Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bẳng cách cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật phần tô đậm sau đó hàn kín lại, như[r]
(1)ĐỀ KHẢO SÁT TN THPT NĂM 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút TRƯỜNG THPT QUỐC THÁI TỔ TOÁN Mà ĐỀ 122 Câu Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5? A A45 B P5 C C45 D P4 Câu Cho cấp số cộng có u4 = 2, u2 = Hỏi u1 bao nhiêu? A u1 = B u1 = C u1 = D u1 = −1 Câu Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (−∞; +∞), có bảng biến thiên hình sau −∞ x −1 f (x) + +∞ − + +∞ f (x) −∞ −1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) D Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞) Câu Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R có bảng biến thiên bảng sau −∞ x f (x) − +∞ − + +∞ f (x) −∞ Mệnh đề nào đây đúng? A yCT = B max y = C yCĐ = R D y = R Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x(x − 1) (2x + 3) Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? A B C D 2x − Câu Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm tọa độ giao điểm I hai đường tiệm cận x+2 đồ thị (C) A I(−2; 2) B I(2; 2) C I(2; −2) D I(−2; −2) Câu Đường cong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào các hàm số đây? A y = −x3 + 3x2 + B y = −x4 + 2x2 − C y = x − 3x + D y = x3 − 3x + y 2 O −2 Trang 1 x (2) Câu Cho đồ thị hàm số y = f (x) Tìm m để phương trình f (x) + = m có đúng nghiệm A < m < B < m < C −1 < m < D < m < y f (x) O Ç Câu Cho số thực a thỏa mãn < a 6= Tính giá trị biểu thức T = loga a2 · √ a2 · √ 15 a7 √ C T = D T = Å ã Câu 10 Đạo hàm hàm số y = log2 (2x + 1) trên khoảng − ; +∞ là 2 2 ln 2 A B C D (2x + 1) ln x (2x + 1) ln 2x + (x + 1) ln A T = B T = 12 Câu 11 Cho hai số dương a, b với a 6= Đặt M = log√a b Tính M theo N = loga b √ A M = N B M = 2N C M = N D M = N Å ã−x Câu 12 Tập nghiệm S bất phương trình 5x+2 < là 25 A S = (−∞; 2) B S = (−∞; 1) C S = (1; +∞) D S = (2; +∞) Câu 13 Nghiệm phương trình log5 (2x) = là 25 D x = Câu 14 Z Cho hàm số f (x) = 4x − Trong các khẳngZđịnh sau, khẳng định nào đúng? A f (x) dx = 3x4 − 2x + C B f (x) dx = x4 − 2x + C Z Z C f (x) dx = x − 2x + C D f (x) dx = 12x2 + C A x = B x = C x = Câu 15 Z Cho hàm số f (x) = sin 3x Trong các khẳng định Z sau, khẳng định nào đúng? 1 A f (x) dx = cos 3x + C B f (x) dx = − cos 3x + C 3 Z Z C f (x) dx = cos 3x + C D f (x) dx = −3 cos 3x + C Z4 B Z3 Câu 17 Tích phân Z5 f (x) dx = −6 thì f (x) dx = và Câu 16 Nếu A −4 Z5 f (x) dx C −12 D −8 dx x 2 A ln B ln C ln Câu 18 Số phức liên hợp số phức z = − 4i là A z = −2 − 4i B z = + 4i C z = −2 + 4i Câu 19 Cho hai số phức z = −3 + 2i và w = − i Số phức z − w A + 3i B −7 + i C −7 + 3i Trang D ln D z = −4 + 2i D + i x a4 å (3) √ Câu 20 √ Trên mặt phẳng tọa độ,√điểm biểu diễn số phức√( − 2)i có tọa độ là √ A ( 3; −2) B (− 3; 2) C ( − 2; 0) D (0; − 2) Câu 21 Một khối chóp có thể tích bẳng và diện tích đáy bẳng Chiều cao khối chóp đó bẳng 4 C D 16 A B √ Câu 22 Một hình lập phương có độ dài cạnh a Thể √ tích khối lập phương đó là √ √ 2a B 2a3 C D a3 A a3 Câu 23 Thể tích V khối nón có bán kính đáy cm và chiều cao cm là A V = 36π (cm3 ) B V = 12π (cm3 ) C V = 8π (cm3 ) D V = 12π (cm3 ) Câu 24 Một hình trụ có bán kính đáy a và có thiết diện qua trục là hình vuông Tính diện tích xung quanh hình trụ A 2πa2 B πa2 C 4πa2 D 3πa2 Câu 25 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −3; −6) và B(0; 5; 2) Trung điểm đoạn thẳng AB có toa độ là A I(−2; 8; 8) B I(1; 1; −2) C I(−1; 4; 4) D I(2; 2; −4) Câu 26 Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) : (x − 1)2 + y + (z + 3)2 = 16 có bán kính A B 32 C 16 D ã Å Câu 