x x



 

 

 

 D.  

1

d 14 g x x







Vì f x  hàm số chẵn nên    

1

d d

f x x f x x





  2.510

Vì g x  hàm số lẻ nên  

1

d g x x







    

1

d 10 f x g x x



 

 

 

    

1

d 10 f x g x x



 

 

 



Vậy đáp án D sai

1

0

d

f x x

 ;  

1

0

d

g x x

A  

1

d 10 f x x





 B    

1

d 10 f x g x x



 

 

 

(33)

C    

1

d 10 f x g x x



 

 

 

 D.  

1

d 14 g x x







Vì f x  hàm số chẵn nên    

1

d d 2.5 10

f x x f x x



  

 

Vì g x  hàm số lẻ nên  

1

d g x x







    

1

d 10 f x g x x



 

 

 

    

1

d 10 f x g x x



 

 

 



Câu 59: Nếu

  10

0

d 17

f z z



 

0

d 12

f t t 



  10

8

3f x dx





A. 15 B 29 C 15 D 5

       

10 10

8

3 d d d 12 17 15

I   f x x   f x x f x x     

 

  

Câu 60: Cho

 

1

d f x x



 

,

 

1

d f t t



 

Giá trị

 

2

d f z z 

A 11 B 5 C. D 9

Ta có    

7

1

d d

f t t f x x

 



     

7

2

d d

f z z f x x

  nên      

7

1

d d d

f x x f x x f x x

 

 

  

Vậy  

7

2

d f z z



Câu 61: Cho hàm số y f x  liên tục, dương 0; 3 thỏa mãn  

3

0

d

I  f x x Khi

đó giá trị tích phân     

3 ln

4 d f x

K  e  x là:

A 4 12e B 12 4e C 3e 14 D 14 3e

Ta có          

3 3 3

3

1 ln ln

0

0 0 0

e f x d e f x d 4d e d 4d 4e | 4e 12

K    x  x x  f x x x  x  

Vậy K 4e 12

Câu 62: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  thỏa

   

       

0 1;

3 1, x,y

f f

f x y f x f y xy x y



 

  

       



 

Tính  

1

0

1 d

f x x

(34)

A 1

2 B

1

 C.

4 D

7

Lấy đạo hàm theo hàm số y

   

3

f x y  f y  x  xy,  x 

Cho    

0

y  f x  f  x  

1

f x x

  

Vậy f x  f x dxx3 x C mà f  0 1C1 suy  

f x  x  x

 

1

0

1 d

f x x

  

0

1

f x dx





  

0

1 x x dx



  

0

4

1

4

x x

x



 

   

 

1 1

   

4



Câu 63: Cho hàm số f x  hàm bậc thỏa mãn    

1

0

1 d 10

x f x x

 2f 1  f  0 2 Tính  

0 d

I  f x x

A I 1 B I 8 C I  12 D. I  8

Gọi f x axb, a0  f x a Theo giả thiết ta có:

+)    

1

0

1 d 10

x f x x

  

1

0

1 d 10

a x x

     

1

0

10 d

x x

a

   10 20

2 a a

   

+) 2f  1  f  0 2 20 b b

 

    

 

34

b

  

Do đó,   20 34

3

f x  x

Vậy  

0 d

I  f x x

0

20 34

d

3 x x

 

     

 



Câu 64: Cho hàm số f x  xác định \ 0 , thỏa mãn f  x 3 5

x x

 

 ,

 1

f a

 2

f  b

Tính f  1  f  2

A f  1  f  2   a b B f  1  f  2 ab

C. f  1  f 2 ab. D f  1  f  2 ba

Ta có  

 3  5

1

f x

x x

  

  

1

x x

 

  f x nên f x hàm lẻ

Do      

2

d d d

f x x f x x f x x



 

      

  

Suy f  1  f 2 f  2  f  1  f  1  f 2  f 2 f  1 ab

Câu 65: Cho hàm số f x  xác định \ 0  thỏa mãn f  x 2 4

x x

 

 ,

 1

f a

,  2

f  b

Giá trị biểu thức f  1  f  2

(35)

Ta có  

 2  4

1

f x

x x

  

  

1

x x



  f x nên f x hàm chẵn

Do    

1

2

d d

f x x f x x



  

 

Suy f  1  f  2  f  1  f 2 f 2 f  1  f  1  f  2

   

1

2

d d

f x x b a f x x



 

      b a

Câu 66: Cho hàm số y f x  xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện  

f x  ,  x ;   2 

x

f x  e f x ,  x   0

f  Tính giá trị f ln 2

A ln 2

f  B ln 2

9

f   C ln 2

3

f  D. ln 2

3

f 

  2  x

f x  e f x  

 

x

f x

e

f x



    

 

ln

2

0

d e dx

f x

x x

f x



     

  ln

ln

2 0

0

df x x e

f x

   

  ln

0

1

f x

   

   

1

1 ln

f f

  

 

1

3 ln f

  ln 2

f

 

Câu 67: Cho hàm số y f x  có đồ thị  C , xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x 0  x , f x x f x  2, x  f  0 2 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x1 đồ thị  C

A y6x30 B y 6x30 C. y36x30 D y 36x42

    2

f x  x f x  

  2

f x

x

f x



   

 

1

2

0

d d

f x

x x x

f x



   

 

1

2

0

d

3 f x x f x

 

 

0

1

3

f x

  

   

1 1

1

f f

   

 

1

1 f

   f  1 6  1 1  1 2 36

f  f 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập y36x30

Câu 68: Cho hàm số y f x 0 xác định, có đạo hàm đoạn 0;1 thỏa mãn:

   

0

1 2018 dt x

g x    f t ,   2 

g x  f x Tính  

1

0

d

g x x



A. 1011

2 B

1009

2 C

2019

2 D 505

Ta có    

0

1 2018 dt x

(36)

 

  2018

g x g x



   

 

0

d 2018 d

t t

g x

x x

g x 

     

0

2 2018

t

g x x

 

 

2 g t 2018t

   (do g 0 1)   1009

g t t

  

 

1

2

0

1009 1011

dt

2

g t  t t

    

 



Câu 69: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;1, thỏa mãn f x 0, x  f ' x 2f x 0 Biết f  1 1, tính f  1

A  

1

f  e B  

1

f  e C.  

1

f  e D f  1 3

Biến đổi:

     

 

   

 

   

1 1

1

1 1

' '

' f x f x df x ln

f x f x dx dx f x

f x  f x   f x 

              

   

 

     

4 4

1

ln 1

1

f f

e f f e e

f f



       

 

Câu 70: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f 0 9

   

9f x f x x 9 Tính T  f  1  f  0

A T  2 ln B T 9 C. ln 2

T   D T  2 ln

Ta có 9f x f x x2 99f x 1 f x x2  

 

1

9 f x

f x x  

  

 

 

 

Lấy nguyên hàm hai vế  

 

1

d d

9 '

f x

x x

f x x  

 



 

 

   1 9x C

f x x

  

 

Do f 0 9 nên

C suy  

f x x

x

  

  

9

f x x

x



  

 Vậy    

1

0

9

1 d

1

T f f x x

x

 

     



 



1

0

9 ln

x x

 

   

 

1 ln

2

 

Câu 71: Cho hàm số y f x  thỏa mãn    

4 '

f x f x  x x

Biết f  0 2 Tính  

2

f

A 2  313

2 15

f  B. 2  332

2 15

f  C 2  324

2 15

f  D 2  323

2 15

f 

Ta có

               

2

2 2

4 2

0

0 0

136 136

' '

15 15

f x f x f x x x  f x f x dx x x dx f x df x   

 

2

2 136 332

2

2 15 15

f



(37)

Câu 72: Cho f x( ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến 1; 4 thỏa mãn

       

2 , 1; ,

2

x xf x f x   x f  Giá trị f  4 bằng:

A. 391

18 B

361

18 C

381

18 D

371 18

Biến đổi:

   

2

x xf x  f x   x1 2 f x  f x 2  

 

   

1 1 2

f x f x

x x

f x f x



  

 

   

 

   

4

1

f x

dx xdx f x



 



   

4

14

3

f x

    4 14  4 391

3 18

f f

     

Chọn A

Chú ý: Nếu khơng nhìn ln  

   

4 4

1

1 2

f x

I dx f x

f x 

  



  2 f  4 2 ta có thể sử dụng kỹ thuật vi phân đổi biến (bản chất một)

+ Vi phân:  

 

   

4

1

'

1 2

f x df x

dx

f x f x



 

         

4

2

1

1 2

2 f x d f x f x



     

+ Đổi biến: Đặt t 2 f x   

1

t f x

   tdt  f x dx

với x  1 t 2 f 1 2;x  4 t 2 f  4

Khi

 

1

2

f tdt I

t



  

 

1

1 2

f

f dt t





  2 f 4 2

Câu 73: Cho hàm số y f x  có f x liên tục nửa khoảng 0; thỏa mãn    

3f x  f x  3.e  x

Khi đó:

A    

2

1

e

2 e

f  f  



B    

2

1

e

4 e

f  f  



C.      

2

3 e e

e

3

f  f     D      

e f  f  e 3 e  3

Ta có:    

2

2 e

3 3.e

e x x

x

f x  f x      3e3xf x e3xf x e2x e2x3

 

3 2

e xf x  e x e x

 

   

Lấy tích phân từ đến hai vế ta  

1

3 2

0

e x d e x e x d

f x  x x

   

 

 

   

1

3

0

1

e e

3

x x

f x

 

         

2

3 e e

e

3

f f   

(38)

Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f x  1, f  0 0 thỏa    

1

f x x   x f x  Tính  3

f

A 0 B. C 7 D 9

Ta có      

 

2

1

f x x

f x x x f x

f x x



     

 

 

     

3 3 3 3

2

2 0

0

2

d d 1 1

1

f x x

x x f x x f x

f x x



        

 

 

 3  0 1  3  3

f f f f

         

Câu 75: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện     2 

2

f x  x f x  0

2

f   Biết

tổng f  1 f  2 f  3 f 2017 f 2018 a

b

      với a, b* a

b phân

số tối giản Mệnh đề sau đúng?

A a

b   B

a

b  C a b 1010 D. b a 3029

Ta có     2 

f x  x f x  

 

2

f x

x

f x



  

 

 d 2 d

f x

x x x

f x



  

 

1

3 x x C f x

    

Vì  0 2

f   C

Vậy  

  

1 1

1 2

f x

x x x x

   

   

Do  1  2  3 2017 2018 1 1009 2020 2020

f  f  f   f  f    

Vậy a 1009; b2020 Do b a 3029

Câu 76: Biết ln có hai số a b để  

4

ax b F x

x

 

 4ab0 nguyên hàm hàm số f x  thỏa mãn: 2f2 x F x 1 f x

Khẳng định đầy đủ nhất?