27 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào đây qua điểm M 0; ; −1 ? A (P1 ) : 4x + 2y − 12z − 17 = B (P2 ) : 4x − 2y − 12z − 17 = C (P3 ) : 4x − 2y + 12z + 17 = D (P4 ) : 4x + 2y + 12z + 17 = Câu 28 Trong không gian Oxyz, vectơ nào đây là vectơ phương đường thẳng qua gốc toa độ và trung điểm đoạn thắng AB với A(0; 2; 3), B(2; −2; 1)? A u~1 = (1; −2; −1) B u~2 = (1; 0; 2) C u~3 = (2; 0; 4) D u~4 = (2; −4; −2) Câu 29 Chọn ngẫu nhiên số 17 số nguyên dương đầu tiên Xác suất để chọn số lẻ bẳng? 10 A B C D 17 17 17 Câu 30 Hàm số nào đây đồng biến trên R? x+1 A y = B y = x4 + C y = x3 + x D y = x+3 x +1 2x − Câu 31 Gọi M , m là giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số f (x) = trên 1−x đoạn [2; 4] Tính A = 3M − m −20 A A = B A = −10 C A = −4 D A = Câu 32 Tập nghiệm bất phương trình 72−2x−x ≤ x là 49 √ √ A [− 2; √ 2] B (−∞; −2] ∪ [2; +∞) √ C (−∞; − 2] ∪ [ 2; +∞) D [−2; 2] Z4 Z2 (2x − 3f (x)) dx = thì Câu 33 Nếu A f (2x) dx B C −1 Trang D −4 (4) Câu 34 Số phức z1 là nghiệm có phần ảo dương phương trình bậc hai z − 2z + = Môđun số phức (2i − 1)z1 bẳng √ A −5 B C 25 D Câu là tam giác vuông đinh A, cạnh BC = a, AC = √ √ 35 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC a a , các cạnh bên SA = SB = SC = Tính góc tạo mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC) π π π A B C D arctan √ Câu 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a, BC = a 3, SA vuông góc với đáy Góc cạnh bên SC và đáy 45◦ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo√a √ √ √ 2a 57 2a 2a 2a 57 B C D A 19 3 Câu 37 Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y + z + 2x − 6y + = Tính toa ® độ tâm I, bán kính R®của mặt cầu (S) ® ® I(1; −3; 0) I(−1; 3; 0) I(1; −3; 0) I(−1; 3; 0) √ A B C D R=3 R=3 R=9 R = 10 Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; −3; 4), B(−2; −5; −7), C(6; −3; −1) Phương trình đường trung tuyến AM củatam giác là x = + t x = + t x = + 3t x = − 3t A y = −3 − t B y = −1 − 3t C y = −3 + 4t D y = −3 − 2t z = − 8t z = −8 − 4t z =4−t z = − 11t Câu 39 Cho hàm số ã thức y = f (x) có đạo hàm trên R Biết f (0) = 0, Å đa 19 = − và đồ thị hàm số y = f (x) có dạng hình vẽ bên f (−3) = f ï ò là Hàm số g(x) = |4f (x) + 2x | giá trị lớn g(x) trên −2; 39 29 A B C D 2 y f (x) O x −3 − 32 Ä √ ä Câu 40 Số giá trị nguyên dương m để bất phương trình 2x+2 − (2x − m) < có tập nghiệm chứa không quá số nguyên là A 62 B 33 C 32 D 31 ® x + ax + b x ≥ Câu 41 Cho hàm số f (x) = Biết hàm số có đạo hàm điểm x = x3 − x2 − 8x + 10 x < Z4 Tính I = f (x) dx A B C −2 Câu 42 Cho hai số phức z, w thỏa mãn |z − i| = và w = |w| A B a √ C 20 Trang D z−1+i Tìm giá trị nhỏ z−2−i √ a D (5) Câu 43 Cho hình chóp S.ABC có đáy √ ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 3, góc SA mặt phẳng (SBC) 45◦ (tham khảo hình bên) Thể√tích khối chóp S.ABC √ bẳng 3 √ 3a a C D a3 A a3 B 12 12 S A C B Câu 44 Từ thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm thùng đựng dầu hình trụ bẳng cách cắt hai hình tròn và hình chữ nhật (phần tô đậm) sau đó hàn kín lại, hình vẽ đây Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh thùng đựng dầu (vừa đủ) Biết rẳng đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác có kích thước là 50 cm, 70 cm, 80 cm (các mối ghép nối gò hàn chiểm diện tích không đáng kế, lấy π = 3, 14) Diện tích thép hình chữ nhật ban đầu gần với số liệu nào sau đây? 3h A 6, ( m2 ) h B 24, ( m2 ) C 6, 15 ( m2 ) D 3, 08 ( m2 ) x = + 2t Câu 45 Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho điểm M (0; 2; 0) và hai đường thẳng ∆1 : y = − 2t , z = −1 + t x = + 2s ∆2 : y = −1 − 2s Gọi (P ) là mặt phẳng