A a1, b4 B a1, b 1 C. a1, b\ 4  D a, b

Ta có  

4

ax b F x

x

 

 nguyên hàm f x  nên      2

4

a b

f x F x

x

 

 

    3

2

b a

f x

x



 



Do đó: 2       

2f x  F x 1 f x  

   

2

4

2

1

4

a b ax b b a

x

x x

    

   



 

 

 

4a b ax b x

(39)

Với a1 mà 4a b 0 nên b4 Vậy a1, b\ 4 

Chú ý: Ta làm trắc nghiệm sau:

+ Vì 4a b 0 nên loại phương án A: a1, b4 phương án D: a, b + Để kiểm tra hai phương án lại, ta lấy b0, a1 Khi đó, ta có

 

4

x F x

x



 ,    2

4

f x x



 ,    3

8

f x

x

  



Thay vào 2       

2f x  F x 1 f x thấy nên

Chọn C

Câu 77: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 1; 2 thỏa mãn f  1 4    

2

f x  xf x  x  x

Tính f  2

A 5 B. 20 C 10 D 15

Do x1; 2 nên          

2 xf x f x f x

f x xf x x x x x

x x



   



         

 

 

3 f x

x x C x

   

Do f  1 4 nên C0   3

f x  x  x Vậy f  2  20

Câu 78: Cho   2

cos

x f x

x

 ; 2  

 



 

  F x 

nguyên hàm xf x thỏa mãn  0

F  Biết ; 2

a    

 

thỏa mãn tana3 Tính   10

F a  a  a

A 1ln10

2

 B 1ln10

4

 C. 1ln10

2 D ln10

Ta có: F x xf x dxx f xd   xf x  f x dx

Ta lại có:  d 2 d cos

x

f x x x

x



  =xd tan xxtanxtan dx x tan sin d cos

x

x x x

x

 

 

1

tan d cos

cos

x x x

x

   xtanxln cosx C F x  xf x xtanxln cosx C

Lại có: F 0 0C0, đó: F x  xf x xtanxln cosx     tan ln cos

F a af a a a a

   

Khi   2

cos

a f a

a

 a1 tan 2a 10a 12 tan2 cos a  a 10

2

cos

10

a

 

1 cos

10 a

 

Vậy   10

F a  a  a 10 ln 10

10

a a a a

     1ln10

2

(40)

Câu 79: Cho hàm số y f x  xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau  

f x  ,  x ,   2 

e x

f x   f x  x   0

f  Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 ln

A. 2x9y2 ln 3 0. B 2x9y2 ln 3 0

C 2x9y2 ln 3 0 D 2x9y2 ln 3 0

Ta có   2  e x

f x   f x  

 

2 e

x

f x



    

 

ln ln

2

0

d e dx f x

x x

f x       

 

     

ln

ln 0

1

ex

f x

 

  

 

   

1

1 ln

f f

   ln 2

f

 

Từ ta có   ln 2  ln e ln

f   f

2

1

3        

2

 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm 2 ln 2

9

y  x  2x9y2 ln 3 0

Câu 80: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1, f x  f x nhận giá trị dương đoạn 0;1 thỏa mãn f  0 2,

       

1

2

0

d d

       

 

  Tính  

1

3

0

d

f x x

 

 



A 15

4 B

15

2 C

17

2 D.

19

Theo giả thiết, ta có        

1

2

0

d d

       

 

 

       

1

2

0

d d

   

     

 

 

       

1

2

0

d

f x f x f x f x x

   

     

 

    

2

0

d

f x f x x

  

  

 

    

f x f x

   2   

f x f x

   

3

f x

x C

   Mà  0

f  C

Vậy 3 

3

f x  x

Vậy    

1

3

0 0

3 19

d d

2

x

f x x x x  x 

   

 

 

 

Câu 81: Cho f x( )không âm thỏa mãn điều kiện f x f x( ) '( )2x f2( ) 1x  f(0)0 Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y f x( )trên 1; 3là

A 22 B 4 11 C 20 D. 11

(41)

2

( ) '( ) ( ) '( )

( ) '( ) ( ) 2

( ) ( )

f x f x f x f x

f x f x x f x x dx xdx

f x f x

     

   

2

( )

f x x C

   

Với f(0) 0 C 1 f2( ) 1x  x2 1 f2( )x x42x2 g x( )

Ta có:  

'( ) 4 0, 1;

g x  x  x  x Suy g x( )đồng biến 1; 3

Suy ra: g(1)g x( ) f2( )x g 3  3 f2( )x 99f x( ) 0 3 f x( )3 11  1;3

3

min ( ) ( ) 11 f x

Max f x

 

  

 



Chú ý: Nếu khơng tìm được ln

2

( ) '( )

( ) ( )

f x f x

dx f x C

f x

  



 ta sử dụng kĩ thuật vi phân đổi biến (bản chất một)

+) Vi phân:      

1

2 2 2

2

( ) '( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )

f x f x f x

dx d f x f x d f x f x C

f x f x



      

 

  

+ Đổi biến: Đặt t f2( ) 1x  t2  f2( ) 1x  tdt f x f( ) '( )x dx

Suy ra:

2

( ) '( )

( ) ( )

f x f x tdt

dx dt t C f x C

t

f x

      



  

Câu 82: Cho hàm số f x  có đạo hàm đồng biến  thỏa mãn f  0 1  

f x 2 e f xx  , x  Tính tích phân  

1

0

f x dx



A e2 B. e1 C e22 D e21

Biến đổi f x 2 e f xx     

 

x f x

e f x



   

 

x f x

e f x 

   

 

x f x

dx e dx f x



 

 

   

1

2

x f x  df x e dx

  2   2

x f x e C

  

Vì f 0  1 C0  

x f x e

    x

f x e

 

Suy  

1

0 0

1 x

f x dx edxe  e

 

Câu 83: Cho hàm sốy f x  xác định liên tục \ 0  thỏa mãn        

2

2 1

x f x  x f x  xf x 

với  x \ 0 và f  1  2 Tính  

2

1

f x dx



A. ln 2

  B ln

2

  C ln

2

  D ln

2

 

Ta có 2       

2 1

(42)

   

h x h x  

 

2

h x

h x



   

 

2

h x

dx dx

h x



   

  dh x

x C

h x

  

 

1

x C h x

   

 

h x

x C

  

  

1

xf x

x C

   

 Vì f  1  2 nên 1

1 C

   

 C0

Khi xf x  1

x

   f x  12

x x

   

Suy ra:  

2

1

f x dx dx

x x

 

   

 

 

2

1

1 lnx x

 

  

 

1 ln 2

  

Câu 84: Cho hàm số y f x  Có đạo hàm liên tục  Biết f  1 e      

2

x f x xf x x ,  x  Tính f  2

A

4e 4e4 B

4e 2e 1 C

2e 2e2 D.

4e 4e 4

Ta có:      

x f x  xf x x xf   x x3 2  f x x

  

  e 2  e

x

x f x

x





 

  

 

Suy  

2

1

e

d e d

x

x f x

x x

x





 



 

 

 

   

2

e e

2

f f

 

 

     

   

2

1

e e

4

f f

 

   

 2 e  1 e

f f

      4e24e 4

Câu 85: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  0 0 Biết

 

2

9 d

2

f x x

  

1

0

3 cos d

2

x

f x  x 

1

0

d

f x x



A 1

 B

4

 C.

6

 D

2 

Ta có     

1

0

cos d cos d

2

x x

f x  x  f x

     

1 1

0

cos sin d

2 2

x x

f x f x x

  

 

 

0

sin d

2

x

f x x

 

 

Suy  

1

0

3 sin d

2

x

f x x







Mặt khác  

2

1

0

1

sin d 1- cos d

2 2

x

x x x



 

 

 

 

 

Do    

2

1 1

2

0 0

d 3sin d 3sin d

2

x x

f x x  f x x    x

 

(43)

hay  

2

0

3sin d

x

f x  x

 

 

 

 

 suy   3sin

2

x

f x  

Vậy  

1

0

6

d 3sin d cos

2

x x

f x x  x 

 

   

 

Câu 86: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 0; 1, thỏa mãn    

1

0

d d

f x x xf x x

 

 

2

0

d

f x x

 

 

 Giá trị tích phân  

1

3

0

d

f x x

 

 



A 1 B 8 C. 10 D 80

Xét    

1

2

0

d

f x  ax b x

 

 

        

1 1

2

0 0

d d d

f x x f x ax b x ax b x

       

     

1

3

0 0

1

4 d d

3

a xf x x b f x x ax b a

        

2

4

3 a

a b ab b       Cần xác định a b, để  

2

3 a

b a b b       Ta có: 4 4 2 4

3

b b b b

        

2

b  

  b 2 a 6

Khi đó:    

1

2

0

6 d

f x   x x

 

 

  f x 6x2

Suy    

1

3

0

d d

f x x x x

 

 

   

1

0

1

6 10

24 x

  

Câu 87: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn f x 0 x1, 2 Biết  

2

1

' 10

f x dx

  

 

1

'

ln

f x

dx

f x 

 Tính f  2

A f  2  10 B f  2  20 C f  2 10 D f  2  20

Ta có:        

2

2 1

' 10

f x dx f x  f  f 

 (gt)

 

       

   

2 1

'

ln ln ln ln ln

1

f x f

dx f x f f

f x         f 

 (gt)

Vậy ta có hệ:

   

2 10

2 20

2 10

1

f f

  

 

 



 

  

 



Chọn B

Câu 88: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 4;8 f  0 0 với  x 4; 8 Biết  

 

4

1

f x

dx f x



 

  

 

 

  4 1,  8

4

(44)

A 5

8 B

2

3 C

3

8 D.

1

+) Xét  

 

         

8

2

4

8

1 1

2

4

f x df x dx

f x f x f x f f

 



         

 

 

 

+) Gọi k số thực, ta tìm k để  

 

2

0

f x

k dx

f x

  

 

 

 



Ta có:  

 

   

 

   

2

8 8

2

4

2

4 4

2 4

f x

f x f x

k dx dx k dx k dx k k k

f x f x f x



 

     

        

 

 

   

   

Suy ra:

k    

 

   

8 6

2 2

4 4

1 1

0

2 2

f x f x f x

dx dx dx

f x f x f x

    

     

 

 

  

 

           

6

1 1 1

1 1

4 6

df x

f

f x f x f f f

            

Chú ý:   b

a

f x dx

 không phép suy f x 0,    

0

b k

a

f x dx  f x 



Câu 89: Cho hàm số f x  có đạo hàm xác định, liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 0  1 f x 2  f x Đặt T  f  1  f  0 , chọn khẳng định đúng?

A  2 T  1 B.  1 T 0 C 0T 1 D 1T 2

Ta có: T  f  1  f 0  

1

0

d

f x x



Lại có: f x 2  f x    

1 f x

f x     

  

   

1

f x 

 

     

 

 

1 x c

f x    

  

1

f x

x c



 

 

Mà f 0  1 nên c 1 Vậy  

1

0

d

T  f x x

0

1 d x

x

  

  ln  x 110  ln

Câu 90: Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp liên tục  thoả

 

   

2

0, ,

0 1,

,

f x x

f f

xy y yy x

  

 



 

 

 

   



 

A 1 ln  1

2 f  B   ln

2

f

  C 3 ln  1

2 f  D.   ln

2

f

 

(45)

Ta có xy2y2  yy

2

y y y x y

  

  y x

y

 

 

  

 

2

2 y x

C y



   hay  

 

2

f x x

C f x



 

Lại có f  0  f 0 1C1 Ta có  

 

1

f x x

f x



   

 

1

0

d d

2

f x x

x x

f x

  

    

 

  ln  10

6

f x

  ln  1

6

f

 

 

1 ln

f

  

Câu 91: Cho f g, hai hàm liên tục 1; 3 thỏa mãn điều kiện    

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

 đồng

thời    

3

1

2f x g x dx6

 

 

 Tính    

3

1

d f x g x x

 

 



A 9 B. C 7 D 8

Đặt  

3

1

d

a f x x,  

3

1

d

bg x x Khi    

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

 a3b10,

   

3

1

2f x g x dx6

 

 

 2a b 6

Do đó: 10

2

a b a b

  



  

4 a b

   

 

Vậy    

3

1

d f x g x x

 

 

 a b 6

Câu 92: Cho hàm số y f x  liên tục a b; ,  d d

a

f x x

  d

d

b

f x x

 (với

ad b)  d b

a

f x x



A. B 7 C 5

2 D 10

   

d

d d

a d

b

f x x

f x x 

 

 

 

   

   

5

F d F a

F d F b

 

   

 

 

     d

b

a

F b F a f x x

   

Câu 93: Cho f x  g x  hai hàm số liên tục đoạn 1; 3, thỏa mãn:

   

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

    

3

1

2f x g x dx6

 

 

 Tính    

3

1

d I f x g x  x

A I 8 B I 9 C. I 6 D I7

(46)

Ta có:

   

3

1

3 d 10

2 d

f x g x x

f x g x x 

 

 

  

 

    

 

   

   

1

d

d f x x

g x x 

 

  

 

   

   

3

1

d I f x g x x     

Câu 94: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x liên tục đoạn 0; 5 đồ thị hàm số  

y f x đoạn 0; 5 cho hình bên

Tìm mệnh đề

A f  0  f  5  f  3 B f  3  f  0  f  5

C. f  3  f  0  f  5 D f  3  f  5  f  0

Ta có      

5

3

d

f x x f  f 

 , f  5  f  3

     

3

0

d 0

f x x f  f 

 , f  3  f  0

     

5

0

d 0

f x x f  f 

 , f  5  f  0

Câu 95: Cho hàm số f x  liên tục có đạo hàm x0; đồng thời thỏa mãn điều kiện:   sin '  cos

f x  x x f x  x  

3

2



 

 Khi đó, f   nằm khoảng nào?

A 6; 7 B. 5; 6 C 12;13 D 11;12

Ta có:

  sin   cos

f x  x x f x  x

   

2

sin cos

f x xf x x x

x x x

 

   f x  1cosx f x  1cosx c

x x x x

 

   

      

 

    cos

f x x cx

  

Khi đó:

 

2



 

  

3

2

cosx cx sin dx x 



    

5 

3

x O

(47)

3

2

cos sin dx x x c xsin dx x

 

      0c2 4  c    cos

f x x x

    f   2  1 5; 6

Câu 96: Cho hàm số f x  xác định 0; 

 

 

 

thỏa mãn

   

2

2 sin d

4

f x f x x x



 

   

    

 

 

 

2

0

d f x x 



A

4 

B. C 1 D

2 

Ta có:

2

2 sin d

4

x x



  

     

2

0

1 cos d

2

x x



         

 

 

  

2

0

1 sin 2x dx 

 

2

0

1 cos 2

x x



 

  

 

2 



Do đó:    

2

2 sin d

4

f x f x x x



  

   

 

 

 



2

2 sin d

4

x x



        

 2

2

 

 

  

   

2

0

2 sin sin d

4

f x f x x x x



 

    

         

   

 



 

2

0

2 sin d

4

f x x x



  

        

 



Suy   sin

f x  x

  , hay f x  sin x 

 

   

 

Bởi vậy:  

2

0

d sin d

4

f x x x x

 

        

 

2

0

2 cos

4

x

 

 

     

 

Câu 97: Cho hàm số y f x( ) liên tục  thỏa mãn       2

3 2 ex x

f x  f x  x    Tính

tích phân  

2

0

d

I  f x x ta kết quả:

A I  e B I 8 C I 2 D I e

Đềban đầu bị sai thay x0 x2 vào ta thấy mâu thuẫn nên sửa lại đề

Theo giả thuyết ta có        

2

0

3f x  f 2x dx 2 x1 ex x 4 d x *

 

   

 

Ta tính        

2 2

0 0

2 d d d

f x x  f x x  f x x

(48)

Vì      

2

0

3f x  f 2x dx4 f x dx

 

 

 

Hơn   2  

2 2

0

2 x x d ex x d ex x

x e   x   x  x    

 

2

0

4dx8



Câu 98: Suy    

2

0

4 f x dx 8  f x dx2 Cho hàm số y f x  liên tục \ 0; 1 thỏa mãn điều kiện f  1  2 ln      

1

x x f x  f x  x x Giá trị f 2 abln 3, vớia b,  Tính a2b2

A 25

4 B.

9

2 C

5

2 D

13

Từ giả thiết, ta có      

x x f x  f x  x x   

 2  

1

1 1

x x

f x f x

x x x

  

  

 

1

x x

f x

x x



 

  

 

 

, với  x \ 0; 1 Suy  

1

x f x

x 1d

x x x

 

 hay  

x f x

x xln x 1 C Mặt khác, ta có f  1  2 ln nên C 1 Do  

1

x f x

x xln x 1 Với x2  2 ln

3 f     

3

2 ln

2

f   Suy

a

2

b 

Vậy 2

2

a b 

Câu 99: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  f  x x4 22 2x x

     x f  1  1

Khẳng định sau đúng?

A Phương trình f x 0 có nghiệm 0;1

B Phương trình f x  có nghiệm 0;

C.Phương trình f x 0 có nghiệm 1; 2

 

2

f x x x

x

   

6

2

x x x  

  

2

1

x x

 

  ,  x

 

y f x

  đồng biến 0;  

f x

  có nhiều nghiệm khoảng 0;  1 Mặt khác ta có:

 

2

f x x x

x

     ,  x  

2

4

1

2 21

d d

5

f x x x x x

x

 



      

 

 

 2  1 21

f f

    2 17

5

f

 

(49)

Từ  1  2 suy phương trình f x 0 có nghiệm khoảng 1; 

Câu 100: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x liên tục  thỏa mãn f x   1;1 với 0; 2

x

  Biết f  0  f  2 1 Đặt  

2

0

d

I  f x x, phát biểu đúng?

A I  ; 0 B I0;1 C. I1; D I0;1

Ta có      

2

0

d d d

I  f x x f x x f x x

               

1 1

1

0 0

1

d 1 d 1 d 1 d

2

f x x x f x  x f x x  x f x x  x x

     1

             

2 2

2

1 1

d 1 d 1 d

f x x x f x  x f x x  x f x x

    

2

1

1 d

2 x x

     2 Từ  1  2 suy 1

2

I   

Câu 101: Cho hàm số y f x  liên tục 0; 1 thỏa mãn  

1

0

d

xf x x

  

[0; 1]

max f x 1 Tích

phân  

1

0

ex d

I  f x x thuộc khoảng khoảng sau đây?

A ;

4

 

 

 

  B

3

; e

 



 

  C.

5 ;

 



 

  D e 1;  

Với a0;1, ta có  

1

0

0xf x dx  

0

d

a xf x x

   

1

0

d

axf x x



Kí hiệu    

1

0

ex d

I a  ax x

Khi đó, với a0;1 ta có  

1

0

exf x dx

    

1

0

exf x dx axf x dx

      

1

0

ex ax f x dx   

 

0

ex ax f x dx

 

   

1

0;1

ex max d x

ax f x x



   

1

0

ex ax xd I a

  

Suy  

   

1

0;1

ex d a

f x x I a



 

Mặt khác

Với a0;1 ta có    

1

0

ex d ex d

I a  ax x ax x

1

0

e

x a

x

 

  

 

e

2

a

  

0;1  

3

min e

2

a I a    

1

0

3

e d e 1, 22

2 x

f x x

     Vậy 3;

4

I  

(50)

Câu 102: Cho hàm số f x  có đạo hàm dương, liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  0 1

       

1

2

0

1

3 d d

9

 

     

 

 

1

3

0

d

f x x

 

 

 :

A 3

2 B

5

4 C

5

6 D.

7

Từ giả thiết suy ra:

   

     

1 2

0

3 f x f x 2.3 f x f x dx

   

  

 

 

    

1 2

0

3 f x f x dx

  

  

 



Suy f   x f x  1    

3

f x f x

    2 

9

f x f x

 

Vì f3 x   3.f2   x f x nên suy 3 

f x 

  

   

3

f x x C

  

Vì f  0 1 nên 3 

f  C1

Vậy 3  1

f x x

   Suy  

1

3

0

d

f x x

 

 



1

0

1

1 d 3x x

 

    

 



Câu 103: Cho hai hàm số f x  g x  có đạo hàm đoạn 1; 4 thỏa mãn hệ thức

   

       

1

;

f g

g x x f x f x x g x

 

  

 

   

 

Tính    

4

1

d I f x g x  x

A. 8ln B 3ln C 6 ln D 4 ln

Cách1: Ta có f x g x  x f  x g x     

   

1

f x g x

f x g x x



  

  

   

1

d d

f x g x

x x

f x g x x



  

  

  ln f x g x   ln x C

Theo giả thiết ta có Cln 1ln f  1 g 1 Cln

Suy

   

4 f x g x

x f x g x

x 

 

 

    

, f  1 g 1 4nên f x  g x  x

 

   

4

1

d ln I f x g x x

    

Cách2: Ta có f x g x  x f  x g x 

    d     d

f x g x x x f x g x x

       

    d         d

f x g x x x f x g x f x g x x

         

        C

x f x g x C f x g x

x

         Vì f 1 g 1  CC 4 Do f x  g x 

x

  Vậy    

4

1

(51)

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

BÀI TẬP

Câu 188 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x liên tục 0;  f  2 3,  

2

0

d

f x x



Tính  

2

0

d

x f x x



A 3 B 3 C 0 D 6

Câu 189 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f ' x liên tục đoạn [0; 1] f  1 2 Biết

 

0

1

f x dx

 , tính tích phân  

1

0

'

I x f x dx

A I 1 B I  1 C I 3 D I  3

Câu 190 Cho hàm số f x  thỏa mãn    

1

0

1 ' 10

x f x dx

 2f  1  f  0 2 Tính

 

0

I  f x dx

A I 8 B I  8 C I 4 D I  4

Câu 191 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0 ; 2 thỏa mãn f  2 16,  

2

0

d f x x

 Tính tích phân  

1

0

d I x f x x

A I 12 B I7 C I13 D I 20

Câu 192 Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn ,

Tính

A B C D

Câu 193 Cho hàm số y f x  thỏa mãn  

3 2,

f x  x  x  x  Tính  

5

1

I x f x dx

A 5

4 B

17

4 C

33

4 D 1761

Câu 194 Cho hàm số f x  liên tục đoạn  1;e , biết  

e

1

d f x

x

x 

 , f  e 1 Khi  

e

1

.ln d

I f x x x

A I 4 B I 3 C I1 D I 0

Câu 195 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn

  π sin cos

f x  f  x x x

  , với x f  0 0 Giá trị tích phân  

π

2

0

d

x f x x



A π

4

 B 1

4 C

π

4 D

1



 

y f x  f  2 1

 

2

1

2 d f x x

  

0

2

d xf x x



 

(52)

Câu 196 Cho hàm số f x  thỏa f  0  f  1 1 Biết    

1

0

' x

e f x  f x dxae b

 Tính biểu

thức Qa2018b2018

A Q8 B Q6 C Q4 D Q2

Câu 197 Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn f x 2018f x 2018.x2017.e2018x với x f  0 2018 Tính giá trị f  1

A f  1 2019e2018 B f  1 2018.e2018 C f  1 2018.e2018 D f  1 2017.e2018

Câu 198 Cho hàm số y f x  với f  0  f  1 1 Biết rằng:    

1

0

ex d e

f x  f x xa b

 

 

 Tính

2017 2017

Qa b

A Q220171 B Q2 C Q0 D Q220171

Câu 199 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;5  f  5 10,  

5

0

d 30

xf x x



Tính  

5

0

d

f x x



A 20 B 30 C 20 D 70

Câu 200 Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn  1; Biết F 1 1, F 2 4,  1

2

G  , G 2 2    

2

1

67 d

12 f x G x x

 Tính    

2

1

d F x g x x 

A 11

12 B

145 12

 C 11

12

 D 145

12

Câu 201 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn    

1

0

2 d

x f  x   x f

 Giá

trị  

1

0

d

I  f x x

A 2 B 2 C 1 D 1

Câu 202 Cho hàm số y f x  liên tục đoạn  1;    

2

1

1 d

x f x xa

 Tính  

2

1

d f x x 

theo a b f  2

A b a B a b C a b D  a b

Câu 203 Cho hàm số f x  liên tục  f  2 16,  

2

0

d

f x x

 Tính tích phân

 

0

d

I x f x x

A I 13 B I12 C I 20 D I7

Câu 204 Cho y f x  hàm số chẵn, liên tục  biết đồ thị hàm số y f x  qua điểm

;

M 

   

1

0

dt f t 

 , tính  

0

6

sin sin d

I x f x x







 

(53)

Câu 205 Cho hàm số y f x  thỏa mãn    

2

0

sin x f x dx f 



 1 Tính  

2

0

cos d I x f x x







A I1 B I 0 C I 2 D I  1

Câu 206 Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn f x2018f x 2 sinx x Tính

 

2

d I f x x





  ?

A

2019 B

2

2018 C

2

1009 D

4 2019

Câu 207 Cho hàm số f x  g x  liên tục, có đạo hàm  thỏa mãn f 0 f 2 0

     e x

g x f x x x Tính giá trị tích phân    

2

0

d

I  f x g x x?