qua M song song với trục Ox, cho (P ) cắt hai z=s đường thẳng ∆1 , ∆2 A, B thoả mãn AB = Mặt phẳng (P ) qua điểm nào sau đây? A F (1; −2; 0) B E(1; 2; −1) C K(−1; 3, 0) D G(3; 1; −4) Câu 46 Cho f (x) là hàm bậc bốn thỏa mãn f (0) = Hàm số f (x) đồ thị hình bên Hàm số g(x) = |f (x3 ) − x3 − x| có bao nhiêu điểm cực trị? A B C D y −1 O f (x) x −1 −3 −5 Trang (6) 2 Câu 47 Cho phương trình m · 2x −4x−1 + m2 · 22x −8x−1 = log2 (x2 − 4x + log2 m) + 3,(m là tham số) Có bao nhiêu số nguyên dương m cho phương trình đã cho có nghiệm thực A 31 B 63 C 32 D 64 Câu 48 ax + b Cho hàm số y = có đồ thị (C) Gọi giao điểm cx + d hai đường tiệm cận là I Điểm M0 (x0 ; y0 ) di động trên (C), tiểp tuyến đó cắt hai tiệm cận A, B S1 + S2 và S∆IAB = Tìm giá trị IM02 cho = (với S∆LAB S1 , S2 là hình phẳng hình bên) 41 169 189 A B C D 20 60 60 y B C S1 M◦ S2 I A x O Câu 49 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 4i và |z1 − z2 | = Tính giá trị lớn biểu thức P = |z1 | + |z2 | √ √ A 10 B C D 10 √ Câu 50 Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy a 3, góc đỉnh là 120◦ Thiết diện qua đỉnh hình nón là tam giác Diện tích lớn Smax thiết điện đó là bao nhiêu? √ 9a2 A Smax = 2a2 B Smax = a2 C Smax = 4a2 D Smax = Trang (7) TRƯỜNG THPT QUỐC THÁI TỔ TOÁN Mà ĐỀ 122 ĐỀ KHẢO SÁT TN THPT NĂM 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5? A A45 B P5 C C45 D P4 Lời giải Số tự nhiên gồm bốn chữ số khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, , là chỉnh hợp chập phần tử Vậy có A45 số cần tìm Chọn đáp án A Câu Cho cấp số cộng có u4 = 2, u2 = Hỏi u1 bao nhiêu? A u1 = B u1 = C u1 = Lời giải ® ® ® u1 = u1 + 3d = u4 = ⇔ ⇔ Ta có d = −1 u1 + d = u2 = Chọn đáp án C D u1 = −1 Câu Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (−∞; +∞), có bảng biến thiên hình sau −∞ x f (x) −1 + +∞ − + +∞ f (x) −∞ −1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) D Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞) Lời giải Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1), suy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) Chọn đáp án B Câu Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R có bảng biến thiên bảng sau −∞ x f (x) − +∞ − + +∞ f (x) −∞ Mệnh đề nào đây đúng? A yCT = B max y = C yCĐ = R D y = R Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x = 1, yCD = 5, đạt cực tiểu x = 0, yCT = 4, hàm số không có giá trị lớn và giá trị nhỏ Chọn đáp án C Trang (8) Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x(x − 1)2 (2x + 3) Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? A B C D Lời giải Ta có bảng xét dấu sau x f (x) −∞ − + 0 − +∞ + + Từ đó f (x) đổi dấu x = − , x = nên hàm số có cực trị Chọn đáp án C Câu Cho hàm số y = 2x − có đồ thị (C) Tìm tọa độ giao điểm I hai đường tiệm cận x+2 đồ thị (C) A I(−2; 2) B I(2; 2) C I(2; −2) Lời giải Tập xác định D = R \ {−2} 2x − 2x − Tiệm cận đứng x = −2 vì lim − = +∞, lim + = −∞ x→(−2) x→(−2) x+2 x+2 2x − Tiệm cận ngang y = vì lim = x→±∞ x + Vậy I(−2; 2) Chọn đáp án A D I(−2; −2) Câu Đường cong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào các hàm số đây? A y = −x3 + 3x2 + B y = −x4 + 2x2 − C y = x − 3x + D y = x3 − 3x + y 2 O x −2 Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có lim f (x) = +∞ nên loại y = −x3 + 3x2 + và y = −x4 + 2x2 − x→+∞ Đồ thị qua điểm có toa độ (2; −2) Suy hàm số cần tìm là y = x3 − 3x2 + Chọn đáp án C Câu Cho đồ thị hàm số y = f (x) Tìm m để phương trình f (x) + = m có đúng nghiệm A < m < B < m < C −1 < m < D < m < y f (x) O Lời giải Trang x (9) Ta có f (x) + = m ⇔ f (x) = m − f (x) = m − là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y = f (x) và đường thẳng y = m − Để phương trình f (x) = m − có đúng nghiệm thì < m − < ⇔ < m < y f (x) O Chọn đáp án B Ç Câu Cho số thực a thỏa mãn < a 6= Tính giá trị biểu thức T = loga A T = B T = 12 C T = a2 · √ a2 · √ 15 a7 x √ å a4 D T = Lời giải Ta có Ç T = loga a2 · √ a2 · √ 15 a7 å √ a4 Ü = loga Ö è 4ê 4 a2+ + a2 · a · a = loga = loga a2+ + − 15 = loga a3 = 7 a 15 a 15 Chọn đáp án A ã Å Câu 10 Đạo hàm hàm số y = log2 (2x + 1) trên khoảng − ; +∞ là 2 2 ln 2 A B C D (2x + 1) ln x (2x + 1) ln 2x + (x + 1) ln Lời giải Å ã Tập xác định D = − ; +∞ 2 (2x + 1)0 = Ta có y = (log2 (2x + 1))0 = (2x + 1) ln (2x + 1) ln Chọn đáp án B Câu 11 Cho hai số dương a, b với a 6= Đặt M = log√a b Tính M theo N = loga b √ A M = N B M = 2N C M = N D M = N Lời giải Ta có M = log√a b = log b = loga b = 2N a2 Vậy M = 2N Chọn đáp án B Å ã−x là 25 C S = (1; +∞) Câu 12 Tập nghiệm S bất phương trình 5x+2 < A S = (−∞; 2) B S = (−∞; 1) Lời giải Å ã−x x+2 ⇔ 5x+2 < (5)2x ⇔ < x Ta có < 25 Tập nghiệm S bất phương trình là S = (2; +∞) Chọn đáp án D Câu 13 Nghiệm phương trình log5 (2x) = là A x = B x = C x = Trang D S = (2; +∞) 25 D x = (10) Lời giải Ta có log5 (2x) = ⇔ 2x = 25 ⇔ x = 25 Chọn đáp án C Câu 14 Z Cho hàm số f (x) = 4x − Trong các khẳngZđịnh sau, khẳng định nào đúng? A f (x) dx = 3x4 − 2x + C B f (x) dx = x4 − 2x + C Z Z C f (x) dx = x − 2x + C D f (x) dx = 12x2 + C Lời giải Z Z Ta có f (x) dx = (4x3 − 2) dx = x4 − 2x + C Chọn đáp án B Câu 15 Z Cho hàm số f (x) = sin 3x Trong các khẳng định Z sau, khẳng định nào đúng? 1 A f (x) dx = cos 3x + C B f (x) dx = − cos 3x + C 3 Z Z C f (x) dx = cos 3x + C D f (x) dx = −3 cos 3x + C Lời giải Z Z Ta có f (x) dx = sin 3x dx = − cos 3x + C Chọn đáp án B Z4 Z5 Z5 f (x) dx = −6 thì f (x) dx = và Câu 16 Nếu f (x) dx A −4 B C −12 Lời giải Z5 Z4 Z5 Ta có f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = − = −4 3 D −8 Chọn đáp án A Z3 Câu 17 Tích phân dx x 2 A ln B ln Lời giải Z3 Ta có dx = ln x|32 = ln − ln = ln x C ln D ln Chọn đáp án B Câu 18 Số phức liên hợp số phức z = − 4i là A z = −2 − 4i B z = + 4i C z = −2 + 4i Lời giải Số phức liên hợp số phức z = − 4i là z = + 4i Chọn đáp án B Câu 19 Cho hai số phức z = −3 + 2i và w = − i Số phức z − w A + 3i B −7 + i C −7 + 3i Lời giải Trang D z = −4 + 2i D + i (11) Ta có w = + i Suy z − w = −3 + 2i − − i = −7 + i Chọn đáp án B √ Câu 20 √ Trên mặt phẳng tọa độ,√điểm biểu diễn số phức√( − 2)i có tọa độ là √ A ( 3; −2) B (− 3; 2) C ( − 2; 0) D (0; − 2) Lời giải √ √ Điểm biểu diễn hình học số phúc z = ( − 2)i là điểm M (0; − 2) Chọn đáp án D Câu 21 Một khối chóp có thể tích bẳng và diện tích đáy bẳng Chiều cao khối chóp đó bẳng 4 A B C D 16 Lời giải 3V 3·8 Ta có V = B · h ⇒ h = = = B Chọn đáp án A √ Câu 22 Một hình lập phương có độ dài cạnh a Thể √ tích khối lập phương đó là √ √ 2a A a3 B 2a3 C D a3 Lời giải √ √ Thể tích khối lập phương là V = (a 2)3 = 2a3 Chọn đáp án B Câu 23 Thể tích V khối nón có bán kính đáy cm và chiều cao cm là A V = 36π (cm3 ) B V = 12π (cm3 ) C V = 8π (cm3 ) D V = 12π (cm3 ) Lời giải 1 Thể tích khối nón là V = πr2 h = π · (3)2 · = 12π 3 Chọn đáp án D Câu 24 Một hình trụ có bán kính đáy a và có thiết diện qua trục là hình vuông Tính diện tích xung quanh hình trụ A 2πa2 B πa2 C 4πa2 D 3πa2 Lời giải Hình trụ có bán kính đáy r = a nên đường kính đáy 2a Suy thiết diện qua trục là hình vuông có cạnh 2a Do đó chiều cao h = 2a Diện tích xung quanh hình trụ là Sxq = 2πrh = 2π · a · 2a = 4πa2 Chọn đáp án C Câu 25 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −3; −6) và B(0; 5; 2) Trung điểm đoạn thẳng AB có toa độ là A I(−2; 8; 8) B I(1; 1; −2) C I(−1; 