A 4 B e 2 C 4 D 2 e

Câu 208 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 0; 

 

 

  thỏa mãn f 

 



 

  ,

 

0

d cos

f x x x 



  

4

0

sin tan x x f x dx 

  

 

4

0

sin x f x dx 



 bằng:

A 4 B 2

2 

C 1

2 

D 6

2

0

d

f x x

 Tính

4

0

d

x I  xf   x

 



A I 12 B I 112 C I 28 D I 144

Câu 210 Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp hai f x liên tục đoạn 0; thoả  mãn f  1  f 0 1, f 0 2018 Mệnh đề đúng?

A   

1

0

1 2018

f x x x 

 d B   

1

0

1

f x x x

 d

C   

1

0

1 2018

f x x x

 d D   

1

0

1

f x x x

 d

Câu 211 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn

2

f  

  ,  

2

d f x x 



 

   



 

cos d

4 x f x x 



Tính f 2018

A 1 B 0 C 1

2 D 1

Câu 212 Cho hàm số f x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn 0; 2  Biết f  0 1 f x f   2xe2x24x, với x0; 2  Tính tích phân    

 

3

2

0

3

d x x f x

I x

f x

 



A 16

3

I   B 16

5

I  C 14

3

I   D 32

5

(54)

Câu 213 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  1 0      

1

2

0

e

d e d

4 x

f x x x f x x   

 

1

0

d I  f x x

A I  2 e B I  e C e

2

I  D e

2

I 

Câu 214 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn    

2

1

1 d

3 x f x x 

 ,

 2

f   

2

d f x x    

2

1

d I  f x x

A

5

I  B

5

I   C

20

I   D

20

I

Câu 215 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 1,

 

2

0

d

f x x

 

 

  

1

1 d

2

x f x x

1

0

d

f x x



A 2

3 B

5

2 C

7

4 D

6

Câu 216 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0; 

 

 

  f



 



 

  Biết

 

2

d f x x 

 

 ,  

4

0

sin d

4 f x x x 



  

8

0

2 d I f x x





A I 1 B

2

I  C I 2 D

4

I 

Câu 217 . Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 f  0  f  1 0 Biết  

1

1 d

2 f x x

 ,    

1

0

cos d f x x x

 Tính  

1

0

d f x x



A  B 1

 C

2

 D

3 

Câu 218 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x liên tục đoạn 0;1 thỏa f  1 0,  

 

1

2

dx f x 

  

1

0

1

cos d

2 x f x x 

 

  

 

 Tính  

1

0

d f x x



A

2 

B  C 1

 D

2 

Câu 219 Xét hàm số f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện f  1 1 f  2 4 Tính    

2

d f x f x

J x

x x

  

 

   

 



A J  1 ln B J  4 ln C ln 2

J   D ln

2

J  

Câu 220 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn      

1

2

0

e

d e d

4 x

f x x x f x x   

 

  f  1 0 Tính  

1

0

(55)

A e

2 

B

2

e

4 C e 2 D

e

Câu 221 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  1 0,  

1

2

d f x x    

  

1

1 d

3 x f x x

1

0

d f x x



A 7

5 B 1 C

7

(56)

2

0

d

f x x



Tính  

2

0

d

x f x x



A 3 B 3 C 0 D 6

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có  

2

0

d

x f x x

   

2

0

d

x f x

    

2

0

d

x f x f x x

  2f 2  3

 

0

1

f x dx

1

0

'

I x f x dx

A I 1 B I  1 C I 3 D I  3

Hướng dẫn giải

Ta có:  

1

0

'

I x f x dx

Đặt uxdudx, dv f ' x dx chọn v f ' x dx f x 

         

1

0

1 0 1

I x f x f x dx f f f x dx

        

Chọn A

1

0

1 ' 10

x f x dx

 2f 1  f  0 2 Tính

 

0

I  f x dx

A I 8 B I  8 C I 4 D I  4

   

1

0

1 '

A x f x dx Đặt u  x dudx, dv f ' x dx chọn v f x 

           

1 1

1

0 0

1 (1) (0) 10

A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

            

Chọn B

2

0

d f x x

1

0

d Ix f x x

A I 12 B I 7 C I 13 D I20

Đặt

   

d d

2 u x u x

f x v f x x v

  



 



 



 



 

(57)

Khi đó:        

1

0 0 0

2 16

2 d d

2 2 4

x f x f

I    f x x   f t t  

Tính

A B C D

Đặt , đổi cận ,

Đặt ,

Vậy

3 2,

f x  x  x  x  Tính  

5

1

I x f x dx

A 5

4 B

17

4 C

33

4 D 1761

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt

       

5

1

u x du dx

I xf x f x dx

dv f x dx v f x

   

 

    

  

   

 

  

Từ      

   

3 5

3

1

f x

f x x x

f x

  

      

 

 , suy  

5

1

23

I  f x dx

Đặt  

 

2

3 3

3

3 dt x dx t x x

f t x

  



    

 



Đổi cận: Với t  1 x33x  1 x t 5 x33x   1 x

Khi     

5

2

1

33

23 23 3

4 Casio I  f x dx  x x  dx 

Chọn C

e

1

d f x

x

x 

 , f  e 1 Khi  

e

1

.ln d

I f x x x

A I 4 B I 3 C I1 D I 0

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 1: Ta có        

e e

e

1

.ln d ln d e 1

I f x x x f x x f x x f x 

       

 

y f x  f  2 1

 

2

1

2 d f x x

  

0

2

d xf x x



 

I  I 0 I  4 I 4

2 d 2d

t x  t x x   1 t x  2 t

   

2

1

1 d d

2

f x x f t t



     

0

2

d f t t



    

0

2

d f x x



  

d d

u x u x dv f x dx v f x 

 

2

d xf x x





    

0

2

d xf x f x x

 

(58)

Cách 2: Đặt

   

d

ln d

d d

x

u x u

x v f x x

v f x 

 



 



 

  

  



Suy        

e e

e

1

.ln d ln f x d e 1

I f x x x f x x x f

x 

       

  π sin cos

f x  f  x x x

 

, với x f  0 0 Giá trị tích phân  

π

2

0

d

x f x x



A π

4

 B 1

4 C

π

4 D

1



Theo giả thiết, f  0 0   π sin cos

f x  f  x x x

  nên

 0 π

2

f  f  

 

π

0

f  

  

 

Ta có:

 

π

2

0

d

I x f x x  

π

2

0

d x f x

      

π

2

0

d xf x f x x   

Suy ra:  

π

2

0

d I   f x x Mặt khác, ta có:

  π sin cos

f x  f  x x x

   

2 2

0 0

1

d d sin cos d

2

f x x f x x x x x

  



 

     

 

  

Suy ra:    

0

2

1

d d d

2

f x x f x x f x x

 

 

      

 

  

Vậy  

π

2

0

1 d

4 I   f x x 

1

0

' x

e f x  f x dxae b

 Tính biểu

thức Qa2018b2018

A Q8 B Q6 C Q4 D Q2

       

1

1 1

0 0

' '

x x x

A A

Ae f x  f x dxe f x dxe f x dx

 

 

1

x

(59)

Đặt u f x du f ' x dx, dve dxx chọn x

ve    

2

1

1 0

0

'

x x

A A e f x e f x dx

  



Vậy  1 2 2  1    

0 1

x x

Ae f x A A e f x e f  f  e

2018 2018

1

a

a b

b  

       



Chọn D

Câu 197 Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn f x 2018f x 2018.x2017.e2018x với x f 0 2018 Tính giá trị f  1

A f  1 2019e2018 B f  1 2018.e2018 C f  1 2018.e2018 D f  1 2017.e2018

Ta có: f x 2018f x 2018.x2017.e2018x   20182018   2018 2017 e x

f x f x

x  

 

   

1

2017 2018

0

2018

d 2018 d e x

f x f x

x x x

 

   1

Xets    

1

2018

2018 d e x

f x f x

I    x    

1

2018 2018

0

.e xd 2018 .e xd

f x  x f x  x

 

Xét  

1

2018

0

2018 .e xd

I  f x  x Đặt    

2018 2018

d d

d 2018.e xd e x

u f x u f x x

v  x v 



   

 



 

  

 

 

Do        

1

2018 2018 2018

1

0

e x e xd e x 2018

I  f x    f x  xI  f  

Khi  1  f 1 e2018x2018x2018 10  f  1 2019.e2018

Câu 198 Cho hàm số y f x  với f 0  f  1 1 Biết rằng:    

1

0

exf x  f x dxaeb

 Tính

2017 2017

Qa b

A Q220171 B Q2 C Q0 D Q220171

Đặt   d  d

d e dx ex

u f x u f x x

v x v



   

 



 

 

 

 

         

1 1

2

0 0

exf x  f x dxexf x  exf x dx exf x dx

   e 1f   f 0  e

Do a1, b 1

Suy Qa2017b2017 2017  2017

1

   

(60)

5

0

d 30

xf x x



Tính  

5

0

d

f x x



A 20 B 30 C 20 D 70

Đặt

    d d

d d

u x u x

v f x x v f x   

  



  

 

      

5

0

d d

x f x x x f x  f x x

     

5

0

30 5f f x dx

  

   

5

0

d 5 30 20

f x x f

   

2

G  , G 2 2    

2

1

67 d

12 f x G x x

 Tính    

2

1

d F x g x x 

A 11

12 B

145 12

 C 11

12

 D 145

12

Đặt  

 d

u F x

dv g x x

   

  

   

du f x dx

v G x

    

      

2

1

d F x g x x

         

2

1

d F x G x f x G x x

             

2

1

2 1 d

F G F G f x G x x

  

3 67 4.2

2 12

   11

12



1

0

2 d

x f  x   x f

 Giá

trị  

1

0

d

I  f x x

A 2 B 2 C 1 D 1

Ta có  

1

0

2 d x f  x   x

  

1

0

d d

x f x x x x    

1

2 0

d

x f x  x

      

1

0

d

x f x f x x

    f  1  I

Theo đề    

1

0

2 d

x f  x   x f

(61)

2

1

1 d

x f x xa

 Tính  

2

1

d f x x 

A b a B a b C a b D  a b

Đặt u  x dudx; dv f x dx chọn v f x     

2

1

1 d

x f x x

      

2

1

1 d

x f x f x x

    2  d b

a

f f x x

   

2

1

b f x  

Ta có    

2

1

1 d

x f x xa

  

2

1

d b f x x a

    

2

1

d

f x x b a   

2

0

d

f x x

 

0

d

I x f x x

A I 13 B I12 C I 20 D I 7

Đặt

   

d d

2 u x u x

v f x x v f x   



 



 



 



 



Khi đó,          

1 1

0 0

1 1 1

2 d 2 d d

2 2 2

I x f x   f x x f   f x x   f x x

Đặt t2xdt2dx

Với x0 t 0; x  1 t

Suy  

2

0

1

8 d

4

I    f t t  

;

M 

   

1

0

dt f t 

 , tính  

0

6

sin sin d

I x f x x







 

A I 10 B I 2 C I1 D I  1

Xét tích phân    

0

6

sin sin d sin sin cos d

I x f x x x f x x x

 

 

 

   

Đặt: tsinxdtcos dx x Đổi cận:

1

6

0

x t

 

    

 

    

 

1

2 d

I t f t t



(62)

Đăt:

   

2 d 2d

d d

u t u t

v f t t v f t

 

 

 



 



 

 

 

     

0

1

2

0

1

2 1 d d

2

I t f t f t t f f t t

 

 

     

    

Đồ thị hàm số y f x  qua điểm 1;

M 

 

1

f  

  

 

Hàm số y f x  hàm số chẵn, liên tục        

1

0 2

1 0

2

d d d

f t t f t t f x x



  

  

Vậy I  4 2.3 2

2

0



 1 Tính  

2

0

cos d I x f x x







A I 1 B I 0 C I 2 D I  1

Đặt   d ( )d

d sin d cos



  

  

    



u f x u f x x

v x x v x

      

2

0

sin x f x dx cos x f x cos x f x dx

 





   

 

0

cos d I x f x x





     

2

2 0

sin x f x dx cos x f x 



   1 10

 

2

d I f x x





  ?

A

2019 B

2

2018 C

2

1009 D

4 2019

Ta có     

2

2018 d sin d

f x f x x x x x

 

 

  

 

   

2 2

d 2018 d sin d

f x x f x x x x x

  

  

        

2

2019 f x dx sin dx x x

 

 

     1

+ Xét

2

2 sin d P x x x





(63)

Đặt d sin d u x

v x x 

 

 

d 2d cos u x

v x

   

  

  2

2

2 cos sin

P x x x

 

 

   

Từ  1 suy  

2

d I f x x





 

2019



     e x

2

0

d

I  f x g x x?

A 4 B e 2 C 4 D 2 e

Ta có g x f    x x x 2 e xg 0 g 2 0 (vì f 0 f 2 0)

   

2

0

d

I  f x g x x    

2

0

d

f x g x

     2

0

f x g x

    

2

0

d

g x f x x

  

2

2 e dx

x x x

   

 

 

 

thỏa mãn

f 

 

,

 

0

d cos

f x x x 



  

4

0

  

 

4

0

sin x f x dx 



 bằng:

A 4 B 2

2 

C 1

2 

D 6

Ta có:  

4

0

sin d I x f x x





 Đặt

   

sin d cos d

d d

u x u x x

v f x x v f x

 

 

 



 



 

 

 

   

4

0

sin cos d

I x f x x f x x

 

  1

2 I

 

 

0

2 sin tan x x f x dx 

 

    

4

sin d

cos f x

x x

x 

 

  

 

    

4

2

1 cos d

cos f x

x x

x 

 

   

 



 

4

0

d cos d

cos f x

x x f x x x

 

     

 

   1 I1

1

I

   2

I

   2

2 



2

0

d

f x x

 Tính

4

0

d

x I  xf   x

 



A I 12 B I 112 C I 28 D I 144

(64)

Đặt

d d

2 u x

x

v f x

  

      

  

d d

2 u x

x v f

  

       

  

Khi

4

0

d

x I  xf   x

 



4

0

2 d

2

x x

xf   f   x

     

     128 2I 1với

4

0

d

x I  f    x

 



Đặt d 2d

2

x

u  x u,

4

0

d

x I  f    x

 

  

2

0

2 f u du

   

2

0

2 f x dx

  

Vậy I 128 2 I1 128 16 112 

Câu 210 Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp hai f x liên tục đoạn 0; thoả  mãn f  1  f  0 1, f 0 2018 Mệnh đề đúng?

A   

1

0

1 2018

f x x x 

 d B   

1

0

1

f x x x

 d

C   

1

0

1 2018

f x x x

 d D   

1

0

1

f x x x

 d

Xét   

1

0

1

I f x x dx     

1

0

1x d f x



Đặt

 

1 d d

u x

v f x     

  

  

du dx v f x

     

   

   10  

1

0

1 d

I x f x f x x

            1

0

1 f f f x

     f 0 f  1  f  0 

 

2018 1 2018      

2

f  

 

,  

2

d f x x 



 

   



 

cos d

4 x f x x 



Tính f 2018

A 1 B 0 C 1

2 D 1

Bằng công thức tích phân phần ta có

     

2

cosxf x dx sinxf x sinxf x dx

 

   

  Suy  

2

sin d

4 xf x x 



   



Hơn ta tính

2

1 cos 2 sin

sin d d

2 4

x x x

x x x



 



 



   

   

 

(65)

Do đó:      

2 2

0 0

d sin d sin d sin d

f x x xf x x x x f x x x

   

        

   

   

   

Suy f x  sinx Do f x cosx C Vì

f 

  nên C0 Ta f x cosx  f 2018cos 2018 1

 

3

2

0

3

d x x f x

I x

f x

 



A 16

3

I   B 16

5

I  C 14

3

I   D 32

5

I  

Cách1: Theo giả thiết, ta có f x f   2xe2x24x f x  nhận giá trị dương nên     2

lnf x f 2x ln e x x      ln f x ln f 2x 2x 4x Mặt khác, với x0, ta có f    0 f 1 f  0 1 nên f  2 1

Xét    

 

3

2

0

3

d x x f x

I x

f x

 

 , ta có    

 

2

3

0

3 f x d

I x x x

f x   

Đặt  

 

3

d d

u x x

f x

v x

f x

  



 

  

 

d d

ln

u x x x v f x

   

    

Suy        

2

3 2

0

3 ln ln d

I  x  x f x   x  x f x x    

2

3x 6x lnf x dx     1 Đến đây, đổi biến x 2 t dx dt Khi x0 t x2 t

Ta có     

0 2

3 ln d

I   t  t f t  t    

2

3t lnt f t dt

   

Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên    

2

3 ln d

I   x  x f x x  2 Từ  1  2 ta cộng vế theo vế, ta      

2

2I   3x 6x ln f x ln f 2x dx

Hay    

2

0

1

3 d

2

I    x  x x  x x 16

 

Cách2(Trắcnghiệm)

Chọn hàm số f x ex22x, đó:

   

  

2

3 2

2

3

2

0

3 e 2 16

d 2 d

5 e

x x

x x x

I x x x x x



  

    

1

2

0

e

d e d

4 x

f x x x f x x   

 

1

0

(66)

A I  2 e B I  e C e

2

I  D e

2

I 

Xét    

1

0

1 ex d

A x f x x Đặt  

 

d e dx

u f x

v x x

   

 

 

 

d d

ex u f x x v x

     

  

Suy    

1

0

ex ex d

Ax f x x f x x  

1

0

ex d x f x x

   

1

0

1 e

e d

4 x

x f x x 

 

Xét

1

2 2

0

1 1 e

e d e

2 4

x x

x x  x  x   

 



Ta có    

1 1

2 2 2

0 0

d ex d e dx f x x x f x x x x  

 

      

1

2

0

ex d f x x x

  

Suy f x xex 0  x 0;1 (do f x xex2 0  x 0;1)   ex

f x x

     1 ex

f x x C

   

Do f  1 0 nên f x   1xex

Vậy      

1

0

d e dx ex e I  f x x x x x  

2

1

1 d

3 x f x x 

 ,

 2

f   

2

d f x x    

2

1

d I  f x x

A

5

I  B

5

I   C

20

I   D

20

I

Đặt u f x du f x dx,    

3

2

d d

3 x v x x v 

Ta có    

2

1

1 d

3 x f x x

          

3 2

1

d

3

x x

f x f x x

 



 

   

2

3

1

1 d

3 x f x x

         

2

3

1 d

x f x x

      

2

3

2.7 x f x dx 14

    

Tính  

2

6

49 x1 dx7

  

2

d f x x

      

2

3

2.7 x f x dx

   

2

6

49 x dx   

   

2 2

3

7 x f x dx

  

   

 

  f x 7x13    

4

7

4 x

f x  C

  

Do f  2 0    

4

7

4

x

f x 

  

Vậy  

2

1

d

I  f x x  

4

1

7

d

4

x

  

   

 

 

(67)

 

2

0

d

f x x

 

 

  

1

1 d

2

x f x x

1

0

d

f x x



A 2

3 B

5

2 C

7

4 D

6

Ta có:  

1

2

0

d

f x x

 

 

  1

- Tính  

1

d

2

x f x x



Đặt  

3

d d u f x

v x x    

  

 

d d

4

u f x x x

v      

  

 

3

1

d

2 x f x x

   

1

0

x f x

 

  

   

1

d

4 x f x x

   

1

d

4 x f x x

  

 

4

d

x f x x

    

1

18 x f  x dx 18

     2

- Lại có:

1

8

0

1 d

9

x x x  

1

81 x xd

    3

- Cộng vế với vế đẳng thức  1 ,  2  3 ta được:

   

1

2 4 8

0

18 81 d

f x x f x x x

       

 

  

1

4

9 d

f x x x

 

     

1

4

f x 9x dx    

    

Hay thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x 9x4, trục hoành Ox, đường thẳng x0, x1 quay quanh Ox

 

9

f x x

    f x  9x4  f x  f x dx

5x C

  

Lại f  1 1 14

C

    14

5

f x x

   

 

0

d

f x x

 

1

5

9 14 d 5x x

 

 

 

 



1

0

3 14

10x x

 

    

 

 

 

  f



 



 

  Biết

 

2

d f x x 

 

 ,  

4

0

sin d f x x x 



  

8

0

2 d I f x x





A I 1 B

2

I  C I 2 D

4

I 

(68)

Tính  

4

0

sin d

4 f x x x 



  

 Đặt

   

sin 2cos d d d d

x u x x u

f x x v f x v

 

 

 



 

  

 

 

,

     

4

0

sin d sin cos2 d f x x x x f x f x x x

 



  

     

4

0

sin sin 0 cos2 d

2 f f f x x x

   

   

  

 

0

2 f x cos2 dx x 

  

Theo đề ta có  

4

0

sin d

4 f x x x 



  

   

4

0

cos2 d f x x x 

 



Mặt khác ta lại có

4

cos d x x 

 



Do      

4

2 2 2

0

cos2 d cos2 cos d

f x x x f x f x x x x

 

 

   

 

   

 

8 8

  

 

   

  nên

  cos

f x  x

Ta có

8 8

0

1

cos d sin

4

I x x x



  

1

1 d

2 f x x

 ,    

1

0

 Tính  

1

0

d f x x



A  B 1

 C

2

 D

3 

Đặt  

 

cos

d d

u x

v f x x

    

   

 

du sin x dx

v f x

   

   

  

Khi đó:            

1

0

cos d cos sin d

f x x x x f x  f x x x

 

   

         

1

0

1 sin d sin d

f f  f x x x  f x x x

      

   

1

0

1 sin d

2 f x x x

 

Cách1: Ta có

Tìm k cho    

1

2

sin d

f x k x x

 

 



Ta có:            

1 1

2 2 2 2

0 0

sin d d sin d sin d

f x k x x f x x k f x x x k x x

 

 

(69)

2

1

0

2

k

k k

     

Do    

1

2

sin d

f x  x x

 

 

  f x sinx (do f x sinx2 0  x )

Vậy    

1

0

2

d sin d

f x x x x 

 

 

Cách2: Sử dụng BĐT Holder

       

2

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 



 

   

Dấu “” xảy  f x k g x  ,  x a b; 

Áp dụng vào ta có        

2

1 1

2

0 0

1

sin d d sin d

4 f x x x f x x x x

 

   

   

, suy f x k.sinx, k

Mà      

1

2

0

1

sin d sin d

2

f x x x k x x k 

   f x sinx

Vậy    

1

0

2

d sin d

f x x x x 

 

 

 

1

2

dx f x 

  

1

0

1

cos d

2 x f x x 

 

  

 

 Tính  

1

0

d f x x



A

2 

B  C 1

 D

2 

Đặt

  d  d

2 sin d cos d

2

u f x x u f x

x x

v

v  x 

    



 



   

 

 

Do  

1

0

1

cos d

2 x f x x 

 

  

  

   

1

0

2

sin sin d

2 2

x

f x x f x x

 

 



    

 

  

1

0

sin d

2 x f x x

 

  

    

 



Lại có:

1

sin d

2 x x 

      



   

2

1 1

2

0 0

2

d sin d sin d

2

I f x x  x f x x  x x

 

       

 

           

       

  

 

2

1

2

sin d

2 2

f x  x x  

  

  



        

 



Vì  

2

sin

2 f x  x 

   

    

 

 

(70)

 

2

0

2

sin d

2

f x  x x

               

  =sin

2

f x  x



 



   

  f  x = 2sin 2x

   

   

 

Suy  =cos

f x  xC

  mà f  1 0 f x =cos x 

 

 

 

Vậy  

1

0

2

d cos d

2 f x x  x x

      

 

 

2

d f x f x

J x x x            

A J  1 ln B J  4 ln C ln 2

J   D ln

2

J  

Cách1: Ta có    

2

d f x f x

J x x x                

2 2

2

1 1

2

d d d

f x f x

x x x

x x x x

              Đặt     1 d d d d

u u x

x x

v f x x v f x

                     2 d f x f x

J x x x                  

2 2

1 1

1

.f x f x dx f x dx dx

x x x x x

                 