4; 4) D I(2; 2; −4) Lời giải x + x y + y z + z A B A B A B Vì I là trung điểm AB nên I ; ; 2 Vậy I(1; 1; −2) Chọn đáp án B Câu 26 Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) : (x − 1)2 + y + (z + 3)2 = 16 có bán kính A B 32 C 16 D Lời giải Mặt cầu có phương trình (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 thì bán kính R Do đó mặt cầu (S) có R2 = 16 Vậy mặt cầu (S) có bán kính R = Trang (12) Chọn đáp án A ã Å Câu 27 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào đây qua điểm M 0; ; −1 ? A (P1 ) : 4x + 2y − 12z − 17 = B (P2 ) : 4x − 2y − 12z − 17 = C (P3 ) : 4x − 2y + 12z + 17 = D (P4 ) : 4x + 2y + 12z + 17 = Lời giải Thay tọa độ điểm M trực tiếp vào các phương trình để kiểm tra Thay tọa độ M vào (P3 ) : · − · + 12 · (−1) + 17 = Å ã Vậy mặt phẳng (P3 ) : 4x − 2y + 12z + 17 = qua điểm M 0; ; −1 Chọn đáp án C Câu 28 Trong không gian Oxyz, vectơ nào đây là vectơ phương đường thẳng qua gốc toa độ và trung điểm đoạn thắng AB với A(0; 2; 3), B(2; −2; 1)? A u~1 = (1; −2; −1) B u~2 = (1; 0; 2) C u~3 = (2; 0; 4) D u~4 = (2; −4; −2) Lời giải Gọi là M trung điểm đoạn thắng AB, ta có M (1; 0; 2) ~ = (1; 0; 2) là vectơ chi phương đường thẳng OM Ta có OM Chọn đáp án B Câu 29 Chọn ngẫu nhiên số 17 số nguyên dương đầu tiên Xác suất để chọn số lẻ bẳng? 10 B C D A 17 17 17 Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n(Ω) = C117 = 17 Trong 17 số nguyên dương đầu tiên có số lẻ Gọi A là biến cố “Chọn số lẻ ” ⇒ n(A) = n(A) Vậy xác suất cần tìm là P (A) = = n(Ω) 17 Chọn đáp án A Câu 30 Hàm số nào đây đồng biến trên R? x+1 B y = x4 + C y = x3 + x D y = A y = x+3 x +1 Lời giải x+1 Hàm số y = có tập xác định D = R \ {−3} nên bị loại x+3 Hàm số y = x4 + có khoảng đồng biến và nghịch biến trên R nên bị loại Hàm số y = x3 + x có tập xác định D = R ⇒ y = 3x2 + > 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số đồng biến trên R Chọn đáp án C Câu 31 Gọi M , m là giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số f (x) = 2x − trên 1−x đoạn [2; 4] Tính A = 3M − m A A = B A = −10 C A = −4 Lời giải > 0, ∀x 6= (1 − x)2 Suy hàm số xác định và đồng biến trên đoạn [2; 4] Ta có f (x) = Trang D A = −20 (13) −7 Vậy M = f (4) = và m = f (2) = −3 Suy A = 3M − m = −4 Chọn đáp án C Câu 32 Tập nghiệm bất phương trình 72−2x−x ≤ x là 49 √ √ A [− 2; √ 2] B (−∞; −2] ∪ [2; +∞) √ D [−2; 2] C (−∞; − 2] ∪ [ 2; +∞) Lời giải Ta có 2−2x−x2 √ ñ x ≥ √ ≤ x ⇔ 72−2x−x ≤ 7−2x ⇔ − 2x − x2 ≤ −2x ⇔ − x2 ≤ ⇔ 49 x ≤ − √ √ Vậy S = (−∞, − 2] ∪ [ 2; +∞) Chọn đáp án C Z4 Z2 (2x − 3f (x)) dx = thì Câu 33 Nếu f (2x) dx A B C −1 Lời giải Z4 Z4 Z4 Ta có (2x − 3f (x)) dx = ⇔ x2 − f (x) dx = ⇒ f (x) dx = 1 D −4 Đặt t = 2x ⇒ dt = dx Đồi cận : x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = Z2 Z4 Suy f (2x) dx = f (t) dt = 2 Chọn đáp án A Câu 34 Số phức z1 là nghiệm có phần ảo dương phương trình bậc hai z − 2z + = Môđun số phức (2i − 1)z1 bẳng √ A −5 B C 25 D Lời giải ñ z1 = + 2i Ta có z − 2z + = ⇔ z2 = − 2i Suy (2i − 1)z1 = (2i − 1)(1 + 2i) = 4i2 − = −5 Vậy |(2i − 1)z1 | = Chọn đáp án B Câu là tam giác vuông đinh A, cạnh BC = a, AC = √ 35 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC √ a a , các cạnh bên SA = SB = SC = Tính góc tạo mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC) π π π A B C D arctan Lời giải Trang (14) Gọi I là trung điểm AB, ta có IH ⊥ AB ‘ ⇒ AB ⊥ (SIH) ⇒ AB ⊥ SI ((SAB), (ABC)) = SIH √ BC a a Ta có AH = = , SH = SA2 − AH = √ 2 a √ √ √ AC a ‘ = SH = √2 = IH = = · tan SIH IH a 6 ‘ = π Vậy ((SAB), (ABC)) = SIH S A C H I B Chọn đáp án B √ Câu 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a, BC = a 3, SA vuông góc với đáy