1 1

2 ln ln

2 f f x x

 

      

 

Cách2:    

2

d f x f x

J x x x                 2 2 d xf x f x

x

x x x

              2 1 d d f x x x

x x x

                    1

2 ln ln

2 f x x x x           Cách3: ( Trắc nghiệm)

Chọn hàm số f x axb Vì  

 

1

2 f a b f              

, suy f x 3x2 Vậy

2

1

5 1

d ln ln

2

x

J x x

x x x



   

        

   



1

2

0

e

d e d

4 x

f x x x f x x   

 

  f  1 0 Tính  

1

0

d f x x 

A e

2 

B

2

e

4 C e 2 D

e

- Tính:    

1

0

1 ex d

I  x f x x    

1

0

ex d ex d

x f x x f x xJK

(71)

Tính  

1

0

ex d K  f x x

Đặt e   d e   e   d

d d

x x

x

u f x f x x

u f x

v x v x

   

   

   



 



  

 

 

     

1

0

ex ex ex d

K x f x x f x x f x  x

        

1

0

ex d ex d

x f x x x f x x

   do f  1 0  

1

0

ex d K J x f x x

     

1

0

ex d I J K x f x x      - Kết hợp giả thiết ta được:

   

1

2

0

1

0

e d

4 e d

4 x

f x x

xe f x x

 

 

     





 

 

  



   

1

2

0

1

0

e

d (1)

e

2 e d (2)

2 x

f x x

x f x x

 

 

     

 



 

  

 

 - Mặt khác, ta tính được:

1

2

e e d (3)

4 x

x x 



- Cộng vế với vế đẳng thức (1), (2), (3) ta được:    

 

1

2 2 2

0

2 ex e x d f x  x f x x x  

 

    

1

2

ex d o

f x x x

      

1

2

ex d o

f x x x  

   

hay thể tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số   ex

y f x x , trục Ox, đường thẳng x0 , x1 quay quanh trục Ox

  ex

f x x

    f x  xex

  e dx 1 ex C

f x x x x

     

- Lại  1 C   1 ex

f     f x  x

   

1

0

d e dx

f x x x x

     

1

0

1 x ex e dx x

  

0

1 ex e     

Vậy  

1

0

d e f x x 



1

2

d f x x    

  

1

1 d

3 x f x x

1

0

d f x x



A 7

5 B 1 C

7

4 D 4

Cách1: Tính:  

1

d x f x x

 Đặt  

 

d d

3

u f x x u f x

x v x x v

    

 



 

 

 



Ta có:      

1

2

0 0

1

d d

3

x f x

x f x x  x f x x

(72)

   

1

3

0

1 0 1

d d

3 3

f f

x f x x x f x x 

 

     

Mà  

1

1 d

3 x f x x

    

1

3

0

1

d d

3 x f x x x f x x       

Ta có  

1

2

d f x x    

 (1)

1

6

0

1 d

7

x x x  

1

49 d 49 7

x x

   (2)

   

1

3

0

d 14 d 14

x f x x   x f x x 

  (3)

Cộng hai vế (1) (2) (3) suy    

1 1

2 6 3

0 0

d 49 d 14 d 7 14

f x x x x x f x x     

 

  

   

 

1

2 3 6

0

14 49 d

f x x f x x x

       

1

2

7 d

f x x x

 

   

Do f x 7x32 0  

1

2

7 d

f x x x

 

    Mà  

1

2

7 d

f x x x

   

 

  

7

f x x

  

 

4

7

x

f x   C Mà  1 7

4

f    C C

Do  

4

7

4 x f x   

Vậy  

1

0 0

7 7 7

d d

4 20

x x

f x x    x   x 

   

 

Cách2: Tương tự ta có:  

1

d

x f x x  

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

         

2

1 1 1

2 2

3

0 0 0

1

7 d d d d d

7

x f x x x x f x x f x x f x x

     

   

                

       

Dấu xảy  

f x ax , với a

Ta có  

1

3 3

0 0

d d 1

7 ax

x f x x   x ax x     a 

 

Suy    

4

3

7

4 x

f x   x  f x   C, mà f  1 0 nên

C

Do   71 4

f x  x  x 

Vậy  

1

0

1

7 7 7

d d

0

4 20

x x

f x x    x   x 

   

 

(73)

Khi đó, ta có        

2

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

     

 

     

     

Chứng minh:

Trước hết ta có tính chất:

Nếu hàm số h x  liên tục khơng âm đoạn a b;   d b

a

h x x 

Xét tam thức bậc hai     2 2      2 

2

f x g x f x f x g x g x

      

 

  , với 

Lấy tích phân hai vế đoạn a b;  ta

       

2 2

d g d d

b b b

a a a

f x x f x x x g x x

      , với  * Coi  * tam thức bậc hai theo biến  nên ta có  

     

2

2 2

d d d

b b b

a a a

f x x f x x g x x

     

     

     

     

2

2 2

d d d

b b b

a a a

f x x f x x g x x

     

     

     

(74)

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

BÀI TẬP

2

0

d

f x x



Tính  

2

0

d

x f x x



A 3 B 3 C 0 D 6

 

0

1

f x dx

1

0

'

I x f x dx

A I 1 B I  1 C I 3 D I  3

1

0

1 ' 10

x f x dx

 2f  1  f  0 2 Tính

 

0

I  f x dx

A I 8 B I  8 C I 4 D I  4

2

0

d f x x

1

0

d I x f x x

A I 12 B I7 C I13 D I 20

Tính

A B C D

3 2,

f x  x  x  x  Tính  

5

1

I x f x dx

A 5

4 B

17

4 C

33

4 D 1761

e

1

d f x

x

x 

 , f  e 1 Khi  

e

1

.ln d

I f x x x

A I 4 B I 3 C I1 D I 0

  π sin cos

f x  f  x x x

  , với x f  0 0 Giá trị tích phân  

π

2

0

d

x f x x



A π

4

 B 1

4 C

π

4 D

1



 

y f x  f  2 1

 

2

1

2 d f x x

  

0

2

d xf x x



 

(75)

1

0

' x

e f x  f x dxae b

 Tính biểu

thức Qa2018b2018

A Q8 B Q6 C Q4 D Q2

Câu 197 Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn f x 2018f x 2018.x2017.e2018x với x f  0 2018 Tính giá trị f  1

A f  1 2019e2018 B f  1 2018.e2018 C f  1 2018.e2018 D f  1 2017.e2018

Câu 198 Cho hàm số y f x  với f  0  f  1 1 Biết rằng:    

1

0

ex d e

f x  f x xa b

 

 

 Tính

2017 2017

Qa b

A Q220171 B Q2 C Q0 D Q220171

5

0

d 30

xf x x



Tính  

5

0

d

f x x



A 20 B 30 C 20 D 70

2

G  , G 2 2    

2

1

67 d

12 f x G x x

 Tính    

2

1

d F x g x x 

A 11

12 B

145 12

 C 11

12

 D 145

12

1

0

2 d

x f  x   x f

 Giá

trị  

1

0

d

I  f x x

A 2 B 2 C 1 D 1

2

1

1 d

x f x xa

 Tính  

2

1

d f x x 

A b a B a b C a b D  a b

2

0

d

f x x

 

0

d

I x f x x

A I 13 B I12 C I 20 D I7

;

M 

   

1

0

dt f t 

 , tính  

0

6

sin sin d

I x f x x







 

(76)

2

0



 1 Tính  

2

0

cos d I x f x x







A I1 B I 0 C I 2 D I  1

 

2

d I f x x





  ?

A

2019 B

2

2018 C

2

1009 D

4 2019

     e x

2

0

d

I  f x g x x?

A 4 B e 2 C 4 D 2 e

 

 

  thỏa mãn f 

 



 

  ,

 

0

d cos

f x x x 



  

4

0

  

 

4

0

sin x f x dx 



 bằng:

A 4 B 2

2 

C 1

2 

D 6

2

0

d

f x x

 Tính

4

0

d

x I  xf   x

 



A I 12 B I 112 C I 28 D I 144

Câu 210 Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp hai f x liên tục đoạn 0; thoả  mãn f  1  f 0 1, f 0 2018 Mệnh đề đúng?

A   

1

0

1 2018

f x x x 

 d B   

1

0

1

f x x x

 d

C   

1

0

1 2018

f x x x

 d D   

1

0

1

f x x x

 d

2

f  

  ,  

2

d f x x 



 

   



 

cos d

4 x f x x 



Tính f 2018

A 1 B 0 C 1

2 D 1

 

3

2

0

3

d x x f x

I x

f x

 



A 16

3

I   B 16

5

I  C 14

3

I   D 32

5

(77)

1

2

0

e

d e d

4 x

f x x x f x x   

 

1

0

d I  f x x

A I  2 e B I  e C e

2

I  D e

2

I 

2

1

1 d

3 x f x x 

 ,

 2

f   

2

d f x x    

2

1

d I  f x x

A

5

I  B

5

I   C

20

I   D

20

I

 

2

0

d

f x x

 

 

  

1

1 d

2

x f x x

1

0

d

f x x



A 2

3 B

5

2 C

7

4 D

6

 

 

  f



 



 

  Biết

 

2

d f x x 

 

 ,  

4

0

sin d

4 f x x x 



  

8

0

2 d I f x x





A I 1 B

2

I  C I 2 D

4

I 

1

1 d

2 f x x

 ,    

1

0

 Tính  

1

0

d f x x



A  B 1

 C

2

 D

3 

 

1

2

dx f x 

  

1

0

1

cos d

2 x f x x 

 

  

 

 Tính  

1

0

d f x x



A

2 

B  C 1

 D

2 

2

d f x f x

J x

x x

  

 

   

 



A J  1 ln B J  4 ln C ln 2

J   D ln

2

J  

1

2

0

e

d e d

4 x

f x x x f x x   

 

  f  1 0 Tính  

1

0

(78)

A e

2 

B

2

e

4 C e 2 D

e

1

2

d f x x    

  

1

1 d

3 x f x x

1

0

d f x x



A 7

5 B 1 C

7

(79)

2

0

d

f x x



Tính  

2

0

d

x f x x



A 3 B 3 C 0 D 6

Ta có  

2

0

d

x f x x

   

2

0

d

x f x

    

2

0

d

x f x f x x

  2f 2  3

 

0

1

f x dx

1

0

'

I x f x dx

A I 1 B I  1 C I 3 D I  3

Ta có:  

1

0

'

I x f x dx

Đặt uxdudx, dv f ' x dx chọn v f ' x dx f x 

         

1

0

1 0 1

I x f x f x dx f f f x dx

        

Chọn A

1

0

1 ' 10

x f x dx

 2f 1  f  0 2 Tính

 

0

I  f x dx

A I 8 B I  8 C I 4 D I  4

   

1

0

1 '

A x f x dx Đặt u  x dudx, dv f ' x dx chọn v f x 

           

1 1

1

0 0

1 (1) (0) 10

A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

            

Chọn B

2

0

d f x x

1

0

d Ix f x x

A I 12 B I 7 C I 13 D I20

Đặt

   

d d

2 u x u x

f x v f x x v

  



 



 



 



 

(80)

Khi đó:        

1

0 0 0

2 16

2 d d

2 2 4

x f x f

I    f x x   f t t  

Tính

A B C D

Đặt , đổi cận ,

Đặt ,

Vậy

3 2,

f x  x  x  x  Tính  

5

1

I x f x dx

A 5

4 B

17

4 C

33

4 D 1761

Đặt

       

5

1

u x du dx

I xf x f x dx

dv f x dx v f x

   

 

    

  

   

 

  

Từ      

   

3 5

3

1

f x

f x x x

f x

  

      

 

 , suy  

5

1

23

I  f x dx

Đặt  

 

2

3 3

3

3 dt x dx t x x

f t x

  



    

 