Góc cạnh bên SC và đáy 45◦ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo√a √ √ √ 2a 57 2a 57 2a 2a A B C D 19 3 Lời giải ’ = 45◦ Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ (SC, (ABCD)) = SCA S ⇒ ∆SAC vuông cân√tại A Khi đó SA = AC = AB + BC = 2a Kẻ AK ⊥ BD thì BD ⊥ (SAK), (SAK) ⊥ (SBD) và (SAK) ∩ (SBD) = SK H Trong mặt phắng (SAK), kẻ AH ⊥ SK thì AH ⊥ (SBD) Do đó AH = d(A, (SBD)) A Tam giác SAK vuông A có B K 1 1 1 = + = + + 2 2 D C AH AK SA AB AD SA2 √ 2a 57 ⇒ AH = 19 √ 2a 57 Vậy d(A, (SBD)) = 19 Chọn đáp án A Câu 37 Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y + z + 2x − 6y + = Tính toa ® độ tâm I, bán kính R®của mặt cầu (S) ® ® I(1; −3; 0) I(−1; 3; 0) I(1; −3; 0) I(−1; 3; 0) √ A B C D R=9 R=3 R=3 R = 10 Lời giải √ Từ phương trình mặt cầu (S) suy tâm I(−1; 3; 0) và bán kính R = a2 + b2 + c2 − d = Chọn đáp án A Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; −3; 4), B(−2; −5; −7), C(6; −3; −1) Phương trình đường trung tuyến AM củatam giác là x = + t x = + t x = + 3t x = − 3t A y = −3 − t B y = −1 − 3t C y = −3 + 4t D y = −3 − 2t z = − 8t z = −8 − 4t z =4−t z = − 11t Lời giải Trang (15) ~ (1; −1; −8) Gọi M là trung điểm BC ⇒ M (2; −4; −4), đó AM x = + t Phương trình đường trung tuyến AM tam giác là y = −3 − t z = − 8t Chọn đáp án A Câu 39 Cho hàm số Å đa ã thức y = f (x) có đạo hàm trên R Biết f (0) = 0, 19 f (−3) = f = − và đồ thị hàm số y = f (x) có dạng hình vẽ bên ï ò Hàm số g(x) = |4f (x) + 2x | giá trị lớn g(x) trên −2; là 39 29 A B C D 2 y f (x) O x −3 − 32 Lời giải Xét hàm số h(x) = 4f (x) + 2x2 xác định trên R Hàm số f (x) là hàm đa thức nên h(x) là hàm đa thức và h(0) = 4f (0) + · = Khi đó h0 (x) = 4f (x) + 4x ⇒ h0 (x) = ⇔ f (x) = −x y f (x) O x −3 − 32 y = −x Dựa vào tươngßgiao của™đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = −x, ta có h0 (x) = ⇔ x ∈ −3; 0; Ta có bảng biến thiên sau x −∞ h0 (x) −3 − + − +∞ +∞ + +∞ h(x) −1 − Từ đó ta có bảng biến thiên hàm số g(x) = |h(x)| sau Trang 29 (16) x −∞ +∞ −3 +∞ +∞ 29 |h(x)| 0 ï ò 29 Vậy giá trị lớn g(x) trên −2; là 2 Chọn đáp án D ä √ Câu 40 Số giá trị nguyên dương m để bất phương trình 2x+2 − (2x − m) < có tập nghiệm chứa không quá số nguyên là A 62 B 33 C 32 D 31 Lời giải Ta có Ä √ ä 2x+2 − (2x − m) < ® ® √ √ 2x+2 − > 2x+2 > x x −m<0 <m ⇔ ⇔ ® x+2 √ ® x+2 √ − 2<0 < x x −m>0 >m x + > x < log2 m ⇔ x + < x > log2 m x > − x < log2 m ⇔ x < − (vô nghiệm vì m ≥ 1) x > log2 m ⇔ − < x < log2 m Ä Bất phương trình đã cho có tập nghiệm chứa không quá số nguyên và log2 m ≤ ⇔ m ≤ 25 ⇔ m ≤ 32 Mà m nguyên dương nên m ∈ {1; 2; 3; 32} Vậy có 32 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án C ® x + ax + b x ≥ Câu 41 Cho hàm số f (x) = Biết hàm số có đạo hàm điểm x = x3 − x2 − 8x + 10 x < Z4 Tính I = f (x) dx A B C −2 Trang 10 D (17) Lời giải Hàm số có đạo hàm x = ⇔ f (2) = lim+ f (x) = lim− f (x) ⇔ 4+2a+b = −2 ⇔ 2a+b = −6 (1) x→2 x→2 Ta có lim− x→2 f (x) − f (2) x3 − x2 − 8x + 10 − − 2a − b = lim x→2 x−2 x−2 x − x − 8x + 12 = lim− x→2 x−2 (x − 2) (x + 3) = lim x→2 x−2 = lim− [(x − 2)(x + 3)] = x→2 Mặc khác x2 + ax + b − − 2a − b f (x) − f (2) = lim+ lim x→2 x→2+ x−2 x−2 (x − 2)(x + + a) = lim+ x→2 x−2 = lim2 (x + a + 2) = a + x→2 Hàm số có đạo hàm x = nên hàm số liên tục x = f (x) − f (2) f (x) − f (2) = lim− ⇔ a + = ⇔ a = −4 (2) Suy lim+ x→2 x→2 x−2 x−2 Từ (1) và (2), suy ® 2ra a = −4 và b = x − 4x + x ≥ Khi đó f (x) = x3 − x2 − 8x + 10 x < Ta có Z4 I= Z2 f (x) dx = Z4 f (x) dx + f (x) dx Z2 Z4 (x − x − 8x + 10) dx + = Å = (x2 − 4x + 2) dx x x − − 4x2 + 10x ã x3 − 2x2 + 2x + Å Vậy I = Chọn đáp án D = Câu 42 Cho hai số phức z, w thỏa mãn |z − i| = và