Đổi cận: Với t  1 x33x  1 x t 5 x33x   1 x

Khi     

5

2

1

33

23 23 3

4 Casio I  f x dx  x x  dx 

Chọn C

e

1

d f x

x

x 

 , f  e 1 Khi  

e

1

.ln d

I f x x x

A I 4 B I 3 C I1 D I 0

Cách 1: Ta có        

e e

e

1

.ln d ln d e 1

I f x x x f x x f x x f x 

       

 

y f x  f  2 1

 

2

1

2 d f x x

  

0

2

d xf x x



 

I  I 0 I  4 I 4

2 d 2d

t x  t x x   1 t x  2 t

   

2

1

1 d d

2

f x x f t t



     

0

2

d f t t



    

0

2

d f x x



  

d d

u x u x dv f x dx v f x 

 

2

d xf x x





    

0

2

d xf x f x x

 

(81)

Cách 2: Đặt

   

d

ln d

d d

x

u x u

x v f x x

v f x 

 



 



 

  

  



Suy        

e e

e

1

.ln d ln f x d e 1

I f x x x f x x x f

x 

       

  π sin cos

f x  f  x x x

 

, với x f  0 0 Giá trị tích phân  

π

2

0

d

x f x x



A π

4

 B 1

4 C

π

4 D

1



Theo giả thiết, f  0 0   π sin cos

f x  f  x x x

  nên

 0 π

2

f  f  

 

π

0

f  

  

 

Ta có:

 

π

2

0

d

I x f x x  

π

2

0

d x f x

      

π

2

0

d xf x f x x   

Suy ra:  

π

2

0

d I   f x x Mặt khác, ta có:

  π sin cos

f x  f  x x x

   

2 2

0 0

1

d d sin cos d

2

f x x f x x x x x

  



 

     

 

  

Suy ra:    

0

2

1

d d d

2

f x x f x x f x x

 

 

      

 

  

Vậy  

π

2

0

1 d

4 I   f x x 

1

0

' x

e f x  f x dxae b

 Tính biểu

thức Qa2018b2018

A Q8 B Q6 C Q4 D Q2

       

1

1 1

0 0

' '

x x x

A A

Ae f x  f x dxe f x dxe f x dx

 

 

1

x

(82)

Đặt u f x du f ' x dx, dve dxx chọn x

ve    

2

1

1 0

0

'

x x

A A e f x e f x dx

  



Vậy  1 2 2  1    

0 1

x x

Ae f x A A e f x e f  f  e

2018 2018

1

a

a b

b  

       



Chọn D

Câu 197 Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn f x 2018f x 2018.x2017.e2018x với x f 0 2018 Tính giá trị f  1

A f  1 2019e2018 B f  1 2018.e2018 C f  1 2018.e2018 D f  1 2017.e2018

Ta có: f x 2018f x 2018.x2017.e2018x   20182018   2018 2017 e x

f x f x

x  

 

   

1

2017 2018

0

2018

d 2018 d e x

f x f x

x x x

 

   1

Xets    

1

2018

2018 d e x

f x f x

I    x    

1

2018 2018

0

.e xd 2018 .e xd

f x  x f x  x

 

Xét  

1

2018

0

2018 .e xd

I  f x  x Đặt    

2018 2018

d d

d 2018.e xd e x

u f x u f x x

v  x v 



   

 



 

  

 

 

Do        

1

2018 2018 2018

1

0

e x e xd e x 2018

I  f x    f x  xI  f  

Khi  1  f 1 e2018x2018x2018 10  f  1 2019.e2018

Câu 198 Cho hàm số y f x  với f 0  f  1 1 Biết rằng:    

1

0

exf x  f x dxaeb

 Tính

2017 2017

Qa b

A Q220171 B Q2 C Q0 D Q220171

Đặt   d  d

d e dx ex

u f x u f x x

v x v



   

 



 

 

 

 

         

1 1

2

0 0

exf x  f x dxexf x  exf x dx exf x dx

   e 1f   f 0  e

Do a1, b 1

Suy Qa2017b2017 2017  2017

1

   

(83)

5

0

d 30

xf x x



Tính  

5

0

d

f x x



A 20 B 30 C 20 D 70

Đặt

    d d

d d

u x u x

v f x x v f x   

  



  

 

      

5

0

d d

x f x x x f x  f x x

     

5

0

30 5f f x dx

  

   

5

0

d 5 30 20

f x x f

   

2

G  , G 2 2    

2

1

67 d

12 f x G x x

 Tính    

2

1

d F x g x x 

A 11

12 B

145 12

 C 11

12

 D 145

12

Đặt  

 d

u F x

dv g x x

   

  

   

du f x dx

v G x

    

      

2

1

d F x g x x

         

2

1

d F x G x f x G x x

             

2

1

2 1 d

F G F G f x G x x

  

3 67 4.2

2 12

   11

12



1

0

2 d

x f  x   x f

 Giá

trị  

1

0

d

I  f x x

A 2 B 2 C 1 D 1

Ta có  

1

0

2 d x f  x   x

  

1

0

d d

x f x x x x    

1

2 0

d

x f x  x

      

1

0

d

x f x f x x

    f  1  I

Theo đề    

1

0

2 d

x f  x   x f

(84)

2

1

1 d

x f x xa

 Tính  

2

1

d f x x 

A b a B a b C a b D  a b

Đặt u  x dudx; dv f x dx chọn v f x     

2

1

1 d

x f x x

      

2

1

1 d

x f x f x x

    2  d b

a

f f x x

   

2

1

b f x  

Ta có    

2

1

1 d

x f x xa

  

2

1

d b f x x a

    

2

1

d

f x x b a   

2

0

d

f x x

 

0

d

I x f x x

A I 13 B I12 C I 20 D I 7

Đặt

   

d d

2 u x u x

v f x x v f x   



 



 



 



 



Khi đó,          

1 1

0 0

1 1 1

2 d 2 d d

2 2 2

I x f x   f x x f   f x x   f x x

Đặt t2xdt2dx

Với x0 t 0; x  1 t

Suy  

2

0

1

8 d

4

I    f t t  

;

M 

   

1

0

dt f t 

 , tính  

0

6

sin sin d

I x f x x







 

A I 10 B I 2 C I1 D I  1

Xét tích phân    

0

6

sin sin d sin sin cos d

I x f x x x f x x x

 

 

 

   

Đặt: tsinxdtcos dx x Đổi cận:

1

6

0

x t

 

    

 

    

 

1

2 d

I t f t t



(85)

Đăt:

   

2 d 2d

d d

u t u t

v f t t v f t

 

 

 



 



 

 

 

     

0

1

2

0

1

2 1 d d

2

I t f t f t t f f t t

 

 

     

    

Đồ thị hàm số y f x  qua điểm 1;

M 

 

1

f  

  

 

Hàm số y f x  hàm số chẵn, liên tục        

1

0 2

1 0

2

d d d

f t t f t t f x x



  

  

Vậy I  4 2.3 2

2

0



 1 Tính  

2

0

cos d I x f x x







A I 1 B I 0 C I 2 D I  1

Đặt   d ( )d

d sin d cos



  

  

    



u f x u f x x

v x x v x

      

2

0

sin x f x dx cos x f x cos x f x dx

 





   

 

0

cos d I x f x x





     

2

2 0

sin x f x dx cos x f x 



   1 10

 

2

d I f x x





  ?

A

2019 B

2

2018 C

2

1009 D

4 2019

Ta có     

2

2018 d sin d

f x f x x x x x

 

 

  

 

   

2 2

d 2018 d sin d

f x x f x x x x x

  

  

        

2

2019 f x dx sin dx x x

 

 

     1

+ Xét

2

2 sin d P x x x





(86)

Đặt d sin d u x

v x x 

 

 

d 2d cos u x

v x

   

  

  2

2

2 cos sin

P x x x

 

 

   

Từ  1 suy  

2

d I f x x





 

2019



     e x

2

0

d

I  f x g x x?

A 4 B e 2 C 4 D 2 e

Ta có g x f    x x x 2 e xg 0 g 2 0 (vì f 0 f 2 0)

   

2

0

d

I  f x g x x    

2

0

d

f x g x

     2

0

f x g x

    

2

0

d

g x f x x

  

2

2 e dx

x x x

   

 

 

 

thỏa mãn

f 

 

,

 

0

d cos

f x x x 



  

4

0

  

 

4

0

sin x f x dx 



 bằng:

A 4 B 2

2 

C 1

2 

D 6

Ta có:  

4

0

sin d I x f x x





 Đặt

   

sin d cos d

d d

u x u x x

v f x x v f x

 

 

 



 



 

 

 

   

4

0

sin cos d

I x f x x f x x

 

  1

2 I

 

 

0

2 sin tan x x f x dx 

 

    

4

sin d

cos f x

x x

x 

 

  

 

    

4

2

1 cos d

cos f x

x x

x 

 

   

 



 

4

0

d cos d

cos f x

x x f x x x

 

     

 

   1 I1

1

I

   2

I

   2

2 



2

0

d

f x x

 Tính

4

0

d

x I  xf   x

 



A I 12 B I 112 C I 28 D I 144

(87)

Đặt

d d

2 u x

x

v f x

  

      

  

d d

2 u x

x v f

  

       

  

Khi

4

0

d

x I  xf   x

 



4

0

2 d

2

x x

xf   f   x

     

     128 2I 1với

4

0

d

x I  f    x

 



Đặt d 2d

2

x

u  x u,

4

0

d

x I  f    x

 

  

2

0

2 f u du

   

2

0

2 f x dx

  

Vậy I 128 2 I1 128 16 112 

Câu 210 Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp hai f x liên tục đoạn 0; thoả  mãn f  1  f  0 1, f 0 2018 Mệnh đề đúng?

A   

1

0

1 2018

f x x x 

 d B   

1

0

1

f x x x

 d

C   

1

0

1 2018

f x x x

 d D   

1

0

1

f x x x

 d

Xét   

1

0

1

I f x x dx     

1

0

1x d f x



Đặt

 

1 d d

u x

v f x     

  

  

du dx v f x

     

   

   10  

1

0

1 d

I x f x f x x

            1

0

1 f f f x

     f 0 f  1  f  0 

 

2018 1 2018      

2

f  

 

,  

2

d f x x 



 

   



 

cos d

4 x f x x 



Tính f 2018

A 1 B 0 C 1

2 D 1

Bằng cơng thức tích phân phần ta có

     

2

cosxf x dx sinxf x sinxf x dx

 

   

  Suy  

2

sin d

4 xf x x 



   



Hơn ta tính

2

1 cos 2 sin

sin d d

2 4

x x x

x x x



 



 



   

   

 

(88)

Do đó:      

2 2

0 0

d sin d sin d sin d

f x x xf x x x x f x x x

   

        

   

   

   

Suy f x  sinx Do f x cosx C Vì

f 

  nên C0 Ta f x cosx  f 2018cos 2018 1

 

3

2

0

3

d x x f x

I x

f x

 



A 16

3

I   B 16

5

I  C 14

3

I   D 32

5

I  

Cách1: Theo giả thiết, ta có f x f   2xe2x24x f x  nhận giá trị dương nên     2

lnf x f 2x ln e x x      ln f x ln f 2x 2x 4x Mặt khác, với x0, ta có f    0 f 1 f  0 1 nên f  2 1

Xét    

 

3

2

0

3

d x x f x

I x

f x

 

 , ta có    

 

2

3

0

3 f x d

I x x x

f x   

Đặt  

 

3

d d

u x x

f x

v x

f x

  



 

  

 

d d

ln

u x x x v f x

   

    

Suy        

2

3 2

0

3 ln ln d

I  x  x f x   x  x f x x    

2

3x 6x lnf x dx     1 Đến đây, đổi biến x 2 t dx dt Khi x0 t x2 t

Ta có     

0 2

3 ln d

I   t  t f t  t    

2

3t lnt f t dt

   

Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên    

2

3 ln d

I   x  x f x x  2 Từ  1  2 ta cộng vế theo vế, ta      

2

2I   3x 6x ln f x ln f 2x dx

Hay    

2

0

1

3 d

2

I    x  x x  x x 16

 

Cách2(Trắcnghiệm)

Chọn hàm số f x ex22x, đó:

   

  

2

3 2

2

3

2

0

3 e 2 16

d 2 d

5 e

x x

x x x

I x x x x x



  