w = |w| A ã B a √ C 20 z−1+i Tìm giá trị nhỏ z−2−i √ a D Lời giải Ta có w= z−1+i ⇔ wz − 2w − wi = z − + i z−2−i ⇔ z(w − 1) = 2w + wi − + i 2w + wi − + i ⇔z= w−1 Trang 11 (18) 2w + wi − + i −i w−1 2w − + 2i ⇔z−i= w−1 |2w − + 2i| ⇔ |z − i| = |w − 1| ⇔ 2|w − 1| = |2w − + 2i| (1) ⇔z−i= Đặt w = x + yi với x, y ∈ R Ta có (1) ⇔ 2|x + yi − 1| = |2x + 2yi − + 2i| » » ⇔ (x − 1)2 + y = (2x − 1)2 + (2y + 2)2 ⇔ 4x2 − 8x + + 4y = 4x2 − 4x + + 4y + 8y + ⇔ 4x + 8y + = Suy tập hợp điểm biếu diễn số phức √ w là đường thắng d có phương trình 4x + 8y + = = Vậy |w|min = d(O, d) = √ 20 42 + 82 Chọn đáp án C Câu 43 Cho hình chóp S.ABC có đáy √ ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông◦ góc với mặt đáy và SA = a 3, góc SA mặt phẳng (SBC) 45 (tham khảo hình bên) Thể√tích khối chóp S.ABC √ bẳng 3 √ 3a a C D a3 A a3 B 12 12 S A C B Lời giải Gọi M là trung điểm BC Do tam giác ABC nên AM ⊥ BC ® AM ⊥ BC Ta có ⇒ BC ⊥ (SAM ) Kẻ AH ⊥ SM SA ⊥ BC ® BC ⊥ AH Ta có ⇒ AH ⊥ (SBC) SM ⊥ AH ’ = 45◦ ⇒ (SA, (SBC)) = (SA, SH) = ASH √ Suy ∆ASM vuông cân A Ta có SA = AM = a Suy AB = BC = AC = 2a Vây VS.ABC = SABC · SA = a3 Chọn đáp án D S H A C M B Câu 44 Từ thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm thùng đựng dầu hình trụ bẳng cách cắt hai hình tròn và hình chữ nhật (phần tô đậm) sau đó hàn kín lại, hình vẽ đây Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh thùng đựng dầu (vừa đủ) Biết rẳng đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác có kích thước là 50 cm, 70 cm, 80 cm (các mối ghép nối gò hàn chiểm diện tích không đáng kế, lấy π = 3, 14) Diện tích thép hình chữ nhật ban đầu gần với số liệu nào sau đây? Trang 12 (19) 3h h A 6, ( m2 ) B 24, ( m2 ) C 6, 15 ( m2 ) D 3, 08 ( m2 ) Lời giải Đổi 50 cm = 0, m, 70 cm = 0, m; 80 cm = 0, m Xét tam giác nội tiếp đường tròn đáy có kích thước là 0, 5m; 0, 7m; 0, 8m nên bán kính đường tròn đáy thùng đựng dầu là √ 0, · 0, 7.0, = R= p 30 1(1 − 0, 5)(1 − 0, 7)(1 − 0, 8) Ta có h = 2R, diện tích hình chữ nhật ban đầuÇgấp 3ålần diện tích xung quanh hình trụ √ 7693 Vậy S = · 2πRh = 6.3, 14.2 · R = · 3,14 · = = 6,1544 ( m2 ) 30 1250 Chọn đáp án C x = + 2t Câu 45 Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho điểm M (0; 2; 0) và hai đường thẳng ∆1 : y = − 2t , z = −1 + t x = + 2s ∆2 : y = −1 − 2s Gọi (P ) là mặt phẳng qua M song song với trục Ox, cho (P ) cắt hai z=s đường thẳng ∆1 , ∆2 A, B thoả mãn AB = Mặt phẳng (P ) qua điểm nào sau đây? A F (1; −2; 0) B E(1; 2; −1) C K(−1; 3, 0) D G(3; 1; −4) Lời giải Ta có: A ∈ ∆1 ⇒ A(1 + 2t; − 2t; −1 + t); B ∈ ∆2 ⇒ B(3 + 2s; −1 − 2s; s) ~ = (2 + 2(s − t); −3 − 2(s − t); + (s − t)) Suy AB s − t = −1 AB = ⇔ 9(s − t)2 + 22(s − t) + 14 = ⇔ 13 s−t=− ~ = (0; −1; 0) ⇒ (P ) có véc-tơ pháp tuyến n~1 = [AB, ~ ~i] = (0; 0; 1), suy Với s − t = −1 ⇒ AB (P ) : z = (loại (P ) song Å song với trục ã Ox) 13 −8 −1 −4 ~ = ~ ~i] = Với s − t = − ⇒ AB ; ; ,suy (P ) có véc-tơ pháp tuyến n~2 = [AB, 9 9 Å ã −4 ; Suy phương trình (P ) : 4y − z − = 0; 9 Tọa độ điểm G(3; 1; −4) thỏa phương trình mặt phẳng (P ) : 4y − z − = Chọn đáp án D Câu 46 Trang 13 (20) Cho f (x) là hàm bậc bốn thỏa mãn f (0) = Hàm số f (x) đồ thị hình bên Hàm số g(x) = |f (x3 ) − x3 − x| có bao nhiêu điểm cực trị? A B C D y −1 O f (x) x −1 −3 −5 Lời giải Do f (x) là hàm bậc bốn và từ đồ thị f (x), ta có f (x) bậc ba có điểm cực trị là −1; nên f 00 (x) = a(x2 − 1) ã Å x − x + b Suy f (x) = a ® b = −3 a=3 0 Do f (0) = −3 và f (−1) = −1 nên ⇔ a(− + 1) + b = −1 b = −3 Å ã x Suy f (x) = − x − 3 Xét hàm số h(x) = f (x3 ) − x3 − x, có h0 (x) = 3x2 f (x3 ) − 3x2 − 3x2 + h0 (x) = ⇔ f (x3 ) = (1) 3x2 Bảng biến thiên f (x): −∞ x −1 +∞ +∞ f (x) −3 −5 −∞ Dựa vào bảng biến thiên ta có 3x2 + > suy (1) vô nghiệm trên (−∞; 0) 3x2 Trên (0; +∞) : f (x) ∈ (−3; +∞) ⇒ f (x3 ) ∈ (−3; +∞) đồng biến suy f (x3 ) đồng biến mà hàm 3x2 + số y = nghịch biến nên phương trình (1) có không quá nghiệm 3x2 ï ò 3x2 + 3x2 + 3 liên tục trên (0; +∞) và lim+ f (x ) − Mặt khác, hàm số y = f (x ) − = −∞, 2 x→0 3x 3x ï ò 3x2 + lim f (x ) − = +∞ nên (1) có đúng nghiệm x = x0 > x→+∞ 3x2 Bảng biến thiên h(x) Với x ∈ (−∞; 0) : f (x) < ⇒ f (x3 ) < 0, mà x −∞ h0 (x) x0 − | − +∞ h(x) +∞ + +∞ h(x0 ) Trang 14 (21) Từ đó ta có h(x0 ) < nên®phương trình h(x) = có hai nghiệm thực phân biệt h(x) h(x) ≥ Từ đó hàm số g(x) có điểm cực trị Mặt khác g(x) = |h(x)| = − h(x) h(x) < Chọn đáp án A Câu 47 Cho phương trình m · 2x −4x−1 + m2 · 22x −8x−1 = log2 (x2 − 4x + log2 m) + 3,(m là tham số) Có bao nhiêu số nguyên dương m cho phương trình đã cho có nghiệm thực A 31 B 63 C 32 D 64 Lời giải Điều kiện x2 − 4x + log2 m > Ta có 2 m · 2x −4x−1 + m2 · 22x −8x−1 = log2 (x2 − 4x + log2 m) + 2 ⇔ 2x −4x+log2 m + 4x −4x+log2 m = 14 log2 (x2 − 4x + log2 m) + Đặt x2 − 4x + log2 m = t, t > 0) Phương trình trở thành 2t + 4t = 14 log2 t + (∗) Xét hàm số f (t) = 2t + 4t − 14 log2 t − trên (0; +∞) 14 Ta có f (t) = 2t ln + 4t ln − t ln 14 Khi đó f 00 (t) = 2t ln2 + 4t ln2 + > 0, ∀t ∈ (0; +∞) t ln Suy hàm số f (t) đồng biến trên (0; +∞) Do đó phương trình f (t) = hay phương trình (*) có nhiều nghiệm Ta thấy t = 1, t = thỏa mãn ñ (∗) t=1 Do đó phương trình (∗) ⇔ t = Với t = ⇒ x2 − 4x + log2 m = ⇔ x2 − 4x − + log2 m = Với t = ⇒ x2 − 4x + log2 m = ⇔ x2 − 4x − + log2 m = (2) Phương trình đã cho có nghiệm và (1) (2) có nghiệm (1) có nghiệm và ∆0 ≥ ⇔ − (log2 m − 1) ≥ ⇔ log2 m ≤ ⇔ m ≤ 32 (2) có nghiệm và ∆0 ≥ ⇔ − (log2 m − 2) ≥ ⇔ log2 m ≤ ⇔ m ≤ 64 Do đó phương trình đã cho có nghiệm ⇔ m ≤ 64, kết hợp m nguyên dương ⇒ m ∈ {1; 2; 3; ; 64} Vậy có 64 số thỏa bài yêu cầu bài toán Chọn đáp án D Câu 48 ax + b Cho hàm số y = có đồ thị (C) Gọi giao điểm cx + d hai đường tiệm cận là I Điểm M0 (x0 ; y0 ) di động trên (C), tiểp tuyến đó cắt hai tiệm cận A, B S1 + S2 = (với và S∆IAB = Tìm giá trị IM02 cho S∆LAB S1 , S2 là hình phẳng hình bên) 41 169 189 A B C D 20 60 60 y B C S1 M◦ S2 I A x O Lời giải ~ Khi đó hai tiệm cận Nhận thấy kết bài toán không thay đổi ta tịnh tiến đồ thị (C) theo IO α α (C) là hai trục toa độ Và hàm số đồ thị (C) trở thành: y = (α > 0) ⇒ y = − x x Trang 15 (22) α α α 2α Gọi d là tiếp tuyến M0 (x0 ; y0 ) ⇒ d : y = − (x − x0 ) + = − 2x + x0 x0 x0 Å x0 ã 2α Suy Ox ∩ d = A(2x0 ; 0) và Oy ∩ d = B 0; x0 ⇒ S4OAB = OAOB = 2α ⇒ 2a = ⇒ α = Å ã Å ã 2 x0 ,C ; ⇒ (c)y = , d : y = − x + , B 0; x x0 x0 x0 x0 Å ã Zx0 Å ã 1 − − − ⇒ S1 = x0 dx = − x0 x x0 x x0 x0 Z2x0Å ã 1 S2 = dx − (2x0 − x0 ) = − x x0 4x0 x0 S1 + S2 3 = ⇒ S1 + S2 = S∆LAB ⇒ + − = ⇒ x20 = ⇒ y02 = S∆LAB x0 4x0 41 Vậy IM02 = x20 + y02 = 20 Chọn đáp án B Theo giả thiết Câu 49 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 4i và |z1 − z2 | = Tính giá trị lớn biểu thức P = |z1 | + |z2 | √ √ A 10 B C D 10 Lời giải ® z1 = a + bi Đặt (a, b, c, d ∈ R) z2 = c + di ® a + c = z1 + z2 = + 4i Theo giả thiết ta có ⇔ b+d=4 |z1 − z2 | = (a − c)2 + (b − d)2 = p √ √ Xét P = |z1 | + |z2 | = a2 + b2 + c2 + d2 ≤ (1 + 1) · (a2 + b2 + c2 + d2 ) 32 + 42 + 52 (a + c)2 + (b + d)2 + (a − c)2 + (b − d)2 = = 25 Mà a2 + b2 + c2 + d2 = 2 √ Nên P ≤ Chọn đáp án B √ Câu 50 Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy a 3, góc đỉnh là 120◦ Thiết diện qua đỉnh hình nón là tam giác Diện tích lớn Smax thiết điện đó là bao nhiêu? √ 9a2 2 A Smax = 2a B Smax = a C Smax = 4a D Smax = Lời giải Trang 16 (23)