    

1

2

0

e

d e d

4 x

f x x x f x x   

 

1

0

(89)

A I  2 e B I  e C e

2

I  D e

2

I 

Xét    

1

0

1 ex d

A x f x x Đặt  

 

d e dx

u f x

v x x

   

 

 

 

d d

ex u f x x v x

     

  

Suy    

1

0

ex ex d

Ax f x x f x x  

1

0

ex d x f x x

   

1

0

1 e

e d

4 x

x f x x 

 

Xét

1

2 2

0

1 1 e

e d e

2 4

x x

x x  x  x   

 



Ta có    

1 1

2 2 2

0 0

d ex d e dx f x x x f x x x x  

 

      

1

2

0

ex d f x x x

  

Suy f x xex 0  x 0;1 (do f x xex2 0  x 0;1)   ex

f x x

     1 ex

f x x C

   

Do f  1 0 nên f x   1xex

Vậy      

1

0

d e dx ex e I  f x x x x x  

2

1

1 d

3 x f x x 

 ,

 2

f   

2

d f x x    

2

1

d I  f x x

A

5

I  B

5

I   C

20

I   D

20

I

Đặt u f x du f x dx,    

3

2

d d

3 x v x x v 

Ta có    

2

1

1 d

3 x f x x

          

3 2

1

d

3

x x

f x f x x

 



 

   

2

3

1

1 d

3 x f x x

         

2

3

1 d

x f x x

      

2

3

2.7 x f x dx 14

    

Tính  

2

6

49 x1 dx7

  

2

d f x x

      

2

3

2.7 x f x dx

   

2

6

49 x dx   

   

2 2

3

7 x f x dx

  

   

 

  f x 7x13    

4

7

4 x

f x  C

  

Do f  2 0    

4

7

4

x

f x 

  

Vậy  

2

1

d

I  f x x  

4

1

7

d

4

x

  

   

 

 

(90)

 

2

0

d

f x x

 

 

  

1

1 d

2

x f x x

1

0

d

f x x



A 2

3 B

5

2 C

7

4 D

6

Ta có:  

1

2

0

d

f x x

 

 

  1

- Tính  

1

d

2

x f x x



Đặt  

3

d d u f x

v x x    

  

 

d d

4

u f x x x

v      

  

 

3

1

d

2 x f x x

   

1

0

x f x

 

  

   

1

d

4 x f x x

   

1

d

4 x f x x

  

 

4

d

x f x x

    

1

18 x f  x dx 18

     2

- Lại có:

1

8

0

1 d

9

x x x  

1

81 x xd

    3

- Cộng vế với vế đẳng thức  1 ,  2  3 ta được:

   

1

2 4 8

0

18 81 d

f x x f x x x

       

 

  

1

4

9 d

f x x x

 

     

1

4

f x 9x dx    

    

Hay thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x 9x4, trục hoành Ox, đường thẳng x0, x1 quay quanh Ox

 

9

f x x

    f x  9x4  f x  f x dx

5x C

  

Lại f  1 1 14

C

    14

5

f x x

   

 

0

d

f x x

 

1

5

9 14 d 5x x

 

 

 

 



1

0

3 14

10x x

 

    

 

 

 

  f



 



 

  Biết

 

2

d f x x 

 

 ,  

4

0

sin d f x x x 



  

8

0

2 d I f x x





A I 1 B

2

I  C I 2 D

4

I 

(91)

Tính  

4

0

sin d

4 f x x x 



  

 Đặt

   

sin 2cos d d d d

x u x x u

f x x v f x v

 

 

 



 

  

 

 

,

     

4

0

sin d sin cos2 d f x x x x f x f x x x

 



  

     

4

0

sin sin 0 cos2 d

2 f f f x x x

   

   

  

 

0

2 f x cos2 dx x 

  

Theo đề ta có  

4

0

sin d

4 f x x x 



  

   

4

0

cos2 d f x x x 

 



Mặt khác ta lại có

4

cos d x x 

 



Do      

4

2 2 2

0

cos2 d cos2 cos d

f x x x f x f x x x x

 

 

   

 

   

 

8 8

  

 

   

  nên

  cos

f x  x

Ta có

8 8

0

1

cos d sin

4

I x x x



  

1

1 d

2 f x x

 ,    

1

0

 Tính  

1

0

d f x x



A  B 1

 C

2

 D

3 

Đặt  

 

cos

d d

u x

v f x x

    

   

 

du sin x dx

v f x

   

   

  

Khi đó:            

1

0

cos d cos sin d

f x x x x f x  f x x x

 

   

         

1

0

1 sin d sin d

f f  f x x x  f x x x

      

   

1

0

1 sin d

2 f x x x

 

Cách1: Ta có

Tìm k cho    

1

2

sin d

f x k x x

 

 



Ta có:            

1 1

2 2 2 2

0 0

sin d d sin d sin d

f x k x x f x x k f x x x k x x

 

 

(92)

2

1

0

2

k

k k

     

Do    

1

2

sin d

f x  x x

 

 

  f x sinx (do f x sinx2 0  x )

Vậy    

1

0

2

d sin d

f x x x x 

 

 

Cách2: Sử dụng BĐT Holder

       

2

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 



 

   

Dấu “” xảy  f x k g x  ,  x a b; 

Áp dụng vào ta có        

2

1 1

2

0 0

1

sin d d sin d

4 f x x x f x x x x

 

   

   

, suy f x k.sinx, k

Mà      

1

2

0

1

sin d sin d

2

f x x x k x x k 

   f x sinx

Vậy    

1

0

2

d sin d

f x x x x 

 

 

 

1

2

dx f x 

  

1

0

1

cos d

2 x f x x 

 

  

 

 Tính  

1

0

d f x x



A

2 

B  C 1

 D

2 

Đặt

  d  d

2 sin d cos d

2

u f x x u f x

x x

v

v  x 

    



 



   

 

 

Do  

1

0

1

cos d

2 x f x x 

 

  

  

   

1

0

2

sin sin d

2 2

x

f x x f x x

 

 



    

 

  

1

0

sin d

2 x f x x

 

  

    

 



Lại có:

1

sin d

2 x x 

      



   

2

1 1

2

0 0

2

d sin d sin d

2

I f x x  x f x x  x x

 

       

 

           

       

  

 

2

1

2

sin d

2 2

f x  x x  

  

  



        

 



Vì  

2

sin

2 f x  x 

   

    

 

 

(93)

 

2

0

2

sin d

2

f x  x x

               

  =sin

2

f x  x



 



   

  f  x = 2sin 2x

   

   

 

Suy  =cos

f x  xC

  mà f  1 0 f x =cos x 

 

 

 

Vậy  

1

0

2

d cos d

2 f x x  x x

      

 

 

2

d f x f x

J x x x            

A J  1 ln B J  4 ln C ln 2

J   D ln

2

J  

Cách1: Ta có    

2

d f x f x

J x x x                

2 2

2

1 1

2

d d d

f x f x

x x x

x x x x

              Đặt     1 d d d d

u u x

x x

v f x x v f x

                     2 d f x f x

J x x x                  

2 2

1 1

1

.f x f x dx f x dx dx

x x x x x

                 

1 1

2 ln ln

2 f f x x

 

      

 

Cách2:    

2

d f x f x

J x x x                 2 2 d xf x f x

x

x x x

              2 1 d d f x x x

x x x

                    1

2 ln ln

2 f x x x x           Cách3: ( Trắc nghiệm)

Chọn hàm số f x axb Vì  

 

1

2 f a b f              

, suy f x 3x2 Vậy

2

1

5 1

d ln ln

2

x

J x x

x x x



   

        

   



1

2

0

e

d e d

4 x

f x x x f x x   

 

  f  1 0 Tính  

1

0

d f x x 

A e

2 

B

2

e

4 C e 2 D

e

- Tính:    

1

0

1 ex d

I  x f x x    

1

0

ex d ex d

x f x x f x xJK

(94)

Tính  

1

0

ex d K  f x x

Đặt e   d e   e   d

d d

x x

x

u f x f x x

u f x

v x v x

   

   

   



 



  

 

 

     

1

0

ex ex ex d

K x f x x f x x f x  x

        

1

0

ex d ex d

x f x x x f x x

   do f  1 0  

1

0

ex d K J x f x x

     

1

0

ex d I J K x f x x      - Kết hợp giả thiết ta được:

   

1

2

0

1

0

e d

4 e d

4 x

f x x

xe f x x

 

 

     





 

 

  



   

1

2

0

1

0

e

d (1)

e

2 e d (2)

2 x

f x x

x f x x

 

 

     

 



 

  

 

 - Mặt khác, ta tính được:

1

2

e e d (3)

4 x

x x 



- Cộng vế với vế đẳng thức (1), (2), (3) ta được:    

 

1

2 2 2

0

2 ex e x d f x  x f x x x  

 

    

1

2

ex d o

f x x x

      

1

2

ex d o

f x x x  

   

hay thể tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số   ex

y f x x , trục Ox, đường thẳng x0 , x1 quay quanh trục Ox

  ex

f x x

    f x  xex

  e dx 1 ex C

f x x x x

     

- Lại  1 C   1 ex

f     f x  x

   

1

0

d e dx

f x x x x

     

1

0

1 x ex e dx x

  

0

1 ex e     

Vậy  

1

0

d e f x x 



1

2

d f x x    

  

1

1 d

3 x f x x

1

0

d f x x



A 7

5 B 1 C

7

4 D 4

Cách1: Tính:  

1

d x f x x

 Đặt  

 

d d

3

u f x x u f x

x v x x v

    

 



 

 

 



Ta có:      

1

2

0 0

1

d d

3

x f x

x f x x  x f x x

(95)

   

1

3

0

1 0 1

d d

3 3

f f

x f x x x f x x 

 

     

Mà  

1

1 d

3 x f x x

    

1

3

0

1

d d

3 x f x x x f x x       

Ta có  

1

2

d f x x    

 (1)

1

6

0

1 d

7

x x x  

1

49 d 49 7

x x

   (2)

   

1

3

0

d 14 d 14

x f x x   x f x x 

  (3)

Cộng hai vế (1) (2) (3) suy    

1 1

2 6 3

0 0

d 49 d 14 d 7 14

f x x x x x f x x     

 

  

   

 

1

2 3 6

0

14 49 d

f x x f x x x

       

1

2

7 d

f x x x

 

   

Do f x 7x32 0  

1

2

7 d

f x x x

 

    Mà  

1

2

7 d

f x x x

   

 

  

7

f x x

  

 

4

7

x

f x   C Mà  1 7

4

f    C C

Do  

4

7

4 x f x   

Vậy  

1

0 0

7 7 7

d d

4 20

x x

f x x    x   x 

   

 

Cách2: Tương tự ta có:  

1

d

x f x x  

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

         

2

1 1 1

2 2

3

0 0 0

1

7 d d d d d

7

x f x x x x f x x f x x f x x

     

   

                

       

Dấu xảy  

f x ax , với a

Ta có  

1

3 3

0 0

d d 1

7 ax

x f x x   x ax x     a 

 

Suy    

4

3

7

4 x

f x   x  f x   C, mà f  1 0 nên

C

Do   71 4

f x  x  x 

Vậy  

1

0

1

7 7 7

d d

0

4 20

x x

f x x    x   x 

   

 

(96)

Khi đó, ta có        

2

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

     

 

     

     

Chứng minh:

Trước hết ta có tính chất:

Nếu hàm số h x  liên tục không âm đoạn a b;   d b

a

h x x 

Xét tam thức bậc hai     2 2      2 

2

f x g x f x f x g x g x

      

 

  , với 

Lấy tích phân hai vế đoạn a b;  ta

       

2 2

d g d d

b b b

a a a

f x x f x x x g x x

      , với  * Coi  * tam thức bậc hai theo biến  nên ta có  

     

2

2 2

d d d

b b b

a a a

f x x f x x g x x

     

     

     

     

2

2 2

d d d

b b b

a a a

f x x f x x g x x

     

     

     

Định dạng
Số trang	96
Dung lượng	2,24 MB